matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/auxiliary_multi_machines.ma".
  16
  17 (* rewind *)
  18 definition rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.
  19   parmove src dst sig n L · mmove src sig n R · mmove dst sig n R.
  20
  21 definition R_rewind_strong ≝ λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  22   (∀x,x0,xs,rs.
  23     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs →
  24     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| →
  25     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 →
  26     outt = change_vec ??
  27            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) src)
  28            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) dst) ∧
  29   (∀x,x0,xs,rs.
  30     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs →
  31     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| →
  32     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 →
  33     outt = change_vec ??
  34            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) dst)
  35            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) src) ∧
  36   (∀x,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [] x rs →
  37    ∀ls0,y,rs0.nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 y rs0 →
  38    outt = int) ∧
  39   (∀x,rs.nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig [] x rs →
  40    ∀ls0,y,rs0.nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 y rs0 →
  41    outt = int).
  42
  43 definition R_rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  44   (∀x,x0,xs,rs.
  45     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs →
  46     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| →
  47     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 →
  48     outt = change_vec ??
  49            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) src)
  50            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) dst) ∧
  51   (∀x,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [] x rs →
  52    ∀ls0,y,rs0.nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 y rs0 →
  53    outt = int).
  54
  55 lemma sem_rewind_strong : ∀src,dst,sig,n.
  56   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
  57   rewind src dst sig n ⊨ R_rewind_strong src dst sig n.
  58 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
  59 @(sem_seq_app sig n ????? (sem_parmoveL src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) ?)
  60 [| @(sem_seq_app sig n ????? (sem_move_multi … R ?) (sem_move_multi … R ?)) //
  61  @le_S_S_to_le // ]
  62 #ta #tb * #tc * * * #Htc1 #Htc2 #_ * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Htb % [ % [ %
  63 [ #x #x0 #xs #rs #Hmidta_src #ls0 #y #y0 #target #rs0 #Hlen #Hmidta_dst
  64   >(Htc1 ??? Hmidta_src ls0 y (target@[y0]) rs0 ??) in Htd;
  65   [|>Hmidta_dst //
  66   |>length_append >length_append >Hlen % ]
  67   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
  68   >change_vec_change_vec
  69   >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
  70   >nth_change_vec // >reverse_append >reverse_single
  71   >reverse_append >reverse_single normalize in match (tape_move ???);
  72   >rev_append_def >append_nil #Htd >Htd in Htb;
  73   >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
  74   cases ls0 [|#l1 #ls1] normalize in match (tape_move ???); //
  75 | #x #x0 #xs #rs #Hmidta_dst #ls0 #y #y0 #target #rs0 #Hlen #Hmidta_src
  76   >(Htc2 ??? Hmidta_dst ls0 y (target@[y0]) rs0 ??) in Htd;
  77   [|>Hmidta_src //
  78   |>length_append >length_append >Hlen % ]
  79   >change_vec_change_vec
  80   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
  81   >nth_change_vec //
  82   >reverse_append >reverse_single
  83   >reverse_append >reverse_single
  84   cases ls0 [|#l1 #ls1] normalize in match (tape_move ???);
  85   #Htd >Htd in Htb; >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
  86   >rev_append_def >change_vec_commute // normalize in match (tape_move ???); // ]
  87 | #x #rs #Hmidta_src #ls0 #y #rs0 #Hmidta_dst
  88   lapply (Htc1 … Hmidta_src … (refl ??) Hmidta_dst) -Htc1 #Htc >Htc in Htd;
  89   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
  90   >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
  91   >nth_change_vec // lapply (refl ? ls0) cases ls0 in ⊢ (???%→%);
  92   [ #Hls0 #Htd >Htd in Htb;
  93     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
  94     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
  95     <Hls0 <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
  96   | #l1 #ls1 #Hls0 #Htd >Htd in Htb;
  97     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
  98     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
  99     <Hls0 <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 100   ] ]
 101 | #x #rs #Hmidta_dst #ls0 #y #rs0 #Hmidta_src
 102   lapply (Htc2 … Hmidta_dst … (refl ??) Hmidta_src) -Htc2 #Htc >Htc in Htd;
 103   >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 104   >nth_change_vec // lapply (refl ? ls0) cases ls0 in ⊢ (???%→%);
 105   [ #Hls0 destruct (Hls0) #Htd >Htd in Htb;
 106     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
 107     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???);
 108     <Hmidta_src <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 109   | #l1 #ls1 #Hls0 destruct (Hls0) #Htd >Htd in Htb;
 110     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
 111     whd in match (tape_move ???); whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
 112     <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 113   ]
 114 ]
 115 qed.
 116
 117 lemma sem_rewind : ∀src,dst,sig,n.
 118   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 119   rewind src dst sig n ⊨ R_rewind src dst sig n.
 120 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst @(Realize_to_Realize … (sem_rewind_strong …)) //
 121 #ta #tb * * * #H1 #H2 #H3 #H4 % /2 by /
 122 qed.
 123
 124 (* match step *)
 125
 126 definition match_test ≝ λsrc,dst.λsig:DeqSet.λn.λv:Vector ? n.
 127   match (nth src (option sig) v (None ?)) with
 128   [ None ⇒  false
 129   | Some x ⇒  notb (nth dst (DeqOption sig) v (None ?) == None ?) ].
 130
 131 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n.
 132   compare src dst sig n ·
 133      (ifTM ?? (partest sig n (match_test src dst sig ?))
 134       (single_finalTM ??
 135         (rewind src dst sig n · mmove dst ?? R))
 136       (nop …)
 137       partest1).
 138
 139 (* we assume the src is a midtape
 140    we stop
 141    if the dst is out of bounds (outt = int)
 142    or dst.right is shorter than src.right (outt.current → None)
 143    or src.right is a prefix of dst.right (out = just right of the common prefix) *)
 144 definition R_match_step_false ≝
 145   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 146   ∀ls,x,xs.
 147   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x xs →
 148   ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ?) ∧ outt = int) ∨
 149     (∃ls0,rs0,xs0. nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x rs0 ∧
 150       xs = rs0@xs0 ∧
 151       outt = change_vec ??
 152              (change_vec ?? int (mk_tape sig (reverse ? rs0@x::ls) (option_hd ? xs0) (tail ? xs0)) src)
 153              (mk_tape ? (reverse ? rs0@x::ls0) (None ?) [ ]) dst) ∨
 154     (∃ls0,rs0.
 155      nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
 156      (* ∀rsj,c.
 157      rs0 = c::rsj → *)
 158      outt = change_vec ??
 159             (change_vec ?? int (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls) (None ?) [ ]) src)
 160             (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (option_hd ? rs0) (tail ? rs0)) dst).
 161
 162 (*
 163    we assume the src is a midtape [ ] s rs
 164    if we iterate
 165    then dst.current = Some ? s1
 166    and  if s ≠ s1 then outt = int.dst.move_right()
 167    and  if s = s1
 168         then int.src.right and int.dst.right have a common prefix
 169         and  the heads of their suffixes are different
 170         and  outt = int.dst.move_right().
 171
 172  *)
 173 definition R_match_step_true ≝
 174   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 175   ∀s,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape ? [ ] s rs →
 176   outt = change_vec ?? int
 177          (tape_move_mono … (nth dst ? int (niltape ?)) (〈None ?,R〉)) dst ∧
 178   (∃s0.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s0 ∧
 179    (s0 = s →
 180    ∃xs,ci,rs',ls0,cj,rs0.
 181    rs = xs@ci::rs' ∧
 182    nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 s (xs@cj::rs0) ∧
 183    ci ≠ cj)).
 184
 185 lemma sem_match_step :
 186   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 187   match_step src dst sig n ⊨
 188     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 189       R_match_step_true src dst sig n,
 190       R_match_step_false src dst sig n ].
 191 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 192 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)
 193     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ?))
 194       (sem_seq …
 195         (sem_rewind ???? Hneq Hsrc Hdst)
 196         (sem_move_multi … R ?))
 197       (sem_nop …))) /2/
 198 [ #ta #tb #tc * lapply (refl ? (current ? (nth src ? ta (niltape ?))))
 199   cases (current ? (nth src ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 200   [ #Hcurta_src #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| % %2 %]
 201     whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 202     >nth_current_chars >Hcurta_src normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 203   | #s #Hs lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 204     cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 205     [ #Hcurta_dst #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| %2 %]
 206       whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 207       >nth_current_chars >nth_current_chars >Hs >Hcurta_dst
 208       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 209     | #s0 #Hs0
 210       cases (current_to_midtape … Hs) #ls * #rs #Hmidta_src >Hmidta_src
 211       cases (current_to_midtape … Hs0) #ls0 * #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst
 212       cases (true_or_false (s == s0)) #Hss0
 213       [ lapply (\P Hss0) -Hss0 #Hss0 destruct (Hss0)
 214         #_ #Hcomp cases (Hcomp ????? (refl ??) (refl ??)) -Hcomp [ *
 215         [ * #rs' * #_ #Hcurtc_dst * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 216           >nth_current_chars >nth_current_chars >Hcurtc_dst
 217           cases (current ? (nth src …))
 218           [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 219           | #x >nth_change_vec // cases (reverse ? rs0)
 220             [ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 221             | #r1 #rs1 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 222         | * #rs0' * #_ #Hcurtc_src * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 223           >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = None ?)
 224           [|>nth_current_chars >Hcurtc_src >nth_change_vec_neq
 225             [>nth_change_vec [cases (append ???) // | @Hsrc]
 226             |@(not_to_not … Hneq) //
 227             ]]
 228           normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 229         | * #xs * #ci * #cj * #rs'' * #rs0' * * * #Hcicj #Hrs #Hrs0
 230           #Htc * #td * * #Hmatch #Htd destruct (Htd) * #te * *
 231           >Htc >change_vec_commute // >nth_change_vec //
 232           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec // #Hte #_ #Htb
 233           #s' #rs' >Hmidta_src #H destruct (H)
 234           lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??) (refl ??)) -Hte
 235           >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 236           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec #Hte
 237           >Hte in Htb; whd in ⊢ (%→?); #Htb >Htb %
 238           [ >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 239             >reverse_reverse <Hrs <Hmidta_src >change_vec_same <Hrs0 <Hmidta_dst
 240             %
 241           | >Hmidta_dst %{s'} % [%] #_
 242             >Hrs0 %{xs} %{ci} %{rs''} %{ls0} %{cj} %{rs0'} % // % //
 243           ]
 244         ]
 245       | lapply (\Pf Hss0) -Hss0 #Hss0 #Htc cut (tc = ta)
 246         [@Htc % % @(not_to_not ??? Hss0) #H destruct (H) %]
 247         -Htc #Htc destruct (Htc) #_ * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_
 248         #Htd destruct (Htd) * #te * * #_ #Hte whd in ⊢ (%→?); #Htb
 249         #s1 #rs1 >Hmidta_src #H destruct (H)
 250         lapply (Hte … Hmidta_src … Hmidta_dst) -Hte #Hte destruct (Hte) %
 251         [ >Htb %
 252         | >Hs0 %{s0} % // #H destruct (H) @False_ind cases (Hss0) /2/ ]
 253       ]
 254     ]
 255   ]
 256 | #ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * #Htest #Htd destruct (Htd)
 257   whd in ⊢ (%→?); #Htb destruct (Htb) #ls #x #xs #Hta_src
 258   lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 259   cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 260   [ #Hcurta_dst % % % // @Hcomp1 %2 //
 261   | #x0 #Hcurta_dst cases (current_to_midtape … Hcurta_dst) -Hcurta_dst
 262     #ls0 * #rs0 #Hta_dst cases (true_or_false (x == x0)) #Hxx0
 263     [ lapply (\P Hxx0) -Hxx0 #Hxx0 destruct (Hxx0)
 264     | >(?:tc=ta) in Htest;
 265       [|@Hcomp1 % % >Hta_src >Hta_dst @(not_to_not ??? (\Pf Hxx0)) normalize
 266         #Hxx0' destruct (Hxx0') % ]
 267       whd in ⊢ (??%?→?);
 268       >nth_current_chars >Hta_src >nth_current_chars >Hta_dst
 269       whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ] -Hcomp1
 270       cases (Hcomp2 … Hta_src Hta_dst) [ *
 271       [ * #rs' * #Hxs #Hcurtc % %2 %{ls0} %{rs0} %{rs'} %
 272         [ % // | >Hcurtc % ]
 273       | * #rs0' * #Hxs #Htc %2 >Htc %{ls0} %{rs0'} % // ]
 274       | * #xs0 * #ci * #cj * #rs' * #rs0' * * *
 275         #Hci #Hxs #Hrs0 #Htc @False_ind
 276         whd in Htest:(??%?);
 277         >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? ci) in Htest;
 278         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec_neq [|@(not_to_not … Hneq) //]
 279           >nth_change_vec //]
 280         >(?:nth dst ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? cj)
 281         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec //]
 282         normalize #H destruct (H) ] ] ]
 283 qed.
 284
 285 definition match_m ≝ λsrc,dst,sig,n.
 286   whileTM … (match_step src dst sig n)
 287     (inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop)))).
 288
 289 definition R_match_m ≝
 290   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 291   ∀x,rs.
 292   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [ ] x rs →
 293   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? →
 294    right ? (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = [ ] → outt = int) ∧
 295   (∀ls0,x0,rs0.
 296    nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 297    (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::rs@l1 ∧
 298     outt = change_vec ??
 299            (change_vec ?? int
 300              (mk_tape sig (reverse ? rs@[x]) (None ?) [ ]) src)
 301            (mk_tape sig ((reverse ? (l@x::rs))@ls0) (option_hd ? l1) (tail ? l1)) dst) ∨
 302     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::rs@l1).
 303
 304 lemma not_sub_list_merge :
 305   ∀T.∀a,b:list T. (∀l1.a ≠ b@l1) → (∀t,l,l1.a ≠ t::l@b@l1) → ∀l,l1.a ≠ l@b@l1.
 306 #T #a #b #H1 #H2 #l elim l normalize //
 307 qed.
 308
 309 lemma not_sub_list_merge_2 :
 310   ∀T:DeqSet.∀a,b:list T.∀t. (∀l1.t::a ≠ b@l1) → (∀l,l1.a ≠ l@b@l1) → ∀l,l1.t::a ≠ l@b@l1.
 311 #T #a #b #t #H1 #H2 #l elim l //
 312 #t0 #l1 #IH #l2 cases (true_or_false (t == t0)) #Htt0
 313 [ >(\P Htt0) % normalize #H destruct (H) cases (H2 l1 l2) /2/
 314 | normalize % #H destruct (H) cases (\Pf Htt0) /2/ ]
 315 qed.
 316
 317
 318 lemma wsem_match_m : ∀src,dst,sig,n.
 319 src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 320   match_m src dst sig n ⊫ R_match_m src dst sig n.
 321 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 322 lapply (sem_while … (sem_match_step src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 323 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 324 [ #Hfalse #x #xs #Hmid_src
 325   cases (Hfalse … Hmid_src) -Hfalse
 326   [(* current dest = None *) *
 327     [ * #Hcur_dst #Houtc %
 328       [#_ >Houtc //
 329       | #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcur_dst;
 330         normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 331       ]
 332     | * #ls0 * #rs0 * #xs0 * * #Htc_dst #Hrs0 #HNone %
 333       [ >Htc_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 334       | #ls1 #x1 #rs1 >Htc_dst #H destruct (H)
 335         >Hrs0 >HNone cases xs0
 336         [ % %{[ ]} %{[ ]} % [ >append_nil >append_nil %]
 337           @eq_f3 //
 338           [ >reverse_append %
 339           | >reverse_append >reverse_cons >reverse_append
 340             >associative_append >associative_append % ]
 341         | #x2 #xs2 %2 #l #l1 % #Habs lapply (eq_f ?? (length ?) ?? Habs)
 342           >length_append whd in ⊢ (??%(??%)→?); >length_append
 343           >length_append normalize >commutative_plus whd in ⊢ (???%→?);
 344           #H destruct (H) lapply e0 >(plus_n_O (|rs1|)) in ⊢ (??%?→?);
 345           >associative_plus >associative_plus
 346           #e1 lapply (injective_plus_r ??? e1) whd in ⊢ (???%→?);
 347           #e2 destruct (e2)
 348         ]
 349       ]
 350     ]
 351   |* #ls0 * #rs0 * #Hmid_dst #Houtc %
 352     [ >Hmid_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 353     |#ls1 #x1 #rs1 >Hmid_dst #H destruct (H)
 354      %1 %{[ ]} %{rs0} % [%]
 355      >reverse_cons >associative_append >Houtc %
 356     ]
 357   ]
 358 |-ta #ta #tc #Htrue #Hstar #IH #Hout lapply (IH Hout) -IH -Hout #IH whd
 359  #x #xs #Hmidta_src
 360  lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 361  cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 362   [#Hcurta_dst %
 363     [#Hcurta_dst #Hrightta_dst whd in Htrue; >Hmidta_src in Htrue; #Htrue
 364      cases (Htrue ?? (refl ??)) -Htrue #Htc
 365      cut (tc = ta)
 366      [ >Htc whd in match (tape_move_mono ???); whd in match (tape_write ???);
 367        <(change_vec_same … ta dst (niltape ?)) in ⊢ (???%);
 368        lapply Hrightta_dst lapply Hcurta_dst -Hrightta_dst -Hcurta_dst
 369        cases (nth dst ? ta (niltape ?))
 370        [ #_ #_ %
 371        | #r0 #rs0 #_ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 372        | #l0 #ls0 #_ #_ %
 373        | #ls #x0 #rs normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 374      -Htc #Htc destruct (Htc) #_
 375      cases (IH … Hmidta_src) #Houtc #_ @Houtc //
 376     |#ls0 #x0 #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst in Hcurta_dst;
 377      normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 378     ]
 379   | #c #Hcurta_dst % [ >Hcurta_dst #H destruct (H) ]
 380     #ls0 #x0 #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst in Hcurta_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 381     #H destruct (H) whd in Htrue; >Hmidta_src in Htrue; #Htrue
 382     cases (Htrue ?? (refl …)) -Htrue >Hmidta_dst #Htc
 383     cases (true_or_false (x==c)) #eqx
 384     [ lapply (\P eqx) -eqx #eqx destruct (eqx) * #s0 * whd in ⊢ (??%?→?); #Hs0
 385       destruct (Hs0) #Htrue cases (Htrue (refl ??)) -Htrue
 386       #xs0 * #ci * #rs' * #ls1 * #cj * #rs1 * * #Hxs #H destruct (H) #Hcicj
 387       >Htc in IH; whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 388       #IH cases (IH … Hmidta_src) -IH #_ >nth_change_vec //
 389       cut (∃x1,xs1.xs0@cj::rs1 = x1::xs1)
 390       [ cases xs0 [ %{cj} %{rs1} % | #x1 #xs1 %{x1} %{(xs1@cj::rs1)} % ] ] * #x1 * #xs1
 391       #Hxs1 >Hxs1 #IH cases (IH … (refl ??)) -IH
 392       [ * #l * #l1 * #Hxs1'
 393         >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 394         #Houtc % %{(s0::l)} %{l1} %
 395         [ normalize <Hxs1' %
 396         | >reverse_cons >associative_append >change_vec_commute // @Houtc ]
 397       | #H %2 #l #l1 >(?:l@s0::xs@l1 = l@(s0::xs)@l1) [|%]
 398         @not_sub_list_merge
 399         [ #l2 >Hxs <Hxs1 % normalize #H1 lapply (cons_injective_r ????? H1)
 400           >associative_append #H2 lapply (append_l2_injective ????? (refl ??) H2)
 401           #H3 lapply (cons_injective_l ????? H3) #H3 >H3 in Hcicj; * /2/
 402         |#t #l2 #l3 % normalize #H1 lapply (cons_injective_r ????? H1)
 403          -H1 #H1 cases (H l2 l3) #H2 @H2 @H1
 404         ]
 405       ]
 406     | #_ cases (IH x xs ?) -IH
 407       [| >Htc >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmidta_src ]
 408       >Htc >nth_change_vec // cases rs0
 409       [ #_ #_ %2 #l #l1 cases l
 410        [ normalize cases xs
 411          [ cases l1
 412            [ normalize % #H destruct (H) cases (\Pf eqx) /2/
 413            | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 414          | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 415        | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H)cases l2 in e0;
 416          [ normalize #H1 destruct (H1)
 417          | #tmp2 #l3 normalize #H1 destruct (H1) ] ]
 418       | #r1 #rs1 #_ #IH cases (IH … (refl ??)) -IH
 419         [ * #l * #l1 * #Hll1 #Houtc % %{(c::l)} %{l1} % [ >Hll1 % ]
 420           >Houtc >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 421           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 422           >reverse_cons >associative_append %
 423         | #Hll1 %2 @(not_sub_list_merge_2 ?? (x::xs)) normalize [|@Hll1]
 424          #l1 % #H destruct (H) cases (\Pf eqx) /2/
 425         ]
 426       ]
 427     ]
 428   ]
 429 ]
 430 qed.
 431
 432 definition R_match_step_true_naive ≝
 433   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 434   |left ? (nth src ? outt (niltape ?))| +
 435   |option_cons ? (current ? (nth dst ? outt (niltape ?))) (right ? (nth dst ? outt (niltape ?)))| <
 436   |left ? (nth src ? int (niltape ?))| +
 437   |option_cons ? (current ? (nth dst ? int (niltape ?))) (right ? (nth dst ? int (niltape ?)))|.
 438
 439 lemma sem_match_step_termination :
 440   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 441   match_step src dst sig n ⊨
 442     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 443       R_match_step_true_naive src dst sig n,
 444       R_match_step_false src dst sig n ].
 445 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 446 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)
 447     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ?))
 448       (sem_seq …
 449         (sem_rewind_strong ???? Hneq Hsrc Hdst)
 450         (sem_move_multi … R ?))
 451       (sem_nop …))) [/2/]
 452 [ #ta #tb #tc * lapply (refl ? (current ? (nth src ? ta (niltape ?))))
 453   cases (current ? (nth src ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 454   [ #Hcurta_src #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| % %2 %]
 455     whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 456     >nth_current_chars >Hcurta_src normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 457   | #s #Hs lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 458     cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 459     [ #Hcurta_dst #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| %2 %]
 460       whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 461       >nth_current_chars >nth_current_chars >Hs >Hcurta_dst
 462       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 463     | #s0 #Hs0
 464       cases (current_to_midtape … Hs) #ls * #rs #Hmidta_src >Hmidta_src
 465       cases (current_to_midtape … Hs0) #ls0 * #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst
 466       cases (true_or_false (s == s0)) #Hss0
 467       [ lapply (\P Hss0) -Hss0 #Hss0 destruct (Hss0)
 468         #_ #Hcomp cases (Hcomp ????? (refl ??) (refl ??)) -Hcomp [ *
 469         [ * #rs' * #_ #Hcurtc_dst * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 470           >nth_current_chars >nth_current_chars >Hcurtc_dst
 471           cases (current ? (nth src …))
 472           [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 473           | #x >nth_change_vec [|@Hdst] cases (reverse ? rs0)
 474             [ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 475             | #r1 #rs1 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 476         | * #rs0' * #_ #Hcurtc_src * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 477           >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = None ?)
 478           [|>nth_current_chars >Hcurtc_src >nth_change_vec_neq
 479             [>nth_change_vec [cases (append ???) // | @Hsrc]
 480             |@(not_to_not … Hneq) //
 481             ]]
 482           normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 483         | * #xs * #ci * #cj * #rs'' * #rs0' * * * #Hcicj #Hrs #Hrs0
 484           #Htc * #td * * #Hmatch #Htd destruct (Htd) * #te * * *
 485           >Htc >change_vec_commute [|//] >nth_change_vec [|//]
 486           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec [|//]
 487           cases (lists_length_split ? ls ls0) #lsa * #lsb * * #Hlen #Hlsalsb
 488           destruct (Hlsalsb)  *
 489           [ #Hte #_ #_ <(reverse_reverse … ls) in Hte; <(reverse_reverse … lsa)
 490             cut (|reverse ? lsa| = |reverse ? ls|) [ // ] #Hlen'
 491             @(list_cases2 … Hlen')
 492             [ #H1 #H2 >H1 >H2 -H1 -H2 normalize in match (reverse ? [ ]); #Hte #_
 493               lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??) (refl ??)) -Hte
 494               >change_vec_commute [|//] >change_vec_change_vec
 495               >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec #Hte
 496               >Hte whd in ⊢ (%→?); >change_vec_change_vec >nth_change_vec [|//]
 497               >reverse_reverse #Htb
 498               cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta (midtape sig [ ] s0 (xs@ci::rs'')) src) (mk_tape sig (s0::lsb) (option_hd sig (xs@cj::rs0')) (tail sig (xs@cj::rs0'))) dst)
 499               [ >Htb @eq_f3 // cases (xs@cj::rs0') // ]
 500               -Htb #Htb >Htb whd >nth_change_vec [|//]
 501               >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec [|//]
 502               >right_mk_tape [|cases xs [|#x0 #xs0] normalize in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)]
 503               normalize in match (left ??);
 504               >Hmidta_src >Hmidta_dst >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand
 505               whd in match (option_cons ???); >Hrs0
 506               normalize in ⊢ (?(?%)%); //
 507             | #hda #hdb #tla #tlb #H1 #H2 >H1 >H2
 508               >reverse_cons >reverse_cons #Hte
 509               lapply (Hte ci hdb (reverse ? xs@s0::reverse ? tlb) rs'' ?
 510                        lsb cj hda (reverse ? xs@s0::reverse ? tla) rs0' ??)
 511               [ /2 by cons_injective_l, nil/
 512               | >length_append >length_append @eq_f @(eq_f ?? S)
 513                 >H1 in Hlen'; >H2 whd in ⊢ (??%%→?); #Hlen'
 514                 >length_reverse >length_reverse destruct (Hlen') //
 515               | /2 by refl, trans_eq/ ] -Hte
 516               #Hte #_  whd in ⊢ (%→?); #Htb
 517               cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta
 518                         (mk_tape sig (hda::lsb) (option_hd ? (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tla)@cj::rs0')) (tail ? (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tla)@cj::rs0'))) dst)
 519                         (midtape ? [ ] hdb (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tlb)@ci::rs'')) src)
 520               [ >Htb >Hte >nth_change_vec // >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|//]
 521                 >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 522                 >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|//]
 523                 @eq_f3 // cases (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tla)@cj::rs0') // ]
 524               -Htb #Htb >Htb whd
 525               >nth_change_vec [|//] >nth_change_vec_neq [|//] >nth_change_vec [|//]
 526               >right_mk_tape
 527               [| cases (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tla))
 528                  [|#x0 #xs0] normalize in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) ]
 529               >Hmidta_src >Hmidta_dst
 530               whd in match (left ??); whd in match (left ??); whd in match (right ??);
 531               >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand whd in match (option_cons ???);
 532               >Hrs0 >length_append whd in ⊢ (??(??%)); >length_append >length_reverse
 533               >length_append >commutative_plus in match (|reverse ??| + ?);
 534               whd in match (|?::?|); >length_reverse >length_reverse
 535               <(length_reverse ? ls) <Hlen' >H1 normalize // ]
 536          | #_ #Hte #_ <(reverse_reverse … ls0) in Hte; <(reverse_reverse … lsa)
 537             cut (|reverse ? lsa| = |reverse ? ls0|) [ // ] #Hlen'
 538             @(list_cases2 … Hlen')
 539             [ #H1 #H2 >H1 >H2 normalize in match (reverse ? [ ]); #Hte
 540               lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??) (refl ??)) -Hte
 541               >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 542               >change_vec_change_vec #Hte #_
 543               >Hte whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec [|//] >reverse_reverse #Htb
 544               cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta (mk_tape ? [s0] (option_hd ? (xs@cj::rs0')) (tail ? (xs@cj::rs0'))) dst)
 545                            (midtape ? lsb s0 (xs@ci::rs'')) src)
 546               [ >Htb >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|//]
 547                 @eq_f3 // <Hrs0 cases rs0 // ]
 548               -Htb #Htb >Htb whd >nth_change_vec [|//]
 549               >nth_change_vec_neq [|//] >nth_change_vec [|//]
 550               >right_mk_tape
 551               [| cases xs [|#x0 #xs0] normalize in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) ]
 552               normalize in match (left ??);
 553               >Hmidta_src >Hmidta_dst >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand >Hrs0
 554               >length_append normalize >length_append >length_append
 555               <(reverse_reverse ? lsa) >H1 normalize //
 556             | #hda #hdb #tla #tlb #H1 #H2 >H1 >H2
 557               >reverse_cons >reverse_cons #Hte
 558               lapply (Hte cj hdb (reverse ? xs@s0::reverse ? tlb) rs0' ?
 559                        lsb ci hda (reverse ? xs@s0::reverse ? tla) rs'' ??)
 560               [ /2 by cons_injective_l, nil/
 561               | >length_append >length_append @eq_f @(eq_f ?? S)
 562                 >H1 in Hlen'; >H2 whd in ⊢ (??%%→?); #Hlen'
 563                 >length_reverse >length_reverse destruct (Hlen') //
 564               | /2 by refl, trans_eq/ ] -Hte
 565               #Hte #_ whd in ⊢ (%→?); >Hte >nth_change_vec_neq [|//] >nth_change_vec [|//] #Htb
 566               cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta
 567                         (mk_tape sig [hdb] (option_hd ? (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tlb)@cj::rs0')) (tail ? (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tlb)@cj::rs0'))) dst)
 568                         (midtape ? lsb hda (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tla)@ci::rs'')) src)
 569               [ >Htb >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|//]
 570                 >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 571                 >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|//]
 572                 @eq_f3 // cases (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tlb)@cj::rs0') // ]
 573               -Htb #Htb >Htb whd
 574               >nth_change_vec [|//] >nth_change_vec_neq [|//] >nth_change_vec [|//]
 575               >right_mk_tape
 576               [| cases (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tlb))
 577                  [|#x0 #xs0] normalize in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) ]
 578               >Hmidta_src >Hmidta_dst
 579               whd in match (left ??); whd in match (left ??); whd in match (right ??);
 580               >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand
 581               whd in match (option_cons ???);
 582               >Hrs0 >length_append whd in ⊢ (??(??%)); >length_append >length_reverse
 583               >length_append >commutative_plus in match (|reverse ??| + ?);
 584               whd in match (|?::?|); >length_reverse >length_reverse
 585               <(length_reverse ? lsa) >Hlen' >H2 >length_append
 586               normalize //
 587             ]
 588           ]
 589         ]
 590       | lapply (\Pf Hss0) -Hss0 #Hss0 #Htc cut (tc = ta)
 591         [@Htc % % @(not_to_not ??? Hss0) #H destruct (H) %]
 592         -Htc #Htc destruct (Htc) #_ * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_
 593         #Htd destruct (Htd) * #te * * * * >Hmidta_src >Hmidta_dst
 594         cases (lists_length_split ? ls ls0) #lsa * #lsb * * #Hlen #Hlsalsb
 595         destruct (Hlsalsb)
 596         [ <(reverse_reverse … ls) <(reverse_reverse … lsa)
 597           cut (|reverse ? lsa| = |reverse ? ls|) [ // ] #Hlen'
 598           @(list_cases2 … Hlen')
 599           [ #H1 #H2 >H1 >H2 -H1 -H2 #_ #_ normalize in match (reverse ? [ ]); #Hte #_
 600             lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??)) -Hte #Hte destruct (Hte)
 601             whd in ⊢ (%→?); >Hmidta_dst #Htb
 602             cut (tb = change_vec ?? ta (mk_tape ? (s0::lsa@lsb) (option_hd ? rs0) (tail ? rs0)) dst)
 603             [ >Htb cases rs0 // ]
 604             -Htb #Htb >Htb whd >nth_change_vec [|//]
 605             >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmidta_src >Hmidta_dst
 606             >right_mk_tape
 607             [| cases rs0 [ #_ %2 % | #x0 #xs0 normalize in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)] ]
 608             normalize in match (left ??); normalize in match (right ??);
 609             >Hmidta_src >Hmidta_dst >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand
 610             normalize //
 611           | #hda #hdb #tla #tlb #H1 #H2 >H1 >H2
 612             >reverse_cons >reverse_cons >associative_append #Hte
 613             lapply (Hte ???? (refl ??) ? s0 ? (reverse ? tla) ?? (refl ??))
 614             [ >length_reverse >length_reverse cut (|hda::tla| = |hdb::tlb|) //
 615               normalize #H destruct (H) // ] #Hte #_ #_ #_
 616             whd in ⊢ (%→?); >Hte >change_vec_change_vec >nth_change_vec // #Htb
 617             cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta
 618                       (mk_tape sig (hda::lsb) (option_hd ? (reverse sig (reverse sig tla)@s0::rs0)) (tail ? (reverse sig (reverse sig tla)@s0::rs0))) dst)
 619                       (midtape ? [ ] hdb (reverse sig (reverse sig tlb)@s::rs)) src)
 620             [ >Htb >change_vec_commute [|//] @eq_f3 // cases (reverse sig (reverse sig tla)@s0::rs0) // ]
 621             -Htb #Htb >Htb whd
 622             >nth_change_vec [|//] >nth_change_vec_neq [|//] >nth_change_vec [|//]
 623             >right_mk_tape
 624             [| cases (reverse sig (reverse sig tla))
 625                [|#x0 #xs0] normalize in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) ]
 626             >Hmidta_src >Hmidta_dst
 627             whd in match (left ??); whd in match (left ??); whd in match (right ??);
 628             >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand >length_append
 629             >length_reverse >length_reverse <(length_reverse ? ls) <Hlen'
 630             >H1 normalize // ]
 631        | #_ <(reverse_reverse … ls0) <(reverse_reverse … lsa)
 632          cut (|reverse ? lsa| = |reverse ? ls0|) [ // ] #Hlen'
 633          @(list_cases2 … Hlen')
 634          [ #H1 #H2 >H1 >H2 normalize in match (reverse ? [ ]); #_ #_ #Hte
 635            lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??)) -Hte #Hte destruct (Hte)
 636            whd in ⊢ (%→?); #Htb whd >Hmidta_dst
 637            cut (tb = change_vec (tape sig) (S n) ta (mk_tape ? (s0::ls0) (option_hd ? rs0) (tail ? rs0)) dst)
 638            [ >Htb >Hmidta_dst cases rs0 // ]
 639            -Htb #Htb >Htb whd >nth_change_vec [|//]
 640            >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmidta_src >Hmidta_dst
 641            >current_mk_tape >right_mk_tape
 642            [| cases rs0 [ #_ %2 % | #x0 #xs0 normalize in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) ]]
 643            normalize in ⊢ (??%); <opt_cons_tail_expand
 644            normalize //
 645          | #hda #hdb #tla #tlb #H1 #H2 >H1 >H2
 646            >reverse_cons >reverse_cons #Hte #_ #_
 647            lapply (Hte s0 hdb (reverse ? tlb) rs0 ?
 648                     lsb s hda (reverse ? tla) rs ??)
 649            [ /2 by cons_injective_l, nil/
 650            | >length_reverse >length_reverse cut (|hda::tla| = |hdb::tlb|) //
 651              normalize #H destruct (H) //
 652            | /2 by refl, trans_eq/ ] -Hte
 653            #Hte whd in ⊢ (%→?); >Hte >nth_change_vec_neq [|//] >nth_change_vec [|//] #Htb
 654            cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta
 655                      (mk_tape sig [hdb] (option_hd ? (reverse sig (reverse sig tlb)@s0::rs0)) (tail ? (reverse sig (reverse sig tlb)@s0::rs0))) dst)
 656                      (midtape ? lsb hda (reverse sig (reverse sig tla)@s::rs)) src)
 657            [ >Htb >change_vec_commute [|//] >change_vec_change_vec
 658              @eq_f3 // cases (reverse sig (reverse sig tlb)@s0::rs0) // ]
 659            -Htb #Htb >Htb whd
 660            >nth_change_vec [|//] >nth_change_vec_neq [|//] >nth_change_vec [|//]
 661            >right_mk_tape
 662            [| cases (reverse ? (reverse ? tlb)) [|#x0 #xs0] normalize in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) ]
 663            >Hmidta_src >Hmidta_dst
 664            whd in match (left ??); whd in match (left ??); whd in match (right ??);
 665            >current_mk_tape <opt_cons_tail_expand >length_append
 666            normalize in ⊢ (??%); >length_append >reverse_reverse
 667            <(length_reverse ? lsa) >Hlen' >H2 normalize //
 668          ]
 669        ]
 670      ]
 671    ]
 672  ]
 673 | #ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * #Htest #Htd destruct (Htd)
 674   whd in ⊢ (%→?); #Htb destruct (Htb) #ls #x #xs #Hta_src
 675   lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 676   cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 677   [ #Hcurta_dst % % % // @Hcomp1 %2 //
 678   | #x0 #Hcurta_dst cases (current_to_midtape … Hcurta_dst) -Hcurta_dst
 679     #ls0 * #rs0 #Hta_dst cases (true_or_false (x == x0)) #Hxx0
 680     [ lapply (\P Hxx0) -Hxx0 #Hxx0 destruct (Hxx0)
 681     | >(?:tc=ta) in Htest;
 682       [|@Hcomp1 % % >Hta_src >Hta_dst @(not_to_not ??? (\Pf Hxx0)) normalize
 683         #Hxx0' destruct (Hxx0') % ]
 684       whd in ⊢ (??%?→?);
 685       >nth_current_chars >Hta_src >nth_current_chars >Hta_dst
 686       whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ] -Hcomp1
 687       cases (Hcomp2 … Hta_src Hta_dst) [ *
 688       [ * #rs' * #Hxs #Hcurtc % %2 %{ls0} %{rs0} %{rs'} %
 689         [ % // | >Hcurtc % ]
 690       | * #rs0' * #Hxs #Htc %2 >Htc %{ls0} %{rs0'} % // ]
 691       | * #xs0 * #ci * #cj * #rs' * #rs0' * * *
 692         #Hci #Hxs #Hrs0 #Htc @False_ind
 693         whd in Htest:(??%?);
 694         >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? ci) in Htest;
 695         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec_neq [|@(not_to_not … Hneq) //]
 696           >nth_change_vec //]
 697         >(?:nth dst ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? cj)
 698         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec //]
 699         normalize #H destruct (H) ] ] ]
 700 qed.
 701
 702 (* lemma WF_to_WF_f : ∀A,B,R,f,b. WF A R (f b) → WF B (λx,y.R (f x) (f y)) b. *)
 703 let rec WF_to_WF_f A B R f b (Hwf: WF A R (f b)) on Hwf: WF B (λx,y.R (f x) (f y)) b ≝
 704   match Hwf return (λa0,r.f b = a0 → WF B (λx,y:B. R (f x) (f y)) b) with
 705   [ wf a Hwfa ⇒ λHeq.? ] (refl ??).
 706 % #b1 #HRb @WF_to_WF_f @Hwfa <Heq @HRb
 707 qed.
 708
 709 lemma lt_WF : ∀n.WF ? lt n.
 710 #n @(nat_elim1 n) -n #n #IH % @IH
 711 qed.
 712
 713 lemma terminate_match_m :
 714   ∀src,dst,sig,n,t.
 715   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 716   match_m src dst sig n ↓ t.
 717 #src #dst #sig #n #ta #Hneq #Hsrc #Hdst
 718 @(terminate_while … (sem_match_step_termination src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)) //
 719 letin f ≝ (λt0:Vector (tape sig) (S n).|left ? (nth src (tape ?) t0 (niltape ?))|
 720     +|option_cons ? (current ? (nth dst (tape ?) t0 (niltape ?)))
 721       (right ? (nth dst (tape ?) t0 (niltape ?)))|)
 722 change with (λx,y.f x < f y) in ⊢ (??%?); @WF_to_WF_f @lt_WF
 723 qed.
 724
 725 lemma sem_match_m : ∀src,dst,sig,n.
 726 src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 727   match_m src dst sig n \vDash R_match_m src dst sig n.
 728 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst @WRealize_to_Realize [/2/| @wsem_match_m // ]
 729 qed.