matita/matita/lib/turing/multi_universal/binaryTM.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/mono.ma".
  16
  17 (* given a FinSet F:
  18    - get its cardinality
  19    - return its nth element
  20    - return the index of a given element
  21  *)
  22 axiom FS_crd : FinSet → nat.
  23 axiom FS_nth : ∀F:FinSet.nat → option F.
  24 axiom index_of_FS : ∀F:FinSet.F → nat.
  25
  26 (* unary bit representation (with a given length) of a certain number *)
  27 axiom unary_of_nat : nat → nat → (list bool).
  28
  29 axiom FinVector : Type[0] → nat → FinSet.
  30
  31 definition binary_base_states ≝ initN 6.
  32
  33 definition bin0 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 6 (refl …)).
  34 definition bin1 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 6 (refl …)).
  35 definition bin2 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 6 (refl …)).
  36 definition bin3 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 3 (leb_true_to_le 4 6 (refl …)).
  37 definition bin4 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 4 (leb_true_to_le 5 6 (refl …)).
  38 definition bin5 : binary_base_states ≝ mk_Sig ?? 5 (leb_true_to_le 6 6 (refl …)).
  39
  40 definition states_binaryTM : FinSet → FinSet → FinSet ≝ λsig,states.
  41  FinProd (FinProd states binary_base_states)
  42          (FinProd (FinOption sig) (initN (S (2 * (FS_crd sig))))).
  43
  44 axiom daemon : ∀T:Type[0].T.
  45
  46 definition to_initN : ∀n,m.n < m → initN m ≝ λn,m,Hn.mk_Sig … n ….// qed.
  47
  48 definition initN_pred : ∀n.∀m:initN n.initN n ≝ λn,m.mk_Sig … (pred (pi1 … m)) ….
  49 cases m #m0 /2 by le_to_lt_to_lt/ qed.
  50
  51 (* controllare i contatori, molti andranno incrementati di uno *)
  52 definition trans_binaryTM : ∀sig,states:FinSet.
  53   (states × (option sig) → states × (option sig) × move) →
  54   ((states_binaryTM sig states) × (option bool) →
  55    (states_binaryTM sig states) × (option bool) × move)
  56 ≝ λsig,states,trans,p.
  57   let 〈s,a〉 ≝ p in
  58   let 〈s0,phase,ch,count〉 ≝ s in
  59   let (H1 : O < S (2*FS_crd sig)) ≝ ? in
  60   let (H2 : FS_crd sig < S (2*FS_crd sig)) ≝ ? in
  61   match pi1 … phase with
  62   [ O ⇒ (*** PHASE 0: read ***)
  63       match pi1 … count with
  64       [ O ⇒ 〈〈s0,bin1,ch,to_initN (FS_crd sig) ? H2〉,None ?,N〉
  65       | S k ⇒ match a with
  66         [ Some a0 ⇒ if (a0 == true)
  67                     then 〈〈s0,bin0,FS_nth sig k,initN_pred … count〉, None ?,R〉
  68                     else 〈〈s0,bin0,ch,initN_pred … count〉,None ?,R〉
  69         | None ⇒ (* Overflow position! *)
  70           〈〈s0,bin4,None ?,to_initN 0 ? H1〉,None ?,R〉 ] ]
  71   | S phase ⇒ match phase with
  72   [ O ⇒ (*** PHASE 1: restart ***)
  73       match pi1 … count with
  74       [ O ⇒ 〈〈s0,bin2,ch,to_initN (FS_crd sig) ? H2〉,None ?,N〉
  75       | S k ⇒ 〈〈s0,bin1,ch,initN_pred … count〉,None ?,L〉 ]
  76   | S phase ⇒ match phase with
  77   [ O ⇒ (*** PHASE 2: write ***)
  78       let 〈s',a',mv〉 ≝ trans 〈s0,ch〉 in
  79       match pi1 … count with
  80       [ O ⇒ let mv' ≝ match mv with [ R ⇒ N | _ ⇒ L ] in
  81             let count' ≝ match mv with [ R ⇒ 0 | N ⇒ FS_crd sig | L ⇒ 2*(FS_crd sig) ] in
  82              〈〈s',bin3,ch,to_initN count' ??〉,None ?,mv'〉
  83       | S k ⇒ match a' with
  84          [ None ⇒ 〈〈s0,bin2,ch,initN_pred … count〉,None ?,R〉
  85          | Some a0' ⇒ let out ≝ (FS_nth ? k == a') in
  86                       〈〈s0,bin2,ch,initN_pred … count〉,Some ? out,R〉 ]
  87       ]
  88   | S phase ⇒ match phase with
  89   [ O ⇒ (*** PHASE 3: move head left ***)
  90       match pi1 … count with
  91       [ O ⇒ 〈〈s0,bin0,None ?,to_initN (FS_crd sig) ? H2〉, None ?,N〉 (* the end: restart *)
  92       | S k ⇒ 〈〈s0,bin3,ch,initN_pred … count〉, None ?,L〉 ]
  93   | S phase ⇒ match phase with
  94   [ O ⇒ (*** PHASE 4: check position ***)
  95       match a with
  96       [ None ⇒ (* niltape/rightof: we can write *) 〈〈s0,bin2,ch,to_initN (FS_crd sig) ? H2〉,None ?,N〉
  97       | Some _ ⇒ (* leftof *)
  98         let 〈s',a',mv〉 ≝ trans 〈s0,ch〉 in
  99         match a' with
 100         [ None ⇒ (* we don't write anything: go to end of 2 *) 〈〈s0,bin2,ch,to_initN 0 ? H1〉,None ?,N〉
 101         | Some _ ⇒ (* extend tape *) 〈〈s0,bin5,ch,to_initN (FS_crd sig) ? H2〉,None ?,L〉 ]
 102       ]
 103   | S _ ⇒ (*** PHASE 5: left extension ***)
 104       match pi1 … count with
 105       [ O ⇒ 〈〈s0,bin2,ch,to_initN (FS_crd sig) ? H2〉,None ?,N〉
 106       | S k ⇒ 〈〈s0,bin5,ch,initN_pred … count〉,Some ? false,L〉 ]]]]]].
 107 [2,3: //]
 108 whd in match count'; cases mv whd in ⊢ (?%?); //
 109 qed.
 110
 111 definition halt_binaryTM : ∀sig,M.states_binaryTM sig (states sig M) → bool ≝
 112   λsig,M,s.let 〈s0,phase,ch,count〉 ≝ s in
 113   pi1 … phase == O ∧ halt sig M s0.
 114
 115 (*
 116  * Una mk_binaryTM prende in input una macchina M e produce una macchina che:
 117  * - ha per alfabeto FinBool
 118  * - ha stati di tipo ((states … M) × (initN 7)) ×
 119        ((option sig) × (initN (2*dimensione dell'alfabeto di M + 1))
 120  *   dove il primo elemento corrisponde allo stato della macchina input,
 121  *   il secondo identifica la fase (lettura, scrittura, spostamento)
 122  *   il terzo identifica il carattere oggetto letto
 123  *   il quarto è un contatore
 124  * - la funzione di transizione viene prodotta da trans_binaryTM
 125  * - la funzione di arresto viene prodotta da halt_binaryTM
 126  *)
 127 definition mk_binaryTM ≝
 128   λsig.λM:TM sig.
 129   mk_TM FinBool (states_binaryTM sig (states sig M))
 130     (trans_binaryTM sig (states sig M) (trans sig M))
 131     (〈start sig M,bin0,None ?,FS_crd sig〉) (halt_binaryTM sig M).// qed.
 132
 133 definition bin_char ≝ λsig,ch.unary_of_nat (FS_crd sig) (index_of_FS sig ch).
 134
 135 definition bin_current ≝ λsig,t.match current ? t with
 136 [ None ⇒ [ ] | Some c ⇒ bin_char sig c ].
 137
 138 definition tape_bin_lift ≝ λsig,t.
 139 let ls' ≝ flatten ? (map ?? (bin_char sig) (left ? t)) in
 140 let c' ≝ option_hd ? (bin_current sig t) in
 141 let rs' ≝ tail ? (bin_current sig t)@flatten ? (map ?? (bin_char sig) (right ? t)) in
 142  mk_tape ? ls' c' rs'.
 143
 144 definition R_bin_lift ≝ λsig,R,t1,t2.
 145   ∃u1.t1 = tape_bin_lift sig u1 →
 146   ∃u2.t2 = tape_bin_lift sig u2 ∧ R u1 u2.
 147
 148 definition state_bin_lift :
 149   ∀sig.∀M:TM sig.states sig M → states ? (mk_binaryTM ? M)
 150  ≝ λsig,M,q.〈q,bin0,None ?,FS_crd sig〉.// qed.
 151
 152 lemma lift_halt_binaryTM :
 153   ∀sig,M,q.halt sig M q = halt ? (mk_binaryTM sig M) (state_bin_lift ? M q).
 154 // qed.
 155
 156 lemma binaryTM_bin0_bin1 :
 157   ∀sig,M,t,q,ch.
 158   step ? (mk_binaryTM sig M) (mk_config ?? (〈q,bin0,ch,O〉) t)
 159   = mk_config ?? (〈q,bin1,ch,to_initN (FS_crd sig) ??〉) t. //
 160 qed.
 161
 162 lemma binaryTM_bin0_bin4 :
 163   ∀sig,M,t,q,ch,k.
 164   current ? t = None ? → S k <S (2*FS_crd sig) →
 165   step ? (mk_binaryTM sig M) (mk_config ?? (〈q,bin0,ch,S k〉) t)
 166   = mk_config ?? (〈q,bin4,None ?,to_initN 0 ??〉) (tape_move ? t R). [2,3://]
 167 #sig #M #t #q #ch #k #Hcur #Hk
 168 whd in match (step ???); whd in match (trans ???);
 169 >Hcur %
 170 qed.
 171
 172 lemma binaryTM_bin0_true :
 173   ∀sig,M,t,q,ch,k.
 174   current ? t = Some ? true → S k <S (2*FS_crd sig) →
 175   step ? (mk_binaryTM sig M) (mk_config ?? (〈q,bin0,ch,S k〉) t)
 176   = mk_config ?? (〈q,bin0,FS_nth sig k,to_initN k ??〉) (tape_move ? t R).[2,3:/2 by lt_S_to_lt/]
 177 #sig #M #t #q #ch #k #Hcur #Hk
 178 whd in match (step ???); whd in match (trans ???);
 179 >Hcur %
 180 qed.
 181
 182 lemma binaryTM_bin0_false :
 183   ∀sig,M,t,q,ch,k.
 184   current ? t = Some ? false → S k <S (2*FS_crd sig) →
 185   step ? (mk_binaryTM sig M) (mk_config ?? (〈q,bin0,ch,S k〉) t)
 186   = mk_config ?? (〈q,bin0,ch,to_initN k ??〉) (tape_move ? t R).[2,3:/2 by lt_S_to_lt/]
 187 #sig #M #t #q #ch #k #Hcur #Hk
 188 whd in match (step ???); whd in match (trans ???);
 189 >Hcur %
 190 qed.
 191
 192 (* to be checked *)
 193 axiom binary_to_bin_char :∀sig,csl,csr,a.
 194   csl@true::csr=bin_char sig a → FS_nth ? (length ? csr) = Some ? a.
 195
 196 lemma binaryTM_phase1_midtape_aux :
 197   ∀sig,M,q,ls,a,rs,k.
 198   halt sig M q=false →
 199   ∀csr,csl,t,ch.length ? csr < S (2*FS_crd sig) →
 200   t = mk_tape ? (reverse ? csl@ls) (option_hd ? (csr@rs)) (tail ? (csr@rs)) →
 201   csl@csr = bin_char sig a →
 202   loopM ? (mk_binaryTM sig M) (S (length ? csr) + k)
 203     (mk_config ?? (〈q,bin0,ch,length ? csr〉) t)
 204   = loopM ? (mk_binaryTM sig M) k
 205       (mk_config ?? (〈q,bin1,Some ? a,FS_crd sig〉)
 206         (mk_tape ? (reverse ? (bin_char ? a)@ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs))). [2,3://]
 207 #sig #M #q #ls #a #rs #k #Hhalt #csr elim csr
 208 [ #csl #t #ch #Hlen #Ht >append_nil #Hcsl >loopM_unfold >loop_S_false [|normalize //]
 209   <loopM_unfold @eq_f >binaryTM_bin0_bin1 @eq_f >Ht
 210   whd in match (step ???); whd in match (trans ???); <Hcsl %
 211 | #c cases c
 212   [ #csr0 #IH #csl #t #ch #Hlen #Ht #Heq >loopM_unfold >loop_S_false [|normalize //]
 213     <loopM_unfold lapply (binary_to_bin_char … Heq) #Ha >binaryTM_bin0_true
 214     [| >Ht % ]
 215     lapply (IH (csl@[true]) (tape_move FinBool t R) ????)
 216     [ //
 217     | >Ht whd in match (option_hd ??) in ⊢ (??%?); whd in match (tail ??) in ⊢ (??%?);
 218       cases csr0
 219       [ cases rs
 220         [ normalize >rev_append_def >rev_append_def >reverse_append %
 221         | #r1 #rs1 normalize >rev_append_def >rev_append_def >reverse_append % ]
 222       | #c1 #csr1 normalize >rev_append_def >rev_append_def >reverse_append % ]
 223     | /2/
 224     | @(Some ? a) ]
 225     #H whd in match (plus ??); >Ha >H @eq_f @eq_f2 //
 226
 227 qed.
 228
 229
 230 lemma binaryTM_phase1_midtape :
 231   ∀sig,M,t,q,ls,a,rs,ch.
 232   t = mk_tape ? ls (option_hd ? (bin_char ? a)) (tail ? (bin_char sig a@rs)) →
 233   step ? (mk_binaryTM sig M) (mk_config ?? (〈q,bin0,ch,FS_crd sig〉) t)
 234   = mk_config ?? (〈q,bin1,ch,to_initN (FS_crd sig) ??〉)
 235       (mk_tape ? (reverse ? (bin_char ? a)@ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs)). [2,3://]
 236 #sig #M #t #q #ls #a #rs #ch #Ht
 237 whd in match (step ???); whd in match (trans ???);
 238 >Hcur %
 239 qed.
 240
 241
 242 lemma binaryTM_loop :
 243  ∀sig,M,i,t,q,tf,qf.
 244  loopM sig M i (mk_config ?? q t) = Some ? (mk_config ?? qf tf) →
 245  ∃k.loopM ? (mk_binaryTM sig M) k
 246   (mk_config ?? (state_bin_lift ? M q) (tape_bin_lift ? t)) =
 247   Some ? (mk_config ?? (state_bin_lift ? M qf) (tape_bin_lift ? tf)).
 248 #sig #M #i elim i
 249 [ #t #q #qf #tf change with (None ?) in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 250 | -i #i #IH #t #q #tf #qf
 251   >loopM_unfold
 252   lapply (refl ? (halt sig M (cstate ?? (mk_config ?? q t))))
 253   cases (halt ?? q) in ⊢ (???%→?); #Hhalt
 254   [ >(loop_S_true ??? (λc.halt ?? (cstate ?? c)) (mk_config ?? q t) Hhalt)
 255     #H destruct (H) %{1} >loopM_unfold >loop_S_true // ]
 256   (* interesting case: more than one step *)
 257   >(loop_S_false ??? (λc.halt ?? (cstate ?? c)) (mk_config ?? q t) Hhalt)
 258   <loopM_unfold >(config_expand ?? (step ???)) #Hloop
 259   lapply (IH … Hloop) -IH * #k0 #IH <config_expand in Hloop; #Hloop
 260   %{(S k0)}
 261
 262
 263
 264 (*
 265 theorem sem_binaryTM : ∀sig,M.
 266   mk_binaryTM sig M ⊫ R_bin_lift ? (R_TM ? M (start ? M)).
 267 #sig #M #t #i generalize in match t; -t
 268 @(nat_elim1 … i) #m #IH #intape #outc #Hloop
 269
 270 *)