matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/multi_universal/compare.ma".
  16 include "turing/multi_universal/par_test.ma".
  17 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  18
  19 definition Rtc_multi_true ≝
  20   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  21    (∃c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c ∧ test c = true) ∧ t2 = t1.
  22
  23 definition Rtc_multi_false ≝
  24   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  25     (∀c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c → test c = false) ∧ t2 = t1.
  26
  27 lemma sem_test_char_multi :
  28   ∀alpha,test,n,i.i ≤ n →
  29   inject_TM ? (test_char ? test) n i ⊨
  30   [ tc_true : Rtc_multi_true alpha test n i, Rtc_multi_false alpha test n i ].
  31 #alpha #test #n #i #Hin #int
  32 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_char alpha test) int)
  33 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  34 [ @Hloop
  35 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * * #c *
  36   #Hcur #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  37   [ %{c} % //
  38   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  39     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  40     [ >Hi0i @Hnth_i
  41     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  42 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  43   [ @Htestc
  44   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  45     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  46     [ >Hi0i @Hnth_i
  47     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  48 qed.
  49
  50 definition Rm_test_null_true ≝
  51   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  52    current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) ≠ None ? ∧ t2 = t1.
  53
  54 definition Rm_test_null_false ≝
  55   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  56     current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = None ? ∧ t2 = t1.
  57
  58 lemma sem_test_null_multi : ∀alpha,n,i.i ≤ n →
  59   inject_TM ? (test_null ?) n i ⊨
  60     [ tc_true : Rm_test_null_true alpha n i, Rm_test_null_false alpha n i ].
  61 #alpha #n #i #Hin #int
  62 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_null alpha) int)
  63 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  64 [ @Hloop
  65 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j % //
  66   @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  67   [ >Hi0i @sym_eq @Hnth_i | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  68 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j %
  69   [ @Hcur
  70   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) //
  71     #Hi0i @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  72 qed.
  73
  74 definition match_test ≝ λsrc,dst.λsig:DeqSet.λn.λv:Vector ? n.
  75   match (nth src (option sig) v (None ?)) with
  76   [ None ⇒  false
  77   | Some x ⇒  notb (nth dst (DeqOption sig) v (None ?) == None ?) ].
  78
  79 definition mmove_states ≝ initN 2.
  80
  81 definition mmove0 : mmove_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 2 (refl …)).
  82 definition mmove1 : mmove_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 2 (refl …)).
  83
  84 definition trans_mmove ≝
  85  λi,sig,n,D.
  86  λp:mmove_states × (Vector (option sig) (S n)).
  87  let 〈q,a〉 ≝ p in match (pi1 … q) with
  88  [ O ⇒ 〈mmove1,change_vec ? (S n) (null_action ? n) (〈None ?,D〉) i〉
  89  | S _ ⇒ 〈mmove1,null_action sig n〉 ].
  90
  91 definition mmove ≝
  92   λi,sig,n,D.
  93   mk_mTM sig n mmove_states (trans_mmove i sig n D)
  94     mmove0 (λq.q == mmove1).
  95
  96 definition Rm_multi ≝
  97   λalpha,n,i,D.λt1,t2:Vector ? (S n).
  98   t2 = change_vec ? (S n) t1 (tape_move alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) D) i.
  99
 100 lemma sem_move_multi :
 101   ∀alpha,n,i,D.i ≤ n →
 102   mmove i alpha n D ⊨ Rm_multi alpha n i D.
 103 #alpha #n #i #D #Hin #int %{2}
 104 %{(mk_mconfig ? mmove_states n mmove1 ?)}
 105 [| %
 106  [ whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (??%?); @eq_f %
 107  | whd >tape_move_multi_def
 108    <(change_vec_same … (ctapes …) i (niltape ?))
 109    >pmap_change <tape_move_multi_def >tape_move_null_action % ] ]
 110  qed.
 111
 112 definition rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.
 113   parmove src dst sig n L · mmove src sig n R · mmove dst sig n R.
 114
 115 definition R_rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 116   (∀x,x0,xs,rs.
 117     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs →
 118     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| →
 119     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 →
 120     outt = change_vec ??
 121            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) src)
 122            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) dst) ∧
 123   (∀x,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [] x rs →
 124    ∀ls0,y,rs0.nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 y rs0 →
 125    outt = int).
 126
 127 (*
 128 theorem accRealize_to_Realize :
 129   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
 130   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
 131 #sig #n #M #Rtrue #Rfalse #acc #HR #t
 132 cases (HR t) #k * #outc * * #Hloop
 133 #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % //
 134 cases (true_or_false (cstate sig (states sig n M) n outc == acc)) #Hcase
 135 [ % @Htrue @(\P Hcase) | %2 @Hfalse @(\Pf Hcase) ]
 136 qed.
 137 *)
 138
 139 lemma sem_rewind : ∀src,dst,sig,n.
 140   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 141   rewind src dst sig n ⊨ R_rewind src dst sig n.
 142 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 143 @(sem_seq_app sig n ????? (sem_parmoveL src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) ?)
 144 [| @(sem_seq_app sig n ????? (sem_move_multi … R ?) (sem_move_multi … R ?)) //
 145  @le_S_S_to_le // ]
 146 #ta #tb * #tc * * #Htc #_ * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Htb %
 147 [ #x #x0 #xs #rs #Hmidta_src #ls0 #y #y0 #target #rs0 #Hlen #Hmidta_dst
 148   >(Htc ??? Hmidta_src ls0 y (target@[y0]) rs0 ??) in Htd;
 149   [|>Hmidta_dst //
 150   |>length_append >length_append >Hlen % ]
 151   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 152   >change_vec_change_vec
 153   >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 154   >nth_change_vec // >reverse_append >reverse_single
 155   >reverse_append >reverse_single normalize in match (tape_move ???);
 156   >rev_append_def >append_nil #Htd >Htd in Htb;
 157   >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 158   cases ls0 [|#l1 #ls1] normalize in match (tape_move ???); //
 159 | #x #rs #Hmidta_src #ls0 #y #rs0 #Hmidta_dst
 160   lapply (Htc … Hmidta_src … (refl ??) Hmidta_dst) -Htc #Htc >Htc in Htd;
 161   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 162   >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 163   >nth_change_vec // lapply (refl ? ls0) cases ls0 in ⊢ (???%→%);
 164   [ #Hls0 #Htd >Htd in Htb;
 165     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
 166     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
 167     <Hls0 <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 168   | #l1 #ls1 #Hls0 #Htd >Htd in Htb;
 169     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
 170     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
 171     <Hls0 <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 172 ]]
 173 qed.
 174
 175 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n.
 176   compare src dst sig n ·
 177      (ifTM ?? (partest sig n (match_test src dst sig ?))
 178       (single_finalTM ??
 179         (rewind src dst sig n · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
 180       (nop …)
 181       partest1).
 182
 183 (* we assume the src is a midtape
 184    we stop
 185    if the dst is out of bounds (outt = int)
 186    or dst.right is shorter than src.right (outt.current → None)
 187    or src.right is a prefix of dst.right (out = just right of the common prefix) *)
 188 definition R_match_step_false ≝
 189   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 190   ∀ls,x,xs.
 191   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x xs →
 192   ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ?) ∧ outt = int) ∨
 193     (∃ls0,rs0,xs0. nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x rs0 ∧
 194       xs = rs0@xs0 ∧
 195       outt = change_vec ??
 196              (change_vec ?? int (mk_tape sig (reverse ? rs0@x::ls) (option_hd ? xs0) (tail ? xs0)) src)
 197              (mk_tape ? (reverse ? rs0@x::ls0) (None ?) [ ]) dst) ∨
 198     (∃ls0,rs0.
 199      nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
 200      (* ∀rsj,c.
 201      rs0 = c::rsj → *)
 202      outt = change_vec ??
 203             (change_vec ?? int (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls) (None ?) [ ]) src)
 204             (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (option_hd ? rs0) (tail ? rs0)) dst).
 205
 206 (*
 207    we assume the src is a midtape [ ] s rs
 208    if we iterate
 209    then dst.current = Some ? s1
 210    and  if s ≠ s1 then outt = int.dst.move_right()
 211    and  if s = s1
 212         then int.src.right and int.dst.right have a common prefix
 213         and  the heads of their suffixes are different
 214         and  outt = int.dst.move_right().
 215
 216  *)
 217 definition R_match_step_true ≝
 218   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 219   ∀s,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape ? [ ] s rs →
 220   outt = change_vec ?? int
 221          (tape_move_mono … (nth dst ? int (niltape ?)) (〈None ?,R〉)) dst ∧
 222   (∃s0.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s0 ∧
 223    (s0 = s →
 224    ∃xs,ci,rs',ls0,cj,rs0.
 225    rs = xs@ci::rs' ∧
 226    nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 s (xs@cj::rs0) ∧
 227    ci ≠ cj)).
 228
 229 lemma sem_match_step :
 230   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 231   match_step src dst sig n ⊨
 232     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 233       R_match_step_true src dst sig n,
 234       R_match_step_false src dst sig n ].
 235 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 236 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)
 237     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ?))
 238       (sem_seq …
 239         (sem_rewind ???? Hneq Hsrc Hdst)
 240         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 241       (sem_nop …)))
 242 [ #ta #tb #tc * lapply (refl ? (current ? (nth src ? ta (niltape ?))))
 243   cases (current ? (nth src ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 244   [ #Hcurta_src #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| % %2 %]
 245     whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 246     >nth_current_chars >Hcurta_src normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 247   | #s #Hs lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 248     cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 249     [ #Hcurta_dst #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| %2 %]
 250       whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 251       >nth_current_chars >nth_current_chars >Hs >Hcurta_dst
 252       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 253     | #s0 #Hs0
 254       cases (current_to_midtape … Hs) #ls * #rs #Hmidta_src >Hmidta_src
 255       cases (current_to_midtape … Hs0) #ls0 * #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst
 256       cases (true_or_false (s == s0)) #Hss0
 257       [ lapply (\P Hss0) -Hss0 #Hss0 destruct (Hss0)
 258         #_ #Hcomp cases (Hcomp ????? (refl ??) (refl ??)) -Hcomp [ *
 259         [ * #rs' * #_ #Hcurtc_dst * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 260           >nth_current_chars >nth_current_chars >Hcurtc_dst
 261           cases (current ? (nth src …))
 262           [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 263           | #x >nth_change_vec // cases (reverse ? rs0)
 264             [ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 265             | #r1 #rs1 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 266         | * #rs0' * #_ #Hcurtc_src * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 267           >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = None ?)
 268           [|>nth_current_chars >Hcurtc_src >nth_change_vec_neq
 269             [>nth_change_vec [cases (append ???) // | @Hsrc]
 270             |@(not_to_not … Hneq) //
 271             ]]
 272           normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 273         | * #xs * #ci * #cj * #rs'' * #rs0' * * * #Hcicj #Hrs #Hrs0
 274           #Htc * #td * * #Hmatch #Htd destruct (Htd) * #te * *
 275           >Htc >change_vec_commute // >nth_change_vec //
 276           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec // #Hte #_ #Htb
 277           #s' #rs' >Hmidta_src #H destruct (H)
 278           lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??) (refl ??)) -Hte
 279           >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 280           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec #Hte
 281           >Hte in Htb; * * #_ >nth_change_vec // #Htb1
 282           lapply (Htb1 … (refl ??)) -Htb1 #Htb1 #Htb2 %
 283           [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi
 284             cases (true_or_false ((dst : DeqNat) == i)) #Hdsti
 285             [ <(\P Hdsti) >Htb1 >nth_change_vec // >Hmidta_dst
 286               >Hrs0 >reverse_reverse cases xs [|#r1 #rs1] %
 287             | <Htb2 [|@(\Pf Hdsti)] >nth_change_vec_neq [| @(\Pf Hdsti)]
 288               >Hrs0 >reverse_reverse >nth_change_vec_neq in ⊢ (???%);
 289               <Hrs <Hmidta_src [|@(\Pf Hdsti)] >change_vec_same % ]
 290           | >Hmidta_dst %{s'} % [%] #_
 291             >Hrs0 %{xs} %{ci} %{rs''} %{ls0} %{cj} %{rs0'} % // % //
 292           ]
 293         ]
 294       | lapply (\Pf Hss0) -Hss0 #Hss0 #Htc cut (tc = ta)
 295         [@Htc % % @(not_to_not ??? Hss0) #H destruct (H) %]
 296         -Htc #Htc destruct (Htc) #_ * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_
 297         #Htd destruct (Htd) * #te * * #_ #Hte * * #_ #Htb1 #Htb2
 298         #s1 #rs1 >Hmidta_src #H destruct (H)
 299         lapply (Hte … Hmidta_src … Hmidta_dst) -Hte #Hte destruct (Hte) %
 300         [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi
 301           cases (true_or_false ((dst : DeqNat) == i)) #Hdsti
 302           [ <(\P Hdsti) >(Htb1 … Hmidta_dst) >nth_change_vec // >Hmidta_dst
 303             cases rs0 [|#r2 #rs2] %
 304           | <Htb2 [|@(\Pf Hdsti)] >nth_change_vec_neq [| @(\Pf Hdsti)] % ]
 305         | >Hs0 %{s0} % // #H destruct (H) @False_ind cases (Hss0) /2/ ]
 306       ]
 307     ]
 308   ]
 309 | #ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * #Htest #Htd destruct (Htd)
 310   whd in ⊢ (%→?); #Htb destruct (Htb) #ls #x #xs #Hta_src
 311   lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 312   cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 313   [ #Hcurta_dst % % % // @Hcomp1 %2 //
 314   | #x0 #Hcurta_dst cases (current_to_midtape … Hcurta_dst) -Hcurta_dst
 315     #ls0 * #rs0 #Hta_dst cases (true_or_false (x == x0)) #Hxx0
 316     [ lapply (\P Hxx0) -Hxx0 #Hxx0 destruct (Hxx0)
 317     | >(?:tc=ta) in Htest;
 318       [|@Hcomp1 % % >Hta_src >Hta_dst @(not_to_not ??? (\Pf Hxx0)) normalize
 319         #Hxx0' destruct (Hxx0') % ]
 320       whd in ⊢ (??%?→?);
 321       >nth_current_chars >Hta_src >nth_current_chars >Hta_dst
 322       whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ] -Hcomp1
 323       cases (Hcomp2 … Hta_src Hta_dst) [ *
 324       [ * #rs' * #Hxs #Hcurtc % %2 %{ls0} %{rs0} %{rs'} %
 325         [ % // | >Hcurtc % ]
 326       | * #rs0' * #Hxs #Htc %2 >Htc %{ls0} %{rs0'} % // ]
 327       | * #xs0 * #ci * #cj * #rs' * #rs0' * * *
 328         #Hci #Hxs #Hrs0 #Htc @False_ind
 329         whd in Htest:(??%?);
 330         >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? ci) in Htest;
 331         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec_neq [|@(not_to_not … Hneq) //]
 332           >nth_change_vec //]
 333         >(?:nth dst ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? cj)
 334         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec //]
 335         normalize #H destruct (H) ] ] ]
 336 qed.
 337
 338 definition match_m ≝ λsrc,dst,sig,n.
 339   whileTM … (match_step src dst sig n)
 340     (inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop)))).
 341
 342 definition R_match_m ≝
 343   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 344   ∀x,rs.
 345   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [ ] x rs →
 346   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? →
 347    right ? (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = [ ] → outt = int) ∧
 348   (∀ls0,x0,rs0.
 349    nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 350    (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::rs@l1 ∧
 351     outt = change_vec ??
 352            (change_vec ?? int
 353              (mk_tape sig (reverse ? rs@[x]) (None ?) [ ]) src)
 354            (mk_tape sig ((reverse ? (l@x::rs))@ls0) (option_hd ? l1) (tail ? l1)) dst) ∨
 355     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::rs@l1).
 356
 357 lemma not_sub_list_merge :
 358   ∀T.∀a,b:list T. (∀l1.a ≠ b@l1) → (∀t,l,l1.a ≠ t::l@b@l1) → ∀l,l1.a ≠ l@b@l1.
 359 #T #a #b #H1 #H2 #l elim l normalize //
 360 qed.
 361
 362 lemma not_sub_list_merge_2 :
 363   ∀T:DeqSet.∀a,b:list T.∀t. (∀l1.t::a ≠ b@l1) → (∀l,l1.a ≠ l@b@l1) → ∀l,l1.t::a ≠ l@b@l1.
 364 #T #a #b #t #H1 #H2 #l elim l //
 365 #t0 #l1 #IH #l2 cases (true_or_false (t == t0)) #Htt0
 366 [ >(\P Htt0) % normalize #H destruct (H) cases (H2 l1 l2) /2/
 367 | normalize % #H destruct (H) cases (\Pf Htt0) /2/ ]
 368 qed.
 369
 370
 371 lemma wsem_match_m : ∀src,dst,sig,n.
 372 src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 373   match_m src dst sig n ⊫ R_match_m src dst sig n.
 374 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 375 lapply (sem_while … (sem_match_step src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 376 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 377 [ #Hfalse #x #xs #Hmid_src
 378   cases (Hfalse … Hmid_src) -Hfalse
 379   [(* current dest = None *) *
 380     [ * #Hcur_dst #Houtc %
 381       [#_ >Houtc //
 382       | #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcur_dst;
 383         normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 384       ]
 385     | * #ls0 * #rs0 * #xs0 * * #Htc_dst #Hrs0 #HNone %
 386       [ >Htc_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 387       | #ls1 #x1 #rs1 >Htc_dst #H destruct (H)
 388         >Hrs0 >HNone cases xs0
 389         [ % %{[ ]} %{[ ]} % [ >append_nil >append_nil %]
 390           @eq_f3 //
 391           [ >reverse_append %
 392           | >reverse_append >reverse_cons >reverse_append
 393             >associative_append >associative_append % ]
 394         | #x2 #xs2 %2 #l #l1 % #Habs lapply (eq_f ?? (length ?) ?? Habs)
 395           >length_append whd in ⊢ (??%(??%)→?); >length_append
 396           >length_append normalize >commutative_plus whd in ⊢ (???%→?);
 397           #H destruct (H) lapply e0 >(plus_n_O (|rs1|)) in ⊢ (??%?→?);
 398           >associative_plus >associative_plus
 399           #e1 lapply (injective_plus_r ??? e1) whd in ⊢ (???%→?);
 400           #e2 destruct (e2)
 401         ]
 402       ]
 403     ]
 404   |* #ls0 * #rs0 * #Hmid_dst #Houtc %
 405     [ >Hmid_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 406     |#ls1 #x1 #rs1 >Hmid_dst #H destruct (H)
 407      %1 %{[ ]} %{rs0} % [%]
 408      >reverse_cons >associative_append >Houtc %
 409     ]
 410   ]
 411 |-ta #ta #tc #Htrue #Hstar #IH #Hout lapply (IH Hout) -IH -Hout #IH whd
 412  #x #xs #Hmidta_src
 413  lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 414  cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 415   [#Hcurta_dst %
 416     [#Hcurta_dst #Hrightta_dst whd in Htrue; >Hmidta_src in Htrue; #Htrue
 417      cases (Htrue ?? (refl ??)) -Htrue #Htc
 418      cut (tc = ta)
 419      [ >Htc whd in match (tape_move_mono ???); whd in match (tape_write ???);
 420        <(change_vec_same … ta dst (niltape ?)) in ⊢ (???%);
 421        lapply Hrightta_dst lapply Hcurta_dst -Hrightta_dst -Hcurta_dst
 422        cases (nth dst ? ta (niltape ?))
 423        [ #_ #_ %
 424        | #r0 #rs0 #_ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 425        | #l0 #ls0 #_ #_ %
 426        | #ls #x0 #rs normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 427      -Htc #Htc destruct (Htc) #_
 428      cases (IH … Hmidta_src) #Houtc #_ @Houtc //
 429     |#ls0 #x0 #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst in Hcurta_dst;
 430      normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 431     ]
 432   | #c #Hcurta_dst % [ >Hcurta_dst #H destruct (H) ]
 433     #ls0 #x0 #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst in Hcurta_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 434     #H destruct (H) whd in Htrue; >Hmidta_src in Htrue; #Htrue
 435     cases (Htrue ?? (refl …)) -Htrue >Hmidta_dst #Htc
 436     cases (true_or_false (x==c)) #eqx
 437     [ lapply (\P eqx) -eqx #eqx destruct (eqx) * #s0 * whd in ⊢ (??%?→?); #Hs0
 438       destruct (Hs0) #Htrue cases (Htrue (refl ??)) -Htrue
 439       #xs0 * #ci * #rs' * #ls1 * #cj * #rs1 * * #Hxs #H destruct (H) #Hcicj
 440       >Htc in IH; whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 441       #IH cases (IH … Hmidta_src) -IH #_ >nth_change_vec //
 442       cut (∃x1,xs1.xs0@cj::rs1 = x1::xs1)
 443       [ cases xs0 [ %{cj} %{rs1} % | #x1 #xs1 %{x1} %{(xs1@cj::rs1)} % ] ] * #x1 * #xs1
 444       #Hxs1 >Hxs1 #IH cases (IH … (refl ??)) -IH
 445       [ * #l * #l1 * #Hxs1'
 446         >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 447         #Houtc % %{(s0::l)} %{l1} %
 448         [ normalize <Hxs1' %
 449         | >reverse_cons >associative_append >change_vec_commute // @Houtc ]
 450       | #H %2 #l #l1 >(?:l@s0::xs@l1 = l@(s0::xs)@l1) [|%]
 451         @not_sub_list_merge
 452         [ #l2 >Hxs <Hxs1 % normalize #H1 lapply (cons_injective_r ????? H1)
 453           >associative_append #H2 lapply (append_l2_injective ????? (refl ??) H2)
 454           #H3 lapply (cons_injective_l ????? H3) #H3 >H3 in Hcicj; * /2/
 455         |#t #l2 #l3 % normalize #H1 lapply (cons_injective_r ????? H1)
 456          -H1 #H1 cases (H l2 l3) #H2 @H2 @H1
 457         ]
 458       ]
 459     | #_ cases (IH x xs ?) -IH
 460       [| >Htc >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmidta_src ]
 461       >Htc >nth_change_vec // cases rs0
 462       [ #_ #_ %2 #l #l1 cases l
 463        [ normalize cases xs
 464          [ cases l1
 465            [ normalize % #H destruct (H) cases (\Pf eqx) /2/
 466            | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 467          | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 468        | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H)cases l2 in e0;
 469          [ normalize #H1 destruct (H1)
 470          | #tmp2 #l3 normalize #H1 destruct (H1) ] ]
 471       | #r1 #rs1 #_ #IH cases (IH … (refl ??)) -IH
 472         [ * #l * #l1 * #Hll1 #Houtc % %{(c::l)} %{l1} % [ >Hll1 % ]
 473           >Houtc >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 474           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 475           >reverse_cons >associative_append %
 476         | #Hll1 %2 @(not_sub_list_merge_2 ?? (x::xs)) normalize [|@Hll1]
 477          #l1 % #H destruct (H) cases (\Pf eqx) /2/
 478         ]
 479       ]
 480     ]
 481   ]
 482 ]
 483 qed.
 484
 485 definition Pre_match_m ≝
 486   λsrc,sig,n.λt: Vector (tape sig) (S n).
 487   ∃x,xs.
 488   nth src (tape sig) t (niltape sig) = midtape ? [] x xs.
 489
 490 lemma terminate_match_m :
 491   ∀src,dst,sig,n,t.
 492   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 493   Pre_match_m src sig n t →
 494   match_m src dst sig n ↓ t.
 495 #src #dst #sig #n #t #Hneq #Hsrc #Hdst * #start * #xs
 496 #Hmid_src
 497 @(terminate_while … (sem_match_step src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)) //
 498 <(change_vec_same … t dst (niltape ?))
 499 lapply (refl ? (nth dst (tape sig) t (niltape ?)))
 500 cases (nth dst (tape sig) t (niltape ?)) in ⊢ (???%→?);
 501 [ #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 502   >Hmid_src #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
 503   >nth_change_vec // >Htape_dst #_ * #s0 * normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 504 | #x0 #xs0 #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 505   >Hmid_src #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
 506   >nth_change_vec // >Htape_dst #_ normalize in ⊢ (%→?);
 507   * #s0 * #H destruct (H)
 508 | #x0 #xs0 #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 509   >Hmid_src #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
 510   >nth_change_vec // >Htape_dst #_ normalize in ⊢ (%→?);
 511   * #s0 * #H destruct (H)
 512 | #ls #s #rs lapply s -s lapply ls -ls lapply Hmid_src lapply t -t elim rs
 513   [#t #Hmid_src #ls #s #Hmid_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 514    >Hmid_src >nth_change_vec // >Hmid_dst #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
 515    >change_vec_change_vec #Ht1 #_ % #t2 whd in ⊢ (%→?);
 516    >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmid_src #HR
 517    cases (HR ?? (refl ??)) -HR #_
 518    >nth_change_vec // * #s1 * normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 519   |#r0 #rs0 #IH #t #Hmid_src #ls #s #Hmid_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?);
 520    >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmid_src
 521    #Htrue cases (Htrue ?? (refl ??)) -Htrue >change_vec_change_vec
 522    >nth_change_vec // >Hmid_dst whd in match (tape_move_mono ???); #Ht1
 523    * #s0 * whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) #_ >Ht1
 524    lapply (IH t1 ? (s0::ls) r0 ?)
 525    [ >Ht1 >nth_change_vec //
 526    | >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src
 527    | >Ht1 >nth_change_vec // ]
 528  ]
 529 ]
 530 qed.