]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma
unistep_aux
[helm.git] / matita / matita / lib / turing / multi_universal / match.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "turing/multi_universal/compare.ma".
16 include "turing/multi_universal/par_test.ma".
17 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
18
19 definition Rtc_multi_true ≝ 
20   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
21    (∃c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c ∧ test c = true) ∧ t2 = t1.
22    
23 definition Rtc_multi_false ≝ 
24   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
25     (∀c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c → test c = false) ∧ t2 = t1.
26
27 lemma sem_test_char_multi :
28   ∀alpha,test,n,i.i ≤ n → 
29   inject_TM ? (test_char ? test) n i ⊨ 
30   [ tc_true : Rtc_multi_true alpha test n i, Rtc_multi_false alpha test n i ].
31 #alpha #test #n #i #Hin #int
32 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_char alpha test) int)
33 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
34 [ @Hloop
35 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * * #c *
36   #Hcur #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
37   [ %{c} % //
38   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
39     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
40     [ >Hi0i @Hnth_i
41     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
42 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
43   [ @Htestc
44   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
45     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
46     [ >Hi0i @Hnth_i
47     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
48 qed.
49
50 definition Rm_test_null_true ≝ 
51   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
52    current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) ≠ None ? ∧ t2 = t1.
53    
54 definition Rm_test_null_false ≝ 
55   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
56     current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = None ? ∧ t2 = t1.
57
58 lemma sem_test_null_multi : ∀alpha,n,i.i ≤ n → 
59   inject_TM ? (test_null ?) n i ⊨ 
60     [ tc_true : Rm_test_null_true alpha n i, Rm_test_null_false alpha n i ].
61 #alpha #n #i #Hin #int
62 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_null alpha) int)
63 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
64 [ @Hloop
65 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j % //
66   @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
67   [ >Hi0i @sym_eq @Hnth_i | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] 
68 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j %
69   [ @Hcur
70   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) // 
71     #Hi0i @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] 
72 qed.
73
74 definition match_test ≝ λsrc,dst.λsig:DeqSet.λn.λv:Vector ? n.
75   match (nth src (option sig) v (None ?)) with 
76   [ None ⇒  false 
77   | Some x ⇒  notb (nth dst (DeqOption sig) v (None ?) == None ?) ].
78
79 definition mmove_states ≝ initN 2.
80
81 definition mmove0 : mmove_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 2 (refl …)).
82 definition mmove1 : mmove_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 2 (refl …)).
83
84 definition trans_mmove ≝ 
85  λi,sig,n,D.
86  λp:mmove_states × (Vector (option sig) (S n)).
87  let 〈q,a〉 ≝ p in match (pi1 … q) with
88  [ O ⇒ 〈mmove1,change_vec ? (S n) (null_action ? n) (〈None ?,D〉) i〉
89  | S _ ⇒ 〈mmove1,null_action sig n〉 ].
90
91 definition mmove ≝ 
92   λi,sig,n,D.
93   mk_mTM sig n mmove_states (trans_mmove i sig n D) 
94     mmove0 (λq.q == mmove1).
95     
96 definition Rm_multi ≝ 
97   λalpha,n,i,D.λt1,t2:Vector ? (S n).
98   t2 = change_vec ? (S n) t1 (tape_move alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) D) i.
99    
100 lemma sem_move_multi :
101   ∀alpha,n,i,D.i ≤ n → 
102   mmove i alpha n D ⊨ Rm_multi alpha n i D.
103 #alpha #n #i #D #Hin #int %{2}
104 %{(mk_mconfig ? mmove_states n mmove1 ?)} 
105 [| %
106  [ whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (??%?); @eq_f %
107  | whd >tape_move_multi_def
108    <(change_vec_same … (ctapes …) i (niltape ?))
109    >pmap_change <tape_move_multi_def >tape_move_null_action % ] ]
110  qed.
111   
112 definition rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.
113   parmove src dst sig n L · mmove src sig n R · mmove dst sig n R.
114
115 definition R_rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
116   (∀x,x0,xs,rs.
117     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs → 
118     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| → 
119     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 → 
120     outt = change_vec ?? 
121            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) src)
122            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) dst) ∧
123   (∀x,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [] x rs → 
124    ∀ls0,y,rs0.nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 y rs0 → 
125    outt = int).
126
127 (*
128 theorem accRealize_to_Realize :
129   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
130   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
131 #sig #n #M #Rtrue #Rfalse #acc #HR #t
132 cases (HR t) #k * #outc * * #Hloop
133 #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % // 
134 cases (true_or_false (cstate sig (states sig n M) n outc == acc)) #Hcase
135 [ % @Htrue @(\P Hcase) | %2 @Hfalse @(\Pf Hcase) ]
136 qed.
137 *)
138
139 lemma sem_rewind : ∀src,dst,sig,n.
140   src ≠ dst → src < S n → dst < S n → 
141   rewind src dst sig n ⊨ R_rewind src dst sig n.
142 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
143 @(sem_seq_app sig n ????? (sem_parmoveL src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) ?)
144 [| @(sem_seq_app sig n ????? (sem_move_multi … R ?) (sem_move_multi … R ?)) //
145  @le_S_S_to_le // ]
146 #ta #tb * #tc * * #Htc #_ * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Htb %
147 [ #x #x0 #xs #rs #Hmidta_src #ls0 #y #y0 #target #rs0 #Hlen #Hmidta_dst
148   >(Htc ??? Hmidta_src ls0 y (target@[y0]) rs0 ??) in Htd;
149   [|>Hmidta_dst //
150   |>length_append >length_append >Hlen % ]
151   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
152   >change_vec_change_vec
153   >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
154   >nth_change_vec // >reverse_append >reverse_single
155   >reverse_append >reverse_single normalize in match (tape_move ???);
156   >rev_append_def >append_nil #Htd >Htd in Htb;
157   >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
158   cases ls0 [|#l1 #ls1] normalize in match (tape_move ???); //
159 | #x #rs #Hmidta_src #ls0 #y #rs0 #Hmidta_dst
160   lapply (Htc … Hmidta_src … (refl ??) Hmidta_dst) -Htc #Htc >Htc in Htd;
161   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
162   >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] 
163   >nth_change_vec // lapply (refl ? ls0) cases ls0 in ⊢ (???%→%);
164   [ #Hls0 #Htd >Htd in Htb; 
165     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec 
166     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
167     <Hls0 <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
168   | #l1 #ls1 #Hls0 #Htd >Htd in Htb;
169     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec 
170     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
171     <Hls0 <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
172 ]]
173 qed.
174
175 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n.
176   compare src dst sig n ·
177      (ifTM ?? (partest sig n (match_test src dst sig ?))
178       (single_finalTM ??
179         (rewind src dst sig n · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
180       (nop …)
181       partest1).
182
183 (* we assume the src is a midtape
184    we stop
185    if the dst is out of bounds (outt = int)
186    or dst.right is shorter than src.right (outt.current → None)
187    or src.right is a prefix of dst.right (out = just right of the common prefix) *)
188 definition R_match_step_false ≝ 
189   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
190   ∀ls,x,xs.
191   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x xs →
192   ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ?) ∧ outt = int) ∨
193     (∃ls0,rs0,xs0. nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x rs0 ∧
194       xs = rs0@xs0 ∧
195       outt = change_vec ??
196              (change_vec ?? int (mk_tape sig (reverse ? rs0@x::ls) (option_hd ? xs0) (tail ? xs0)) src)
197              (mk_tape ? (reverse ? rs0@x::ls0) (None ?) [ ]) dst) ∨
198     (∃ls0,rs0. 
199      nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
200      (* ∀rsj,c. 
201      rs0 = c::rsj → *)
202      outt = change_vec ??
203             (change_vec ?? int (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls) (None ?) [ ]) src)
204             (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (option_hd ? rs0) (tail ? rs0)) dst).
205
206 (*
207    we assume the src is a midtape [ ] s rs
208    if we iterate
209    then dst.current = Some ? s1
210    and  if s ≠ s1 then outt = int.dst.move_right()
211    and  if s = s1 
212         then int.src.right and int.dst.right have a common prefix
213         and  the heads of their suffixes are different
214         and  outt = int.dst.move_right().
215                
216  *)
217 definition R_match_step_true ≝ 
218   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
219   ∀s,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape ? [ ] s rs → 
220   outt = change_vec ?? int 
221          (tape_move_mono … (nth dst ? int (niltape ?)) (〈None ?,R〉)) dst ∧
222   (∃s0.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s0 ∧
223    (s0 = s →  
224    ∃xs,ci,rs',ls0,cj,rs0.
225    rs = xs@ci::rs' ∧
226    nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 s (xs@cj::rs0) ∧
227    ci ≠ cj)).
228   
229 lemma sem_match_step :
230   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n → 
231   match_step src dst sig n ⊨ 
232     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) : 
233       R_match_step_true src dst sig n, 
234       R_match_step_false src dst sig n ].
235 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst 
236 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)
237     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ?))
238       (sem_seq … 
239         (sem_rewind ???? Hneq Hsrc Hdst) 
240         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
241       (sem_nop …)))
242 [ #ta #tb #tc * lapply (refl ? (current ? (nth src ? ta (niltape ?))))
243   cases (current ? (nth src ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
244   [ #Hcurta_src #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| % %2 %]
245     whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?); 
246     >nth_current_chars >Hcurta_src normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
247   | #s #Hs lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
248     cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
249     [ #Hcurta_dst #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| %2 %]
250       whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?); 
251       >nth_current_chars >nth_current_chars >Hs >Hcurta_dst 
252       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
253     | #s0 #Hs0
254       cases (current_to_midtape … Hs) #ls * #rs #Hmidta_src >Hmidta_src
255       cases (current_to_midtape … Hs0) #ls0 * #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst
256       cases (true_or_false (s == s0)) #Hss0
257       [ lapply (\P Hss0) -Hss0 #Hss0 destruct (Hss0) 
258         #_ #Hcomp cases (Hcomp ????? (refl ??) (refl ??)) -Hcomp [ *
259         [ * #rs' * #_ #Hcurtc_dst * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
260           >nth_current_chars >nth_current_chars >Hcurtc_dst 
261           cases (current ? (nth src …)) 
262           [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
263           | #x >nth_change_vec // cases (reverse ? rs0)
264             [ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
265             | #r1 #rs1 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
266         | * #rs0' * #_ #Hcurtc_src * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
267           >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = None ?) 
268           [|>nth_current_chars >Hcurtc_src >nth_change_vec_neq 
269             [>nth_change_vec [cases (append ???) // | @Hsrc] 
270             |@(not_to_not … Hneq) //
271             ]]
272           normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
273         | * #xs * #ci * #cj * #rs'' * #rs0' * * * #Hcicj #Hrs #Hrs0
274           #Htc * #td * * #Hmatch #Htd destruct (Htd) * #te * *
275           >Htc >change_vec_commute // >nth_change_vec //
276           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec // #Hte #_ #Htb
277           #s' #rs' >Hmidta_src #H destruct (H)
278           lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??) (refl ??)) -Hte
279           >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
280           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec #Hte
281           >Hte in Htb; * * #_ >nth_change_vec // #Htb1
282           lapply (Htb1 … (refl ??)) -Htb1 #Htb1 #Htb2 %
283           [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi
284             cases (true_or_false ((dst : DeqNat) == i)) #Hdsti
285             [ <(\P Hdsti) >Htb1 >nth_change_vec // >Hmidta_dst
286               >Hrs0 >reverse_reverse cases xs [|#r1 #rs1] %
287             | <Htb2 [|@(\Pf Hdsti)] >nth_change_vec_neq [| @(\Pf Hdsti)]
288               >Hrs0 >reverse_reverse >nth_change_vec_neq in ⊢ (???%); 
289               <Hrs <Hmidta_src [|@(\Pf Hdsti)] >change_vec_same % ]
290           | >Hmidta_dst %{s'} % [%] #_
291             >Hrs0 %{xs} %{ci} %{rs''} %{ls0} %{cj} %{rs0'} % // % // 
292           ]
293         ]
294       | lapply (\Pf Hss0) -Hss0 #Hss0 #Htc cut (tc = ta) 
295         [@Htc % % @(not_to_not ??? Hss0) #H destruct (H) %]
296         -Htc #Htc destruct (Htc) #_ * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_ 
297         #Htd destruct (Htd) * #te * * #_ #Hte * * #_ #Htb1 #Htb2
298         #s1 #rs1 >Hmidta_src #H destruct (H)
299         lapply (Hte … Hmidta_src … Hmidta_dst) -Hte #Hte destruct (Hte) %
300         [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi
301           cases (true_or_false ((dst : DeqNat) == i)) #Hdsti
302           [ <(\P Hdsti) >(Htb1 … Hmidta_dst) >nth_change_vec // >Hmidta_dst
303             cases rs0 [|#r2 #rs2] %
304           | <Htb2 [|@(\Pf Hdsti)] >nth_change_vec_neq [| @(\Pf Hdsti)] % ]
305         | >Hs0 %{s0} % // #H destruct (H) @False_ind cases (Hss0) /2/ ]
306       ]
307     ]
308   ]
309 | #ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * #Htest #Htd destruct (Htd)
310   whd in ⊢ (%→?); #Htb destruct (Htb) #ls #x #xs #Hta_src
311   lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
312   cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
313   [ #Hcurta_dst % % % // @Hcomp1 %2 //
314   | #x0 #Hcurta_dst cases (current_to_midtape … Hcurta_dst) -Hcurta_dst
315     #ls0 * #rs0 #Hta_dst cases (true_or_false (x == x0)) #Hxx0
316     [ lapply (\P Hxx0) -Hxx0 #Hxx0 destruct (Hxx0)
317     | >(?:tc=ta) in Htest; 
318       [|@Hcomp1 % % >Hta_src >Hta_dst @(not_to_not ??? (\Pf Hxx0)) normalize
319         #Hxx0' destruct (Hxx0') % ]
320       whd in ⊢ (??%?→?); 
321       >nth_current_chars >Hta_src >nth_current_chars >Hta_dst 
322       whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ] -Hcomp1
323       cases (Hcomp2 … Hta_src Hta_dst) [ *
324       [ * #rs' * #Hxs #Hcurtc % %2 %{ls0} %{rs0} %{rs'} %
325         [ % // | >Hcurtc % ]
326       | * #rs0' * #Hxs #Htc %2 >Htc %{ls0} %{rs0'} % // ]
327       | * #xs0 * #ci * #cj * #rs' * #rs0' * * *
328         #Hci #Hxs #Hrs0 #Htc @False_ind
329         whd in Htest:(??%?); 
330         >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? ci) in Htest; 
331         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec_neq [|@(not_to_not … Hneq) //]
332           >nth_change_vec //]
333         >(?:nth dst ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? cj) 
334         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec //]
335         normalize #H destruct (H) ] ] ]
336 qed.
337
338 definition match_m ≝ λsrc,dst,sig,n.
339   whileTM … (match_step src dst sig n) 
340     (inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop)))).
341
342 definition R_match_m ≝ 
343   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
344   ∀x,rs.
345   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [ ] x rs →
346   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? → 
347    right ? (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = [ ] → outt = int) ∧
348   (∀ls0,x0,rs0.
349    nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
350    (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::rs@l1 ∧
351     outt = change_vec ?? 
352            (change_vec ?? int 
353              (mk_tape sig (reverse ? rs@[x]) (None ?) [ ]) src)
354            (mk_tape sig ((reverse ? (l@x::rs))@ls0) (option_hd ? l1) (tail ? l1)) dst) ∨
355     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::rs@l1).
356
357 lemma not_sub_list_merge : 
358   ∀T.∀a,b:list T. (∀l1.a ≠ b@l1) → (∀t,l,l1.a ≠ t::l@b@l1) → ∀l,l1.a ≠ l@b@l1.
359 #T #a #b #H1 #H2 #l elim l normalize //
360 qed.
361
362 lemma not_sub_list_merge_2 : 
363   ∀T:DeqSet.∀a,b:list T.∀t. (∀l1.t::a ≠ b@l1) → (∀l,l1.a ≠ l@b@l1) → ∀l,l1.t::a ≠ l@b@l1.
364 #T #a #b #t #H1 #H2 #l elim l //
365 #t0 #l1 #IH #l2 cases (true_or_false (t == t0)) #Htt0
366 [ >(\P Htt0) % normalize #H destruct (H) cases (H2 l1 l2) /2/
367 | normalize % #H destruct (H) cases (\Pf Htt0) /2/ ]
368 qed.
369
370
371 lemma wsem_match_m : ∀src,dst,sig,n.
372 src ≠ dst → src < S n → dst < S n → 
373   match_m src dst sig n ⊫ R_match_m src dst sig n.
374 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
375 lapply (sem_while … (sem_match_step src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
376 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
377 [ #Hfalse #x #xs #Hmid_src
378   cases (Hfalse … Hmid_src) -Hfalse 
379   [(* current dest = None *) *
380     [ * #Hcur_dst #Houtc %
381       [#_ >Houtc //
382       | #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcur_dst; 
383         normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
384       ]
385     | * #ls0 * #rs0 * #xs0 * * #Htc_dst #Hrs0 #HNone %
386       [ >Htc_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
387       | #ls1 #x1 #rs1 >Htc_dst #H destruct (H)
388         >Hrs0 >HNone cases xs0
389         [ % %{[ ]} %{[ ]} % [ >append_nil >append_nil %]
390           @eq_f3 //
391           [ >reverse_append %
392           | >reverse_append >reverse_cons >reverse_append
393             >associative_append >associative_append % ]
394         | #x2 #xs2 %2 #l #l1 % #Habs lapply (eq_f ?? (length ?) ?? Habs)
395           >length_append whd in ⊢ (??%(??%)→?); >length_append
396           >length_append normalize >commutative_plus whd in ⊢ (???%→?);
397           #H destruct (H) lapply e0 >(plus_n_O (|rs1|)) in ⊢ (??%?→?);
398           >associative_plus >associative_plus 
399           #e1 lapply (injective_plus_r ??? e1) whd in ⊢ (???%→?);
400           #e2 destruct (e2)
401         ]
402       ]
403     ]
404   |* #ls0 * #rs0 * #Hmid_dst #Houtc %
405     [ >Hmid_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
406     |#ls1 #x1 #rs1 >Hmid_dst #H destruct (H)
407      %1 %{[ ]} %{rs0} % [%] 
408      >reverse_cons >associative_append >Houtc %
409     ]
410   ]
411 |-ta #ta #tc #Htrue #Hstar #IH #Hout lapply (IH Hout) -IH -Hout #IH whd
412  #x #xs #Hmidta_src
413  lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
414  cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?); 
415   [#Hcurta_dst % 
416     [#Hcurta_dst #Hrightta_dst whd in Htrue; >Hmidta_src in Htrue; #Htrue
417      cases (Htrue ?? (refl ??)) -Htrue #Htc
418      cut (tc = ta)
419      [ >Htc whd in match (tape_move_mono ???); whd in match (tape_write ???);
420        <(change_vec_same … ta dst (niltape ?)) in ⊢ (???%);
421        lapply Hrightta_dst lapply Hcurta_dst -Hrightta_dst -Hcurta_dst 
422        cases (nth dst ? ta (niltape ?))
423        [ #_ #_ %
424        | #r0 #rs0 #_ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
425        | #l0 #ls0 #_ #_ %
426        | #ls #x0 #rs normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
427      -Htc #Htc destruct (Htc) #_
428      cases (IH … Hmidta_src) #Houtc #_ @Houtc //
429     |#ls0 #x0 #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst in Hcurta_dst;
430      normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
431     ]
432   | #c #Hcurta_dst % [ >Hcurta_dst #H destruct (H) ]
433     #ls0 #x0 #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst in Hcurta_dst; normalize in ⊢ (%→?);
434     #H destruct (H) whd in Htrue; >Hmidta_src in Htrue; #Htrue
435     cases (Htrue ?? (refl …)) -Htrue >Hmidta_dst #Htc
436     cases (true_or_false (x==c)) #eqx
437     [ lapply (\P eqx) -eqx #eqx destruct (eqx) * #s0 * whd in ⊢ (??%?→?); #Hs0
438       destruct (Hs0) #Htrue cases (Htrue (refl ??)) -Htrue
439       #xs0 * #ci * #rs' * #ls1 * #cj * #rs1 * * #Hxs #H destruct (H) #Hcicj
440       >Htc in IH; whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
441       #IH cases (IH … Hmidta_src) -IH #_ >nth_change_vec //
442       cut (∃x1,xs1.xs0@cj::rs1 = x1::xs1)
443       [ cases xs0 [ %{cj} %{rs1} % | #x1 #xs1 %{x1} %{(xs1@cj::rs1)} % ] ] * #x1 * #xs1
444       #Hxs1 >Hxs1 #IH cases (IH … (refl ??)) -IH
445       [ * #l * #l1 * #Hxs1'
446         >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
447         #Houtc % %{(s0::l)} %{l1} % 
448         [ normalize <Hxs1' %
449         | >reverse_cons >associative_append >change_vec_commute // @Houtc ]
450       | #H %2 #l #l1 >(?:l@s0::xs@l1 = l@(s0::xs)@l1) [|%]
451         @not_sub_list_merge
452         [ #l2 >Hxs <Hxs1 % normalize #H1 lapply (cons_injective_r ????? H1)
453           >associative_append #H2 lapply (append_l2_injective ????? (refl ??) H2)
454           #H3 lapply (cons_injective_l ????? H3) #H3 >H3 in Hcicj; * /2/
455         |#t #l2 #l3 % normalize #H1 lapply (cons_injective_r ????? H1)
456          -H1 #H1 cases (H l2 l3) #H2 @H2 @H1
457         ]
458       ]
459     | #_ cases (IH x xs ?) -IH
460       [| >Htc >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmidta_src ]
461       >Htc >nth_change_vec // cases rs0
462       [ #_ #_ %2 #l #l1 cases l
463        [ normalize cases xs
464          [ cases l1
465            [ normalize % #H destruct (H) cases (\Pf eqx) /2/
466            | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
467          | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
468        | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H)cases l2 in e0;
469          [ normalize #H1 destruct (H1)
470          | #tmp2 #l3 normalize #H1 destruct (H1) ] ]
471       | #r1 #rs1 #_ #IH cases (IH … (refl ??)) -IH
472         [ * #l * #l1 * #Hll1 #Houtc % %{(c::l)} %{l1} % [ >Hll1 % ]
473           >Houtc >change_vec_commute // >change_vec_change_vec 
474           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
475           >reverse_cons >associative_append %
476         | #Hll1 %2 @(not_sub_list_merge_2 ?? (x::xs)) normalize [|@Hll1]
477          #l1 % #H destruct (H) cases (\Pf eqx) /2/
478         ]
479       ]
480     ]
481   ]
482 ]
483 qed.
484
485 definition Pre_match_m ≝ 
486   λsrc,sig,n.λt: Vector (tape sig) (S n).
487   ∃x,xs.
488   nth src (tape sig) t (niltape sig) = midtape ? [] x xs.
489   
490 lemma terminate_match_m :
491   ∀src,dst,sig,n,t.
492   src ≠ dst → src < S n → dst < S n → 
493   Pre_match_m src sig n t → 
494   match_m src dst sig n ↓ t.
495 #src #dst #sig #n #t #Hneq #Hsrc #Hdst * #start * #xs
496 #Hmid_src
497 @(terminate_while … (sem_match_step src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)) //
498 <(change_vec_same … t dst (niltape ?))
499 lapply (refl ? (nth dst (tape sig) t (niltape ?))) 
500 cases (nth dst (tape sig) t (niltape ?)) in ⊢ (???%→?);
501 [ #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
502   >Hmid_src #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
503   >nth_change_vec // >Htape_dst #_ * #s0 * normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
504 | #x0 #xs0 #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
505   >Hmid_src #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
506   >nth_change_vec // >Htape_dst #_ normalize in ⊢ (%→?);
507   * #s0 * #H destruct (H)
508 | #x0 #xs0 #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
509   >Hmid_src #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
510   >nth_change_vec // >Htape_dst #_ normalize in ⊢ (%→?);
511   * #s0 * #H destruct (H)
512 | #ls #s #rs lapply s -s lapply ls -ls lapply Hmid_src lapply t -t elim rs
513   [#t #Hmid_src #ls #s #Hmid_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
514    >Hmid_src >nth_change_vec // >Hmid_dst #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR 
515    >change_vec_change_vec #Ht1 #_ % #t2 whd in ⊢ (%→?);
516    >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmid_src #HR
517    cases (HR ?? (refl ??)) -HR #_
518    >nth_change_vec // * #s1 * normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
519   |#r0 #rs0 #IH #t #Hmid_src #ls #s #Hmid_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?);
520    >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmid_src
521    #Htrue cases (Htrue ?? (refl ??)) -Htrue >change_vec_change_vec
522    >nth_change_vec // >Hmid_dst whd in match (tape_move_mono ???); #Ht1
523    * #s0 * whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) #_ >Ht1
524    lapply (IH t1 ? (s0::ls) r0 ?) 
525    [ >Ht1 >nth_change_vec //
526    | >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src
527    | >Ht1 >nth_change_vec // ]
528  ]
529 ]
530 qed.