matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/multi_universal/compare.ma".
  16 include "turing/multi_universal/par_test.ma".
  17 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  18
  19 definition Rtc_multi_true ≝
  20   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  21    (∃c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c ∧ test c = true) ∧ t2 = t1.
  22
  23 definition Rtc_multi_false ≝
  24   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  25     (∀c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c → test c = false) ∧ t2 = t1.
  26
  27 lemma sem_test_char_multi :
  28   ∀alpha,test,n,i.i ≤ n →
  29   inject_TM ? (test_char ? test) n i ⊨
  30   [ tc_true : Rtc_multi_true alpha test n i, Rtc_multi_false alpha test n i ].
  31 #alpha #test #n #i #Hin #int
  32 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_char alpha test) int)
  33 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  34 [ @Hloop
  35 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * * #c *
  36   #Hcur #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  37   [ %{c} % //
  38   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  39     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  40     [ >Hi0i @Hnth_i
  41     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  42 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  43   [ @Htestc
  44   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  45     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  46     [ >Hi0i @Hnth_i
  47     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  48 qed.
  49
  50 definition Rm_test_null_true ≝
  51   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  52    current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) ≠ None ? ∧ t2 = t1.
  53
  54 definition Rm_test_null_false ≝
  55   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  56     current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = None ? ∧ t2 = t1.
  57
  58 lemma sem_test_null_multi : ∀alpha,n,i.i ≤ n →
  59   inject_TM ? (test_null ?) n i ⊨
  60     [ tc_true : Rm_test_null_true alpha n i, Rm_test_null_false alpha n i ].
  61 #alpha #n #i #Hin #int
  62 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_null alpha) int)
  63 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  64 [ @Hloop
  65 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j % //
  66   @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  67   [ >Hi0i @sym_eq @Hnth_i | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  68 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j %
  69   [ @Hcur
  70   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) //
  71     #Hi0i @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  72 qed.
  73
  74 definition match_test ≝ λsrc,dst.λsig:DeqSet.λn.λv:Vector ? n.
  75   match (nth src (option sig) v (None ?)) with
  76   [ None ⇒  false
  77   | Some x ⇒  notb (nth dst (DeqOption sig) v (None ?) == None ?) ].
  78
  79 definition mmove_states ≝ initN 2.
  80
  81 definition mmove0 : mmove_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 2 (refl …)).
  82 definition mmove1 : mmove_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 2 (refl …)).
  83
  84 definition trans_mmove ≝
  85  λi,sig,n,D.
  86  λp:mmove_states × (Vector (option sig) (S n)).
  87  let 〈q,a〉 ≝ p in match (pi1 … q) with
  88  [ O ⇒ 〈mmove1,change_vec ? (S n) (null_action ? n) (〈None ?,D〉) i〉
  89  | S _ ⇒ 〈mmove1,null_action sig n〉 ].
  90
  91 definition mmove ≝
  92   λi,sig,n,D.
  93   mk_mTM sig n mmove_states (trans_mmove i sig n D)
  94     mmove0 (λq.q == mmove1).
  95
  96 definition Rm_multi ≝
  97   λalpha,n,i,D.λt1,t2:Vector ? (S n).
  98   t2 = change_vec ? (S n) t1 (tape_move alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) D) i.
  99
 100 lemma sem_move_multi :
 101   ∀alpha,n,i,D.i ≤ n →
 102   mmove i alpha n D ⊨ Rm_multi alpha n i D.
 103 #alpha #n #i #D #Hin #int %{2}
 104 %{(mk_mconfig ? mmove_states n mmove1 ?)}
 105 [| %
 106  [ whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (??%?); @eq_f %
 107  | whd >tape_move_multi_def
 108    <(change_vec_same … (ctapes …) i (niltape ?))
 109    >pmap_change <tape_move_multi_def >tape_move_null_action % ] ]
 110  qed.
 111
 112 definition rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.
 113   parmove src dst sig n L · mmove src sig n R · mmove dst sig n R.
 114
 115 definition R_rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 116   (∀x,x0,xs,rs.
 117     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs →
 118     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| →
 119     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 →
 120     outt = change_vec ??
 121            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) src)
 122            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) dst) ∧
 123   (∀x,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [] x rs →
 124    ∀ls0,y,rs0.nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 y rs0 →
 125    outt = int).
 126
 127 theorem accRealize_to_Realize :
 128   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
 129   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
 130 #sig #n #M #Rtrue #Rfalse #acc #HR #t
 131 cases (HR t) #k * #outc * * #Hloop
 132 #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % //
 133 cases (true_or_false (cstate sig (states sig n M) n outc == acc)) #Hcase
 134 [ % @Htrue @(\P Hcase) | %2 @Hfalse @(\Pf Hcase) ]
 135 qed.
 136
 137 lemma sem_rewind : ∀src,dst,sig,n.
 138   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 139   rewind src dst sig n ⊨ R_rewind src dst sig n.
 140 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 141 @(sem_seq_app sig n ????? (sem_parmoveL src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) ?)
 142 [| @(sem_seq_app sig n ????? (sem_move_multi … R ?) (sem_move_multi … R ?)) //
 143  @le_S_S_to_le // ]
 144 #ta #tb * #tc * * #Htc #_ * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Htb %
 145 [ #x #x0 #xs #rs #Hmidta_src #ls0 #y #y0 #target #rs0 #Hlen #Hmidta_dst
 146   >(Htc ??? Hmidta_src ls0 y (target@[y0]) rs0 ??) in Htd;
 147   [|>Hmidta_dst //
 148   |>length_append >length_append >Hlen % ]
 149   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 150   >change_vec_change_vec
 151   >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 152   >nth_change_vec // >reverse_append >reverse_single
 153   >reverse_append >reverse_single normalize in match (tape_move ???);
 154   >rev_append_def >append_nil #Htd >Htd in Htb;
 155   >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 156   cases ls0 [|#l1 #ls1] normalize in match (tape_move ???); //
 157 | #x #rs #Hmidta_src #ls0 #y #rs0 #Hmidta_dst
 158   lapply (Htc … Hmidta_src … (refl ??) Hmidta_dst) -Htc #Htc >Htc in Htd;
 159   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 160   >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 161   >nth_change_vec // lapply (refl ? ls0) cases ls0 in ⊢ (???%→%);
 162   [ #Hls0 #Htd >Htd in Htb;
 163     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
 164     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
 165     <Hls0 <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 166   | #l1 #ls1 #Hls0 #Htd >Htd in Htb;
 167     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
 168     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
 169     <Hls0 <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 170 ]]
 171 qed.
 172
 173 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n.
 174   compare src dst sig n ·
 175      (ifTM ?? (partest sig n (match_test src dst sig ?))
 176       (single_finalTM ??
 177         (rewind src dst sig n · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
 178       (nop …)
 179       partest1).
 180
 181 (* we assume the src is a midtape
 182    we stop
 183    if the dst is out of bounds (outt = int)
 184    or dst.right is shorter than src.right (outt.current → None)
 185    or src.right is a prefix of dst.right (out = just right of the common prefix) *)
 186 definition R_match_step_false ≝
 187   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 188   ∀ls,x,xs.
 189   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x xs →
 190   ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ?) ∧ outt = int) ∨
 191     (∃ls0,rs0,xs0. nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x rs0 ∧
 192       xs = rs0@xs0 ∧
 193       current sig (nth dst (tape sig) outt (niltape sig)) = None ?) ∨
 194     (∃ls0,rs0.
 195      nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
 196      (* ∀rsj,c.
 197      rs0 = c::rsj → *)
 198      outt = change_vec ??
 199             (change_vec ?? int (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls) (None ?) [ ]) src)
 200             (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (option_hd ? rs0) (tail ? rs0)) dst).
 201
 202 (*
 203    we assume the src is a midtape [ ] s rs
 204    if we iterate
 205    then dst.current = Some ? s1
 206    and  if s ≠ s1 then outt = int.dst.move_right()
 207    and  if s = s1
 208         then int.src.right and int.dst.right have a common prefix
 209         and  the heads of their suffixes are different
 210         and  outt = int.dst.move_right().
 211
 212  *)
 213 definition R_match_step_true ≝
 214   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 215   ∀s,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape ? [ ] s rs →
 216   outt = change_vec ?? int
 217          (tape_move_mono … (nth dst ? int (niltape ?)) (〈None ?,R〉)) dst ∧
 218   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s →
 219    ∃xs,ci,rs',ls0,cj,rs0.
 220    rs = xs@ci::rs' ∧
 221    nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 s (xs@cj::rs0) ∧
 222    ci ≠ cj).
 223
 224 axiom daemon : ∀X:Prop.X.
 225
 226 lemma sem_match_step :
 227   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 228   match_step src dst sig n ⊨
 229     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 230       R_match_step_true src dst sig n,
 231       R_match_step_false src dst sig n ].
 232 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 233 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)
 234     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ?))
 235       (sem_seq …
 236         (sem_rewind ???? Hneq Hsrc Hdst)
 237         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 238       (sem_nop …)))
 239 [ #ta #tb #tc * lapply (refl ? (current ? (nth src ? ta (niltape ?))))
 240   cases (current ? (nth src ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 241   [ #Hcurta_src #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| % %2 %]
 242     whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 243     >(?:nth src ? (current_chars ?? ta) (None ?) = None ?)
 244     [ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 245     | @daemon ]
 246   | #s #Hs lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 247     cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 248     [ #Hcurta_dst #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| %2 %]
 249       whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 250       >(?:nth src ? (current_chars ?? ta) (None ?) = Some ? s) [|@daemon]
 251       >(?:nth dst ? (current_chars ?? ta) (None ?) = None ?) [|@daemon]
 252       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 253     | #s0 #Hs0
 254       cases (current_to_midtape … Hs) #ls * #rs #Hmidta_src >Hmidta_src
 255       cases (current_to_midtape … Hs0) #ls0 * #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst
 256       cases (true_or_false (s == s0)) #Hss0
 257       [ lapply (\P Hss0) -Hss0 #Hss0 destruct (Hss0)
 258         #_ #Hcomp cases (Hcomp ????? (refl ??) (refl ??)) -Hcomp [ *
 259         [ * #rs' * #_ #Hcurtc_dst * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 260           >(?:nth dst ? (current_chars ?? tc) (None ?) = None ?) [|@daemon]
 261           cases (nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?))
 262           [| #x ] normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 263         | * #rs0' * #_ #Hcurtc_src * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 264           >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = None ?) [|@daemon]
 265           normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 266         | * #xs * #ci * #cj * #rs'' * #rs0' * * * #Hcicj #Hrs #Hrs0
 267           #Htc * #td * * #Hmatch #Htd destruct (Htd) * #te * *
 268           >Htc >change_vec_commute // >nth_change_vec //
 269           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec // #Hte #_ #Htb
 270           #s' #rs' >Hmidta_src #H destruct (H)
 271           lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??) (refl ??)) -Hte
 272           >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 273           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec #Hte
 274           >Hte in Htb; * * #_ >nth_change_vec // #Htb1
 275           lapply (Htb1 … (refl ??)) -Htb1 #Htb1 #Htb2 %
 276           [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi
 277             cases (true_or_false ((dst : DeqNat) == i)) #Hdsti
 278             [ <(\P Hdsti) >Htb1 >nth_change_vec // >Hmidta_dst
 279               >Hrs0 >reverse_reverse cases xs [|#r1 #rs1] %
 280             | <Htb2 [|@(\Pf Hdsti)] >nth_change_vec_neq [| @(\Pf Hdsti)]
 281               >Hrs0 >reverse_reverse >nth_change_vec_neq in ⊢ (???%);
 282               <Hrs <Hmidta_src [|@(\Pf Hdsti)] >change_vec_same % ]
 283           | #_ >Hmidta_dst >Hrs0
 284             %{xs} %{ci} %{rs''} %{ls0} %{cj} %{rs0'} % // % //
 285           ]
 286         ]
 287       | lapply (\Pf Hss0) -Hss0 #Hss0 #Htc cut (tc = ta)
 288         [@Htc % % @(not_to_not ??? Hss0) #H destruct (H) %]
 289         -Htc #Htc destruct (Htc) #_ * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_
 290         #Htd destruct (Htd) * #te * * #_ #Hte * * #_ #Htb1 #Htb2
 291         #s1 #rs1 >Hmidta_src #H destruct (H)
 292         lapply (Hte … Hmidta_src … Hmidta_dst) -Hte #Hte destruct (Hte) %
 293         [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi
 294           cases (true_or_false ((dst : DeqNat) == i)) #Hdsti
 295           [ <(\P Hdsti) >(Htb1 … Hmidta_dst) >nth_change_vec // >Hmidta_dst
 296             cases rs0 [|#r2 #rs2] %
 297           | <Htb2 [|@(\Pf Hdsti)] >nth_change_vec_neq [| @(\Pf Hdsti)] % ]
 298         | >Hs0 #H destruct (H) @False_ind cases (Hss0) /2/ ]
 299       ]
 300     ]
 301   ]
 302 | #ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * #Htest #Htd destruct (Htd)
 303   whd in ⊢ (%→?); #Htb destruct (Htb) #ls #x #xs #Hta_src
 304   lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 305   cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 306   [ #Hcurta_dst % % % // @Hcomp1 %2 //
 307   | #x0 #Hcurta_dst cases (current_to_midtape … Hcurta_dst) -Hcurta_dst
 308     #ls0 * #rs0 #Hta_dst cases (true_or_false (x == x0)) #Hxx0
 309     [ lapply (\P Hxx0) -Hxx0 #Hxx0 destruct (Hxx0)
 310     | >(?:tc=ta) in Htest;
 311       [|@Hcomp1 % % >Hta_src >Hta_dst @(not_to_not ??? (\Pf Hxx0)) normalize
 312         #Hxx0' destruct (Hxx0') % ]
 313       whd in ⊢ (??%?→?); >(?:nth src ? (current_chars ?? ta) (None ?) = Some ? x)
 314       [| @daemon ]
 315       >(?:nth dst ? (current_chars ?? ta) (None ?) = Some ? x0) [|@daemon]
 316       whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ] -Hcomp1
 317       cases (Hcomp2 … Hta_src Hta_dst) [ *
 318       [ * #rs' * #Hxs #Hcurtc % %2 %{ls0} %{rs0} %{rs'} % // % //
 319       | * #rs0' * #Hxs #Htc %2 >Htc %{ls0} %{rs0'} % // ]
 320       | * #xs0 * #ci * #cj * #rs' * #rs0' * * *
 321         #Hci #Hxs #Hrs0 #Htc @False_ind
 322         whd in Htest:(??%?);
 323         >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? ci) in Htest; [|@daemon]
 324         >(?:nth dst ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? cj) [|@daemon]
 325         normalize #H destruct (H) ] ] ]
 326 qed.
 327
 328 definition match_m ≝ λsrc,dst,sig,n.
 329   whileTM … (match_step src dst sig n)
 330     (inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop)))).
 331
 332 definition R_match_m ≝
 333   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 334   ∀x,rs.
 335   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [ ] x rs →
 336   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? → outt = int) ∧
 337   (∀ls0,x0,rs0.
 338    nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 339    (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::rs@l1 ∧
 340     outt = change_vec ??
 341            (change_vec ?? int
 342              (mk_tape sig (reverse ? rs@[x]) (None ?) [ ]) src)
 343            (mk_tape sig ((reverse ? (l@x::rs))@ls0) (option_hd ? l1) (tail ? l1)) dst) ∨
 344     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::rs@l1).
 345
 346 lemma not_sub_list_merge :
 347   ∀T.∀a,b:list T. (∀l1.a ≠ b@l1) → (∀t,l,l1.a ≠ t::l@b@l1) → ∀l,l1.a ≠ l@b@l1.
 348 #T #a #b #H1 #H2 #l elim l normalize //
 349 qed.
 350
 351 lemma not_sub_list_merge_2 :
 352   ∀T:DeqSet.∀a,b:list T.∀t. (∀l1.t::a ≠ b@l1) → (∀l,l1.a ≠ l@b@l1) → ∀l,l1.t::a ≠ l@b@l1.
 353 #T #a #b #t #H1 #H2 #l elim l //
 354 #t0 #l1 #IH #l2 cases (true_or_false (t == t0)) #Htt0
 355 [ >(\P Htt0) % normalize #H destruct (H) cases (H2 l1 l2) /2/
 356 | normalize % #H destruct (H) cases (\Pf Htt0) /2/ ]
 357 qed.
 358
 359
 360 lemma wsem_match_m : ∀src,dst,sig,n.
 361 src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 362   match_m src dst sig n ⊫ R_match_m src dst sig n.
 363 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 364 lapply (sem_while … (sem_match_step src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 365 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 366 [ #Hfalse #x #xs #Hmid_src
 367   cases (Hfalse … Hmid_src) -Hfalse
 368   [(* current dest = None *) *
 369     [ * #Hcur_dst #Houtc %
 370       [#_ >Houtc //
 371       | #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcur_dst;
 372         normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 373       ]
 374     | * #ls0 * #rs0 * #xs0 * * #Htc_dst #Hrs0 #HNone %
 375       [ >Htc_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 376       | #ls1 #x1 #rs1 >Htc_dst #H destruct (H)
 377         >Hrs0 cases xs0
 378         [ % %{[ ]} %{[ ]} % [ >append_nil >append_nil %]
 379           (* change false case
 380              #cj #ls2 #H destruct (H) *) @daemon
 381         | #x2 #xs2 %2 #l #l1 % #Habs lapply (eq_f ?? (length ?) ?? Habs)
 382           >length_append whd in ⊢ (??%(??%)→?); >length_append
 383           >length_append normalize >commutative_plus whd in ⊢ (???%→?);
 384           #H destruct (H) lapply e0 >(plus_n_O (|rs1|)) in ⊢ (??%?→?);
 385           >associative_plus >associative_plus
 386           #e1 lapply (injective_plus_r ??? e1) whd in ⊢ (???%→?);
 387           #e2 destruct (e2)
 388         ]
 389       ]
 390     ]
 391   |* #ls0 * #rs0 * #Hmid_dst #Houtc %
 392     [ >Hmid_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 393     |#ls1 #x1 #rs1 >Hmid_dst #H destruct (H)
 394      %1 %{[ ]} %{rs0} % [%]
 395      >reverse_cons >associative_append >Houtc %
 396     ]
 397   ]
 398 |-ta #ta #tc #Htrue #Hstar #IH #Hout lapply (IH Hout) -IH -Hout #IH whd
 399  #x #xs #Hmidta_src
 400  lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 401  cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 402   [#Hcurta_dst %
 403     [#_ whd in Htrue; >Hmidta_src in Htrue; #Htrue
 404      cases (Htrue ?? (refl ??)) -Htrue >Hcurta_dst
 405      (* dovremmo sapere che ta.dst è sul margine destro, da cui la move non
 406         ha effetto *) #_ cut (tc = ta) [@daemon] #Htc destruct (Htc) #_
 407      cases (IH … Hmidta_src) #Houtc #_ @Houtc //
 408     |#ls0 #x0 #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst in Hcurta_dst;
 409      normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 410     ]
 411   | #c #Hcurta_dst % [ >Hcurta_dst #H destruct (H) ]
 412     #ls0 #x0 #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst in Hcurta_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 413     #H destruct (H) whd in Htrue; >Hmidta_src in Htrue; #Htrue
 414     cases (Htrue ?? (refl …)) -Htrue >Hmidta_dst #Htc
 415     cases (true_or_false (x==c)) #eqx
 416     [ lapply (\P eqx) -eqx #eqx destruct (eqx)
 417       #Htrue cases (Htrue (refl ??)) -Htrue
 418       #xs0 * #ci * #rs' * #ls1 * #cj * #rs1 * * #Hxs #H destruct (H) #Hcicj
 419       >Htc in IH; whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 420       #IH cases (IH … Hmidta_src) -IH #_ >nth_change_vec //
 421       cut (∃x1,xs1.xs0@cj::rs1 = x1::xs1)
 422       [ cases xs0 [ %{cj} %{rs1} % | #x1 #xs1 %{x1} %{(xs1@cj::rs1)} % ] ] * #x1 * #xs1
 423       #Hxs1 >Hxs1 #IH cases (IH … (refl ??)) -IH
 424       [ * #l * #l1 * #Hxs1'
 425         >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 426         #Houtc % %{(c::l)} %{l1} %
 427         [ normalize <Hxs1' %
 428         | >reverse_cons >associative_append >change_vec_commute // @Houtc ]
 429       | #H %2 #l #l1 >(?:l@c::xs@l1 = l@(c::xs)@l1) [|%]
 430         @not_sub_list_merge
 431         [ #l2 >Hxs <Hxs1 % normalize #H1 lapply (cons_injective_r ????? H1)
 432           >associative_append #H2 lapply (append_l2_injective ????? (refl ??) H2)
 433           #H3 lapply (cons_injective_l ????? H3) #H3 >H3 in Hcicj; * /2/
 434         |#t #l2 #l3 % normalize #H1 lapply (cons_injective_r ????? H1)
 435          -H1 #H1 cases (H l2 l3) #H2 @H2 @H1
 436         ]
 437       ]
 438     | (* in match_step_true manca il caso di fallimento immediato
 439          (con i due current diversi) *)
 440       @daemon
 441       (*
 442        #_ lapply (\Pf eqx) -eqx #eqx >Hmidta_dst
 443        cases (Htrue ? (refl ??) eqx) -Htrue #Htb #Hendcx #_
 444        cases rs0 in Htb;
 445        [ #_ %2 #l #l1 cases l
 446        [ normalize cases xs
 447          [ cases l1
 448            [ normalize % #H destruct (H) cases eqx /2/
 449            | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 450          | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 451        | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H)cases l2 in e0;
 452          [ normalize #H1 destruct (H1)
 453          | #tmp2 #l3 normalize #H1 destruct (H1) ]
 454        ]
 455      | #r1 #rs1 normalize in ⊢ (???(????%?)→?); #Htb >Htb in IH; #IH
 456        cases (IH ls x xs end rs ? Hnotend Hend Hnotstart)
 457        [| >Htb >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src ] -IH
 458        #_ #IH cases (IH Hstart (c::ls0) r1 rs1 ?)
 459        [|| >nth_change_vec // ] -IH
 460        [ * #l * #l1 * #Hll1 #Hout % %{(c::l)} %{l1} % >Hll1 //
 461          >reverse_cons >associative_append #cj0 #ls #Hl1 >(Hout ?? Hl1)
 462          >change_vec_commute in ⊢ (??(???%??)?); // @sym_not_eq //
 463        | #IH %2 @(not_sub_list_merge_2 ?? (x::xs)) normalize [|@IH]
 464          #l1 % #H destruct (H) cases eqx /2/
 465        ] *)
 466     ]
 467   ]
 468 ]
 469 qed.
 470
 471 definition Pre_match_m ≝
 472   λsrc,sig,n,is_startc,is_endc.λt: Vector (tape sig) (S n).
 473   ∃start,xs,end.
 474   nth src (tape sig) t (niltape sig) = midtape ? [] start (xs@[end]) ∧
 475   is_startc start = true ∧
 476   (∀c.c ∈ (xs@[end]) = true → is_startc c = false) ∧
 477   (∀c.c ∈ (start::xs) = true → is_endc c = false) ∧
 478   is_endc end = true.
 479
 480 lemma terminate_match_m :
 481   ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc,t.
 482   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 483   Pre_match_m src sig n is_startc is_endc t →
 484   match_m src dst sig n is_startc is_endc ↓ t.
 485 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #t #Hneq #Hsrc #Hdst * #start * #xs * #end
 486 * * * * #Hmid_src #Hstart #Hnotstart #Hnotend #Hend
 487 @(terminate_while … (sem_match_step src dst sig n is_startc is_endc Hneq Hsrc Hdst)) //
 488 <(change_vec_same … t dst (niltape ?))
 489 lapply (refl ? (nth dst (tape sig) t (niltape ?)))
 490 cases (nth dst (tape sig) t (niltape ?)) in ⊢ (???%→?);
 491 [ #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 492   >Hmid_src #HR cases (HR ? (refl ??)) -HR
 493   >nth_change_vec // >Htape_dst normalize in ⊢ (%→?);
 494   * #H @False_ind @H %
 495 | #x0 #xs0 #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 496   >Hmid_src #HR cases (HR ? (refl ??)) -HR
 497   >nth_change_vec // >Htape_dst normalize in ⊢ (%→?);
 498   * #H @False_ind @H %
 499 | #x0 #xs0 #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 500   >Hmid_src #HR cases (HR ? (refl ??)) -HR
 501   >nth_change_vec // >Htape_dst normalize in ⊢ (%→?);
 502   * #H @False_ind @H %
 503 | #ls #s #rs lapply s -s lapply ls -ls lapply Hmid_src lapply t -t elim rs
 504   [#t #Hmid_src #ls #s #Hmid_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 505    >Hmid_src >nth_change_vec // >Hmid_dst #HR cases (HR ? (refl ??)) -HR #_
 506    #HR cases (HR Hstart Hnotstart)
 507    cases (true_or_false (start == s)) #Hs
 508    [ lapply (\P Hs) -Hs #Hs <Hs #_ #Htrue
 509      cut (∃ci,xs1.xs@[end] = ci::xs1)
 510      [ cases xs
 511        [ %{end} %{[]} %
 512        | #x1 #xs1 %{x1} %{(xs1@[end])} % ] ] * #ci * #xs1 #Hxs
 513      >Hxs in Htrue; #Htrue
 514      cases (Htrue [ ] start [ ] ? xs1 ? [ ] (refl ??) (refl ??) ?)
 515      [ * #_ * #H @False_ind @H % ]
 516      #c0 #Hc0 @Hnotend >(memb_single … Hc0) @memb_hd
 517    | lapply (\Pf Hs) -Hs #Hs #Htrue #_
 518      cases (Htrue ? (refl ??) Hs) -Htrue #Ht1 #_ %
 519      #t2 whd in ⊢ (%→?); #HR cases (HR start ?)
 520      [ >Ht1 >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); * #H @False_ind @H %
 521      | >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 522        >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmid_src % ]
 523    ]
 524   |#r0 #rs0 #IH #t #Hmid_src #ls #s #Hmid_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?);
 525    >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmid_src
 526    #Htrue cases (Htrue ? (refl ??)) -Htrue #_ #Htrue
 527    <(change_vec_same … t1 dst (niltape ?))
 528    cases (Htrue Hstart Hnotstart) -Htrue
 529    cases (true_or_false (start == s)) #Hs
 530    [ lapply (\P Hs) -Hs #Hs <Hs #_ #Htrue
 531     cut (∃ls0,xs0,ci,rs,rs0.
 532       nth src ? t (niltape ?) = midtape sig [ ] start (xs0@ci::rs) ∧
 533       nth dst ? t (niltape ?) = midtape sig ls0 s (xs0@rs0) ∧
 534       (is_endc ci = true ∨ (is_endc ci = false ∧ (∀b,tlb.rs0 = b::tlb → ci ≠ b))))
 535     [cases (comp_list ? (xs@[end]) (r0::rs0) is_endc) #xs0 * #xs1 * #xs2
 536       * * * #Hxs #Hrs #Hxs0notend #Hcomp >Hrs
 537       cut (∃y,ys. xs1 = y::ys)
 538       [ lapply Hxs0notend lapply Hxs lapply xs0 elim xs
 539         [ *
 540           [ normalize #Hxs1 <Hxs1 #_ %{end} %{[]} %
 541           | #z #zs normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) #H
 542             lapply (H ? (memb_hd …)) -H >Hend #H1 destruct (H1)
 543           ]
 544         | #y #ys #IH0 *
 545           [ normalize in ⊢ (%→?); #Hxs1 <Hxs1 #_ %{y} %{(ys@[end])} %
 546           | #z #zs normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) #Hmemb
 547             @(IH0 ? e0 ?) #c #Hc @Hmemb @memb_cons // ] ] ] * #y * #ys #Hxs1
 548       >Hxs1 in Hxs; #Hxs >Hmid_src >Hmid_dst >Hxs >Hrs
 549       %{ls} %{xs0} %{y} %{ys} %{xs2}
 550       % [ % // | @Hcomp // ] ]
 551     * #ls0 * #xs0 * #ci * #rs * #rs0 * * #Hmid_src' #Hmid_dst' #Hcomp
 552     <Hmid_src in Htrue; >nth_change_vec // >Hs #Htrue destruct (Hs)
 553     lapply (Htrue ??????? Hmid_src' Hmid_dst' ?) -Htrue
 554     [ #c0 #Hc0 @Hnotend cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 555       [ whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 556       | @memb_cons >Hmid_src in Hmid_src'; #Hmid_src' destruct (Hmid_src')
 557         lapply e0 -e0 @(list_elim_left … rs)
 558         [ #e0 destruct (e0) lapply (append_l1_injective_r ?????? e0) //
 559         | #x1 #xs1 #_ >append_cons in ⊢ (???%→?);
 560           <associative_append #e0 lapply (append_l1_injective_r ?????? e0) //
 561           #e1 >e1 @memb_append_l1 @memb_append_l1 // ] ]
 562     | * * #Hciendc cases rs0 in Hcomp;
 563       [ #_ * #H @False_ind @H %
 564       | #r1 #rs1 * [ >Hciendc #H destruct (H) ]
 565         * #_ #Hcomp lapply (Hcomp ?? (refl ??)) -Hcomp #Hcomp #_ #Htrue
 566         cases (Htrue ?? (refl ??) Hcomp) #Ht1 #_ >Ht1 @(IH ?? (s::ls) r0)
 567         [ >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 568           >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src
 569         | >nth_change_vec // >Hmid_dst % ] ] ]
 570   | >Hmid_dst >nth_change_vec // lapply (\Pf Hs) -Hs #Hs #Htrue #_
 571     cases (Htrue ? (refl ??) Hs) #Ht1 #_ >Ht1 @(IH ?? (s::ls) r0)
 572     [ >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 573       >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src
 574     | >nth_change_vec // ] ] ] ]
 575 qed.