matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/multi_universal/moves.ma".
  16 include "turing/if_multi.ma".
  17 include "turing/inject.ma".
  18 include "turing/basic_machines.ma".
  19
  20 definition compare_states ≝ initN 3.
  21
  22 definition comp0 : compare_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
  23 definition comp1 : compare_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
  24 definition comp2 : compare_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
  25
  26 (*
  27
  28 0) (x,x) → (x,x)(R,R) → 1
  29    (x,y≠x) → None 2
  30 1) (_,_) → None 1
  31 2) (_,_) → None 2
  32
  33 *)
  34
  35 definition trans_compare_step ≝
  36  λi,j.λsig:FinSet.λn.λis_endc.
  37  λp:compare_states × (Vector (option sig) (S n)).
  38  let 〈q,a〉 ≝ p in
  39  match pi1 … q with
  40  [ O ⇒ match nth i ? a (None ?) with
  41    [ None ⇒ 〈comp2,null_action ? n〉
  42    | Some ai ⇒ match nth j ? a (None ?) with
  43      [ None ⇒ 〈comp2,null_action ? n〉
  44      | Some aj ⇒ if notb (is_endc ai) ∧ ai == aj
  45          then 〈comp1,change_vec ? (S n)
  46                       (change_vec ? (S n) (null_action ? n) (Some ? 〈ai,R〉) i)
  47                         (Some ? 〈aj,R〉) j〉
  48          else 〈comp2,null_action ? n〉 ]
  49    ]
  50  | S q ⇒ match q with
  51    [ O ⇒ (* 1 *) 〈comp1,null_action ? n〉
  52    | S _ ⇒ (* 2 *) 〈comp2,null_action ? n〉 ] ].
  53
  54 definition compare_step ≝
  55   λi,j,sig,n,is_endc.
  56   mk_mTM sig n compare_states (trans_compare_step i j sig n is_endc)
  57     comp0 (λq.q == comp1 ∨ q == comp2).
  58
  59 definition R_comp_step_true ≝
  60   λi,j,sig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  61   ∃x.
  62    is_endc x = false ∧
  63    current ? (nth i ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧
  64    current ? (nth j ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧
  65    outt = change_vec ??
  66             (change_vec ?? int
  67               (tape_move ? (nth i ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) i)
  68             (tape_move ? (nth j ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) j.
  69
  70 definition R_comp_step_false ≝
  71   λi,j:nat.λsig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  72    ((∃x.current ? (nth i ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧ is_endc x = true) ∨
  73    current ? (nth i ? int (niltape ?)) ≠ current ? (nth j ? int (niltape ?)) ∨
  74    current ? (nth i ? int (niltape ?)) = None ? ∨
  75    current ? (nth j ? int (niltape ?)) = None ?) ∧ outt = int.
  76
  77 lemma comp_q0_q2_null :
  78   ∀i,j,sig,n,is_endc,v.i < S n → j < S n →
  79   (nth i ? (current_chars ?? v) (None ?) = None ? ∨
  80    nth j ? (current_chars ?? v) (None ?) = None ?) →
  81   step sig n (compare_step i j sig n is_endc) (mk_mconfig ??? comp0 v)
  82   = mk_mconfig ??? comp2 v.
  83 #i #j #sig #n #is_endc #v #Hi #Hj
  84 whd in ⊢ (? → ??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (?→??%?);
  85 * #Hcurrent
  86 [ @eq_f2
  87   [ whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcurrent %
  88   | whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >Hcurrent @tape_move_null_action ]
  89 | @eq_f2
  90   [ whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcurrent cases (nth i ?? (None sig)) //
  91   | whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >Hcurrent
  92     cases (nth i ?? (None sig)) [|#x] @tape_move_null_action ] ]
  93 qed.
  94
  95 lemma comp_q0_q2_neq :
  96   ∀i,j,sig,n,is_endc,v.i < S n → j < S n →
  97   ((∃x.nth i ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? x ∧ is_endc x = true) ∨
  98     nth i ? (current_chars ?? v) (None ?) ≠ nth j ? (current_chars ?? v) (None ?)) →
  99   step sig n (compare_step i j sig n is_endc) (mk_mconfig ??? comp0 v)
 100   = mk_mconfig ??? comp2 v.
 101 #i #j #sig #n #is_endc #v #Hi #Hj lapply (refl ? (nth i ?(current_chars ?? v)(None ?)))
 102 cases (nth i ?? (None ?)) in ⊢ (???%→?);
 103 [ #Hnth #_ @comp_q0_q2_null // % //
 104 | #ai #Hai lapply (refl ? (nth j ?(current_chars ?? v)(None ?)))
 105   cases (nth j ?? (None ?)) in ⊢ (???%→?);
 106   [ #Hnth #_ @comp_q0_q2_null // %2 //
 107   | #aj #Haj *
 108     [ * #c * >Hai #Heq #Hendc whd in ⊢ (??%?);
 109       >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?); @eq_f2
 110       [ whd in match (trans ????); >Hai >Haj destruct (Heq)
 111         whd in ⊢ (??(???%)?); >Hendc //
 112       | whd in match (trans ????); >Hai >Haj destruct (Heq)
 113         whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >Hendc @tape_move_null_action
 114       ]
 115     | #Hneq
 116       whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?); @eq_f2
 117       [ whd in match (trans ????); >Hai >Haj
 118         whd in ⊢ (??(???%)?); cut ((¬is_endc ai∧ai==aj)=false)
 119         [>(\bf ?) /2 by not_to_not/ cases (is_endc ai) // |#Hcut >Hcut //]
 120         | whd in match (trans ????); >Hai >Haj
 121           whd in ⊢ (??(???????(???%))?); cut ((¬is_endc ai∧ai==aj)=false)
 122           [>(\bf ?) /2 by not_to_not/ cases (is_endc ai) //
 123           |#Hcut >Hcut @tape_move_null_action
 124           ]
 125         ]
 126       ]
 127     ]
 128 ]
 129 qed.
 130
 131 lemma comp_q0_q1 :
 132   ∀i,j,sig,n,is_endc,v,a.i ≠ j → i < S n → j < S n →
 133   nth i ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? a → is_endc a = false →
 134   nth j ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? a →
 135   step sig n (compare_step i j sig n is_endc) (mk_mconfig ??? comp0 v) =
 136     mk_mconfig ??? comp1
 137      (change_vec ? (S n)
 138        (change_vec ?? v
 139          (tape_move ? (nth i ? v (niltape ?)) (Some ? 〈a,R〉)) i)
 140        (tape_move ? (nth j ? v (niltape ?)) (Some ? 〈a,R〉)) j).
 141 #i #j #sig #n #is_endc #v #a #Heq #Hi #Hj #Ha1 #Hnotendc #Ha2
 142 whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?); @eq_f2
 143 [ whd in match (trans ????);
 144   >Ha1 >Ha2 whd in ⊢ (??(???%)?); >Hnotendc >(\b ?) //
 145 | whd in match (trans ????);
 146   >Ha1 >Ha2 whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >Hnotendc >(\b ?) //
 147   change with (change_vec ?????) in ⊢ (??(???????%)?);
 148   <(change_vec_same … v j (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
 149   <(change_vec_same … v i (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
 150   >pmap_change >pmap_change >tape_move_null_action
 151   @eq_f2 // @eq_f2 // >nth_change_vec_neq //
 152 ]
 153 qed.
 154
 155 lemma sem_comp_step :
 156   ∀i,j,sig,n,is_endc.i ≠ j → i < S n → j < S n →
 157   compare_step i j sig n is_endc ⊨
 158     [ comp1: R_comp_step_true i j sig n is_endc,
 159              R_comp_step_false i j sig n is_endc ].
 160 #i #j #sig #n #is_endc #Hneq #Hi #Hj #int
 161 lapply (refl ? (current ? (nth i ? int (niltape ?))))
 162 cases (current ? (nth i ? int (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 163 [ #Hcuri %{2} %
 164   [| % [ %
 165     [ whd in ⊢ (??%?); >comp_q0_q2_null /2/ % <Hcuri in ⊢ (???%);
 166       @sym_eq @nth_vec_map
 167     | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 168   | #_ % // % %2 // ] ]
 169 | #a #Ha lapply (refl ? (current ? (nth j ? int (niltape ?))))
 170   cases (current ? (nth j ? int (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 171   [ #Hcurj %{2} %
 172     [| % [ %
 173        [ whd in ⊢ (??%?); >comp_q0_q2_null /2/ %2 <Hcurj in ⊢ (???%);
 174          @sym_eq @nth_vec_map
 175        | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 176        | #_ % // >Ha >Hcurj % % %2 % #H destruct (H) ] ]
 177   | #b #Hb %{2}
 178    cases (true_or_false (is_endc a)) #Haendc
 179     [ %
 180       [| % [ %
 181         [whd in ⊢  (??%?);  >comp_q0_q2_neq //
 182          % %{a} % // <Ha @sym_eq @nth_vec_map
 183         | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 184       | #_ % // % % % >Ha %{a} % // ]
 185       ]
 186     |cases (true_or_false (a == b)) #Hab
 187       [ %
 188         [| % [ %
 189           [whd in ⊢  (??%?);  >(comp_q0_q1 … a Hneq Hi Hj) //
 190             [>(\P Hab) <Hb @sym_eq @nth_vec_map
 191             |<Ha @sym_eq @nth_vec_map ]
 192           | #_ whd >(\P Hab) %{b} % // % // <(\P Hab) % // ]
 193           | * #H @False_ind @H %
 194         ] ]
 195       | %
 196         [| % [ %
 197           [whd in ⊢  (??%?);  >comp_q0_q2_neq //
 198            <(nth_vec_map ?? (current …) i ? int (niltape ?))
 199            <(nth_vec_map ?? (current …) j ? int (niltape ?)) %2 >Ha >Hb
 200            @(not_to_not ??? (\Pf Hab)) #H destruct (H) %
 201           | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 202         | #_ % // % % %2 >Ha >Hb @(not_to_not ??? (\Pf Hab)) #H destruct (H) % ] ]
 203       ]
 204     ]
 205   ]
 206 ]
 207 qed.
 208
 209 definition compare ≝ λi,j,sig,n,is_endc.
 210   whileTM … (compare_step i j sig n is_endc) comp1.
 211
 212 definition R_compare ≝
 213   λi,j,sig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 214   ((∃x.current ? (nth i ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧ is_endc x = true) ∨
 215    (current ? (nth i ? int (niltape ?)) ≠ current ? (nth j ? int (niltape ?)) ∨
 216     current ? (nth i ? int (niltape ?)) = None ? ∨
 217     current ? (nth j ? int (niltape ?)) = None ?) → outt = int) ∧
 218   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,rs0.
 219     nth i ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 220     nth j ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) →
 221     (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) →
 222     (rs0 = [ ] ∧
 223      outt = change_vec ??
 224            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) i)
 225            (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (None ?) []) j) ∨
 226     ∃cj,rs1.rs0 = cj::rs1 ∧
 227     ((is_endc ci = true ∨ ci ≠ cj) →
 228     outt = change_vec ??
 229            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) i)
 230            (midtape sig (reverse ? xs@x::ls0) cj rs1) j)).
 231
 232 lemma wsem_compare : ∀i,j,sig,n,is_endc.i ≠ j → i < S n → j < S n →
 233   compare i j sig n is_endc ⊫ R_compare i j sig n is_endc.
 234 #i #j #sig #n #is_endc #Hneq #Hi #Hj #ta #k #outc #Hloop
 235 lapply (sem_while … (sem_comp_step i j sig n is_endc Hneq Hi Hj) … Hloop) //
 236 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 237 [ #tc whd in ⊢ (%→?); * * [ * [ *
 238   [* #curi * #Hcuri #Hendi #Houtc %
 239     [ #_ @Houtc
 240     | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #rs0 #Hnthi #Hnthj #Hnotendc
 241       @False_ind
 242       >Hnthi in Hcuri; normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 243       >(Hnotendc ? (memb_hd … )) in Hendi; #H destruct (H)
 244     ]
 245   |#Hcicj #Houtc %
 246     [ #_ @Houtc
 247     | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #rs0 #Hnthi #Hnthj
 248       >Hnthi in Hcicj; >Hnthj normalize in ⊢ (%→?); * #H @False_ind @H %
 249     ]]
 250   | #Hci #Houtc %
 251     [ #_ @Houtc
 252     | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #rs0 #Hnthi >Hnthi in Hci;
 253       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 254   | #Hcj #Houtc %
 255     [ #_ @Houtc
 256     | #ls #x #xs #ci #rs #ls0 #rs0 #_ #Hnthj >Hnthj in Hcj;
 257       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 258   | #tc #td #te * #x * * * #Hendcx #Hci #Hcj #Hd #Hstar #IH #He lapply (IH He) -IH *
 259     #IH1 #IH2 %
 260     [ >Hci >Hcj * [* #x0 * #H destruct (H) >Hendcx #H destruct (H)
 261     |* [* #H @False_ind [cases H -H #H @H % | destruct (H)] | #H destruct (H)]]
 262     | #ls #c0 #xs #ci #rs #ls0 #rs0 cases xs
 263       [ #Hnthi #Hnthj #Hnotendc cases rs0 in Hnthj;
 264         [ #Hnthj % % // >IH1
 265           [ >Hd @eq_f3 //
 266             [ @eq_f3 // >(?:c0=x) [ >Hnthi % ]
 267               >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) %
 268             | >(?:c0=x) [ >Hnthj % ]
 269               >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) % ]
 270           | >Hd %2 %2 >nth_change_vec // >Hnthj % ]
 271         | #r1 #rs1 #Hnthj %2 %{r1} %{rs1} % // *
 272           [ #Hendci >IH1
 273             [ >Hd @eq_f3 //
 274               [ @eq_f3 // >(?:c0=x) [ >Hnthi % ]
 275              >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) %
 276             | >(?:c0=x) [ >Hnthj % ]
 277             >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) % ]
 278         | >Hd >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 279           >nth_change_vec // >Hnthi >Hnthj normalize % %{ci} % //
 280         ]
 281       |#Hcir1 >IH1
 282         [>Hd @eq_f3 //
 283           [ @eq_f3 // >(?:c0=x) [ >Hnthi % ]
 284             >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) %
 285           | >(?:c0=x) [ >Hnthj % ]
 286             >Hnthi in Hci;normalize #H destruct (H) % ]
 287         | >Hd %2 % % >nth_change_vec //
 288           >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 289           >nth_change_vec // >Hnthi >Hnthj normalize @(not_to_not … Hcir1)
 290           #H destruct (H) % ]
 291       ]
 292     ]
 293   |#x0 #xs0 #Hnthi #Hnthj #Hnotendc
 294    cut (c0 = x) [ >Hnthi in Hci; normalize #H destruct (H) // ]
 295    #Hcut destruct (Hcut) cases rs0 in Hnthj;
 296     [ #Hnthj % % //
 297       cases (IH2 (x::ls) x0 xs0 ci rs (x::ls0) [ ] ???) -IH2
 298       [ * #_ #IH2 >IH2 >Hd >change_vec_commute in ⊢ (??%?); //
 299         >change_vec_change_vec >change_vec_commute in ⊢ (??%?); //
 300         @sym_not_eq //
 301       | * #cj * #rs1 * #H destruct (H)
 302       | >Hd >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 303         >Hnthi %
 304       | >Hd >nth_change_vec // >Hnthj %
 305       | #c0 #Hc0 @Hnotendc @memb_cons @Hc0 ]
 306     | #r1 #rs1 #Hnthj %2 %{r1} %{rs1} % // #Hcir1
 307       cases(IH2 (x::ls) x0 xs0 ci rs (x::ls0) (r1::rs1) ???)
 308       [ * #H destruct (H)
 309       | * #r1' * #rs1' * #H destruct (H) #Hc1r1 >Hc1r1 //
 310         >Hd >change_vec_commute in ⊢ (??%?); //
 311         >change_vec_change_vec >change_vec_commute in ⊢ (??%?); //
 312           @sym_not_eq //
 313       | >Hd >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 314         >Hnthi //
 315       | >Hd >nth_change_vec // >Hnthi >Hnthj %
 316       | #c0 #Hc0 @Hnotendc @memb_cons @Hc0
 317 ]]]]]
 318 qed.
 319
 320 lemma terminate_compare :  ∀i,j,sig,n,is_endc,t.
 321   i ≠ j → i < S n → j < S n →
 322   compare i j sig n is_endc ↓ t.
 323 #i #j #sig #n #is_endc #t #Hneq #Hi #Hj
 324 @(terminate_while … (sem_comp_step …)) //
 325 <(change_vec_same … t i (niltape ?))
 326 cases (nth i (tape sig) t (niltape ?))
 327 [ % #t1 * #x * * * #_ >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
 328 |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #x * * * #_ >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
 329 | #ls #c #rs lapply c -c lapply ls -ls lapply t -t elim rs
 330   [#t #ls #c % #t1 * #x * * * #Hendcx >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?);
 331    #H1 destruct (H1) #Hxsep >change_vec_change_vec #Ht1 %
 332    #t2 * #x0 * * * #Hendcx0 >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 333    >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 334   |#r0 #rs0 #IH #t #ls #c % #t1 * #x * * >nth_change_vec //
 335    normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) #Hcur
 336    >change_vec_change_vec >change_vec_commute // #Ht1 >Ht1 @IH
 337   ]
 338 ]
 339 qed.
 340
 341 lemma sem_compare : ∀i,j,sig,n,is_endc.
 342   i ≠ j → i < S n → j < S n →
 343   compare i j sig n is_endc ⊨ R_compare i j sig n is_endc.
 344 #i #j #sig #n #is_endc #Hneq #Hi #Hj @WRealize_to_Realize /2/
 345 qed.
 346
 347 (*
 348    |conf1   $
 349    |confin 0/1 confout move
 350
 351   match machine step ≝
 352     compare;
 353     if (cur(src) != $)
 354       then
 355         parmoveL;
 356         moveR(dst);
 357       else nop
 358  *)
 359
 360 definition Rtc_multi_true ≝
 361   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
 362    (∃c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c ∧ test c = true) ∧ t2 = t1.
 363
 364 definition Rtc_multi_false ≝
 365   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
 366     (∀c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c → test c = false) ∧ t2 = t1.
 367
 368 lemma sem_test_char_multi :
 369   ∀alpha,test,n,i.i ≤ n →
 370   inject_TM ? (test_char ? test) n i ⊨
 371   [ tc_true : Rtc_multi_true alpha test n i, Rtc_multi_false alpha test n i ].
 372 #alpha #test #n #i #Hin #int
 373 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_char alpha test) int)
 374 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
 375 [ @Hloop
 376 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * * #c *
 377   #Hcur #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
 378   [ %{c} % //
 379   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
 380     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
 381     [ >Hi0i @Hnth_i
 382     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
 383 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
 384   [ @Htestc
 385   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
 386     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
 387     [ >Hi0i @Hnth_i
 388     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
 389 qed.
 390
 391 axiom comp_list: ∀S:DeqSet. ∀l1,l2:list S.∀is_endc. ∃l,tl1,tl2.
 392   l1 = l@tl1 ∧ l2 = l@tl2 ∧ (∀c.c ∈ l = true → is_endc c = false) ∧
 393   ∀a,tla. tl1 = a::tla → is_endc a = true ∨ (∀b,tlb.tl2 = b::tlb → a≠b).
 394
 395 axiom daemon : ∀X:Prop.X.
 396
 397 (*
 398 definition R_match_step_false ≝
 399   λsrc,dst,sig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 400   ∀ls,x,xs,end,rs.
 401   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) →
 402   (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → is_endc end = true →
 403    ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ?) ∧ outt = int) ∨
 404    (∃ls0,rs0.
 405     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
 406     ∀rsj,c.
 407     rs0 = c::rsj →
 408     outt = change_vec ??
 409            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
 410            (midtape sig (reverse ? xs@x::ls0) c rsj) dst).
 411
 412 definition R_match_step_true ≝
 413   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 414   ∀s.current sig (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s →
 415   is_startc s = true →
 416   (∀c.c ∈ right ? (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = true → is_startc c = false) →
 417   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? → outt = int) ∧
 418   (∀s1.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s1 → s ≠ s1 →
 419    outt = change_vec ?? int
 420           (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈s1,R〉)) dst ∧ is_endc s = false) ∧
 421   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,rs0.
 422     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 423     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) →
 424     (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) →
 425     (∀cj,rs1.rs0 = cj::rs1 → ci ≠ cj →
 426      (outt = change_vec ?? int
 427            (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) dst ∧ is_endc ci = false)) ∧
 428     (rs0 = [ ] →
 429      outt = change_vec ??
 430            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) src)
 431            (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (None ?) [ ]) dst)).
 432
 433 lemma sem_match_step :
 434   ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 435   match_step src dst sig n is_startc is_endc ⊨
 436     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 437       R_match_step_true src dst sig n is_startc is_endc,
 438       R_match_step_false src dst sig n is_endc ].
 439 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst
 440 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n is_endc Hneq Hsrc Hdst)
 441     (acc_sem_if ? n … (sem_test_char_multi sig (λa.is_endc a == false) n src (le_S_S_to_le … Hsrc))
 442       (sem_seq …
 443         (sem_parmoveL ???? is_startc Hneq Hsrc Hdst)
 444         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 445       (sem_nop …)))
 446 [#ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * * #c * #Hcurtc #Hcend #Htd >Htd -Htd
 447  #Htb #s #Hcurta_src #Hstart #Hnotstart % [ %
 448  [#Hdst_none @daemon
 449  | #s1 #Hcurta_dst #Hneqss1
 450    lapply Htb lapply Hcurtc -Htb -Hcurtc >(?:tc=ta)
 451    [|@Hcomp1 %2 % % >Hcurta_src >Hcurta_dst @(not_to_not … Hneqss1) #H destruct (H) % ]
 452    #Hcurtc * #te * * #_ #Hte >Hte [2: %1 %1 %{s} % //]
 453    whd in ⊢ (%→?); * * #_ #Htbdst #Htbelse %
 454    [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 455      [ >Hidst >nth_change_vec // cases (current_to_midtape … Hcurta_dst)
 456        #ls * #rs #Hta_mid >(Htbdst … Hta_mid) >Hta_mid cases rs //
 457      | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @Htbelse @sym_not_eq // ]
 458    | >Hcurtc in Hcurta_src; #H destruct (H) cases (is_endc s) in Hcend;
 459      normalize #H destruct (H) // ]
 460    ]
 461  |#ls #x #xs #ci #rs #ls0 #rs00 #Htasrc_mid #Htadst_mid #Hnotendc
 462   cases rs00 in Htadst_mid;
 463    [(* case rs empty *) #Htadst_mid % [ #cj #rs1 #H destruct (H) ]
 464      #_ cases (Hcomp2 … Htasrc_mid Htadst_mid Hnotendc) -Hcomp2
 465      [2: * #x0 * #rs1 * #H destruct (H) ]
 466     * #_ #Htc cases Htb #td * * #_ #Htd >Htasrc_mid in Hcurta_src;
 467     normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 468     >Htd [2: %2 >Htc >nth_change_vec // cases (reverse sig ?) //]
 469     >Htc * * >nth_change_vec // #Htbdst #_ #Htbelse
 470      @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 471       [ >Hidst >nth_change_vec // <Htbdst // cases (reverse sig ?) //
 472       |@sym_eq @Htbelse @sym_not_eq //
 473       ]
 474     |#cj0 #rs0 #Htadst_mid % [| #H destruct (H) ]
 475      #cj #rs1 #H destruct (H) #Hcicj
 476      cases (Hcomp2 … Htasrc_mid Htadst_mid Hnotendc) [ * #H destruct (H) ]
 477      * #cj' * #rs0' * #Hcjrs0 destruct (Hcjrs0) -Hcomp2 #Hcomp2
 478      lapply (Hcomp2 (or_intror ?? Hcicj)) -Hcomp2 #Htc
 479      cases Htb #td * * #Htd #_ >Htasrc_mid in Hcurta_src; normalize in ⊢ (%→?);
 480      #H destruct (H)
 481      >(Htd ls ci (reverse ? xs) rs s ??? ls0 cj' (reverse ? xs) s rs0' (refl ??)) //
 482      [| >Htc >nth_change_vec //
 483      | #c0 #Hc0 @(Hnotstart c0) >Htasrc_mid
 484       cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 485       [@memb_append_l2 >(\P Hc0) @memb_hd
 486       |@memb_append_l1 <(reverse_reverse …xs) @memb_reverse //
 487       ]
 488     | >Htc >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ] @nth_change_vec // ]
 489     * * #_ #Htbdst #Htbelse %
 490     [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 491       [ >Hidst >nth_change_vec // >Htadst_mid >(Htbdst ls0 s (xs@cj'::rs0'))
 492         [ cases xs //
 493         | >nth_change_vec // ]
 494       | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 495         <Htbelse [|@sym_not_eq // ]
 496         >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 497         cases (decidable_eq_nat i src) #Hisrc
 498         [ >Hisrc >nth_change_vec // >Htasrc_mid //
 499         | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 500           <(Htbelse i) [|@sym_not_eq // ]
 501           >Htc >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ]
 502           >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ] //
 503         ]
 504        ]
 505     | >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 506       >nth_change_vec // whd in ⊢ (??%?→?);
 507       #H destruct (H) cases (is_endc c) in Hcend;
 508       normalize #H destruct (H) // ]
 509     ]
 510   ]
 511 |#intape #outtape #ta * #Hcomp1 #Hcomp2 * #tb * * #Hc #Htb
 512  whd in ⊢ (%→?); #Hout >Hout >Htb whd
 513  #ls #c_src #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
 514  lapply (current_to_midtape sig (nth dst ? intape (niltape ?)))
 515  cases (current … (nth dst ? intape (niltape ?))) in Hcomp1;
 516   [#Hcomp1 #_ %1 % [% | @Hcomp1 %2 %2 % ]
 517   |#c_dst cases (true_or_false (c_src == c_dst)) #Hceq
 518     [#_ #Hmid_dst cases (Hmid_dst c_dst (refl …)) -Hmid_dst
 519      #ls_dst * #rs_dst #Hmid_dst %2
 520      cases (comp_list … (xs@end::rs) rs_dst is_endc) #xs1 * #rsi * #rsj * * *
 521      #Hrs_src #Hrs_dst #Hnotendxs1 #Hneq %{ls_dst} %{rsj} >Hrs_dst in Hmid_dst; #Hmid_dst
 522      cut (∃r1,rs1.rsi = r1::rs1) [@daemon] * #r1 * #rs1 #Hrs1 >Hrs1 in Hrs_src;
 523      #Hrs_src >Hrs_src in Hmid_src; #Hmid_src <(\P Hceq) in Hmid_dst; #Hmid_dst
 524      lapply (Hcomp2 ??????? Hmid_src Hmid_dst ?)
 525      [ #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 526        [ >(\P Hc0) @Hnotend @memb_hd | @Hnotendxs1 //]
 527      | *
 528        [ * #Hrsj #Hta %
 529          [ >Hta in Hc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 530            #Hc lapply (Hc ? (refl ??)) #Hendr1
 531            cut (xs = xs1)
 532            [ lapply Hnotendxs1 lapply Hnotend lapply Hrs_src lapply xs1
 533              -Hnotendxs1 -Hnotend -Hrs_src -xs1 elim xs
 534              [ * normalize in ⊢ (%→?); //
 535                #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #_ #Hnotendxs1
 536                lapply (Hnotendxs1 ? (memb_hd …)) >Hend #H destruct (H)
 537              | #x2 #xs2 #IH *
 538                [ normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #Hnotendc
 539                  >Hnotendc in Hendr1; [| @memb_cons @memb_hd ]
 540                  normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 541                | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 542                  #Hnotendc #Hnotendcxs1 @eq_f @IH
 543                  [ @(cons_injective_r … Heq)
 544                  | #c0 #Hc0 @Hnotendc cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 545                    [ >(\P Hc0) @memb_hd
 546                    | @memb_cons @memb_cons // ]
 547                  | #c #Hc @Hnotendcxs1 @memb_cons // ]
 548                ]
 549              ]
 550            | #Hxsxs1 >Hmid_dst >Hxsxs1 % ]
 551          | #rsj0 #c >Hrsj #Hrsj0 destruct (Hrsj0) ]
 552        | * #cj * #rs2 * #Hrs2 #Hta lapply (Hta ?)
 553          [ cases (Hneq … Hrs1) /2/ #H %2 @(H ?? Hrs2) ]
 554          -Hta #Hta >Hta in Hc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 555          >nth_change_vec // #Hc lapply (Hc ? (refl ??)) #Hendr1
 556          (* lemmatize this proof *) cut (xs = xs1)
 557          [ lapply Hnotendxs1 lapply Hnotend lapply Hrs_src lapply xs1
 558            -Hnotendxs1 -Hnotend -Hrs_src -xs1 elim xs
 559            [ * normalize in ⊢ (%→?); //
 560              #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #_ #Hnotendxs1
 561              lapply (Hnotendxs1 ? (memb_hd …)) >Hend #H destruct (H)
 562            | #x2 #xs2 #IH *
 563              [ normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #Hnotendc
 564                >Hnotendc in Hendr1; [| @memb_cons @memb_hd ]
 565                normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 566              | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 567                #Hnotendc #Hnotendcxs1 @eq_f @IH
 568                [ @(cons_injective_r … Heq)
 569                | #c0 #Hc0 @Hnotendc cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 570                  [ >(\P Hc0) @memb_hd
 571                  | @memb_cons @memb_cons // ]
 572                | #c #Hc @Hnotendcxs1 @memb_cons // ]
 573              ]
 574            ]
 575          | #Hxsxs1 >Hmid_dst >Hxsxs1 % //
 576            #rsj0 #c #Hcrsj destruct (Hxsxs1 Hrs2 Hcrsj) @eq_f3 //
 577            @eq_f3 // lapply (append_l2_injective ?????? Hrs_src) //
 578            #Hendr1 destruct (Hendr1) % ]
 579        ]
 580      ]
 581    (* STOP *)
 582    |#Hcomp1 #Hsrc cases (Hsrc ? (refl ??)) -Hsrc #ls0 * #rs0 #Hdst
 583     @False_ind lapply (Hcomp1 ?) [%2 %1 %1 >Hmid_src normalize
 584     @(not_to_not ??? (\Pf Hceq)) #H destruct //] #Hintape
 585     >Hintape in Hc; >Hmid_src #Hc lapply (Hc ? (refl …)) -Hc
 586     >(Hnotend c_src) // normalize #H destruct (H)
 587    ]
 588   ]
 589 ]
 590 qed.
 591 *)
 592
 593 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 594   compare src dst sig n is_endc ·
 595     (ifTM ?? (inject_TM ? (test_char ? (λa.is_endc a == false)) n src)
 596       (ifTM ?? (inject_TM ? (test_null ?) n src)
 597         (single_finalTM ??
 598           (parmove src dst sig n L is_startc · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
 599         (nop …) tc_true)
 600       (nop …)
 601       tc_true).
 602
 603 definition R_match_step_false ≝
 604   λsrc,dst,sig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 605   ∀ls,x,xs,end,rs.
 606   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) →
 607   (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → is_endc end = true →
 608    ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ?) ∧ outt = int) ∨
 609    (∃ls0,rs0.
 610     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
 611     ∀rsj,c.
 612     rs0 = c::rsj →
 613     outt = change_vec ??
 614            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
 615            (midtape sig (reverse ? xs@x::ls0) c rsj) dst).
 616
 617 definition R_match_step_true ≝
 618   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 619   ∀s.current sig (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s →
 620   is_startc s = true →
 621   (∀c.c ∈ right ? (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = true → is_startc c = false) →
 622   current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) ≠ None ? ∧
 623   (∀s1.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s1 → s ≠ s1 →
 624    outt = change_vec ?? int
 625           (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈s1,R〉)) dst ∧ is_endc s = false) ∧
 626   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,rs0.
 627     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 628     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) →
 629     (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) →
 630     (∀cj,rs1.rs0 = cj::rs1 → ci ≠ cj →
 631      (outt = change_vec ?? int
 632            (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) dst ∧ is_endc ci = false)) ∧
 633     (rs0 = [ ] →
 634      outt = change_vec ??
 635            (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) src)
 636            (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (None ?) [ ]) dst)).
 637
 638 lemma sem_match_step :
 639   ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 640   match_step src dst sig n is_startc is_endc ⊨
 641     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? (inr ?? start_nop)))) :
 642       R_match_step_true src dst sig n is_startc is_endc,
 643       R_match_step_false src dst sig n is_endc ].
 644 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst
 645 (* test_null versione multi? *)
 646 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n is_endc Hneq Hsrc Hdst)
 647     (acc_sem_if ? n … (sem_test_char_multi sig (λa.is_endc a == false) n src (le_S_S_to_le … Hsrc))
 648       (acc_sem_if ? n … (sem_test_null sig (λa.is_endc a == false) n src (le_S_S_to_le … Hsrc))
 649
 650       sem_seq …
 651         (sem_parmoveL ???? is_startc Hneq Hsrc Hdst)
 652         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 653       (sem_nop …)))
 654 [#ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * * #c * #Hcurtc #Hcend #Htd >Htd -Htd
 655  #Htb #s #Hcurta_src #Hstart #Hnotstart % [ %
 656  [#Hdst_none @daemon
 657  | #s1 #Hcurta_dst #Hneqss1
 658    lapply Htb lapply Hcurtc -Htb -Hcurtc >(?:tc=ta)
 659    [|@Hcomp1 %2 % % >Hcurta_src >Hcurta_dst @(not_to_not … Hneqss1) #H destruct (H) % ]
 660    #Hcurtc * #te * * #_ #Hte >Hte [2: %1 %1 %{s} % //]
 661    whd in ⊢ (%→?); * * #_ #Htbdst #Htbelse %
 662    [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 663      [ >Hidst >nth_change_vec // cases (current_to_midtape … Hcurta_dst)
 664        #ls * #rs #Hta_mid >(Htbdst … Hta_mid) >Hta_mid cases rs //
 665      | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @Htbelse @sym_not_eq // ]
 666    | >Hcurtc in Hcurta_src; #H destruct (H) cases (is_endc s) in Hcend;
 667      normalize #H destruct (H) // ]
 668    ]
 669  |#ls #x #xs #ci #rs #ls0 #rs00 #Htasrc_mid #Htadst_mid #Hnotendc
 670   cases rs00 in Htadst_mid;
 671    [(* case rs empty *) #Htadst_mid % [ #cj #rs1 #H destruct (H) ]
 672      #_ cases (Hcomp2 … Htasrc_mid Htadst_mid Hnotendc) -Hcomp2
 673      [2: * #x0 * #rs1 * #H destruct (H) ]
 674     * #_ #Htc cases Htb #td * * #_ #Htd >Htasrc_mid in Hcurta_src;
 675     normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 676     >Htd [2: %2 >Htc >nth_change_vec // cases (reverse sig ?) //]
 677     >Htc * * >nth_change_vec // #Htbdst #_ #Htbelse
 678      @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 679       [ >Hidst >nth_change_vec // <Htbdst // cases (reverse sig ?) //
 680       |@sym_eq @Htbelse @sym_not_eq //
 681       ]
 682     |#cj0 #rs0 #Htadst_mid % [| #H destruct (H) ]
 683      #cj #rs1 #H destruct (H) #Hcicj
 684      cases (Hcomp2 … Htasrc_mid Htadst_mid Hnotendc) [ * #H destruct (H) ]
 685      * #cj' * #rs0' * #Hcjrs0 destruct (Hcjrs0) -Hcomp2 #Hcomp2
 686      lapply (Hcomp2 (or_intror ?? Hcicj)) -Hcomp2 #Htc
 687      cases Htb #td * * #Htd #_ >Htasrc_mid in Hcurta_src; normalize in ⊢ (%→?);
 688      #H destruct (H)
 689      >(Htd ls ci (reverse ? xs) rs s ??? ls0 cj' (reverse ? xs) s rs0' (refl ??)) //
 690      [| >Htc >nth_change_vec //
 691      | #c0 #Hc0 @(Hnotstart c0) >Htasrc_mid
 692       cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 693       [@memb_append_l2 >(\P Hc0) @memb_hd
 694       |@memb_append_l1 <(reverse_reverse …xs) @memb_reverse //
 695       ]
 696     | >Htc >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ] @nth_change_vec // ]
 697     * * #_ #Htbdst #Htbelse %
 698     [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 699       [ >Hidst >nth_change_vec // >Htadst_mid >(Htbdst ls0 s (xs@cj'::rs0'))
 700         [ cases xs //
 701         | >nth_change_vec // ]
 702       | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 703         <Htbelse [|@sym_not_eq // ]
 704         >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 705         cases (decidable_eq_nat i src) #Hisrc
 706         [ >Hisrc >nth_change_vec // >Htasrc_mid //
 707         | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 708           <(Htbelse i) [|@sym_not_eq // ]
 709           >Htc >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ]
 710           >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ] //
 711         ]
 712        ]
 713     | >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 714       >nth_change_vec // whd in ⊢ (??%?→?);
 715       #H destruct (H) cases (is_endc c) in Hcend;
 716       normalize #H destruct (H) // ]
 717     ]
 718   ]
 719 |#intape #outtape #ta * #Hcomp1 #Hcomp2 * #tb * * #Hc #Htb
 720  whd in ⊢ (%→?); #Hout >Hout >Htb whd
 721  #ls #c_src #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
 722  lapply (current_to_midtape sig (nth dst ? intape (niltape ?)))
 723  cases (current … (nth dst ? intape (niltape ?))) in Hcomp1;
 724   [#Hcomp1 #_ %1 % [% | @Hcomp1 %2 %2 % ]
 725   |#c_dst cases (true_or_false (c_src == c_dst)) #Hceq
 726     [#_ #Hmid_dst cases (Hmid_dst c_dst (refl …)) -Hmid_dst
 727      #ls_dst * #rs_dst #Hmid_dst %2
 728      cases (comp_list … (xs@end::rs) rs_dst is_endc) #xs1 * #rsi * #rsj * * *
 729      #Hrs_src #Hrs_dst #Hnotendxs1 #Hneq %{ls_dst} %{rsj} >Hrs_dst in Hmid_dst; #Hmid_dst
 730      cut (∃r1,rs1.rsi = r1::rs1) [@daemon] * #r1 * #rs1 #Hrs1 >Hrs1 in Hrs_src;
 731      #Hrs_src >Hrs_src in Hmid_src; #Hmid_src <(\P Hceq) in Hmid_dst; #Hmid_dst
 732      lapply (Hcomp2 ??????? Hmid_src Hmid_dst ?)
 733      [ #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 734        [ >(\P Hc0) @Hnotend @memb_hd | @Hnotendxs1 //]
 735      | *
 736        [ * #Hrsj #Hta %
 737          [ >Hta in Hc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 738            #Hc lapply (Hc ? (refl ??)) #Hendr1
 739            cut (xs = xs1)
 740            [ lapply Hnotendxs1 lapply Hnotend lapply Hrs_src lapply xs1
 741              -Hnotendxs1 -Hnotend -Hrs_src -xs1 elim xs
 742              [ * normalize in ⊢ (%→?); //
 743                #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #_ #Hnotendxs1
 744                lapply (Hnotendxs1 ? (memb_hd …)) >Hend #H destruct (H)
 745              | #x2 #xs2 #IH *
 746                [ normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #Hnotendc
 747                  >Hnotendc in Hendr1; [| @memb_cons @memb_hd ]
 748                  normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 749                | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 750                  #Hnotendc #Hnotendcxs1 @eq_f @IH
 751                  [ @(cons_injective_r … Heq)
 752                  | #c0 #Hc0 @Hnotendc cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 753                    [ >(\P Hc0) @memb_hd
 754                    | @memb_cons @memb_cons // ]
 755                  | #c #Hc @Hnotendcxs1 @memb_cons // ]
 756                ]
 757              ]
 758            | #Hxsxs1 >Hmid_dst >Hxsxs1 % ]
 759          | #rsj0 #c >Hrsj #Hrsj0 destruct (Hrsj0) ]
 760        | * #cj * #rs2 * #Hrs2 #Hta lapply (Hta ?)
 761          [ cases (Hneq … Hrs1) /2/ #H %2 @(H ?? Hrs2) ]
 762          -Hta #Hta >Hta in Hc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 763          >nth_change_vec // #Hc lapply (Hc ? (refl ??)) #Hendr1
 764          (* lemmatize this proof *) cut (xs = xs1)
 765          [ lapply Hnotendxs1 lapply Hnotend lapply Hrs_src lapply xs1
 766            -Hnotendxs1 -Hnotend -Hrs_src -xs1 elim xs
 767            [ * normalize in ⊢ (%→?); //
 768              #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #_ #Hnotendxs1
 769              lapply (Hnotendxs1 ? (memb_hd …)) >Hend #H destruct (H)
 770            | #x2 #xs2 #IH *
 771              [ normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #Hnotendc
 772                >Hnotendc in Hendr1; [| @memb_cons @memb_hd ]
 773                normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 774              | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 775                #Hnotendc #Hnotendcxs1 @eq_f @IH
 776                [ @(cons_injective_r … Heq)
 777                | #c0 #Hc0 @Hnotendc cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 778                  [ >(\P Hc0) @memb_hd
 779                  | @memb_cons @memb_cons // ]
 780                | #c #Hc @Hnotendcxs1 @memb_cons // ]
 781              ]
 782            ]
 783          | #Hxsxs1 >Hmid_dst >Hxsxs1 % //
 784            #rsj0 #c #Hcrsj destruct (Hxsxs1 Hrs2 Hcrsj) @eq_f3 //
 785            @eq_f3 // lapply (append_l2_injective ?????? Hrs_src) //
 786            #Hendr1 destruct (Hendr1) % ]
 787        ]
 788      ]
 789    (* STOP *)
 790    |#Hcomp1 #Hsrc cases (Hsrc ? (refl ??)) -Hsrc #ls0 * #rs0 #Hdst
 791     @False_ind lapply (Hcomp1 ?) [%2 %1 %1 >Hmid_src normalize
 792     @(not_to_not ??? (\Pf Hceq)) #H destruct //] #Hintape
 793     >Hintape in Hc; >Hmid_src #Hc lapply (Hc ? (refl …)) -Hc
 794     >(Hnotend c_src) // normalize #H destruct (H)
 795    ]
 796   ]
 797 ]
 798 qed.
 799
 800 definition match_m ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 801   whileTM … (match_step src dst sig n is_startc is_endc)
 802     (inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop)))).
 803
 804 definition R_match_m ≝
 805   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 806 (*  (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? → outt = int) ∧ *)
 807   ∀ls,x,xs,end,rs.
 808   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) →
 809   (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → is_endc end = true →
 810   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? → outt = int) ∧
 811   (is_startc x = true →
 812    (∀ls0,x0,rs0.
 813     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 814     (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::xs@l1 ∧
 815      ∀cj,l2.l1=cj::l2 →
 816      outt = change_vec ??
 817             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
 818             (midtape sig ((reverse ? (l@x::xs))@ls0) cj l2) dst) ∨
 819     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::xs@l1)).
 820
 821 (*
 822 definition R_match_m ≝
 823   λi,j,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 824   (((∃x.current ? (nth i ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧ is_endc x = true) ∨
 825     current ? (nth i ? int (niltape ?)) = None ? ∨
 826     current ? (nth j ? int (niltape ?)) = None ?) → outt = int) ∧
 827   (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,x0,rs0.
 828     (∀x. is_startc x ≠ is_endc x) →
 829     is_startc x = true → is_endc ci = true →
 830     (∀z. memb ? z (x::xs) = true → is_endc x = false) →
 831     nth i ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 832     nth j ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 833     (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::xs@l1 ∧
 834      ∀cj,l2.l1=cj::l2 →
 835      outt = change_vec ??
 836             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) ci rs) i)
 837             (midtape sig ((reverse ? (l@x::xs))@ls0) cj l2) j) ∨
 838     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::xs@l1).
 839 *)
 840
 841 (*
 842 axiom sub_list_dec: ∀A.∀l,ls:list A.
 843   ∃l1,l2. l = l1@ls@l2 ∨ ∀l1,l2. l ≠ l1@ls@l2.
 844 *)
 845
 846 lemma wsem_match_m : ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 847 src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 848   match_m src dst sig n is_startc is_endc ⊫ R_match_m src dst sig n is_startc is_endc.
 849 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 850 lapply (sem_while … (sem_match_step src dst sig n is_startc is_endc Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 851 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 852 [ #tc #Hfalse #ls #x #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
 853   cases (Hfalse … Hmid_src Hnotend Hend) -Hfalse
 854   [(* current dest = None *) * #Hcur_dst #Houtc %
 855     [#_ >Houtc //
 856     |#Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcur_dst;
 857      normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 858     ]
 859   |* #ls0 * #rs0 * #Hmid_dst #HFalse %
 860     [ >Hmid_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 861     | #Hstart #ls1 #x1 #rs1 >Hmid_dst #H destruct (H)
 862      %1 %{[ ]} %{rs0} % [%] #cj #l2 #Hnotnil
 863      >reverse_cons >associative_append @(HFalse ?? Hnotnil)
 864     ]
 865   ]
 866 |#ta #tb #tc #Htrue #Hstar #IH #Hout lapply (IH Hout) -IH -Hout #IH whd
 867  #ls #x #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
 868  lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 869  cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 870   [#Hmid_dst %
 871     [#_ whd in Htrue; >Hmid_src in Htrue; #Htrue
 872      cases (Htrue x (refl … ) Hstart ?) -Htrue [2: @daemon]
 873      * #Htb #_ #_ >Htb in IH; // #IH
 874      cases (IH ls x xs end rs Hmid_src Hstart Hnotend Hend)
 875      #Hcur_outc #_ @Hcur_outc //
 876     |#ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst2 >Hmid_dst2 in Hmid_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 877      #H destruct (H)
 878     ]
 879   | #c #Hcurta_dst % [ >Hcurta_dst #H destruct (H) ]
 880     #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcurta_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 881     #H destruct (H) whd in Htrue; >Hmid_src in Htrue; #Htrue
 882     cases (Htrue x (refl …) Hstart ?) -Htrue
 883     [2: #z #membz @daemon (*aggiungere l'ipotesi*)]
 884     cases (true_or_false (x==c)) #eqx
 885     [ #_ #Htrue cases (comp_list ? (xs@end::rs) rs0 is_endc)
 886       #x1 * #tl1 * #tl2 * * * #Hxs #Hrs0 #Hnotendx1
 887       cases tl1 in Hxs;
 888       [>append_nil #Hx1 @daemon (* absurd by Hx1 e notendx1 *)]
 889       #ci -tl1 #tl1 #Hxs #H cases (H … (refl … ))
 890       [(* this is absurd, since Htrue conlcudes is_endc ci =false *)
 891        #Hend_ci @daemon (* lapply(Htrue … (refl …)) -Htrue *)
 892       |#Hcomp lapply (Htrue ls x x1 ci tl1 ls0 tl2 ???)
 893        [ #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) #Hc0
 894          [ @Hnotend >(\P Hc0) @memb_hd
 895          | @Hnotendx1 // ]
 896        | >Hmid_dst >Hrs0 >(\P eqx) %
 897        | >Hxs %
 898        | *  cases tl2 in Hrs0;
 899          [ >append_nil #Hrs0 #_ #Htb whd in IH;
 900            lapply (IH ls x x1 ci tl1 ? Hstart ??)
 901            [
 902            |
 903            | >Htb // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 904
 905         >Hrs0 in Hmid_dst; #Hmid_dst
 906        cases(Htrue ???????? Hmid_dst) -Htrue #Htb #Hendx
 907        whd in IH;
 908        cases(IH ls x xs end rs ? Hstart Hnotend Hend)
 909        [* #H1 #H2 >Htb in H1; >nth_change_vec //
 910         >Hmid_dst cases rs0 [2: #a #tl normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)]
 911         #_ %2 @daemon (* si dimostra *)
 912        |@daemon
 913        |>Htb >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src
 914        ]
 915     ]
 916   ]
 917 ]
 918 qed.
 919