matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/multi_universal/compare.ma".
  16 include "turing/multi_universal/par_test.ma".
  17
  18
  19 definition Rtc_multi_true ≝
  20   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  21    (∃c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c ∧ test c = true) ∧ t2 = t1.
  22
  23 definition Rtc_multi_false ≝
  24   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  25     (∀c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c → test c = false) ∧ t2 = t1.
  26
  27 lemma sem_test_char_multi :
  28   ∀alpha,test,n,i.i ≤ n →
  29   inject_TM ? (test_char ? test) n i ⊨
  30   [ tc_true : Rtc_multi_true alpha test n i, Rtc_multi_false alpha test n i ].
  31 #alpha #test #n #i #Hin #int
  32 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_char alpha test) int)
  33 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  34 [ @Hloop
  35 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * * #c *
  36   #Hcur #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  37   [ %{c} % //
  38   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  39     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  40     [ >Hi0i @Hnth_i
  41     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  42 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  43   [ @Htestc
  44   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  45     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  46     [ >Hi0i @Hnth_i
  47     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  48 qed.
  49
  50 definition Rm_test_null_true ≝
  51   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  52    current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) ≠ None ? ∧ t2 = t1.
  53
  54 definition Rm_test_null_false ≝
  55   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  56     current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = None ? ∧ t2 = t1.
  57
  58 lemma sem_test_null_multi : ∀alpha,n,i.i ≤ n →
  59   inject_TM ? (test_null ?) n i ⊨
  60     [ tc_true : Rm_test_null_true alpha n i, Rm_test_null_false alpha n i ].
  61 #alpha #n #i #Hin #int
  62 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_null alpha) int)
  63 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  64 [ @Hloop
  65 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j % //
  66   @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  67   [ >Hi0i @sym_eq @Hnth_i | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  68 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j %
  69   [ @Hcur
  70   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) //
  71     #Hi0i @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  72 qed.
  73
  74 lemma comp_list: ∀S:DeqSet. ∀l1,l2:list S.∀is_endc. ∃l,tl1,tl2.
  75   l1 = l@tl1 ∧ l2 = l@tl2 ∧ (∀c.c ∈ l = true → is_endc c = false) ∧
  76   ∀a,tla. tl1 = a::tla →
  77   is_endc a = true ∨ (is_endc a = false ∧∀b,tlb.tl2 = b::tlb → a≠b).
  78 #S #l1 #l2 #is_endc elim l1 in l2;
  79 [ #l2 %{[ ]} %{[ ]} %{l2} normalize %
  80   [ % [ % // | #c #H destruct (H) ] | #a #tla #H destruct (H) ]
  81 | #x #l3 #IH cases (true_or_false (is_endc x)) #Hendcx
  82   [ #l %{[ ]} %{(x::l3)} %{l} normalize
  83     % [ % [ % // | #c #H destruct (H) ] | #a #tla #H destruct (H) >Hendcx % % ]
  84   | *
  85     [ %{[ ]} %{(x::l3)} %{[ ]} normalize %
  86       [ % [ % // | #c #H destruct (H) ]
  87       | #a #tla #H destruct (H) cases (is_endc a)
  88         [ % % | %2 % // #b #tlb #H destruct (H) ]
  89       ]
  90     | #y #l4 cases (true_or_false (x==y)) #Hxy
  91       [ lapply (\P Hxy) -Hxy #Hxy destruct (Hxy)
  92         cases (IH l4) -IH #l * #tl1 * #tl2 * * * #Hl3 #Hl4 #Hl #IH
  93         %{(y::l)} %{tl1} %{tl2} normalize
  94         % [ % [ % //
  95               | #c cases (true_or_false (c==y)) #Hcy >Hcy normalize
  96                 [ >(\P Hcy) //
  97                 | @Hl ]
  98               ]
  99           | #a #tla #Htl1 @(IH … Htl1) ]
 100       | %{[ ]} %{(x::l3)} %{(y::l4)} normalize %
 101         [ % [ % // | #c #H destruct (H) ]
 102         | #a #tla #H destruct (H) cases (is_endc a)
 103           [ % % | %2 % // #b #tlb #H destruct (H) @(\Pf Hxy) ]
 104         ]
 105       ]
 106     ]
 107   ]
 108 ]
 109 qed.
 110
 111 axiom daemon : ∀X:Prop.X.
 112
 113 definition match_test ≝ λsrc,dst.λsig:DeqSet.λn,is_endc.λv:Vector ? n.
 114   match (nth src (option sig) v (None ?)) with
 115   [ None ⇒  false
 116   | Some x ⇒  notb ((is_endc x) ∨ (nth dst (DeqOption sig) v (None ?) == None ?))].
 117
 118 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 119   compare src dst sig n is_endc ·
 120      (ifTM ?? (partest sig n (match_test src dst sig ? is_endc))
 121       (single_finalTM ??
 122         (parmove src dst sig n L is_startc · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
 123       (nop …)
 124       partest1).
 125
 126 definition R_match_step_false ≝
 127   λsrc,dst,sig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 128   ∀ls,x,xs,end,rs.
 129   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) →
 130   (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → is_endc end = true →
 131    ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ?) ∧ outt = int) ∨
 132     (∃ls0,rs0,xs0. nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x rs0 ∧
 133       xs = rs0@xs0 ∧
 134       current sig (nth dst (tape sig) outt (niltape sig)) = None ?) ∨
 135     (∃ls0,rs0.
 136      nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
 137      ∀rsj,c.
 138      rs0 = c::rsj →
 139      outt = change_vec ??
 140             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
 141             (midtape sig (reverse ? xs@x::ls0) c rsj) dst).
 142
 143 definition R_match_step_true ≝
 144   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 145   ∀s.current sig (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s →
 146   current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) ≠ None ? ∧
 147   (is_startc s = true →
 148    (∀c.c ∈ right ? (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = true → is_startc c = false) →
 149    (∀s1.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s1 → s ≠ s1 →
 150     outt = change_vec ?? int
 151           (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈s1,R〉)) dst ∧ is_endc s = false) ∧
 152    (∀ls,x,xs,ci,cj,rs,ls0,rs0.
 153      nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 154      nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@cj::rs0) →
 155      (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) →
 156       ci ≠ cj →
 157       (outt = change_vec ?? int
 158           (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) dst ∧ is_endc ci = false))).
 159 (*    ∧
 160     (rs0 = [ ] →
 161      outt = change_vec ??
 162            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) src)
 163            (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (None ?) [ ]) dst)). *)
 164
 165 lemma sem_match_step :
 166   ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 167   match_step src dst sig n is_startc is_endc ⊨
 168     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 169       R_match_step_true src dst sig n is_startc is_endc,
 170       R_match_step_false src dst sig n is_endc ].
 171 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst
 172 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n is_endc Hneq Hsrc Hdst)
 173     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ? is_endc))
 174       (sem_seq …
 175         (sem_parmoveL ???? is_startc Hneq Hsrc Hdst)
 176         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 177       (sem_nop …)))
 178 [#ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * #Htest #Htd >Htd -Htd
 179  * #te * #Hte #Htb whd
 180  #s #Hcurta_src %
 181  [ lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 182    cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 183    [| #c #_ % #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 184    #Hcurta_dst >Hcomp1 in Htest; [| %2 %2 //]
 185    whd in ⊢ (??%?→?); change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 186     <nth_vec_map >Hcurta_src whd in ⊢ (??%?→?); <nth_vec_map
 187     >Hcurta_dst cases (is_endc s) normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 188  | #Hstart #Hnotstart %
 189    [ #s1 #Hcurta_dst #Hneqss1 -Hcomp2
 190      cut (tc = ta)
 191      [@Hcomp1 %2 %1 %1 >Hcurta_src >Hcurta_dst @(not_to_not … Hneqss1) #H destruct (H) //]
 192      #H destruct (H) -Hcomp1 cases Hte #_ -Hte #Hte
 193      cut (te = ta) [@Hte %1 %1 %{s} % //] -Hte #H destruct (H) %
 194      [cases Htb * #_ #Hmove #Hmove1 @(eq_vec … (niltape … ))
 195       #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 196        [ >Hidst >nth_change_vec // cases (current_to_midtape … Hcurta_dst)
 197          #ls * #rs #Hta_mid >(Hmove … Hta_mid) >Hta_mid cases rs //
 198        | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @Hmove1 @sym_not_eq // ]
 199      | whd in Htest:(??%?); >(nth_vec_map ?? (current sig)) in Hcurta_src; #Hcurta_src
 200        >Hcurta_src in Htest; whd in ⊢ (??%?→?);
 201        cases (is_endc s) // whd in ⊢ (??%?→?); #H @sym_eq //
 202      ]
 203    |#ls #x #xs #ci #cj #rs #ls0 #rs00 #Htasrc_mid #Htadst_mid #Hnotendc #Hcicj
 204     cases (Hcomp2 … Htasrc_mid Htadst_mid Hnotendc) [ * #H destruct (H) ]
 205     * #cj' * #rs0' * #Hcjrs0 destruct (Hcjrs0) -Hcomp2 #Hcomp2
 206     lapply (Hcomp2 (or_intror ?? Hcicj)) -Hcomp2 #Htc %
 207     [ cases Hte -Hte #Hte #_ whd in Hte;
 208       >Htasrc_mid in Hcurta_src; whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 209       lapply (Hte ls ci (reverse ? xs) rs s ??? ls0 cj' (reverse ? xs) s rs0' (refl ??) ?) //
 210       [ >Htc >nth_change_vec //
 211       | #c0 #Hc0 @(Hnotstart c0) >Htasrc_mid cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 212         [@memb_append_l2 >(\P Hc0) @memb_hd
 213         |@memb_append_l1 <(reverse_reverse …xs) @memb_reverse //
 214         ]
 215       | >Htc >change_vec_commute // >nth_change_vec // ] -Hte
 216       >Htc >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 217       >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec #Hte
 218       >Hte in Htb; * * #_ >reverse_reverse #Htbdst1 #Htbdst2 -Hte @(eq_vec … (niltape ?))
 219       #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 220       [ >Hidst >nth_change_vec // >(Htbdst1 ls0 s (xs@cj'::rs0'))
 221         [| >nth_change_vec // ]
 222         >Htadst_mid cases xs //
 223       | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ]
 224         <Htbdst2 [| @sym_not_eq // ] >nth_change_vec_neq [| @sym_not_eq // ]
 225         <Htasrc_mid >change_vec_same % ]
 226     | >Hcurta_src in Htest; whd in ⊢(??%?→?);
 227       >Htc >change_vec_commute //
 228       change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 229       <nth_vec_map >nth_change_vec // whd in ⊢ (??%?→?);
 230       cases (is_endc ci) whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) %
 231     ]
 232    ]
 233   ]
 234 |#intape #outtape #ta * #Hcomp1 #Hcomp2 * #tb * * #Hc #Htb
 235  whd in ⊢ (%→?); #Hout >Hout >Htb whd
 236  #ls #c_src #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
 237  lapply (current_to_midtape sig (nth dst ? intape (niltape ?)))
 238  cases (current … (nth dst ? intape (niltape ?))) in Hcomp1;
 239   [#Hcomp1 #_ %1 % % [% | @Hcomp1 %2 %2 % ]
 240   |#c_dst cases (true_or_false (c_src == c_dst)) #Hceq
 241     [#_ #Hmid_dst cases (Hmid_dst c_dst (refl …)) -Hmid_dst
 242      #ls_dst * #rs_dst #Hmid_dst
 243      cases (comp_list … (xs@end::rs) rs_dst is_endc) #xs1 * #rsi * #rsj * * *
 244      #Hrs_src #Hrs_dst #Hnotendxs1 #Hneq >Hrs_dst in Hmid_dst; #Hmid_dst
 245      cut (∃r1,rs1.rsi = r1::rs1) [@daemon] * #r1 * #rs1 #Hrs1 >Hrs1 in Hrs_src;
 246      #Hrs_src >Hrs_src in Hmid_src; #Hmid_src <(\P Hceq) in Hmid_dst; #Hmid_dst
 247      lapply (Hcomp2 ??????? Hmid_src Hmid_dst ?)
 248      [ #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 249        [ >(\P Hc0) @Hnotend @memb_hd | @Hnotendxs1 //] ]
 250      *
 251      [ * #Hrsj >Hrsj #Hta % %2 >Hta >nth_change_vec //
 252        %{ls_dst} %{xs1} cut (∃xs0.xs = xs1@xs0)
 253        [lapply Hnotendxs1 -Hnotendxs1 lapply Hrs_src lapply xs elim xs1
 254          [ #l #_ #_ %{l} %
 255          | #x2 #xs2 #IH *
 256            [ whd in ⊢ (??%%→?); #H destruct (H) #Hnotendxs2
 257              >Hnotendxs2 in Hend; [ #H destruct (H) |@memb_hd ]
 258            | #x2' #xs2' whd in ⊢ (??%%→?); #H destruct (H)
 259              #Hnotendxs2 cases (IH xs2' e0 ?)
 260              [ #xs0 #Hxs2 %{xs0} @eq_f //
 261              |#c #Hc @Hnotendxs2 @memb_cons // ]
 262            ]
 263          ]
 264        ] * #xs0 #Hxs0 %{xs0} % [ %
 265        [ >Hmid_dst >Hrsj >append_nil %
 266        | @Hxs0 ]
 267        | cases (reverse ? xs1) // ]
 268      | * #cj * #rs2 * #Hrsj #Hta lapply (Hta ?)
 269        [ cases (Hneq ?? Hrs1) /2/ * #_ #Hr1 %2 @(Hr1 ?? Hrsj) ] -Hta #Hta
 270        %2 >Hta in Hc; whd in ⊢ (??%?→?);
 271        change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 272        <nth_vec_map >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 273        whd in ⊢ (??%?→?); #Hc cut (is_endc r1 = true)
 274        [ cases (is_endc r1) in Hc; whd in ⊢ (??%?→?); //
 275          change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 276          <nth_vec_map >nth_change_vec // normalize #H destruct (H) ]
 277        #Hendr1 cut (xs = xs1)
 278        [ lapply Hnotendxs1 lapply Hnotend lapply Hrs_src lapply xs1
 279          -Hnotendxs1 -Hnotend -Hrs_src -xs1 elim xs
 280          [ * normalize in ⊢ (%→?); //
 281            #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #_ #Hnotendxs1
 282            lapply (Hnotendxs1 ? (memb_hd …)) >Hend #H destruct (H)
 283          | #x2 #xs2 #IH *
 284            [ normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #Hnotendc
 285              >Hnotendc in Hendr1; [| @memb_cons @memb_hd ]
 286              normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 287            | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 288              #Hnotendc #Hnotendcxs1 @eq_f @IH
 289              [ @(cons_injective_r … Heq)
 290              | #c0 #Hc0 @Hnotendc cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 291                [ >(\P Hc0) @memb_hd
 292                | @memb_cons @memb_cons // ]
 293              | #c #Hc @Hnotendcxs1 @memb_cons // ]
 294            ]
 295          ]
 296        | #Hxsxs1 destruct (Hxsxs1) >Hmid_dst %{ls_dst} %{rsj} % //
 297          #rsj0 #c >Hrsj #Hrsj0 destruct (Hrsj0)
 298          lapply (append_l2_injective … Hrs_src) // #Hrs' destruct (Hrs') %
 299        ]
 300      ]
 301     |#Hcomp1 #Hsrc cases (Hsrc ? (refl ??)) -Hsrc #ls0 * #rs0 #Hdst
 302      @False_ind lapply (Hcomp1 ?) [%2 %1 %1 >Hmid_src normalize
 303      @(not_to_not ??? (\Pf Hceq)) #H destruct //] #Hintape >Hintape in Hc;
 304      whd in ⊢(??%?→?); >Hmid_src
 305      change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 306      <nth_vec_map >Hmid_src whd in ⊢ (??%?→?);
 307      >(Hnotend c_src) [|@memb_hd]
 308      change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 309      <nth_vec_map >Hmid_src whd in ⊢ (??%?→?); >Hdst normalize #H destruct (H)
 310    ]
 311   ]
 312 ]
 313 qed.
 314
 315 definition match_m ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 316   whileTM … (match_step src dst sig n is_startc is_endc)
 317     (inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop)))).
 318
 319 definition R_match_m ≝
 320   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 321 (*  (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? → outt = int) ∧ *)
 322   ∀ls,x,xs,end,rs.
 323   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) →
 324   (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → is_endc end = true →
 325   (∀c0. memb ? c0 (xs@end::rs) = true → is_startc c0 = false) →
 326   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? → outt = int) ∧
 327   (is_startc x = true →
 328    (∀ls0,x0,rs0.
 329     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 330     (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::xs@l1 ∧
 331      ∀cj,l2.l1=cj::l2 →
 332      outt = change_vec ??
 333             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
 334             (midtape sig ((reverse ? (l@x::xs))@ls0) cj l2) dst) ∨
 335     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::xs@l1)).
 336
 337 (*
 338 definition R_match_m ≝
 339   λi,j,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 340   (((∃x.current ? (nth i ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧ is_endc x = true) ∨
 341     current ? (nth i ? int (niltape ?)) = None ? ∨
 342     current ? (nth j ? int (niltape ?)) = None ?) → outt = int) ∧
 343   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,x0,rs0.
 344     (∀x. is_startc x ≠ is_endc x) →
 345     is_startc x = true → is_endc ci = true →
 346     (∀z. memb ? z (x::xs) = true → is_endc x = false) →
 347     nth i ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 348     nth j ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 349     (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::xs@l1 ∧
 350      ∀cj,l2.l1=cj::l2 →
 351      outt = change_vec ??
 352             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) i)
 353             (midtape sig ((reverse ? (l@x::xs))@ls0) cj l2) j) ∨
 354     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::xs@l1).
 355 *)
 356
 357 (*
 358 axiom sub_list_dec: ∀A.∀l,ls:list A.
 359   ∃l1,l2. l = l1@ls@l2 ∨ ∀l1,l2. l ≠ l1@ls@l2.
 360 *)
 361
 362 lemma not_sub_list_merge :
 363   ∀T.∀a,b:list T. (∀l1.a ≠ b@l1) → (∀t,l,l1.a ≠ t::l@b@l1) → ∀l,l1.a ≠ l@b@l1.
 364 #T #a #b #H1 #H2 #l elim l normalize //
 365 qed.
 366
 367 lemma not_sub_list_merge_2 :
 368   ∀T:DeqSet.∀a,b:list T.∀t. (∀l1.t::a ≠ b@l1) → (∀l,l1.a ≠ l@b@l1) → ∀l,l1.t::a ≠ l@b@l1.
 369 #T #a #b #t #H1 #H2 #l elim l //
 370 #t0 #l1 #IH #l2 cases (true_or_false (t == t0)) #Htt0
 371 [ >(\P Htt0) % normalize #H destruct (H) cases (H2 l1 l2) /2/
 372 | normalize % #H destruct (H) cases (\Pf Htt0) /2/ ]
 373 qed.
 374
 375
 376 lemma wsem_match_m : ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 377 src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 378   match_m src dst sig n is_startc is_endc ⊫ R_match_m src dst sig n is_startc is_endc.
 379 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 380 lapply (sem_while … (sem_match_step src dst sig n is_startc is_endc Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 381 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 382 [ #tc #Hfalse #ls #x #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend #Hnotstart
 383   cases (Hfalse … Hmid_src Hnotend Hend) -Hfalse
 384   [(* current dest = None *) *
 385     [ * #Hcur_dst #Houtc %
 386       [#_ >Houtc //
 387       |#Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcur_dst;
 388        normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 389       ]
 390     | * #ls0 * #rs0 * #xs0 * * #Htc_dst #Hrs0 #HNone %
 391       [ >Htc_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 392       | #Hstart #ls1 #x1 #rs1 >Htc_dst #H destruct (H)
 393         >Hrs0 cases xs0
 394         [ % %{[ ]} %{[ ]} % [ >append_nil >append_nil %]
 395           #cj #ls2 #H destruct (H)
 396         | #x2 #xs2 %2 #l #l1 % #Habs lapply (eq_f ?? (length ?) ?? Habs)
 397           >length_append whd in ⊢ (??%(??%)→?); >length_append
 398           >length_append normalize >commutative_plus whd in ⊢ (???%→?);
 399           #H destruct (H) lapply e0 >(plus_n_O (|rs1|)) in ⊢ (??%?→?);
 400           >associative_plus >associative_plus
 401           #e1 lapply (injective_plus_r ??? e1) whd in ⊢ (???%→?);
 402           #e2 destruct (e2)
 403         ]
 404       ]
 405     ]
 406   |* #ls0 * #rs0 * #Hmid_dst #HFalse %
 407     [ >Hmid_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 408     | #Hstart #ls1 #x1 #rs1 >Hmid_dst #H destruct (H)
 409      %1 %{[ ]} %{rs0} % [%] #cj #l2 #Hnotnil
 410      >reverse_cons >associative_append @(HFalse ?? Hnotnil)
 411     ]
 412   ]
 413 |#ta #tb #tc #Htrue #Hstar #IH #Hout lapply (IH Hout) -IH -Hout #IH whd
 414  #ls #x #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend #Hnotstart
 415  lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 416  cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 417   [#Hmid_dst %
 418     [#_ whd in Htrue; >Hmid_src in Htrue; #Htrue
 419      cases (Htrue x (refl … )) -Htrue * #Htaneq #_
 420      @False_ind >Hmid_dst in Htaneq; /2/
 421     |#Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst2 >Hmid_dst2 in Hmid_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 422      #H destruct (H)
 423     ]
 424   | #c #Hcurta_dst % [ >Hcurta_dst #H destruct (H) ]
 425     #Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcurta_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 426     #H destruct (H) whd in Htrue; >Hmid_src in Htrue; #Htrue
 427     cases (Htrue x (refl …)) -Htrue #_ #Htrue cases (Htrue Hstart Hnotstart) -Htrue
 428     cases (true_or_false (x==c)) #eqx
 429     [ lapply (\P eqx) -eqx #eqx destruct (eqx)
 430       #_ #Htrue cases (comp_list ? (xs@end::rs) rs0 is_endc)
 431       #x1 * #tl1 * #tl2 * * * #Hxs #Hrs0 #Hnotendx1
 432       cases tl1 in Hxs;
 433       [>append_nil #Hx1 <Hx1 in Hnotendx1; #Hnotendx1
 434        lapply (Hnotendx1 end ?) [ @memb_append_l2 @memb_hd ]
 435        >Hend #H destruct (H) ]
 436       #ci -tl1 #tl1 #Hxs #H cases (H … (refl … ))
 437       [ #Hendci % cases (IH ????? Hmid_src Hnotend Hend Hnotstart)
 438       (* this is absurd, since Htrue conlcudes is_endc ci =false *)
 439        (* no, è più complicato
 440        #Hend_ci lapply (Htrue ls c xi
 441        *)
 442         @daemon (* lapply(Htrue … (refl …)) -Htrue *)
 443       |cases tl2 in Hrs0;
 444         [ >append_nil #Hrs0 destruct (Hrs0) * #Hcifalse#_ %2
 445           cut (∃l.xs = x1@ci::l)
 446           [lapply Hxs lapply Hnotendx1 lapply Hnotend lapply xs
 447            -Hxs -xs -Hnotendx1 elim x1
 448             [ *
 449               [ #_ #_ normalize #H1 destruct (H1) >Hend in Hcifalse;
 450                 #H1 destruct (H1)
 451               | #x2 #xs2 #_ #_ normalize #H >(cons_injective_l ????? H) %{xs2} % ]
 452             | #x2 #xs2 #IHin *
 453               [ #_ #Hnotendxs2 normalize #H destruct (H)
 454                 >(Hnotendxs2 ? (memb_hd …)) in Hend; #H destruct (H)
 455               | #x3 #xs3 #Hnotendxs3 #Hnotendxs2 normalize #H destruct (H)
 456                 cases (IHin ??? e0)
 457                 [ #xs4 #Hxs4 >Hxs4 %{xs4} %
 458                 | #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 459                   [ >(\P Hc0) @Hnotendxs3 @memb_hd
 460                   | @Hnotendxs3 @memb_cons @memb_cons @Hc0 ]
 461                 | #c0 #Hc0 @Hnotendxs2 @memb_cons @Hc0 ]
 462               ]
 463             ]
 464           ] * #l #Hxs' >Hxs'
 465           #l0 #l1 % #H lapply (eq_f ?? (length ?) ?? H) -H
 466           >length_append normalize >length_append >length_append
 467           normalize >commutative_plus normalize #H destruct (H) -H
 468           >associative_plus in e0; >associative_plus
 469           >(plus_n_O (|x1|)) in ⊢(??%?→?); #H lapply (injective_plus_r … H)
 470           -H normalize #H destruct (H)
 471         | #cj #tl2' #Hrs0 * #Hcifalse #Hcomp lapply (Htrue ls c x1 ci cj tl1 ls0 tl2' ????)
 472           [ @(Hcomp ?? (refl ??))
 473           | #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) #Hc0
 474             [ @Hnotend >(\P Hc0) @memb_hd
 475             | @Hnotendx1 // ]
 476           | >Hmid_dst >Hrs0 %
 477           | >Hxs %
 478           | * #Htb >Htb #Hendci >Hrs0 >Hxs
 479             cases (IH ls c xs end rs ? Hnotend Hend Hnotstart) -IH
 480             [| >Htb >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src ]
 481             #_ #IH lapply Hxs lapply Hnotendx1 -Hxs -Hnotendx1 cases x1 in Hrs0;
 482             [ #Hrs0 #_ whd in ⊢ (???%→?); #Hxs
 483               cases (IH Hstart (c::ls0) cj tl2' ?)
 484               [ -IH * #l * #l1 * #Hll1 #IH % %{(c::l)} %{l1}
 485                 % [ @eq_f @Hll1 ]
 486                 #cj0 #l2 #Hcj0 >(IH … Hcj0) >Htb
 487                 >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 488                 >change_vec_commute [|@sym_not_eq // ] @eq_f3 //
 489                 >reverse_cons >associative_append %
 490               | #IH %2 #l #l1 >(?:l@c::xs@l1 = l@(c::xs)@l1) [|%]
 491                 @not_sub_list_merge
 492                 [ #l2 cut (∃xs'.xs = ci::xs')
 493                   [ cases xs in Hxs;
 494                     [ normalize #H destruct (H) >Hend in Hendci; #H destruct (H)
 495                     | #ci' #xs' normalize #H lapply (cons_injective_l ????? H)
 496                       #H1 >H1 %{xs'} % ]
 497                   ]
 498                   * #xs' #Hxs' >Hxs' normalize % #H destruct (H)
 499                   lapply (Hcomp … (refl ??)) * /2/
 500                 |#t #l2 #l3 % normalize #H lapply (cons_injective_r ????? H)
 501                  -H #H >H in IH; #IH cases (IH l2 l3) -IH #IH @IH % ]
 502               | >Htb >nth_change_vec // >Hmid_dst >Hrs0 % ]
 503             | #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Hrs0 #Hnotendxs2 normalize in ⊢ (%→?);
 504               #Hxs cases (IH Hstart (c::ls0) x2 (xs2@cj::tl2') ?)
 505               [ -IH * #l * #l1 * #Hll1 #IH % %{(c::l)} %{l1}
 506                 % [ @eq_f @Hll1 ]
 507                 #cj0 #l2 #Hcj0 >(IH … Hcj0) >Htb
 508                 >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 509                 >change_vec_commute [|@sym_not_eq // ] @eq_f3 //
 510                 >reverse_cons >associative_append %
 511               | -IH #IH %2 #l #l1 >(?:l@c::xs@l1 = l@(c::xs)@l1) [|%]
 512                 @not_sub_list_merge_2 [| @IH]
 513                 cut (∃l2.xs = (x2::xs2)@ci::l2)
 514                 [lapply Hnotendxs2
 515                  lapply Hnotend -Hnotend lapply Hxs
 516                  >(?:x2::xs2@ci::tl1 = (x2::xs2)@ci::tl1) [|%]
 517                  lapply (x2::xs2) elim xs
 518                   [ *
 519                     [ normalize in ⊢ (%→?); #H1 destruct (H1)
 520                       >Hendci in Hend; #Hend destruct (Hend)
 521                     | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #H1 destruct (H1)
 522                       #_ #Hnotendx3 >(Hnotendx3 ? (memb_hd …)) in Hend;
 523                       #Hend destruct (Hend)
 524                     ]
 525                   | #x3 #xs3 #IHin *
 526                     [ normalize in ⊢ (%→?); #Hxs3 destruct (Hxs3) #_ #_
 527                       %{xs3} %
 528                     | #x4 #xs4 normalize in ⊢ (%→?); #Hxs3xs4 #Hnotend
 529                       #Hnotendxs4 destruct (Hxs3xs4) cases (IHin ? e0 ??)
 530                       [ #l0 #Hxs3 >Hxs3 %{l0} %
 531                       | #c0 #Hc0 @Hnotend cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 532                         [ >(\P Hc0) @memb_hd
 533                         | @memb_cons @memb_cons @Hc0 ]
 534                       | #c0 #Hc0 @Hnotendxs4 @memb_cons //
 535                       ]
 536                     ]
 537                   ]
 538                 ] * #l2 #Hxs'
 539                 >Hxs' #l3 normalize >associative_append normalize % #H
 540                 destruct (H) lapply (append_l2_injective ?????? e1) //
 541                 #H1 destruct (H1) cases (Hcomp ?? (refl ??)) /2/
 542               | >Htb >nth_change_vec // >Hmid_dst >Hrs0 % ]
 543             ]
 544           ]
 545         ]
 546       ]
 547     |lapply (\Pf eqx) -eqx #eqx >Hmid_dst #Htrue
 548      cases (Htrue ? (refl ??) eqx) -Htrue #Htb #Hendcx #_
 549      cases rs0 in Htb;
 550      [ #_ %2 #l #l1 cases l
 551        [ normalize cases xs
 552          [ cases l1
 553            [ normalize % #H destruct (H) cases eqx /2/
 554            | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 555          | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 556        | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H)cases l2 in e0;
 557          [ normalize #H1 destruct (H1)
 558          | #tmp2 #l3 normalize #H1 destruct (H1) ]
 559        ]
 560      | #r1 #rs1 normalize in ⊢ (???(????%?)→?); #Htb >Htb in IH; #IH
 561        cases (IH ls x xs end rs ? Hnotend Hend Hnotstart)
 562        [| >Htb >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src ] -IH
 563        #_ #IH cases (IH Hstart (c::ls0) r1 rs1 ?)
 564        [|| >nth_change_vec // ] -IH
 565        [ * #l * #l1 * #Hll1 #Hout % %{(c::l)} %{l1} % >Hll1 //
 566          >reverse_cons >associative_append #cj0 #ls #Hl1 >(Hout ?? Hl1)
 567          >change_vec_commute in ⊢ (??(???%??)?); // @sym_not_eq //
 568        | #IH %2 @(not_sub_list_merge_2 ?? (x::xs)) normalize [|@IH]
 569          #l1 % #H destruct (H) cases eqx /2/
 570        ]
 571     ]
 572   ]
 573 ]
 574 qed.
 575