matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/multi_universal/compare.ma".
  16
  17 definition Rtc_multi_true ≝
  18   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  19    (∃c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c ∧ test c = true) ∧ t2 = t1.
  20
  21 definition Rtc_multi_false ≝
  22   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  23     (∀c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c → test c = false) ∧ t2 = t1.
  24
  25 lemma sem_test_char_multi :
  26   ∀alpha,test,n,i.i ≤ n →
  27   inject_TM ? (test_char ? test) n i ⊨
  28   [ tc_true : Rtc_multi_true alpha test n i, Rtc_multi_false alpha test n i ].
  29 #alpha #test #n #i #Hin #int
  30 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_char alpha test) int)
  31 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  32 [ @Hloop
  33 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * * #c *
  34   #Hcur #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  35   [ %{c} % //
  36   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  37     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  38     [ >Hi0i @Hnth_i
  39     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  40 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  41   [ @Htestc
  42   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  43     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  44     [ >Hi0i @Hnth_i
  45     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  46 qed.
  47
  48 axiom comp_list: ∀S:DeqSet. ∀l1,l2:list S.∀is_endc. ∃l,tl1,tl2.
  49   l1 = l@tl1 ∧ l2 = l@tl2 ∧ (∀c.c ∈ l = true → is_endc c = false) ∧
  50   ∀a,tla. tl1 = a::tla → is_endc a = true ∨ (∀b,tlb.tl2 = b::tlb → a≠b).
  51
  52 axiom daemon : ∀X:Prop.X.
  53
  54
  55
  56 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
  57   compare src dst sig n is_endc ·
  58     (ifTM ?? (inject_TM ? (test_char ? (λa.is_endc a == false)) n src)
  59       (ifTM ?? (inject_TM ? (test_null ?) n src)
  60         (single_finalTM ??
  61           (parmove src dst sig n L is_startc · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
  62         (nop …) tc_true)
  63       (nop …)
  64       tc_true).
  65
  66 definition R_match_step_false ≝
  67   λsrc,dst,sig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  68   ∀ls,x,xs,end,rs.
  69   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) →
  70   (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → is_endc end = true →
  71    ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ?) ∧ outt = int) ∨
  72    (∃ls0,rs0.
  73     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
  74     ∀rsj,c.
  75     rs0 = c::rsj →
  76     outt = change_vec ??
  77            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
  78            (midtape sig (reverse ? xs@x::ls0) c rsj) dst).
  79
  80 definition R_match_step_true ≝
  81   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  82   ∀s.current sig (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s →
  83   is_startc s = true →
  84   (∀c.c ∈ right ? (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = true → is_startc c = false) →
  85   current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) ≠ None ? ∧
  86   (∀s1.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s1 → s ≠ s1 →
  87    outt = change_vec ?? int
  88           (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈s1,R〉)) dst ∧ is_endc s = false) ∧
  89   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,rs0.
  90     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
  91     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) →
  92     (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) →
  93     (∀cj,rs1.rs0 = cj::rs1 → ci ≠ cj →
  94      (outt = change_vec ?? int
  95            (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) dst ∧ is_endc ci = false)) ∧
  96     (rs0 = [ ] →
  97      outt = change_vec ??
  98            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) src)
  99            (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (None ?) [ ]) dst)).
 100
 101 lemma sem_match_step :
 102   ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 103   match_step src dst sig n is_startc is_endc ⊨
 104     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? (inr ?? start_nop)))) :
 105       R_match_step_true src dst sig n is_startc is_endc,
 106       R_match_step_false src dst sig n is_endc ].
 107 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst
 108 (* test_null versione multi? *)
 109 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n is_endc Hneq Hsrc Hdst)
 110     (acc_sem_if ? n … (sem_test_char_multi sig (λa.is_endc a == false) n src (le_S_S_to_le … Hsrc))
 111       (acc_sem_if ? n … (sem_test_null sig (λa.is_endc a == false) n src (le_S_S_to_le … Hsrc))
 112
 113       sem_seq …
 114         (sem_parmoveL ???? is_startc Hneq Hsrc Hdst)
 115         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 116       (sem_nop …)))
 117 [#ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * * #c * #Hcurtc #Hcend #Htd >Htd -Htd
 118  #Htb #s #Hcurta_src #Hstart #Hnotstart % [ %
 119  [#Hdst_none @daemon
 120  | #s1 #Hcurta_dst #Hneqss1
 121    lapply Htb lapply Hcurtc -Htb -Hcurtc >(?:tc=ta)
 122    [|@Hcomp1 %2 % % >Hcurta_src >Hcurta_dst @(not_to_not … Hneqss1) #H destruct (H) % ]
 123    #Hcurtc * #te * * #_ #Hte >Hte [2: %1 %1 %{s} % //]
 124    whd in ⊢ (%→?); * * #_ #Htbdst #Htbelse %
 125    [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 126      [ >Hidst >nth_change_vec // cases (current_to_midtape … Hcurta_dst)
 127        #ls * #rs #Hta_mid >(Htbdst … Hta_mid) >Hta_mid cases rs //
 128      | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @Htbelse @sym_not_eq // ]
 129    | >Hcurtc in Hcurta_src; #H destruct (H) cases (is_endc s) in Hcend;
 130      normalize #H destruct (H) // ]
 131    ]
 132  |#ls #x #xs #ci #rs #ls0 #rs00 #Htasrc_mid #Htadst_mid #Hnotendc
 133   cases rs00 in Htadst_mid;
 134    [(* case rs empty *) #Htadst_mid % [ #cj #rs1 #H destruct (H) ]
 135      #_ cases (Hcomp2 … Htasrc_mid Htadst_mid Hnotendc) -Hcomp2
 136      [2: * #x0 * #rs1 * #H destruct (H) ]
 137     * #_ #Htc cases Htb #td * * #_ #Htd >Htasrc_mid in Hcurta_src;
 138     normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 139     >Htd [2: %2 >Htc >nth_change_vec // cases (reverse sig ?) //]
 140     >Htc * * >nth_change_vec // #Htbdst #_ #Htbelse
 141      @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 142       [ >Hidst >nth_change_vec // <Htbdst // cases (reverse sig ?) //
 143       |@sym_eq @Htbelse @sym_not_eq //
 144       ]
 145     |#cj0 #rs0 #Htadst_mid % [| #H destruct (H) ]
 146      #cj #rs1 #H destruct (H) #Hcicj
 147      cases (Hcomp2 … Htasrc_mid Htadst_mid Hnotendc) [ * #H destruct (H) ]
 148      * #cj' * #rs0' * #Hcjrs0 destruct (Hcjrs0) -Hcomp2 #Hcomp2
 149      lapply (Hcomp2 (or_intror ?? Hcicj)) -Hcomp2 #Htc
 150      cases Htb #td * * #Htd #_ >Htasrc_mid in Hcurta_src; normalize in ⊢ (%→?);
 151      #H destruct (H)
 152      >(Htd ls ci (reverse ? xs) rs s ??? ls0 cj' (reverse ? xs) s rs0' (refl ??)) //
 153      [| >Htc >nth_change_vec //
 154      | #c0 #Hc0 @(Hnotstart c0) >Htasrc_mid
 155       cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 156       [@memb_append_l2 >(\P Hc0) @memb_hd
 157       |@memb_append_l1 <(reverse_reverse …xs) @memb_reverse //
 158       ]
 159     | >Htc >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ] @nth_change_vec // ]
 160     * * #_ #Htbdst #Htbelse %
 161     [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 162       [ >Hidst >nth_change_vec // >Htadst_mid >(Htbdst ls0 s (xs@cj'::rs0'))
 163         [ cases xs //
 164         | >nth_change_vec // ]
 165       | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 166         <Htbelse [|@sym_not_eq // ]
 167         >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 168         cases (decidable_eq_nat i src) #Hisrc
 169         [ >Hisrc >nth_change_vec // >Htasrc_mid //
 170         | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 171           <(Htbelse i) [|@sym_not_eq // ]
 172           >Htc >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ]
 173           >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ] //
 174         ]
 175        ]
 176     | >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 177       >nth_change_vec // whd in ⊢ (??%?→?);
 178       #H destruct (H) cases (is_endc c) in Hcend;
 179       normalize #H destruct (H) // ]
 180     ]
 181   ]
 182 |#intape #outtape #ta * #Hcomp1 #Hcomp2 * #tb * * #Hc #Htb
 183  whd in ⊢ (%→?); #Hout >Hout >Htb whd
 184  #ls #c_src #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
 185  lapply (current_to_midtape sig (nth dst ? intape (niltape ?)))
 186  cases (current … (nth dst ? intape (niltape ?))) in Hcomp1;
 187   [#Hcomp1 #_ %1 % [% | @Hcomp1 %2 %2 % ]
 188   |#c_dst cases (true_or_false (c_src == c_dst)) #Hceq
 189     [#_ #Hmid_dst cases (Hmid_dst c_dst (refl …)) -Hmid_dst
 190      #ls_dst * #rs_dst #Hmid_dst %2
 191      cases (comp_list … (xs@end::rs) rs_dst is_endc) #xs1 * #rsi * #rsj * * *
 192      #Hrs_src #Hrs_dst #Hnotendxs1 #Hneq %{ls_dst} %{rsj} >Hrs_dst in Hmid_dst; #Hmid_dst
 193      cut (∃r1,rs1.rsi = r1::rs1) [@daemon] * #r1 * #rs1 #Hrs1 >Hrs1 in Hrs_src;
 194      #Hrs_src >Hrs_src in Hmid_src; #Hmid_src <(\P Hceq) in Hmid_dst; #Hmid_dst
 195      lapply (Hcomp2 ??????? Hmid_src Hmid_dst ?)
 196      [ #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 197        [ >(\P Hc0) @Hnotend @memb_hd | @Hnotendxs1 //]
 198      | *
 199        [ * #Hrsj #Hta %
 200          [ >Hta in Hc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 201            #Hc lapply (Hc ? (refl ??)) #Hendr1
 202            cut (xs = xs1)
 203            [ lapply Hnotendxs1 lapply Hnotend lapply Hrs_src lapply xs1
 204              -Hnotendxs1 -Hnotend -Hrs_src -xs1 elim xs
 205              [ * normalize in ⊢ (%→?); //
 206                #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #_ #Hnotendxs1
 207                lapply (Hnotendxs1 ? (memb_hd …)) >Hend #H destruct (H)
 208              | #x2 #xs2 #IH *
 209                [ normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #Hnotendc
 210                  >Hnotendc in Hendr1; [| @memb_cons @memb_hd ]
 211                  normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 212                | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 213                  #Hnotendc #Hnotendcxs1 @eq_f @IH
 214                  [ @(cons_injective_r … Heq)
 215                  | #c0 #Hc0 @Hnotendc cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 216                    [ >(\P Hc0) @memb_hd
 217                    | @memb_cons @memb_cons // ]
 218                  | #c #Hc @Hnotendcxs1 @memb_cons // ]
 219                ]
 220              ]
 221            | #Hxsxs1 >Hmid_dst >Hxsxs1 % ]
 222          | #rsj0 #c >Hrsj #Hrsj0 destruct (Hrsj0) ]
 223        | * #cj * #rs2 * #Hrs2 #Hta lapply (Hta ?)
 224          [ cases (Hneq … Hrs1) /2/ #H %2 @(H ?? Hrs2) ]
 225          -Hta #Hta >Hta in Hc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 226          >nth_change_vec // #Hc lapply (Hc ? (refl ??)) #Hendr1
 227          (* lemmatize this proof *) cut (xs = xs1)
 228          [ lapply Hnotendxs1 lapply Hnotend lapply Hrs_src lapply xs1
 229            -Hnotendxs1 -Hnotend -Hrs_src -xs1 elim xs
 230            [ * normalize in ⊢ (%→?); //
 231              #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #_ #Hnotendxs1
 232              lapply (Hnotendxs1 ? (memb_hd …)) >Hend #H destruct (H)
 233            | #x2 #xs2 #IH *
 234              [ normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #Hnotendc
 235                >Hnotendc in Hendr1; [| @memb_cons @memb_hd ]
 236                normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 237              | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 238                #Hnotendc #Hnotendcxs1 @eq_f @IH
 239                [ @(cons_injective_r … Heq)
 240                | #c0 #Hc0 @Hnotendc cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 241                  [ >(\P Hc0) @memb_hd
 242                  | @memb_cons @memb_cons // ]
 243                | #c #Hc @Hnotendcxs1 @memb_cons // ]
 244              ]
 245            ]
 246          | #Hxsxs1 >Hmid_dst >Hxsxs1 % //
 247            #rsj0 #c #Hcrsj destruct (Hxsxs1 Hrs2 Hcrsj) @eq_f3 //
 248            @eq_f3 // lapply (append_l2_injective ?????? Hrs_src) //
 249            #Hendr1 destruct (Hendr1) % ]
 250        ]
 251      ]
 252    (* STOP *)
 253    |#Hcomp1 #Hsrc cases (Hsrc ? (refl ??)) -Hsrc #ls0 * #rs0 #Hdst
 254     @False_ind lapply (Hcomp1 ?) [%2 %1 %1 >Hmid_src normalize
 255     @(not_to_not ??? (\Pf Hceq)) #H destruct //] #Hintape
 256     >Hintape in Hc; >Hmid_src #Hc lapply (Hc ? (refl …)) -Hc
 257     >(Hnotend c_src) // normalize #H destruct (H)
 258    ]
 259   ]
 260 ]
 261 qed.
 262
 263 definition match_m ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 264   whileTM … (match_step src dst sig n is_startc is_endc)
 265     (inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop)))).
 266
 267 definition R_match_m ≝
 268   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 269 (*  (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? → outt = int) ∧ *)
 270   ∀ls,x,xs,end,rs.
 271   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) →
 272   (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → is_endc end = true →
 273   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? → outt = int) ∧
 274   (is_startc x = true →
 275    (∀ls0,x0,rs0.
 276     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 277     (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::xs@l1 ∧
 278      ∀cj,l2.l1=cj::l2 →
 279      outt = change_vec ??
 280             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
 281             (midtape sig ((reverse ? (l@x::xs))@ls0) cj l2) dst) ∨
 282     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::xs@l1)).
 283
 284 (*
 285 definition R_match_m ≝
 286   λi,j,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 287   (((∃x.current ? (nth i ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧ is_endc x = true) ∨
 288     current ? (nth i ? int (niltape ?)) = None ? ∨
 289     current ? (nth j ? int (niltape ?)) = None ?) → outt = int) ∧
 290   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,x0,rs0.
 291     (∀x. is_startc x ≠ is_endc x) →
 292     is_startc x = true → is_endc ci = true →
 293     (∀z. memb ? z (x::xs) = true → is_endc x = false) →
 294     nth i ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 295     nth j ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 296     (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::xs@l1 ∧
 297      ∀cj,l2.l1=cj::l2 →
 298      outt = change_vec ??
 299             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) i)
 300             (midtape sig ((reverse ? (l@x::xs))@ls0) cj l2) j) ∨
 301     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::xs@l1).
 302 *)
 303
 304 (*
 305 axiom sub_list_dec: ∀A.∀l,ls:list A.
 306   ∃l1,l2. l = l1@ls@l2 ∨ ∀l1,l2. l ≠ l1@ls@l2.
 307 *)
 308
 309 lemma wsem_match_m : ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 310 src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 311   match_m src dst sig n is_startc is_endc ⊫ R_match_m src dst sig n is_startc is_endc.
 312 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 313 lapply (sem_while … (sem_match_step src dst sig n is_startc is_endc Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 314 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 315 [ #tc #Hfalse #ls #x #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
 316   cases (Hfalse … Hmid_src Hnotend Hend) -Hfalse
 317   [(* current dest = None *) * #Hcur_dst #Houtc %
 318     [#_ >Houtc //
 319     |#Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcur_dst;
 320      normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 321     ]
 322   |* #ls0 * #rs0 * #Hmid_dst #HFalse %
 323     [ >Hmid_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 324     | #Hstart #ls1 #x1 #rs1 >Hmid_dst #H destruct (H)
 325      %1 %{[ ]} %{rs0} % [%] #cj #l2 #Hnotnil
 326      >reverse_cons >associative_append @(HFalse ?? Hnotnil)
 327     ]
 328   ]
 329 |#ta #tb #tc #Htrue #Hstar #IH #Hout lapply (IH Hout) -IH -Hout #IH whd
 330  #ls #x #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
 331  lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 332  cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 333   [#Hmid_dst %
 334     [#_ whd in Htrue; >Hmid_src in Htrue; #Htrue
 335      cases (Htrue x (refl … ) Hstart ?) -Htrue [2: @daemon]
 336      * #Htb #_ #_ >Htb in IH; // #IH
 337      cases (IH ls x xs end rs Hmid_src Hstart Hnotend Hend)
 338      #Hcur_outc #_ @Hcur_outc //
 339     |#ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst2 >Hmid_dst2 in Hmid_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 340      #H destruct (H)
 341     ]
 342   | #c #Hcurta_dst % [ >Hcurta_dst #H destruct (H) ]
 343     #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcurta_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 344     #H destruct (H) whd in Htrue; >Hmid_src in Htrue; #Htrue
 345     cases (Htrue x (refl …) Hstart ?) -Htrue
 346     [2: #z #membz @daemon (*aggiungere l'ipotesi*)]
 347     cases (true_or_false (x==c)) #eqx
 348     [ #_ #Htrue cases (comp_list ? (xs@end::rs) rs0 is_endc)
 349       #x1 * #tl1 * #tl2 * * * #Hxs #Hrs0 #Hnotendx1
 350       cases tl1 in Hxs;
 351       [>append_nil #Hx1 @daemon (* absurd by Hx1 e notendx1 *)]
 352       #ci -tl1 #tl1 #Hxs #H cases (H … (refl … ))
 353       [(* this is absurd, since Htrue conlcudes is_endc ci =false *)
 354        #Hend_ci @daemon (* lapply(Htrue … (refl …)) -Htrue *)
 355       |#Hcomp lapply (Htrue ls x x1 ci tl1 ls0 tl2 ???)
 356        [ #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) #Hc0
 357          [ @Hnotend >(\P Hc0) @memb_hd
 358          | @Hnotendx1 // ]
 359        | >Hmid_dst >Hrs0 >(\P eqx) %
 360        | >Hxs %
 361        | *  cases tl2 in Hrs0;
 362          [ >append_nil #Hrs0 #_ #Htb whd in IH;
 363            lapply (IH ls x x1 ci tl1 ? Hstart ??)
 364            [
 365            |
 366            | >Htb // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 367
 368         >Hrs0 in Hmid_dst; #Hmid_dst
 369        cases(Htrue ???????? Hmid_dst) -Htrue #Htb #Hendx
 370        whd in IH;
 371        cases(IH ls x xs end rs ? Hstart Hnotend Hend)
 372        [* #H1 #H2 >Htb in H1; >nth_change_vec //
 373         >Hmid_dst cases rs0 [2: #a #tl normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)]
 374         #_ %2 @daemon (* si dimostra *)
 375        |@daemon
 376        |>Htb >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src
 377        ]
 378     ]
 379   ]
 380 ]
 381 qed.
 382