matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/multi_universal/compare.ma".
  16 include "turing/multi_universal/par_test.ma".
  17 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  18
  19 definition Rtc_multi_true ≝
  20   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  21    (∃c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c ∧ test c = true) ∧ t2 = t1.
  22
  23 definition Rtc_multi_false ≝
  24   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  25     (∀c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c → test c = false) ∧ t2 = t1.
  26
  27 lemma sem_test_char_multi :
  28   ∀alpha,test,n,i.i ≤ n →
  29   inject_TM ? (test_char ? test) n i ⊨
  30   [ tc_true : Rtc_multi_true alpha test n i, Rtc_multi_false alpha test n i ].
  31 #alpha #test #n #i #Hin #int
  32 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_char alpha test) int)
  33 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  34 [ @Hloop
  35 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * * #c *
  36   #Hcur #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  37   [ %{c} % //
  38   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  39     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  40     [ >Hi0i @Hnth_i
  41     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  42 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  43   [ @Htestc
  44   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  45     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  46     [ >Hi0i @Hnth_i
  47     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  48 qed.
  49
  50 definition Rm_test_null_true ≝
  51   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  52    current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) ≠ None ? ∧ t2 = t1.
  53
  54 definition Rm_test_null_false ≝
  55   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  56     current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = None ? ∧ t2 = t1.
  57
  58 lemma sem_test_null_multi : ∀alpha,n,i.i ≤ n →
  59   inject_TM ? (test_null ?) n i ⊨
  60     [ tc_true : Rm_test_null_true alpha n i, Rm_test_null_false alpha n i ].
  61 #alpha #n #i #Hin #int
  62 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_null alpha) int)
  63 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  64 [ @Hloop
  65 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j % //
  66   @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  67   [ >Hi0i @sym_eq @Hnth_i | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  68 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j %
  69   [ @Hcur
  70   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) //
  71     #Hi0i @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  72 qed.
  73
  74 definition match_test ≝ λsrc,dst.λsig:DeqSet.λn.λv:Vector ? n.
  75   match (nth src (option sig) v (None ?)) with
  76   [ None ⇒  false
  77   | Some x ⇒  notb (nth dst (DeqOption sig) v (None ?) == None ?) ].
  78
  79 definition mmove_states ≝ initN 2.
  80
  81 definition mmove0 : mmove_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 2 (refl …)).
  82 definition mmove1 : mmove_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 2 (refl …)).
  83
  84 definition trans_mmove ≝
  85  λi,sig,n,D.
  86  λp:mmove_states × (Vector (option sig) (S n)).
  87  let 〈q,a〉 ≝ p in match (pi1 … q) with
  88  [ O ⇒ 〈mmove1,change_vec ? (S n) (null_action ? n) (〈None ?,D〉) i〉
  89  | S _ ⇒ 〈mmove1,null_action sig n〉 ].
  90
  91 definition mmove ≝
  92   λi,sig,n,D.
  93   mk_mTM sig n mmove_states (trans_mmove i sig n D)
  94     mmove0 (λq.q == mmove1).
  95
  96 definition Rm_multi ≝
  97   λalpha,n,i,D.λt1,t2:Vector ? (S n).
  98   t2 = change_vec ? (S n) t1 (tape_move alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) D) i.
  99
 100 lemma sem_move_multi :
 101   ∀alpha,n,i,D.i ≤ n →
 102   mmove i alpha n D ⊨ Rm_multi alpha n i D.
 103 #alpha #n #i #D #Hin #int %{2}
 104 %{(mk_mconfig ? mmove_states n mmove1 ?)}
 105 [| %
 106  [ whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (??%?); @eq_f %
 107  | whd >tape_move_multi_def
 108    <(change_vec_same … (ctapes …) i (niltape ?))
 109    >pmap_change <tape_move_multi_def >tape_move_null_action % ] ]
 110  qed.
 111
 112 definition rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.
 113   parmove src dst sig n L · mmove src sig n R · mmove dst sig n R.
 114
 115 definition R_rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 116   (∀x,x0,xs,rs.
 117     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs →
 118     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| →
 119     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 →
 120     outt = change_vec ??
 121            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) src)
 122            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) dst).
 123
 124 theorem accRealize_to_Realize :
 125   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
 126   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
 127 #sig #n #M #Rtrue #Rfalse #acc #HR #t
 128 cases (HR t) #k * #outc * * #Hloop
 129 #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % //
 130 cases (true_or_false (cstate sig (states sig n M) n outc == acc)) #Hcase
 131 [ % @Htrue @(\P Hcase) | %2 @Hfalse @(\Pf Hcase) ]
 132 qed.
 133
 134 lemma sem_rewind : ∀src,dst,sig,n.
 135   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 136   rewind src dst sig n ⊨ R_rewind src dst sig n.
 137 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 138 @(sem_seq_app sig n ????? (sem_parmoveL src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) ?)
 139 [| @(sem_seq_app sig n ????? (sem_move_r_multi …) (sem_move_r_multi …)) //
 140  @le_S_S_to_le // ]
 141 #ta #tb * #tc * * #Htc #_ * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Htb
 142 #x #x0 #xs #rs #Hmidta_src #ls0 #y #y0 #target #rs0 #Hlen #Hmidta_dst
 143 >(Htc ??? Hmidta_src ls0 y (target@[y0]) rs0 ??) in Htd;
 144 [|>Hmidta_dst //
 145 |>length_append >length_append >Hlen % ] * #_
 146 [ whd in ⊢ (%→?); * #x1 * #x2 * *
 147   >change_vec_commute in ⊢ (%→?); // >nth_change_vec //
 148   cases (reverse sig (xs@[x0])@x::rs)
 149   [|#z #zs] normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 150 | whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htb >Htb -Htb FAIL
 151
 152    normalize in ⊢ (%→?);
 153     (sem_parmove_step src dst sig n R Hneq Hsrc Hdst))
 154     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ?))
 155       (sem_seq …
 156         (sem_parmoveL ???? Hneq Hsrc Hdst)
 157         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 158       (sem_nop …)))
 159
 160
 161 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n.
 162   compare src dst sig n ·
 163      (ifTM ?? (partest sig n (match_test src dst sig ?))
 164       (single_finalTM ??
 165         (rewind src dst sig n · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
 166       (nop …)
 167       partest1).
 168
 169 definition R_match_step_false ≝
 170   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 171   ∀ls,x,xs.
 172   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x xs →
 173   ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ?) ∧ outt = int) ∨
 174     (∃ls0,rs0,xs0. nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x rs0 ∧
 175       xs = rs0@xs0 ∧
 176       current sig (nth dst (tape sig) outt (niltape sig)) = None ?) ∨
 177     (∃ls0,rs0.
 178      nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
 179      (* ∀rsj,c.
 180      rs0 = c::rsj → *)
 181      outt = change_vec ??
 182             (change_vec ?? int (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls) (None ?) [ ]) src)
 183             (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (option_hd ? rs0) (tail ? rs0)) dst).
 184
 185 (*definition R_match_step_true ≝
 186   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 187   ∀s,rs.current sig (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s →
 188   current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) ≠ None ? ∧
 189   (∀s1.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s1 → s ≠ s1 →
 190    outt = change_vec ?? int
 191           (tape_move_mono … (nth dst ? int (niltape ?)) (〈Some ? s1,R〉)) dst) ∧
 192   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,rs0.
 193     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 194     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) →
 195     rs0 ≠ [] ∧
 196     ∀cj,rs1.rs0 = cj::rs1 →
 197     ci ≠ cj →
 198     (outt = change_vec ?? int
 199         (tape_move_mono … (nth dst ? int (niltape ?)) (〈None ?,R〉)) dst)).
 200 *)
 201 definition R_match_step_true ≝
 202   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 203   ∀s.current sig (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s →
 204   ∃s1.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s1 ∧
 205   (left ? (nth src ? int (niltape ?)) = [ ] →
 206    (s ≠ s1 →
 207     outt = change_vec ?? int
 208           (tape_move_mono … (nth dst ? int (niltape ?)) (〈None ?,R〉)) dst) ∧
 209    (∀xs,ci,rs,ls0,rs0.
 210     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [] s (xs@ci::rs) →
 211     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 s (xs@rs0) →
 212     rs0 ≠ [] ∧
 213     ∀cj,rs1.rs0 = cj::rs1 →
 214     ci ≠ cj →
 215     (outt = change_vec ?? int
 216         (tape_move_mono … (nth dst ? int (niltape ?)) (〈None ?,R〉)) dst))).
 217
 218 lemma sem_match_step :
 219   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 220   match_step src dst sig n ⊨
 221     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 222       R_match_step_true src dst sig n,
 223       R_match_step_false src dst sig n ].
 224 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 225 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)
 226     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ?))
 227       (sem_seq …
 228         (sem_parmoveL ???? Hneq Hsrc Hdst)
 229         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 230       (sem_nop …)))
 231 [#ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * #Htest
 232  * #te * #Hte #Htb #s #Hcurta_src whd
 233  cut (∃s1.current sig (nth dst (tape sig) ta (niltape sig))=Some sig s1)
 234  [ lapply Hcomp1 -Hcomp1
 235    lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 236    cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 237    [ #Hcurta_dst #Hcomp1 >Hcomp1 in Htest; // *
 238      change with (vec_map ?????) in match (current_chars ???); whd in ⊢ (??%?→?);
 239      <(nth_vec_map ?? (current ?) src ? ta (niltape ?))
 240      <(nth_vec_map ?? (current ?) dst ? ta (niltape ?))
 241      >Hcurta_src >Hcurta_dst whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 242    | #s1 #_ #_ %{s1} % ] ]
 243  * #s1 #Hcurta_dst %{s1} % // #Hleftta %
 244  [ #Hneqss1 -Hcomp2 cut (tc = ta)
 245    [@Hcomp1 %1 %1 >Hcurta_src >Hcurta_dst @(not_to_not … Hneqss1) #H destruct (H) //]
 246     #H destruct (H) -Hcomp1 cut (td = ta)
 247     [ cases Htest -Htest // ] #Htdta destruct (Htdta)
 248     cases Hte -Hte #Hte #_
 249     cases (current_to_midtape … Hcurta_src) #ls * #rs #Hmidta_src
 250     cases (current_to_midtape … Hcurta_dst) #ls0 * #rs0 #Hmidta_dst
 251     >Hmidta_src in Hleftta; normalize in ⊢ (%→?); #Hls destruct (Hls)
 252     >(Hte s [ ] rs Hmidta_src ls0 s1 [ ] rs0 (refl ??) Hmidta_dst) in Htb;
 253     * whd in ⊢ (%→?);
 254     mid
 255
 256       in Htb;
 257     cut (te = ta)
 258     [ cases Htest -Htest #Htest #Htdta <Htdta @Hte %1 >Htdta @Hcurta_src %{s} % //]
 259     -Hte #H destruct (H) %
 260     [cases Htb * #_ #Hmove #Hmove1 @(eq_vec … (niltape … ))
 261      #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 262       [ >Hidst >nth_change_vec // cases (current_to_midtape … Hcurta_dst)
 263         #ls * #rs #Hta_mid >(Hmove … Hta_mid) >Hta_mid cases rs //
 264       | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @Hmove1 @sym_not_eq // ]
 265     | whd in Htest:(??%?); >(nth_vec_map ?? (current sig)) in Hcurta_src; #Hcurta_src
 266       >Hcurta_src in Htest; whd in ⊢ (??%?→?);
 267       cases (is_endc s) // whd in ⊢ (??%?→?); #H @sym_eq //
 268     ]
 269    <(nth_vec_map ?? (current ?) dst ? tc (niltape ?))
 270     >Hcurta_src normalize
 271    lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 272    cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 273    [| #s1 #Hcurta_dst %
 274      [ % #Hfalse destruct (Hfalse)
 275      | #s1' #Hs1 destruct (Hs1) #Hneqss1 -Hcomp2
 276        cut (tc = ta)
 277        [@Hcomp1 %1 %1 >Hcurta_src >Hcurta_dst @(not_to_not … Hneqss1) #H destruct (H) //]
 278        #H destruct (H) -Hcomp1 cases Hte -Hte #_ #Hte
 279        cut (te = ta) [ cases Htest -Htest #Htest #Htdta <Htdta @Hte %1 %{s} % //] -Hte #H destruct (H) %
 280        [cases Htb * #_ #Hmove #Hmove1 @(eq_vec … (niltape … ))
 281         #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 282          [ >Hidst >nth_change_vec // cases (current_to_midtape … Hcurta_dst)
 283            #ls * #rs #Hta_mid >(Hmove … Hta_mid) >Hta_mid cases rs //
 284          | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @Hmove1 @sym_not_eq // ]
 285        | whd in Htest:(??%?); >(nth_vec_map ?? (current sig)) in Hcurta_src; #Hcurta_src
 286          >Hcurta_src in Htest; whd in ⊢ (??%?→?);
 287          cases (is_endc s) // whd in ⊢ (??%?→?); #H @sym_eq //
 288        ]
 289
 290       ]
 291    #Hcurta_dst >Hcomp1 in Htest; [| %2 %2 //]
 292    whd in ⊢ (??%?→?); change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 293     <nth_vec_map >Hcurta_src whd in ⊢ (??%?→?); <nth_vec_map
 294     >Hcurta_dst cases (is_endc s) normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 295  | #Hstart #Hnotstart %
 296    [ #s1 #Hcurta_dst #Hneqss1 -Hcomp2
 297      cut (tc = ta)
 298      [@Hcomp1 %2 %1 %1 >Hcurta_src >Hcurta_dst @(not_to_not … Hneqss1) #H destruct (H) //]
 299      #H destruct (H) -Hcomp1 cases Hte #_ -Hte #Hte
 300      cut (te = ta) [@Hte %1 %1 %{s} % //] -Hte #H destruct (H) %
 301      [cases Htb * #_ #Hmove #Hmove1 @(eq_vec … (niltape … ))
 302       #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 303        [ >Hidst >nth_change_vec // cases (current_to_midtape … Hcurta_dst)
 304          #ls * #rs #Hta_mid >(Hmove … Hta_mid) >Hta_mid cases rs //
 305        | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @Hmove1 @sym_not_eq // ]
 306      | whd in Htest:(??%?); >(nth_vec_map ?? (current sig)) in Hcurta_src; #Hcurta_src
 307        >Hcurta_src in Htest; whd in ⊢ (??%?→?);
 308        cases (is_endc s) // whd in ⊢ (??%?→?); #H @sym_eq //
 309      ]
 310    |#ls #x #xs #ci #rs #ls0 #rs00 #Htasrc_mid #Htadst_mid #Hnotendc
 311     cases (Hcomp2 … Htasrc_mid Htadst_mid Hnotendc)
 312     [ * #Hrs00 #Htc >Htc in Htest; whd in ⊢ (??%?→?);
 313       <(nth_vec_map ?? (current sig) ??? (niltape ?))
 314       >change_vec_commute // >nth_change_vec // whd in ⊢ (??%?→?);
 315       cases (is_endc ci)
 316       [ whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 317       | <(nth_vec_map ?? (current sig) ??? (niltape ?))
 318         >change_vec_commute [| @sym_not_eq // ] >nth_change_vec //
 319         >(?:current ? (mk_tape ?? (None ?) ?) = None ?)
 320         [ whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 321         | cases (reverse sig xs@x::ls0) normalize // ] ] ]
 322     * #cj' * #rs0' * #Hcjrs0 destruct (Hcjrs0) -Hcomp2 #Hcomp2 % [ %
 323     [ cases (true_or_false (is_endc ci)) //
 324       #Hendci >(Hcomp2 (or_introl … Hendci)) in Htest;
 325       whd in ⊢ (??%?→?); <(nth_vec_map ?? (current sig) ??? (niltape ?))
 326         >change_vec_commute // >nth_change_vec // whd in ⊢ (??%?→?);
 327         >Hendci normalize //
 328     | % #H destruct (H) ] ] #cj #rs1 #H destruct (H) #Hcicj
 329     lapply (Hcomp2 (or_intror ?? Hcicj)) -Hcomp2 #Htc %
 330     [ cases Hte -Hte #Hte #_ whd in Hte;
 331       >Htasrc_mid in Hcurta_src; whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 332       lapply (Hte ls ci (reverse ? xs) rs s ??? ls0 cj (reverse ? xs) s rs1 (refl ??) ?) //
 333       [ >Htc >nth_change_vec //
 334       | #c0 #Hc0 @(Hnotstart c0) >Htasrc_mid cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 335         [@memb_append_l2 >(\P Hc0) @memb_hd
 336         |@memb_append_l1 <(reverse_reverse …xs) @memb_reverse //
 337         ]
 338       | >Htc >change_vec_commute // >nth_change_vec // ] -Hte
 339       >Htc >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 340       >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec #Hte
 341       >Hte in Htb; * * #_ >reverse_reverse #Htbdst1 #Htbdst2 -Hte @(eq_vec … (niltape ?))
 342       #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 343       [ >Hidst >nth_change_vec // >(Htbdst1 ls0 s (xs@cj::rs1))
 344         [| >nth_change_vec // ]
 345         >Htadst_mid cases xs //
 346       | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ]
 347         <Htbdst2 [| @sym_not_eq // ] >nth_change_vec_neq [| @sym_not_eq // ]
 348         <Htasrc_mid >change_vec_same % ]
 349     | >Hcurta_src in Htest; whd in ⊢(??%?→?);
 350       >Htc >change_vec_commute //
 351       change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 352       <nth_vec_map >nth_change_vec // whd in ⊢ (??%?→?);
 353       cases (is_endc ci) whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) %
 354     ]
 355    ]
 356   ]
 357 |#intape #outtape #ta * #Hcomp1 #Hcomp2 * #tb * * #Hc #Htb
 358  whd in ⊢ (%→?); #Hout >Hout >Htb whd
 359  #ls #c_src #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
 360  lapply (current_to_midtape sig (nth dst ? intape (niltape ?)))
 361  cases (current … (nth dst ? intape (niltape ?))) in Hcomp1;
 362   [#Hcomp1 #_ %1 % % [% | @Hcomp1 %2 %2 % ]
 363   |#c_dst cases (true_or_false (c_src == c_dst)) #Hceq
 364     [#_ #Hmid_dst cases (Hmid_dst c_dst (refl …)) -Hmid_dst
 365      #ls_dst * #rs_dst #Hmid_dst
 366      cases (comp_list … (xs@end::rs) rs_dst is_endc) #xs1 * #rsi * #rsj * * *
 367      #Hrs_src #Hrs_dst #Hnotendxs1 #Hneq >Hrs_dst in Hmid_dst; #Hmid_dst
 368      cut (∃r1,rs1.rsi = r1::rs1)
 369      [cases rsi in Hrs_src;
 370        [ >append_nil #H <H in Hnotendxs1; #Hnotendxs1
 371          >(Hnotendxs1 end) in Hend; [ #H1 destruct (H1) ]
 372          @memb_append_l2 @memb_hd
 373        | #r1 #rs1 #_ %{r1} %{rs1} % ] ]
 374      * #r1 * #rs1 #Hrs1 >Hrs1 in Hrs_src;
 375      #Hrs_src >Hrs_src in Hmid_src; #Hmid_src <(\P Hceq) in Hmid_dst; #Hmid_dst
 376      lapply (Hcomp2 ??????? Hmid_src Hmid_dst ?)
 377      [ #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 378        [ >(\P Hc0) @Hnotend @memb_hd | @Hnotendxs1 //] ]
 379      *
 380      [ * #Hrsj >Hrsj #Hta % %2 >Hta >nth_change_vec //
 381        %{ls_dst} %{xs1} cut (∃xs0.xs = xs1@xs0)
 382        [lapply Hnotendxs1 -Hnotendxs1 lapply Hrs_src lapply xs elim xs1
 383          [ #l #_ #_ %{l} %
 384          | #x2 #xs2 #IH *
 385            [ whd in ⊢ (??%%→?); #H destruct (H) #Hnotendxs2
 386              >Hnotendxs2 in Hend; [ #H destruct (H) |@memb_hd ]
 387            | #x2' #xs2' whd in ⊢ (??%%→?); #H destruct (H)
 388              #Hnotendxs2 cases (IH xs2' e0 ?)
 389              [ #xs0 #Hxs2 %{xs0} @eq_f //
 390              |#c #Hc @Hnotendxs2 @memb_cons // ]
 391            ]
 392          ]
 393        ] * #xs0 #Hxs0 %{xs0} % [ %
 394        [ >Hmid_dst >Hrsj >append_nil %
 395        | @Hxs0 ]
 396        | cases (reverse ? xs1) // ]
 397      | * #cj * #rs2 * #Hrsj #Hta lapply (Hta ?)
 398        [ cases (Hneq ?? Hrs1) /2/ * #_ #Hr1 %2 @(Hr1 ?? Hrsj) ] -Hta #Hta
 399        %2 >Hta in Hc; whd in ⊢ (??%?→?);
 400        change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 401        <nth_vec_map >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 402        whd in ⊢ (??%?→?); #Hc cut (is_endc r1 = true)
 403        [ cases (is_endc r1) in Hc; whd in ⊢ (??%?→?); //
 404          change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 405          <nth_vec_map >nth_change_vec // normalize #H destruct (H) ]
 406        #Hendr1 cut (xs = xs1)
 407        [ lapply Hnotendxs1 lapply Hnotend lapply Hrs_src lapply xs1
 408          -Hnotendxs1 -Hnotend -Hrs_src -xs1 elim xs
 409          [ * normalize in ⊢ (%→?); //
 410            #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #_ #Hnotendxs1
 411            lapply (Hnotendxs1 ? (memb_hd …)) >Hend #H destruct (H)
 412          | #x2 #xs2 #IH *
 413            [ normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #Hnotendc
 414              >Hnotendc in Hendr1; [| @memb_cons @memb_hd ]
 415              normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 416            | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 417              #Hnotendc #Hnotendcxs1 @eq_f @IH
 418              [ @(cons_injective_r … Heq)
 419              | #c0 #Hc0 @Hnotendc cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 420                [ >(\P Hc0) @memb_hd
 421                | @memb_cons @memb_cons // ]
 422              | #c #Hc @Hnotendcxs1 @memb_cons // ]
 423            ]
 424          ]
 425        | #Hxsxs1 destruct (Hxsxs1) >Hmid_dst %{ls_dst} %{rsj} % //
 426          #rsj0 #c >Hrsj #Hrsj0 destruct (Hrsj0)
 427          lapply (append_l2_injective … Hrs_src) // #Hrs' destruct (Hrs') %
 428        ]
 429      ]
 430     |#Hcomp1 #Hsrc cases (Hsrc ? (refl ??)) -Hsrc #ls0 * #rs0 #Hdst
 431      @False_ind lapply (Hcomp1 ?) [%2 %1 %1 >Hmid_src normalize
 432      @(not_to_not ??? (\Pf Hceq)) #H destruct //] #Hintape >Hintape in Hc;
 433      whd in ⊢(??%?→?); >Hmid_src
 434      change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 435      <nth_vec_map >Hmid_src whd in ⊢ (??%?→?);
 436      >(Hnotend c_src) [|@memb_hd]
 437      change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 438      <nth_vec_map >Hmid_src whd in ⊢ (??%?→?); >Hdst normalize #H destruct (H)
 439    ]
 440   ]
 441 ]
 442 qed.
 443
 444 definition match_m ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 445   whileTM … (match_step src dst sig n is_startc is_endc)
 446     (inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop)))).
 447
 448 definition R_match_m ≝
 449   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 450   ∀ls,x,xs,end,rs.
 451   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) →
 452   (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → is_endc end = true →
 453   (∀c0. memb ? c0 (xs@end::rs) = true → is_startc c0 = false) →
 454   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? → outt = int) ∧
 455   (is_startc x = true →
 456    (∀ls0,x0,rs0.
 457     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 458     (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::xs@l1 ∧
 459      ∀cj,l2.l1=cj::l2 →
 460      outt = change_vec ??
 461             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
 462             (midtape sig ((reverse ? (l@x::xs))@ls0) cj l2) dst) ∨
 463     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::xs@l1)).
 464
 465 lemma not_sub_list_merge :
 466   ∀T.∀a,b:list T. (∀l1.a ≠ b@l1) → (∀t,l,l1.a ≠ t::l@b@l1) → ∀l,l1.a ≠ l@b@l1.
 467 #T #a #b #H1 #H2 #l elim l normalize //
 468 qed.
 469
 470 lemma not_sub_list_merge_2 :
 471   ∀T:DeqSet.∀a,b:list T.∀t. (∀l1.t::a ≠ b@l1) → (∀l,l1.a ≠ l@b@l1) → ∀l,l1.t::a ≠ l@b@l1.
 472 #T #a #b #t #H1 #H2 #l elim l //
 473 #t0 #l1 #IH #l2 cases (true_or_false (t == t0)) #Htt0
 474 [ >(\P Htt0) % normalize #H destruct (H) cases (H2 l1 l2) /2/
 475 | normalize % #H destruct (H) cases (\Pf Htt0) /2/ ]
 476 qed.
 477
 478
 479 lemma wsem_match_m : ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 480 src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 481   match_m src dst sig n is_startc is_endc ⊫ R_match_m src dst sig n is_startc is_endc.
 482 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 483 lapply (sem_while … (sem_match_step src dst sig n is_startc is_endc Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 484 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 485 [ #Hfalse #ls #x #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend #Hnotstart
 486   cases (Hfalse … Hmid_src Hnotend Hend) -Hfalse
 487   [(* current dest = None *) *
 488     [ * #Hcur_dst #Houtc %
 489       [#_ >Houtc //
 490       |#Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcur_dst;
 491        normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 492       ]
 493     | * #ls0 * #rs0 * #xs0 * * #Htc_dst #Hrs0 #HNone %
 494       [ >Htc_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 495       | #Hstart #ls1 #x1 #rs1 >Htc_dst #H destruct (H)
 496         >Hrs0 cases xs0
 497         [ % %{[ ]} %{[ ]} % [ >append_nil >append_nil %]
 498           #cj #ls2 #H destruct (H)
 499         | #x2 #xs2 %2 #l #l1 % #Habs lapply (eq_f ?? (length ?) ?? Habs)
 500           >length_append whd in ⊢ (??%(??%)→?); >length_append
 501           >length_append normalize >commutative_plus whd in ⊢ (???%→?);
 502           #H destruct (H) lapply e0 >(plus_n_O (|rs1|)) in ⊢ (??%?→?);
 503           >associative_plus >associative_plus
 504           #e1 lapply (injective_plus_r ??? e1) whd in ⊢ (???%→?);
 505           #e2 destruct (e2)
 506         ]
 507       ]
 508     ]
 509   |* #ls0 * #rs0 * #Hmid_dst #HFalse %
 510     [ >Hmid_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 511     | #Hstart #ls1 #x1 #rs1 >Hmid_dst #H destruct (H)
 512      %1 %{[ ]} %{rs0} % [%] #cj #l2 #Hnotnil
 513      >reverse_cons >associative_append @(HFalse ?? Hnotnil)
 514     ]
 515   ]
 516 |-ta #ta #tc #Htrue #Hstar #IH #Hout lapply (IH Hout) -IH -Hout #IH whd
 517  #ls #x #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend #Hnotstart
 518  lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 519  cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 520   [#Hmid_dst %
 521     [#_ whd in Htrue; >Hmid_src in Htrue; #Htrue
 522      cases (Htrue x (refl … )) -Htrue * #Htaneq #_
 523      @False_ind >Hmid_dst in Htaneq; /2/
 524     |#Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst2 >Hmid_dst2 in Hmid_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 525      #H destruct (H)
 526     ]
 527   | #c #Hcurta_dst % [ >Hcurta_dst #H destruct (H) ]
 528     #Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcurta_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 529     #H destruct (H) whd in Htrue; >Hmid_src in Htrue; #Htrue
 530     cases (Htrue x (refl …)) -Htrue #_ #Htrue cases (Htrue Hstart Hnotstart) -Htrue
 531     cases (true_or_false (x==c)) #eqx
 532     [ lapply (\P eqx) -eqx #eqx destruct (eqx)
 533       #_ #Htrue cases (comp_list ? (xs@end::rs) rs0 is_endc)
 534       #x1 * #tl1 * #tl2 * * * #Hxs #Hrs0 #Hnotendx1
 535       cases tl1 in Hxs;
 536       [>append_nil #Hx1 <Hx1 in Hnotendx1; #Hnotendx1
 537        lapply (Hnotendx1 end ?) [ @memb_append_l2 @memb_hd ]
 538        >Hend #H destruct (H) ]
 539       #ci -tl1 #tl1 #Hxs #H cases (H … (refl … )) -H
 540       [ #Hendci % >Hrs0 in Hmid_dst; cut (ci = end ∧ x1 = xs)
 541         [ lapply Hxs lapply Hnotendx1 lapply x1 elim xs in Hnotend;
 542           [ #_ *
 543             [ #_ normalize #H destruct (H) /2/
 544             | #x2 #xs2 #Hnotendx2 normalize #H destruct (H)
 545               >(Hnotendx2 ? (memb_hd …)) in Hend; #H destruct (H) ]
 546           | #x2 #xs2 #IH #Hnotendx2 *
 547             [ #_ normalize #H destruct (H) >(Hnotendx2 ci ?) in Hendci;
 548               [ #H destruct (H)
 549               | @memb_cons @memb_hd ]
 550             | #x3 #xs3 #Hnotendx3 normalize #H destruct (H)
 551               cases (IH … e0)
 552               [ #H1 #H2 /2/
 553               | #c0 #Hc0 @Hnotendx2 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 554                 [ >(\P Hc0) @memb_hd
 555                 | @memb_cons @memb_cons @Hc0 ]
 556               | #c0 #Hc0 @Hnotendx3 @memb_cons @Hc0 ]
 557             ]
 558           ]
 559         | * #Hcieq #Hx1eq >Hx1eq #Hmid_dst
 560           cases (Htrue ??????? (refl ??) Hmid_dst Hnotend)
 561           <Hcieq >Hendci * #H destruct (H) ]
 562       |cases tl2 in Hrs0;
 563         [ >append_nil #Hrs0 destruct (Hrs0) * #Hcifalse#_ %2
 564           cut (∃l.xs = x1@ci::l)
 565           [lapply Hxs lapply Hnotendx1 lapply Hnotend lapply xs
 566            -Hxs -xs -Hnotendx1 elim x1
 567             [ *
 568               [ #_ #_ normalize #H1 destruct (H1) >Hend in Hcifalse;
 569                 #H1 destruct (H1)
 570               | #x2 #xs2 #_ #_ normalize #H >(cons_injective_l ????? H) %{xs2} % ]
 571             | #x2 #xs2 #IHin *
 572               [ #_ #Hnotendxs2 normalize #H destruct (H)
 573                 >(Hnotendxs2 ? (memb_hd …)) in Hend; #H destruct (H)
 574               | #x3 #xs3 #Hnotendxs3 #Hnotendxs2 normalize #H destruct (H)
 575                 cases (IHin ??? e0)
 576                 [ #xs4 #Hxs4 >Hxs4 %{xs4} %
 577                 | #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 578                   [ >(\P Hc0) @Hnotendxs3 @memb_hd
 579                   | @Hnotendxs3 @memb_cons @memb_cons @Hc0 ]
 580                 | #c0 #Hc0 @Hnotendxs2 @memb_cons @Hc0 ]
 581               ]
 582             ]
 583           ] * #l #Hxs' >Hxs'
 584           #l0 #l1 % #H lapply (eq_f ?? (length ?) ?? H) -H
 585           >length_append normalize >length_append >length_append
 586           normalize >commutative_plus normalize #H destruct (H) -H
 587           >associative_plus in e0; >associative_plus
 588           >(plus_n_O (|x1|)) in ⊢(??%?→?); #H lapply (injective_plus_r … H)
 589           -H normalize #H destruct (H)
 590         | #cj #tl2' #Hrs0 * #Hcifalse #Hcomp
 591           lapply (Htrue ls c x1 ci tl1 ls0 (cj::tl2') ???)
 592           [ #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) #Hc0
 593             [ @Hnotend >(\P Hc0) @memb_hd
 594             | @Hnotendx1 // ]
 595           | >Hmid_dst >Hrs0 %
 596           | >Hxs %
 597           | * * #_ #_ -Htrue #Htrue lapply (Htrue ?? (refl ??) ?) [  @(Hcomp ?? (refl ??)) ]
 598             * #Htb >Htb #Hendci >Hrs0 >Hxs
 599             cases (IH ls c xs end rs ? Hnotend Hend Hnotstart) -IH
 600             [| >Htb >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src ]
 601             #_ #IH lapply Hxs lapply Hnotendx1 -Hxs -Hnotendx1 cases x1 in Hrs0;
 602             [ #Hrs0 #_ whd in ⊢ (???%→?); #Hxs
 603               cases (IH Hstart (c::ls0) cj tl2' ?)
 604               [ -IH * #l * #l1 * #Hll1 #IH % %{(c::l)} %{l1}
 605                 % [ @eq_f @Hll1 ]
 606                 #cj0 #l2 #Hcj0 >(IH … Hcj0) >Htb
 607                 >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 608                 >change_vec_commute [|@sym_not_eq // ] @eq_f3 //
 609                 >reverse_cons >associative_append %
 610               | #IH %2 #l #l1 >(?:l@c::xs@l1 = l@(c::xs)@l1) [|%]
 611                 @not_sub_list_merge
 612                 [ #l2 cut (∃xs'.xs = ci::xs')
 613                   [ cases xs in Hxs;
 614                     [ normalize #H destruct (H) >Hend in Hendci; #H destruct (H)
 615                     | #ci' #xs' normalize #H lapply (cons_injective_l ????? H)
 616                       #H1 >H1 %{xs'} % ]
 617                   ]
 618                   * #xs' #Hxs' >Hxs' normalize % #H destruct (H)
 619                   lapply (Hcomp … (refl ??)) * /2/
 620                 |#t #l2 #l3 % normalize #H lapply (cons_injective_r ????? H)
 621                  -H #H >H in IH; #IH cases (IH l2 l3) -IH #IH @IH % ]
 622               | >Htb >nth_change_vec // >Hmid_dst >Hrs0 % ]
 623             | #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Hrs0 #Hnotendxs2 normalize in ⊢ (%→?);
 624               #Hxs cases (IH Hstart (c::ls0) x2 (xs2@cj::tl2') ?)
 625               [ -IH * #l * #l1 * #Hll1 #IH % %{(c::l)} %{l1}
 626                 % [ @eq_f @Hll1 ]
 627                 #cj0 #l2 #Hcj0 >(IH … Hcj0) >Htb
 628                 >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 629                 >change_vec_commute [|@sym_not_eq // ] @eq_f3 //
 630                 >reverse_cons >associative_append %
 631               | -IH #IH %2 #l #l1 >(?:l@c::xs@l1 = l@(c::xs)@l1) [|%]
 632                 @not_sub_list_merge_2 [| @IH]
 633                 cut (∃l2.xs = (x2::xs2)@ci::l2)
 634                 [lapply Hnotendxs2
 635                  lapply Hnotend -Hnotend lapply Hxs
 636                  >(?:x2::xs2@ci::tl1 = (x2::xs2)@ci::tl1) [|%]
 637                  lapply (x2::xs2) elim xs
 638                   [ *
 639                     [ normalize in ⊢ (%→?); #H1 destruct (H1)
 640                       >Hendci in Hend; #Hend destruct (Hend)
 641                     | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #H1 destruct (H1)
 642                       #_ #Hnotendx3 >(Hnotendx3 ? (memb_hd …)) in Hend;
 643                       #Hend destruct (Hend)
 644                     ]
 645                   | #x3 #xs3 #IHin *
 646                     [ normalize in ⊢ (%→?); #Hxs3 destruct (Hxs3) #_ #_
 647                       %{xs3} %
 648                     | #x4 #xs4 normalize in ⊢ (%→?); #Hxs3xs4 #Hnotend
 649                       #Hnotendxs4 destruct (Hxs3xs4) cases (IHin ? e0 ??)
 650                       [ #l0 #Hxs3 >Hxs3 %{l0} %
 651                       | #c0 #Hc0 @Hnotend cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 652                         [ >(\P Hc0) @memb_hd
 653                         | @memb_cons @memb_cons @Hc0 ]
 654                       | #c0 #Hc0 @Hnotendxs4 @memb_cons //
 655                       ]
 656                     ]
 657                   ]
 658                 ] * #l2 #Hxs'
 659                 >Hxs' #l3 normalize >associative_append normalize % #H
 660                 destruct (H) lapply (append_l2_injective ?????? e1) //
 661                 #H1 destruct (H1) cases (Hcomp ?? (refl ??)) /2/
 662               | >Htb >nth_change_vec // >Hmid_dst >Hrs0 % ]
 663             ]
 664           ]
 665         ]
 666       ]
 667     |lapply (\Pf eqx) -eqx #eqx >Hmid_dst #Htrue
 668      cases (Htrue ? (refl ??) eqx) -Htrue #Htb #Hendcx #_
 669      cases rs0 in Htb;
 670      [ #_ %2 #l #l1 cases l
 671        [ normalize cases xs
 672          [ cases l1
 673            [ normalize % #H destruct (H) cases eqx /2/
 674            | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 675          | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 676        | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H)cases l2 in e0;
 677          [ normalize #H1 destruct (H1)
 678          | #tmp2 #l3 normalize #H1 destruct (H1) ]
 679        ]
 680      | #r1 #rs1 normalize in ⊢ (???(????%?)→?); #Htb >Htb in IH; #IH
 681        cases (IH ls x xs end rs ? Hnotend Hend Hnotstart)
 682        [| >Htb >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src ] -IH
 683        #_ #IH cases (IH Hstart (c::ls0) r1 rs1 ?)
 684        [|| >nth_change_vec // ] -IH
 685        [ * #l * #l1 * #Hll1 #Hout % %{(c::l)} %{l1} % >Hll1 //
 686          >reverse_cons >associative_append #cj0 #ls #Hl1 >(Hout ?? Hl1)
 687          >change_vec_commute in ⊢ (??(???%??)?); // @sym_not_eq //
 688        | #IH %2 @(not_sub_list_merge_2 ?? (x::xs)) normalize [|@IH]
 689          #l1 % #H destruct (H) cases eqx /2/
 690        ]
 691     ]
 692   ]
 693 ]
 694 qed.
 695
 696 definition Pre_match_m ≝
 697   λsrc,sig,n,is_startc,is_endc.λt: Vector (tape sig) (S n).
 698   ∃start,xs,end.
 699   nth src (tape sig) t (niltape sig) = midtape ? [] start (xs@[end]) ∧
 700   is_startc start = true ∧
 701   (∀c.c ∈ (xs@[end]) = true → is_startc c = false) ∧
 702   (∀c.c ∈ (start::xs) = true → is_endc c = false) ∧
 703   is_endc end = true.
 704
 705 lemma terminate_match_m :
 706   ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc,t.
 707   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 708   Pre_match_m src sig n is_startc is_endc t →
 709   match_m src dst sig n is_startc is_endc ↓ t.
 710 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #t #Hneq #Hsrc #Hdst * #start * #xs * #end
 711 * * * * #Hmid_src #Hstart #Hnotstart #Hnotend #Hend
 712 @(terminate_while … (sem_match_step src dst sig n is_startc is_endc Hneq Hsrc Hdst)) //
 713 <(change_vec_same … t dst (niltape ?))
 714 lapply (refl ? (nth dst (tape sig) t (niltape ?)))
 715 cases (nth dst (tape sig) t (niltape ?)) in ⊢ (???%→?);
 716 [ #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 717   >Hmid_src #HR cases (HR ? (refl ??)) -HR
 718   >nth_change_vec // >Htape_dst normalize in ⊢ (%→?);
 719   * #H @False_ind @H %
 720 | #x0 #xs0 #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 721   >Hmid_src #HR cases (HR ? (refl ??)) -HR
 722   >nth_change_vec // >Htape_dst normalize in ⊢ (%→?);
 723   * #H @False_ind @H %
 724 | #x0 #xs0 #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 725   >Hmid_src #HR cases (HR ? (refl ??)) -HR
 726   >nth_change_vec // >Htape_dst normalize in ⊢ (%→?);
 727   * #H @False_ind @H %
 728 | #ls #s #rs lapply s -s lapply ls -ls lapply Hmid_src lapply t -t elim rs
 729   [#t #Hmid_src #ls #s #Hmid_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 730    >Hmid_src >nth_change_vec // >Hmid_dst #HR cases (HR ? (refl ??)) -HR #_
 731    #HR cases (HR Hstart Hnotstart)
 732    cases (true_or_false (start == s)) #Hs
 733    [ lapply (\P Hs) -Hs #Hs <Hs #_ #Htrue
 734      cut (∃ci,xs1.xs@[end] = ci::xs1)
 735      [ cases xs
 736        [ %{end} %{[]} %
 737        | #x1 #xs1 %{x1} %{(xs1@[end])} % ] ] * #ci * #xs1 #Hxs
 738      >Hxs in Htrue; #Htrue
 739      cases (Htrue [ ] start [ ] ? xs1 ? [ ] (refl ??) (refl ??) ?)
 740      [ * #_ * #H @False_ind @H % ]
 741      #c0 #Hc0 @Hnotend >(memb_single … Hc0) @memb_hd
 742    | lapply (\Pf Hs) -Hs #Hs #Htrue #_
 743      cases (Htrue ? (refl ??) Hs) -Htrue #Ht1 #_ %
 744      #t2 whd in ⊢ (%→?); #HR cases (HR start ?)
 745      [ >Ht1 >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); * #H @False_ind @H %
 746      | >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 747        >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmid_src % ]
 748    ]
 749   |#r0 #rs0 #IH #t #Hmid_src #ls #s #Hmid_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?);
 750    >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmid_src
 751    #Htrue cases (Htrue ? (refl ??)) -Htrue #_ #Htrue
 752    <(change_vec_same … t1 dst (niltape ?))
 753    cases (Htrue Hstart Hnotstart) -Htrue
 754    cases (true_or_false (start == s)) #Hs
 755    [ lapply (\P Hs) -Hs #Hs <Hs #_ #Htrue
 756     cut (∃ls0,xs0,ci,rs,rs0.
 757       nth src ? t (niltape ?) = midtape sig [ ] start (xs0@ci::rs) ∧
 758       nth dst ? t (niltape ?) = midtape sig ls0 s (xs0@rs0) ∧
 759       (is_endc ci = true ∨ (is_endc ci = false ∧ (∀b,tlb.rs0 = b::tlb → ci ≠ b))))
 760     [cases (comp_list ? (xs@[end]) (r0::rs0) is_endc) #xs0 * #xs1 * #xs2
 761       * * * #Hxs #Hrs #Hxs0notend #Hcomp >Hrs
 762       cut (∃y,ys. xs1 = y::ys)
 763       [ lapply Hxs0notend lapply Hxs lapply xs0 elim xs
 764         [ *
 765           [ normalize #Hxs1 <Hxs1 #_ %{end} %{[]} %
 766           | #z #zs normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) #H
 767             lapply (H ? (memb_hd …)) -H >Hend #H1 destruct (H1)
 768           ]
 769         | #y #ys #IH0 *
 770           [ normalize in ⊢ (%→?); #Hxs1 <Hxs1 #_ %{y} %{(ys@[end])} %
 771           | #z #zs normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) #Hmemb
 772             @(IH0 ? e0 ?) #c #Hc @Hmemb @memb_cons // ] ] ] * #y * #ys #Hxs1
 773       >Hxs1 in Hxs; #Hxs >Hmid_src >Hmid_dst >Hxs >Hrs
 774       %{ls} %{xs0} %{y} %{ys} %{xs2}
 775       % [ % // | @Hcomp // ] ]
 776     * #ls0 * #xs0 * #ci * #rs * #rs0 * * #Hmid_src' #Hmid_dst' #Hcomp
 777     <Hmid_src in Htrue; >nth_change_vec // >Hs #Htrue destruct (Hs)
 778     lapply (Htrue ??????? Hmid_src' Hmid_dst' ?) -Htrue
 779     [ #c0 #Hc0 @Hnotend cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 780       [ whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 781       | @memb_cons >Hmid_src in Hmid_src'; #Hmid_src' destruct (Hmid_src')
 782         lapply e0 -e0 @(list_elim_left … rs)
 783         [ #e0 destruct (e0) lapply (append_l1_injective_r ?????? e0) //
 784         | #x1 #xs1 #_ >append_cons in ⊢ (???%→?);
 785           <associative_append #e0 lapply (append_l1_injective_r ?????? e0) //
 786           #e1 >e1 @memb_append_l1 @memb_append_l1 // ] ]
 787     | * * #Hciendc cases rs0 in Hcomp;
 788       [ #_ * #H @False_ind @H %
 789       | #r1 #rs1 * [ >Hciendc #H destruct (H) ]
 790         * #_ #Hcomp lapply (Hcomp ?? (refl ??)) -Hcomp #Hcomp #_ #Htrue
 791         cases (Htrue ?? (refl ??) Hcomp) #Ht1 #_ >Ht1 @(IH ?? (s::ls) r0)
 792         [ >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 793           >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src
 794         | >nth_change_vec // >Hmid_dst % ] ] ]
 795   | >Hmid_dst >nth_change_vec // lapply (\Pf Hs) -Hs #Hs #Htrue #_
 796     cases (Htrue ? (refl ??) Hs) #Ht1 #_ >Ht1 @(IH ?? (s::ls) r0)
 797     [ >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 798       >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src
 799     | >nth_change_vec // ] ] ] ]
 800 qed.