matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/multi_universal/moves.ma".
  16 include "turing/if_multi.ma".
  17 include "turing/inject.ma".
  18 include "turing/basic_machines.ma".
  19
  20 definition compare_states ≝ initN 3.
  21
  22 definition comp0 : compare_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
  23 definition comp1 : compare_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
  24 definition comp2 : compare_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
  25
  26 (*
  27
  28 0) (x,x) → (x,x)(R,R) → 1
  29    (x,y≠x) → None 2
  30 1) (_,_) → None 1
  31 2) (_,_) → None 2
  32
  33 *)
  34
  35 definition trans_compare_step ≝
  36  λi,j.λsig:FinSet.λn.
  37  λp:compare_states × (Vector (option sig) (S n)).
  38  let 〈q,a〉 ≝ p in
  39  match pi1 … q with
  40  [ O ⇒ match nth i ? a (None ?) with
  41    [ None ⇒ 〈comp2,null_action ? n〉
  42    | Some ai ⇒ match nth j ? a (None ?) with
  43      [ None ⇒ 〈comp2,null_action ? n〉
  44      | Some aj ⇒ if ai == aj
  45          then 〈comp1,change_vec ? (S n)
  46                       (change_vec ? (S n) (null_action ? n) (Some ? 〈ai,R〉) i)
  47                         (Some ? 〈aj,R〉) j〉
  48          else 〈comp2,null_action ? n〉 ]
  49    ]
  50  | S q ⇒ match q with
  51    [ O ⇒ (* 1 *) 〈comp1,null_action ? n〉
  52    | S _ ⇒ (* 2 *) 〈comp2,null_action ? n〉 ] ].
  53
  54 definition compare_step ≝
  55   λi,j,sig,n.
  56   mk_mTM sig n compare_states (trans_compare_step i j sig n)
  57     comp0 (λq.q == comp1 ∨ q == comp2).
  58
  59 definition R_comp_step_true ≝
  60   λi,j,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  61   ∃x.
  62    current ? (nth i ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧
  63    current ? (nth j ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧
  64    outt = change_vec ??
  65             (change_vec ?? int
  66               (tape_move ? (nth i ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) i)
  67             (tape_move ? (nth j ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) j.
  68
  69 definition R_comp_step_false ≝
  70   λi,j:nat.λsig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  71   (current ? (nth i ? int (niltape ?)) ≠ current ? (nth j ? int (niltape ?)) ∨
  72    current ? (nth i ? int (niltape ?)) = None ? ∨
  73    current ? (nth j ? int (niltape ?)) = None ?) ∧ outt = int.
  74
  75 lemma comp_q0_q2_null :
  76   ∀i,j,sig,n,v.i < S n → j < S n →
  77   (nth i ? (current_chars ?? v) (None ?) = None ? ∨
  78    nth j ? (current_chars ?? v) (None ?) = None ?) →
  79   step sig n (compare_step i j sig n) (mk_mconfig ??? comp0 v)
  80   = mk_mconfig ??? comp2 v.
  81 #i #j #sig #n #v #Hi #Hj
  82 whd in ⊢ (? → ??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (?→??%?);
  83 * #Hcurrent
  84 [ @eq_f2
  85   [ whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcurrent %
  86   | whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >Hcurrent @tape_move_null_action ]
  87 | @eq_f2
  88   [ whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcurrent cases (nth i ?? (None sig)) //
  89   | whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >Hcurrent
  90     cases (nth i ?? (None sig)) [|#x] @tape_move_null_action ] ]
  91 qed.
  92
  93 lemma comp_q0_q2_neq :
  94   ∀i,j,sig,n,v.i < S n → j < S n →
  95   nth i ? (current_chars ?? v) (None ?) ≠ nth j ? (current_chars ?? v) (None ?) →
  96   step sig n (compare_step i j sig n) (mk_mconfig ??? comp0 v)
  97   = mk_mconfig ??? comp2 v.
  98 #i #j #sig #n #v #Hi #Hj lapply (refl ? (nth i ?(current_chars ?? v)(None ?)))
  99 cases (nth i ?? (None ?)) in ⊢ (???%→?);
 100 [ #Hnth #_ @comp_q0_q2_null // % //
 101 | #ai #Hai lapply (refl ? (nth j ?(current_chars ?? v)(None ?)))
 102   cases (nth j ?? (None ?)) in ⊢ (???%→?);
 103   [ #Hnth #_ @comp_q0_q2_null // %2 //
 104   | #aj #Haj #Hneq
 105     whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?); @eq_f2
 106     [ whd in match (trans ????); >Hai >Haj
 107       whd in ⊢ (??(???%)?); >(\bf ?) // @(not_to_not … Hneq) //
 108     | whd in match (trans ????); >Hai >Haj
 109       whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >(\bf ?) /2 by not_to_not/
 110       @tape_move_null_action
 111 ] ]
 112 qed.
 113
 114 lemma comp_q0_q1 :
 115   ∀i,j,sig,n,v,a.i ≠ j → i < S n → j < S n →
 116   nth i ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? a →
 117   nth j ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? a →
 118   step sig n (compare_step i j sig n) (mk_mconfig ??? comp0 v) =
 119     mk_mconfig ??? comp1
 120      (change_vec ? (S n)
 121        (change_vec ?? v
 122          (tape_move ? (nth i ? v (niltape ?)) (Some ? 〈a,R〉)) i)
 123        (tape_move ? (nth j ? v (niltape ?)) (Some ? 〈a,R〉)) j).
 124 #i #j #sig #n #v #a #Heq #Hi #Hj #Ha1 #Ha2
 125 whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?); @eq_f2
 126 [ whd in match (trans ????);
 127   >Ha1 >Ha2 whd in ⊢ (??(???%)?); >(\b ?) //
 128 | whd in match (trans ????);
 129   >Ha1 >Ha2 whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >(\b ?) //
 130   change with (change_vec ?????) in ⊢ (??(???????%)?);
 131   <(change_vec_same … v j (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
 132   <(change_vec_same … v i (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
 133   >pmap_change >pmap_change >tape_move_null_action
 134   @eq_f2 // @eq_f2 // >nth_change_vec_neq //
 135 ]
 136 qed.
 137
 138 lemma sem_comp_step :
 139   ∀i,j,sig,n.i ≠ j → i < S n → j < S n →
 140   compare_step i j sig n ⊨
 141     [ comp1: R_comp_step_true i j sig n,
 142              R_comp_step_false i j sig n ].
 143 #i #j #sig #n #Hneq #Hi #Hj #int
 144 lapply (refl ? (current ? (nth i ? int (niltape ?))))
 145 cases (current ? (nth i ? int (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 146 [ #Hcuri %{2} %
 147   [| % [ %
 148     [ whd in ⊢ (??%?); >comp_q0_q2_null /2/ % <Hcuri in ⊢ (???%);
 149       @sym_eq @nth_vec_map
 150     | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 151   | #_ % // % %2 // ] ]
 152 | #a #Ha lapply (refl ? (current ? (nth j ? int (niltape ?))))
 153   cases (current ? (nth j ? int (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 154   [ #Hcurj %{2} %
 155     [| % [ %
 156        [ whd in ⊢ (??%?); >comp_q0_q2_null /2/ %2 <Hcurj in ⊢ (???%);
 157          @sym_eq @nth_vec_map
 158        | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 159        | #_ % >Ha >Hcurj % % % #H destruct (H) ] ]
 160   | #b #Hb %{2} cases (true_or_false (a == b)) #Hab
 161     [ %
 162       [| % [ %
 163         [whd in ⊢  (??%?);  >(comp_q0_q1 … a Hneq Hi Hj) //
 164           [>(\P Hab) <Hb @sym_eq @nth_vec_map
 165           |<Ha @sym_eq @nth_vec_map ]
 166         | #_ whd >(\P Hab) %{b} % // % // <(\P Hab) // ]
 167         | * #H @False_ind @H %
 168       ] ]
 169     | %
 170       [| % [ %
 171         [whd in ⊢  (??%?);  >comp_q0_q2_neq //
 172          <(nth_vec_map ?? (current …) i ? int (niltape ?))
 173          <(nth_vec_map ?? (current …) j ? int (niltape ?)) >Ha >Hb
 174          @(not_to_not ??? (\Pf Hab)) #H destruct (H) %
 175         | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 176       | #_ % // % % >Ha >Hb @(not_to_not ??? (\Pf Hab)) #H destruct (H) % ] ]
 177     ]
 178   ]
 179 ]
 180 qed.
 181
 182 definition compare ≝ λi,j,sig,n.
 183   whileTM … (compare_step i j sig n) comp1.
 184
 185 definition R_compare ≝
 186   λi,j,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 187   ((current ? (nth i ? int (niltape ?))
 188     ≠ current ? (nth j ? int (niltape ?)) ∨
 189     current ? (nth i ? int (niltape ?)) = None ? ∨
 190     current ? (nth j ? int (niltape ?)) = None ?) → outt = int) ∧
 191   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,cj,rs0.
 192     nth i ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 193     nth j ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@cj::rs0) → ci ≠ cj →
 194     outt = change_vec ??
 195            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) i)
 196            (midtape sig (reverse ? xs@x::ls0) cj rs0) j).
 197
 198 lemma wsem_compare : ∀i,j,sig,n.i ≠ j → i < S n → j < S n →
 199   compare i j sig n ⊫ R_compare i j sig n.
 200 #i #j #sig #n #Hneq #Hi #Hj #ta #k #outc #Hloop
 201 lapply (sem_while … (sem_comp_step i j sig n Hneq Hi Hj) … Hloop) //
 202 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 203 [ #tc whd in ⊢ (%→?); * * [ *
 204   [ #Hcicj #Houtc %
 205     [ #_ @Houtc
 206     | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #cj #rs0 #Hnthi #Hnthj
 207       >Hnthi in Hcicj; >Hnthj normalize in ⊢ (%→?); * #H @False_ind @H %
 208     ]
 209   | #Hci #Houtc %
 210     [ #_ @Houtc
 211     | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #cj #rs0 #Hnthi >Hnthi in Hci;
 212       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 213   | #Hcj #Houtc %
 214     [ #_ @Houtc
 215     | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #cj #rs0 #_ #Hnthj >Hnthj in Hcj;
 216       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 217   | #tc #td #te * #x * * #Hci #Hcj #Hd #Hstar #IH #He lapply (IH He) -IH *
 218     #IH1 #IH2 %
 219     [ >Hci >Hcj * [* [* #H @False_ind @H % | #H destruct (H)] | #H destruct (H)]
 220     | #ls #c0 #xs #ci #rs #ls0 #cj #rs0 cases xs
 221       [ #Hnthi #Hnthj #Hcicj >IH1
 222         [ >Hd @eq_f3 //
 223           [ @eq_f3 // >(?:c0=x) [ >Hnthi % ]
 224             >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) %
 225           | >(?:c0=x) [ >Hnthj % ]
 226             >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) % ]
 227         | >Hd >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 228           >nth_change_vec // >Hnthi >Hnthj normalize %1 %1 @(not_to_not ??? Hcicj)
 229           #H destruct (H) % ]
 230       | #x0 #xs0 #Hnthi #Hnthj #Hcicj
 231         >(IH2 (c0::ls) x0 xs0 ci rs (c0::ls0) cj rs0 … Hcicj)
 232         [ >Hd >change_vec_commute in ⊢ (??%?); //
 233           >change_vec_change_vec >change_vec_commute in ⊢ (??%?); //
 234           @sym_not_eq //
 235         | >Hd >nth_change_vec // >Hnthj normalize
 236           >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) %
 237         | >Hd >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hnthi
 238           >nth_change_vec // normalize
 239           >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) %
 240         ]
 241 ]]]
 242 qed.
 243
 244 lemma terminate_compare :  ∀i,j,sig,n,t.
 245   i ≠ j → i < S n → j < S n →
 246   compare i j sig n  ↓ t.
 247 #i #j #sig #n #t #Hneq #Hi #Hj
 248 @(terminate_while … (sem_comp_step …)) //
 249 <(change_vec_same … t i (niltape ?))
 250 cases (nth i (tape sig) t (niltape ?))
 251 [ % #t1 * #x * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
 252 |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #x * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
 253 | #ls #c #rs lapply c -c lapply ls -ls lapply t -t elim rs
 254   [#t #ls #c % #t1 * #x * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?);
 255    #H1 destruct (H1) #Hxsep >change_vec_change_vec #Ht1 %
 256    #t2 * #x0 * * >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 257    >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 258   |#r0 #rs0 #IH #t #ls #c % #t1 * #x * * >nth_change_vec //
 259    normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) #Hcur
 260    >change_vec_change_vec >change_vec_commute // #Ht1 >Ht1 @IH
 261   ]
 262 ]
 263 qed.
 264
 265 lemma sem_compare : ∀i,j,sig,n.
 266   i ≠ j → i < S n → j < S n →
 267   compare i j sig n ⊨ R_compare i j sig n.
 268 #i #j #sig #n #Hneq #Hi #Hj @WRealize_to_Realize /2/
 269 qed.
 270
 271 (*
 272    |conf1   $
 273    |confin 0/1 confout move
 274
 275   match machine step ≝
 276     compare;
 277     if (cur(src) != $)
 278       then
 279         parmoveL;
 280         moveR(dst);
 281       else nop
 282  *)
 283
 284 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 285   compare src dst sig n ·
 286     (ifTM ?? (inject_TM ? (test_char ? (λa.is_endc a == false)) n src)
 287       (single_finalTM ??
 288         (parmove src dst sig n L is_startc · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
 289       (nop …)
 290       tc_true).
 291
 292 definition Rtc_multi_true ≝
 293   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
 294    (∃c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c ∧ test c = true) ∧ t2 = t1.
 295
 296 definition Rtc_multi_false ≝
 297   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
 298     (∀c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c → test c = false) ∧ t2 = t1.
 299
 300 definition R_match_step_false ≝
 301   λsrc,dst,sig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 302    ((current ? (nth src ? int (niltape ?)) ≠ current ? (nth dst ? int (niltape ?)) ∨
 303      current sig (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = None ? ∨
 304      current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? ) ∧ outt = int) ∨
 305    ∃ls,ls0,rs,rs0,x,xs. ∀rsi,rsj,end,c.
 306     rs = end::rsi → rs0 = c::rsj →
 307     is_endc end = true ∧
 308     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@rs) ∧
 309     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
 310     outt = change_vec ??
 311            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rsi) src)
 312            (midtape sig (reverse ? xs@x::ls0) c rsj) dst.
 313
 314 definition R_match_step_true ≝
 315   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 316   ∀s.current sig (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s →
 317   is_startc s = true →
 318   (∀s1.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s1 →
 319    s ≠ s1 →
 320    outt = change_vec ?? int
 321           (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈s1,R〉)) dst ∧ is_endc s = false) ∧
 322   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,cj,rs0.
 323     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 324     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@cj::rs0) → ci ≠ cj →
 325     outt = change_vec ?? int
 326            (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) dst ∧ is_endc ci = false).
 327
 328 lemma sem_test_char_multi :
 329   ∀alpha,test,n,i.i ≤ n →
 330   inject_TM ? (test_char ? test) n i ⊨
 331   [ tc_true : Rtc_multi_true alpha test n i, Rtc_multi_false alpha test n i ].
 332 #alpha #test #n #i #Hin #int
 333 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_char alpha test) int)
 334 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
 335 [ @Hloop
 336 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * * #c *
 337   #Hcur #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
 338   [ %{c} % //
 339   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
 340     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
 341     [ >Hi0i @Hnth_i
 342     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
 343 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
 344   [ @Htestc
 345   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
 346     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
 347     [ >Hi0i @Hnth_i
 348     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
 349 qed.
 350
 351 axiom comp_list: ∀S:DeqSet. ∀l1,l2:list S. ∃l,tl1,tl2.
 352   l1 = l@tl1 ∧ l2 = l@tl2 ∧ ∀a,b,tla,tlb. tl1 = a::tla → tl2 = b::tlb → a≠b.
 353
 354 axiom daemon : ∀X:Prop.X.
 355
 356 lemma sem_match_step :
 357   ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 358   match_step src dst sig n is_startc is_endc ⊨
 359     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 360       R_match_step_true src dst sig n is_startc is_endc,
 361       R_match_step_false src dst sig n is_endc ].
 362 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst
 363 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)
 364     (acc_sem_if ? n … (sem_test_char_multi sig (λa.is_endc a == false) n src (le_S_S_to_le … Hsrc))
 365       (sem_seq …
 366         (sem_parmoveL ???? is_startc Hneq Hsrc Hdst)
 367         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 368       (sem_nop …)))
 369 [#ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * * #c * #Hcurtc #Hcend #Htd >Htd -Htd
 370  #Htb #s #Hcurta_src #Hstart %
 371  [ #s1 #Hcurta_dst #Hneqss1
 372    lapply Htb lapply Hcurtc -Htb -Hcurtc >(?:tc=ta)
 373    [|@Hcomp1 % % >Hcurta_src >Hcurta_dst @(not_to_not … Hneqss1) #H destruct (H) % ]
 374    #Hcurtc * #te * * #_ #Hte >Hte // whd in ⊢ (%→?); * * #_ #Htbdst #Htbelse %
 375    [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 376      [ >Hidst >nth_change_vec // cases (current_to_midtape … Hcurta_dst)
 377        #ls * #rs #Hta_mid >(Htbdst … Hta_mid) >Hta_mid cases rs //
 378      | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @Htbelse @sym_not_eq // ]
 379    | >Hcurtc in Hcurta_src; #H destruct (H) cases (is_endc s) in Hcend;
 380      normalize #H destruct (H) // ]
 381  |#ls #x #xs #ci #rs #ls0 #cj #rs0 #Htasrc_mid #Htadst_mid #Hcicj
 382   lapply (Hcomp2 … Htasrc_mid Htadst_mid Hcicj) -Hcomp2 #Hcomp2
 383   cases Htb #td * * #Htd #_ >Htasrc_mid in Hcurta_src; normalize in ⊢ (%→?);
 384   #H destruct (H)
 385   >(Htd ls ci (reverse ? xs) rs s ??? ls0 cj (reverse ? xs) s rs0 (refl ??)) //
 386   [| >Hcomp2 >nth_change_vec //
 387    | @daemon
 388    | >Hcomp2 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ] @nth_change_vec // ]
 389   * * #_ #Htbdst #Htbelse %
 390   [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 391      [ >Hidst >nth_change_vec // >Htadst_mid >(Htbdst ls0 s (xs@cj::rs0))
 392        [ cases xs //
 393        | >nth_change_vec // ]
 394      | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 395        <Htbelse [|@sym_not_eq // ]
 396        >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 397        STOP.
 398
 399        >nth_change_vec in Htbdst; // #Htbdst >(Htbdst
 400      … Htadst_mid) >Hta_mid cases rs //
 401      | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @Htbelse @sym_not_eq // ]
 402    | >Hcurtc in Hcurta_src; #H destruct (H) cases (is_endc s) in Hcend;
 403      normalize #H destruct (H) // ]
 404 |#intape #outtape #ta * #Hcomp1 #Hcomp2 * #tb * * #Hc #Htb
 405  whd in ⊢ (%→?); #Hout >Hout >Htb whd
 406  lapply (current_to_midtape sig (nth src ? intape (niltape ?)))
 407  cases (current … (nth src ? intape (niltape ?))) in Hcomp1;
 408   [#Hcomp1 #_ %1 % [%1 %2 // | @Hcomp1 %1 %2 %]
 409   |#c_src lapply (current_to_midtape sig (nth dst ? intape (niltape ?)))
 410    cases (current … (nth dst ? intape (niltape ?)))
 411     [#_ #Hcomp1 #_ %1 % [%2 % | @Hcomp1 %2 %]
 412     |#c_dst cases (true_or_false (c_src == c_dst)) #Hceq
 413       [#Hmid_dst cases (Hmid_dst c_dst (refl …)) -Hmid_dst
 414        #ls_dst * #rs_dst #Hmid_dst #_
 415        #Hmid_src cases (Hmid_src c_src (refl …)) -Hmid_src
 416        #ls_src * #rs_src #Hmid_src %2
 417        cases (comp_list … rs_src rs_dst) #xs * #rsi * #rsj * *
 418        #Hrs_src #Hrs_dst #Hneq
 419        %{ls_src} %{ls_dst} %{rsi} %{rsj} %{c_src} %{xs}
 420        #rsi0 #rsj0 #end #c #Hend #Hc_dst
 421        >Hrs_src in Hmid_src; >Hend #Hmid_src
 422        >Hrs_dst in Hmid_dst; >Hc_dst <(\P Hceq) #Hmid_dst
 423        lapply(Hcomp2 … Hmid_src Hmid_dst ?)
 424         [@(Hneq … Hend Hc_dst)]
 425        -Hcomp2 #Hcomp2 <Hcomp2
 426         % // % [ %
 427           [>Hcomp2 in Hc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 428            >nth_change_vec // #H lapply (H ? (refl …))
 429            cases (is_endc end) normalize //
 430           |@Hmid_src]
 431           |@Hmid_dst]
 432       |#_ #Hcomp1 #_ %1 %
 433         [% % @(not_to_not ??? (\Pf Hceq)) #H destruct (H) //
 434         |@Hcomp1 %1 %1 @(not_to_not ??? (\Pf Hceq)) #H destruct (H) //
 435         ]
 436       ]
 437     ]
 438   ]
 439
 440
 441 2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); * #Hc #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1 %
 442   [lapply(Hc c ?) [>Ht1 %] #Hgrid @injective_notb @Hgrid |>H1 @H]
 443
 444
 445
 446