matita/matita/lib/turing/multi_universal/copy.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "turing/multi_universal/moves.ma".
  13 include "turing/if_multi.ma".
  14 include "turing/inject.ma".
  15 include "turing/basic_machines.ma".
  16
  17 definition copy_states ≝ initN 3.
  18
  19 definition copy0 : copy_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
  20 definition copy1 : copy_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
  21 definition copy2 : copy_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
  22
  23
  24 definition trans_copy_step ≝
  25  λsrc,dst.λsig:FinSet.λn.
  26  λp:copy_states × (Vector (option sig) (S n)).
  27  let 〈q,a〉 ≝ p in
  28  match pi1 … q with
  29  [ O ⇒ match nth src ? a (None ?) with
  30    [ None ⇒ 〈copy2,null_action sig n〉
  31    | Some ai ⇒ match nth dst ? a (None ?) with
  32      [ None ⇒ 〈copy2,null_action ? n〉
  33      | Some aj ⇒
  34          〈copy1,change_vec ? (S n)
  35            (change_vec ? (S n) (null_action ? n) (〈None ?,R〉) src)
  36            (〈Some ? ai,R〉) dst〉
  37      ]
  38    ]
  39  | S q ⇒ match q with
  40    [ O ⇒ (* 1 *) 〈copy1,null_action ? n〉
  41    | S _ ⇒ (* 2 *) 〈copy2,null_action ? n〉 ] ].
  42
  43 definition copy_step ≝
  44   λsrc,dst,sig,n.
  45   mk_mTM sig n copy_states (trans_copy_step src dst sig n)
  46     copy0 (λq.q == copy1 ∨ q == copy2).
  47
  48 definition R_comp_step_true ≝
  49   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  50   ∃x,y.
  51    current ? (nth src ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧
  52    current ? (nth dst ? int (niltape ?)) = Some ? y ∧
  53    outt = change_vec ??
  54             (change_vec ?? int
  55               (tape_move_mono ? (nth src ? int (niltape ?)) 〈None ?, R〉) src)
  56             (tape_move_mono ? (nth dst ? int (niltape ?)) 〈Some ? x, R〉) dst.
  57
  58 definition R_comp_step_false ≝
  59   λsrc,dst:nat.λsig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  60     (current ? (nth src ? int (niltape ?)) = None ? ∨
  61      current ? (nth dst ? int (niltape ?)) = None ?) ∧ outt = int.
  62
  63 lemma copy_q0_q2_null :
  64   ∀src,dst,sig,n,v.src < S n → dst < S n →
  65   (nth src ? (current_chars ?? v) (None ?) = None ? ∨
  66    nth dst ? (current_chars ?? v) (None ?) = None ?) →
  67   step sig n (copy_step src dst sig n) (mk_mconfig ??? copy0 v)
  68   = mk_mconfig ??? copy2 v.
  69 #src #dst #sig #n #v #Hi #Hj
  70 whd in ⊢ (? → ??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (?→??%?);
  71 * #Hcurrent
  72 [ @eq_f2
  73   [ whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcurrent %
  74   | whd in ⊢ (??(????(???%))?); >Hcurrent @tape_move_null_action ]
  75 | @eq_f2
  76   [ whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcurrent cases (nth src ?? (None sig)) //
  77   | whd in ⊢ (??(????(???%))?); >Hcurrent
  78     cases (nth src ?? (None sig)) [|#x] @tape_move_null_action ] ]
  79 qed.
  80
  81 lemma copy_q0_q1 :
  82   ∀src,dst,sig,n,v,a,b.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
  83   nth src ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? a →
  84   nth dst ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? b →
  85   step sig n (copy_step src dst sig n) (mk_mconfig ??? copy0 v) =
  86     mk_mconfig ??? copy1
  87      (change_vec ? (S n)
  88        (change_vec ?? v
  89          (tape_move_mono ? (nth src ? v (niltape ?)) 〈None ?, R〉) src)
  90             (tape_move_mono ? (nth dst ? v (niltape ?)) 〈Some ? a, R〉) dst).
  91 #src #dst #sig #n #v #a #b #Heq #Hsrc #Hdst #Ha1 #Ha2
  92 whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?); @eq_f2
  93 [ whd in match (trans ????);
  94   >Ha1 >Ha2 whd in ⊢ (??(???%)?); >(\b ?) //
  95 | whd in match (trans ????);
  96   >Ha1 >Ha2 whd in ⊢ (??(????(???%))?); >(\b ?) //
  97   change with (change_vec ?????) in ⊢ (??(????%)?);
  98   <(change_vec_same … v dst (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
  99   <(change_vec_same … v src (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
 100   >tape_move_multi_def
 101   >pmap_change >pmap_change <tape_move_multi_def
 102   >tape_move_null_action
 103   @eq_f2 // >nth_change_vec_neq //
 104 ]
 105 qed.
 106
 107 lemma sem_copy_step :
 108   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 109   copy_step src dst sig n ⊨
 110     [ copy1: R_comp_step_true src dst sig n,
 111             R_comp_step_false src dst sig n ].
 112 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #int
 113 lapply (refl ? (current ? (nth src ? int (niltape ?))))
 114 cases (current ? (nth src ? int (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 115 [ #Hcur_src %{2} %
 116   [| % [ %
 117     [ whd in ⊢ (??%?); >copy_q0_q2_null /2/
 118     | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 119   | #_ % // % // ] ]
 120 | #a #Ha lapply (refl ? (current ? (nth dst ? int (niltape ?))))
 121   cases (current ? (nth dst ? int (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 122   [ #Hcur_dst %{2} %
 123     [| % [ %
 124        [ whd in ⊢ (??%?); >copy_q0_q2_null /2/
 125        | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 126        | #_ % // %2 >Hcur_dst % ] ]
 127   | #b #Hb %{2} %
 128     [| % [ %
 129       [whd in ⊢  (??%?);  >(copy_q0_q1 … a b Hneq Hsrc Hdst) //
 130       | #_ %{a} %{b} % // % //]
 131       | * #H @False_ind @H %
 132       ]
 133     ]
 134   ]
 135 ]
 136 qed.
 137
 138 definition copy ≝ λsrc,dst,sig,n.
 139   whileTM … (copy_step src dst sig n) copy1.
 140
 141 definition R_copy ≝
 142   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 143   ((current ? (nth src ? int (niltape ?)) = None ? ∨
 144     current ? (nth dst ? int (niltape ?)) = None ?) → outt = int) ∧
 145   (∀ls,x,x0,rs,ls0,rs0.
 146     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x rs →
 147     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 148     (∃rs01,rs02.rs0 = rs01@rs02 ∧ |rs01| = |rs| ∧
 149      outt = change_vec ??
 150             (change_vec ?? int
 151               (mk_tape sig (reverse sig rs@x::ls) (None sig) []) src)
 152             (mk_tape sig (reverse sig rs@x::ls0) (option_hd sig rs02)
 153             (tail sig rs02)) dst) ∨
 154     (∃rs1,rs2.rs = rs1@rs2 ∧ |rs1| = |rs0| ∧
 155      outt = change_vec ??
 156             (change_vec ?? int
 157               (mk_tape sig (reverse sig rs1@x::ls) (option_hd sig rs2)
 158             (tail sig rs2)) src)
 159             (mk_tape sig (reverse sig rs1@x::ls0) (None sig) []) dst)).
 160
 161 lemma wsem_copy : ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 162   copy src dst sig n ⊫ R_copy src dst sig n.
 163 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 164 lapply (sem_while … (sem_copy_step src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 165 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 166 [ whd in ⊢ (%→?); * #Hnone #Hout %
 167   [#_ @Hout
 168   |#ls #x #x0 #rs #ls0 #rs0 #Hsrc1 #Hdst1 @False_ind cases Hnone
 169     [>Hsrc1 normalize #H destruct (H) | >Hdst1 normalize #H destruct (H)]
 170   ]
 171 |#tc #td * #x * #y * * #Hcx #Hcy #Htd #Hstar #IH #He lapply (IH He) -IH *
 172  #IH1 #IH2 %
 173   [* [>Hcx #H destruct (H) | >Hcy #H destruct (H)]
 174   |#ls #x' #y' #rs #ls0 #rs0 #Hnth_src #Hnth_dst
 175    >Hnth_src in Hcx; whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 176    >Hnth_dst in Hcy; whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 177    >Hnth_src in Htd; >Hnth_dst -Hnth_src -Hnth_dst
 178    cases rs
 179     [(* the source tape is empty after the move *)
 180      #Htd lapply (IH1 ?)
 181       [%1 >Htd >nth_change_vec_neq [2:@(not_to_not … Hneq) //] >nth_change_vec //]
 182      #Hout (* whd in match (tape_move ???); *) %1 %{([])} %{rs0} %
 183       [% [// | // ]
 184       |whd in match (reverse ??); whd in match (reverse ??);
 185        >Hout >Htd @eq_f2 // cases rs0 //
 186       ]
 187     |#c1 #tl1 cases rs0
 188       [(* the dst tape is empty after the move *)
 189        #Htd lapply (IH1 ?) [%2 >Htd >nth_change_vec //]
 190        #Hout (* whd in match (tape_move ???); *) %2 %{[ ]} %{(c1::tl1)} %
 191         [% [// | // ]
 192         |whd in match (reverse ??); whd in match (reverse ??);
 193          >Hout >Htd @eq_f2 //
 194         ]
 195       |#c2 #tl2 whd in match (tape_move_mono ???); whd in match (tape_move_mono ???);
 196        #Htd
 197        cut (nth src (tape sig) td (niltape sig)=midtape sig (x::ls) c1 tl1)
 198          [>Htd >nth_change_vec_neq [2:@(not_to_not … Hneq) //] @nth_change_vec //]
 199        #Hsrc_td
 200        cut (nth dst (tape sig) td (niltape sig)=midtape sig (x::ls0) c2 tl2)
 201          [>Htd @nth_change_vec //]
 202        #Hdst_td cases (IH2 … Hsrc_td Hdst_td) -Hsrc_td -Hdst_td
 203         [* #rs01 * #rs02 * * #H1 #H2 #H3 %1
 204          %{(c2::rs01)} %{rs02} % [% [@eq_f //|normalize @eq_f @H2]]
 205          >Htd in H3; >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 206          >change_vec_commute [2:@(not_to_not … Hneq) //] >change_vec_change_vec
 207          #H >reverse_cons >associative_append >associative_append @H
 208         |* #rs11 * #rs12 * * #H1 #H2 #H3 %2
 209          %{(c1::rs11)} %{rs12} % [% [@eq_f //|normalize @eq_f @H2]]
 210          >Htd in H3; >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 211          >change_vec_commute [2:@(not_to_not … Hneq) //] >change_vec_change_vec
 212          #H >reverse_cons >associative_append >associative_append @H
 213         ]
 214       ]
 215     ]
 216   ]
 217 qed.
 218
 219
 220 lemma terminate_copy :  ∀src,dst,sig,n,t.
 221   src ≠ dst → src < S n → dst < S n → copy src dst sig n ↓ t.
 222 #src #dst #sig #n #t #Hneq #Hsrc #Hdts
 223 @(terminate_while … (sem_copy_step …)) //
 224 <(change_vec_same … t src (niltape ?))
 225 cases (nth src (tape sig) t (niltape ?))
 226 [ % #t1 * #x * #y * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
 227 |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #x * #y * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
 228 | #ls #c #rs lapply c -c lapply ls -ls lapply t -t elim rs
 229   [#t #ls #c % #t1 * #x * #y * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?);
 230    #H1 destruct (H1) #_ >change_vec_change_vec #Ht1 %
 231    #t2 * #x0 * #y0 * * >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 232    >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 233   |#r0 #rs0 #IH #t #ls #c % #t1 * #x * #y * * >nth_change_vec //
 234    normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) #Hcur
 235    >change_vec_change_vec >change_vec_commute // #Ht1 >Ht1 @IH
 236   ]
 237 ]
 238 qed.
 239
 240 lemma sem_copy : ∀src,dst,sig,n.
 241   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 242   copy src dst sig n ⊨ R_copy src dst sig n.
 243 #i #j #sig #n #Hneq #Hi #Hj @WRealize_to_Realize [/2/| @wsem_copy // ]
 244 qed.