matita/matita/lib/turing/multi_to_mono/exec_trace_move.ma

   1 (* include "turing/auxiliary_machines.ma". *)
   2
   3 include "turing/multi_to_mono/shift_trace.ma".
   4
   5 (******************************************************************************)
   6
   7 (* exec_move_R : before shifting the trace left - to simulate a right move of
   8 the head - we must be sure we are not in rightoverflow, that is that the symbol
   9 at the right of the head, if any, is not blank *)
  10
  11 (* a simple look-ahead machine *)
  12 definition mtestR ≝ λsig,test.
  13   (move sig R) ·
  14     (ifTM ? (test_char ? test)
  15     (single_finalTM ? (move sig L))
  16     (move sig L) tc_true).
  17
  18 (* underspecified *)
  19 definition RmtestR_true ≝ λsig,test.λt1,t2.
  20   ∀ls,c,rs.
  21     t1 = midtape sig ls c rs →
  22     ∃c1,rs1. rs = c1::rs1 ∧ t1 = t2 ∧ (test c1 = true).
  23
  24 definition RmtestR_false ≝ λsig,test.λt1,t2.
  25   (∀ls,c,c1,rs.
  26     t1 = midtape sig ls c (c1::rs) →
  27     t1 = t2 ∧ (test c1 = false)) ∧
  28   (∀ls,c.
  29     t1 = midtape sig ls c [] → t1 = t2).
  30
  31 definition mtestR_acc: ∀sig,test.states ? (mtestR sig test).
  32 #sig #test @inr @inr @inl @inr @start_nop
  33 qed.
  34
  35 lemma sem_mtestR: ∀sig,test.
  36   mtestR sig test ⊨
  37     [mtestR_acc sig test:
  38        RmtestR_true sig  test, RmtestR_false sig test].
  39 #sig #test
  40 @(acc_sem_seq_app sig … (sem_move_single  … )
  41    (acc_sem_if sig …
  42      (sem_test_char sig test)
  43      (sem_move_single  … )
  44      (sem_move_single … )))
  45   [#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #Hmove * #tx * whd in  ⊢ (%→?); * *
  46    #cx * #Hcx #H1cx #Htx #Ht2 #ls #c #rs #Ht1
  47    >Ht1 in Hmove; cases rs
  48     [#H >H in Hcx; whd in ⊢ (??%?→?); #H1 destruct (H1)
  49     |#c1 #rs1 #Ht3 %{c1} %{rs1} %
  50       [% [//|>Htx in Ht2; >Ht3 whd in ⊢ (%→?); #H @sym_eq @H ]
  51       |>Ht3 in Hcx; whd in ⊢ (??%?→?); #H1 destruct (H1) //
  52       ]
  53     ]
  54   |#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #Hmove * #tx * whd in  ⊢ (%→?); *
  55    #Hcx #Heqtx #Htx %
  56     [#ls #c #c1 #rs #Ht1
  57      >Ht1 in Hmove; whd in match (tape_move ???); #Ht3
  58      >Ht3 in Hcx; #Hcx lapply (Hcx ? (refl ??))
  59      #Htest % // >Heqtx in Htx; >Ht3 whd in ⊢ (%→?); #H @sym_eq @H
  60     |#ls0 #c0 #Ht1 >Ht1 in Hmove; whd in match (tape_move ???);
  61      <Heqtx #H1tx >H1tx in Htx; #H @sym_eq @H
  62     ]
  63   ]
  64 qed.
  65
  66 definition guarded_M ≝ λsig,n,i,M.
  67   (ifTM ? (test_char ? (not_blank sig n i))
  68    M
  69    (ifTM ? (mtestR ? (not_blank sig n i))
  70     M
  71     (nop ?) (mtestR_acc …)) tc_true).
  72
  73 definition R_guarded_M ≝ λsig,n,i,RM,t1,t2.
  74   ∀ls,a,rs. t1 = midtape ? ls a rs →
  75    (not_blank sig n i a = false →
  76      not_blank sig n i (hd ? rs (all_blanks …)) = false → t1=t2) ∧
  77    (not_blank sig n i a = true ∨
  78      not_blank sig n i (hd ? rs (all_blanks …)) = true → RM t1 t2).
  79
  80 lemma sem_R_guarded: ∀sig,n,i,M,RM. M ⊨ RM →
  81    guarded_M sig n i M ⊨ R_guarded_M sig n i RM.
  82 #sig #n #i #M #RM #HM
  83 @(sem_if_app … (sem_test_char … ) HM
  84   (sem_if … (sem_mtestR … ) HM (sem_nop ?)))
  85 #tin #tout #t1 *
  86   [* * * #c * #Hc #H1c #Ht1 #Htout #ls #a #rs #Htin
  87    >Htin in Hc; normalize in ⊢ (%→?); #H1 destruct (H1) %
  88     [>H1c #H2 @False_ind destruct (H2)
  89     |#H1 <Htin <Ht1 @Htout
  90     ]
  91   |* * #Hc #Ht1 #H #ls #a #rs lapply (Hc a) <Ht1 -Ht1 #Ha #Ht1
  92    cases H
  93     [* #t2 * #Ht2 lapply (Ht2 … Ht1)
  94      * #c1 * #rs1 * * #H1 #H2 #H3 #H4 % [2: //]
  95      #Ha >H1 whd in match (hd ???); >H3 #H destruct (H)
  96     |lapply Ht1 -Ht1 cases rs
  97       [#Ht1 * #t2 * * #_ #Ht2 lapply (Ht2 … Ht1) -Ht2 #Ht2
  98        whd in ⊢ (%→?); #Htout % [//] *
  99         [>Ha [#H destruct (H)| >Ht1 %]
 100         |whd in ⊢ (??%?→?); >blank_all_blanks whd in ⊢ (??%?→?);
 101          #H destruct (H)
 102         ]
 103       |#c #rs1 #Ht1 * #t2 * * #Ht2 #_ lapply (Ht2 … Ht1) -Ht2 *
 104        #Ht2 whd in ⊢ (??%?→?); #Hnb whd in ⊢ (%→?); #Htout % [//] *
 105         [>Ha [#H destruct (H)| >Ht1 %]
 106         |whd in ⊢ (??%?→?); whd in match (hd ???); >Hnb whd in ⊢ (??%?→?);
 107          #H destruct (H)
 108         ]
 109       ]
 110     ]
 111   ]
 112 qed.
 113
 114 definition move_R_i ≝ λA,sig,n,i.
 115   guarded_M ? (S n) i (mtiL A sig n i).
 116
 117 definition Rmove_R_i ≝ λA,sig,n,i.
 118   R_guarded_M ? (S n) i (Rmtil A sig n i).
 119
 120 (**************************** Vector Operations *******************************)
 121
 122 let rec resize A (l:list A) i d on i ≝
 123   match i with
 124   [ O ⇒ [ ]
 125   | S j ⇒ (hd ? l d)::resize A (tail ? l) j d
 126   ].
 127
 128 lemma length_resize : ∀A,l,i,d. |resize A l i d| = i.
 129 #A #l #i lapply l -l elim i
 130   [#l #d %
 131   |#m #Hind #l cases l
 132     [#d normalize @eq_f @Hind
 133     |#a #tl #d normalize @eq_f @Hind
 134     ]
 135   ]
 136 qed.
 137
 138 lemma resize_id : ∀A,n,l,d. |l| = n →
 139   resize A l n d = l.
 140 #A #n elim n
 141   [#l #d #H >(lenght_to_nil … H) //
 142   |#m #Hind * #d normalize
 143     [#H destruct |#a #tl #H @eq_f @Hind @injective_S // ]
 144   ]
 145 qed.
 146
 147 definition resize_vec :∀A,n.Vector A n → ∀i.A→Vector A i.
 148 #A #n #a #i #d @(mk_Vector A i (resize A a i d) ) @length_resize
 149 qed.
 150
 151 axiom nth_resize_vec :∀A,n.∀v:Vector A n.∀d,i,j. i < j →i < n →
 152   nth i ? (resize_vec A n v j d) d = nth i ? v d.
 153
 154 lemma resize_vec_id : ∀A,n.∀v:Vector A n.∀d.
 155   resize_vec A n v n d = v.
 156 #A #n #v #d @(eq_vec … d) #i #ltin @nth_resize_vec //
 157 qed.
 158
 159 definition vec_single: ∀A,a. Vector A 1 ≝ λA,a.
 160   mk_Vector A 1 [a] (refl ??).
 161
 162 definition vec_cons_right : ∀A.∀a:A.∀n. Vector A n → Vector A (S n).
 163 #A #a #n #v >(plus_n_O n) >plus_n_Sm @(vec_append … v (vec_single A a))
 164 >length_append >(len A n v) //
 165 qed.
 166
 167 lemma eq_cons_right : ∀A,a1,a2.∀n.∀v1,v2:Vector A n.
 168   a1 = a2 → v1 = v2 → vec_cons_right A a1 n v1 = vec_cons_right A a2 n v2.
 169 // qed.
 170
 171 axiom nth_cons_right_n: ∀A.∀a:A.∀n.∀v:Vector A n.∀d.
 172   nth n ? (vec_cons_right A a n v) d = a.
 173
 174 axiom nth_cons_right_lt: ∀A.∀a:A.∀n.∀v:Vector A n.∀d.∀i. i < n →
 175   nth i ? (vec_cons_right A a n v) d = nth i ? v d.
 176 (*
 177 #A #a #n elim n
 178   [#v #d >(vector_nil … v) //
 179   |#m #Hind #v #d >(vec_expand … v) whd in ⊢ (??%?);
 180    whd in match (vec_cons_right ????);
 181 *)
 182
 183 axiom resize_cons_right: ∀A.∀a:A.∀n.∀v:Vector A n.∀d.
 184   resize_vec ? (S n) (vec_cons_right A a n v) n d = v.
 185 (*************************** readback of the tape *****************************)
 186
 187 definition opt_cur ≝ λsig,a.
 188   if a == blank sig then None ? else Some ? a.
 189
 190 definition rb_trace ≝ λsig,ls,a,rs.
 191   mk_tape ? (to_blank ? ls) (opt_cur sig a) (to_blank ? rs).
 192
 193 lemma rb_trace_def: ∀sig,ls,a,rs.
 194   rb_trace sig ls a rs =
 195     mk_tape ? (to_blank ? ls) (opt_cur sig a) (to_blank ? rs).
 196 // qed.
 197
 198 definition rb_trace_i ≝ λsig,n,ls,a,rs,i.
 199   rb_trace sig (trace ? n i ls) (nth i ? a (blank ?)) (trace ? n i rs).
 200
 201 lemma rb_trace_i_def: ∀sig,n,ls,a,rs,i.
 202   rb_trace_i sig n ls a rs i =
 203     rb_trace sig (trace ? n i ls) (nth i ? a (blank ?)) (trace ? n i rs).
 204 // qed.
 205
 206 (*
 207 definition readback :∀sig,n,ls,a,rs,i.Vector (tape (sig_ext sig)) i ≝
 208 vec_map (rb_trace_i *)
 209
 210 lemma orb_false_l: ∀b1,b2:bool.
 211   (b1 ∨ b2) = false → (b1 = false) ∧ (b2 = false).
 212 * * normalize /2/ qed.
 213
 214 lemma no_blank_true_to_not_blank: ∀sig,n,a,i.
 215   (not_blank sig n i a = true) → nth i ? (vec … n a) (blank sig) ≠ blank ?.
 216 #sig #n #a #i #H @(not_to_not … (eqnot_to_noteq … false H))
 217 -H #H normalize >H %
 218 qed.
 219
 220 lemma rb_move_R : ∀A,sig,n,ls,a,rs,outt,i.
 221   (∀i.regular_trace (TA A sig) (S n) a ls rs i) →
 222   is_head ?? (nth n ? (vec … a) (blank ?)) = true →
 223   no_head_in … ls →
 224   no_head_in … rs →
 225   Rmove_R_i … i (midtape ? ls a rs) outt →
 226   ∃ls1,a1,rs1.
 227    outt = midtape ? ls1 a1 rs1 ∧
 228    (∀i.regular_trace (TA A sig) (S n) a1 ls1 rs1 i) ∧
 229    rb_trace_i ? (S n) ls1 (vec … a1) rs1 i =
 230      tape_move ? (rb_trace_i ? (S n) ls (vec … a) rs i) R ∧
 231    ∀j. j ≤ n → j ≠ i →
 232     rb_trace_i ? (S n) ls1 (vec … a1) rs1 j =
 233       rb_trace_i ? (S n) ls (vec … a) rs j.
 234 #A #sig #n #ls #a #rs #outt #i #Hreg #Hha #Hhls #Hhrs #Hmove
 235 lapply (Hmove … (refl …)) -Hmove * #HMove1 #HMove2
 236 cases (true_or_false (not_blank ? (S n) i a ∨
 237         not_blank ? (S n) i (hd ? rs (all_blanks ? (S n)))))
 238   [2: #Hcase cases (orb_false_l … Hcase) -Hcase #Hb1 #Hb2
 239    lapply (HMove1 … Hb1 Hb2) #Hout %{ls} %{a} %{rs}
 240    %[%[%[@sym_eq @Hout |@Hreg]
 241       |>rb_trace_i_def
 242        cut (nth i ? (vec … a) (blank ?) = blank ?)
 243         [@(\P ?) @injective_notb @Hb1] #Ha >Ha
 244        >rb_trace_def whd in match (opt_cur ??);
 245        cut (to_blank ? (trace ? (S n) i rs) = [])
 246         [@daemon] #Hrs >Hrs
 247        cases (to_blank ? (trace ? (S n) i ls)) //
 248       ]
 249     |//]
 250   |-HMove1 #Hb
 251    lapply(HMove2 (orb_true_l … Hb) … (refl …) Hha Hreg ? Hhls Hhrs) -HMove2
 252     [#Hb1 lapply Hb -Hb  whd in match (not_blank ? (S n) i a);
 253      >Hb1 #H @no_blank_true_to_not_blank @H]
 254    * #ls1 * #a1 * #rs1 * * * * * #H1 #H2 #H3 #H4 #H5 #H6
 255    %{ls1} %{a1} %{rs1}
 256    %[%[%[@H1|@H2]
 257       |(* either a is blank or not *)
 258        cases (true_or_false (not_blank ? (S n) i a)) #Hba
 259         [(* a not blank *)
 260          >rb_trace_i_def >rb_trace_def <to_blank_i_def >H5 >to_blank_cons_nb
 261           [2: @no_blank_true_to_not_blank //]
 262          lapply H6 -H6 #Hrs >(rb_trace_i_def … rs i) >rb_trace_def
 263          <(to_blank_i_def … rs) <Hrs
 264          cut (opt_cur ? (nth i ? (vec … a) (blank ?)) =
 265               Some ? (nth i ? (vec … a) (blank ?))) [@daemon] #Ha >Ha
 266          (* either a1 is blank or not *)
 267          cases (true_or_false (not_blank ? (S n) i a1)) #Hba1
 268           [cut (opt_cur ? (nth i ? (vec … a1) (blank ?)) =
 269                 Some ? (nth i ? (vec … a1) (blank ?))) [@daemon] #Ha1 >Ha1
 270            >to_blank_cons_nb [%|@(\Pf ?) @injective_notb @Hba1]
 271           |cut (opt_cur ? (nth i ? (vec … a1) (blank ?)) = None ?) [@daemon]
 272            #Ha1 >Ha1
 273            cut (to_blank_i … i (a1::rs1) = [ ]) [@daemon] #Ha1rs1 >Ha1rs1
 274            cut (to_blank_i … i rs1 = [ ]) [@daemon] #Hrs1 <to_blank_i_def >Hrs1 %
 275           ]
 276         |>rb_trace_i_def >rb_trace_def <to_blank_i_def (* >H5 >to_blank_cons_nb *)
 277          >rb_trace_i_def >rb_trace_def <(to_blank_i_def … rs) <H6 >H5
 278          cut (to_blank_i … i (a::ls) = [ ]) [@daemon] #Hals >Hals
 279          cut (to_blank_i … i ls = [ ]) [@daemon] #Hls <(to_blank_i_def … ls) >Hls
 280          cut (opt_cur ? (nth i ? (vec … a) (blank ?)) = None ?) [@daemon] #Ha >Ha
 281          cut (nth i ? (vec … a1) (blank ?) ≠ blank ?) [@daemon] #Ha1
 282          >(to_blank_cons_nb … Ha1)
 283          cut (opt_cur ? (nth i ? (vec … a1) (blank ?)) =
 284               Some ? (nth i ? (vec … a1) (blank ?))) [@daemon] -Ha1 #Ha1 >Ha1 %
 285         ]
 286       ]
 287     |(* case j ≠ i *)
 288      #j #Hle #Hneq >rb_trace_i_def >rb_trace_i_def >rb_trace_def >rb_trace_def
 289      <(to_blank_i_def … rs) <(to_blank_i_def … rs1) >(H4 j Hle Hneq)
 290      cut ((to_blank_i ? (S n) j ls1 = to_blank_i ? (S n) j ls) ∧
 291           (opt_cur ? (nth j ? (vec … a1) (blank ?)) =
 292            opt_cur ? (nth j ? (vec … a) (blank ?))))
 293       [@daemon] * #H7 #H8 <to_blank_i_def >H7 >H8 //
 294     ]
 295   ]
 296 qed.
 297
 298 definition Rmove_R_i_rb ≝ λA,sig,n,i,t1,t2.
 299 ∀ls,a,rs.
 300   t1 = midtape ? ls a rs →
 301   (∀i.regular_trace (TA A sig) (S n) a ls rs i) →
 302   is_head ?? (nth n ? (vec … a) (blank ?)) = true →
 303   no_head_in … ls →
 304   no_head_in … rs →
 305   ∃ls1,a1,rs1.
 306    t2 = midtape (MTA A sig (S n)) ls1 a1 rs1 ∧
 307    (∀i.regular_trace (TA A sig) (S n) a1 ls1 rs1 i) ∧
 308    rb_trace_i ? (S n) ls1 (vec … a1) rs1 i =
 309      tape_move ? (rb_trace_i ? (S n) ls (vec … a) rs i) R ∧
 310    ∀j. j ≤ n → j ≠ i →
 311     rb_trace_i ? (S n) ls1 (vec … a1) rs1 j =
 312       rb_trace_i ? (S n) ls (vec … a) rs j.
 313
 314 lemma sem_move_R_i : ∀A,sig,n,i.i < n →
 315   move_R_i A sig n i ⊨ Rmove_R_i_rb A sig n i.
 316 #A #sig #n #i #ltin @(Realize_to_Realize … (Rmove_R_i A sig n i))
 317   [#t1 #t2 #H #ls #a #rs #H1 #H2 #H3 #H4 #H5 @rb_move_R // <H1 //
 318   |@sem_R_guarded @sem_Rmtil //
 319   ]
 320 qed.
 321
 322 (* move_L_i axiomatized *)
 323
 324 axiom move_L_i : ∀A,sig.∀n,i:nat.TM (MTA A sig (S n)).
 325
 326 definition Rmove_L_i_rb ≝ λA,sig,n,i,t1,t2.
 327 ∀ls,a,rs.
 328   t1 = midtape ? ls a rs →
 329   (∀i.regular_trace (TA A sig) (S n) a ls rs i) →
 330   is_head ?? (nth n ? (vec … a) (blank ?)) = true →
 331   no_head_in … ls →
 332   no_head_in … rs →
 333   ∃ls1,a1,rs1.
 334    t2 = midtape (MTA A sig (S n)) ls1 a1 rs1 ∧
 335    (∀i.regular_trace ? (S n) a1 ls1 rs1 i) ∧
 336    rb_trace_i ? (S n) ls1 (vec … a1) rs1 i =
 337      tape_move ? (rb_trace_i ? (S n) ls (vec … a) rs i) L ∧
 338    ∀j. j ≤ n → j ≠ i →
 339     rb_trace_i ? (S n) ls1 (vec … a1) rs1 j =
 340       rb_trace_i ? (S n) ls (vec … a) rs j.
 341
 342 axiom sem_move_L_i : ∀A,sig,n,i.i < n →
 343   move_L_i A sig n i ⊨ Rmove_L_i_rb A sig n i.
 344
 345 (*
 346 lemma rb_move_L : ∀sig,n,ls,a,rs,outt,i.
 347   (∀i.regular_trace sig n a ls rs i) →
 348   nth n ? (vec … a) (blank ?) = head ? →
 349   no_head_in … ls →
 350   no_head_in … rs →
 351   Rmove_L_i … i (midtape ? ls a rs) outt →
 352   ∃ls1,a1,rs1.
 353    outt = midtape ? ls1 a1 rs1 ∧
 354    rb_trace_i sig n ls1 (vec … a1) rs1 i =
 355      tape_move ? (rb_trace_i sig n ls (vec … a) rs i) L ∧
 356    ∀j. j ≤n → j ≠ i →
 357     rb_trace_i sig n ls1 (vec … a1) rs1 j =
 358       rb_trace_i sig n ls (vec … a) rs j. *)
 359
 360 (* The following function read a move from  a vector of moves and executes it *)
 361
 362 (* The head character contains a state and a sequence of moves *)
 363
 364 definition HC ≝ λQ,n.FinProd Q (FinVector FinMove n).
 365
 366 let rec all_N n on n : FinVector FinMove n ≝
 367   match n with
 368   [ O ⇒ Vector_of_list ? []
 369   | S m ⇒ vec_cons ? N m (all_N m)
 370   ].
 371
 372 definition get_moves ≝ λQ,sig,n.λa:MTA (HC Q n) sig (S n).
 373   match nth n ? (vec … a) (blank ?) with
 374   [ None ⇒ all_N n
 375   | Some x ⇒ match x with
 376     [inl y ⇒ snd ?? y
 377     |inr y ⇒ all_N n]].
 378
 379 definition get_move ≝ λQ,sig,n.λa:MTA (HC Q n) sig (S n).λi.
 380   nth i ? (vec … (get_moves Q sig n a)) N.
 381
 382 lemma get_moves_cons_right: ∀Q,sig,n,q,moves,a.
 383   get_moves Q sig (S n)
 384     (vec_cons_right ? (Some ? (inl ?? 〈q,moves〉)) (S n) a) = moves.
 385 #Q #sig #n #q #moves #a whd in ⊢(??%?); >nth_cons_right_n //
 386 qed.
 387
 388 definition exec_move_i ≝ λQ,sig,n,i.
 389     (ifTM ? (test_char ? (λa. (get_move Q sig n a i == R)))
 390       (move_R_i (HC Q n) sig n i)
 391       (ifTM ? (test_char ? (λa. (get_move Q sig n a i == L)))
 392         (move_L_i (HC Q n) sig n i)
 393         (nop ?) tc_true) tc_true).
 394
 395 definition R_exec_move_i ≝ λQ,sig,n,i,t1,t2.
 396 ∀a,ls,rs.
 397   t1 = midtape (MTA (HC Q n) sig (S n)) ls a rs →
 398   (∀i.regular_trace ? (S n) a ls rs i) →
 399   is_head ?? (nth n ? (vec … a) (blank ?)) = true →
 400   no_head_in … ls →
 401   no_head_in … rs →
 402   ∃ls1,a1,rs1.
 403    t2 = midtape (MTA (HC Q n) sig (S n)) ls1 a1 rs1 ∧
 404    (∀i.regular_trace ? (S n) a1 ls1 rs1 i) ∧
 405    rb_trace_i ? (S n) ls1 (vec … a1) rs1 i =
 406      tape_move ? (rb_trace_i ? (S n) ls (vec … a) rs i) (get_move Q sig n a i) ∧
 407    ∀j. j ≤ n → j ≠ i →
 408     rb_trace_i ? (S n) ls1 (vec … a1) rs1 j =
 409       rb_trace_i ? (S n) ls (vec … a) rs j.
 410
 411 lemma  tape_move_N: ∀A,t. tape_move A t N = t.
 412 // qed.
 413
 414 lemma sem_exec_move_i: ∀Q,sig,n,i. i < n →
 415   exec_move_i Q sig n i ⊨ R_exec_move_i Q sig n i.
 416 #Q #sig #n #i #ltin
 417 @(sem_if_app … (sem_test_char …)
 418   (sem_move_R_i … ltin)
 419   (sem_if … (sem_test_char …)
 420     (sem_move_L_i … ltin) (sem_nop ?)))
 421 #tin #tout #t1 *
 422   [* * * #c * #Hc #HR #Ht1 #HMR
 423    #a #ls #rs #Htin >Htin in Hc; whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 424     >(\P HR) whd in HMR; @HMR >Ht1 @Htin
 425   |* * #HR #Ht1 >Ht1 *
 426     [* #t2 * * * #c * #Hc #HL #Ht2 #HML
 427      #a #ls #rs #Htin >Htin in Hc; whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 428      >(\P HL) @HML >Ht2 @Htin
 429     |* #t2 * * #HL #Ht2 >Ht2 whd in ⊢ (%→?); #Htout >Htout
 430      #a #ls #rs #Htin >Htin in HR; #HR >Htin in HL; #HL
 431      cut (get_move Q sig n a i = N)
 432       [lapply (HR a (refl … )) lapply (HL a (refl … ))
 433        cases (get_move Q sig n a i) normalize
 434         [#H destruct (H) |#_ #H destruct (H) | //]]
 435      #HN >HN >tape_move_N #Hreg #_ #_ #_
 436      %{ls} %{a} %{rs}
 437      %[%[%[%|@Hreg] |%] | //]
 438     ]
 439   ]
 440 qed.
 441
 442 axiom reg_inv : ∀A,sig,n,a,ls,rs,a1,ls1,rs1.
 443   regular_trace (TA A sig) (S n) a1 ls1 rs1 n →
 444   (rb_trace_i ? (S n) ls1 (vec … a1) rs1 n =
 445       rb_trace_i ? (S n) ls (vec  …  a) rs n) →
 446   is_head ?? (nth n ? (vec … (S n) a) (blank ?)) = true →
 447   no_head_in … ls →
 448   no_head_in … rs →
 449   is_head ?? (nth n ? (vec … a1) (blank ?)) = true ∧
 450   no_head_in … ls1 ∧ no_head_in … rs1.
 451
 452
 453
 454
 455
 456
 457
 458
 459
 460
 461
 462
 463