matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/multi_universal/moves.ma".
  16 include "turing/if_multi.ma".
  17 include "turing/inject.ma".
  18 include "turing/basic_machines.ma".
  19
  20 definition compare_states ≝ initN 3.
  21
  22 definition comp0 : compare_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
  23 definition comp1 : compare_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
  24 definition comp2 : compare_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
  25
  26 (*
  27
  28 0) (x,x) → (x,x)(R,R) → 1
  29    (x,y≠x) → None 2
  30 1) (_,_) → None 1
  31 2) (_,_) → None 2
  32
  33 *)
  34
  35 definition trans_compare_step ≝
  36  λi,j.λsig:FinSet.λn.
  37  λp:compare_states × (Vector (option sig) (S n)).
  38  let 〈q,a〉 ≝ p in
  39  match pi1 … q with
  40  [ O ⇒ match nth i ? a (None ?) with
  41    [ None ⇒ 〈comp2,null_action ? n〉
  42    | Some ai ⇒ match nth j ? a (None ?) with
  43      [ None ⇒ 〈comp2,null_action ? n〉
  44      | Some aj ⇒ if ai == aj
  45          then 〈comp1,change_vec ? (S n)
  46                       (change_vec ? (S n) (null_action ? n) (Some ? 〈ai,R〉) i)
  47                         (Some ? 〈aj,R〉) j〉
  48          else 〈comp2,null_action ? n〉 ]
  49    ]
  50  | S q ⇒ match q with
  51    [ O ⇒ (* 1 *) 〈comp1,null_action ? n〉
  52    | S _ ⇒ (* 2 *) 〈comp2,null_action ? n〉 ] ].
  53
  54 definition compare_step ≝
  55   λi,j,sig,n.
  56   mk_mTM sig n compare_states (trans_compare_step i j sig n)
  57     comp0 (λq.q == comp1 ∨ q == comp2).
  58
  59 definition R_comp_step_true ≝
  60   λi,j,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  61   ∃x.
  62    current ? (nth i ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧
  63    current ? (nth j ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧
  64    outt = change_vec ??
  65             (change_vec ?? int
  66               (tape_move ? (nth i ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) i)
  67             (tape_move ? (nth j ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) j.
  68
  69 definition R_comp_step_false ≝
  70   λi,j:nat.λsig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  71   (current ? (nth i ? int (niltape ?)) ≠ current ? (nth j ? int (niltape ?)) ∨
  72    current ? (nth i ? int (niltape ?)) = None ? ∨
  73    current ? (nth j ? int (niltape ?)) = None ?) ∧ outt = int.
  74
  75 lemma comp_q0_q2_null :
  76   ∀i,j,sig,n,v.i < S n → j < S n →
  77   (nth i ? (current_chars ?? v) (None ?) = None ? ∨
  78    nth j ? (current_chars ?? v) (None ?) = None ?) →
  79   step sig n (compare_step i j sig n) (mk_mconfig ??? comp0 v)
  80   = mk_mconfig ??? comp2 v.
  81 #i #j #sig #n #v #Hi #Hj
  82 whd in ⊢ (? → ??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (?→??%?);
  83 * #Hcurrent
  84 [ @eq_f2
  85   [ whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcurrent %
  86   | whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >Hcurrent @tape_move_null_action ]
  87 | @eq_f2
  88   [ whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcurrent cases (nth i ?? (None sig)) //
  89   | whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >Hcurrent
  90     cases (nth i ?? (None sig)) [|#x] @tape_move_null_action ] ]
  91 qed.
  92
  93 lemma comp_q0_q2_neq :
  94   ∀i,j,sig,n,v.i < S n → j < S n →
  95   nth i ? (current_chars ?? v) (None ?) ≠ nth j ? (current_chars ?? v) (None ?) →
  96   step sig n (compare_step i j sig n) (mk_mconfig ??? comp0 v)
  97   = mk_mconfig ??? comp2 v.
  98 #i #j #sig #n #v #Hi #Hj lapply (refl ? (nth i ?(current_chars ?? v)(None ?)))
  99 cases (nth i ?? (None ?)) in ⊢ (???%→?);
 100 [ #Hnth #_ @comp_q0_q2_null // % //
 101 | #ai #Hai lapply (refl ? (nth j ?(current_chars ?? v)(None ?)))
 102   cases (nth j ?? (None ?)) in ⊢ (???%→?);
 103   [ #Hnth #_ @comp_q0_q2_null // %2 //
 104   | #aj #Haj #Hneq
 105     whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?); @eq_f2
 106     [ whd in match (trans ????); >Hai >Haj
 107       whd in ⊢ (??(???%)?); >(\bf ?) // @(not_to_not … Hneq) //
 108     | whd in match (trans ????); >Hai >Haj
 109       whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >(\bf ?) /2 by not_to_not/
 110       @tape_move_null_action
 111 ] ]
 112 qed.
 113
 114 lemma comp_q0_q1 :
 115   ∀i,j,sig,n,v,a.i ≠ j → i < S n → j < S n →
 116   nth i ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? a →
 117   nth j ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? a →
 118   step sig n (compare_step i j sig n) (mk_mconfig ??? comp0 v) =
 119     mk_mconfig ??? comp1
 120      (change_vec ? (S n)
 121        (change_vec ?? v
 122          (tape_move ? (nth i ? v (niltape ?)) (Some ? 〈a,R〉)) i)
 123        (tape_move ? (nth j ? v (niltape ?)) (Some ? 〈a,R〉)) j).
 124 #i #j #sig #n #v #a #Heq #Hi #Hj #Ha1 #Ha2
 125 whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?); @eq_f2
 126 [ whd in match (trans ????);
 127   >Ha1 >Ha2 whd in ⊢ (??(???%)?); >(\b ?) //
 128 | whd in match (trans ????);
 129   >Ha1 >Ha2 whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >(\b ?) //
 130   change with (change_vec ?????) in ⊢ (??(???????%)?);
 131   <(change_vec_same … v j (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
 132   <(change_vec_same … v i (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
 133   >pmap_change >pmap_change >tape_move_null_action
 134   @eq_f2 // @eq_f2 // >nth_change_vec_neq //
 135 ]
 136 qed.
 137
 138 lemma sem_comp_step :
 139   ∀i,j,sig,n.i ≠ j → i < S n → j < S n →
 140   compare_step i j sig n ⊨
 141     [ comp1: R_comp_step_true i j sig n,
 142              R_comp_step_false i j sig n ].
 143 #i #j #sig #n #Hneq #Hi #Hj #int
 144 lapply (refl ? (current ? (nth i ? int (niltape ?))))
 145 cases (current ? (nth i ? int (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 146 [ #Hcuri %{2} %
 147   [| % [ %
 148     [ whd in ⊢ (??%?); >comp_q0_q2_null /2/ % <Hcuri in ⊢ (???%);
 149       @sym_eq @nth_vec_map
 150     | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 151   | #_ % // % %2 // ] ]
 152 | #a #Ha lapply (refl ? (current ? (nth j ? int (niltape ?))))
 153   cases (current ? (nth j ? int (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 154   [ #Hcurj %{2} %
 155     [| % [ %
 156        [ whd in ⊢ (??%?); >comp_q0_q2_null /2/ %2 <Hcurj in ⊢ (???%);
 157          @sym_eq @nth_vec_map
 158        | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 159        | #_ % >Ha >Hcurj % % % #H destruct (H) ] ]
 160   | #b #Hb %{2} cases (true_or_false (a == b)) #Hab
 161     [ %
 162       [| % [ %
 163         [whd in ⊢  (??%?);  >(comp_q0_q1 … a Hneq Hi Hj) //
 164           [>(\P Hab) <Hb @sym_eq @nth_vec_map
 165           |<Ha @sym_eq @nth_vec_map ]
 166         | #_ whd >(\P Hab) %{b} % // % // <(\P Hab) // ]
 167         | * #H @False_ind @H %
 168       ] ]
 169     | %
 170       [| % [ %
 171         [whd in ⊢  (??%?);  >comp_q0_q2_neq //
 172          <(nth_vec_map ?? (current …) i ? int (niltape ?))
 173          <(nth_vec_map ?? (current …) j ? int (niltape ?)) >Ha >Hb
 174          @(not_to_not ??? (\Pf Hab)) #H destruct (H) %
 175         | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 176       | #_ % // % % >Ha >Hb @(not_to_not ??? (\Pf Hab)) #H destruct (H) % ] ]
 177     ]
 178   ]
 179 ]
 180 qed.
 181
 182 definition compare ≝ λi,j,sig,n.
 183   whileTM … (compare_step i j sig n) comp1.
 184
 185 definition R_compare ≝
 186   λi,j,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 187   (current sig (nth i (tape sig) int (niltape sig))
 188    ≠current sig (nth j (tape sig) int (niltape sig)) →
 189    outt = int) ∧
 190   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,cj,rs0.
 191     nth i ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 192     nth j ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@cj::rs0) → ci ≠ cj →
 193     outt = change_vec ??
 194            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) i)
 195            (midtape sig (reverse ? xs@x::ls0) cj rs0) j).
 196
 197 lemma wsem_compare : ∀i,j,sig,n.i ≠ j → i < S n → j < S n →
 198   compare i j sig n ⊫ R_compare i j sig n.
 199 #i #j #sig #n #Hneq #Hi #Hj #ta #k #outc #Hloop
 200 lapply (sem_while … (sem_comp_step i j sig n Hneq Hi Hj) … Hloop) //
 201 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 202 [ #tc whd in ⊢ (%→?); * * [ *
 203   [ #Hcicj #Houtc %
 204     [ #_ @Houtc
 205     | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #cj #rs0 #Hnthi #Hnthj
 206       >Hnthi in Hcicj; >Hnthj normalize in ⊢ (%→?); * #H @False_ind @H %
 207     ]
 208   | #Hci #Houtc %
 209     [ #_ @Houtc
 210     | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #cj #rs0 #Hnthi >Hnthi in Hci;
 211       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 212   | #Hcj #Houtc %
 213     [ #_ @Houtc
 214     | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #cj #rs0 #_ #Hnthj >Hnthj in Hcj;
 215       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 216   | #tc #td #te * #x * * #Hci #Hcj #Hd #Hstar #IH #He lapply (IH He) -IH *
 217     #IH1 #IH2 %
 218     [ >Hci >Hcj * #H @False_ind @H %
 219     | #ls #c0 #xs #ci #rs #ls0 #cj #rs0 cases xs
 220       [ #Hnthi #Hnthj #Hcicj >IH1
 221         [ >Hd @eq_f3 //
 222           [ @eq_f3 // >(?:c0=x) [ >Hnthi % ]
 223             >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) %
 224           | >(?:c0=x) [ >Hnthj % ]
 225             >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) % ]
 226         | >Hd >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 227           >nth_change_vec // >Hnthi >Hnthj normalize @(not_to_not ??? Hcicj)
 228           #H destruct (H) % ]
 229       | #x0 #xs0 #Hnthi #Hnthj #Hcicj
 230         >(IH2 (c0::ls) x0 xs0 ci rs (c0::ls0) cj rs0 … Hcicj)
 231         [ >Hd >change_vec_commute in ⊢ (??%?); //
 232           >change_vec_change_vec >change_vec_commute in ⊢ (??%?); //
 233           @sym_not_eq //
 234         | >Hd >nth_change_vec // >Hnthj normalize
 235           >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) %
 236         | >Hd >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hnthi
 237           >nth_change_vec // normalize
 238           >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) %
 239         ]
 240 ]]]
 241 qed.
 242
 243 lemma terminate_compare :  ∀i,j,sig,n,t.
 244   i ≠ j → i < S n → j < S n →
 245   compare i j sig n  ↓ t.
 246 #i #j #sig #n #t #Hneq #Hi #Hj
 247 @(terminate_while … (sem_comp_step …)) //
 248 <(change_vec_same … t i (niltape ?))
 249 cases (nth i (tape sig) t (niltape ?))
 250 [ % #t1 * #x * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
 251 |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #x * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
 252 | #ls #c #rs lapply c -c lapply ls -ls lapply t -t elim rs
 253   [#t #ls #c % #t1 * #x * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?);
 254    #H1 destruct (H1) #Hxsep >change_vec_change_vec #Ht1 %
 255    #t2 * #x0 * * >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 256    >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 257   |#r0 #rs0 #IH #t #ls #c % #t1 * #x * * >nth_change_vec //
 258    normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) #Hcur
 259    >change_vec_change_vec >change_vec_commute // #Ht1 >Ht1 @IH
 260   ]
 261 ]
 262 qed.
 263
 264 lemma sem_compare : ∀i,j,sig,n.
 265   i ≠ j → i < S n → j < S n →
 266   compare i j sig n ⊨ R_compare i j sig n.
 267 #i #j #sig #n #Hneq #Hi #Hj @WRealize_to_Realize /2/
 268 qed.
 269
 270 (*
 271    |conf1   $
 272    |confin 0/1 confout move
 273
 274   match machine step ≝
 275     compare;
 276     if (cur(src) != $)
 277       then
 278         parmoveL;
 279         moveR(dst);
 280       else nop
 281  *)
 282
 283 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 284   compare src dst sig n ·
 285     (ifTM ?? (inject_TM ? (test_char ? is_endc) n src)
 286       (single_finalTM ??
 287         (parmove src dst sig n L is_startc · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
 288       (nop ? n)
 289       tc_false).
 290
 291 definition R_match_step_false ≝
 292   λsrc,dst,sig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 293     ∃ls,ls0,rs,rs0,x,xs,end,c.
 294     is_endc end = true ∧
 295     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) ∧
 296     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@c::rs0) ∧
 297     outt = change_vec ??
 298            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
 299            (midtape sig (reverse ? xs@x::ls0) c rs0) dst.
 300
 301 (*
 302   src : |
 303 *)
 304
 305 definition R_match_step_true ≝
 306   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 307   ∀s.current sig (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s →
 308   is_startc s = true →
 309   (∀s1.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s1 →
 310    s ≠ s1 →
 311    outt = change_vec ?? int
 312           (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈s1,R〉)) dst ∧ is_endc s = false) ∧
 313   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,cj,rs0.
 314     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 315     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@cj::rs0) → ci ≠ cj →
 316     outt = change_vec ?? int
 317            (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) dst ∧ is_endc ci = false).
 318
 319 definition Rtc_multi_true ≝
 320   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
 321    (∃c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c ∧ test c = true) ∧ t2 = t1.
 322
 323 definition Rtc_multi_false ≝
 324   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
 325     (∀c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c → test c = false) ∧ t2 = t1.
 326
 327 lemma sem_test_char_multi :
 328   ∀alpha,test,n,i.i ≤ n →
 329   inject_TM ? (test_char ? test) n i ⊨
 330   [ tc_true : Rtc_multi_true alpha test n i, Rtc_multi_false alpha test n i ].
 331 #alpha #test #n #i #Hin #int
 332 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_char alpha test) int)
 333 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
 334 [ @Hloop
 335 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * * #c *
 336   #Hcur #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
 337   [ %{c} % //
 338   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
 339     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
 340     [ >Hi0i @Hnth_i
 341     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
 342 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
 343   [ @Htestc
 344   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
 345     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
 346     [ >Hi0i @Hnth_i
 347     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
 348 qed.
 349
 350 lemma sem_match_step :
 351   ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 352   match_step src dst sig n is_startc is_endc ⊨
 353     [ inr … (inr … (inr … start_nop)) :
 354       R_match_step_true src dst sig n is_startc is_endc,
 355       R_match_step_false src dst sig n is_endc ].
 356 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst
 357 @(acc_sem_seq_app … (sem_compare … Hneq Hsrc Hdst)
 358     (acc_sem_if … (sem_test_char_multi ? ()
 359       (sem_nop …)
 360         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 361            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 362              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 363   (sem_nop ?) …)
 364
 365  #int