matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/multi_universal/compare.ma".
  16 include "turing/multi_universal/par_test.ma".
  17 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  18
  19 definition Rtc_multi_true ≝
  20   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  21    (∃c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c ∧ test c = true) ∧ t2 = t1.
  22
  23 definition Rtc_multi_false ≝
  24   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  25     (∀c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c → test c = false) ∧ t2 = t1.
  26
  27 lemma sem_test_char_multi :
  28   ∀alpha,test,n,i.i ≤ n →
  29   inject_TM ? (test_char ? test) n i ⊨
  30   [ tc_true : Rtc_multi_true alpha test n i, Rtc_multi_false alpha test n i ].
  31 #alpha #test #n #i #Hin #int
  32 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_char alpha test) int)
  33 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  34 [ @Hloop
  35 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * * #c *
  36   #Hcur #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  37   [ %{c} % //
  38   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  39     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  40     [ >Hi0i @Hnth_i
  41     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  42 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  43   [ @Htestc
  44   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  45     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  46     [ >Hi0i @Hnth_i
  47     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  48 qed.
  49
  50 definition Rm_test_null_true ≝
  51   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  52    current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) ≠ None ? ∧ t2 = t1.
  53
  54 definition Rm_test_null_false ≝
  55   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  56     current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = None ? ∧ t2 = t1.
  57
  58 lemma sem_test_null_multi : ∀alpha,n,i.i ≤ n →
  59   inject_TM ? (test_null ?) n i ⊨
  60     [ tc_true : Rm_test_null_true alpha n i, Rm_test_null_false alpha n i ].
  61 #alpha #n #i #Hin #int
  62 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_null alpha) int)
  63 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  64 [ @Hloop
  65 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j % //
  66   @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  67   [ >Hi0i @sym_eq @Hnth_i | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  68 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j %
  69   [ @Hcur
  70   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) //
  71     #Hi0i @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  72 qed.
  73
  74 definition match_test ≝ λsrc,dst.λsig:DeqSet.λn.λv:Vector ? n.
  75   match (nth src (option sig) v (None ?)) with
  76   [ None ⇒  false
  77   | Some x ⇒  notb (nth dst (DeqOption sig) v (None ?) == None ?) ].
  78
  79 definition mmove_states ≝ initN 2.
  80
  81 definition mmove0 : mmove_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 2 (refl …)).
  82 definition mmove1 : mmove_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 2 (refl …)).
  83
  84 definition trans_mmove ≝
  85  λi,sig,n,D.
  86  λp:mmove_states × (Vector (option sig) (S n)).
  87  let 〈q,a〉 ≝ p in match (pi1 … q) with
  88  [ O ⇒ 〈mmove1,change_vec ? (S n) (null_action ? n) (〈None ?,D〉) i〉
  89  | S _ ⇒ 〈mmove1,null_action sig n〉 ].
  90
  91 definition mmove ≝
  92   λi,sig,n,D.
  93   mk_mTM sig n mmove_states (trans_mmove i sig n D)
  94     mmove0 (λq.q == mmove1).
  95
  96 definition Rm_multi ≝
  97   λalpha,n,i,D.λt1,t2:Vector ? (S n).
  98   t2 = change_vec ? (S n) t1 (tape_move alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) D) i.
  99
 100 lemma sem_move_multi :
 101   ∀alpha,n,i,D.i ≤ n →
 102   mmove i alpha n D ⊨ Rm_multi alpha n i D.
 103 #alpha #n #i #D #Hin #int %{2}
 104 %{(mk_mconfig ? mmove_states n mmove1 ?)}
 105 [| %
 106  [ whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (??%?); @eq_f %
 107  | whd >tape_move_multi_def
 108    <(change_vec_same … (ctapes …) i (niltape ?))
 109    >pmap_change <tape_move_multi_def >tape_move_null_action % ] ]
 110  qed.
 111
 112 definition rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.
 113   parmove src dst sig n L · mmove src sig n R · mmove dst sig n R.
 114
 115 definition R_rewind_strong ≝ λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 116   (∀x,x0,xs,rs.
 117     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs →
 118     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| →
 119     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 →
 120     outt = change_vec ??
 121            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) src)
 122            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) dst) ∧
 123   (∀x,x0,xs,rs.
 124     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs →
 125     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| →
 126     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 →
 127     outt = change_vec ??
 128            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) dst)
 129            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) src) ∧
 130   (∀x,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [] x rs →
 131    ∀ls0,y,rs0.nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 y rs0 →
 132    outt = int).
 133
 134 definition R_rewind ≝ λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 135   (∀x,x0,xs,rs.
 136     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (xs@[x0]) x rs →
 137     ∀ls0,y,y0,target,rs0.|xs| = |target| →
 138     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (target@y0::ls0) y rs0 →
 139     outt = change_vec ??
 140            (change_vec ?? int (midtape sig [] x0 (reverse ? xs@x::rs)) src)
 141            (midtape sig ls0 y0 (reverse ? target@y::rs0)) dst) ∧
 142   (∀x,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [] x rs →
 143    ∀ls0,y,rs0.nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 y rs0 →
 144    outt = int).
 145
 146 (*
 147 theorem accRealize_to_Realize :
 148   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
 149   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
 150 #sig #n #M #Rtrue #Rfalse #acc #HR #t
 151 cases (HR t) #k * #outc * * #Hloop
 152 #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % //
 153 cases (true_or_false (cstate sig (states sig n M) n outc == acc)) #Hcase
 154 [ % @Htrue @(\P Hcase) | %2 @Hfalse @(\Pf Hcase) ]
 155 qed.
 156 *)
 157
 158 lemma sem_rewind_strong : ∀src,dst,sig,n.
 159   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 160   rewind src dst sig n ⊨ R_rewind_strong src dst sig n.
 161 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 162 @(sem_seq_app sig n ????? (sem_parmoveL src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) ?)
 163 [| @(sem_seq_app sig n ????? (sem_move_multi … R ?) (sem_move_multi … R ?)) //
 164  @le_S_S_to_le // ]
 165 #ta #tb * #tc * * * #Htc1 #Htc2 #_ * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Htb % [ %
 166 [ #x #x0 #xs #rs #Hmidta_src #ls0 #y #y0 #target #rs0 #Hlen #Hmidta_dst
 167   >(Htc1 ??? Hmidta_src ls0 y (target@[y0]) rs0 ??) in Htd;
 168   [|>Hmidta_dst //
 169   |>length_append >length_append >Hlen % ]
 170   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 171   >change_vec_change_vec
 172   >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 173   >nth_change_vec // >reverse_append >reverse_single
 174   >reverse_append >reverse_single normalize in match (tape_move ???);
 175   >rev_append_def >append_nil #Htd >Htd in Htb;
 176   >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 177   cases ls0 [|#l1 #ls1] normalize in match (tape_move ???); //
 178 | #x #x0 #xs #rs #Hmidta_dst #ls0 #y #y0 #target #rs0 #Hlen #Hmidta_src
 179   >(Htc2 ??? Hmidta_dst ls0 y (target@[y0]) rs0 ??) in Htd;
 180   [|>Hmidta_src //
 181   |>length_append >length_append >Hlen % ]
 182   >change_vec_change_vec
 183   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 184   >nth_change_vec //
 185   >reverse_append >reverse_single
 186   >reverse_append >reverse_single
 187   cases ls0 [|#l1 #ls1] normalize in match (tape_move ???);
 188   #Htd >Htd in Htb; >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 189   >rev_append_def >change_vec_commute // normalize in match (tape_move ???); // ]
 190 | #x #rs #Hmidta_src #ls0 #y #rs0 #Hmidta_dst
 191   lapply (Htc1 … Hmidta_src … (refl ??) Hmidta_dst) -Htc1 #Htc >Htc in Htd;
 192   >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 193   >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 194   >nth_change_vec // lapply (refl ? ls0) cases ls0 in ⊢ (???%→%);
 195   [ #Hls0 #Htd >Htd in Htb;
 196     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
 197     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
 198     <Hls0 <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 199   | #l1 #ls1 #Hls0 #Htd >Htd in Htb;
 200     >nth_change_vec // >change_vec_change_vec
 201     whd in match (tape_move ???);whd in match (tape_move ???); <Hmidta_src
 202     <Hls0 <Hmidta_dst >change_vec_same >change_vec_same //
 203 ]]
 204 qed.
 205
 206 lemma sem_rewind : ∀src,dst,sig,n.
 207   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 208   rewind src dst sig n ⊨ R_rewind src dst sig n.
 209 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst @(Realize_to_Realize … (sem_rewind_strong …)) //
 210 #ta #tb * * #H1 #H2 #H3 % /2/
 211 qed.
 212
 213 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n.
 214   compare src dst sig n ·
 215      (ifTM ?? (partest sig n (match_test src dst sig ?))
 216       (single_finalTM ??
 217         (rewind src dst sig n · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
 218       (nop …)
 219       partest1).
 220
 221 (* we assume the src is a midtape
 222    we stop
 223    if the dst is out of bounds (outt = int)
 224    or dst.right is shorter than src.right (outt.current → None)
 225    or src.right is a prefix of dst.right (out = just right of the common prefix) *)
 226 definition R_match_step_false ≝
 227   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 228   ∀ls,x,xs.
 229   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x xs →
 230   ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ?) ∧ outt = int) ∨
 231     (∃ls0,rs0,xs0. nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x rs0 ∧
 232       xs = rs0@xs0 ∧
 233       outt = change_vec ??
 234              (change_vec ?? int (mk_tape sig (reverse ? rs0@x::ls) (option_hd ? xs0) (tail ? xs0)) src)
 235              (mk_tape ? (reverse ? rs0@x::ls0) (None ?) [ ]) dst) ∨
 236     (∃ls0,rs0.
 237      nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
 238      (* ∀rsj,c.
 239      rs0 = c::rsj → *)
 240      outt = change_vec ??
 241             (change_vec ?? int (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls) (None ?) [ ]) src)
 242             (mk_tape sig (reverse ? xs@x::ls0) (option_hd ? rs0) (tail ? rs0)) dst).
 243
 244 (*
 245    we assume the src is a midtape [ ] s rs
 246    if we iterate
 247    then dst.current = Some ? s1
 248    and  if s ≠ s1 then outt = int.dst.move_right()
 249    and  if s = s1
 250         then int.src.right and int.dst.right have a common prefix
 251         and  the heads of their suffixes are different
 252         and  outt = int.dst.move_right().
 253
 254  *)
 255 definition R_match_step_true ≝
 256   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 257   ∀s,rs.nth src ? int (niltape ?) = midtape ? [ ] s rs →
 258   outt = change_vec ?? int
 259          (tape_move_mono … (nth dst ? int (niltape ?)) (〈None ?,R〉)) dst ∧
 260   (∃s0.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s0 ∧
 261    (s0 = s →
 262    ∃xs,ci,rs',ls0,cj,rs0.
 263    rs = xs@ci::rs' ∧
 264    nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 s (xs@cj::rs0) ∧
 265    ci ≠ cj)).
 266
 267 lemma sem_match_step :
 268   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 269   match_step src dst sig n ⊨
 270     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 271       R_match_step_true src dst sig n,
 272       R_match_step_false src dst sig n ].
 273 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 274 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)
 275     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ?))
 276       (sem_seq …
 277         (sem_rewind ???? Hneq Hsrc Hdst)
 278         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 279       (sem_nop …)))
 280 [ #ta #tb #tc * lapply (refl ? (current ? (nth src ? ta (niltape ?))))
 281   cases (current ? (nth src ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 282   [ #Hcurta_src #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| % %2 %]
 283     whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 284     >nth_current_chars >Hcurta_src normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 285   | #s #Hs lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 286     cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 287     [ #Hcurta_dst #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| %2 %]
 288       whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 289       >nth_current_chars >nth_current_chars >Hs >Hcurta_dst
 290       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 291     | #s0 #Hs0
 292       cases (current_to_midtape … Hs) #ls * #rs #Hmidta_src >Hmidta_src
 293       cases (current_to_midtape … Hs0) #ls0 * #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst
 294       cases (true_or_false (s == s0)) #Hss0
 295       [ lapply (\P Hss0) -Hss0 #Hss0 destruct (Hss0)
 296         #_ #Hcomp cases (Hcomp ????? (refl ??) (refl ??)) -Hcomp [ *
 297         [ * #rs' * #_ #Hcurtc_dst * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 298           >nth_current_chars >nth_current_chars >Hcurtc_dst
 299           cases (current ? (nth src …))
 300           [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 301           | #x >nth_change_vec // cases (reverse ? rs0)
 302             [ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 303             | #r1 #rs1 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 304         | * #rs0' * #_ #Hcurtc_src * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 305           >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = None ?)
 306           [|>nth_current_chars >Hcurtc_src >nth_change_vec_neq
 307             [>nth_change_vec [cases (append ???) // | @Hsrc]
 308             |@(not_to_not … Hneq) //
 309             ]]
 310           normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 311         | * #xs * #ci * #cj * #rs'' * #rs0' * * * #Hcicj #Hrs #Hrs0
 312           #Htc * #td * * #Hmatch #Htd destruct (Htd) * #te * *
 313           >Htc >change_vec_commute // >nth_change_vec //
 314           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec // #Hte #_ #Htb
 315           #s' #rs' >Hmidta_src #H destruct (H)
 316           lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??) (refl ??)) -Hte
 317           >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 318           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec #Hte
 319           >Hte in Htb; * * #_ >nth_change_vec // #Htb1
 320           lapply (Htb1 … (refl ??)) -Htb1 #Htb1 #Htb2 %
 321           [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi
 322             cases (true_or_false ((dst : DeqNat) == i)) #Hdsti
 323             [ <(\P Hdsti) >Htb1 >nth_change_vec // >Hmidta_dst
 324               >Hrs0 >reverse_reverse cases xs [|#r1 #rs1] %
 325             | <Htb2 [|@(\Pf Hdsti)] >nth_change_vec_neq [| @(\Pf Hdsti)]
 326               >Hrs0 >reverse_reverse >nth_change_vec_neq in ⊢ (???%);
 327               <Hrs <Hmidta_src [|@(\Pf Hdsti)] >change_vec_same % ]
 328           | >Hmidta_dst %{s'} % [%] #_
 329             >Hrs0 %{xs} %{ci} %{rs''} %{ls0} %{cj} %{rs0'} % // % //
 330           ]
 331         ]
 332       | lapply (\Pf Hss0) -Hss0 #Hss0 #Htc cut (tc = ta)
 333         [@Htc % % @(not_to_not ??? Hss0) #H destruct (H) %]
 334         -Htc #Htc destruct (Htc) #_ * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_
 335         #Htd destruct (Htd) * #te * * #_ #Hte * * #_ #Htb1 #Htb2
 336         #s1 #rs1 >Hmidta_src #H destruct (H)
 337         lapply (Hte … Hmidta_src … Hmidta_dst) -Hte #Hte destruct (Hte) %
 338         [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi
 339           cases (true_or_false ((dst : DeqNat) == i)) #Hdsti
 340           [ <(\P Hdsti) >(Htb1 … Hmidta_dst) >nth_change_vec // >Hmidta_dst
 341             cases rs0 [|#r2 #rs2] %
 342           | <Htb2 [|@(\Pf Hdsti)] >nth_change_vec_neq [| @(\Pf Hdsti)] % ]
 343         | >Hs0 %{s0} % // #H destruct (H) @False_ind cases (Hss0) /2/ ]
 344       ]
 345     ]
 346   ]
 347 | #ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * #Htest #Htd destruct (Htd)
 348   whd in ⊢ (%→?); #Htb destruct (Htb) #ls #x #xs #Hta_src
 349   lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 350   cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 351   [ #Hcurta_dst % % % // @Hcomp1 %2 //
 352   | #x0 #Hcurta_dst cases (current_to_midtape … Hcurta_dst) -Hcurta_dst
 353     #ls0 * #rs0 #Hta_dst cases (true_or_false (x == x0)) #Hxx0
 354     [ lapply (\P Hxx0) -Hxx0 #Hxx0 destruct (Hxx0)
 355     | >(?:tc=ta) in Htest;
 356       [|@Hcomp1 % % >Hta_src >Hta_dst @(not_to_not ??? (\Pf Hxx0)) normalize
 357         #Hxx0' destruct (Hxx0') % ]
 358       whd in ⊢ (??%?→?);
 359       >nth_current_chars >Hta_src >nth_current_chars >Hta_dst
 360       whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ] -Hcomp1
 361       cases (Hcomp2 … Hta_src Hta_dst) [ *
 362       [ * #rs' * #Hxs #Hcurtc % %2 %{ls0} %{rs0} %{rs'} %
 363         [ % // | >Hcurtc % ]
 364       | * #rs0' * #Hxs #Htc %2 >Htc %{ls0} %{rs0'} % // ]
 365       | * #xs0 * #ci * #cj * #rs' * #rs0' * * *
 366         #Hci #Hxs #Hrs0 #Htc @False_ind
 367         whd in Htest:(??%?);
 368         >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? ci) in Htest;
 369         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec_neq [|@(not_to_not … Hneq) //]
 370           >nth_change_vec //]
 371         >(?:nth dst ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? cj)
 372         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec //]
 373         normalize #H destruct (H) ] ] ]
 374 qed.
 375
 376 definition match_m ≝ λsrc,dst,sig,n.
 377   whileTM … (match_step src dst sig n)
 378     (inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop)))).
 379
 380 definition R_match_m ≝
 381   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 382   ∀x,rs.
 383   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig [ ] x rs →
 384   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? →
 385    right ? (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = [ ] → outt = int) ∧
 386   (∀ls0,x0,rs0.
 387    nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 388    (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::rs@l1 ∧
 389     outt = change_vec ??
 390            (change_vec ?? int
 391              (mk_tape sig (reverse ? rs@[x]) (None ?) [ ]) src)
 392            (mk_tape sig ((reverse ? (l@x::rs))@ls0) (option_hd ? l1) (tail ? l1)) dst) ∨
 393     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::rs@l1).
 394
 395 lemma not_sub_list_merge :
 396   ∀T.∀a,b:list T. (∀l1.a ≠ b@l1) → (∀t,l,l1.a ≠ t::l@b@l1) → ∀l,l1.a ≠ l@b@l1.
 397 #T #a #b #H1 #H2 #l elim l normalize //
 398 qed.
 399
 400 lemma not_sub_list_merge_2 :
 401   ∀T:DeqSet.∀a,b:list T.∀t. (∀l1.t::a ≠ b@l1) → (∀l,l1.a ≠ l@b@l1) → ∀l,l1.t::a ≠ l@b@l1.
 402 #T #a #b #t #H1 #H2 #l elim l //
 403 #t0 #l1 #IH #l2 cases (true_or_false (t == t0)) #Htt0
 404 [ >(\P Htt0) % normalize #H destruct (H) cases (H2 l1 l2) /2/
 405 | normalize % #H destruct (H) cases (\Pf Htt0) /2/ ]
 406 qed.
 407
 408
 409 lemma wsem_match_m : ∀src,dst,sig,n.
 410 src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 411   match_m src dst sig n ⊫ R_match_m src dst sig n.
 412 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 413 lapply (sem_while … (sem_match_step src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 414 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 415 [ #Hfalse #x #xs #Hmid_src
 416   cases (Hfalse … Hmid_src) -Hfalse
 417   [(* current dest = None *) *
 418     [ * #Hcur_dst #Houtc %
 419       [#_ >Houtc //
 420       | #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcur_dst;
 421         normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 422       ]
 423     | * #ls0 * #rs0 * #xs0 * * #Htc_dst #Hrs0 #HNone %
 424       [ >Htc_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 425       | #ls1 #x1 #rs1 >Htc_dst #H destruct (H)
 426         >Hrs0 >HNone cases xs0
 427         [ % %{[ ]} %{[ ]} % [ >append_nil >append_nil %]
 428           @eq_f3 //
 429           [ >reverse_append %
 430           | >reverse_append >reverse_cons >reverse_append
 431             >associative_append >associative_append % ]
 432         | #x2 #xs2 %2 #l #l1 % #Habs lapply (eq_f ?? (length ?) ?? Habs)
 433           >length_append whd in ⊢ (??%(??%)→?); >length_append
 434           >length_append normalize >commutative_plus whd in ⊢ (???%→?);
 435           #H destruct (H) lapply e0 >(plus_n_O (|rs1|)) in ⊢ (??%?→?);
 436           >associative_plus >associative_plus
 437           #e1 lapply (injective_plus_r ??? e1) whd in ⊢ (???%→?);
 438           #e2 destruct (e2)
 439         ]
 440       ]
 441     ]
 442   |* #ls0 * #rs0 * #Hmid_dst #Houtc %
 443     [ >Hmid_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 444     |#ls1 #x1 #rs1 >Hmid_dst #H destruct (H)
 445      %1 %{[ ]} %{rs0} % [%]
 446      >reverse_cons >associative_append >Houtc %
 447     ]
 448   ]
 449 |-ta #ta #tc #Htrue #Hstar #IH #Hout lapply (IH Hout) -IH -Hout #IH whd
 450  #x #xs #Hmidta_src
 451  lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 452  cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 453   [#Hcurta_dst %
 454     [#Hcurta_dst #Hrightta_dst whd in Htrue; >Hmidta_src in Htrue; #Htrue
 455      cases (Htrue ?? (refl ??)) -Htrue #Htc
 456      cut (tc = ta)
 457      [ >Htc whd in match (tape_move_mono ???); whd in match (tape_write ???);
 458        <(change_vec_same … ta dst (niltape ?)) in ⊢ (???%);
 459        lapply Hrightta_dst lapply Hcurta_dst -Hrightta_dst -Hcurta_dst
 460        cases (nth dst ? ta (niltape ?))
 461        [ #_ #_ %
 462        | #r0 #rs0 #_ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 463        | #l0 #ls0 #_ #_ %
 464        | #ls #x0 #rs normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 465      -Htc #Htc destruct (Htc) #_
 466      cases (IH … Hmidta_src) #Houtc #_ @Houtc //
 467     |#ls0 #x0 #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst in Hcurta_dst;
 468      normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 469     ]
 470   | #c #Hcurta_dst % [ >Hcurta_dst #H destruct (H) ]
 471     #ls0 #x0 #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst in Hcurta_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 472     #H destruct (H) whd in Htrue; >Hmidta_src in Htrue; #Htrue
 473     cases (Htrue ?? (refl …)) -Htrue >Hmidta_dst #Htc
 474     cases (true_or_false (x==c)) #eqx
 475     [ lapply (\P eqx) -eqx #eqx destruct (eqx) * #s0 * whd in ⊢ (??%?→?); #Hs0
 476       destruct (Hs0) #Htrue cases (Htrue (refl ??)) -Htrue
 477       #xs0 * #ci * #rs' * #ls1 * #cj * #rs1 * * #Hxs #H destruct (H) #Hcicj
 478       >Htc in IH; whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 479       #IH cases (IH … Hmidta_src) -IH #_ >nth_change_vec //
 480       cut (∃x1,xs1.xs0@cj::rs1 = x1::xs1)
 481       [ cases xs0 [ %{cj} %{rs1} % | #x1 #xs1 %{x1} %{(xs1@cj::rs1)} % ] ] * #x1 * #xs1
 482       #Hxs1 >Hxs1 #IH cases (IH … (refl ??)) -IH
 483       [ * #l * #l1 * #Hxs1'
 484         >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 485         #Houtc % %{(s0::l)} %{l1} %
 486         [ normalize <Hxs1' %
 487         | >reverse_cons >associative_append >change_vec_commute // @Houtc ]
 488       | #H %2 #l #l1 >(?:l@s0::xs@l1 = l@(s0::xs)@l1) [|%]
 489         @not_sub_list_merge
 490         [ #l2 >Hxs <Hxs1 % normalize #H1 lapply (cons_injective_r ????? H1)
 491           >associative_append #H2 lapply (append_l2_injective ????? (refl ??) H2)
 492           #H3 lapply (cons_injective_l ????? H3) #H3 >H3 in Hcicj; * /2/
 493         |#t #l2 #l3 % normalize #H1 lapply (cons_injective_r ????? H1)
 494          -H1 #H1 cases (H l2 l3) #H2 @H2 @H1
 495         ]
 496       ]
 497     | #_ cases (IH x xs ?) -IH
 498       [| >Htc >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmidta_src ]
 499       >Htc >nth_change_vec // cases rs0
 500       [ #_ #_ %2 #l #l1 cases l
 501        [ normalize cases xs
 502          [ cases l1
 503            [ normalize % #H destruct (H) cases (\Pf eqx) /2/
 504            | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 505          | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 506        | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H)cases l2 in e0;
 507          [ normalize #H1 destruct (H1)
 508          | #tmp2 #l3 normalize #H1 destruct (H1) ] ]
 509       | #r1 #rs1 #_ #IH cases (IH … (refl ??)) -IH
 510         [ * #l * #l1 * #Hll1 #Houtc % %{(c::l)} %{l1} % [ >Hll1 % ]
 511           >Houtc >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 512           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 513           >reverse_cons >associative_append %
 514         | #Hll1 %2 @(not_sub_list_merge_2 ?? (x::xs)) normalize [|@Hll1]
 515          #l1 % #H destruct (H) cases (\Pf eqx) /2/
 516         ]
 517       ]
 518     ]
 519   ]
 520 ]
 521 qed.
 522
 523 axiom daemon : ∀P:Prop.P.
 524
 525 definition R_match_step_true_naive ≝
 526   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 527   |left ? (nth src ? outt (niltape ?))| +
 528   |right ? (nth dst ? outt (niltape ?))| <
 529   |left ? (nth src ? int (niltape ?))| +
 530   |right ? (nth dst ? int (niltape ?))|.
 531
 532 axiom right_mk_tape : ∀sig,ls,c,rs.right ? (mk_tape sig ls c rs) = rs.
 533 axiom left_mk_tape : ∀sig,ls,c,rs.left ? (mk_tape sig ls c rs) = ls.
 534 axiom length_tail : ∀A,l.0 < |l| → |tail A l| < |l|.
 535 axiom lists_length_split :
 536  ∀A.∀l1,l2:list A.(∃la,lb.(|la| = |l1| ∧ l2 = la@lb) ∨ (|la| = |l2| ∧ l1 = la@lb)).
 537
 538 lemma sem_match_step_termination :
 539   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 540   match_step src dst sig n ⊨
 541     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 542       R_match_step_true_naive src dst sig n,
 543       R_match_step_false src dst sig n ].
 544 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst
 545 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)
 546     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ?))
 547       (sem_seq …
 548         (sem_rewind_strong ???? Hneq Hsrc Hdst)
 549         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 550       (sem_nop …)))
 551 [ #ta #tb #tc * lapply (refl ? (current ? (nth src ? ta (niltape ?))))
 552   cases (current ? (nth src ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 553   [ #Hcurta_src #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| % %2 %]
 554     whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 555     >nth_current_chars >Hcurta_src normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 556   | #s #Hs lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 557     cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 558     [ #Hcurta_dst #Hcomp #_ * #td * >Hcomp [| %2 %]
 559       whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 560       >nth_current_chars >nth_current_chars >Hs >Hcurta_dst
 561       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 562     | #s0 #Hs0
 563       cases (current_to_midtape … Hs) #ls * #rs #Hmidta_src >Hmidta_src
 564       cases (current_to_midtape … Hs0) #ls0 * #rs0 #Hmidta_dst >Hmidta_dst
 565       cases (true_or_false (s == s0)) #Hss0
 566       [ lapply (\P Hss0) -Hss0 #Hss0 destruct (Hss0)
 567         #_ #Hcomp cases (Hcomp ????? (refl ??) (refl ??)) -Hcomp [ *
 568         [ * #rs' * #_ #Hcurtc_dst * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 569           >nth_current_chars >nth_current_chars >Hcurtc_dst
 570           cases (current ? (nth src …))
 571           [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 572           | #x >nth_change_vec // cases (reverse ? rs0)
 573             [ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 574             | #r1 #rs1 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ] ]
 575         | * #rs0' * #_ #Hcurtc_src * #td * whd in ⊢ (%→?); * whd in ⊢ (??%?→?);
 576           >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = None ?)
 577           [|>nth_current_chars >Hcurtc_src >nth_change_vec_neq
 578             [>nth_change_vec [cases (append ???) // | @Hsrc]
 579             |@(not_to_not … Hneq) //
 580             ]]
 581           normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 582         | * #xs * #ci * #cj * #rs'' * #rs0' * * * #Hcicj #Hrs #Hrs0
 583           #Htc * #td * * #Hmatch #Htd destruct (Htd) * #te * *
 584           >Htc >change_vec_commute // >nth_change_vec //
 585           >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 586           cases (lists_length_split ? ls ls0) #lsa * #lsb * * #Hlen #Hlsalsb
 587           destruct (Hlsalsb)  *
 588           [ #Hte #_ #_ <(reverse_reverse … ls) in Hte; <(reverse_reverse … lsa)
 589             cut (|reverse ? lsa| = |reverse ? ls|) [ // ] #Hlen'
 590             @(list_cases2 … Hlen')
 591             [ #H1 #H2 >H1 >H2 -H1 -H2 normalize in match (reverse ? [ ]); #Hte
 592               lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??) (refl ??)) -Hte
 593               >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 594               >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec #Hte
 595               >Hte * * #_ >nth_change_vec // >reverse_reverse
 596               #H lapply (H … (refl ??)) -H #Htb1 #Htb2
 597               cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta (midtape sig [] s0 (xs@ci::rs'')) src) (mk_tape sig (s0::lsb) (option_hd sig (xs@cj::rs0')) (tail sig (xs@cj::rs0'))) dst)
 598               [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd >nth_change_vec //
 599               >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 600               >right_mk_tape normalize in match (left ??);
 601               >Hmidta_src >Hmidta_dst >length_tail >Hrs0 >length_append
 602               normalize in ⊢ (?(?%)(?%?)); >commutative_plus //
 603             | #hda #hdb #tla #tlb #H1 #H2 >H1 >H2
 604               >reverse_cons >reverse_cons #Hte
 605               lapply (Hte ci hdb (reverse ? xs@s0::reverse ? tlb) rs'' ?
 606                        lsb cj hda (reverse ? xs@s0::reverse ? tla) rs0' ??)
 607               [ /2 by cons_injective_l, nil/
 608               | >length_append >length_append @eq_f @(eq_f ?? S)
 609                 >H1 in Hlen'; >H2 whd in ⊢ (??%%→?); #Hlen'
 610                 >length_reverse >length_reverse destruct (Hlen') //
 611               | /2 by refl, trans_eq/ ] -Hte
 612               #Hte * * #_ >Hte >nth_change_vec // #Htb1 #Htb2
 613               cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta
 614                         (mk_tape sig (hda::lsb) (option_hd ? (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tla)@cj::rs0')) (tail ? (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tla)@cj::rs0'))) dst)
 615                         (midtape ? [ ] hdb (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tlb)@ci::rs'')) src)
 616               [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd
 617               >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec //
 618               >right_mk_tape >Hmidta_src >Hmidta_dst
 619               whd in match (left ??); whd in match (left ??); whd in match (right ??);
 620               >length_tail >Hrs0 >length_append >length_append >length_reverse
 621               >length_append >commutative_plus in match (|reverse ??| + ?);
 622               whd in match (|?::?|); >length_reverse >length_reverse
 623               <(length_reverse ? ls) <Hlen' >H1 normalize // ]
 624          | #_ #Hte #_ <(reverse_reverse … ls0) in Hte; <(reverse_reverse … lsa)
 625             cut (|reverse ? lsa| = |reverse ? ls0|) [ // ] #Hlen'
 626             @(list_cases2 … Hlen')
 627             [ #H1 #H2 >H1 >H2 normalize in match (reverse ? [ ]); #Hte
 628               lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??) (refl ??)) -Hte
 629               >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 630               >change_vec_change_vec #Hte
 631               >Hte * * #_ >nth_change_vec // >reverse_reverse
 632               #H lapply (H … (refl ??)) -H #Htb1 #Htb2
 633               (* cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta (midtape sig [] s0 (xs@ci::rs'')) src) (mk_tape sig (s0::lsb) (option_hd sig (xs@cj::rs0')) (tail sig (xs@cj::rs0'))) dst) *)
 634               cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta (mk_tape ? [s0] (option_hd ? (xs@cj::rs0')) (tail ? (xs@cj::rs0'))) dst)
 635                            (midtape ? lsb s0 (xs@ci::rs'')) src)
 636               [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd >nth_change_vec //
 637               >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec //
 638               >right_mk_tape normalize in match (left ??);
 639               >Hmidta_src >Hmidta_dst >length_tail >Hrs0 >length_append
 640               >commutative_plus in match (pred ?); normalize
 641               >length_append >(?:|lsa| = O)
 642               [ normalize <plus_n_Sm <plus_n_Sm // | <(length_reverse ? lsa) >H1 % ]
 643             | #hda #hdb #tla #tlb #H1 #H2 >H1 >H2
 644               >reverse_cons >reverse_cons #Hte
 645               lapply (Hte cj hdb (reverse ? xs@s0::reverse ? tlb) rs0' ?
 646                        lsb ci hda (reverse ? xs@s0::reverse ? tla) rs'' ??)
 647               [ /2 by cons_injective_l, nil/
 648               | >length_append >length_append @eq_f @(eq_f ?? S)
 649                 >H1 in Hlen'; >H2 whd in ⊢ (??%%→?); #Hlen'
 650                 >length_reverse >length_reverse destruct (Hlen') //
 651               | /2 by refl, trans_eq/ ] -Hte
 652               #Hte * * #_ >Hte >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec // #Htb1 #Htb2
 653               cut (tb = change_vec ?? (change_vec (tape sig) (S n) ta
 654                         (mk_tape sig [hdb] (option_hd ? (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tlb)@cj::rs0')) (tail ? (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tlb)@cj::rs0'))) dst)
 655                         (midtape ? lsb hda (reverse sig (reverse sig xs@s0::reverse sig tla)@ci::rs'')) src)
 656               [@daemon] -Htb1 -Htb2 #Htb >Htb whd
 657               >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec //
 658               >right_mk_tape >Hmidta_src >Hmidta_dst
 659               whd in match (left ??); whd in match (left ??); whd in match (right ??);
 660               >length_tail >Hrs0 >length_append >length_append >length_reverse
 661               >length_append >commutative_plus in match (|reverse ??| + ?);
 662               whd in match (|?::?|); >length_reverse >length_reverse >Hlen
 663               <(length_reverse ? ls0) >H2 whd in match (|?::?|);
 664               >length_append normalize //
 665             ]
 666           ]
 667         ]
 668       | FIXME
 669        (* lapply (\Pf Hss0) -Hss0 #Hss0 #Htc cut (tc = ta)
 670         [@Htc % % @(not_to_not ??? Hss0) #H destruct (H) %]
 671         -Htc #Htc destruct (Htc) #_ * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_
 672         #Htd destruct (Htd) * #te * * * # #_ >Hmidta_src >Hmidta_dst #Hte
 673         lapply (Hte … (refl ??) … (refl ??)) * * #_ #Htb1 #Htb2
 674         #s1 #rs1 >Hmidta_src #H destruct (H)
 675         lapply (Hte … Hmidta_src … Hmidta_dst) -Hte #Hte destruct (Hte) %
 676         [ @(eq_vec … (niltape ?)) #i #Hi
 677           cases (true_or_false ((dst : DeqNat) == i)) #Hdsti
 678           [ <(\P Hdsti) >(Htb1 … Hmidta_dst) >nth_change_vec // >Hmidta_dst
 679             cases rs0 [|#r2 #rs2] %
 680           | <Htb2 [|@(\Pf Hdsti)] >nth_change_vec_neq [| @(\Pf Hdsti)] % ]
 681         | >Hs0 %{s0} % // #H destruct (H) @False_ind cases (Hss0) /2/ ] *)
 682       ]
 683     ]
 684   ]
 685 | #ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * #Htest #Htd destruct (Htd)
 686   whd in ⊢ (%→?); #Htb destruct (Htb) #ls #x #xs #Hta_src
 687   lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 688   cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 689   [ #Hcurta_dst % % % // @Hcomp1 %2 //
 690   | #x0 #Hcurta_dst cases (current_to_midtape … Hcurta_dst) -Hcurta_dst
 691     #ls0 * #rs0 #Hta_dst cases (true_or_false (x == x0)) #Hxx0
 692     [ lapply (\P Hxx0) -Hxx0 #Hxx0 destruct (Hxx0)
 693     | >(?:tc=ta) in Htest;
 694       [|@Hcomp1 % % >Hta_src >Hta_dst @(not_to_not ??? (\Pf Hxx0)) normalize
 695         #Hxx0' destruct (Hxx0') % ]
 696       whd in ⊢ (??%?→?);
 697       >nth_current_chars >Hta_src >nth_current_chars >Hta_dst
 698       whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ] -Hcomp1
 699       cases (Hcomp2 … Hta_src Hta_dst) [ *
 700       [ * #rs' * #Hxs #Hcurtc % %2 %{ls0} %{rs0} %{rs'} %
 701         [ % // | >Hcurtc % ]
 702       | * #rs0' * #Hxs #Htc %2 >Htc %{ls0} %{rs0'} % // ]
 703       | * #xs0 * #ci * #cj * #rs' * #rs0' * * *
 704         #Hci #Hxs #Hrs0 #Htc @False_ind
 705         whd in Htest:(??%?);
 706         >(?:nth src ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? ci) in Htest;
 707         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec_neq [|@(not_to_not … Hneq) //]
 708           >nth_change_vec //]
 709         >(?:nth dst ? (current_chars ?? tc) (None ?) = Some ? cj)
 710         [|>nth_current_chars >Htc >nth_change_vec //]
 711         normalize #H destruct (H) ] ] ]
 712 qed.
 713
 714
 715 definition Pre_match_m ≝
 716   λsrc,sig,n.λt: Vector (tape sig) (S n).
 717   ∃x,xs.
 718   nth src (tape sig) t (niltape sig) = midtape ? [] x xs.
 719
 720 lemma terminate_match_m :
 721   ∀src,dst,sig,n,t.
 722   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 723   Pre_match_m src sig n t →
 724   match_m src dst sig n ↓ t.
 725 #src #dst #sig #n #t #Hneq #Hsrc #Hdst * #start * #xs
 726 #Hmid_src
 727 @(terminate_while … (sem_match_step src dst sig n Hneq Hsrc Hdst)) //
 728 <(change_vec_same … t dst (niltape ?))
 729 lapply (refl ? (nth dst (tape sig) t (niltape ?)))
 730 cases (nth dst (tape sig) t (niltape ?)) in ⊢ (???%→?);
 731 [ #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 732   >Hmid_src #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
 733   >nth_change_vec // >Htape_dst #_ * #s0 * normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 734 | #x0 #xs0 #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 735   >Hmid_src #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
 736   >nth_change_vec // >Htape_dst #_ normalize in ⊢ (%→?);
 737   * #s0 * #H destruct (H)
 738 | #x0 #xs0 #Htape_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 739   >Hmid_src #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
 740   >nth_change_vec // >Htape_dst #_ normalize in ⊢ (%→?);
 741   * #s0 * #H destruct (H)
 742 | #ls #s #rs lapply s -s lapply ls -ls lapply Hmid_src lapply t -t elim rs
 743   [#t #Hmid_src #ls #s #Hmid_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?); >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 744    >Hmid_src >nth_change_vec // >Hmid_dst #HR cases (HR ?? (refl ??)) -HR
 745    >change_vec_change_vec #Ht1 #_ % #t2 whd in ⊢ (%→?);
 746    >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmid_src #HR
 747    cases (HR ?? (refl ??)) -HR #_
 748    >nth_change_vec // * #s1 * normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 749   |#r0 #rs0 #IH #t #Hmid_src #ls #s #Hmid_dst % #t1 whd in ⊢ (%→?);
 750    >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >Hmid_src
 751    #Htrue cases (Htrue ?? (refl ??)) -Htrue >change_vec_change_vec
 752    >nth_change_vec // >Hmid_dst whd in match (tape_move_mono ???); #Ht1
 753    * #s0 * whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) #_ >Ht1
 754    lapply (IH t1 ? (s0::ls) r0 ?)
 755    [ >Ht1 >nth_change_vec //
 756    | >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src
 757    | >Ht1 >nth_change_vec // ]
 758  ]
 759 ]
 760 qed.