matita/matita/lib/turing/multi_universal/binaryTM.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/mono.ma".
  16
  17 (* given a FinSet F:
  18    - get its cardinality
  19    - return its nth element
  20    - return the index of a given element
  21  *)
  22 axiom FS_crd : FinSet → nat.
  23 axiom FS_nth : ∀F:FinSet.nat → option F.
  24 axiom index_of_FS : ∀F:FinSet.F → nat.
  25
  26 (* unary bit representation (with a given length) of a certain number *)
  27 axiom unary_of_nat : nat → nat → (list bool).
  28
  29 axiom FinVector : Type[0] → nat → FinSet.
  30
  31 definition binary_base_states ≝ initN 6.
  32
  33 definition bin0 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 6 (refl …)).
  34 definition bin1 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 6 (refl …)).
  35 definition bin2 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 6 (refl …)).
  36 definition bin3 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 3 (leb_true_to_le 4 6 (refl …)).
  37 definition bin4 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 4 (leb_true_to_le 5 6 (refl …)).
  38 definition bin5 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 5 (leb_true_to_le 6 6 (refl …)).
  39
  40 definition states_binaryTM : FinSet → FinSet → FinSet ≝ λsig,states.
  41  FinProd (FinProd states binary_base_states)
  42          (FinProd (FinOption sig) (initN (S (2 * (FS_crd sig))))).
  43
  44 axiom daemon : ∀T:Type[0].T.
  45
  46 definition to_initN : ∀n,m.n < m → initN m ≝ λn,m,Hn.mk_Sig … n ….// qed.
  47
  48 definition initN_pred : ∀n.∀m:initN n.initN n ≝ λn,m.mk_Sig … (pred (pi1 … m)) ….
  49 cases m #m0 /2 by le_to_lt_to_lt/ qed.
  50
  51 (* controllare i contatori, molti andranno incrementati di uno *)
  52 definition trans_binaryTM : ∀sig,states:FinSet.
  53   (states × (option sig) → states × (option sig) × move) →
  54   ((states_binaryTM sig states) × (option bool) →
  55    (states_binaryTM sig states) × (option bool) × move)
  56 ≝ λsig,states,trans,p.
  57   let 〈s,a〉 ≝ p in
  58   let 〈s0,phase,ch,count〉 ≝ s in
  59   let (H1 : O < S (2*FS_crd sig)) ≝ ? in
  60   let (H2 : FS_crd sig < S (2*FS_crd sig)) ≝ ? in
  61   match pi1 … phase with
  62   [ O ⇒ (*** PHASE 0: read ***)
  63       match a with
  64       [ Some a0 ⇒
  65         match pi1 … count with
  66         [ O ⇒ 〈〈s0,bin1,ch,to_initN (FS_crd sig) ? H2〉,None ?,N〉
  67         | S k ⇒ if (a0 == true)
  68                 then 〈〈s0,bin0,FS_nth sig k,initN_pred … count〉, None ?,R〉
  69                 else 〈〈s0,bin0,ch,initN_pred … count〉,None ?,R〉 ]
  70       | None ⇒ (* Overflow position! *)
  71           〈〈s0,bin4,None ?,to_initN 0 ? H1〉,None ?,R〉 ]
  72   | S phase ⇒ match phase with
  73   [ O ⇒ (*** PHASE 1: restart ***)
  74       match pi1 … count with
  75       [ O ⇒ 〈〈s0,bin2,ch,to_initN (FS_crd sig) ? H2〉,None ?,N〉
  76       | S k ⇒ 〈〈s0,bin1,ch,initN_pred … count〉,None ?,L〉 ]
  77   | S phase ⇒ match phase with
  78   [ O ⇒ (*** PHASE 2: write ***)
  79       let 〈s',a',mv〉 ≝ trans 〈s0,ch〉 in
  80       match pi1 … count with
  81       [ O ⇒ let mv' ≝ match mv with [ R ⇒ N | _ ⇒ L ] in
  82             let count' ≝ match mv with [ R ⇒ 0 | N ⇒ FS_crd sig | L ⇒ 2*(FS_crd sig) ] in
  83              〈〈s',bin3,ch,to_initN count' ??〉,None ?,mv'〉
  84       | S k ⇒ match a' with
  85          [ None ⇒ 〈〈s0,bin2,ch,initN_pred … count〉,None ?,R〉
  86          | Some a0' ⇒ let out ≝ (FS_nth ? k == a') in
  87                       〈〈s0,bin2,ch,initN_pred … count〉,Some ? out,R〉 ]
  88       ]
  89   | S phase ⇒ match phase with
  90   [ O ⇒ (*** PHASE 3: move head left ***)
  91       match pi1 … count with
  92       [ O ⇒ 〈〈s0,bin0,None ?,to_initN (FS_crd sig) ? H2〉, None ?,N〉 (* the end: restart *)
  93       | S k ⇒ 〈〈s0,bin3,ch,initN_pred … count〉, None ?,L〉 ]
  94   | S phase ⇒ match phase with
  95   [ O ⇒ (*** PHASE 4: check position ***)
  96       match a with
  97       [ None ⇒ (* niltape/rightof: we can write *) 〈〈s0,bin2,ch,to_initN (FS_crd sig) ? H2〉,None ?,N〉
  98       | Some _ ⇒ (* leftof *)
  99         let 〈s',a',mv〉 ≝ trans 〈s0,ch〉 in
 100         match a' with
 101         [ None ⇒ (* we don't write anything: go to end of 2 *) 〈〈s0,bin2,ch,to_initN 0 ? H1〉,None ?,N〉
 102         | Some _ ⇒ (* extend tape *) 〈〈s0,bin5,ch,to_initN (FS_crd sig) ? H2〉,None ?,L〉 ]
 103       ]
 104   | S _ ⇒ (*** PHASE 5: left extension ***)
 105       match pi1 … count with
 106       [ O ⇒ 〈〈s0,bin2,ch,to_initN (FS_crd sig) ? H2〉,None ?,N〉
 107       | S k ⇒ 〈〈s0,bin5,ch,initN_pred … count〉,Some ? false,L〉 ]]]]]].
 108 [2,3: //]
 109 whd in match count'; cases mv whd in ⊢ (?%?); //
 110 qed.
 111
 112 definition halt_binaryTM : ∀sig,M.states_binaryTM sig (states sig M) → bool ≝
 113   λsig,M,s.let 〈s0,phase,ch,count〉 ≝ s in
 114   pi1 … phase == O ∧ halt sig M s0.
 115
 116 (*
 117  * Una mk_binaryTM prende in input una macchina M e produce una macchina che:
 118  * - ha per alfabeto FinBool
 119  * - ha stati di tipo ((states … M) × (initN 7)) ×
 120        ((option sig) × (initN (2*dimensione dell'alfabeto di M + 1))
 121  *   dove il primo elemento corrisponde allo stato della macchina input,
 122  *   il secondo identifica la fase (lettura, scrittura, spostamento)
 123  *   il terzo identifica il carattere oggetto letto
 124  *   il quarto è un contatore
 125  * - la funzione di transizione viene prodotta da trans_binaryTM
 126  * - la funzione di arresto viene prodotta da halt_binaryTM
 127  *)
 128 definition mk_binaryTM ≝
 129   λsig.λM:TM sig.
 130   mk_TM FinBool (states_binaryTM sig (states sig M))
 131     (trans_binaryTM sig (states sig M) (trans sig M))
 132     (〈start sig M,bin0,None ?,FS_crd sig〉) (halt_binaryTM sig M).// qed.
 133
 134 definition bin_current ≝ λsig,t.match current ? t with
 135 [ None ⇒ [ ] | Some c ⇒ unary_of_nat (FS_crd sig) (index_of_FS sig c) ].
 136
 137 definition tape_bin_lift ≝ λsig,t.
 138 let ls' ≝ flatten ? (map ?? (unary_of_nat (FS_crd sig) ∘ (index_of_FS sig)) (left ? t)) in
 139 let c' ≝ option_hd ? (bin_current sig t) in
 140 let rs' ≝ tail ? (bin_current sig t)@flatten ? (map ?? (unary_of_nat (FS_crd sig) ∘ (index_of_FS sig)) (right ? t)) in
 141  mk_tape ? ls' c' rs'.
 142
 143 definition R_bin_lift ≝ λsig,R,t1,t2.
 144   ∃u1.t1 = tape_bin_lift sig u1 →
 145   ∃u2.t2 = tape_bin_lift sig u2 ∧ R u1 u2.
 146
 147 definition state_bin_lift :
 148   ∀sig.∀M:TM sig.states sig M → states ? (mk_binaryTM ? M)
 149  ≝ λsig,M,q.〈q,bin0,None ?,FS_crd sig〉.// qed.
 150
 151 lemma binaryTM_loop :
 152  ∀sig,M,i,t,q,tf,qf.
 153  loopM sig M i (mk_config ?? q t) = Some ? (mk_config ?? qf tf) →
 154  ∃k.loopM ? (mk_binaryTM sig M) k
 155   (mk_config ?? (state_bin_lift ? M q) (tape_bin_lift ? t)) =
 156   Some ? (mk_config ?? (state_bin_lift ? M qf) (tape_bin_lift ? tf)).
 157 #sig #M #i elim i
 158 [ #t #q #qf #tf change with (None ?) in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 159 | -i #i #IH #t #q #tf #qf
 160
 161
 162 (*
 163 theorem sem_binaryTM : ∀sig,M.
 164   mk_binaryTM sig M ⊫ R_bin_lift ? (R_TM ? M (start ? M)).
 165 #sig #M #t #i generalize in match t; -t
 166 @(nat_elim1 … i) #m #IH #intape #outc #Hloop
 167
 168 *)