]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma
match
[helm.git] / matita / matita / lib / turing / multi_universal / match.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "turing/multi_universal/compare.ma".
16 include "turing/multi_universal/par_test.ma".
17
18
19 definition Rtc_multi_true ≝ 
20   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
21    (∃c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c ∧ test c = true) ∧ t2 = t1.
22    
23 definition Rtc_multi_false ≝ 
24   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
25     (∀c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c → test c = false) ∧ t2 = t1.
26
27 lemma sem_test_char_multi :
28   ∀alpha,test,n,i.i ≤ n → 
29   inject_TM ? (test_char ? test) n i ⊨ 
30   [ tc_true : Rtc_multi_true alpha test n i, Rtc_multi_false alpha test n i ].
31 #alpha #test #n #i #Hin #int
32 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_char alpha test) int)
33 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
34 [ @Hloop
35 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * * #c *
36   #Hcur #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
37   [ %{c} % //
38   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
39     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
40     [ >Hi0i @Hnth_i
41     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
42 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
43   [ @Htestc
44   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
45     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
46     [ >Hi0i @Hnth_i
47     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
48 qed.
49
50 definition Rm_test_null_true ≝ 
51   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
52    current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) ≠ None ? ∧ t2 = t1.
53    
54 definition Rm_test_null_false ≝ 
55   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
56     current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = None ? ∧ t2 = t1.
57
58 lemma sem_test_null_multi : ∀alpha,n,i.i ≤ n → 
59   inject_TM ? (test_null ?) n i ⊨ 
60     [ tc_true : Rm_test_null_true alpha n i, Rm_test_null_false alpha n i ].
61 #alpha #n #i #Hin #int
62 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_null alpha) int)
63 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
64 [ @Hloop
65 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j % //
66   @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
67   [ >Hi0i @sym_eq @Hnth_i | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] 
68 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j %
69   [ @Hcur
70   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) // 
71     #Hi0i @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] 
72 qed.
73
74 axiom comp_list: ∀S:DeqSet. ∀l1,l2:list S.∀is_endc. ∃l,tl1,tl2. 
75   l1 = l@tl1 ∧ l2 = l@tl2 ∧ (∀c.c ∈ l = true → is_endc c = false) ∧
76   ∀a,tla. tl1 = a::tla → is_endc a = true ∨ (∀b,tlb.tl2 = b::tlb → a≠b).
77   
78 axiom daemon : ∀X:Prop.X.
79
80 definition match_test ≝ λsrc,dst.λsig:DeqSet.λn,is_endc.λv:Vector ? n.
81   match (nth src (option sig) v (None ?)) with 
82   [ None ⇒  false 
83   | Some x ⇒  notb ((is_endc x) ∨ (nth dst (DeqOption sig) v (None ?) == None ?))]. 
84
85 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
86   compare src dst sig n is_endc ·
87      (ifTM ?? (partest sig n (match_test src dst sig ? is_endc))
88       (single_finalTM ??
89         (parmove src dst sig n L is_startc · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
90       (nop …)
91       partest1).
92       
93 definition R_match_step_false ≝ 
94   λsrc,dst,sig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
95   ∀ls,x,xs,end,rs.
96   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) →
97   (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → is_endc end = true →
98    ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ?) ∧ outt = int) ∨
99     (∃ls0,rs0,xs0. nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x rs0 ∧
100       xs = rs0@xs0 ∧
101       current sig (nth dst (tape sig) outt (niltape sig)) = None ?) ∨
102     (∃ls0,rs0. 
103      nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
104      ∀rsj,c. 
105      rs0 = c::rsj →
106      outt = change_vec ??
107             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
108             (midtape sig (reverse ? xs@x::ls0) c rsj) dst).
109
110 definition R_match_step_true ≝ 
111   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
112   ∀s.current sig (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s → 
113   current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) ≠ None ? ∧
114   (is_startc s = true → 
115    (∀c.c ∈ right ? (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = true → is_startc c = false) →
116    (∀s1.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s1 → s ≠ s1 →  
117     outt = change_vec ?? int 
118           (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈s1,R〉)) dst ∧ is_endc s = false) ∧  
119    (∀ls,x,xs,ci,cj,rs,ls0,rs0. 
120      nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
121      nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@cj::rs0) →
122      (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → 
123       ci ≠ cj →
124       (outt = change_vec ?? int 
125           (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) dst ∧ is_endc ci = false))). 
126 (*    ∧
127     (rs0 = [ ] →
128      outt = change_vec ??
129            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) src)
130            (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (None ?) [ ]) dst)). *)
131            
132 lemma sem_match_step :
133   ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.src ≠ dst → src < S n → dst < S n → 
134   match_step src dst sig n is_startc is_endc ⊨ 
135     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) : 
136       R_match_step_true src dst sig n is_startc is_endc, 
137       R_match_step_false src dst sig n is_endc ].
138 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst 
139 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n is_endc Hneq Hsrc Hdst)
140     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ? is_endc))
141       (sem_seq … 
142         (sem_parmoveL ???? is_startc Hneq Hsrc Hdst) 
143         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
144       (sem_nop …)))
145 [#ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * #Htest #Htd >Htd -Htd
146  * #te * #Hte #Htb whd 
147  #s #Hcurta_src % 
148  [ lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?)))) 
149    cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
150    [| #c #_ % #Hfalse destruct (Hfalse) ]
151    #Hcurta_dst >Hcomp1 in Htest; [| %2 %2 //]
152    whd in ⊢ (??%?→?); change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
153     <nth_vec_map >Hcurta_src whd in ⊢ (??%?→?); <nth_vec_map
154     >Hcurta_dst cases (is_endc s) normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
155  | #Hstart #Hnotstart %
156    [ #s1 #Hcurta_dst #Hneqss1 -Hcomp2
157      cut (tc = ta) 
158      [@Hcomp1 %2 %1 %1 >Hcurta_src >Hcurta_dst @(not_to_not … Hneqss1) #H destruct (H) //] 
159      #H destruct (H) -Hcomp1 cases Hte #_ -Hte #Hte
160      cut (te = ta) [@Hte %1 %1 %{s} % //] -Hte #H destruct (H) %
161      [cases Htb * #_ #Hmove #Hmove1 @(eq_vec … (niltape … ))
162       #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
163        [ >Hidst >nth_change_vec // cases (current_to_midtape … Hcurta_dst)
164          #ls * #rs #Hta_mid >(Hmove … Hta_mid) >Hta_mid cases rs //
165        | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @Hmove1 @sym_not_eq // ]
166      | whd in Htest:(??%?); >(nth_vec_map ?? (current sig)) in Hcurta_src; #Hcurta_src
167        >Hcurta_src in Htest; whd in ⊢ (??%?→?);
168        cases (is_endc s) // whd in ⊢ (??%?→?); #H @sym_eq // 
169      ]
170    |#ls #x #xs #ci #cj #rs #ls0 #rs00 #Htasrc_mid #Htadst_mid #Hnotendc #Hcicj 
171     cases (Hcomp2 … Htasrc_mid Htadst_mid Hnotendc) [ * #H destruct (H) ]
172     * #cj' * #rs0' * #Hcjrs0 destruct (Hcjrs0) -Hcomp2 #Hcomp2
173     lapply (Hcomp2 (or_intror ?? Hcicj)) -Hcomp2 #Htc %
174     [ cases Hte -Hte #Hte #_ whd in Hte;
175       >Htasrc_mid in Hcurta_src; whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) 
176       lapply (Hte ls ci (reverse ? xs) rs s ??? ls0 cj' (reverse ? xs) s rs0' (refl ??) ?) //
177       [ >Htc >nth_change_vec //
178       | #c0 #Hc0 @(Hnotstart c0) >Htasrc_mid cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
179         [@memb_append_l2 >(\P Hc0) @memb_hd
180         |@memb_append_l1 <(reverse_reverse …xs) @memb_reverse //
181         ]
182       | >Htc >change_vec_commute // >nth_change_vec // ] -Hte
183       >Htc >change_vec_commute // >change_vec_change_vec 
184       >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec #Hte
185       >Hte in Htb; * * #_ >reverse_reverse #Htbdst1 #Htbdst2 -Hte @(eq_vec … (niltape ?))
186       #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
187       [ >Hidst >nth_change_vec // >(Htbdst1 ls0 s (xs@cj'::rs0'))
188         [| >nth_change_vec // ]
189         >Htadst_mid cases xs //
190       | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ]
191         <Htbdst2 [| @sym_not_eq // ] >nth_change_vec_neq [| @sym_not_eq // ]
192         <Htasrc_mid >change_vec_same % ]
193     | >Hcurta_src in Htest; whd in ⊢(??%?→?);
194       >Htc >change_vec_commute //
195       change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
196       <nth_vec_map >nth_change_vec // whd in ⊢ (??%?→?);
197       cases (is_endc ci) whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) % 
198     ]
199    ]
200   ]
201 |#intape #outtape #ta * #Hcomp1 #Hcomp2 * #tb * * #Hc #Htb 
202  whd in ⊢ (%→?); #Hout >Hout >Htb whd
203  #ls #c_src #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
204  lapply (current_to_midtape sig (nth dst ? intape (niltape ?)))
205  cases (current … (nth dst ? intape (niltape ?))) in Hcomp1;
206   [#Hcomp1 #_ %1 % % [% | @Hcomp1 %2 %2 % ]
207   |#c_dst cases (true_or_false (c_src == c_dst)) #Hceq
208     [#_ #Hmid_dst cases (Hmid_dst c_dst (refl …)) -Hmid_dst
209      #ls_dst * #rs_dst #Hmid_dst
210      cases (comp_list … (xs@end::rs) rs_dst is_endc) #xs1 * #rsi * #rsj * * * 
211      #Hrs_src #Hrs_dst #Hnotendxs1 #Hneq >Hrs_dst in Hmid_dst; #Hmid_dst
212      cut (∃r1,rs1.rsi = r1::rs1) [@daemon] * #r1 * #rs1 #Hrs1 >Hrs1 in Hrs_src;
213      #Hrs_src >Hrs_src in Hmid_src; #Hmid_src <(\P Hceq) in Hmid_dst; #Hmid_dst
214      lapply (Hcomp2 ??????? Hmid_src Hmid_dst ?) 
215      [ #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
216        [ >(\P Hc0) @Hnotend @memb_hd | @Hnotendxs1 //] ] 
217      *
218      [ * #Hrsj >Hrsj #Hta % %2 >Hta >nth_change_vec //
219        %{ls_dst} %{xs1} cut (∃xs0.xs = xs1@xs0)
220        [lapply Hnotendxs1 -Hnotendxs1 lapply Hrs_src lapply xs elim xs1
221          [ #l #_ #_ %{l} %
222          | #x2 #xs2 #IH * 
223            [ whd in ⊢ (??%%→?); #H destruct (H) #Hnotendxs2
224              >Hnotendxs2 in Hend; [ #H destruct (H) |@memb_hd ]
225            | #x2' #xs2' whd in ⊢ (??%%→?); #H destruct (H)
226              #Hnotendxs2 cases (IH xs2' e0 ?)
227              [ #xs0 #Hxs2 %{xs0} @eq_f //
228              |#c #Hc @Hnotendxs2 @memb_cons // ]
229            ]
230          ] 
231        ] * #xs0 #Hxs0 %{xs0} % [ %
232        [ >Hmid_dst >Hrsj >append_nil %
233        | @Hxs0 ]
234        | cases (reverse ? xs1) // ]
235      | * #cj * #rs2 * #Hrsj #Hta lapply (Hta ?)
236        [ cases (Hneq ?? Hrs1) /2/ #Hr1 %2 @(Hr1 ?? Hrsj) ] -Hta #Hta
237        %2 >Hta in Hc; whd in ⊢ (??%?→?);
238        change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
239        <nth_vec_map >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
240        whd in ⊢ (??%?→?); #Hc cut (is_endc r1 = true)
241        [ cases (is_endc r1) in Hc; whd in ⊢ (??%?→?); //
242          change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
243          <nth_vec_map >nth_change_vec // normalize #H destruct (H) ]
244        #Hendr1 cut (xs = xs1)
245        [ lapply Hnotendxs1 lapply Hnotend lapply Hrs_src lapply xs1
246          -Hnotendxs1 -Hnotend -Hrs_src -xs1 elim xs
247          [ * normalize in ⊢ (%→?); //
248            #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #_ #Hnotendxs1
249            lapply (Hnotendxs1 ? (memb_hd …)) >Hend #H destruct (H)
250          | #x2 #xs2 #IH *
251            [ normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #Hnotendc
252              >Hnotendc in Hendr1; [| @memb_cons @memb_hd ]
253              normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
254            | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
255              #Hnotendc #Hnotendcxs1 @eq_f @IH
256              [ @(cons_injective_r … Heq)
257              | #c0 #Hc0 @Hnotendc cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
258                [ >(\P Hc0) @memb_hd
259                | @memb_cons @memb_cons // ]
260              | #c #Hc @Hnotendcxs1 @memb_cons // ]
261            ]
262          ]
263        | #Hxsxs1 destruct (Hxsxs1) >Hmid_dst %{ls_dst} %{rsj} % //
264          #rsj0 #c >Hrsj #Hrsj0 destruct (Hrsj0) 
265          lapply (append_l2_injective … Hrs_src) // #Hrs' destruct (Hrs') %
266        ]
267      ]
268     |#Hcomp1 #Hsrc cases (Hsrc ? (refl ??)) -Hsrc #ls0 * #rs0 #Hdst 
269      @False_ind lapply (Hcomp1 ?) [%2 %1 %1 >Hmid_src normalize
270      @(not_to_not ??? (\Pf Hceq)) #H destruct //] #Hintape >Hintape in Hc;
271      whd in ⊢(??%?→?); >Hmid_src  
272      change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
273      <nth_vec_map >Hmid_src whd in ⊢ (??%?→?);
274      >(Hnotend c_src) [|@memb_hd]
275      change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
276      <nth_vec_map >Hmid_src whd in ⊢ (??%?→?); >Hdst normalize #H destruct (H)
277    ]
278   ]
279 ]
280 qed.
281
282 definition match_m ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
283   whileTM … (match_step src dst sig n is_startc is_endc) 
284     (inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop)))).
285
286 definition R_match_m ≝ 
287   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
288 (*  (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? → outt = int) ∧ *)
289   ∀ls,x,xs,end,rs.
290   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) →
291   (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → is_endc end = true →
292   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? → outt = int) ∧
293   (is_startc x = true →
294    (∀ls0,x0,rs0.
295     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
296     (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::xs@l1 ∧
297      ∀cj,l2.l1=cj::l2 →
298      outt = change_vec ?? 
299             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
300             (midtape sig ((reverse ? (l@x::xs))@ls0) cj l2) dst) ∨
301     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::xs@l1)).
302
303 (*
304 definition R_match_m ≝ 
305   λi,j,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
306   (((∃x.current ? (nth i ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧ is_endc x = true) ∨
307     current ? (nth i ? int (niltape ?)) = None ? ∨
308     current ? (nth j ? int (niltape ?)) = None ?) → outt = int) ∧
309   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,x0,rs0.
310     (∀x. is_startc x ≠ is_endc x) → 
311     is_startc x = true → is_endc ci = true → 
312     (∀z. memb ? z (x::xs) = true → is_endc x = false) →
313     nth i ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
314     nth j ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
315     (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::xs@l1 ∧
316      ∀cj,l2.l1=cj::l2 →
317      outt = change_vec ?? 
318             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) i)
319             (midtape sig ((reverse ? (l@x::xs))@ls0) cj l2) j) ∨
320     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::xs@l1).
321 *)
322
323 (*
324 axiom sub_list_dec: ∀A.∀l,ls:list A. 
325   ∃l1,l2. l = l1@ls@l2 ∨ ∀l1,l2. l ≠ l1@ls@l2.
326 *)
327
328 lemma wsem_match_m : ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
329 src ≠ dst → src < S n → dst < S n → 
330   match_m src dst sig n is_startc is_endc ⊫ R_match_m src dst sig n is_startc is_endc.
331 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
332 lapply (sem_while … (sem_match_step src dst sig n is_startc is_endc Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
333 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
334 [ #tc #Hfalse #ls #x #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
335   cases (Hfalse … Hmid_src Hnotend Hend) -Hfalse 
336   [(* current dest = None *) *
337     [ * #Hcur_dst #Houtc %
338       [#_ >Houtc //
339       |#Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcur_dst; 
340        normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
341       ]
342     | * #ls0 * #rs0 * #xs0 * * #Htc_dst #Hrs0 #HNone %
343       [ >Htc_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
344       | #Hstart #ls1 #x1 #rs1 >Htc_dst #H destruct (H)
345         >Hrs0 cases xs0
346         [ % %{[ ]} %{[ ]} % [ >append_nil >append_nil %]
347           #cj #ls2 #H destruct (H)
348         | #x2 #xs2 %2 #l #l1 % #Habs lapply (eq_f ?? (length ?) ?? Habs)
349           >length_append whd in ⊢ (??%(??%)→?); >length_append
350           >length_append normalize >commutative_plus whd in ⊢ (???%→?);
351           #H destruct (H) lapply e0 >(plus_n_O (|rs1|)) in ⊢ (??%?→?);
352           >associative_plus >associative_plus 
353           #e1 lapply (injective_plus_r ??? e1) whd in ⊢ (???%→?);
354           #e2 destruct (e2)
355         ]
356       ]
357     ]
358   |* #ls0 * #rs0 * #Hmid_dst #HFalse %
359     [ >Hmid_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
360     | #Hstart #ls1 #x1 #rs1 >Hmid_dst #H destruct (H)
361      %1 %{[ ]} %{rs0} % [%] #cj #l2 #Hnotnil 
362      >reverse_cons >associative_append @(HFalse ?? Hnotnil)
363     ]
364   ]
365 |#ta #tb #tc #Htrue #Hstar #IH #Hout lapply (IH Hout) -IH -Hout #IH whd
366  #ls #x #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend 
367  lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
368  cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?); 
369   [#Hmid_dst % 
370     [#_ whd in Htrue; >Hmid_src in Htrue; #Htrue
371      cases (Htrue x (refl … )) -Htrue * #Htaneq #_
372      @False_ind >Hmid_dst in Htaneq; /2/
373     |#Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst2 >Hmid_dst2 in Hmid_dst; normalize in ⊢ (%→?); 
374      #H destruct (H)
375     ]
376   | #c #Hcurta_dst % [ >Hcurta_dst #H destruct (H) ]
377     #Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcurta_dst; normalize in ⊢ (%→?);
378     #H destruct (H) whd in Htrue; >Hmid_src in Htrue; #Htrue
379     cases (Htrue x (refl …)) -Htrue #_ #Htrue cases (Htrue Hstart ?) -Htrue
380     [2: #z #membz @daemon (*aggiungere l'ipotesi*)]
381     cases (true_or_false (x==c)) #eqx
382     [ #_ #Htrue cases (comp_list ? (xs@end::rs) rs0 is_endc)
383       #x1 * #tl1 * #tl2 * * * #Hxs #Hrs0 #Hnotendx1
384       cases tl1 in Hxs; 
385       [>append_nil #Hx1 @daemon (* absurd by Hx1 e notendx1 *)]
386       #ci -tl1 #tl1 #Hxs #H cases (H … (refl … ))
387       [(* this is absurd, since Htrue conlcudes is_endc ci =false *)
388        #Hend_ci @daemon (* lapply(Htrue … (refl …)) -Htrue *)
389       |cases tl2 in Hrs0;
390         [
391         | #cj #tl2' #Hrs0 #Hcomp lapply (Htrue ls x x1 ci cj tl1 ls0 tl2' ????)
392           [ @(Hcomp ?? (refl ??))
393           | #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) #Hc0
394             [ @Hnotend >(\P Hc0) @memb_hd
395             | @Hnotendx1 // ]
396           | >Hmid_dst >Hrs0 >(\P eqx) %
397           | >Hxs %
398           | * #Htb >Htb #Hendci %2 >Hrs0 >Hxs
399             cases (IH ls x xs end rs ? Hnotend Hend) [|
400             STOP
401     
402
403           
404            >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
405           
406         >Hrs0 in Hmid_dst; #Hmid_dst
407        cases(Htrue ???????? Hmid_dst) -Htrue #Htb #Hendx
408        whd in IH;
409        cases(IH ls x xs end rs ? Hstart Hnotend Hend)
410        [* #H1 #H2 >Htb in H1; >nth_change_vec // 
411         >Hmid_dst cases rs0 [2: #a #tl normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)] 
412         #_ %2 @daemon (* si dimostra *)
413        |@daemon
414        |>Htb >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src
415        ] 
416     ]
417   ]
418 ]
419 qed.
420