matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/multi_universal/moves.ma".
  16 include "turing/if_multi.ma".
  17 include "turing/inject.ma".
  18 include "turing/basic_machines.ma".
  19
  20 definition compare_states ≝ initN 3.
  21
  22 definition comp0 : compare_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
  23 definition comp1 : compare_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
  24 definition comp2 : compare_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
  25
  26 (*
  27
  28 0) (x,x) → (x,x)(R,R) → 1
  29    (x,y≠x) → None 2
  30 1) (_,_) → None 1
  31 2) (_,_) → None 2
  32
  33 *)
  34
  35 definition trans_compare_step ≝
  36  λi,j.λsig:FinSet.λn.λis_endc.
  37  λp:compare_states × (Vector (option sig) (S n)).
  38  let 〈q,a〉 ≝ p in
  39  match pi1 … q with
  40  [ O ⇒ match nth i ? a (None ?) with
  41    [ None ⇒ 〈comp2,null_action ? n〉
  42    | Some ai ⇒ match nth j ? a (None ?) with
  43      [ None ⇒ 〈comp2,null_action ? n〉
  44      | Some aj ⇒ if notb (is_endc ai) ∧ ai == aj
  45          then 〈comp1,change_vec ? (S n)
  46                       (change_vec ? (S n) (null_action ? n) (Some ? 〈ai,R〉) i)
  47                         (Some ? 〈aj,R〉) j〉
  48          else 〈comp2,null_action ? n〉 ]
  49    ]
  50  | S q ⇒ match q with
  51    [ O ⇒ (* 1 *) 〈comp1,null_action ? n〉
  52    | S _ ⇒ (* 2 *) 〈comp2,null_action ? n〉 ] ].
  53
  54 definition compare_step ≝
  55   λi,j,sig,n,is_endc.
  56   mk_mTM sig n compare_states (trans_compare_step i j sig n is_endc)
  57     comp0 (λq.q == comp1 ∨ q == comp2).
  58
  59 definition R_comp_step_true ≝
  60   λi,j,sig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  61   ∃x.
  62    is_endc x = false ∧
  63    current ? (nth i ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧
  64    current ? (nth j ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧
  65    outt = change_vec ??
  66             (change_vec ?? int
  67               (tape_move ? (nth i ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) i)
  68             (tape_move ? (nth j ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) j.
  69
  70 definition R_comp_step_false ≝
  71   λi,j:nat.λsig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  72    ((∃x.current ? (nth i ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧ is_endc x = true) ∨
  73    current ? (nth i ? int (niltape ?)) ≠ current ? (nth j ? int (niltape ?)) ∨
  74    current ? (nth i ? int (niltape ?)) = None ? ∨
  75    current ? (nth j ? int (niltape ?)) = None ?) ∧ outt = int.
  76
  77 lemma comp_q0_q2_null :
  78   ∀i,j,sig,n,is_endc,v.i < S n → j < S n →
  79   (nth i ? (current_chars ?? v) (None ?) = None ? ∨
  80    nth j ? (current_chars ?? v) (None ?) = None ?) →
  81   step sig n (compare_step i j sig n is_endc) (mk_mconfig ??? comp0 v)
  82   = mk_mconfig ??? comp2 v.
  83 #i #j #sig #n #is_endc #v #Hi #Hj
  84 whd in ⊢ (? → ??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (?→??%?);
  85 * #Hcurrent
  86 [ @eq_f2
  87   [ whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcurrent %
  88   | whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >Hcurrent @tape_move_null_action ]
  89 | @eq_f2
  90   [ whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcurrent cases (nth i ?? (None sig)) //
  91   | whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >Hcurrent
  92     cases (nth i ?? (None sig)) [|#x] @tape_move_null_action ] ]
  93 qed.
  94
  95 lemma comp_q0_q2_neq :
  96   ∀i,j,sig,n,is_endc,v.i < S n → j < S n →
  97   ((∃x.nth i ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? x ∧ is_endc x = true) ∨
  98     nth i ? (current_chars ?? v) (None ?) ≠ nth j ? (current_chars ?? v) (None ?)) →
  99   step sig n (compare_step i j sig n is_endc) (mk_mconfig ??? comp0 v)
 100   = mk_mconfig ??? comp2 v.
 101 #i #j #sig #n #is_endc #v #Hi #Hj lapply (refl ? (nth i ?(current_chars ?? v)(None ?)))
 102 cases (nth i ?? (None ?)) in ⊢ (???%→?);
 103 [ #Hnth #_ @comp_q0_q2_null // % //
 104 | #ai #Hai lapply (refl ? (nth j ?(current_chars ?? v)(None ?)))
 105   cases (nth j ?? (None ?)) in ⊢ (???%→?);
 106   [ #Hnth #_ @comp_q0_q2_null // %2 //
 107   | #aj #Haj *
 108     [ * #c * >Hai #Heq #Hendc whd in ⊢ (??%?);
 109       >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?); @eq_f2
 110       [ whd in match (trans ????); >Hai >Haj destruct (Heq)
 111         whd in ⊢ (??(???%)?); >Hendc //
 112       | whd in match (trans ????); >Hai >Haj destruct (Heq)
 113         whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >Hendc @tape_move_null_action
 114       ]
 115     | #Hneq
 116       whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?); @eq_f2
 117       [ whd in match (trans ????); >Hai >Haj
 118         whd in ⊢ (??(???%)?); cut ((¬is_endc ai∧ai==aj)=false)
 119         [>(\bf ?) /2 by not_to_not/ cases (is_endc ai) // |#Hcut >Hcut //]
 120         | whd in match (trans ????); >Hai >Haj
 121           whd in ⊢ (??(???????(???%))?); cut ((¬is_endc ai∧ai==aj)=false)
 122           [>(\bf ?) /2 by not_to_not/ cases (is_endc ai) //
 123           |#Hcut >Hcut @tape_move_null_action
 124           ]
 125         ]
 126       ]
 127     ]
 128 ]
 129 qed.
 130
 131 lemma comp_q0_q1 :
 132   ∀i,j,sig,n,is_endc,v,a.i ≠ j → i < S n → j < S n →
 133   nth i ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? a → is_endc a = false →
 134   nth j ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? a →
 135   step sig n (compare_step i j sig n is_endc) (mk_mconfig ??? comp0 v) =
 136     mk_mconfig ??? comp1
 137      (change_vec ? (S n)
 138        (change_vec ?? v
 139          (tape_move ? (nth i ? v (niltape ?)) (Some ? 〈a,R〉)) i)
 140        (tape_move ? (nth j ? v (niltape ?)) (Some ? 〈a,R〉)) j).
 141 #i #j #sig #n #is_endc #v #a #Heq #Hi #Hj #Ha1 #Hnotendc #Ha2
 142 whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?); @eq_f2
 143 [ whd in match (trans ????);
 144   >Ha1 >Ha2 whd in ⊢ (??(???%)?); >Hnotendc >(\b ?) //
 145 | whd in match (trans ????);
 146   >Ha1 >Ha2 whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >Hnotendc >(\b ?) //
 147   change with (change_vec ?????) in ⊢ (??(???????%)?);
 148   <(change_vec_same … v j (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
 149   <(change_vec_same … v i (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
 150   >pmap_change >pmap_change >tape_move_null_action
 151   @eq_f2 // @eq_f2 // >nth_change_vec_neq //
 152 ]
 153 qed.
 154
 155 lemma sem_comp_step :
 156   ∀i,j,sig,n,is_endc.i ≠ j → i < S n → j < S n →
 157   compare_step i j sig n is_endc ⊨
 158     [ comp1: R_comp_step_true i j sig n is_endc,
 159              R_comp_step_false i j sig n is_endc ].
 160 #i #j #sig #n #is_endc #Hneq #Hi #Hj #int
 161 lapply (refl ? (current ? (nth i ? int (niltape ?))))
 162 cases (current ? (nth i ? int (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 163 [ #Hcuri %{2} %
 164   [| % [ %
 165     [ whd in ⊢ (??%?); >comp_q0_q2_null /2/ % <Hcuri in ⊢ (???%);
 166       @sym_eq @nth_vec_map
 167     | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 168   | #_ % // % %2 // ] ]
 169 | #a #Ha lapply (refl ? (current ? (nth j ? int (niltape ?))))
 170   cases (current ? (nth j ? int (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 171   [ #Hcurj %{2} %
 172     [| % [ %
 173        [ whd in ⊢ (??%?); >comp_q0_q2_null /2/ %2 <Hcurj in ⊢ (???%);
 174          @sym_eq @nth_vec_map
 175        | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 176        | #_ % // >Ha >Hcurj % % %2 % #H destruct (H) ] ]
 177   | #b #Hb %{2}
 178    cases (true_or_false (is_endc a)) #Haendc
 179     [ %
 180       [| % [ %
 181         [whd in ⊢  (??%?);  >comp_q0_q2_neq //
 182          % %{a} % // <Ha @sym_eq @nth_vec_map
 183         | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 184       | #_ % // % % % >Ha %{a} % // ]
 185       ]
 186     |cases (true_or_false (a == b)) #Hab
 187       [ %
 188         [| % [ %
 189           [whd in ⊢  (??%?);  >(comp_q0_q1 … a Hneq Hi Hj) //
 190             [>(\P Hab) <Hb @sym_eq @nth_vec_map
 191             |<Ha @sym_eq @nth_vec_map ]
 192           | #_ whd >(\P Hab) %{b} % // % // <(\P Hab) % // ]
 193           | * #H @False_ind @H %
 194         ] ]
 195       | %
 196         [| % [ %
 197           [whd in ⊢  (??%?);  >comp_q0_q2_neq //
 198            <(nth_vec_map ?? (current …) i ? int (niltape ?))
 199            <(nth_vec_map ?? (current …) j ? int (niltape ?)) %2 >Ha >Hb
 200            @(not_to_not ??? (\Pf Hab)) #H destruct (H) %
 201           | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 202         | #_ % // % % %2 >Ha >Hb @(not_to_not ??? (\Pf Hab)) #H destruct (H) % ] ]
 203       ]
 204     ]
 205   ]
 206 ]
 207 qed.
 208
 209 definition compare ≝ λi,j,sig,n,is_endc.
 210   whileTM … (compare_step i j sig n is_endc) comp1.
 211
 212 definition R_compare ≝
 213   λi,j,sig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 214   ((∃x.current ? (nth i ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧ is_endc x = true) ∨
 215    (current ? (nth i ? int (niltape ?)) ≠ current ? (nth j ? int (niltape ?)) ∨
 216     current ? (nth i ? int (niltape ?)) = None ? ∨
 217     current ? (nth j ? int (niltape ?)) = None ?) → outt = int) ∧
 218   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,rs0.
 219     nth i ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 220     nth j ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) →
 221     (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) →
 222     (rs0 = [ ] ∧
 223      outt = change_vec ??
 224            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) i)
 225            (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (None ?) []) j) ∨
 226     ∃cj,rs1.rs0 = cj::rs1 ∧
 227     ((is_endc ci = true ∨ ci ≠ cj) →
 228     outt = change_vec ??
 229            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) i)
 230            (midtape sig (reverse ? xs@x::ls0) cj rs1) j)).
 231
 232 lemma wsem_compare : ∀i,j,sig,n,is_endc.i ≠ j → i < S n → j < S n →
 233   compare i j sig n is_endc ⊫ R_compare i j sig n is_endc.
 234 #i #j #sig #n #is_endc #Hneq #Hi #Hj #ta #k #outc #Hloop
 235 lapply (sem_while … (sem_comp_step i j sig n is_endc Hneq Hi Hj) … Hloop) //
 236 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 237 [ #tc whd in ⊢ (%→?); * * [ * [ *
 238   [* #curi * #Hcuri #Hendi #Houtc %
 239     [ #_ @Houtc
 240     | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #rs0 #Hnthi #Hnthj #Hnotendc
 241       @False_ind
 242       >Hnthi in Hcuri; normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 243       >(Hnotendc ? (memb_hd … )) in Hendi; #H destruct (H)
 244     ]
 245   |#Hcicj #Houtc %
 246     [ #_ @Houtc
 247     | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #rs0 #Hnthi #Hnthj
 248       >Hnthi in Hcicj; >Hnthj normalize in ⊢ (%→?); * #H @False_ind @H %
 249     ]]
 250   | #Hci #Houtc %
 251     [ #_ @Houtc
 252     | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #rs0 #Hnthi >Hnthi in Hci;
 253       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 254   | #Hcj #Houtc %
 255     [ #_ @Houtc
 256     | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #rs0 #_ #Hnthj >Hnthj in Hcj;
 257       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 258   | #tc #td #te * #x * * * #Hendcx #Hci #Hcj #Hd #Hstar #IH #He lapply (IH He) -IH *
 259     #IH1 #IH2 %
 260     [ >Hci >Hcj * [* #x0 * #H destruct (H) >Hendcx #H destruct (H)
 261     |* [* #H @False_ind [cases H -H #H @H % | destruct (H)] | #H destruct (H)]]
 262     | #ls #c0 #xs #ci #rs #ls0 #rs0 cases xs
 263       [ #Hnthi #Hnthj #Hnotendc cases rs0 in Hnthj;
 264         [ #Hnthj % % // >IH1
 265           [ >Hd @eq_f3 //
 266             [ @eq_f3 // >(?:c0=x) [ >Hnthi % ]
 267               >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) %
 268             | >(?:c0=x) [ >Hnthj % ]
 269               >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) % ]
 270           | >Hd %2 %2 >nth_change_vec // >Hnthj % ]
 271         | #r1 #rs1 #Hnthj %2 %{r1} %{rs1} % // *
 272           [ #Hendci >IH1
 273             [ >Hd @eq_f3 //
 274               [ @eq_f3 // >(?:c0=x) [ >Hnthi % ]
 275              >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) %
 276             | >(?:c0=x) [ >Hnthj % ]
 277             >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) % ]
 278         | >Hd >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 279           >nth_change_vec // >Hnthi >Hnthj normalize % %{ci} % //
 280         ]
 281       |#Hcir1 >IH1
 282         [>Hd @eq_f3 //
 283           [ @eq_f3 // >(?:c0=x) [ >Hnthi % ]
 284             >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) %
 285           | >(?:c0=x) [ >Hnthj % ]
 286             >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) % ]
 287         | >Hd %2 % % >nth_change_vec //
 288           >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 289           >nth_change_vec // >Hnthi >Hnthj normalize @(not_to_not … Hcir1)
 290           #H destruct (H) % ]
 291       ]
 292     ]
 293   |#x0 #xs0 #Hnthi #Hnthj #Hnotendc
 294    cut (c0 = x) [ >Hnthi in Hci; normalize #H destruct (H) // ]
 295    #Hcut destruct (Hcut) cases rs0 in Hnthj;
 296     [ #Hnthj % % //
 297       cases (IH2 (x::ls) x0 xs0 ci rs (x::ls0) [ ] ???) -IH2
 298       [ * #_ #IH2 >IH2 >Hd >change_vec_commute in ⊢ (??%?); //
 299         >change_vec_change_vec >change_vec_commute in ⊢ (??%?); //
 300         @sym_not_eq //
 301       | * #cj * #rs1 * #H destruct (H)
 302       | >Hd >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 303         >Hnthi %
 304       | >Hd >nth_change_vec // >Hnthj %
 305       | #c0 #Hc0 @Hnotendc @memb_cons @Hc0 ]
 306     | #r1 #rs1 #Hnthj %2 %{r1} %{rs1} % // #Hcir1
 307       cases(IH2 (x::ls) x0 xs0 ci rs (x::ls0) (r1::rs1) ???)
 308       [ * #H destruct (H)
 309       | * #r1' * #rs1' * #H destruct (H) #Hc1r1 >Hc1r1 //
 310         >Hd >change_vec_commute in ⊢ (??%?); //
 311         >change_vec_change_vec >change_vec_commute in ⊢ (??%?); //
 312           @sym_not_eq //
 313       | >Hd >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 314         >Hnthi //
 315       | >Hd >nth_change_vec // >Hnthi >Hnthj %
 316       | #c0 #Hc0 @Hnotendc @memb_cons @Hc0
 317 ]]]]]
 318 qed.
 319
 320 lemma terminate_compare :  ∀i,j,sig,n,is_endc,t.
 321   i ≠ j → i < S n → j < S n →
 322   compare i j sig n is_endc ↓ t.
 323 #i #j #sig #n #is_endc #t #Hneq #Hi #Hj
 324 @(terminate_while … (sem_comp_step …)) //
 325 <(change_vec_same … t i (niltape ?))
 326 cases (nth i (tape sig) t (niltape ?))
 327 [ % #t1 * #x * * * #_ >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
 328 |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #x * * * #_ >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
 329 | #ls #c #rs lapply c -c lapply ls -ls lapply t -t elim rs
 330   [#t #ls #c % #t1 * #x * * * #Hendcx >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?);
 331    #H1 destruct (H1) #Hxsep >change_vec_change_vec #Ht1 %
 332    #t2 * #x0 * * * #Hendcx0 >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 333    >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 334   |#r0 #rs0 #IH #t #ls #c % #t1 * #x * * >nth_change_vec //
 335    normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) #Hcur
 336    >change_vec_change_vec >change_vec_commute // #Ht1 >Ht1 @IH
 337   ]
 338 ]
 339 qed.
 340
 341 lemma sem_compare : ∀i,j,sig,n,is_endc.
 342   i ≠ j → i < S n → j < S n →
 343   compare i j sig n is_endc ⊨ R_compare i j sig n is_endc.
 344 #i #j #sig #n #is_endc #Hneq #Hi #Hj @WRealize_to_Realize /2/
 345 qed.
 346
 347 (*
 348    |conf1   $
 349    |confin 0/1 confout move
 350
 351   match machine step ≝
 352     compare;
 353     if (cur(src) != $)
 354       then
 355         parmoveL;
 356         moveR(dst);
 357       else nop
 358  *)
 359
 360 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 361   compare src dst sig n is_endc ·
 362     (ifTM ?? (inject_TM ? (test_char ? (λa.is_endc a == false)) n src)
 363       (single_finalTM ??
 364         (parmove src dst sig n L is_startc · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
 365       (nop …)
 366       tc_true).
 367
 368 definition Rtc_multi_true ≝
 369   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
 370    (∃c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c ∧ test c = true) ∧ t2 = t1.
 371
 372 definition Rtc_multi_false ≝
 373   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
 374     (∀c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c → test c = false) ∧ t2 = t1.
 375
 376 definition R_match_step_false ≝
 377   λsrc,dst,sig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 378   ∀ls,x,xs,end,rs.
 379   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) →
 380   (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → is_endc end = true →
 381    ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? ) ∧ outt = int) ∨
 382    (∃ls0,rs0.
 383     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
 384     ∀rsj,c.
 385     rs0 = c::rsj →
 386     outt = change_vec ??
 387            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
 388            (midtape sig (reverse ? xs@x::ls0) c rsj) dst).
 389 (*
 390 definition R_match_step_false ≝
 391   λsrc,dst,sig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 392    (((∃x.current ? (nth src ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧ is_endc x = true) ∨
 393      current sig (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = None ? ∨
 394      current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? ) ∧ outt = int) ∨
 395    (∃ls,ls0,rs,rs0,x,xs.
 396     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@rs) ∧ is_endc x = false ∧
 397     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
 398     ∀rsi,rsj,end,c.
 399     rs = end::rsi → rs0 = c::rsj →
 400     (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) ∧ is_endc end = true ∧
 401     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@c::rsj) ∧
 402     outt = change_vec ??
 403            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rsi) src)
 404            (midtape sig (reverse ? xs@x::ls0) c rsj) dst).
 405 *)
 406
 407 definition R_match_step_true ≝
 408   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 409   ∀s.current sig (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s →
 410   is_startc s = true →
 411   (∀c.c ∈ right ? (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = true → is_startc c = false) →
 412   (∀s1.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s1 → s ≠ s1 →
 413    outt = change_vec ?? int
 414           (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈s1,R〉)) dst ∧ is_endc s = false) ∧
 415   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,cj,rs0.
 416     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 417     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@cj::rs0) → ci ≠ cj →
 418     (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) →
 419     outt = change_vec ?? int
 420            (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) dst ∧ is_endc ci = false).
 421
 422 lemma sem_test_char_multi :
 423   ∀alpha,test,n,i.i ≤ n →
 424   inject_TM ? (test_char ? test) n i ⊨
 425   [ tc_true : Rtc_multi_true alpha test n i, Rtc_multi_false alpha test n i ].
 426 #alpha #test #n #i #Hin #int
 427 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_char alpha test) int)
 428 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
 429 [ @Hloop
 430 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * * #c *
 431   #Hcur #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
 432   [ %{c} % //
 433   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
 434     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
 435     [ >Hi0i @Hnth_i
 436     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
 437 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
 438   [ @Htestc
 439   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
 440     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
 441     [ >Hi0i @Hnth_i
 442     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
 443 qed.
 444
 445 axiom comp_list: ∀S:DeqSet. ∀l1,l2:list S.∀is_endc. ∃l,tl1,tl2.
 446   l1 = l@tl1 ∧ l2 = l@tl2 ∧ (∀c.c ∈ l = true → is_endc c = false) ∧
 447   ∀a,tla. tl1 = a::tla → is_endc a = true ∨ (∀b,tlb.tl2 = b::tlb → a≠b).
 448
 449 axiom daemon : ∀X:Prop.X.
 450
 451 lemma sem_match_step :
 452   ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 453   match_step src dst sig n is_startc is_endc ⊨
 454     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 455       R_match_step_true src dst sig n is_startc is_endc,
 456       R_match_step_false src dst sig n is_endc ].
 457 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst
 458 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n is_endc Hneq Hsrc Hdst)
 459     (acc_sem_if ? n … (sem_test_char_multi sig (λa.is_endc a == false) n src (le_S_S_to_le … Hsrc))
 460       (sem_seq …
 461         (sem_parmoveL ???? is_startc Hneq Hsrc Hdst)
 462         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 463       (sem_nop …)))
 464 [#ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * * #c * #Hcurtc #Hcend #Htd >Htd -Htd
 465  #Htb #s #Hcurta_src #Hstart #Hnotstart %
 466  [ #s1 #Hcurta_dst #Hneqss1
 467    lapply Htb lapply Hcurtc -Htb -Hcurtc >(?:tc=ta)
 468    [|@Hcomp1 %2 % % >Hcurta_src >Hcurta_dst @(not_to_not … Hneqss1) #H destruct (H) % ]
 469    #Hcurtc * #te * * #_ #Hte >Hte // whd in ⊢ (%→?); * * #_ #Htbdst #Htbelse %
 470    [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 471      [ >Hidst >nth_change_vec // cases (current_to_midtape … Hcurta_dst)
 472        #ls * #rs #Hta_mid >(Htbdst … Hta_mid) >Hta_mid cases rs //
 473      | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @Htbelse @sym_not_eq // ]
 474    | >Hcurtc in Hcurta_src; #H destruct (H) cases (is_endc s) in Hcend;
 475      normalize #H destruct (H) // ]
 476  |#ls #x #xs #ci #rs #ls0 #cj #rs0 #Htasrc_mid #Htadst_mid #Hcicj #Hnotendc
 477   cases (Hcomp2 … Htasrc_mid Htadst_mid Hnotendc) [ * #H destruct (H) ]
 478   * #cj' * #rs0' * #Hcjrs0 destruct (Hcjrs0) -Hcomp2 #Hcomp2
 479   lapply (Hcomp2 (or_intror ?? Hcicj)) -Hcomp2 #Htc
 480   cases Htb #td * * #Htd #_ >Htasrc_mid in Hcurta_src; normalize in ⊢ (%→?);
 481   #H destruct (H)
 482   >(Htd ls ci (reverse ? xs) rs s ??? ls0 cj' (reverse ? xs) s rs0' (refl ??)) //
 483   [| >Htc >nth_change_vec //
 484    | #c0 #Hc0 @(Hnotstart c0) >Htasrc_mid
 485      cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 486     [@memb_append_l2 >(\P Hc0) @memb_hd
 487     |@memb_append_l1 <(reverse_reverse …xs) @memb_reverse //
 488     ]
 489    | >Htc >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ] @nth_change_vec // ]
 490   * * #_ #Htbdst #Htbelse %
 491   [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 492      [ >Hidst >nth_change_vec // >Htadst_mid >(Htbdst ls0 s (xs@cj'::rs0'))
 493        [ cases xs //
 494        | >nth_change_vec // ]
 495      | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 496        <Htbelse [|@sym_not_eq // ]
 497        >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 498        cases (decidable_eq_nat i src) #Hisrc
 499        [ >Hisrc >nth_change_vec // >Htasrc_mid //
 500        | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 501          <(Htbelse i) [|@sym_not_eq // ]
 502          >Htc >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ]
 503          >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ] //
 504        ]
 505      ]
 506   | >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 507      >nth_change_vec // whd in ⊢ (??%?→?);
 508      #H destruct (H) cases (is_endc c) in Hcend;
 509      normalize #H destruct (H) // ]
 510   ]
 511 |#intape #outtape #ta * #Hcomp1 #Hcomp2 * #tb * * #Hc #Htb
 512  whd in ⊢ (%→?); #Hout >Hout >Htb whd
 513  #ls #c_src #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
 514  lapply (current_to_midtape sig (nth dst ? intape (niltape ?)))
 515  cases (current … (nth dst ? intape (niltape ?))) in Hcomp1;
 516   [#Hcomp1 #_ %1 % [% | @Hcomp1 %2 %2 % ]
 517   |#c_dst cases (true_or_false (c_src == c_dst)) #Hceq
 518     [#_ #Hmid_dst cases (Hmid_dst c_dst (refl …)) -Hmid_dst
 519      #ls_dst * #rs_dst #Hmid_dst %2
 520      cases (comp_list … (xs@end::rs) rs_dst is_endc) #xs1 * #rsi * #rsj * * *
 521      #Hrs_src #Hrs_dst #Hnotendxs1 #Hneq %{ls_dst} %{rsj} >Hrs_dst in Hmid_dst; #Hmid_dst
 522      cut (∃r1,rs1.rsi = r1::rs1) [@daemon] * #r1 * #rs1 #Hrs1 >Hrs1 in Hrs_src;
 523      #Hrs_src >Hrs_src in Hmid_src; #Hmid_src <(\P Hceq) in Hmid_dst; #Hmid_dst
 524      lapply (Hcomp2 ??????? Hmid_src Hmid_dst ?)
 525      [ #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 526        [ >(\P Hc0) @Hnotend @memb_hd | @Hnotendxs1 //]
 527      | *
 528        [ * #Hrsj #Hta %
 529          [ >Hta in Hc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 530            #Hc lapply (Hc ? (refl ??)) #Hendr1
 531            cut (xs = xs1)
 532            [ lapply Hnotendxs1 lapply Hnotend lapply Hrs_src lapply xs1
 533              -Hnotendxs1 -Hnotend -Hrs_src -xs1 elim xs
 534              [ * normalize in ⊢ (%→?); //
 535                #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #_ #Hnotendxs1
 536                lapply (Hnotendxs1 ? (memb_hd …)) >Hend #H destruct (H)
 537              | #x2 #xs2 #IH *
 538                [ normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #Hnotendc
 539                  >Hnotendc in Hendr1; [| @memb_cons @memb_hd ]
 540                  normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 541                | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 542                  #Hnotendc #Hnotendcxs1 @eq_f @IH
 543                  [ @(cons_injective_r … Heq)
 544                  | #c0 #Hc0 @Hnotendc cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 545                    [ >(\P Hc0) @memb_hd
 546                    | @memb_cons @memb_cons // ]
 547                  | #c #Hc @Hnotendcxs1 @memb_cons // ]
 548                ]
 549              ]
 550            | #Hxsxs1 >Hmid_dst >Hxsxs1 % ]
 551          | #rsj0 #c >Hrsj #Hrsj0 destruct (Hrsj0) ]
 552        | * #cj * #rs2 * #Hrs2 #Hta lapply (Hta ?)
 553          [ cases (Hneq … Hrs1) /2/ #H %2 @(H ?? Hrs2) ]
 554          -Hta #Hta >Hta in Hc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 555          >nth_change_vec // #Hc lapply (Hc ? (refl ??)) #Hendr1
 556          (* lemmatize this proof *) cut (xs = xs1)
 557          [ lapply Hnotendxs1 lapply Hnotend lapply Hrs_src lapply xs1
 558            -Hnotendxs1 -Hnotend -Hrs_src -xs1 elim xs
 559            [ * normalize in ⊢ (%→?); //
 560              #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #_ #Hnotendxs1
 561              lapply (Hnotendxs1 ? (memb_hd …)) >Hend #H destruct (H)
 562            | #x2 #xs2 #IH *
 563              [ normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #Hnotendc
 564                >Hnotendc in Hendr1; [| @memb_cons @memb_hd ]
 565                normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 566              | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 567                #Hnotendc #Hnotendcxs1 @eq_f @IH
 568                [ @(cons_injective_r … Heq)
 569                | #c0 #Hc0 @Hnotendc cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 570                  [ >(\P Hc0) @memb_hd
 571                  | @memb_cons @memb_cons // ]
 572                | #c #Hc @Hnotendcxs1 @memb_cons // ]
 573              ]
 574            ]
 575          | #Hxsxs1 >Hmid_dst >Hxsxs1 % //
 576            #rsj0 #c #Hcrsj destruct (Hxsxs1 Hrs2 Hcrsj) @eq_f3 //
 577            @eq_f3 // lapply (append_l2_injective ?????? Hrs_src) //
 578            #Hendr1 destruct (Hendr1) % ]
 579        ]
 580      ]
 581    (* STOP *)
 582    | #Hcomp1 #Hsrc cases (Hsrc ? (refl ??)) -Hsrc #ls0 * #rs0 #Hsrc %2
 583      %1 %
 584       [% % %{c_src} % // lapply (Hc c_src) -Hc >Hcomp1
 585        [| %2 % % @(not_to_not ??? (\Pf Hceq)) #H destruct (H) // ]
 586        cases (is_endc c_src) //
 587        >Hsrc #Hc lapply (Hc (refl ??)) normalize #H destruct (H)
 588       |@Hcomp1 %2 %1 %1 @(not_to_not ??? (\Pf Hceq)) #H destruct (H) //
 589       ]
 590     ]
 591   ]
 592 ]
 593 qed.
 594
 595 #intape #outtape #ta * #Hcomp1 #Hcomp2 * #tb * * #Hc #Htb
 596  whd in ⊢ (%→?); #Hout >Hout >Htb whd
 597  lapply (current_to_midtape sig (nth src ? intape (niltape ?)))
 598  cases (current … (nth src ? intape (niltape ?))) in Hcomp1;
 599   [#Hcomp1 #_ %1 % [%1 %2 // | @Hcomp1 %2 %1 %2 %]
 600   |#c_src lapply (current_to_midtape sig (nth dst ? intape (niltape ?)))
 601    cases (current … (nth dst ? intape (niltape ?)))
 602     [#_ #Hcomp1 #_ %1 % [%2 % | @Hcomp1 %2 % % % #H destruct (H)]
 603     |#c_dst cases (true_or_false (c_src == c_dst)) #Hceq
 604       [#Hmid_dst cases (Hmid_dst c_dst (refl …)) -Hmid_dst
 605        #ls_dst * #rs_dst #Hmid_dst #Hcomp1
 606        #Hmid_src cases (Hmid_src c_src (refl …)) -Hmid_src
 607        #ls_src * #rs_src #Hmid_src
 608        cases (true_or_false (is_endc c_src)) #Hc_src
 609        [ % % [ % % %{c_src} % // | @Hcomp1 % %{c_src} % // ]
 610        | %2 cases (comp_list … rs_src rs_dst is_endc) #xs * #rsi * #rsj * * *
 611          #Hrs_src #Hrs_dst #Hnotendc #Hneq
 612          %{ls_src} %{ls_dst} %{rsi} %{rsj} %{c_src} %{xs} %
 613            [% [% // <Hrs_src //|<Hrs_dst >(\P Hceq) // ]]
 614          #rsi0 #rsj0 #end #c #Hend #Hc_dst
 615          >Hrs_src in Hmid_src; >Hend #Hmid_src
 616          >Hrs_dst in Hmid_dst; >Hc_dst <(\P Hceq) #Hmid_dst
 617          cut (is_endc end = true ∨ end ≠ c)
 618          [cases (Hneq … Hend) /2/ -Hneq #Hneq %2 @(Hneq … Hc_dst) ] #Hneq
 619          lapply (Hcomp2 … Hmid_src Hmid_dst ? Hneq)
 620           [#c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 621             [ >(\P Hc0) //
 622             | @Hnotendc // ]
 623           ]
 624          -Hcomp2 #Hcomp2 <Hcomp2
 625          % // % [
 626            >Hcomp2 in Hc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 627             >nth_change_vec // #H lapply (H ? (refl …))
 628             cases (is_endc end) [|normalize #H destruct (H) ]
 629             #_ % // #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 630               [ >(\P Hc0) // | @Hnotendc // ]
 631          |@Hmid_dst]
 632          ]
 633       |#_ #Hcomp1 #Hsrc cases (Hsrc ? (refl ??)) -Hsrc #ls * #rs #Hsrc
 634        %1 %
 635         [% % %{c_src} % // lapply (Hc c_src) -Hc >Hcomp1
 636          [| %2 % % @(not_to_not ??? (\Pf Hceq)) #H destruct (H) // ]
 637          cases (is_endc c_src) //
 638          >Hsrc #Hc lapply (Hc (refl ??)) normalize #H destruct (H)
 639         |@Hcomp1 %2 %1 %1 @(not_to_not ??? (\Pf Hceq)) #H destruct (H) //
 640         ]
 641       ]
 642     ]
 643   ]
 644 qed.
 645
 646 definition match_m ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 647   whileTM … (match_step src dst sig n is_startc is_endc)
 648     (inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop)))).
 649
 650 definition R_match_m ≝
 651   λi,j,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 652   (((∃x.current ? (nth i ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧ is_endc x = true) ∨
 653     current ? (nth i ? int (niltape ?)) = None ? ∨
 654     current ? (nth j ? int (niltape ?)) = None ?) → outt = int) ∧
 655   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,x0,rs0.
 656     (∀x. is_startc x ≠ is_endc x) →
 657     is_startc x = true → is_endc ci = true →
 658     (∀z. memb ? z (x::xs) = true → is_endc x = false) →
 659     nth i ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 660     nth j ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 661     (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::xs@l1 ∧
 662      ∀cj,l2.l1=cj::l2 →
 663      outt = change_vec ??
 664             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) i)
 665             (midtape sig ((reverse ? (l@x::xs))@ls0) cj l2) j) ∨
 666     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::xs@l1).
 667
 668 (*
 669 axiom sub_list_dec: ∀A.∀l,ls:list A.
 670   ∃l1,l2. l = l1@ls@l2 ∨ ∀l1,l2. l ≠ l1@ls@l2.
 671 *)
 672
 673 lemma wsem_match_m : ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 674 src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 675   match_m src dst sig n is_startc is_endc ⊫ R_match_m src dst sig n is_startc is_endc.
 676 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 677 lapply (sem_while … (sem_match_step src dst sig n is_startc is_endc Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 678 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 679 [ #tc whd in ⊢ (%→%); *
 680   [ * * [ *
 681     [ * #cur_src * #H1 #H2 #Houtc %
 682       [ #_ @Houtc
 683       | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #cj #rs0 #Hdiff #Hstartc #Hendc #Hnotend #Hnthi
 684         @False_ind
 685         >Hnthi in H1; whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) cases (Hdiff cur_src)
 686         #Habs @Habs //
 687       ]
 688     | #Hci #Houtc %
 689       [ #_ @Houtc
 690       | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #cj #rs0 #Hdiff #Hstartc #Hendc #Hnotend
 691         #Hnthi >Hnthi in Hci; normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 692     | #Hcj #Houtc %
 693       [ #_ @Houtc
 694       | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #cj #rs0 #Hdiff #Hstartc #Hendc #_ #_ #Hnthj >Hnthj in Hcj;
 695         normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 696     ]
 697   |* #ls * #ls0 * #rs * #rs0 * #x0 * #xs * * * #Hsrc #Hx0 #Hdst #H %
 698     [>Hsrc *
 699       [* [* #x * whd in ⊢ (??%?→?); #Habs destruct (Habs) >Hx0 #Habs destruct (Habs)
 700                 |whd in ⊢ (??%?→?); #Habs destruct (Habs) ]
 701          |>Hdst whd in ⊢ (??%?→?); #Habs destruct (Habs)  ]
 702     |#ls1 #x1 #xs1 #ci #rsi #ls2 #x2 #rs2
 703      #Hdiff #Hstart #Hend #Hnotend
 704      >Hsrc #Hsrc1 destruct (Hsrc1) >Hdst #Hdst1 destruct (Hdst1)
 705      %1 %{[ ]} %{rs0} normalize in ⊢ (%→?); #Heq #cj #l2 #Hl1
 706      cut (xs=xs1)
 707        [@(append_l1_injective_r … rs0 rs0 (refl …)) @(cons_injective_r …Heq)]
 708      #eqxs <eqxs
 709      whd in match (append ? [ ] (x2::xs)); >reverse_cons >associative_append
 710      normalize in match (append ? [x2] ls2);
 711      cases (H rsi l2 ci cj ? Hl1)
 712       [* #_ #_ #H3 @H3
 713       |>eqxs in e0; #e0 @(append_l2_injective … e0) //
 714       ]
 715     ]
 716   ]
 717 |#tc #td #te #Hd #Hstar #IH #He lapply (IH He) -IH *
 718     #IH1 #IH2 % [@IH1]
 719
 720
 721      cases (comp_list ? (x1::xs1@ci::rsi) (x2::rs2) is_endc)
 722      #l * #tl1 * #tl2 * * * #H1 #H2 #H3 #H4
 723