matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/multi_universal/compare.ma".
  16 include "turing/multi_universal/par_test.ma".
  17 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  18
  19 definition Rtc_multi_true ≝
  20   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  21    (∃c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c ∧ test c = true) ∧ t2 = t1.
  22
  23 definition Rtc_multi_false ≝
  24   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  25     (∀c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c → test c = false) ∧ t2 = t1.
  26
  27 lemma sem_test_char_multi :
  28   ∀alpha,test,n,i.i ≤ n →
  29   inject_TM ? (test_char ? test) n i ⊨
  30   [ tc_true : Rtc_multi_true alpha test n i, Rtc_multi_false alpha test n i ].
  31 #alpha #test #n #i #Hin #int
  32 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_char alpha test) int)
  33 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  34 [ @Hloop
  35 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * * #c *
  36   #Hcur #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  37   [ %{c} % //
  38   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  39     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  40     [ >Hi0i @Hnth_i
  41     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  42 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  43   [ @Htestc
  44   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  45     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  46     [ >Hi0i @Hnth_i
  47     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  48 qed.
  49
  50 definition Rm_test_null_true ≝
  51   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  52    current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) ≠ None ? ∧ t2 = t1.
  53
  54 definition Rm_test_null_false ≝
  55   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  56     current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = None ? ∧ t2 = t1.
  57
  58 lemma sem_test_null_multi : ∀alpha,n,i.i ≤ n →
  59   inject_TM ? (test_null ?) n i ⊨
  60     [ tc_true : Rm_test_null_true alpha n i, Rm_test_null_false alpha n i ].
  61 #alpha #n #i #Hin #int
  62 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_null alpha) int)
  63 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  64 [ @Hloop
  65 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j % //
  66   @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  67   [ >Hi0i @sym_eq @Hnth_i | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  68 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j %
  69   [ @Hcur
  70   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) //
  71     #Hi0i @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  72 qed.
  73
  74 definition match_test ≝ λsrc,dst.λsig:DeqSet.λn.λv:Vector ? n.
  75   match (nth src (option sig) v (None ?)) with
  76   [ None ⇒  false
  77   | Some x ⇒  notb (nth dst (DeqOption sig) v (None ?) == None ?) ].
  78
  79 definition rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.parmove src dst sig n L · parmove_step src dst sig n R.
  80
  81 definition R_rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  82   (∀x,x0,xs,rs.
  83     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs →
  84     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| →
  85     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 →
  86     outt = change_vec ??
  87            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) src)
  88            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) dst).
  89
  90 theorem accRealize_to_Realize :
  91   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
  92   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
  93 #sig #n #M #Rtrue #Rfalse #acc #HR #t
  94 cases (HR t) #k * #outc * * #Hloop
  95 #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % //
  96 cases (true_or_false (cstate sig (states sig n M) n outc == acc)) #Hcase
  97 [ % @Htrue @(\P Hcase) | %2 @Hfalse @(\Pf Hcase) ]
  98 qed.
  99
 100 lemma sem_rewind : ∀src,dst,sig,n.
 101   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 102   rewind src dst sig n ⊨ R_rewind src dst sig n.
 103 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 104 check acc_sem_seq_app
 105 @(sem_seq_app sig n ????? (sem_parmoveL src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)
 106   (accRealize_to_Realize … (sem_parmove_step src dst sig n R Hneq Hsrc Hdst)))
 107 #ta #tb * #tc * * #HR1 #_ #HR2
 108 #x #x0 #xs #rs #Hmidta_src #ls0 #y #y0 #target #rs0 #Hlen #Hmidta_dst
 109 >(HR1 ??? Hmidta_src ls0 y (target@[y0]) rs0 ??) in HR2;
 110 [|>Hmidta_dst //
 111 |>length_append >length_append >Hlen % ] *
 112 [ whd in ⊢ (%→?); * #x1 * #x2 * *
 113   >change_vec_commute in ⊢ (%→?); // >nth_change_vec //
 114   cases (reverse sig (xs@[x0])@x::rs)
 115   [|#z #zs] normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 116 | whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htb >Htb -Htb FAIL
 117
 118    normalize in ⊢ (%→?);
 119     (sem_parmove_step src dst sig n R Hneq Hsrc Hdst))
 120     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ?))
 121       (sem_seq …
 122         (sem_parmoveL ???? Hneq Hsrc Hdst)
 123         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 124       (sem_nop …)))
 125
 126
 127 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n.
 128   compare src dst sig n ·
 129      (ifTM ?? (partest sig n (match_test src dst sig ?))
 130       (single_finalTM ??
 131         (rewind src dst sig n · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
 132       (nop …)
 133       partest1).
 134
 135 definition R_match_step_false ≝
 136   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 137   ∀ls,x,xs.
 138   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x xs →
 139   ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ?) ∧ outt = int) ∨
 140     (∃ls0,rs0,xs0. nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x rs0 ∧
 141       xs = rs0@xs0 ∧
 142       current sig (nth dst (tape sig) outt (niltape sig)) = None ?) ∨
 143     (∃ls0,rs0.
 144      nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
 145      (* ∀rsj,c.
 146      rs0 = c::rsj → *)
 147      outt = change_vec ??
 148             (change_vec ?? int (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls) (None ?) [ ]) src)
 149             (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (option_hd ? rs0) (tail ? rs0)) dst).
 150
 151 (*definition R_match_step_true ≝
 152   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 153   ∀s,rs.current sig (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s →
 154   current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) ≠ None ? ∧
 155   (∀s1.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s1 → s ≠ s1 →
 156    outt = change_vec ?? int
 157           (tape_move_mono … (nth dst ? int (niltape ?)) (〈Some ? s1,R〉)) dst) ∧
 158   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,rs0.
 159     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 160     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) →
 161     rs0 ≠ [] ∧
 162     ∀cj,rs1.rs0 = cj::rs1 →
 163     ci ≠ cj →
 164     (outt = change_vec ?? int
 165         (tape_move_mono … (nth dst ? int (niltape ?)) (〈None ?,R〉)) dst)).
 166 *)
 167 definition R_match_step_true ≝
 168   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 169   ∀s.current sig (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s →
 170   ∃s1.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s1 ∧
 171   (left ? (nth src ? int (niltape ?)) = [ ] →
 172    (s ≠ s1 →
 173     outt = change_vec ?? int
 174           (tape_move_mono … (nth dst ? int (niltape ?)) (〈None ?,R〉)) dst) ∧
 175    (∀xs,ci,rs,ls0,rs0.
 176     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [] s (xs@ci::rs) →
 177     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 s (xs@rs0) →
 178     rs0 ≠ [] ∧
 179     ∀cj,rs1.rs0 = cj::rs1 →
 180     ci ≠ cj →
 181     (outt = change_vec ?? int
 182         (tape_move_mono … (nth dst ? int (niltape ?)) (〈None ?,R〉)) dst))).
 183
 184 lemma sem_match_step :
 185   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 186   match_step src dst sig n ⊨
 187     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 188       R_match_step_true src dst sig n,
 189       R_match_step_false src dst sig n ].
 190 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 191 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)
 192     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ?))
 193       (sem_seq …
 194         (sem_parmoveL ???? Hneq Hsrc Hdst)
 195         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 196       (sem_nop …)))
 197 [#ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * #Htest
 198  * #te * #Hte #Htb #s #Hcurta_src whd
 199  cut (∃s1.current sig (nth dst (tape sig) ta (niltape sig))=Some sig s1)
 200  [ lapply Hcomp1 -Hcomp1
 201    lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 202    cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 203    [ #Hcurta_dst #Hcomp1 >Hcomp1 in Htest; // *
 204      change with (vec_map ?????) in match (current_chars ???); whd in ⊢ (??%?→?);
 205      <(nth_vec_map ?? (current ?) src ? ta (niltape ?))
 206      <(nth_vec_map ?? (current ?) dst ? ta (niltape ?))
 207      >Hcurta_src >Hcurta_dst whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 208    | #s1 #_ #_ %{s1} % ] ]
 209  * #s1 #Hcurta_dst %{s1} % // #Hleftta %
 210  [ #Hneqss1 -Hcomp2 cut (tc = ta)
 211    [@Hcomp1 %1 %1 >Hcurta_src >Hcurta_dst @(not_to_not … Hneqss1) #H destruct (H) //]
 212     #H destruct (H) -Hcomp1 cut (td = ta)
 213     [ cases Htest -Htest // ] #Htdta destruct (Htdta)
 214     cases Hte -Hte #Hte #_
 215     cases (current_to_midtape … Hcurta_src) #ls * #rs #Hmidta_src
 216     cases (current_to_midtape … Hcurta_dst) #ls0 * #rs0 #Hmidta_dst
 217     >Hmidta_src in Hleftta; normalize in ⊢ (%→?); #Hls destruct (Hls)
 218     >(Hte s [ ] rs Hmidta_src ls0 s1 [ ] rs0 (refl ??) Hmidta_dst) in Htb;
 219     * whd in ⊢ (%→?);
 220     mid
 221
 222       in Htb;
 223     cut (te = ta)
 224     [ cases Htest -Htest #Htest #Htdta <Htdta @Hte %1 >Htdta @Hcurta_src %{s} % //]
 225     -Hte #H destruct (H) %
 226     [cases Htb * #_ #Hmove #Hmove1 @(eq_vec … (niltape … ))
 227      #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 228       [ >Hidst >nth_change_vec // cases (current_to_midtape … Hcurta_dst)
 229         #ls * #rs #Hta_mid >(Hmove … Hta_mid) >Hta_mid cases rs //
 230       | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @Hmove1 @sym_not_eq // ]
 231     | whd in Htest:(??%?); >(nth_vec_map ?? (current sig)) in Hcurta_src; #Hcurta_src
 232       >Hcurta_src in Htest; whd in ⊢ (??%?→?);
 233       cases (is_endc s) // whd in ⊢ (??%?→?); #H @sym_eq //
 234     ]
 235    <(nth_vec_map ?? (current ?) dst ? tc (niltape ?))
 236     >Hcurta_src normalize
 237    lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 238    cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 239    [| #s1 #Hcurta_dst %
 240      [ % #Hfalse destruct (Hfalse)
 241      | #s1' #Hs1 destruct (Hs1) #Hneqss1 -Hcomp2
 242        cut (tc = ta)
 243        [@Hcomp1 %1 %1 >Hcurta_src >Hcurta_dst @(not_to_not … Hneqss1) #H destruct (H) //]
 244        #H destruct (H) -Hcomp1 cases Hte -Hte #_ #Hte
 245        cut (te = ta) [ cases Htest -Htest #Htest #Htdta <Htdta @Hte %1 %{s} % //] -Hte #H destruct (H) %
 246        [cases Htb * #_ #Hmove #Hmove1 @(eq_vec … (niltape … ))
 247         #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 248          [ >Hidst >nth_change_vec // cases (current_to_midtape … Hcurta_dst)
 249            #ls * #rs #Hta_mid >(Hmove … Hta_mid) >Hta_mid cases rs //
 250          | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @Hmove1 @sym_not_eq // ]
 251        | whd in Htest:(??%?); >(nth_vec_map ?? (current sig)) in Hcurta_src; #Hcurta_src
 252          >Hcurta_src in Htest; whd in ⊢ (??%?→?);
 253          cases (is_endc s) // whd in ⊢ (??%?→?); #H @sym_eq //
 254        ]
 255
 256       ]
 257    #Hcurta_dst >Hcomp1 in Htest; [| %2 %2 //]
 258    whd in ⊢ (??%?→?); change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 259     <nth_vec_map >Hcurta_src whd in ⊢ (??%?→?); <nth_vec_map
 260     >Hcurta_dst cases (is_endc s) normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 261  | #Hstart #Hnotstart %
 262    [ #s1 #Hcurta_dst #Hneqss1 -Hcomp2
 263      cut (tc = ta)
 264      [@Hcomp1 %2 %1 %1 >Hcurta_src >Hcurta_dst @(not_to_not … Hneqss1) #H destruct (H) //]
 265      #H destruct (H) -Hcomp1 cases Hte #_ -Hte #Hte
 266      cut (te = ta) [@Hte %1 %1 %{s} % //] -Hte #H destruct (H) %
 267      [cases Htb * #_ #Hmove #Hmove1 @(eq_vec … (niltape … ))
 268       #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 269        [ >Hidst >nth_change_vec // cases (current_to_midtape … Hcurta_dst)
 270          #ls * #rs #Hta_mid >(Hmove … Hta_mid) >Hta_mid cases rs //
 271        | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @Hmove1 @sym_not_eq // ]
 272      | whd in Htest:(??%?); >(nth_vec_map ?? (current sig)) in Hcurta_src; #Hcurta_src
 273        >Hcurta_src in Htest; whd in ⊢ (??%?→?);
 274        cases (is_endc s) // whd in ⊢ (??%?→?); #H @sym_eq //
 275      ]
 276    |#ls #x #xs #ci #rs #ls0 #rs00 #Htasrc_mid #Htadst_mid #Hnotendc
 277     cases (Hcomp2 … Htasrc_mid Htadst_mid Hnotendc)
 278     [ * #Hrs00 #Htc >Htc in Htest; whd in ⊢ (??%?→?);
 279       <(nth_vec_map ?? (current sig) ??? (niltape ?))
 280       >change_vec_commute // >nth_change_vec // whd in ⊢ (??%?→?);
 281       cases (is_endc ci)
 282       [ whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 283       | <(nth_vec_map ?? (current sig) ??? (niltape ?))
 284         >change_vec_commute [| @sym_not_eq // ] >nth_change_vec //
 285         >(?:current ? (mk_tape ?? (None ?) ?) = None ?)
 286         [ whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 287         | cases (reverse sig xs@x::ls0) normalize // ] ] ]
 288     * #cj' * #rs0' * #Hcjrs0 destruct (Hcjrs0) -Hcomp2 #Hcomp2 % [ %
 289     [ cases (true_or_false (is_endc ci)) //
 290       #Hendci >(Hcomp2 (or_introl … Hendci)) in Htest;
 291       whd in ⊢ (??%?→?); <(nth_vec_map ?? (current sig) ??? (niltape ?))
 292         >change_vec_commute // >nth_change_vec // whd in ⊢ (??%?→?);
 293         >Hendci normalize //
 294     | % #H destruct (H) ] ] #cj #rs1 #H destruct (H) #Hcicj
 295     lapply (Hcomp2 (or_intror ?? Hcicj)) -Hcomp2 #Htc %
 296     [ cases Hte -Hte #Hte #_ whd in Hte;
 297       >Htasrc_mid in Hcurta_src; whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 298       lapply (Hte ls ci (reverse ? xs) rs s ??? ls0 cj (reverse ? xs) s rs1 (refl ??) ?) //
 299       [ >Htc >nth_change_vec //
 300       | #c0 #Hc0 @(Hnotstart c0) >Htasrc_mid cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 301         [@memb_append_l2 >(\P Hc0) @memb_hd
 302         |@memb_append_l1 <(reverse_reverse …xs) @memb_reverse //
 303         ]
 304       | >Htc >change_vec_commute // >nth_change_vec // ] -Hte
 305       >Htc >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 306       >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec #Hte
 307       >Hte in Htb; * * #_ >reverse_reverse #Htbdst1 #Htbdst2 -Hte @(eq_vec … (niltape ?))
 308       #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 309       [ >Hidst >nth_change_vec // >(Htbdst1 ls0 s (xs@cj::rs1))
 310         [| >nth_change_vec // ]
 311         >Htadst_mid cases xs //
 312       | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ]
 313         <Htbdst2 [| @sym_not_eq // ] >nth_change_vec_neq [| @sym_not_eq // ]
 314         <Htasrc_mid >change_vec_same % ]
 315     | >Hcurta_src in Htest; whd in ⊢(??%?→?);
 316       >Htc >change_vec_commute //
 317       change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 318       <nth_vec_map >nth_change_vec // whd in ⊢ (??%?→?);
 319       cases (is_endc ci) whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) %
 320     ]
 321    ]
 322   ]
 323 |#intape #outtape #ta * #Hcomp1 #Hcomp2 * #tb * * #Hc #Htb
 324  whd in ⊢ (%→?); #Hout >Hout >Htb whd
 325  #ls #c_src #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
 326  lapply (current_to_midtape sig (nth dst ? intape (niltape ?)))
 327  cases (current … (nth dst ? intape (niltape ?))) in Hcomp1;
 328   [#Hcomp1 #_ %1 % % [% | @Hcomp1 %2 %2 % ]
 329   |#c_dst cases (true_or_false (c_src == c_dst)) #Hceq
 330     [#_ #Hmid_dst cases (Hmid_dst c_dst (refl …)) -Hmid_dst
 331      #ls_dst * #rs_dst #Hmid_dst
 332      cases (comp_list … (xs@end::rs) rs_dst is_endc) #xs1 * #rsi * #rsj * * *
 333      #Hrs_src #Hrs_dst #Hnotendxs1 #Hneq >Hrs_dst in Hmid_dst; #Hmid_dst
 334      cut (∃r1,rs1.rsi = r1::rs1)
 335      [cases rsi in Hrs_src;
 336        [ >append_nil #H <H in Hnotendxs1; #Hnotendxs1
 337          >(Hnotendxs1 end) in Hend; [ #H1 destruct (H1) ]
 338          @memb_append_l2 @memb_hd
 339        | #r1 #rs1 #_ %{r1} %{rs1} % ] ]
 340      * #r1 * #rs1 #Hrs1 >Hrs1 in Hrs_src;
 341      #Hrs_src >Hrs_src in Hmid_src; #Hmid_src <(\P Hceq) in Hmid_dst; #Hmid_dst
 342      lapply (Hcomp2 ??????? Hmid_src Hmid_dst ?)
 343      [ #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 344        [ >(\P Hc0) @Hnotend @memb_hd | @Hnotendxs1 //] ]
 345      *
 346      [ * #Hrsj >Hrsj #Hta % %2 >Hta >nth_change_vec //
 347        %{ls_dst} %{xs1} cut (∃xs0.xs = xs1@xs0)
 348        [lapply Hnotendxs1 -Hnotendxs1 lapply Hrs_src lapply xs elim xs1
 349          [ #l #_ #_ %{l} %
 350          | #x2 #xs2 #IH *
 351            [ whd in ⊢ (??%%→?); #H destruct (H) #Hnotendxs2
 352              >Hnotendxs2 in Hend; [ #H destruct (H) |@memb_hd ]
 353            | #x2' #xs2' whd in ⊢ (??%%→?); #H destruct (H)
 354              #Hnotendxs2 cases (IH xs2' e0 ?)
 355              [ #xs0 #Hxs2 %{xs0} @eq_f //
 356              |#c #Hc @Hnotendxs2 @memb_cons // ]
 357            ]
 358          ]
 359        ] * #xs0 #Hxs0 %{xs0} % [ %
 360        [ >Hmid_dst >Hrsj >append_nil %
 361        | @Hxs0 ]
 362        | cases (reverse ? xs1) // ]
 363      | * #cj * #rs2 * #Hrsj #Hta lapply (Hta ?)
 364        [ cases (Hneq ?? Hrs1) /2/ * #_ #Hr1 %2 @(Hr1 ?? Hrsj) ] -Hta #Hta
 365        %2 >Hta in Hc; whd in ⊢ (??%?→?);
 366        change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 367        <nth_vec_map >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 368        whd in ⊢ (??%?→?); #Hc cut (is_endc r1 = true)
 369        [ cases (is_endc r1) in Hc; whd in ⊢ (??%?→?); //
 370          change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 371          <nth_vec_map >nth_change_vec // normalize #H destruct (H) ]
 372        #Hendr1 cut (xs = xs1)
 373        [ lapply Hnotendxs1 lapply Hnotend lapply Hrs_src lapply xs1
 374          -Hnotendxs1 -Hnotend -Hrs_src -xs1 elim xs
 375          [ * normalize in ⊢ (%→?); //
 376            #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #_ #Hnotendxs1
 377            lapply (Hnotendxs1 ? (memb_hd …)) >Hend #H destruct (H)
 378          | #x2 #xs2 #IH *
 379            [ normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #Hnotendc
 380              >Hnotendc in Hendr1; [| @memb_cons @memb_hd ]
 381              normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 382            | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 383              #Hnotendc #Hnotendcxs1 @eq_f @IH
 384              [ @(cons_injective_r … Heq)
 385              | #c0 #Hc0 @Hnotendc cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 386                [ >(\P Hc0) @memb_hd
 387                | @memb_cons @memb_cons // ]
 388              | #c #Hc @Hnotendcxs1 @memb_cons // ]
 389            ]
 390          ]
 391        | #Hxsxs1 destruct (Hxsxs1) >Hmid_dst %{ls_dst} %{rsj} % //
 392          #rsj0 #c >Hrsj #Hrsj0 destruct (Hrsj0)
 393          lapply (append_l2_injective … Hrs_src) // #Hrs' destruct (Hrs') %
 394        ]
 395      ]
 396     |#Hcomp1 #Hsrc cases (Hsrc ? (refl ??)) -Hsrc #ls0 * #rs0 #Hdst
 397      @False_ind lapply (Hcomp1 ?) [%2 %1 %1 >Hmid_src normalize
 398      @(not_to_not ??? (\Pf Hceq)) #H destruct //] #Hintape >Hintape in Hc;
 399      whd in ⊢(??%?→?); >Hmid_src
 400      change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 401      <nth_vec_map >Hmid_src whd in ⊢ (??%?→?);
 402      >(Hnotend c_src) [|@memb_hd]
 403      change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 404      <nth_vec_map >Hmid_src whd in ⊢ (??%?→?); >Hdst normalize #H destruct (H)
 405    ]
 406   ]
 407 ]
 408 qed.
 409
 410 definition match_m ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 411   whileTM … (match_step src dst sig n is_startc is_endc)
 412     (inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop)))).
 413
 414 definition R_match_m ≝
 415   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 416   ∀ls,x,xs,end,rs.
 417   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) →
 418   (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → is_endc end = true →
 419   (∀c0. memb ? c0 (xs@end::rs) = true → is_startc c0 = false) →
 420   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? → outt = int) ∧
 421   (is_startc x = true →
 422    (∀ls0,x0,rs0.
 423     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 424     (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::xs@l1 ∧
 425      ∀cj,l2.l1=cj::l2 →
 426      outt = change_vec ??
 427             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
 428             (midtape sig ((reverse ? (l@x::xs))@ls0) cj l2) dst) ∨
 429     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::xs@l1)).
 430
 431 lemma not_sub_list_merge :
 432   ∀T.∀a,b:list T. (∀l1.a ≠ b@l1) → (∀t,l,l1.a ≠ t::l@b@l1) → ∀l,l1.a ≠ l@b@l1.
 433 #T #a #b #H1 #H2 #l elim l normalize //
 434 qed.
 435
 436 lemma not_sub_list_merge_2 :
 437   ∀T:DeqSet.∀a,b:list T.∀t. (∀l1.t::a ≠ b@l1) → (∀l,l1.a ≠ l@b@l1) → ∀l,l1.t::a ≠ l@b@l1.
 438 #T #a #b #t #H1 #H2 #l elim l //
 439 #t0 #l1 #IH #l2 cases (true_or_false (t == t0)) #Htt0
 440 [ >(\P Htt0) % normalize #H destruct (H) cases (H2 l1 l2) /2/
 441 | normalize % #H destruct (H) cases (\Pf Htt0) /2/ ]
 442 qed.
 443
 444
 445 lemma wsem_match_m : ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 446 src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 447   match_m src dst sig n is_startc is_endc ⊫ R_match_m src dst sig n is_startc is_endc.
 448 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 449 lapply (sem_while … (sem_match_step src dst sig n is_startc is_endc Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 450 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 451 [ #Hfalse #ls #x #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend #Hnotstart
 452   cases (Hfalse … Hmid_src Hnotend Hend) -Hfalse
 453   [(* current dest = None *) *
 454     [ * #Hcur_dst #Houtc %
 455       [#_ >Houtc //
 456       |#Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcur_dst;
 457        normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 458       ]
 459     | * #ls0 * #rs0 * #xs0 * * #Htc_dst #Hrs0 #HNone %
 460       [ >Htc_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 461       | #Hstart #ls1 #x1 #rs1 >Htc_dst #H destruct (H)
 462         >Hrs0 cases xs0
 463         [ % %{[ ]} %{[ ]} % [ >append_nil >append_nil %]
 464           #cj #ls2 #H destruct (H)
 465         | #x2 #xs2 %2 #l #l1 % #Habs lapply (eq_f ?? (length ?) ?? Habs)
 466           >length_append whd in ⊢ (??%(??%)→?); >length_append
 467           >length_append normalize >commutative_plus whd in ⊢ (???%→?);
 468           #H destruct (H) lapply e0 >(plus_n_O (|rs1|)) in ⊢ (??%?→?);
 469           >associative_plus >associative_plus
 470           #e1 lapply (injective_plus_r ??? e1) whd in ⊢ (???%→?);
 471           #e2 destruct (e2)
 472         ]
 473       ]
 474     ]
 475   |* #ls0 * #rs0 * #Hmid_dst #HFalse %
 476     [ >Hmid_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 477     | #Hstart #ls1 #x1 #rs1 >Hmid_dst #H destruct (H)
 478      %1 %{[ ]} %{rs0} % [%] #cj #l2 #Hnotnil
 479      >reverse_cons >associative_append @(HFalse ?? Hnotnil)
 480     ]
 481   ]
 482 |-ta #ta #tc #Htrue #Hstar #IH #Hout lapply (IH Hout) -IH -Hout #IH whd
 483  #ls #x #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend #Hnotstart
 484  lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 485  cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 486   [#Hmid_dst %
 487     [#_ whd in Htrue; >Hmid_src in Htrue; #Htrue
 488      cases (Htrue x (refl … )) -Htrue * #Htaneq #_
 489      @False_ind >Hmid_dst in Htaneq; /2/
 490     |#Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst2 >Hmid_dst2 in Hmid_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 491      #H destruct (H)
 492     ]
 493   | #c #Hcurta_dst % [ >Hcurta_dst #H destruct (H) ]
 494     #Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcurta_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 495     #H destruct (H) whd in Htrue; >Hmid_src in Htrue; #Htrue
 496     cases (Htrue x (refl …)) -Htrue #_ #Htrue cases (Htrue Hstart Hnotstart) -Htrue
 497     cases (true_or_false (x==c)) #eqx
 498     [ lapply (\P eqx) -eqx #eqx destruct (eqx)
 499       #_ #Htrue cases (comp_list ? (xs@end::rs) rs0 is_endc)
 500       #x1 * #tl1 * #tl2 * * * #Hxs #Hrs0 #Hnotendx1
 501       cases tl1 in Hxs;
 502       [>append_nil #Hx1 <Hx1 in Hnotendx1; #Hnotendx1
 503        lapply (Hnotendx1 end ?) [ @memb_append_l2 @memb_hd ]
 504        >Hend #H destruct (H) ]
 505       #ci -tl1 #tl1 #Hxs #H cases (H … (refl … )) -H
 506       [ #Hendci % >Hrs0 in Hmid_dst; cut (ci = end ∧ x1 = xs)
 507         [ lapply Hxs lapply Hnotendx1 lapply x1 elim xs in Hnotend;
 508           [ #_ *
 509             [ #_ normalize #H destruct (H) /2/
 510             | #x2 #xs2 #Hnotendx2 normalize #H destruct (H)
 511               >(Hnotendx2 ? (memb_hd …)) in Hend; #H destruct (H) ]
 512           | #x2 #xs2 #IH #Hnotendx2 *
 513             [ #_ normalize #H destruct (H) >(Hnotendx2 ci ?) in Hendci;
 514               [ #H destruct (H)
 515               | @memb_cons @memb_hd ]
 516             | #x3 #xs3 #Hnotendx3 normalize #H destruct (H)
 517               cases (IH … e0)
 518               [ #H1 #H2 /2/
 519               | #c0 #Hc0 @Hnotendx2 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 520                 [ >(\P Hc0) @memb_hd
 521                 | @memb_cons @memb_cons @Hc0 ]
 522               | #c0 #Hc0 @Hnotendx3 @memb_cons @Hc0 ]
 523             ]
 524           ]
 525         | * #Hcieq #Hx1eq >Hx1eq #Hmid_dst
 526           cases (Htrue ??????? (refl ??) Hmid_dst Hnotend)
 527           <Hcieq >Hendci * #H destruct (H) ]
 528       |cases tl2 in Hrs0;
 529         [ >append_nil #Hrs0 destruct (Hrs0) * #Hcifalse#_ %2
 530           cut (∃l.xs = x1@ci::l)
 531           [lapply Hxs lapply Hnotendx1 lapply Hnotend lapply xs
 532            -Hxs -xs -Hnotendx1 elim x1
 533             [ *
 534               [ #_ #_ normalize #H1 destruct (H1) >Hend in Hcifalse;
 535                 #H1 destruct (H1)
 536               | #x2 #xs2 #_ #_ normalize #H >(cons_injective_l ????? H) %{xs2} % ]
 537             | #x2 #xs2 #IHin *
 538               [ #_ #Hnotendxs2 normalize #H destruct (H)
 539                 >(Hnotendxs2 ? (memb_hd …)) in Hend; #H destruct (H)
 540               | #x3 #xs3 #Hnotendxs3 #Hnotendxs2 normalize #H destruct (H)
 541                 cases (IHin ??? e0)
 542                 [ #xs4 #Hxs4 >Hxs4 %{xs4} %
 543                 | #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 544                   [ >(\P Hc0) @Hnotendxs3 @memb_hd
 545                   | @Hnotendxs3 @memb_cons @memb_cons @Hc0 ]
 546                 | #c0 #Hc0 @Hnotendxs2 @memb_cons @Hc0 ]
 547               ]
 548             ]
 549           ] * #l #Hxs' >Hxs'
 550           #l0 #l1 % #H lapply (eq_f ?? (length ?) ?? H) -H
 551           >length_append normalize >length_append >length_append
 552           normalize >commutative_plus normalize #H destruct (H) -H
 553           >associative_plus in e0; >associative_plus
 554           >(plus_n_O (|x1|)) in ⊢(??%?→?); #H lapply (injective_plus_r … H)
 555           -H normalize #H destruct (H)
 556         | #cj #tl2' #Hrs0 * #Hcifalse #Hcomp
 557           lapply (Htrue ls c x1 ci tl1 ls0 (cj::tl2') ???)
 558           [ #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) #Hc0
 559             [ @Hnotend >(\P Hc0) @memb_hd
 560             | @Hnotendx1 // ]
 561           | >Hmid_dst >Hrs0 %
 562           | >Hxs %
 563           | * * #_ #_ -Htrue #Htrue lapply (Htrue ?? (refl ??) ?) [  @(Hcomp ?? (refl ??)) ]
 564             * #Htb >Htb #Hendci >Hrs0 >Hxs
 565             cases (IH ls c xs end rs ? Hnotend Hend Hnotstart) -IH
 566             [| >Htb >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src ]
 567             #_ #IH lapply Hxs lapply Hnotendx1 -Hxs -Hnotendx1 cases x1 in Hrs0;
 568             [ #Hrs0 #_ whd in ⊢ (???%→?); #Hxs
 569               cases (IH Hstart (c::ls0) cj tl2' ?)
 570               [ -IH * #l * #l1 * #Hll1 #IH % %{(c::l)} %{l1}
 571                 % [ @eq_f @Hll1 ]
 572                 #cj0 #l2 #Hcj0 >(IH … Hcj0) >Htb
 573                 >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 574                 >change_vec_commute [|@sym_not_eq // ] @eq_f3 //
 575                 >reverse_cons >associative_append %
 576               | #IH %2 #l #l1 >(?:l@c::xs@l1 = l@(c::xs)@l1) [|%]
 577                 @not_sub_list_merge
 578                 [ #l2 cut (∃xs'.xs = ci::xs')
 579                   [ cases xs in Hxs;
 580                     [ normalize #H destruct (H) >Hend in Hendci; #H destruct (H)
 581                     | #ci' #xs' normalize #H lapply (cons_injective_l ????? H)
 582                       #H1 >H1 %{xs'} % ]
 583                   ]
 584                   * #xs' #Hxs' >Hxs' normalize % #H destruct (H)
 585                   lapply (Hcomp … (refl ??)) * /2/
 586                 |#t #l2 #l3 % normalize #H lapply (cons_injective_r ????? H)
 587                  -H #H >H in IH; #IH cases (IH l2 l3) -IH #IH @IH % ]
 588               | >Htb >nth_change_vec // >Hmid_dst >Hrs0 % ]
 589             | #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Hrs0 #Hnotendxs2 normalize in ⊢ (%→?);
 590               #Hxs cases (IH Hstart (c::ls0) x2 (xs2@cj::tl2') ?)
 591               [ -IH * #l * #l1 * #Hll1 #IH % %{(c::l)} %{l1}
 592                 % [ @eq_f @Hll1 ]
 593                 #cj0 #l2 #Hcj0 >(IH … Hcj0) >Htb
 594                 >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 595                 >change_vec_commute [|@sym_not_eq // ] @eq_f3 //
 596                 >reverse_cons >associative_append %
 597               | -IH #IH %2 #l #l1 >(?:l@c::xs@l1 = l@(c::xs)@l1) [|%]
 598                 @not_sub_list_merge_2 [| @IH]
 599                 cut (∃l2.xs = (x2::xs2)@ci::l2)
 600                 [lapply Hnotendxs2
 601                  lapply Hnotend -Hnotend lapply Hxs
 602                  >(?:x2::xs2@ci::tl1 = (x2::xs2)@ci::tl1) [|%]
 603                  lapply (x2::xs2) elim xs
 604                   [ *
 605                     [ normalize in ⊢ (%→?); #H1 destruct (H1)
 606                       >Hendci in Hend; #Hend destruct (Hend)
 607                     | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #H1 destruct (H1)
 608                       #_ #Hnotendx3 >(Hnotendx3 ? (memb_hd …)) in Hend;
 609                       #Hend destruct (Hend)
 610                     ]
 611                   | #x3 #xs3 #IHin *
 612                     [ normalize in ⊢ (%→?); #Hxs3 destruct (Hxs3) #_ #_
 613                       %{xs3} %
 614                     | #x4 #xs4 normalize in ⊢ (%→?); #Hxs3xs4 #Hnotend
 615                       #Hnotendxs4 destruct (Hxs3xs4) cases (IHin ? e0 ??)
 616                       [ #l0 #Hxs3 >Hxs3 %{l0} %
 617                       | #c0 #Hc0 @Hnotend cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 618                         [ >(\P Hc0) @memb_hd
 619                         | @memb_cons @memb_cons @Hc0 ]
 620                       | #c0 #Hc0 @Hnotendxs4 @memb_cons //
 621                       ]
 622                     ]
 623                   ]
 624                 ] * #l2 #Hxs'
 625                 >Hxs' #l3 normalize >associative_append normalize % #H
 626                 destruct (H) lapply (append_l2_injective ?????? e1) //
 627                 #H1 destruct (H1) cases (Hcomp ?? (refl ??)) /2/
 628               | >Htb >nth_change_vec // >Hmid_dst >Hrs0 % ]
 629             ]
 630           ]
 631         ]
 632       ]
 633     |lapply (\Pf eqx) -eqx #eqx >Hmid_dst #Htrue
 634      cases (Htrue ? (refl ??) eqx) -Htrue #Htb #Hendcx #_
 635      cases rs0 in Htb;
 636      [ #_ %2 #l #l1 cases l
 637        [ normalize cases xs
 638          [ cases l1
 639            [ normalize % #H destruct (H) cases eqx /2/
 640            | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 641          | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 642        | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H)cases l2 in e0;
 643          [ normalize #H1 destruct (H1)
 644          | #tmp2 #l3 normalize #H1 destruct (H1) ]
 645        ]
 646      | #r1 #rs1 normalize in ⊢ (???(????%?)→?); #Htb >Htb in IH; #IH
 647        cases (IH ls x xs end rs ? Hnotend Hend Hnotstart)
 648        [| >Htb >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src ] -IH
 649        #_ #IH cases (IH Hstart (c::ls0) r1 rs1 ?)
 650        [|| >nth_change_vec // ] -IH
 651        [ * #l * #l1 * #Hll1 #Hout % %{(c::l)} %{l1} % >Hll1 //
 652          >reverse_cons >associative_append #cj0 #ls #Hl1 >(Hout ?? Hl1)
 653          >change_vec_commute in ⊢ (??(???%??)?); // @sym_not_eq //
 654        | #IH %2 @(not_sub_list_merge_2 ?? (x::xs)) normalize [|@IH]
 655          #l1 % #H destruct (H) cases eqx /2/
 656        ]
 657     ]
 658   ]
 659 ]
 660 qed.
 661
 662 definition Pre_match_m ≝
 663   λsrc,sig,n,is_startc,is_endc.λt: Vector (tape sig) (S n).
 664   ∃start,xs,end.
 665   nth src (tape sig) t (niltape sig) = midtape ? [] start (xs@[end]) ∧
 666   is_startc start = true ∧
 667   (∀c.c ∈ (xs@[end]) = true → is_startc c = false) ∧
 668   (∀c.c ∈ (start::xs) = true → is_endc c = false) ∧
 669   is_endc end = true.
 670
 671 lemma terminate_match_m :
 672   ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc,t.
 673   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 674   Pre_match_m src sig n is_startc is_endc t →
 675   match_m src dst sig n is_startc is_endc ↓ t.
 676 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #t #Hneq #Hsrc #Hdst * #start * #xs * #end
 677 * * * * #Hmid_src #Hstart #Hnotstart #Hnotend #Hend
 678 @(terminate_while … (sem_match_step src dst sig n is_startc is_endc Hneq Hsrc Hdst)) //
 679 <(change_vec_same … t dst (niltape ?))
 680 lapply (refl ? (nth dst (tape sig) t (niltape ?)))
 681 cases (nth dst (tape sig) t (niltape ?)) in ⊢ (???%→?);
 682 [ #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 683   >Hmid_src #HR cases (HR ? (refl ??)) -HR
 684   >nth_change_vec // >Htape_dst normalize in ⊢ (%→?);
 685   * #H @False_ind @H %
 686 | #x0 #xs0 #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 687   >Hmid_src #HR cases (HR ? (refl ??)) -HR
 688   >nth_change_vec // >Htape_dst normalize in ⊢ (%→?);
 689   * #H @False_ind @H %
 690 | #x0 #xs0 #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 691   >Hmid_src #HR cases (HR ? (refl ??)) -HR
 692   >nth_change_vec // >Htape_dst normalize in ⊢ (%→?);
 693   * #H @False_ind @H %
 694 | #ls #s #rs lapply s -s lapply ls -ls lapply Hmid_src lapply t -t elim rs
 695   [#t #Hmid_src #ls #s #Hmid_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 696    >Hmid_src >nth_change_vec // >Hmid_dst #HR cases (HR ? (refl ??)) -HR #_
 697    #HR cases (HR Hstart Hnotstart)
 698    cases (true_or_false (start == s)) #Hs
 699    [ lapply (\P Hs) -Hs #Hs <Hs #_ #Htrue
 700      cut (∃ci,xs1.xs@[end] = ci::xs1)
 701      [ cases xs
 702        [ %{end} %{[]} %
 703        | #x1 #xs1 %{x1} %{(xs1@[end])} % ] ] * #ci * #xs1 #Hxs
 704      >Hxs in Htrue; #Htrue
 705      cases (Htrue [ ] start [ ] ? xs1 ? [ ] (refl ??) (refl ??) ?)
 706      [ * #_ * #H @False_ind @H % ]
 707      #c0 #Hc0 @Hnotend >(memb_single … Hc0) @memb_hd
 708    | lapply (\Pf Hs) -Hs #Hs #Htrue #_
 709      cases (Htrue ? (refl ??) Hs) -Htrue #Ht1 #_ %
 710      #t2 whd in ⊢ (%→?); #HR cases (HR start ?)
 711      [ >Ht1 >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); * #H @False_ind @H %
 712      | >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 713        >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmid_src % ]
 714    ]
 715   |#r0 #rs0 #IH #t #Hmid_src #ls #s #Hmid_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?);
 716    >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmid_src
 717    #Htrue cases (Htrue ? (refl ??)) -Htrue #_ #Htrue
 718    <(change_vec_same … t1 dst (niltape ?))
 719    cases (Htrue Hstart Hnotstart) -Htrue
 720    cases (true_or_false (start == s)) #Hs
 721    [ lapply (\P Hs) -Hs #Hs <Hs #_ #Htrue
 722     cut (∃ls0,xs0,ci,rs,rs0.
 723       nth src ? t (niltape ?) = midtape sig [ ] start (xs0@ci::rs) ∧
 724       nth dst ? t (niltape ?) = midtape sig ls0 s (xs0@rs0) ∧
 725       (is_endc ci = true ∨ (is_endc ci = false ∧ (∀b,tlb.rs0 = b::tlb → ci ≠ b))))
 726     [cases (comp_list ? (xs@[end]) (r0::rs0) is_endc) #xs0 * #xs1 * #xs2
 727       * * * #Hxs #Hrs #Hxs0notend #Hcomp >Hrs
 728       cut (∃y,ys. xs1 = y::ys)
 729       [ lapply Hxs0notend lapply Hxs lapply xs0 elim xs
 730         [ *
 731           [ normalize #Hxs1 <Hxs1 #_ %{end} %{[]} %
 732           | #z #zs normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) #H
 733             lapply (H ? (memb_hd …)) -H >Hend #H1 destruct (H1)
 734           ]
 735         | #y #ys #IH0 *
 736           [ normalize in ⊢ (%→?); #Hxs1 <Hxs1 #_ %{y} %{(ys@[end])} %
 737           | #z #zs normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) #Hmemb
 738             @(IH0 ? e0 ?) #c #Hc @Hmemb @memb_cons // ] ] ] * #y * #ys #Hxs1
 739       >Hxs1 in Hxs; #Hxs >Hmid_src >Hmid_dst >Hxs >Hrs
 740       %{ls} %{xs0} %{y} %{ys} %{xs2}
 741       % [ % // | @Hcomp // ] ]
 742     * #ls0 * #xs0 * #ci * #rs * #rs0 * * #Hmid_src' #Hmid_dst' #Hcomp
 743     <Hmid_src in Htrue; >nth_change_vec // >Hs #Htrue destruct (Hs)
 744     lapply (Htrue ??????? Hmid_src' Hmid_dst' ?) -Htrue
 745     [ #c0 #Hc0 @Hnotend cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 746       [ whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 747       | @memb_cons >Hmid_src in Hmid_src'; #Hmid_src' destruct (Hmid_src')
 748         lapply e0 -e0 @(list_elim_left … rs)
 749         [ #e0 destruct (e0) lapply (append_l1_injective_r ?????? e0) //
 750         | #x1 #xs1 #_ >append_cons in ⊢ (???%→?);
 751           <associative_append #e0 lapply (append_l1_injective_r ?????? e0) //
 752           #e1 >e1 @memb_append_l1 @memb_append_l1 // ] ]
 753     | * * #Hciendc cases rs0 in Hcomp;
 754       [ #_ * #H @False_ind @H %
 755       | #r1 #rs1 * [ >Hciendc #H destruct (H) ]
 756         * #_ #Hcomp lapply (Hcomp ?? (refl ??)) -Hcomp #Hcomp #_ #Htrue
 757         cases (Htrue ?? (refl ??) Hcomp) #Ht1 #_ >Ht1 @(IH ?? (s::ls) r0)
 758         [ >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 759           >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src
 760         | >nth_change_vec // >Hmid_dst % ] ] ]
 761   | >Hmid_dst >nth_change_vec // lapply (\Pf Hs) -Hs #Hs #Htrue #_
 762     cases (Htrue ? (refl ??) Hs) #Ht1 #_ >Ht1 @(IH ?? (s::ls) r0)
 763     [ >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 764       >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src
 765     | >nth_change_vec // ] ] ] ]
 766 qed.