matita/matita/lib/turing/multi_universal/binaryTM.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/mono.ma".
  16
  17 (* given a FinSet F:
  18    - get its cardinality
  19    - return its nth element
  20    - return the index of a given element
  21  *)
  22 axiom FS_crd : FinSet → nat.
  23 axiom FS_nth : ∀F:FinSet.nat → option F.
  24 axiom index_of_FS : ∀F:FinSet.F → nat.
  25
  26 (* unary bit representation (with a given length) of a certain number *)
  27 axiom unary_of_nat : nat → nat → nat.
  28
  29 axiom FinVector : Type[0] → nat → FinSet.
  30
  31 definition binary_base_states ≝ initN 7.
  32
  33 definition bin0 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 7 (refl …)).
  34 definition bin1 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 7 (refl …)).
  35 definition bin2 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 7 (refl …)).
  36 definition bin3 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 3 (leb_true_to_le 4 7 (refl …)).
  37 definition bin4 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 4 (leb_true_to_le 5 7 (refl …)).
  38 definition bin5 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 5 (leb_true_to_le 6 7 (refl …)).
  39 definition bin6 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 6 (leb_true_to_le 7 7 (refl …)).
  40
  41 definition states_binaryTM : FinSet → FinSet → FinSet ≝ λsig,states.
  42  FinProd (FinProd states binary_base_states)
  43          (FinProd (FinOption sig) (initN (2 * (FS_crd sig)))).
  44
  45 axiom daemon : ∀T:Type[0].T.
  46
  47 (* controllare i contatori, molti andranno incrementati di uno *)
  48 definition trans_binaryTM : ∀sig,states:FinSet.
  49   (states × (option sig) → states × (option sig) × move) →
  50   ((states_binaryTM sig states) × (option bool) →
  51    (states_binaryTM sig states) × (option bool) × move)
  52 ≝ λsig,states,trans,p.
  53   let 〈s,a〉 ≝ p in
  54   let 〈s0,phase,ch,count〉 ≝ s in
  55   match pi1 … phase with
  56   [ O ⇒ (*** PHASE 0: read ***)
  57       match a with
  58       [ Some a0 ⇒
  59         match count with
  60         [ O ⇒ 〈〈s0,1,ch,FS_crd sig〉,None ?,N〉
  61         | S k ⇒ if (a0 == true)
  62                 then 〈〈s0,0,FS_nth sig k,k〉, None ?,R〉
  63                 else 〈〈s0,0,ch,k〉,None ?,R〉 ]
  64       | None ⇒ (* Overflow position! *)
  65           〈〈s0,4,None ?,0〉,None ?,R〉 ]
  66   | S phase ⇒ match phase with
  67   [ O ⇒ (*** PHASE 1: restart ***)
  68       match count with
  69       [ O ⇒ 〈〈s0,2,ch,FS_crd sig〉,None ?,N〉
  70       | S k ⇒ 〈〈s0,1,ch,k〉,None ?,L〉 ]
  71   | S phase ⇒ match phase with
  72   [ O ⇒ (*** PHASE 2: write ***)
  73       let 〈s',a',mv〉 ≝ trans 〈s0,ch〉 in
  74       match count with
  75       [ O ⇒ let mv' ≝ match mv with [ R ⇒ N | _ ⇒ L ] in
  76             let count' ≝ match mv with [ R ⇒ 0 | N ⇒ FS_crd sig | L ⇒ 2*(FS_crd sig) ] in
  77              〈〈s',3,ch,count'〉,None ?,mv'〉
  78       | S k ⇒ match a' with
  79          [ None ⇒ 〈〈s0,2,ch,k〉,None ?,R〉
  80          | Some a0' ⇒ let out ≝ (FS_nth k == a') in
  81                       〈〈s0,2,ch,k〉,Some ? out,R〉 ]
  82       ]
  83   | S phase ⇒ match phase with
  84   [ O ⇒ (*** PHASE 3: move head left ***)
  85       match count with
  86       [ O ⇒ 〈〈s0,6,ch,O〉, None ?,N〉
  87       | S k ⇒ 〈〈s0,3,ch,k〉, None ?,L〉 ]
  88   | S phase ⇒ match phase with
  89   [ O ⇒ (*** PHASE 4: check position ***)
  90       match a with
  91       [ None ⇒ (* niltape/rightof: we can write *) 〈〈s0,2,ch,FS_crd sig〉,None ?,N〉
  92       | Some _ ⇒ (* leftof *)
  93         let 〈s',a',mv〉 ≝ trans 〈s0,ch〉 in
  94         match a' with
  95         [ None ⇒ (* we don't write anything: go to end of 2 *) 〈〈s0,2,ch,0〉,None ?,N〉
  96         | Some _ ⇒ (* extend tape *) 〈〈s0,5,ch,FS_crd sig〉,None ?,L〉 ]
  97       ]
  98   | S phase ⇒ match phase with
  99   [ O ⇒ (*** PHASE 5: left extension ***)
 100       match count with
 101       [ O ⇒ 〈〈s0,2,ch,FS_crd sig〉,None ?,N〉
 102       | S k ⇒ 〈〈s0,5,ch,k〉,Some ? false,L〉 ]
 103   | S _ ⇒ (*** PHASE 6: stop ***) 〈s,None ?,N〉 ]]]]]].
 104
 105 (*
 106  * Una mk_binaryTM prende in input una macchina M e produce una macchina che:
 107  * - ha per alfabeto FinBool
 108  * - ha stati di tipo (states … M) × (initN 3) × (initN (dimensione dell'alfabeto di M))
 109  *   dove il primo elemento corrisponde allo stato della macchina input,
 110  *   il secondo identifica la fase (lettura, scrittura, spostamento)
 111  *   il terzo è un contatore
 112  * - (la funzione di transizione è complessa al punto di rendere discutibile
 113  *)
 114 definition mk_binaryTM ≝
 115   λsig.λM:TM sig.mk_TM FinBool (FinProd (states … M) (FinProd (initN 3) (initN
 116 { no_states : nat;
 117   pos_no_states : (0 < no_states);
 118   ntrans : trans_source no_states → trans_target no_states;
 119   nhalt : initN no_states → bool
 120 }.