matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/multi_universal/compare.ma".
  16 include "turing/multi_universal/par_test.ma".
  17
  18
  19 definition Rtc_multi_true ≝
  20   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  21    (∃c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c ∧ test c = true) ∧ t2 = t1.
  22
  23 definition Rtc_multi_false ≝
  24   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  25     (∀c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c → test c = false) ∧ t2 = t1.
  26
  27 lemma sem_test_char_multi :
  28   ∀alpha,test,n,i.i ≤ n →
  29   inject_TM ? (test_char ? test) n i ⊨
  30   [ tc_true : Rtc_multi_true alpha test n i, Rtc_multi_false alpha test n i ].
  31 #alpha #test #n #i #Hin #int
  32 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_char alpha test) int)
  33 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  34 [ @Hloop
  35 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * * #c *
  36   #Hcur #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  37   [ %{c} % //
  38   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  39     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  40     [ >Hi0i @Hnth_i
  41     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  42 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  43   [ @Htestc
  44   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  45     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  46     [ >Hi0i @Hnth_i
  47     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  48 qed.
  49
  50 definition Rm_test_null_true ≝
  51   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  52    current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) ≠ None ? ∧ t2 = t1.
  53
  54 definition Rm_test_null_false ≝
  55   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  56     current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = None ? ∧ t2 = t1.
  57
  58 lemma sem_test_null_multi : ∀alpha,n,i.i ≤ n →
  59   inject_TM ? (test_null ?) n i ⊨
  60     [ tc_true : Rm_test_null_true alpha n i, Rm_test_null_false alpha n i ].
  61 #alpha #n #i #Hin #int
  62 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_null alpha) int)
  63 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  64 [ @Hloop
  65 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j % //
  66   @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  67   [ >Hi0i @sym_eq @Hnth_i | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  68 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j %
  69   [ @Hcur
  70   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) //
  71     #Hi0i @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  72 qed.
  73
  74 axiom comp_list: ∀S:DeqSet. ∀l1,l2:list S.∀is_endc. ∃l,tl1,tl2.
  75   l1 = l@tl1 ∧ l2 = l@tl2 ∧ (∀c.c ∈ l = true → is_endc c = false) ∧
  76   ∀a,tla. tl1 = a::tla → is_endc a = true ∨ (∀b,tlb.tl2 = b::tlb → a≠b).
  77
  78 axiom daemon : ∀X:Prop.X.
  79
  80 definition match_test ≝ λsrc,dst.λsig:DeqSet.λn,is_endc.λv:Vector ? n.
  81   match (nth src (option sig) v (None ?)) with
  82   [ None ⇒  false
  83   | Some x ⇒  notb ((is_endc x) ∨ (nth dst (DeqOption sig) v (None ?) == None ?))].
  84
  85 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
  86   compare src dst sig n is_endc ·
  87      (ifTM ?? (partest sig n (match_test src dst sig ? is_endc))
  88       (single_finalTM ??
  89         (parmove src dst sig n L is_startc · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
  90       (nop …)
  91       partest1).
  92
  93 definition R_match_step_false ≝
  94   λsrc,dst,sig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  95   ∀ls,x,xs,end,rs.
  96   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) →
  97   (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → is_endc end = true →
  98    ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ?) ∧ outt = int) ∨
  99     (current sig (nth dst (tape sig) outt (niltape sig)) = None ?) ∨
 100    (∃ls0,rs0.
 101     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
 102     ∀rsj,c.
 103     rs0 = c::rsj →
 104     outt = change_vec ??
 105            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
 106            (midtape sig (reverse ? xs@x::ls0) c rsj) dst).
 107
 108 definition R_match_step_true ≝
 109   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 110   ∀s.current sig (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s →
 111   is_startc s = true →
 112   (∀c.c ∈ right ? (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = true → is_startc c = false) →
 113   current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) ≠ None ? ∧
 114   (∀s1.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s1 → s ≠ s1 →
 115    outt = change_vec ?? int
 116           (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈s1,R〉)) dst ∧ is_endc s = false) ∧
 117   (∀ls,x,xs,ci,cj,rs,ls0,rs0.
 118     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 119     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@cj::rs0) →
 120     (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) →
 121      ci ≠ cj →
 122      (outt = change_vec ?? int
 123            (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) dst ∧ is_endc ci = false)).
 124 (*    ∧
 125     (rs0 = [ ] →
 126      outt = change_vec ??
 127            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) src)
 128            (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (None ?) [ ]) dst)). *)
 129
 130 lemma sem_match_step :
 131   ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 132   match_step src dst sig n is_startc is_endc ⊨
 133     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 134       R_match_step_true src dst sig n is_startc is_endc,
 135       R_match_step_false src dst sig n is_endc ].
 136 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst
 137
 138 (*
 139 check (acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n is_endc Hneq Hsrc Hdst)
 140     (acc_sem_if ? n … (sem_test_char_multi sig (λa.is_endc a == false) n src (le_S_S_to_le … Hsrc))
 141       (sem_if ? n … (sem_test_null_multi sig n dst (le_S_S_to_le … Hdst))
 142         (sem_seq …
 143           (sem_parmoveL ???? is_startc Hneq Hsrc Hdst)
 144           (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 145         (sem_nop …))
 146       (sem_nop …))) *)
 147
 148
 149 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n is_endc Hneq Hsrc Hdst)
 150     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ? is_endc))
 151       (sem_seq …
 152         (sem_parmoveL ???? is_startc Hneq Hsrc Hdst)
 153         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 154       (sem_nop …)))
 155 [#ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * #Htest #Htd >Htd -Htd
 156  * #te * #Hte #Htb whd
 157  #s #Hcurta_src #Hstart #Hnotstart % [ %
 158  [ @daemon
 159  | #s1 #Hcurta_dst #Hneqss1 -Hcomp2
 160    cut (tc = ta)
 161    [@Hcomp1 %2 %1 %1 >Hcurta_src >Hcurta_dst @(not_to_not … Hneqss1) #H destruct (H) //]
 162    #H destruct (H) -Hcomp1 cases Hte #_ -Hte #Hte
 163    cut (te = ta) [@Hte %1 %1 %{s} % //] -Hte #H destruct (H) %
 164    [cases Htb * #_ #Hmove #Hmove1 @(eq_vec … (niltape … ))
 165     #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 166      [ >Hidst >nth_change_vec // cases (current_to_midtape … Hcurta_dst)
 167        #ls * #rs #Hta_mid >(Hmove … Hta_mid) >Hta_mid cases rs //
 168      | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @Hmove1 @sym_not_eq // ]
 169    | whd in Htest:(??%?); >(nth_vec_map ?? (current sig)) in Hcurta_src; #Hcurta_src
 170      >Hcurta_src in Htest; whd in ⊢ (??%?→?);
 171      cases (is_endc s) // whd in ⊢ (??%?→?); #H @sym_eq //
 172    ]]
 173  |
 174
 175   #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #rs00 #Htasrc_mid #Htadst_mid #Hnotendc
 176   cases rs00 in Htadst_mid;
 177    [(* case rs empty *) #Htadst_mid % [ #cj #rs1 #H destruct (H) ]
 178      #_ cases (Hcomp2 … Htasrc_mid Htadst_mid Hnotendc) -Hcomp2
 179      [2: * #x0 * #rs1 * #H destruct (H) ]
 180     * #_ #Htc cases Htb #td * * #_ #Htd >Htasrc_mid in Hcurta_src;
 181     normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 182     >Htd [2: %2 >Htc >nth_change_vec // cases (reverse sig ?) //]
 183     >Htc * * >nth_change_vec // #Htbdst #_ #Htbelse
 184      @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 185       [ >Hidst >nth_change_vec // <Htbdst // cases (reverse sig ?) //
 186       |@sym_eq @Htbelse @sym_not_eq //
 187       ]
 188     |#cj0 #rs0 #Htadst_mid % [| #H destruct (H) ]
 189      #cj #rs1 #H destruct (H) #Hcicj
 190      cases (Hcomp2 … Htasrc_mid Htadst_mid Hnotendc) [ * #H destruct (H) ]
 191      * #cj' * #rs0' * #Hcjrs0 destruct (Hcjrs0) -Hcomp2 #Hcomp2
 192      lapply (Hcomp2 (or_intror ?? Hcicj)) -Hcomp2 #Htc
 193      cases Htb #td * * #Htd #_ >Htasrc_mid in Hcurta_src; normalize in ⊢ (%→?);
 194      #H destruct (H)
 195      >(Htd ls ci (reverse ? xs) rs s ??? ls0 cj' (reverse ? xs) s rs0' (refl ??)) //
 196      [| >Htc >nth_change_vec //
 197      | #c0 #Hc0 @(Hnotstart c0) >Htasrc_mid
 198       cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 199       [@memb_append_l2 >(\P Hc0) @memb_hd
 200       |@memb_append_l1 <(reverse_reverse …xs) @memb_reverse //
 201       ]
 202     | >Htc >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ] @nth_change_vec // ]
 203     * * #_ #Htbdst #Htbelse %
 204     [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 205       [ >Hidst >nth_change_vec // >Htadst_mid >(Htbdst ls0 s (xs@cj'::rs0'))
 206         [ cases xs //
 207         | >nth_change_vec // ]
 208       | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 209         <Htbelse [|@sym_not_eq // ]
 210         >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 211         cases (decidable_eq_nat i src) #Hisrc
 212         [ >Hisrc >nth_change_vec // >Htasrc_mid //
 213         | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 214           <(Htbelse i) [|@sym_not_eq // ]
 215           >Htc >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ]
 216           >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ] //
 217         ]
 218        ]
 219     | >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 220       >nth_change_vec // whd in ⊢ (??%?→?);
 221       #H destruct (H) cases (is_endc c) in Hcend;
 222       normalize #H destruct (H) // ]
 223     ]
 224   ]
 225 |#intape #outtape #ta * #Hcomp1 #Hcomp2 * #tb * * #Hc #Htb
 226  whd in ⊢ (%→?); #Hout >Hout >Htb whd
 227  #ls #c_src #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
 228  lapply (current_to_midtape sig (nth dst ? intape (niltape ?)))
 229  cases (current … (nth dst ? intape (niltape ?))) in Hcomp1;
 230   [#Hcomp1 #_ %1 % [% | @Hcomp1 %2 %2 % ]
 231   |#c_dst cases (true_or_false (c_src == c_dst)) #Hceq
 232     [#_ #Hmid_dst cases (Hmid_dst c_dst (refl …)) -Hmid_dst
 233      #ls_dst * #rs_dst #Hmid_dst %2
 234      cases (comp_list … (xs@end::rs) rs_dst is_endc) #xs1 * #rsi * #rsj * * *
 235      #Hrs_src #Hrs_dst #Hnotendxs1 #Hneq %{ls_dst} %{rsj} >Hrs_dst in Hmid_dst; #Hmid_dst
 236      cut (∃r1,rs1.rsi = r1::rs1) [@daemon] * #r1 * #rs1 #Hrs1 >Hrs1 in Hrs_src;
 237      #Hrs_src >Hrs_src in Hmid_src; #Hmid_src <(\P Hceq) in Hmid_dst; #Hmid_dst
 238      lapply (Hcomp2 ??????? Hmid_src Hmid_dst ?)
 239      [ #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 240        [ >(\P Hc0) @Hnotend @memb_hd | @Hnotendxs1 //]
 241      | *
 242        [ * #Hrsj #Hta %
 243          [ >Hta in Hc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 244            #Hc lapply (Hc ? (refl ??)) #Hendr1
 245            cut (xs = xs1)
 246            [ lapply Hnotendxs1 lapply Hnotend lapply Hrs_src lapply xs1
 247              -Hnotendxs1 -Hnotend -Hrs_src -xs1 elim xs
 248              [ * normalize in ⊢ (%→?); //
 249                #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #_ #Hnotendxs1
 250                lapply (Hnotendxs1 ? (memb_hd …)) >Hend #H destruct (H)
 251              | #x2 #xs2 #IH *
 252                [ normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #Hnotendc
 253                  >Hnotendc in Hendr1; [| @memb_cons @memb_hd ]
 254                  normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 255                | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 256                  #Hnotendc #Hnotendcxs1 @eq_f @IH
 257                  [ @(cons_injective_r … Heq)
 258                  | #c0 #Hc0 @Hnotendc cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 259                    [ >(\P Hc0) @memb_hd
 260                    | @memb_cons @memb_cons // ]
 261                  | #c #Hc @Hnotendcxs1 @memb_cons // ]
 262                ]
 263              ]
 264            | #Hxsxs1 >Hmid_dst >Hxsxs1 % ]
 265          | #rsj0 #c >Hrsj #Hrsj0 destruct (Hrsj0) ]
 266        | * #cj * #rs2 * #Hrs2 #Hta lapply (Hta ?)
 267          [ cases (Hneq … Hrs1) /2/ #H %2 @(H ?? Hrs2) ]
 268          -Hta #Hta >Hta in Hc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 269          >nth_change_vec // #Hc lapply (Hc ? (refl ??)) #Hendr1
 270          (* lemmatize this proof *) cut (xs = xs1)
 271          [ lapply Hnotendxs1 lapply Hnotend lapply Hrs_src lapply xs1
 272            -Hnotendxs1 -Hnotend -Hrs_src -xs1 elim xs
 273            [ * normalize in ⊢ (%→?); //
 274              #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #_ #Hnotendxs1
 275              lapply (Hnotendxs1 ? (memb_hd …)) >Hend #H destruct (H)
 276            | #x2 #xs2 #IH *
 277              [ normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #Hnotendc
 278                >Hnotendc in Hendr1; [| @memb_cons @memb_hd ]
 279                normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 280              | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 281                #Hnotendc #Hnotendcxs1 @eq_f @IH
 282                [ @(cons_injective_r … Heq)
 283                | #c0 #Hc0 @Hnotendc cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 284                  [ >(\P Hc0) @memb_hd
 285                  | @memb_cons @memb_cons // ]
 286                | #c #Hc @Hnotendcxs1 @memb_cons // ]
 287              ]
 288            ]
 289          | #Hxsxs1 >Hmid_dst >Hxsxs1 % //
 290            #rsj0 #c #Hcrsj destruct (Hxsxs1 Hrs2 Hcrsj) @eq_f3 //
 291            @eq_f3 // lapply (append_l2_injective ?????? Hrs_src) //
 292            #Hendr1 destruct (Hendr1) % ]
 293        ]
 294      ]
 295    (* STOP *)
 296    |#Hcomp1 #Hsrc cases (Hsrc ? (refl ??)) -Hsrc #ls0 * #rs0 #Hdst
 297     @False_ind lapply (Hcomp1 ?) [%2 %1 %1 >Hmid_src normalize
 298     @(not_to_not ??? (\Pf Hceq)) #H destruct //] #Hintape
 299     >Hintape in Hc; >Hmid_src #Hc lapply (Hc ? (refl …)) -Hc
 300     >(Hnotend c_src) // normalize #H destruct (H)
 301    ]
 302   ]
 303 ]
 304 qed.
 305
 306 definition match_m ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 307   whileTM … (match_step src dst sig n is_startc is_endc)
 308     (inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop)))).
 309
 310 definition R_match_m ≝
 311   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 312 (*  (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? → outt = int) ∧ *)
 313   ∀ls,x,xs,end,rs.
 314   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) →
 315   (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → is_endc end = true →
 316   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? → outt = int) ∧
 317   (is_startc x = true →
 318    (∀ls0,x0,rs0.
 319     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 320     (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::xs@l1 ∧
 321      ∀cj,l2.l1=cj::l2 →
 322      outt = change_vec ??
 323             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
 324             (midtape sig ((reverse ? (l@x::xs))@ls0) cj l2) dst) ∨
 325     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::xs@l1)).
 326
 327 (*
 328 definition R_match_m ≝
 329   λi,j,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 330   (((∃x.current ? (nth i ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧ is_endc x = true) ∨
 331     current ? (nth i ? int (niltape ?)) = None ? ∨
 332     current ? (nth j ? int (niltape ?)) = None ?) → outt = int) ∧
 333   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,x0,rs0.
 334     (∀x. is_startc x ≠ is_endc x) →
 335     is_startc x = true → is_endc ci = true →
 336     (∀z. memb ? z (x::xs) = true → is_endc x = false) →
 337     nth i ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 338     nth j ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 339     (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::xs@l1 ∧
 340      ∀cj,l2.l1=cj::l2 →
 341      outt = change_vec ??
 342             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) i)
 343             (midtape sig ((reverse ? (l@x::xs))@ls0) cj l2) j) ∨
 344     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::xs@l1).
 345 *)
 346
 347 (*
 348 axiom sub_list_dec: ∀A.∀l,ls:list A.
 349   ∃l1,l2. l = l1@ls@l2 ∨ ∀l1,l2. l ≠ l1@ls@l2.
 350 *)
 351
 352 lemma wsem_match_m : ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 353 src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 354   match_m src dst sig n is_startc is_endc ⊫ R_match_m src dst sig n is_startc is_endc.
 355 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 356 lapply (sem_while … (sem_match_step src dst sig n is_startc is_endc Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 357 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 358 [ #tc #Hfalse #ls #x #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
 359   cases (Hfalse … Hmid_src Hnotend Hend) -Hfalse
 360   [(* current dest = None *) * #Hcur_dst #Houtc %
 361     [#_ >Houtc //
 362     |#Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcur_dst;
 363      normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 364     ]
 365   |* #ls0 * #rs0 * #Hmid_dst #HFalse %
 366     [ >Hmid_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 367     | #Hstart #ls1 #x1 #rs1 >Hmid_dst #H destruct (H)
 368      %1 %{[ ]} %{rs0} % [%] #cj #l2 #Hnotnil
 369      >reverse_cons >associative_append @(HFalse ?? Hnotnil)
 370     ]
 371   ]
 372 |#ta #tb #tc #Htrue #Hstar #IH #Hout lapply (IH Hout) -IH -Hout #IH whd
 373  #ls #x #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
 374  lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 375  cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 376   [#Hmid_dst %
 377     [#_ whd in Htrue; >Hmid_src in Htrue; #Htrue
 378      cases (Htrue x (refl … ) Hstart ?) -Htrue [2: @daemon]
 379      * #Htb #_ #_ >Htb in IH; // #IH
 380      cases (IH ls x xs end rs Hmid_src Hstart Hnotend Hend)
 381      #Hcur_outc #_ @Hcur_outc //
 382     |#ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst2 >Hmid_dst2 in Hmid_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 383      #H destruct (H)
 384     ]
 385   | #c #Hcurta_dst % [ >Hcurta_dst #H destruct (H) ]
 386     #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcurta_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 387     #H destruct (H) whd in Htrue; >Hmid_src in Htrue; #Htrue
 388     cases (Htrue x (refl …) Hstart ?) -Htrue
 389     [2: #z #membz @daemon (*aggiungere l'ipotesi*)]
 390     cases (true_or_false (x==c)) #eqx
 391     [ #_ #Htrue cases (comp_list ? (xs@end::rs) rs0 is_endc)
 392       #x1 * #tl1 * #tl2 * * * #Hxs #Hrs0 #Hnotendx1
 393       cases tl1 in Hxs;
 394       [>append_nil #Hx1 @daemon (* absurd by Hx1 e notendx1 *)]
 395       #ci -tl1 #tl1 #Hxs #H cases (H … (refl … ))
 396       [(* this is absurd, since Htrue conlcudes is_endc ci =false *)
 397        #Hend_ci @daemon (* lapply(Htrue … (refl …)) -Htrue *)
 398       |#Hcomp lapply (Htrue ls x x1 ci tl1 ls0 tl2 ???)
 399        [ #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) #Hc0
 400          [ @Hnotend >(\P Hc0) @memb_hd
 401          | @Hnotendx1 // ]
 402        | >Hmid_dst >Hrs0 >(\P eqx) %
 403        | >Hxs %
 404        | *  cases tl2 in Hrs0;
 405          [ >append_nil #Hrs0 #_ #Htb whd in IH;
 406            lapply (IH ls x x1 ci tl1 ? Hstart ??)
 407            [
 408            |
 409            | >Htb // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 410
 411         >Hrs0 in Hmid_dst; #Hmid_dst
 412        cases(Htrue ???????? Hmid_dst) -Htrue #Htb #Hendx
 413        whd in IH;
 414        cases(IH ls x xs end rs ? Hstart Hnotend Hend)
 415        [* #H1 #H2 >Htb in H1; >nth_change_vec //
 416         >Hmid_dst cases rs0 [2: #a #tl normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)]
 417         #_ %2 @daemon (* si dimostra *)
 418        |@daemon
 419        |>Htb >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src
 420        ]
 421     ]
 422   ]
 423 ]
 424 qed.
 425