matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/multi_universal/compare.ma".
  16 include "turing/multi_universal/par_test.ma".
  17 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  18
  19 definition Rtc_multi_true ≝
  20   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  21    (∃c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c ∧ test c = true) ∧ t2 = t1.
  22
  23 definition Rtc_multi_false ≝
  24   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  25     (∀c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c → test c = false) ∧ t2 = t1.
  26
  27 lemma sem_test_char_multi :
  28   ∀alpha,test,n,i.i ≤ n →
  29   inject_TM ? (test_char ? test) n i ⊨
  30   [ tc_true : Rtc_multi_true alpha test n i, Rtc_multi_false alpha test n i ].
  31 #alpha #test #n #i #Hin #int
  32 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_char alpha test) int)
  33 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  34 [ @Hloop
  35 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * * #c *
  36   #Hcur #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  37   [ %{c} % //
  38   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  39     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  40     [ >Hi0i @Hnth_i
  41     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  42 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  43   [ @Htestc
  44   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  45     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  46     [ >Hi0i @Hnth_i
  47     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  48 qed.
  49
  50 definition Rm_test_null_true ≝
  51   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  52    current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) ≠ None ? ∧ t2 = t1.
  53
  54 definition Rm_test_null_false ≝
  55   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  56     current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = None ? ∧ t2 = t1.
  57
  58 lemma sem_test_null_multi : ∀alpha,n,i.i ≤ n →
  59   inject_TM ? (test_null ?) n i ⊨
  60     [ tc_true : Rm_test_null_true alpha n i, Rm_test_null_false alpha n i ].
  61 #alpha #n #i #Hin #int
  62 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_null alpha) int)
  63 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  64 [ @Hloop
  65 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j % //
  66   @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  67   [ >Hi0i @sym_eq @Hnth_i | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  68 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j %
  69   [ @Hcur
  70   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) //
  71     #Hi0i @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  72 qed.
  73
  74 definition match_test ≝ λsrc,dst.λsig:DeqSet.λn.λv:Vector ? n.
  75   match (nth src (option sig) v (None ?)) with
  76   [ None ⇒  false
  77   | Some x ⇒  notb (nth dst (DeqOption sig) v (None ?) == None ?) ].
  78
  79 definition mmove_states ≝ initN 2.
  80
  81 definition mmove0 : mmove_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 2 (refl …)).
  82 definition mmove1 : mmove_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 2 (refl …)).
  83
  84 definition trans_mmove ≝
  85  λi,sig,n,D.
  86  λp:mmove_states × (Vector (option sig) (S n)).
  87  let 〈q,a〉 ≝ p in match (pi1 … q) with
  88  [ O ⇒ 〈mmove1,change_vec ? (S n) (null_action ? n) (〈None ?,D〉) i〉
  89  | S _ ⇒ 〈mmove1,null_action sig n〉 ].
  90
  91 definition mmove ≝
  92   λi,sig,n,D.
  93   mk_mTM sig n mmove_states (trans_mmove i sig n D)
  94     mmove0 (λq.q == mmove1).
  95
  96 definition Rm_multi ≝
  97   λalpha,n,i,D.λt1,t2:Vector ? (S n).
  98   t2 = change_vec ? (S n) t1 (tape_move alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) D) i.
  99
 100 lemma sem_move_multi :
 101   ∀alpha,n,i,D.i ≤ n →
 102   mmove i alpha n D ⊨ Rm_multi alpha n i D.
 103 #alpha #n #i #D #Hin #int %{2}
 104 %{(mk_mconfig ? mmove_states n mmove1 ?)}
 105 [| %
 106  [ whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (??%?); @eq_f %
 107  | whd >tape_move_multi_def
 108    <(change_vec_same … (ctapes …) i (niltape ?))
 109    >pmap_change <tape_move_multi_def >tape_move_null_action % ] ]
 110  qed.
 111
 112 definition rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.
 113   parmove src dst sig n L · mmove src sig n R · mmove dst sig n R.
 114
 115 definition R_rewind_strong ≝ λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 116   (∀x,x0,xs,rs.
 117     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs →
 118     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| →
 119     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 →
 120     outt = change_vec ??
 121            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) src)
 122            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) dst) ∧
 123   (∀x,x0,xs,rs.
 124     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs →
 125     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| →
 126     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 →
 127     outt = change_vec ??
 128            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) dst)
 129            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) src) ∧
 130   (∀x,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [] x rs →
 131    ∀ls0,y,rs0.nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 y rs0 →
 132    outt = int) ∧
 133   (∀x,rs.nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig [] x rs →
 134    ∀ls0,y,rs0.nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 y rs0 →
 135    outt = int).
 136
 137 definition R_rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 138   (∀x,x0,xs,rs.
 139     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs →
 140     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| →
 141     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 →
 142     outt = change_vec ??
 143            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) src)
 144            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) dst) ∧
 145   (∀x,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [] x rs →
 146    ∀ls0,y,rs0.nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 y rs0 →
 147    outt = int).
 148
 149 (*
 150 theorem accRealize_to_Realize :
 151   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
 152   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
 153 #sig #n #M #Rtrue #Rfalse #acc #HR #t
 154 cases (HR t) #k * #outc * * #Hloop
 155 #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % //
 156 cases (true_or_false (cstate sig (states sig n M) n outc == acc)) #Hcase
 157 [ % @Htrue @(\P Hcase) | %2 @Hfalse @(\Pf Hcase) ]
 158 qed.
 159 *)
 160
 161 lemma sem_rewind_strong : ∀src,dst,sig,n.
 162   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 163   rewind src dst sig n ⊨ R_rewind_strong src dst sig n.
 164 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 165 @(sem_seq_app sig n ????? (sem_parmoveL src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) ?)
 166 [| @(sem_seq_app sig n ????? (sem_move_multi … R ?) (sem_move_multi … R ?)) //
 167  @le_S_S_to_le // ]
 168 #ta #tb * #tc * * * #Htc1 #Htc2 #_ * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Htb % [ % [ %
 169 [ #x #x0 #xs #rs #Hmidta_src #ls0 #y #y0 #target #rs0 #Hlen #Hmidta_dst
 170   >(Htc1 ??? Hmidta_src ls0 y (target@[y0]) rs0 ??) in Htd;
 171   [|>Hmidta_dst //
 172   |>length_append >length_append >Hlen % ]
 173   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 174   >change_vec_change_vec
 175   >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 176   >nth_change_vec // >reverse_append >reverse_single
 177   >reverse_append >reverse_single normalize in match (tape_move ???);
 178   >rev_append_def >append_nil #Htd >Htd in Htb;
 179   >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 180   cases ls0 [|#l1 #ls1] normalize in match (tape_move ???); //
 181 | #x #x0 #xs #rs #Hmidta_dst #ls0 #y #y0 #target #rs0 #Hlen #Hmidta_src
 182   >(Htc2 ??? Hmidta_dst ls0 y (target@[y0]) rs0 ??) in Htd;
 183   [|>Hmidta_src //
 184   |>length_append >length_append >Hlen % ]
 185   >change_vec_change_vec
 186   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 187   >nth_change_vec //
 188   >reverse_append >reverse_single
 189   >reverse_append >reverse_single
 190   cases ls0 [|#l1 #ls1] normalize in match (tape_move ???);
 191   #Htd >Htd in Htb; >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 192   >rev_append_def >change_vec_commute // normalize in match (tape_move ???); // ]
 193 | #x #rs #Hmidta_src #ls0 #y #rs0 #Hmidta_dst
 194   lapply (Htc1 … Hmidta_src … (refl ??) Hmidta_dst) -Htc1 #Htc >Htc in Htd;
 195   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 196   >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 197   >nth_change_vec // lapply (refl ? ls0) cases ls0 in ⊢ (???%→%);
 198   [ #Hls0 #Htd >Htd in Htb;
 199     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
 200     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
 201     <Hls0 <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 202   | #l1 #ls1 #Hls0 #Htd >Htd in Htb;
 203     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
 204     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
 205     <Hls0 <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 206   ] ]
 207 | #x #rs #Hmidta_dst #ls0 #y #rs0 #Hmidta_src
 208   lapply (Htc2 … Hmidta_dst … (refl ??) Hmidta_src) -Htc2 #Htc >Htc in Htd;
 209   >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 210   >nth_change_vec // lapply (refl ? ls0) cases ls0 in ⊢ (???%→%);
 211   [ #Hls0 destruct (Hls0) #Htd >Htd in Htb;
 212     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
 213     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???);
 214     <Hmidta_src <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 215   | #l1 #ls1 #Hls0 destruct (Hls0) #Htd >Htd in Htb;
 216     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
 217     whd in match (tape_move ???); whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
 218     <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 219   ]
 220 ]
 221 qed.
 222
 223 lemma sem_rewind : ∀src,dst,sig,n.
 224   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 225   rewind src dst sig n ⊨ R_rewind src dst sig n.
 226 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst @(Realize_to_Realize … (sem_rewind_strong …)) //
 227 #ta #tb * * * #H1 #H2 #H3 #H4 % /2/
 228 qed.
 229
 230 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n.
 231   compare src dst sig n ·
 232      (ifTM ?? (partest sig n (match_test src dst sig ?))
 233       (single_finalTM ??
 234         (rewind src dst sig n · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
 235       (nop …)
 236       partest1).
 237
 238 (* we assume the src is a midtape
 239    we stop
 240    if the dst is out of bounds (outt = int)
 241    or dst.right is shorter than src.right (outt.current → None)
 242    or src.right is a prefix of dst.right (out = just right of the common prefix) *)
 243 definition R_match_step_false ≝
 244   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 245   ∀ls,x,xs.
 246   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x xs →
 247   ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ?) ∧ outt = int) ∨
 248     (∃ls0,rs0,xs0. nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x rs0 ∧
 249       xs = rs0@xs0 ∧
 250       outt = change_vec ??
 251              (change_vec ?? int (mk_tape sig (reverse ? rs0@x::ls) (option_hd ? xs0) (tail ? xs0)) src)
 252              (mk_tape ? (reverse ? rs0@x::ls0) (None ?) [ ]) dst) ∨
 253     (∃ls0,rs0.
 254      nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
 255      (* ∀rsj,c.
 256      rs0 = c::rsj → *)
 257      outt = change_vec ??
 258             (change_vec ?? int (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls) (None ?) [ ]) src)
 259             (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (option_hd ? rs0) (tail ? rs0)) dst).
 260
 261 (*
 262    we assume the src is a midtape [ ] s rs
 263    if we iterate
 264    then dst.current = Some ? s1
 265    and  if s ≠ s1 then outt = int.dst.move_right()
 266    and  if s = s1
 267         then int.src.right and int.dst.right have a common prefix
 268         and  the heads of their suffixes are different
 269         and  outt = int.dst.move_right().
 270
 271  *)
 272 definition R_match_step_true ≝
 273   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 274   ∀s,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape ? [ ] s rs →
 275   outt = change_vec ?? int
 276          (tape_move_mono … (nth dst ? int (niltape ?)) (〈None ?,R〉)) dst ∧
 277   (∃s0.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s0 ∧
 278    (s0 = s →
 279    ∃xs,ci,rs',ls0,cj,rs0.
 280    rs = xs@ci::rs' ∧
 281    nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 s (xs@cj::rs0) ∧
 282    ci ≠ cj)).
 283
 284 lemma sem_match_step :
 285   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 286   match_step src dst sig n ⊨
 287     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 288       R_match_step_true src dst sig n,
 289       R_match_step_false src dst sig n ].
 290 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 291 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)
 292     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ?))
 293       (sem_seq …
 294         (sem_rewind ???? Hneq Hsrc Hdst)
 295         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 296       (sem_nop …)))
 297 [ #ta #tb #tc * lapply (refl ? (current ? (nth src ? ta (niltape ?))))
 298   cases (current ? (nth src ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 299   [ #Hcurta_src #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| % %2 %]
 300     whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 301     >nth_current_chars >Hcurta_src normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 302   | #s #Hs lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 303     cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 304     [ #Hcurta_dst #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| %2 %]
 305       whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 306       >nth_current_chars >nth_current_chars >Hs >Hcurta_dst
 307       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 308     | #s0 #Hs0
 309       cases (current_to_midtape … Hs) #ls * #rs #Hmidta_src >Hmidta_src
 310       cases (current_to_midtape … Hs0) #ls0 * #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst
 311       cases (true_or_false (s == s0)) #Hss0
 312       [ lapply (\P Hss0) -Hss0 #Hss0 destruct (Hss0)
 313         #_ #Hcomp cases (Hcomp ????? (refl ??) (refl ??)) -Hcomp [ *
 314         [ * #rs' * #_ #Hcurtc_dst * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 315           >nth_current_chars >nth_current_chars >Hcurtc_dst
 316           cases (current ? (nth src …))
 317           [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 318           | #x >nth_change_vec // cases (reverse ? rs0)
 319             [ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 320             | #r1 #rs1 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 321         | * #rs0' * #_ #Hcurtc_src * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 322           >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = None ?)
 323           [|>nth_current_chars >Hcurtc_src >nth_change_vec_neq
 324             [>nth_change_vec [cases (append ???) // | @Hsrc]
 325             |@(not_to_not … Hneq) //
 326             ]]
 327           normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 328         | * #xs * #ci * #cj * #rs'' * #rs0' * * * #Hcicj #Hrs #Hrs0
 329           #Htc * #td * * #Hmatch #Htd destruct (Htd) * #te * *
 330           >Htc >change_vec_commute // >nth_change_vec //
 331           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec // #Hte #_ #Htb
 332           #s' #rs' >Hmidta_src #H destruct (H)
 333           lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??) (refl ??)) -Hte
 334           >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 335           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec #Hte
 336           >Hte in Htb; * * #_ >nth_change_vec // #Htb1
 337           lapply (Htb1 … (refl ??)) -Htb1 #Htb1 #Htb2 %
 338           [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi
 339             cases (true_or_false ((dst : DeqNat) == i)) #Hdsti
 340             [ <(\P Hdsti) >Htb1 >nth_change_vec // >Hmidta_dst
 341               >Hrs0 >reverse_reverse cases xs [|#r1 #rs1] %
 342             | <Htb2 [|@(\Pf Hdsti)] >nth_change_vec_neq [| @(\Pf Hdsti)]
 343               >Hrs0 >reverse_reverse >nth_change_vec_neq in ⊢ (???%);
 344               <Hrs <Hmidta_src [|@(\Pf Hdsti)] >change_vec_same % ]
 345           | >Hmidta_dst %{s'} % [%] #_
 346             >Hrs0 %{xs} %{ci} %{rs''} %{ls0} %{cj} %{rs0'} % // % //
 347           ]
 348         ]
 349       | lapply (\Pf Hss0) -Hss0 #Hss0 #Htc cut (tc = ta)
 350         [@Htc % % @(not_to_not ??? Hss0) #H destruct (H) %]
 351         -Htc #Htc destruct (Htc) #_ * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_
 352         #Htd destruct (Htd) * #te * * #_ #Hte * * #_ #Htb1 #Htb2
 353         #s1 #rs1 >Hmidta_src #H destruct (H)
 354         lapply (Hte … Hmidta_src … Hmidta_dst) -Hte #Hte destruct (Hte) %
 355         [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi
 356           cases (true_or_false ((dst : DeqNat) == i)) #Hdsti
 357           [ <(\P Hdsti) >(Htb1 … Hmidta_dst) >nth_change_vec // >Hmidta_dst
 358             cases rs0 [|#r2 #rs2] %
 359           | <Htb2 [|@(\Pf Hdsti)] >nth_change_vec_neq [| @(\Pf Hdsti)] % ]
 360         | >Hs0 %{s0} % // #H destruct (H) @False_ind cases (Hss0) /2/ ]
 361       ]
 362     ]
 363   ]
 364 | #ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * #Htest #Htd destruct (Htd)
 365   whd in ⊢ (%→?); #Htb destruct (Htb) #ls #x #xs #Hta_src
 366   lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 367   cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 368   [ #Hcurta_dst % % % // @Hcomp1 %2 //
 369   | #x0 #Hcurta_dst cases (current_to_midtape … Hcurta_dst) -Hcurta_dst
 370     #ls0 * #rs0 #Hta_dst cases (true_or_false (x == x0)) #Hxx0
 371     [ lapply (\P Hxx0) -Hxx0 #Hxx0 destruct (Hxx0)
 372     | >(?:tc=ta) in Htest;
 373       [|@Hcomp1 % % >Hta_src >Hta_dst @(not_to_not ??? (\Pf Hxx0)) normalize
 374         #Hxx0' destruct (Hxx0') % ]
 375       whd in ⊢ (??%?→?);
 376       >nth_current_chars >Hta_src >nth_current_chars >Hta_dst
 377       whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ] -Hcomp1
 378       cases (Hcomp2 … Hta_src Hta_dst) [ *
 379       [ * #rs' * #Hxs #Hcurtc % %2 %{ls0} %{rs0} %{rs'} %
 380         [ % // | >Hcurtc % ]
 381       | * #rs0' * #Hxs #Htc %2 >Htc %{ls0} %{rs0'} % // ]
 382       | * #xs0 * #ci * #cj * #rs' * #rs0' * * *
 383         #Hci #Hxs #Hrs0 #Htc @False_ind
 384         whd in Htest:(??%?);
 385         >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? ci) in Htest;
 386         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec_neq [|@(not_to_not … Hneq) //]
 387           >nth_change_vec //]
 388         >(?:nth dst ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? cj)
 389         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec //]
 390         normalize #H destruct (H) ] ] ]
 391 qed.
 392
 393 definition match_m ≝ λsrc,dst,sig,n.
 394   whileTM … (match_step src dst sig n)
 395     (inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop)))).
 396
 397 definition R_match_m ≝
 398   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 399   ∀x,rs.
 400   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [ ] x rs →
 401   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? →
 402    right ? (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = [ ] → outt = int) ∧
 403   (∀ls0,x0,rs0.
 404    nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 405    (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::rs@l1 ∧
 406     outt = change_vec ??
 407            (change_vec ?? int
 408              (mk_tape sig (reverse ? rs@[x]) (None ?) [ ]) src)
 409            (mk_tape sig ((reverse ? (l@x::rs))@ls0) (option_hd ? l1) (tail ? l1)) dst) ∨
 410     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::rs@l1).
 411
 412 lemma not_sub_list_merge :
 413   ∀T.∀a,b:list T. (∀l1.a ≠ b@l1) → (∀t,l,l1.a ≠ t::l@b@l1) → ∀l,l1.a ≠ l@b@l1.
 414 #T #a #b #H1 #H2 #l elim l normalize //
 415 qed.
 416
 417 lemma not_sub_list_merge_2 :
 418   ∀T:DeqSet.∀a,b:list T.∀t. (∀l1.t::a ≠ b@l1) → (∀l,l1.a ≠ l@b@l1) → ∀l,l1.t::a ≠ l@b@l1.
 419 #T #a #b #t #H1 #H2 #l elim l //
 420 #t0 #l1 #IH #l2 cases (true_or_false (t == t0)) #Htt0
 421 [ >(\P Htt0) % normalize #H destruct (H) cases (H2 l1 l2) /2/
 422 | normalize % #H destruct (H) cases (\Pf Htt0) /2/ ]
 423 qed.
 424
 425
 426 lemma wsem_match_m : ∀src,dst,sig,n.
 427 src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 428   match_m src dst sig n ⊫ R_match_m src dst sig n.
 429 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 430 lapply (sem_while … (sem_match_step src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 431 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 432 [ #Hfalse #x #xs #Hmid_src
 433   cases (Hfalse … Hmid_src) -Hfalse
 434   [(* current dest = None *) *
 435     [ * #Hcur_dst #Houtc %
 436       [#_ >Houtc //
 437       | #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcur_dst;
 438         normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 439       ]
 440     | * #ls0 * #rs0 * #xs0 * * #Htc_dst #Hrs0 #HNone %
 441       [ >Htc_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 442       | #ls1 #x1 #rs1 >Htc_dst #H destruct (H)
 443         >Hrs0 >HNone cases xs0
 444         [ % %{[ ]} %{[ ]} % [ >append_nil >append_nil %]
 445           @eq_f3 //
 446           [ >reverse_append %
 447           | >reverse_append >reverse_cons >reverse_append
 448             >associative_append >associative_append % ]
 449         | #x2 #xs2 %2 #l #l1 % #Habs lapply (eq_f ?? (length ?) ?? Habs)
 450           >length_append whd in ⊢ (??%(??%)→?); >length_append
 451           >length_append normalize >commutative_plus whd in ⊢ (???%→?);
 452           #H destruct (H) lapply e0 >(plus_n_O (|rs1|)) in ⊢ (??%?→?);
 453           >associative_plus >associative_plus
 454           #e1 lapply (injective_plus_r ??? e1) whd in ⊢ (???%→?);
 455           #e2 destruct (e2)
 456         ]
 457       ]
 458     ]
 459   |* #ls0 * #rs0 * #Hmid_dst #Houtc %
 460     [ >Hmid_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 461     |#ls1 #x1 #rs1 >Hmid_dst #H destruct (H)
 462      %1 %{[ ]} %{rs0} % [%]
 463      >reverse_cons >associative_append >Houtc %
 464     ]
 465   ]
 466 |-ta #ta #tc #Htrue #Hstar #IH #Hout lapply (IH Hout) -IH -Hout #IH whd
 467  #x #xs #Hmidta_src
 468  lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 469  cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 470   [#Hcurta_dst %
 471     [#Hcurta_dst #Hrightta_dst whd in Htrue; >Hmidta_src in Htrue; #Htrue
 472      cases (Htrue ?? (refl ??)) -Htrue #Htc
 473      cut (tc = ta)
 474      [ >Htc whd in match (tape_move_mono ???); whd in match (tape_write ???);
 475        <(change_vec_same … ta dst (niltape ?)) in ⊢ (???%);
 476        lapply Hrightta_dst lapply Hcurta_dst -Hrightta_dst -Hcurta_dst
 477        cases (nth dst ? ta (niltape ?))
 478        [ #_ #_ %
 479        | #r0 #rs0 #_ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 480        | #l0 #ls0 #_ #_ %
 481        | #ls #x0 #rs normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 482      -Htc #Htc destruct (Htc) #_
 483      cases (IH … Hmidta_src) #Houtc #_ @Houtc //
 484     |#ls0 #x0 #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst in Hcurta_dst;
 485      normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 486     ]
 487   | #c #Hcurta_dst % [ >Hcurta_dst #H destruct (H) ]
 488     #ls0 #x0 #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst in Hcurta_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 489     #H destruct (H) whd in Htrue; >Hmidta_src in Htrue; #Htrue
 490     cases (Htrue ?? (refl …)) -Htrue >Hmidta_dst #Htc
 491     cases (true_or_false (x==c)) #eqx
 492     [ lapply (\P eqx) -eqx #eqx destruct (eqx) * #s0 * whd in ⊢ (??%?→?); #Hs0
 493       destruct (Hs0) #Htrue cases (Htrue (refl ??)) -Htrue
 494       #xs0 * #ci * #rs' * #ls1 * #cj * #rs1 * * #Hxs #H destruct (H) #Hcicj
 495       >Htc in IH; whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 496       #IH cases (IH … Hmidta_src) -IH #_ >nth_change_vec //
 497       cut (∃x1,xs1.xs0@cj::rs1 = x1::xs1)
 498       [ cases xs0 [ %{cj} %{rs1} % | #x1 #xs1 %{x1} %{(xs1@cj::rs1)} % ] ] * #x1 * #xs1
 499       #Hxs1 >Hxs1 #IH cases (IH … (refl ??)) -IH
 500       [ * #l * #l1 * #Hxs1'
 501         >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 502         #Houtc % %{(s0::l)} %{l1} %
 503         [ normalize <Hxs1' %
 504         | >reverse_cons >associative_append >change_vec_commute // @Houtc ]
 505       | #H %2 #l #l1 >(?:l@s0::xs@l1 = l@(s0::xs)@l1) [|%]
 506         @not_sub_list_merge
 507         [ #l2 >Hxs <Hxs1 % normalize #H1 lapply (cons_injective_r ????? H1)
 508           >associative_append #H2 lapply (append_l2_injective ????? (refl ??) H2)
 509           #H3 lapply (cons_injective_l ????? H3) #H3 >H3 in Hcicj; * /2/
 510         |#t #l2 #l3 % normalize #H1 lapply (cons_injective_r ????? H1)
 511          -H1 #H1 cases (H l2 l3) #H2 @H2 @H1
 512         ]
 513       ]
 514     | #_ cases (IH x xs ?) -IH
 515       [| >Htc >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmidta_src ]
 516       >Htc >nth_change_vec // cases rs0
 517       [ #_ #_ %2 #l #l1 cases l
 518        [ normalize cases xs
 519          [ cases l1
 520            [ normalize % #H destruct (H) cases (\Pf eqx) /2/
 521            | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 522          | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 523        | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H)cases l2 in e0;
 524          [ normalize #H1 destruct (H1)
 525          | #tmp2 #l3 normalize #H1 destruct (H1) ] ]
 526       | #r1 #rs1 #_ #IH cases (IH … (refl ??)) -IH
 527         [ * #l * #l1 * #Hll1 #Houtc % %{(c::l)} %{l1} % [ >Hll1 % ]
 528           >Houtc >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 529           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 530           >reverse_cons >associative_append %
 531         | #Hll1 %2 @(not_sub_list_merge_2 ?? (x::xs)) normalize [|@Hll1]
 532          #l1 % #H destruct (H) cases (\Pf eqx) /2/
 533         ]
 534       ]
 535     ]
 536   ]
 537 ]
 538 qed.
 539
 540 axiom daemon : ∀P:Prop.P.
 541
 542 (* XXX: move to turing (or mono) *)
 543 definition option_cons ≝ λsig.λc:option sig.λl.
 544   match c with [ None ⇒ l | Some c0 ⇒ c0::l ].
 545
 546 definition R_match_step_true_naive ≝
 547   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 548   |left ? (nth src ? outt (niltape ?))| +
 549   |option_cons ? (current ? (nth dst ? outt (niltape ?))) (right ? (nth dst ? outt (niltape ?)))| <
 550   |left ? (nth src ? int (niltape ?))| +
 551   |option_cons ? (current ? (nth dst ? int (niltape ?))) (right ? (nth dst ? int (niltape ?)))|.
 552
 553 axiom right_mk_tape : ∀sig,ls,c,rs.right ? (mk_tape sig ls c rs) = rs.
 554 axiom left_mk_tape : ∀sig,ls,c,rs.left ? (mk_tape sig ls c rs) = ls.
 555 axiom current_mk_tape : ∀sig,ls,c,rs.current ? (mk_tape sig ls c rs) = c.
 556 axiom length_tail : ∀A,l.0 < |l| → |tail A l| < |l|.
 557 axiom lists_length_split :
 558  ∀A.∀l1,l2:list A.(∃la,lb.(|la| = |l1| ∧ l2 = la@lb) ∨ (|la| = |l2| ∧ l1 = la@lb)).
 559 axiom opt_cons_tail_expand : ∀A,l.l = option_cons A (option_hd ? l) (tail ? l).
 560
 561 lemma sem_match_step_termination :
 562   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 563   match_step src dst sig n ⊨
 564     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 565       R_match_step_true_naive src dst sig n,
 566       R_match_step_false src dst sig n ].
 567 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 568 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)
 569     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ?))
 570       (sem_seq …
 571         (sem_rewind_strong ???? Hneq Hsrc Hdst)
 572         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 573       (sem_nop …)))
 574 [ #ta #tb #tc * lapply (refl ? (current ? (nth src ? ta (niltape ?))))
 575   cases (current ? (nth src ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 576   [ #Hcurta_src #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| % %2 %]
 577     whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 578     >nth_current_chars >Hcurta_src normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 579   | #s #Hs lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 580     cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 581     [ #Hcurta_dst #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| %2 %]
 582       whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 583       >nth_current_chars >nth_current_chars >Hs >Hcurta_dst
 584       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 585     | #s0 #Hs0
 586       cases (current_to_midtape … Hs) #ls * #rs #Hmidta_src >Hmidta_src
 587       cases (current_to_midtape … Hs0) #ls0 * #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst
 588       cases (true_or_false (s == s0)) #Hss0
 589       [ lapply (\P Hss0) -Hss0 #Hss0 destruct (Hss0)
 590         #_ #Hcomp cases (Hcomp ????? (refl ??) (refl ??)) -Hcomp [ *
 591         [ * #rs' * #_ #Hcurtc_dst * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 592           >nth_current_chars >nth_current_chars >Hcurtc_dst
 593           cases (current ? (nth src …))
 594           [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 595           | #x >nth_change_vec // cases (reverse ? rs0)
 596             [ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 597             | #r1 #rs1 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 598         | * #rs0' * #_ #Hcurtc_src * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 599           >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = None ?)
 600           [|>nth_current_chars >Hcurtc_src >nth_change_vec_neq
 601             [>nth_change_vec [cases (append ???) // | @Hsrc]
 602             |@(not_to_not … Hneq) //
 603             ]]
 604           normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 605         | * #xs * #ci * #cj * #rs'' * #rs0' * * * #Hcicj #Hrs #Hrs0
 606           #Htc * #td * * #Hmatch #Htd destruct (Htd) * #te * * *
 607           >Htc >change_vec_commute // >nth_change_vec //
 608           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 609           cases (lists_length_split ? ls ls0) #lsa * #lsb * * #Hlen #Hlsalsb
 610           destruct (Hlsalsb)  *
 611           [ #Hte #_ #_ <(reverse_reverse … ls) in Hte; <(reverse_reverse … lsa)
 612             cut (|reverse ? lsa| = |reverse ? ls|) [ // ] #Hlen'
 613             @(list_cases2 … Hlen')
 614             [ #H1 #H2 >H1 >H2 -H1 -H2 normalize in match (reverse ? [ ]); #Hte #_
 615               lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??) (refl ??)) -Hte
 616               >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 617               >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec #Hte
 618               >Hte * * #_ >nth_change_vec // >reverse_reverse
 619               #H lapply (H … (refl ??)) -H #Htb1 #Htb2
 620               cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta (midtape sig [] s0 (xs@ci::rs'')) src) (mk_tape sig (s0::lsb) (option_hd sig (xs@cj::rs0')) (tail sig (xs@cj::rs0'))) dst)
 621               [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd >nth_change_vec //
 622               >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 623               >right_mk_tape normalize in match (left ??);
 624               >Hmidta_src >Hmidta_dst >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand
 625               whd in match (option_cons ???); >Hrs0
 626               normalize in ⊢ (?(?%)%); //
 627             | #hda #hdb #tla #tlb #H1 #H2 >H1 >H2
 628               >reverse_cons >reverse_cons #Hte
 629               lapply (Hte ci hdb (reverse ? xs@s0::reverse ? tlb) rs'' ?
 630                        lsb cj hda (reverse ? xs@s0::reverse ? tla) rs0' ??)
 631               [ /2 by cons_injective_l, nil/
 632               | >length_append >length_append @eq_f @(eq_f ?? S)
 633                 >H1 in Hlen'; >H2 whd in ⊢ (??%%→?); #Hlen'
 634                 >length_reverse >length_reverse destruct (Hlen') //
 635               | /2 by refl, trans_eq/ ] -Hte
 636               #Hte #_ * * #_ >Hte >nth_change_vec // #Htb1 #Htb2
 637               cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta
 638                         (mk_tape sig (hda::lsb) (option_hd ? (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tla)@cj::rs0')) (tail ? (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tla)@cj::rs0'))) dst)
 639                         (midtape ? [ ] hdb (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tlb)@ci::rs'')) src)
 640               [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd
 641               >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec //
 642               >right_mk_tape >Hmidta_src >Hmidta_dst
 643               whd in match (left ??); whd in match (left ??); whd in match (right ??);
 644               >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand whd in match (option_cons ???);
 645               >Hrs0 >length_append whd in ⊢ (??(??%)); >length_append >length_reverse
 646               >length_append >commutative_plus in match (|reverse ??| + ?);
 647               whd in match (|?::?|); >length_reverse >length_reverse
 648               <(length_reverse ? ls) <Hlen' >H1 normalize // ]
 649          | #_ #Hte #_ <(reverse_reverse … ls0) in Hte; <(reverse_reverse … lsa)
 650             cut (|reverse ? lsa| = |reverse ? ls0|) [ // ] #Hlen'
 651             @(list_cases2 … Hlen')
 652             [ #H1 #H2 >H1 >H2 normalize in match (reverse ? [ ]); #Hte
 653               lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??) (refl ??)) -Hte
 654               >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 655               >change_vec_change_vec #Hte #_
 656               >Hte * * #_ >nth_change_vec // >reverse_reverse
 657               #H lapply (H … (refl ??)) -H #Htb1 #Htb2
 658               cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta (mk_tape ? [s0] (option_hd ? (xs@cj::rs0')) (tail ? (xs@cj::rs0'))) dst)
 659                            (midtape ? lsb s0 (xs@ci::rs'')) src)
 660               [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd >nth_change_vec //
 661               >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec //
 662               >right_mk_tape normalize in match (left ??);
 663               >Hmidta_src >Hmidta_dst >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand >Hrs0
 664               >length_append normalize >length_append >length_append
 665               <(reverse_reverse ? lsa) >H1 normalize //
 666             | #hda #hdb #tla #tlb #H1 #H2 >H1 >H2
 667               >reverse_cons >reverse_cons #Hte
 668               lapply (Hte cj hdb (reverse ? xs@s0::reverse ? tlb) rs0' ?
 669                        lsb ci hda (reverse ? xs@s0::reverse ? tla) rs'' ??)
 670               [ /2 by cons_injective_l, nil/
 671               | >length_append >length_append @eq_f @(eq_f ?? S)
 672                 >H1 in Hlen'; >H2 whd in ⊢ (??%%→?); #Hlen'
 673                 >length_reverse >length_reverse destruct (Hlen') //
 674               | /2 by refl, trans_eq/ ] -Hte
 675               #Hte #_ * * #_ >Hte >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec // #Htb1 #Htb2
 676               cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta
 677                         (mk_tape sig [hdb] (option_hd ? (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tlb)@cj::rs0')) (tail ? (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tlb)@cj::rs0'))) dst)
 678                         (midtape ? lsb hda (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tla)@ci::rs'')) src)
 679               [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd
 680               >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec //
 681               >right_mk_tape >Hmidta_src >Hmidta_dst
 682               whd in match (left ??); whd in match (left ??); whd in match (right ??);
 683               >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand
 684               whd in match (option_cons ???);
 685               >Hrs0 >length_append whd in ⊢ (??(??%)); >length_append >length_reverse
 686               >length_append >commutative_plus in match (|reverse ??| + ?);
 687               whd in match (|?::?|); >length_reverse >length_reverse
 688               <(length_reverse ? lsa) >Hlen' >H2 >length_append
 689               normalize //
 690             ]
 691           ]
 692         ]
 693       | lapply (\Pf Hss0) -Hss0 #Hss0 #Htc cut (tc = ta)
 694         [@Htc % % @(not_to_not ??? Hss0) #H destruct (H) %]
 695         -Htc #Htc destruct (Htc) #_ * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_
 696         #Htd destruct (Htd) * #te * * * * >Hmidta_src >Hmidta_dst
 697         cases (lists_length_split ? ls ls0) #lsa * #lsb * * #Hlen #Hlsalsb
 698         destruct (Hlsalsb)
 699         [ <(reverse_reverse … ls) <(reverse_reverse … lsa)
 700           cut (|reverse ? lsa| = |reverse ? ls|) [ // ] #Hlen'
 701           @(list_cases2 … Hlen')
 702           [ #H1 #H2 >H1 >H2 -H1 -H2 #_ #_ normalize in match (reverse ? [ ]); #Hte #_
 703             lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??)) -Hte #Hte destruct (Hte) * * #_
 704             >Hmidta_dst #Htb1 lapply (Htb1 … (refl ??)) -Htb1 #Htb1 #Htb2
 705             cut (tb = change_vec ?? ta (mk_tape ? (s0::lsa@lsb) (option_hd ? rs0) (tail ? rs0)) dst)
 706             [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd >nth_change_vec //
 707             >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmidta_src >Hmidta_dst
 708             >right_mk_tape normalize in match (left ??); normalize in match (right ??);
 709             >Hmidta_src >Hmidta_dst >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand
 710             normalize //
 711           | #hda #hdb #tla #tlb #H1 #H2 >H1 >H2
 712             >reverse_cons >reverse_cons >associative_append #Hte
 713             lapply (Hte ???? (refl ??) ? s0 ? (reverse ? tla) ?? (refl ??))
 714             [ >length_reverse >length_reverse cut (|hda::tla| = |hdb::tlb|) //
 715               normalize #H destruct (H) // ] #Hte #_ #_ #_
 716             * * #_ >Hte >nth_change_vec // #Htb1 #Htb2
 717             cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta
 718                       (mk_tape sig (hda::lsb) (option_hd ? (reverse sig (reverse sig tla)@s0::rs0)) (tail ? (reverse sig (reverse sig tla)@s0::rs0))) dst)
 719                       (midtape ? [ ] hdb (reverse sig (reverse sig tlb)@s::rs)) src)
 720             [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd
 721             >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec //
 722             >right_mk_tape >Hmidta_src >Hmidta_dst
 723             whd in match (left ??); whd in match (left ??); whd in match (right ??);
 724             >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand >length_append
 725             >length_reverse >length_reverse <(length_reverse ? ls) <Hlen'
 726             >H1 normalize // ]
 727        | #_ <(reverse_reverse … ls0) <(reverse_reverse … lsa)
 728          cut (|reverse ? lsa| = |reverse ? ls0|) [ // ] #Hlen'
 729          @(list_cases2 … Hlen')
 730          [ #H1 #H2 >H1 >H2 normalize in match (reverse ? [ ]); #_ #_ #Hte
 731            lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??)) -Hte #Hte destruct (Hte)
 732            * * #_ >Hmidta_dst #Htb1 lapply (Htb1 … (refl ??)) -Htb1 #Htb1 #Htb2
 733            cut (tb = change_vec (tape sig) (S n) ta (mk_tape ? (s0::ls0) (option_hd ? rs0) (tail ? rs0)) dst)
 734            [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd >nth_change_vec //
 735            >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmidta_src >Hmidta_dst
 736            >current_mk_tape >right_mk_tape normalize in ⊢ (??%); <opt_cons_tail_expand
 737            normalize //
 738          | #hda #hdb #tla #tlb #H1 #H2 >H1 >H2
 739            >reverse_cons >reverse_cons #Hte #_ #_
 740            lapply (Hte s0 hdb (reverse ? tlb) rs0 ?
 741                     lsb s hda (reverse ? tla) rs ??)
 742            [ /2 by cons_injective_l, nil/
 743            | >length_reverse >length_reverse cut (|hda::tla| = |hdb::tlb|) //
 744              normalize #H destruct (H) //
 745            | /2 by refl, trans_eq/ ] -Hte
 746            #Hte * * #_ >Hte >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec // #Htb1 #Htb2
 747            cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta
 748                      (mk_tape sig [hdb] (option_hd ? (reverse sig (reverse sig tlb)@s0::rs0)) (tail ? (reverse sig (reverse sig tlb)@s0::rs0))) dst)
 749                      (midtape ? lsb hda (reverse sig (reverse sig tla)@s::rs)) src)
 750            [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd
 751            >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec //
 752            >right_mk_tape >Hmidta_src >Hmidta_dst
 753            whd in match (left ??); whd in match (left ??); whd in match (right ??);
 754            >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand >length_append
 755            normalize in ⊢ (??%); >length_append >reverse_reverse
 756            <(length_reverse ? lsa) >Hlen' >H2 normalize //
 757          ]
 758        ]
 759      ]
 760    ]
 761  ]
 762 | #ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * #Htest #Htd destruct (Htd)
 763   whd in ⊢ (%→?); #Htb destruct (Htb) #ls #x #xs #Hta_src
 764   lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 765   cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 766   [ #Hcurta_dst % % % // @Hcomp1 %2 //
 767   | #x0 #Hcurta_dst cases (current_to_midtape … Hcurta_dst) -Hcurta_dst
 768     #ls0 * #rs0 #Hta_dst cases (true_or_false (x == x0)) #Hxx0
 769     [ lapply (\P Hxx0) -Hxx0 #Hxx0 destruct (Hxx0)
 770     | >(?:tc=ta) in Htest;
 771       [|@Hcomp1 % % >Hta_src >Hta_dst @(not_to_not ??? (\Pf Hxx0)) normalize
 772         #Hxx0' destruct (Hxx0') % ]
 773       whd in ⊢ (??%?→?);
 774       >nth_current_chars >Hta_src >nth_current_chars >Hta_dst
 775       whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ] -Hcomp1
 776       cases (Hcomp2 … Hta_src Hta_dst) [ *
 777       [ * #rs' * #Hxs #Hcurtc % %2 %{ls0} %{rs0} %{rs'} %
 778         [ % // | >Hcurtc % ]
 779       | * #rs0' * #Hxs #Htc %2 >Htc %{ls0} %{rs0'} % // ]
 780       | * #xs0 * #ci * #cj * #rs' * #rs0' * * *
 781         #Hci #Hxs #Hrs0 #Htc @False_ind
 782         whd in Htest:(??%?);
 783         >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? ci) in Htest;
 784         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec_neq [|@(not_to_not … Hneq) //]
 785           >nth_change_vec //]
 786         >(?:nth dst ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? cj)
 787         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec //]
 788         normalize #H destruct (H) ] ] ]
 789 qed.
 790
 791
 792 definition Pre_match_m ≝
 793   λsrc,sig,n.λt: Vector (tape sig) (S n).
 794   ∃x,xs.
 795   nth src (tape sig) t (niltape sig) = midtape ? [] x xs.
 796
 797 lemma terminate_match_m :
 798   ∀src,dst,sig,n,t.
 799   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 800   Pre_match_m src sig n t →
 801   match_m src dst sig n ↓ t.
 802 #src #dst #sig #n #t #Hneq #Hsrc #Hdst * #start * #xs
 803 #Hmid_src
 804 @(terminate_while … (sem_match_step src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)) //
 805 <(change_vec_same … t dst (niltape ?))
 806 lapply (refl ? (nth dst (tape sig) t (niltape ?)))
 807 cases (nth dst (tape sig) t (niltape ?)) in ⊢ (???%→?);
 808 [ #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 809   >Hmid_src #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
 810   >nth_change_vec // >Htape_dst #_ * #s0 * normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 811 | #x0 #xs0 #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 812   >Hmid_src #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
 813   >nth_change_vec // >Htape_dst #_ normalize in ⊢ (%→?);
 814   * #s0 * #H destruct (H)
 815 | #x0 #xs0 #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 816   >Hmid_src #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
 817   >nth_change_vec // >Htape_dst #_ normalize in ⊢ (%→?);
 818   * #s0 * #H destruct (H)
 819 | #ls #s #rs lapply s -s lapply ls -ls lapply Hmid_src lapply t -t elim rs
 820   [#t #Hmid_src #ls #s #Hmid_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 821    >Hmid_src >nth_change_vec // >Hmid_dst #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
 822    >change_vec_change_vec #Ht1 #_ % #t2 whd in ⊢ (%→?);
 823    >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmid_src #HR
 824    cases (HR ?? (refl ??)) -HR #_
 825    >nth_change_vec // * #s1 * normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 826   |#r0 #rs0 #IH #t #Hmid_src #ls #s #Hmid_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?);
 827    >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmid_src
 828    #Htrue cases (Htrue ?? (refl ??)) -Htrue >change_vec_change_vec
 829    >nth_change_vec // >Hmid_dst whd in match (tape_move_mono ???); #Ht1
 830    * #s0 * whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) #_ >Ht1
 831    lapply (IH t1 ? (s0::ls) r0 ?)
 832    [ >Ht1 >nth_change_vec //
 833    | >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src
 834    | >Ht1 >nth_change_vec // ]
 835  ]
 836 ]
 837 qed.