matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/simple_machines.ma".
  16 include "turing/multi_universal/compare.ma".
  17 include "turing/multi_universal/par_test.ma".
  18 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  19
  20 definition match_test ≝ λsrc,dst.λsig:DeqSet.λn.λv:Vector ? n.
  21   match (nth src (option sig) v (None ?)) with
  22   [ None ⇒  false
  23   | Some x ⇒  notb (nth dst (DeqOption sig) v (None ?) == None ?) ].
  24
  25 definition rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.
  26   parmove src dst sig n L · mmove src sig n R · mmove dst sig n R.
  27
  28 definition R_rewind_strong ≝ λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  29   (∀x,x0,xs,rs.
  30     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs →
  31     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| →
  32     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 →
  33     outt = change_vec ??
  34            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) src)
  35            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) dst) ∧
  36   (∀x,x0,xs,rs.
  37     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs →
  38     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| →
  39     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 →
  40     outt = change_vec ??
  41            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) dst)
  42            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) src) ∧
  43   (∀x,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [] x rs →
  44    ∀ls0,y,rs0.nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 y rs0 →
  45    outt = int) ∧
  46   (∀x,rs.nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig [] x rs →
  47    ∀ls0,y,rs0.nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 y rs0 →
  48    outt = int).
  49
  50 definition R_rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  51   (∀x,x0,xs,rs.
  52     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs →
  53     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| →
  54     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 →
  55     outt = change_vec ??
  56            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) src)
  57            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) dst) ∧
  58   (∀x,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [] x rs →
  59    ∀ls0,y,rs0.nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 y rs0 →
  60    outt = int).
  61
  62 (*
  63 theorem accRealize_to_Realize :
  64   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
  65   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
  66 #sig #n #M #Rtrue #Rfalse #acc #HR #t
  67 cases (HR t) #k * #outc * * #Hloop
  68 #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % //
  69 cases (true_or_false (cstate sig (states sig n M) n outc == acc)) #Hcase
  70 [ % @Htrue @(\P Hcase) | %2 @Hfalse @(\Pf Hcase) ]
  71 qed.
  72 *)
  73
  74 lemma sem_rewind_strong : ∀src,dst,sig,n.
  75   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
  76   rewind src dst sig n ⊨ R_rewind_strong src dst sig n.
  77 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
  78 @(sem_seq_app sig n ????? (sem_parmoveL src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) ?)
  79 [| @(sem_seq_app sig n ????? (sem_move_multi … R ?) (sem_move_multi … R ?)) //
  80  @le_S_S_to_le // ]
  81 #ta #tb * #tc * * * #Htc1 #Htc2 #_ * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Htb % [ % [ %
  82 [ #x #x0 #xs #rs #Hmidta_src #ls0 #y #y0 #target #rs0 #Hlen #Hmidta_dst
  83   >(Htc1 ??? Hmidta_src ls0 y (target@[y0]) rs0 ??) in Htd;
  84   [|>Hmidta_dst //
  85   |>length_append >length_append >Hlen % ]
  86   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
  87   >change_vec_change_vec
  88   >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
  89   >nth_change_vec // >reverse_append >reverse_single
  90   >reverse_append >reverse_single normalize in match (tape_move ???);
  91   >rev_append_def >append_nil #Htd >Htd in Htb;
  92   >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
  93   cases ls0 [|#l1 #ls1] normalize in match (tape_move ???); //
  94 | #x #x0 #xs #rs #Hmidta_dst #ls0 #y #y0 #target #rs0 #Hlen #Hmidta_src
  95   >(Htc2 ??? Hmidta_dst ls0 y (target@[y0]) rs0 ??) in Htd;
  96   [|>Hmidta_src //
  97   |>length_append >length_append >Hlen % ]
  98   >change_vec_change_vec
  99   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 100   >nth_change_vec //
 101   >reverse_append >reverse_single
 102   >reverse_append >reverse_single
 103   cases ls0 [|#l1 #ls1] normalize in match (tape_move ???);
 104   #Htd >Htd in Htb; >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 105   >rev_append_def >change_vec_commute // normalize in match (tape_move ???); // ]
 106 | #x #rs #Hmidta_src #ls0 #y #rs0 #Hmidta_dst
 107   lapply (Htc1 … Hmidta_src … (refl ??) Hmidta_dst) -Htc1 #Htc >Htc in Htd;
 108   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 109   >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 110   >nth_change_vec // lapply (refl ? ls0) cases ls0 in ⊢ (???%→%);
 111   [ #Hls0 #Htd >Htd in Htb;
 112     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
 113     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
 114     <Hls0 <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 115   | #l1 #ls1 #Hls0 #Htd >Htd in Htb;
 116     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
 117     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
 118     <Hls0 <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 119   ] ]
 120 | #x #rs #Hmidta_dst #ls0 #y #rs0 #Hmidta_src
 121   lapply (Htc2 … Hmidta_dst … (refl ??) Hmidta_src) -Htc2 #Htc >Htc in Htd;
 122   >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 123   >nth_change_vec // lapply (refl ? ls0) cases ls0 in ⊢ (???%→%);
 124   [ #Hls0 destruct (Hls0) #Htd >Htd in Htb;
 125     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
 126     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???);
 127     <Hmidta_src <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 128   | #l1 #ls1 #Hls0 destruct (Hls0) #Htd >Htd in Htb;
 129     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
 130     whd in match (tape_move ???); whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
 131     <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 132   ]
 133 ]
 134 qed.
 135
 136 lemma sem_rewind : ∀src,dst,sig,n.
 137   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 138   rewind src dst sig n ⊨ R_rewind src dst sig n.
 139 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst @(Realize_to_Realize … (sem_rewind_strong …)) //
 140 #ta #tb * * * #H1 #H2 #H3 #H4 % /2 by /
 141 qed.
 142
 143 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n.
 144   compare src dst sig n ·
 145      (ifTM ?? (partest sig n (match_test src dst sig ?))
 146       (single_finalTM ??
 147         (rewind src dst sig n · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
 148       (nop …)
 149       partest1).
 150
 151 (* we assume the src is a midtape
 152    we stop
 153    if the dst is out of bounds (outt = int)
 154    or dst.right is shorter than src.right (outt.current → None)
 155    or src.right is a prefix of dst.right (out = just right of the common prefix) *)
 156 definition R_match_step_false ≝
 157   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 158   ∀ls,x,xs.
 159   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x xs →
 160   ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ?) ∧ outt = int) ∨
 161     (∃ls0,rs0,xs0. nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x rs0 ∧
 162       xs = rs0@xs0 ∧
 163       outt = change_vec ??
 164              (change_vec ?? int (mk_tape sig (reverse ? rs0@x::ls) (option_hd ? xs0) (tail ? xs0)) src)
 165              (mk_tape ? (reverse ? rs0@x::ls0) (None ?) [ ]) dst) ∨
 166     (∃ls0,rs0.
 167      nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
 168      (* ∀rsj,c.
 169      rs0 = c::rsj → *)
 170      outt = change_vec ??
 171             (change_vec ?? int (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls) (None ?) [ ]) src)
 172             (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (option_hd ? rs0) (tail ? rs0)) dst).
 173
 174 (*
 175    we assume the src is a midtape [ ] s rs
 176    if we iterate
 177    then dst.current = Some ? s1
 178    and  if s ≠ s1 then outt = int.dst.move_right()
 179    and  if s = s1
 180         then int.src.right and int.dst.right have a common prefix
 181         and  the heads of their suffixes are different
 182         and  outt = int.dst.move_right().
 183
 184  *)
 185 definition R_match_step_true ≝
 186   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 187   ∀s,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape ? [ ] s rs →
 188   outt = change_vec ?? int
 189          (tape_move_mono … (nth dst ? int (niltape ?)) (〈None ?,R〉)) dst ∧
 190   (∃s0.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s0 ∧
 191    (s0 = s →
 192    ∃xs,ci,rs',ls0,cj,rs0.
 193    rs = xs@ci::rs' ∧
 194    nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 s (xs@cj::rs0) ∧
 195    ci ≠ cj)).
 196
 197 lemma sem_match_step :
 198   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 199   match_step src dst sig n ⊨
 200     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 201       R_match_step_true src dst sig n,
 202       R_match_step_false src dst sig n ].
 203 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 204 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)
 205     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ?))
 206       (sem_seq …
 207         (sem_rewind ???? Hneq Hsrc Hdst)
 208         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 209       (sem_nop …)))
 210 [ #ta #tb #tc * lapply (refl ? (current ? (nth src ? ta (niltape ?))))
 211   cases (current ? (nth src ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 212   [ #Hcurta_src #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| % %2 %]
 213     whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 214     >nth_current_chars >Hcurta_src normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 215   | #s #Hs lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 216     cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 217     [ #Hcurta_dst #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| %2 %]
 218       whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 219       >nth_current_chars >nth_current_chars >Hs >Hcurta_dst
 220       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 221     | #s0 #Hs0
 222       cases (current_to_midtape … Hs) #ls * #rs #Hmidta_src >Hmidta_src
 223       cases (current_to_midtape … Hs0) #ls0 * #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst
 224       cases (true_or_false (s == s0)) #Hss0
 225       [ lapply (\P Hss0) -Hss0 #Hss0 destruct (Hss0)
 226         #_ #Hcomp cases (Hcomp ????? (refl ??) (refl ??)) -Hcomp [ *
 227         [ * #rs' * #_ #Hcurtc_dst * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 228           >nth_current_chars >nth_current_chars >Hcurtc_dst
 229           cases (current ? (nth src …))
 230           [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 231           | #x >nth_change_vec // cases (reverse ? rs0)
 232             [ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 233             | #r1 #rs1 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 234         | * #rs0' * #_ #Hcurtc_src * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 235           >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = None ?)
 236           [|>nth_current_chars >Hcurtc_src >nth_change_vec_neq
 237             [>nth_change_vec [cases (append ???) // | @Hsrc]
 238             |@(not_to_not … Hneq) //
 239             ]]
 240           normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 241         | * #xs * #ci * #cj * #rs'' * #rs0' * * * #Hcicj #Hrs #Hrs0
 242           #Htc * #td * * #Hmatch #Htd destruct (Htd) * #te * *
 243           >Htc >change_vec_commute // >nth_change_vec //
 244           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec // #Hte #_ #Htb
 245           #s' #rs' >Hmidta_src #H destruct (H)
 246           lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??) (refl ??)) -Hte
 247           >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 248           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec #Hte
 249           >Hte in Htb; * * #_ >nth_change_vec // #Htb1
 250           lapply (Htb1 … (refl ??)) -Htb1 #Htb1 #Htb2 %
 251           [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi
 252             cases (true_or_false ((dst : DeqNat) == i)) #Hdsti
 253             [ <(\P Hdsti) >Htb1 >nth_change_vec // >Hmidta_dst
 254               >Hrs0 >reverse_reverse cases xs [|#r1 #rs1] %
 255             | <Htb2 [|@(\Pf Hdsti)] >nth_change_vec_neq [| @(\Pf Hdsti)]
 256               >Hrs0 >reverse_reverse >nth_change_vec_neq in ⊢ (???%);
 257               <Hrs <Hmidta_src [|@(\Pf Hdsti)] >change_vec_same % ]
 258           | >Hmidta_dst %{s'} % [%] #_
 259             >Hrs0 %{xs} %{ci} %{rs''} %{ls0} %{cj} %{rs0'} % // % //
 260           ]
 261         ]
 262       | lapply (\Pf Hss0) -Hss0 #Hss0 #Htc cut (tc = ta)
 263         [@Htc % % @(not_to_not ??? Hss0) #H destruct (H) %]
 264         -Htc #Htc destruct (Htc) #_ * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_
 265         #Htd destruct (Htd) * #te * * #_ #Hte * * #_ #Htb1 #Htb2
 266         #s1 #rs1 >Hmidta_src #H destruct (H)
 267         lapply (Hte … Hmidta_src … Hmidta_dst) -Hte #Hte destruct (Hte) %
 268         [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi
 269           cases (true_or_false ((dst : DeqNat) == i)) #Hdsti
 270           [ <(\P Hdsti) >(Htb1 … Hmidta_dst) >nth_change_vec // >Hmidta_dst
 271             cases rs0 [|#r2 #rs2] %
 272           | <Htb2 [|@(\Pf Hdsti)] >nth_change_vec_neq [| @(\Pf Hdsti)] % ]
 273         | >Hs0 %{s0} % // #H destruct (H) @False_ind cases (Hss0) /2/ ]
 274       ]
 275     ]
 276   ]
 277 | #ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * #Htest #Htd destruct (Htd)
 278   whd in ⊢ (%→?); #Htb destruct (Htb) #ls #x #xs #Hta_src
 279   lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 280   cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 281   [ #Hcurta_dst % % % // @Hcomp1 %2 //
 282   | #x0 #Hcurta_dst cases (current_to_midtape … Hcurta_dst) -Hcurta_dst
 283     #ls0 * #rs0 #Hta_dst cases (true_or_false (x == x0)) #Hxx0
 284     [ lapply (\P Hxx0) -Hxx0 #Hxx0 destruct (Hxx0)
 285     | >(?:tc=ta) in Htest;
 286       [|@Hcomp1 % % >Hta_src >Hta_dst @(not_to_not ??? (\Pf Hxx0)) normalize
 287         #Hxx0' destruct (Hxx0') % ]
 288       whd in ⊢ (??%?→?);
 289       >nth_current_chars >Hta_src >nth_current_chars >Hta_dst
 290       whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ] -Hcomp1
 291       cases (Hcomp2 … Hta_src Hta_dst) [ *
 292       [ * #rs' * #Hxs #Hcurtc % %2 %{ls0} %{rs0} %{rs'} %
 293         [ % // | >Hcurtc % ]
 294       | * #rs0' * #Hxs #Htc %2 >Htc %{ls0} %{rs0'} % // ]
 295       | * #xs0 * #ci * #cj * #rs' * #rs0' * * *
 296         #Hci #Hxs #Hrs0 #Htc @False_ind
 297         whd in Htest:(??%?);
 298         >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? ci) in Htest;
 299         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec_neq [|@(not_to_not … Hneq) //]
 300           >nth_change_vec //]
 301         >(?:nth dst ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? cj)
 302         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec //]
 303         normalize #H destruct (H) ] ] ]
 304 qed.
 305
 306 definition match_m ≝ λsrc,dst,sig,n.
 307   whileTM … (match_step src dst sig n)
 308     (inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop)))).
 309
 310 definition R_match_m ≝
 311   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 312   ∀x,rs.
 313   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [ ] x rs →
 314   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? →
 315    right ? (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = [ ] → outt = int) ∧
 316   (∀ls0,x0,rs0.
 317    nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 318    (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::rs@l1 ∧
 319     outt = change_vec ??
 320            (change_vec ?? int
 321              (mk_tape sig (reverse ? rs@[x]) (None ?) [ ]) src)
 322            (mk_tape sig ((reverse ? (l@x::rs))@ls0) (option_hd ? l1) (tail ? l1)) dst) ∨
 323     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::rs@l1).
 324
 325 lemma not_sub_list_merge :
 326   ∀T.∀a,b:list T. (∀l1.a ≠ b@l1) → (∀t,l,l1.a ≠ t::l@b@l1) → ∀l,l1.a ≠ l@b@l1.
 327 #T #a #b #H1 #H2 #l elim l normalize //
 328 qed.
 329
 330 lemma not_sub_list_merge_2 :
 331   ∀T:DeqSet.∀a,b:list T.∀t. (∀l1.t::a ≠ b@l1) → (∀l,l1.a ≠ l@b@l1) → ∀l,l1.t::a ≠ l@b@l1.
 332 #T #a #b #t #H1 #H2 #l elim l //
 333 #t0 #l1 #IH #l2 cases (true_or_false (t == t0)) #Htt0
 334 [ >(\P Htt0) % normalize #H destruct (H) cases (H2 l1 l2) /2/
 335 | normalize % #H destruct (H) cases (\Pf Htt0) /2/ ]
 336 qed.
 337
 338
 339 lemma wsem_match_m : ∀src,dst,sig,n.
 340 src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 341   match_m src dst sig n ⊫ R_match_m src dst sig n.
 342 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 343 lapply (sem_while … (sem_match_step src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 344 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 345 [ #Hfalse #x #xs #Hmid_src
 346   cases (Hfalse … Hmid_src) -Hfalse
 347   [(* current dest = None *) *
 348     [ * #Hcur_dst #Houtc %
 349       [#_ >Houtc //
 350       | #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcur_dst;
 351         normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 352       ]
 353     | * #ls0 * #rs0 * #xs0 * * #Htc_dst #Hrs0 #HNone %
 354       [ >Htc_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 355       | #ls1 #x1 #rs1 >Htc_dst #H destruct (H)
 356         >Hrs0 >HNone cases xs0
 357         [ % %{[ ]} %{[ ]} % [ >append_nil >append_nil %]
 358           @eq_f3 //
 359           [ >reverse_append %
 360           | >reverse_append >reverse_cons >reverse_append
 361             >associative_append >associative_append % ]
 362         | #x2 #xs2 %2 #l #l1 % #Habs lapply (eq_f ?? (length ?) ?? Habs)
 363           >length_append whd in ⊢ (??%(??%)→?); >length_append
 364           >length_append normalize >commutative_plus whd in ⊢ (???%→?);
 365           #H destruct (H) lapply e0 >(plus_n_O (|rs1|)) in ⊢ (??%?→?);
 366           >associative_plus >associative_plus
 367           #e1 lapply (injective_plus_r ??? e1) whd in ⊢ (???%→?);
 368           #e2 destruct (e2)
 369         ]
 370       ]
 371     ]
 372   |* #ls0 * #rs0 * #Hmid_dst #Houtc %
 373     [ >Hmid_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 374     |#ls1 #x1 #rs1 >Hmid_dst #H destruct (H)
 375      %1 %{[ ]} %{rs0} % [%]
 376      >reverse_cons >associative_append >Houtc %
 377     ]
 378   ]
 379 |-ta #ta #tc #Htrue #Hstar #IH #Hout lapply (IH Hout) -IH -Hout #IH whd
 380  #x #xs #Hmidta_src
 381  lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 382  cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 383   [#Hcurta_dst %
 384     [#Hcurta_dst #Hrightta_dst whd in Htrue; >Hmidta_src in Htrue; #Htrue
 385      cases (Htrue ?? (refl ??)) -Htrue #Htc
 386      cut (tc = ta)
 387      [ >Htc whd in match (tape_move_mono ???); whd in match (tape_write ???);
 388        <(change_vec_same … ta dst (niltape ?)) in ⊢ (???%);
 389        lapply Hrightta_dst lapply Hcurta_dst -Hrightta_dst -Hcurta_dst
 390        cases (nth dst ? ta (niltape ?))
 391        [ #_ #_ %
 392        | #r0 #rs0 #_ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 393        | #l0 #ls0 #_ #_ %
 394        | #ls #x0 #rs normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 395      -Htc #Htc destruct (Htc) #_
 396      cases (IH … Hmidta_src) #Houtc #_ @Houtc //
 397     |#ls0 #x0 #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst in Hcurta_dst;
 398      normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 399     ]
 400   | #c #Hcurta_dst % [ >Hcurta_dst #H destruct (H) ]
 401     #ls0 #x0 #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst in Hcurta_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 402     #H destruct (H) whd in Htrue; >Hmidta_src in Htrue; #Htrue
 403     cases (Htrue ?? (refl …)) -Htrue >Hmidta_dst #Htc
 404     cases (true_or_false (x==c)) #eqx
 405     [ lapply (\P eqx) -eqx #eqx destruct (eqx) * #s0 * whd in ⊢ (??%?→?); #Hs0
 406       destruct (Hs0) #Htrue cases (Htrue (refl ??)) -Htrue
 407       #xs0 * #ci * #rs' * #ls1 * #cj * #rs1 * * #Hxs #H destruct (H) #Hcicj
 408       >Htc in IH; whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 409       #IH cases (IH … Hmidta_src) -IH #_ >nth_change_vec //
 410       cut (∃x1,xs1.xs0@cj::rs1 = x1::xs1)
 411       [ cases xs0 [ %{cj} %{rs1} % | #x1 #xs1 %{x1} %{(xs1@cj::rs1)} % ] ] * #x1 * #xs1
 412       #Hxs1 >Hxs1 #IH cases (IH … (refl ??)) -IH
 413       [ * #l * #l1 * #Hxs1'
 414         >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 415         #Houtc % %{(s0::l)} %{l1} %
 416         [ normalize <Hxs1' %
 417         | >reverse_cons >associative_append >change_vec_commute // @Houtc ]
 418       | #H %2 #l #l1 >(?:l@s0::xs@l1 = l@(s0::xs)@l1) [|%]
 419         @not_sub_list_merge
 420         [ #l2 >Hxs <Hxs1 % normalize #H1 lapply (cons_injective_r ????? H1)
 421           >associative_append #H2 lapply (append_l2_injective ????? (refl ??) H2)
 422           #H3 lapply (cons_injective_l ????? H3) #H3 >H3 in Hcicj; * /2/
 423         |#t #l2 #l3 % normalize #H1 lapply (cons_injective_r ????? H1)
 424          -H1 #H1 cases (H l2 l3) #H2 @H2 @H1
 425         ]
 426       ]
 427     | #_ cases (IH x xs ?) -IH
 428       [| >Htc >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmidta_src ]
 429       >Htc >nth_change_vec // cases rs0
 430       [ #_ #_ %2 #l #l1 cases l
 431        [ normalize cases xs
 432          [ cases l1
 433            [ normalize % #H destruct (H) cases (\Pf eqx) /2/
 434            | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 435          | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 436        | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H)cases l2 in e0;
 437          [ normalize #H1 destruct (H1)
 438          | #tmp2 #l3 normalize #H1 destruct (H1) ] ]
 439       | #r1 #rs1 #_ #IH cases (IH … (refl ??)) -IH
 440         [ * #l * #l1 * #Hll1 #Houtc % %{(c::l)} %{l1} % [ >Hll1 % ]
 441           >Houtc >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 442           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 443           >reverse_cons >associative_append %
 444         | #Hll1 %2 @(not_sub_list_merge_2 ?? (x::xs)) normalize [|@Hll1]
 445          #l1 % #H destruct (H) cases (\Pf eqx) /2/
 446         ]
 447       ]
 448     ]
 449   ]
 450 ]
 451 qed.
 452
 453 axiom daemon : ∀P:Prop.P.
 454
 455 (* XXX: move to turing (or mono) *)
 456 definition option_cons ≝ λsig.λc:option sig.λl.
 457   match c with [ None ⇒ l | Some c0 ⇒ c0::l ].
 458
 459 definition R_match_step_true_naive ≝
 460   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 461   |left ? (nth src ? outt (niltape ?))| +
 462   |option_cons ? (current ? (nth dst ? outt (niltape ?))) (right ? (nth dst ? outt (niltape ?)))| <
 463   |left ? (nth src ? int (niltape ?))| +
 464   |option_cons ? (current ? (nth dst ? int (niltape ?))) (right ? (nth dst ? int (niltape ?)))|.
 465
 466 axiom right_mk_tape : ∀sig,ls,c,rs.right ? (mk_tape sig ls c rs) = rs.
 467 axiom left_mk_tape : ∀sig,ls,c,rs.left ? (mk_tape sig ls c rs) = ls.
 468 axiom current_mk_tape : ∀sig,ls,c,rs.current ? (mk_tape sig ls c rs) = c.
 469 axiom length_tail : ∀A,l.0 < |l| → |tail A l| < |l|.
 470 axiom lists_length_split :
 471  ∀A.∀l1,l2:list A.(∃la,lb.(|la| = |l1| ∧ l2 = la@lb) ∨ (|la| = |l2| ∧ l1 = la@lb)).
 472 axiom opt_cons_tail_expand : ∀A,l.l = option_cons A (option_hd ? l) (tail ? l).
 473
 474 lemma sem_match_step_termination :
 475   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 476   match_step src dst sig n ⊨
 477     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 478       R_match_step_true_naive src dst sig n,
 479       R_match_step_false src dst sig n ].
 480 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 481 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)
 482     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ?))
 483       (sem_seq …
 484         (sem_rewind_strong ???? Hneq Hsrc Hdst)
 485         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 486       (sem_nop …)))
 487 [ #ta #tb #tc * lapply (refl ? (current ? (nth src ? ta (niltape ?))))
 488   cases (current ? (nth src ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 489   [ #Hcurta_src #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| % %2 %]
 490     whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 491     >nth_current_chars >Hcurta_src normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 492   | #s #Hs lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 493     cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 494     [ #Hcurta_dst #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| %2 %]
 495       whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 496       >nth_current_chars >nth_current_chars >Hs >Hcurta_dst
 497       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 498     | #s0 #Hs0
 499       cases (current_to_midtape … Hs) #ls * #rs #Hmidta_src >Hmidta_src
 500       cases (current_to_midtape … Hs0) #ls0 * #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst
 501       cases (true_or_false (s == s0)) #Hss0
 502       [ lapply (\P Hss0) -Hss0 #Hss0 destruct (Hss0)
 503         #_ #Hcomp cases (Hcomp ????? (refl ??) (refl ??)) -Hcomp [ *
 504         [ * #rs' * #_ #Hcurtc_dst * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 505           >nth_current_chars >nth_current_chars >Hcurtc_dst
 506           cases (current ? (nth src …))
 507           [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 508           | #x >nth_change_vec // cases (reverse ? rs0)
 509             [ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 510             | #r1 #rs1 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 511         | * #rs0' * #_ #Hcurtc_src * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 512           >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = None ?)
 513           [|>nth_current_chars >Hcurtc_src >nth_change_vec_neq
 514             [>nth_change_vec [cases (append ???) // | @Hsrc]
 515             |@(not_to_not … Hneq) //
 516             ]]
 517           normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 518         | * #xs * #ci * #cj * #rs'' * #rs0' * * * #Hcicj #Hrs #Hrs0
 519           #Htc * #td * * #Hmatch #Htd destruct (Htd) * #te * * *
 520           >Htc >change_vec_commute // >nth_change_vec //
 521           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 522           cases (lists_length_split ? ls ls0) #lsa * #lsb * * #Hlen #Hlsalsb
 523           destruct (Hlsalsb)  *
 524           [ #Hte #_ #_ <(reverse_reverse … ls) in Hte; <(reverse_reverse … lsa)
 525             cut (|reverse ? lsa| = |reverse ? ls|) [ // ] #Hlen'
 526             @(list_cases2 … Hlen')
 527             [ #H1 #H2 >H1 >H2 -H1 -H2 normalize in match (reverse ? [ ]); #Hte #_
 528               lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??) (refl ??)) -Hte
 529               >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 530               >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec #Hte
 531               >Hte * * #_ >nth_change_vec // >reverse_reverse
 532               #H lapply (H … (refl ??)) -H #Htb1 #Htb2
 533               cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta (midtape sig [] s0 (xs@ci::rs'')) src) (mk_tape sig (s0::lsb) (option_hd sig (xs@cj::rs0')) (tail sig (xs@cj::rs0'))) dst)
 534               [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd >nth_change_vec //
 535               >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 536               >right_mk_tape normalize in match (left ??);
 537               >Hmidta_src >Hmidta_dst >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand
 538               whd in match (option_cons ???); >Hrs0
 539               normalize in ⊢ (?(?%)%); //
 540             | #hda #hdb #tla #tlb #H1 #H2 >H1 >H2
 541               >reverse_cons >reverse_cons #Hte
 542               lapply (Hte ci hdb (reverse ? xs@s0::reverse ? tlb) rs'' ?
 543                        lsb cj hda (reverse ? xs@s0::reverse ? tla) rs0' ??)
 544               [ /2 by cons_injective_l, nil/
 545               | >length_append >length_append @eq_f @(eq_f ?? S)
 546                 >H1 in Hlen'; >H2 whd in ⊢ (??%%→?); #Hlen'
 547                 >length_reverse >length_reverse destruct (Hlen') //
 548               | /2 by refl, trans_eq/ ] -Hte
 549               #Hte #_ * * #_ >Hte >nth_change_vec // #Htb1 #Htb2
 550               cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta
 551                         (mk_tape sig (hda::lsb) (option_hd ? (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tla)@cj::rs0')) (tail ? (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tla)@cj::rs0'))) dst)
 552                         (midtape ? [ ] hdb (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tlb)@ci::rs'')) src)
 553               [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd
 554               >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec //
 555               >right_mk_tape >Hmidta_src >Hmidta_dst
 556               whd in match (left ??); whd in match (left ??); whd in match (right ??);
 557               >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand whd in match (option_cons ???);
 558               >Hrs0 >length_append whd in ⊢ (??(??%)); >length_append >length_reverse
 559               >length_append >commutative_plus in match (|reverse ??| + ?);
 560               whd in match (|?::?|); >length_reverse >length_reverse
 561               <(length_reverse ? ls) <Hlen' >H1 normalize // ]
 562          | #_ #Hte #_ <(reverse_reverse … ls0) in Hte; <(reverse_reverse … lsa)
 563             cut (|reverse ? lsa| = |reverse ? ls0|) [ // ] #Hlen'
 564             @(list_cases2 … Hlen')
 565             [ #H1 #H2 >H1 >H2 normalize in match (reverse ? [ ]); #Hte
 566               lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??) (refl ??)) -Hte
 567               >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 568               >change_vec_change_vec #Hte #_
 569               >Hte * * #_ >nth_change_vec // >reverse_reverse
 570               #H lapply (H … (refl ??)) -H #Htb1 #Htb2
 571               cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta (mk_tape ? [s0] (option_hd ? (xs@cj::rs0')) (tail ? (xs@cj::rs0'))) dst)
 572                            (midtape ? lsb s0 (xs@ci::rs'')) src)
 573               [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd >nth_change_vec //
 574               >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec //
 575               >right_mk_tape normalize in match (left ??);
 576               >Hmidta_src >Hmidta_dst >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand >Hrs0
 577               >length_append normalize >length_append >length_append
 578               <(reverse_reverse ? lsa) >H1 normalize //
 579             | #hda #hdb #tla #tlb #H1 #H2 >H1 >H2
 580               >reverse_cons >reverse_cons #Hte
 581               lapply (Hte cj hdb (reverse ? xs@s0::reverse ? tlb) rs0' ?
 582                        lsb ci hda (reverse ? xs@s0::reverse ? tla) rs'' ??)
 583               [ /2 by cons_injective_l, nil/
 584               | >length_append >length_append @eq_f @(eq_f ?? S)
 585                 >H1 in Hlen'; >H2 whd in ⊢ (??%%→?); #Hlen'
 586                 >length_reverse >length_reverse destruct (Hlen') //
 587               | /2 by refl, trans_eq/ ] -Hte
 588               #Hte #_ * * #_ >Hte >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec // #Htb1 #Htb2
 589               cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta
 590                         (mk_tape sig [hdb] (option_hd ? (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tlb)@cj::rs0')) (tail ? (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tlb)@cj::rs0'))) dst)
 591                         (midtape ? lsb hda (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tla)@ci::rs'')) src)
 592               [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd
 593               >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec //
 594               >right_mk_tape >Hmidta_src >Hmidta_dst
 595               whd in match (left ??); whd in match (left ??); whd in match (right ??);
 596               >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand
 597               whd in match (option_cons ???);
 598               >Hrs0 >length_append whd in ⊢ (??(??%)); >length_append >length_reverse
 599               >length_append >commutative_plus in match (|reverse ??| + ?);
 600               whd in match (|?::?|); >length_reverse >length_reverse
 601               <(length_reverse ? lsa) >Hlen' >H2 >length_append
 602               normalize //
 603             ]
 604           ]
 605         ]
 606       | lapply (\Pf Hss0) -Hss0 #Hss0 #Htc cut (tc = ta)
 607         [@Htc % % @(not_to_not ??? Hss0) #H destruct (H) %]
 608         -Htc #Htc destruct (Htc) #_ * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_
 609         #Htd destruct (Htd) * #te * * * * >Hmidta_src >Hmidta_dst
 610         cases (lists_length_split ? ls ls0) #lsa * #lsb * * #Hlen #Hlsalsb
 611         destruct (Hlsalsb)
 612         [ <(reverse_reverse … ls) <(reverse_reverse … lsa)
 613           cut (|reverse ? lsa| = |reverse ? ls|) [ // ] #Hlen'
 614           @(list_cases2 … Hlen')
 615           [ #H1 #H2 >H1 >H2 -H1 -H2 #_ #_ normalize in match (reverse ? [ ]); #Hte #_
 616             lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??)) -Hte #Hte destruct (Hte) * * #_
 617             >Hmidta_dst #Htb1 lapply (Htb1 … (refl ??)) -Htb1 #Htb1 #Htb2
 618             cut (tb = change_vec ?? ta (mk_tape ? (s0::lsa@lsb) (option_hd ? rs0) (tail ? rs0)) dst)
 619             [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd >nth_change_vec //
 620             >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmidta_src >Hmidta_dst
 621             >right_mk_tape normalize in match (left ??); normalize in match (right ??);
 622             >Hmidta_src >Hmidta_dst >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand
 623             normalize //
 624           | #hda #hdb #tla #tlb #H1 #H2 >H1 >H2
 625             >reverse_cons >reverse_cons >associative_append #Hte
 626             lapply (Hte ???? (refl ??) ? s0 ? (reverse ? tla) ?? (refl ??))
 627             [ >length_reverse >length_reverse cut (|hda::tla| = |hdb::tlb|) //
 628               normalize #H destruct (H) // ] #Hte #_ #_ #_
 629             * * #_ >Hte >nth_change_vec // #Htb1 #Htb2
 630             cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta
 631                       (mk_tape sig (hda::lsb) (option_hd ? (reverse sig (reverse sig tla)@s0::rs0)) (tail ? (reverse sig (reverse sig tla)@s0::rs0))) dst)
 632                       (midtape ? [ ] hdb (reverse sig (reverse sig tlb)@s::rs)) src)
 633             [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd
 634             >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec //
 635             >right_mk_tape >Hmidta_src >Hmidta_dst
 636             whd in match (left ??); whd in match (left ??); whd in match (right ??);
 637             >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand >length_append
 638             >length_reverse >length_reverse <(length_reverse ? ls) <Hlen'
 639             >H1 normalize // ]
 640        | #_ <(reverse_reverse … ls0) <(reverse_reverse … lsa)
 641          cut (|reverse ? lsa| = |reverse ? ls0|) [ // ] #Hlen'
 642          @(list_cases2 … Hlen')
 643          [ #H1 #H2 >H1 >H2 normalize in match (reverse ? [ ]); #_ #_ #Hte
 644            lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??)) -Hte #Hte destruct (Hte)
 645            * * #_ >Hmidta_dst #Htb1 lapply (Htb1 … (refl ??)) -Htb1 #Htb1 #Htb2
 646            cut (tb = change_vec (tape sig) (S n) ta (mk_tape ? (s0::ls0) (option_hd ? rs0) (tail ? rs0)) dst)
 647            [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd >nth_change_vec //
 648            >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmidta_src >Hmidta_dst
 649            >current_mk_tape >right_mk_tape normalize in ⊢ (??%); <opt_cons_tail_expand
 650            normalize //
 651          | #hda #hdb #tla #tlb #H1 #H2 >H1 >H2
 652            >reverse_cons >reverse_cons #Hte #_ #_
 653            lapply (Hte s0 hdb (reverse ? tlb) rs0 ?
 654                     lsb s hda (reverse ? tla) rs ??)
 655            [ /2 by cons_injective_l, nil/
 656            | >length_reverse >length_reverse cut (|hda::tla| = |hdb::tlb|) //
 657              normalize #H destruct (H) //
 658            | /2 by refl, trans_eq/ ] -Hte
 659            #Hte * * #_ >Hte >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec // #Htb1 #Htb2
 660            cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta
 661                      (mk_tape sig [hdb] (option_hd ? (reverse sig (reverse sig tlb)@s0::rs0)) (tail ? (reverse sig (reverse sig tlb)@s0::rs0))) dst)
 662                      (midtape ? lsb hda (reverse sig (reverse sig tla)@s::rs)) src)
 663            [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd
 664            >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec //
 665            >right_mk_tape >Hmidta_src >Hmidta_dst
 666            whd in match (left ??); whd in match (left ??); whd in match (right ??);
 667            >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand >length_append
 668            normalize in ⊢ (??%); >length_append >reverse_reverse
 669            <(length_reverse ? lsa) >Hlen' >H2 normalize //
 670          ]
 671        ]
 672      ]
 673    ]
 674  ]
 675 | #ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * #Htest #Htd destruct (Htd)
 676   whd in ⊢ (%→?); #Htb destruct (Htb) #ls #x #xs #Hta_src
 677   lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 678   cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 679   [ #Hcurta_dst % % % // @Hcomp1 %2 //
 680   | #x0 #Hcurta_dst cases (current_to_midtape … Hcurta_dst) -Hcurta_dst
 681     #ls0 * #rs0 #Hta_dst cases (true_or_false (x == x0)) #Hxx0
 682     [ lapply (\P Hxx0) -Hxx0 #Hxx0 destruct (Hxx0)
 683     | >(?:tc=ta) in Htest;
 684       [|@Hcomp1 % % >Hta_src >Hta_dst @(not_to_not ??? (\Pf Hxx0)) normalize
 685         #Hxx0' destruct (Hxx0') % ]
 686       whd in ⊢ (??%?→?);
 687       >nth_current_chars >Hta_src >nth_current_chars >Hta_dst
 688       whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ] -Hcomp1
 689       cases (Hcomp2 … Hta_src Hta_dst) [ *
 690       [ * #rs' * #Hxs #Hcurtc % %2 %{ls0} %{rs0} %{rs'} %
 691         [ % // | >Hcurtc % ]
 692       | * #rs0' * #Hxs #Htc %2 >Htc %{ls0} %{rs0'} % // ]
 693       | * #xs0 * #ci * #cj * #rs' * #rs0' * * *
 694         #Hci #Hxs #Hrs0 #Htc @False_ind
 695         whd in Htest:(??%?);
 696         >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? ci) in Htest;
 697         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec_neq [|@(not_to_not … Hneq) //]
 698           >nth_change_vec //]
 699         >(?:nth dst ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? cj)
 700         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec //]
 701         normalize #H destruct (H) ] ] ]
 702 qed.
 703
 704 axiom terminate_match_m :
 705   ∀src,dst,sig,n,t.
 706   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 707   match_m src dst sig n ↓ t.
 708 (*#src #dst #sig #n #ta #Hneq #Hsrc #Hdst
 709 @(terminate_while … (sem_match_step_termination src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)) // % #tb
 710 letin f ≝ (λt0:Vector (tape sig) (S n).|left ? (nth src (tape ?) t0 (niltape ?))|
 711     +|option_cons ? (current ? (nth dst (tape ?) t0 (niltape ?)))
 712       (right ? (nth dst (tape ?) t0 (niltape ?)))|)
 713 change with (f tb < f ta) in ⊢ (%→?); @(nat_elim1 (f tb))
 714 #x lapply (refl ? x) cases x in ⊢ (???%→%);
 715 [ #Hx
 716 *
 717 #x #IH #Hx cases
 718
 719  @IH % #tc change with (f tc < f tb) in ⊢ (%→?);
 720
 721        )(|left @(nat_elim1 (|left ? (nth ? (tape ?) t (niltape ?))|
 722     +|option_cons sig (current ? (nth dst (tape ?) t (niltape ?)))
 723       (right ? (nth dst (tape ?) t (niltape ?)))|))
 724 <(change_vec_same … t dst (niltape ?))
 725 <(change_vec_same … t src (niltape ?)) in ⊢ (???(???%??));
 726 lapply (refl ? (nth dst (tape sig) t (niltape ?)))
 727 cases (nth dst (tape sig) t (niltape ?)) in ⊢ (???%→?);
 728 [ #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 729   >Hmid_src #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
 730   >nth_change_vec // >Htape_dst #_ * #s0 * normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 731 | #x0 #xs0 #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 732   >Hmid_src #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
 733   >nth_change_vec // >Htape_dst #_ normalize in ⊢ (%→?);
 734   * #s0 * #H destruct (H)
 735 | #x0 #xs0 #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 736   >Hmid_src #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
 737   >nth_change_vec // >Htape_dst #_ normalize in ⊢ (%→?);
 738   * #s0 * #H destruct (H)
 739 | #ls #s #rs lapply s -s lapply ls -ls lapply Hmid_src lapply t -t elim rs
 740   [#t #Hmid_src #ls #s #Hmid_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 741    >Hmid_src >nth_change_vec // >Hmid_dst #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
 742    >change_vec_change_vec #Ht1 #_ % #t2 whd in ⊢ (%→?);
 743    >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmid_src #HR
 744    cases (HR ?? (refl ??)) -HR #_
 745    >nth_change_vec // * #s1 * normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 746   |#r0 #rs0 #IH #t #Hmid_src #ls #s #Hmid_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?);
 747    >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmid_src
 748    #Htrue cases (Htrue ?? (refl ??)) -Htrue >change_vec_change_vec
 749    >nth_change_vec // >Hmid_dst whd in match (tape_move_mono ???); #Ht1
 750    * #s0 * whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) #_ >Ht1
 751    lapply (IH t1 ? (s0::ls) r0 ?)
 752    [ >Ht1 >nth_change_vec //
 753    | >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src
 754    | >Ht1 >nth_change_vec // ]
 755  ]
 756 ]
 757 qed. *)
 758
 759 lemma sem_match_m : ∀src,dst,sig,n.
 760 src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 761   match_m src dst sig n \vDash R_match_m src dst sig n.
 762 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst @WRealize_to_Realize [/2/| @wsem_match_m // ]
 763 qed.