matita/matita/lib/turing/multi_universal/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "turing/multi_universal/compare.ma".
  16 include "turing/multi_universal/par_test.ma".
  17
  18
  19 definition Rtc_multi_true ≝
  20   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  21    (∃c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c ∧ test c = true) ∧ t2 = t1.
  22
  23 definition Rtc_multi_false ≝
  24   λalpha,test,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  25     (∀c. current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = Some ? c → test c = false) ∧ t2 = t1.
  26
  27 lemma sem_test_char_multi :
  28   ∀alpha,test,n,i.i ≤ n →
  29   inject_TM ? (test_char ? test) n i ⊨
  30   [ tc_true : Rtc_multi_true alpha test n i, Rtc_multi_false alpha test n i ].
  31 #alpha #test #n #i #Hin #int
  32 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_char alpha test) int)
  33 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  34 [ @Hloop
  35 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * * #c *
  36   #Hcur #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  37   [ %{c} % //
  38   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  39     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  40     [ >Hi0i @Hnth_i
  41     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  42 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Htestc #Hnth_i #Hnth_j %
  43   [ @Htestc
  44   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0
  45     cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  46     [ >Hi0i @Hnth_i
  47     | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ] ]
  48 qed.
  49
  50 definition Rm_test_null_true ≝
  51   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  52    current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) ≠ None ? ∧ t2 = t1.
  53
  54 definition Rm_test_null_false ≝
  55   λalpha,n,i.λt1,t2:Vector ? (S n).
  56     current alpha (nth i ? t1 (niltape ?)) = None ? ∧ t2 = t1.
  57
  58 lemma sem_test_null_multi : ∀alpha,n,i.i ≤ n →
  59   inject_TM ? (test_null ?) n i ⊨
  60     [ tc_true : Rm_test_null_true alpha n i, Rm_test_null_false alpha n i ].
  61 #alpha #n #i #Hin #int
  62 cases (acc_sem_inject … Hin (sem_test_null alpha) int)
  63 #k * #outc * * #Hloop #Htrue #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
  64 [ @Hloop
  65 | #Hqtrue lapply (Htrue Hqtrue) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j % //
  66   @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hi0i
  67   [ >Hi0i @sym_eq @Hnth_i | @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  68 | #Hqfalse lapply (Hfalse Hqfalse) * * #Hcur #Hnth_i #Hnth_j %
  69   [ @Hcur
  70   | @(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i0 i) //
  71     #Hi0i @sym_eq @Hnth_j @sym_not_eq // ] ]
  72 qed.
  73
  74 lemma comp_list: ∀S:DeqSet. ∀l1,l2:list S.∀is_endc. ∃l,tl1,tl2.
  75   l1 = l@tl1 ∧ l2 = l@tl2 ∧ (∀c.c ∈ l = true → is_endc c = false) ∧
  76   ∀a,tla. tl1 = a::tla →
  77   is_endc a = true ∨ (is_endc a = false ∧∀b,tlb.tl2 = b::tlb → a≠b).
  78 #S #l1 #l2 #is_endc elim l1 in l2;
  79 [ #l2 %{[ ]} %{[ ]} %{l2} normalize %
  80   [ % [ % // | #c #H destruct (H) ] | #a #tla #H destruct (H) ]
  81 | #x #l3 #IH cases (true_or_false (is_endc x)) #Hendcx
  82   [ #l %{[ ]} %{(x::l3)} %{l} normalize
  83     % [ % [ % // | #c #H destruct (H) ] | #a #tla #H destruct (H) >Hendcx % % ]
  84   | *
  85     [ %{[ ]} %{(x::l3)} %{[ ]} normalize %
  86       [ % [ % // | #c #H destruct (H) ]
  87       | #a #tla #H destruct (H) cases (is_endc a)
  88         [ % % | %2 % // #b #tlb #H destruct (H) ]
  89       ]
  90     | #y #l4 cases (true_or_false (x==y)) #Hxy
  91       [ lapply (\P Hxy) -Hxy #Hxy destruct (Hxy)
  92         cases (IH l4) -IH #l * #tl1 * #tl2 * * * #Hl3 #Hl4 #Hl #IH
  93         %{(y::l)} %{tl1} %{tl2} normalize
  94         % [ % [ % //
  95               | #c cases (true_or_false (c==y)) #Hcy >Hcy normalize
  96                 [ >(\P Hcy) //
  97                 | @Hl ]
  98               ]
  99           | #a #tla #Htl1 @(IH … Htl1) ]
 100       | %{[ ]} %{(x::l3)} %{(y::l4)} normalize %
 101         [ % [ % // | #c #H destruct (H) ]
 102         | #a #tla #H destruct (H) cases (is_endc a)
 103           [ % % | %2 % // #b #tlb #H destruct (H) @(\Pf Hxy) ]
 104         ]
 105       ]
 106     ]
 107   ]
 108 ]
 109 qed.
 110
 111 definition match_test ≝ λsrc,dst.λsig:DeqSet.λn,is_endc.λv:Vector ? n.
 112   match (nth src (option sig) v (None ?)) with
 113   [ None ⇒  false
 114   | Some x ⇒  notb ((is_endc x) ∨ (nth dst (DeqOption sig) v (None ?) == None ?))].
 115
 116 definition match_step ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 117   compare src dst sig n is_endc ·
 118      (ifTM ?? (partest sig n (match_test src dst sig ? is_endc))
 119       (single_finalTM ??
 120         (parmove src dst sig n L is_startc · (inject_TM ? (move_r ?) n dst)))
 121       (nop …)
 122       partest1).
 123
 124 definition R_match_step_false ≝
 125   λsrc,dst,sig,n,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 126   ∀ls,x,xs,end,rs.
 127   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) →
 128   (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → is_endc end = true →
 129    ((current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ?) ∧ outt = int) ∨
 130     (∃ls0,rs0,xs0. nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x rs0 ∧
 131       xs = rs0@xs0 ∧
 132       current sig (nth dst (tape sig) outt (niltape sig)) = None ?) ∨
 133     (∃ls0,rs0.
 134      nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) ∧
 135      ∀rsj,c.
 136      rs0 = c::rsj →
 137      outt = change_vec ??
 138             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
 139             (midtape sig (reverse ? xs@x::ls0) c rsj) dst).
 140
 141 definition R_match_step_true ≝
 142   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 143   ∀s.current sig (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s →
 144   current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) ≠ None ? ∧
 145   (is_startc s = true →
 146    (∀c.c ∈ right ? (nth src (tape sig) int (niltape sig)) = true → is_startc c = false) →
 147    (∀s1.current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = Some ? s1 → s ≠ s1 →
 148     outt = change_vec ?? int
 149           (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈s1,R〉)) dst ∧ is_endc s = false) ∧
 150    (∀ls,x,xs,ci,rs,ls0,rs0.
 151      nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@ci::rs) →
 152      nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x (xs@rs0) →
 153      (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) →
 154      is_endc ci = false ∧ rs0 ≠ [] ∧
 155      ∀cj,rs1.rs0 = cj::rs1 →
 156       ci ≠ cj →
 157       (outt = change_vec ?? int
 158           (tape_move … (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x,R〉)) dst ∧ is_endc ci = false))).
 159
 160 lemma sem_match_step :
 161   ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 162   match_step src dst sig n is_startc is_endc ⊨
 163     [ inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop))) :
 164       R_match_step_true src dst sig n is_startc is_endc,
 165       R_match_step_false src dst sig n is_endc ].
 166 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst
 167 @(acc_sem_seq_app sig n … (sem_compare src dst sig n is_endc Hneq Hsrc Hdst)
 168     (acc_sem_if ? n … (sem_partest sig n (match_test src dst sig ? is_endc))
 169       (sem_seq …
 170         (sem_parmoveL ???? is_startc Hneq Hsrc Hdst)
 171         (sem_inject … dst (le_S_S_to_le … Hdst) (sem_move_r ? )))
 172       (sem_nop …)))
 173 [#ta #tb #tc * #Hcomp1 #Hcomp2 * #td * * #Htest #Htd >Htd -Htd
 174  * #te * #Hte #Htb whd
 175  #s #Hcurta_src %
 176  [ lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 177    cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→%);
 178    [| #c #_ % #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 179    #Hcurta_dst >Hcomp1 in Htest; [| %2 %2 //]
 180    whd in ⊢ (??%?→?); change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 181     <nth_vec_map >Hcurta_src whd in ⊢ (??%?→?); <nth_vec_map
 182     >Hcurta_dst cases (is_endc s) normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 183  | #Hstart #Hnotstart %
 184    [ #s1 #Hcurta_dst #Hneqss1 -Hcomp2
 185      cut (tc = ta)
 186      [@Hcomp1 %2 %1 %1 >Hcurta_src >Hcurta_dst @(not_to_not … Hneqss1) #H destruct (H) //]
 187      #H destruct (H) -Hcomp1 cases Hte #_ -Hte #Hte
 188      cut (te = ta) [@Hte %1 %1 %{s} % //] -Hte #H destruct (H) %
 189      [cases Htb * #_ #Hmove #Hmove1 @(eq_vec … (niltape … ))
 190       #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 191        [ >Hidst >nth_change_vec // cases (current_to_midtape … Hcurta_dst)
 192          #ls * #rs #Hta_mid >(Hmove … Hta_mid) >Hta_mid cases rs //
 193        | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @Hmove1 @sym_not_eq // ]
 194      | whd in Htest:(??%?); >(nth_vec_map ?? (current sig)) in Hcurta_src; #Hcurta_src
 195        >Hcurta_src in Htest; whd in ⊢ (??%?→?);
 196        cases (is_endc s) // whd in ⊢ (??%?→?); #H @sym_eq //
 197      ]
 198    |#ls #x #xs #ci #rs #ls0 #rs00 #Htasrc_mid #Htadst_mid #Hnotendc
 199     cases (Hcomp2 … Htasrc_mid Htadst_mid Hnotendc)
 200     [ * #Hrs00 #Htc >Htc in Htest; whd in ⊢ (??%?→?);
 201       <(nth_vec_map ?? (current sig) ??? (niltape ?))
 202       >change_vec_commute // >nth_change_vec // whd in ⊢ (??%?→?);
 203       cases (is_endc ci)
 204       [ whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 205       | <(nth_vec_map ?? (current sig) ??? (niltape ?))
 206         >change_vec_commute [| @sym_not_eq // ] >nth_change_vec //
 207         >(?:current ? (mk_tape ?? (None ?) ?) = None ?)
 208         [ whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 209         | cases (reverse sig xs@x::ls0) normalize // ] ] ]
 210     * #cj' * #rs0' * #Hcjrs0 destruct (Hcjrs0) -Hcomp2 #Hcomp2 % [ %
 211     [ cases (true_or_false (is_endc ci)) //
 212       #Hendci >(Hcomp2 (or_introl … Hendci)) in Htest;
 213       whd in ⊢ (??%?→?); <(nth_vec_map ?? (current sig) ??? (niltape ?))
 214         >change_vec_commute // >nth_change_vec // whd in ⊢ (??%?→?);
 215         >Hendci normalize //
 216     | % #H destruct (H) ] ] #cj #rs1 #H destruct (H) #Hcicj
 217     lapply (Hcomp2 (or_intror ?? Hcicj)) -Hcomp2 #Htc %
 218     [ cases Hte -Hte #Hte #_ whd in Hte;
 219       >Htasrc_mid in Hcurta_src; whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 220       lapply (Hte ls ci (reverse ? xs) rs s ??? ls0 cj (reverse ? xs) s rs1 (refl ??) ?) //
 221       [ >Htc >nth_change_vec //
 222       | #c0 #Hc0 @(Hnotstart c0) >Htasrc_mid cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 223         [@memb_append_l2 >(\P Hc0) @memb_hd
 224         |@memb_append_l1 <(reverse_reverse …xs) @memb_reverse //
 225         ]
 226       | >Htc >change_vec_commute // >nth_change_vec // ] -Hte
 227       >Htc >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 228       >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec #Hte
 229       >Hte in Htb; * * #_ >reverse_reverse #Htbdst1 #Htbdst2 -Hte @(eq_vec … (niltape ?))
 230       #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 231       [ >Hidst >nth_change_vec // >(Htbdst1 ls0 s (xs@cj::rs1))
 232         [| >nth_change_vec // ]
 233         >Htadst_mid cases xs //
 234       | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq // ]
 235         <Htbdst2 [| @sym_not_eq // ] >nth_change_vec_neq [| @sym_not_eq // ]
 236         <Htasrc_mid >change_vec_same % ]
 237     | >Hcurta_src in Htest; whd in ⊢(??%?→?);
 238       >Htc >change_vec_commute //
 239       change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 240       <nth_vec_map >nth_change_vec // whd in ⊢ (??%?→?);
 241       cases (is_endc ci) whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) %
 242     ]
 243    ]
 244   ]
 245 |#intape #outtape #ta * #Hcomp1 #Hcomp2 * #tb * * #Hc #Htb
 246  whd in ⊢ (%→?); #Hout >Hout >Htb whd
 247  #ls #c_src #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend
 248  lapply (current_to_midtape sig (nth dst ? intape (niltape ?)))
 249  cases (current … (nth dst ? intape (niltape ?))) in Hcomp1;
 250   [#Hcomp1 #_ %1 % % [% | @Hcomp1 %2 %2 % ]
 251   |#c_dst cases (true_or_false (c_src == c_dst)) #Hceq
 252     [#_ #Hmid_dst cases (Hmid_dst c_dst (refl …)) -Hmid_dst
 253      #ls_dst * #rs_dst #Hmid_dst
 254      cases (comp_list … (xs@end::rs) rs_dst is_endc) #xs1 * #rsi * #rsj * * *
 255      #Hrs_src #Hrs_dst #Hnotendxs1 #Hneq >Hrs_dst in Hmid_dst; #Hmid_dst
 256      cut (∃r1,rs1.rsi = r1::rs1)
 257      [cases rsi in Hrs_src;
 258        [ >append_nil #H <H in Hnotendxs1; #Hnotendxs1
 259          >(Hnotendxs1 end) in Hend; [ #H1 destruct (H1) ]
 260          @memb_append_l2 @memb_hd
 261        | #r1 #rs1 #_ %{r1} %{rs1} % ] ]
 262      * #r1 * #rs1 #Hrs1 >Hrs1 in Hrs_src;
 263      #Hrs_src >Hrs_src in Hmid_src; #Hmid_src <(\P Hceq) in Hmid_dst; #Hmid_dst
 264      lapply (Hcomp2 ??????? Hmid_src Hmid_dst ?)
 265      [ #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 266        [ >(\P Hc0) @Hnotend @memb_hd | @Hnotendxs1 //] ]
 267      *
 268      [ * #Hrsj >Hrsj #Hta % %2 >Hta >nth_change_vec //
 269        %{ls_dst} %{xs1} cut (∃xs0.xs = xs1@xs0)
 270        [lapply Hnotendxs1 -Hnotendxs1 lapply Hrs_src lapply xs elim xs1
 271          [ #l #_ #_ %{l} %
 272          | #x2 #xs2 #IH *
 273            [ whd in ⊢ (??%%→?); #H destruct (H) #Hnotendxs2
 274              >Hnotendxs2 in Hend; [ #H destruct (H) |@memb_hd ]
 275            | #x2' #xs2' whd in ⊢ (??%%→?); #H destruct (H)
 276              #Hnotendxs2 cases (IH xs2' e0 ?)
 277              [ #xs0 #Hxs2 %{xs0} @eq_f //
 278              |#c #Hc @Hnotendxs2 @memb_cons // ]
 279            ]
 280          ]
 281        ] * #xs0 #Hxs0 %{xs0} % [ %
 282        [ >Hmid_dst >Hrsj >append_nil %
 283        | @Hxs0 ]
 284        | cases (reverse ? xs1) // ]
 285      | * #cj * #rs2 * #Hrsj #Hta lapply (Hta ?)
 286        [ cases (Hneq ?? Hrs1) /2/ * #_ #Hr1 %2 @(Hr1 ?? Hrsj) ] -Hta #Hta
 287        %2 >Hta in Hc; whd in ⊢ (??%?→?);
 288        change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 289        <nth_vec_map >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 290        whd in ⊢ (??%?→?); #Hc cut (is_endc r1 = true)
 291        [ cases (is_endc r1) in Hc; whd in ⊢ (??%?→?); //
 292          change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 293          <nth_vec_map >nth_change_vec // normalize #H destruct (H) ]
 294        #Hendr1 cut (xs = xs1)
 295        [ lapply Hnotendxs1 lapply Hnotend lapply Hrs_src lapply xs1
 296          -Hnotendxs1 -Hnotend -Hrs_src -xs1 elim xs
 297          [ * normalize in ⊢ (%→?); //
 298            #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #_ #Hnotendxs1
 299            lapply (Hnotendxs1 ? (memb_hd …)) >Hend #H destruct (H)
 300          | #x2 #xs2 #IH *
 301            [ normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq) #Hnotendc
 302              >Hnotendc in Hendr1; [| @memb_cons @memb_hd ]
 303              normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 304            | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 305              #Hnotendc #Hnotendcxs1 @eq_f @IH
 306              [ @(cons_injective_r … Heq)
 307              | #c0 #Hc0 @Hnotendc cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 308                [ >(\P Hc0) @memb_hd
 309                | @memb_cons @memb_cons // ]
 310              | #c #Hc @Hnotendcxs1 @memb_cons // ]
 311            ]
 312          ]
 313        | #Hxsxs1 destruct (Hxsxs1) >Hmid_dst %{ls_dst} %{rsj} % //
 314          #rsj0 #c >Hrsj #Hrsj0 destruct (Hrsj0)
 315          lapply (append_l2_injective … Hrs_src) // #Hrs' destruct (Hrs') %
 316        ]
 317      ]
 318     |#Hcomp1 #Hsrc cases (Hsrc ? (refl ??)) -Hsrc #ls0 * #rs0 #Hdst
 319      @False_ind lapply (Hcomp1 ?) [%2 %1 %1 >Hmid_src normalize
 320      @(not_to_not ??? (\Pf Hceq)) #H destruct //] #Hintape >Hintape in Hc;
 321      whd in ⊢(??%?→?); >Hmid_src
 322      change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 323      <nth_vec_map >Hmid_src whd in ⊢ (??%?→?);
 324      >(Hnotend c_src) [|@memb_hd]
 325      change with (current ? (niltape ?)) in match (None ?);
 326      <nth_vec_map >Hmid_src whd in ⊢ (??%?→?); >Hdst normalize #H destruct (H)
 327    ]
 328   ]
 329 ]
 330 qed.
 331
 332 definition match_m ≝ λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 333   whileTM … (match_step src dst sig n is_startc is_endc)
 334     (inr ?? (inr ?? (inl … (inr ?? start_nop)))).
 335
 336 definition R_match_m ≝
 337   λsrc,dst,sig,n,is_startc,is_endc.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 338   ∀ls,x,xs,end,rs.
 339   nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x (xs@end::rs) →
 340   (∀c0. memb ? c0 (x::xs) = true → is_endc c0 = false) → is_endc end = true →
 341   (∀c0. memb ? c0 (xs@end::rs) = true → is_startc c0 = false) →
 342   (current sig (nth dst (tape sig) int (niltape sig)) = None ? → outt = int) ∧
 343   (is_startc x = true →
 344    (∀ls0,x0,rs0.
 345     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 346     (∃l,l1.x0::rs0 = l@x::xs@l1 ∧
 347      ∀cj,l2.l1=cj::l2 →
 348      outt = change_vec ??
 349             (change_vec ?? int (midtape sig (reverse ? xs@x::ls) end rs) src)
 350             (midtape sig ((reverse ? (l@x::xs))@ls0) cj l2) dst) ∨
 351     ∀l,l1.x0::rs0 ≠ l@x::xs@l1)).
 352
 353 lemma not_sub_list_merge :
 354   ∀T.∀a,b:list T. (∀l1.a ≠ b@l1) → (∀t,l,l1.a ≠ t::l@b@l1) → ∀l,l1.a ≠ l@b@l1.
 355 #T #a #b #H1 #H2 #l elim l normalize //
 356 qed.
 357
 358 lemma not_sub_list_merge_2 :
 359   ∀T:DeqSet.∀a,b:list T.∀t. (∀l1.t::a ≠ b@l1) → (∀l,l1.a ≠ l@b@l1) → ∀l,l1.t::a ≠ l@b@l1.
 360 #T #a #b #t #H1 #H2 #l elim l //
 361 #t0 #l1 #IH #l2 cases (true_or_false (t == t0)) #Htt0
 362 [ >(\P Htt0) % normalize #H destruct (H) cases (H2 l1 l2) /2/
 363 | normalize % #H destruct (H) cases (\Pf Htt0) /2/ ]
 364 qed.
 365
 366
 367 lemma wsem_match_m : ∀src,dst,sig,n,is_startc,is_endc.
 368 src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 369   match_m src dst sig n is_startc is_endc ⊫ R_match_m src dst sig n is_startc is_endc.
 370 #src #dst #sig #n #is_startc #is_endc #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 371 lapply (sem_while … (sem_match_step src dst sig n is_startc is_endc Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 372 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 373 [ #Hfalse #ls #x #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend #Hnotstart
 374   cases (Hfalse … Hmid_src Hnotend Hend) -Hfalse
 375   [(* current dest = None *) *
 376     [ * #Hcur_dst #Houtc %
 377       [#_ >Houtc //
 378       |#Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcur_dst;
 379        normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 380       ]
 381     | * #ls0 * #rs0 * #xs0 * * #Htc_dst #Hrs0 #HNone %
 382       [ >Htc_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 383       | #Hstart #ls1 #x1 #rs1 >Htc_dst #H destruct (H)
 384         >Hrs0 cases xs0
 385         [ % %{[ ]} %{[ ]} % [ >append_nil >append_nil %]
 386           #cj #ls2 #H destruct (H)
 387         | #x2 #xs2 %2 #l #l1 % #Habs lapply (eq_f ?? (length ?) ?? Habs)
 388           >length_append whd in ⊢ (??%(??%)→?); >length_append
 389           >length_append normalize >commutative_plus whd in ⊢ (???%→?);
 390           #H destruct (H) lapply e0 >(plus_n_O (|rs1|)) in ⊢ (??%?→?);
 391           >associative_plus >associative_plus
 392           #e1 lapply (injective_plus_r ??? e1) whd in ⊢ (???%→?);
 393           #e2 destruct (e2)
 394         ]
 395       ]
 396     ]
 397   |* #ls0 * #rs0 * #Hmid_dst #HFalse %
 398     [ >Hmid_dst normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 399     | #Hstart #ls1 #x1 #rs1 >Hmid_dst #H destruct (H)
 400      %1 %{[ ]} %{rs0} % [%] #cj #l2 #Hnotnil
 401      >reverse_cons >associative_append @(HFalse ?? Hnotnil)
 402     ]
 403   ]
 404 |-ta #ta #tc #Htrue #Hstar #IH #Hout lapply (IH Hout) -IH -Hout #IH whd
 405  #ls #x #xs #end #rs #Hmid_src #Hnotend #Hend #Hnotstart
 406  lapply (refl ? (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))))
 407  cases (current ? (nth dst ? ta (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 408   [#Hmid_dst %
 409     [#_ whd in Htrue; >Hmid_src in Htrue; #Htrue
 410      cases (Htrue x (refl … )) -Htrue * #Htaneq #_
 411      @False_ind >Hmid_dst in Htaneq; /2/
 412     |#Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst2 >Hmid_dst2 in Hmid_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 413      #H destruct (H)
 414     ]
 415   | #c #Hcurta_dst % [ >Hcurta_dst #H destruct (H) ]
 416     #Hstart #ls0 #x0 #rs0 #Hmid_dst >Hmid_dst in Hcurta_dst; normalize in ⊢ (%→?);
 417     #H destruct (H) whd in Htrue; >Hmid_src in Htrue; #Htrue
 418     cases (Htrue x (refl …)) -Htrue #_ #Htrue cases (Htrue Hstart Hnotstart) -Htrue
 419     cases (true_or_false (x==c)) #eqx
 420     [ lapply (\P eqx) -eqx #eqx destruct (eqx)
 421       #_ #Htrue cases (comp_list ? (xs@end::rs) rs0 is_endc)
 422       #x1 * #tl1 * #tl2 * * * #Hxs #Hrs0 #Hnotendx1
 423       cases tl1 in Hxs;
 424       [>append_nil #Hx1 <Hx1 in Hnotendx1; #Hnotendx1
 425        lapply (Hnotendx1 end ?) [ @memb_append_l2 @memb_hd ]
 426        >Hend #H destruct (H) ]
 427       #ci -tl1 #tl1 #Hxs #H cases (H … (refl … )) -H
 428       [ #Hendci % >Hrs0 in Hmid_dst; cut (ci = end ∧ x1 = xs)
 429         [ lapply Hxs lapply Hnotendx1 lapply x1 elim xs in Hnotend;
 430           [ #_ *
 431             [ #_ normalize #H destruct (H) /2/
 432             | #x2 #xs2 #Hnotendx2 normalize #H destruct (H)
 433               >(Hnotendx2 ? (memb_hd …)) in Hend; #H destruct (H) ]
 434           | #x2 #xs2 #IH #Hnotendx2 *
 435             [ #_ normalize #H destruct (H) >(Hnotendx2 ci ?) in Hendci;
 436               [ #H destruct (H)
 437               | @memb_cons @memb_hd ]
 438             | #x3 #xs3 #Hnotendx3 normalize #H destruct (H)
 439               cases (IH … e0)
 440               [ #H1 #H2 /2/
 441               | #c0 #Hc0 @Hnotendx2 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 442                 [ >(\P Hc0) @memb_hd
 443                 | @memb_cons @memb_cons @Hc0 ]
 444               | #c0 #Hc0 @Hnotendx3 @memb_cons @Hc0 ]
 445             ]
 446           ]
 447         | * #Hcieq #Hx1eq >Hx1eq #Hmid_dst
 448           cases (Htrue ??????? (refl ??) Hmid_dst Hnotend)
 449           <Hcieq >Hendci * #H destruct (H) ]
 450       |cases tl2 in Hrs0;
 451         [ >append_nil #Hrs0 destruct (Hrs0) * #Hcifalse#_ %2
 452           cut (∃l.xs = x1@ci::l)
 453           [lapply Hxs lapply Hnotendx1 lapply Hnotend lapply xs
 454            -Hxs -xs -Hnotendx1 elim x1
 455             [ *
 456               [ #_ #_ normalize #H1 destruct (H1) >Hend in Hcifalse;
 457                 #H1 destruct (H1)
 458               | #x2 #xs2 #_ #_ normalize #H >(cons_injective_l ????? H) %{xs2} % ]
 459             | #x2 #xs2 #IHin *
 460               [ #_ #Hnotendxs2 normalize #H destruct (H)
 461                 >(Hnotendxs2 ? (memb_hd …)) in Hend; #H destruct (H)
 462               | #x3 #xs3 #Hnotendxs3 #Hnotendxs2 normalize #H destruct (H)
 463                 cases (IHin ??? e0)
 464                 [ #xs4 #Hxs4 >Hxs4 %{xs4} %
 465                 | #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 466                   [ >(\P Hc0) @Hnotendxs3 @memb_hd
 467                   | @Hnotendxs3 @memb_cons @memb_cons @Hc0 ]
 468                 | #c0 #Hc0 @Hnotendxs2 @memb_cons @Hc0 ]
 469               ]
 470             ]
 471           ] * #l #Hxs' >Hxs'
 472           #l0 #l1 % #H lapply (eq_f ?? (length ?) ?? H) -H
 473           >length_append normalize >length_append >length_append
 474           normalize >commutative_plus normalize #H destruct (H) -H
 475           >associative_plus in e0; >associative_plus
 476           >(plus_n_O (|x1|)) in ⊢(??%?→?); #H lapply (injective_plus_r … H)
 477           -H normalize #H destruct (H)
 478         | #cj #tl2' #Hrs0 * #Hcifalse #Hcomp
 479           lapply (Htrue ls c x1 ci tl1 ls0 (cj::tl2') ???)
 480           [ #c0 #Hc0 cases (orb_true_l … Hc0) #Hc0
 481             [ @Hnotend >(\P Hc0) @memb_hd
 482             | @Hnotendx1 // ]
 483           | >Hmid_dst >Hrs0 %
 484           | >Hxs %
 485           | * * #_ #_ -Htrue #Htrue lapply (Htrue ?? (refl ??) ?) [  @(Hcomp ?? (refl ??)) ]
 486             * #Htb >Htb #Hendci >Hrs0 >Hxs
 487             cases (IH ls c xs end rs ? Hnotend Hend Hnotstart) -IH
 488             [| >Htb >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src ]
 489             #_ #IH lapply Hxs lapply Hnotendx1 -Hxs -Hnotendx1 cases x1 in Hrs0;
 490             [ #Hrs0 #_ whd in ⊢ (???%→?); #Hxs
 491               cases (IH Hstart (c::ls0) cj tl2' ?)
 492               [ -IH * #l * #l1 * #Hll1 #IH % %{(c::l)} %{l1}
 493                 % [ @eq_f @Hll1 ]
 494                 #cj0 #l2 #Hcj0 >(IH … Hcj0) >Htb
 495                 >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 496                 >change_vec_commute [|@sym_not_eq // ] @eq_f3 //
 497                 >reverse_cons >associative_append %
 498               | #IH %2 #l #l1 >(?:l@c::xs@l1 = l@(c::xs)@l1) [|%]
 499                 @not_sub_list_merge
 500                 [ #l2 cut (∃xs'.xs = ci::xs')
 501                   [ cases xs in Hxs;
 502                     [ normalize #H destruct (H) >Hend in Hendci; #H destruct (H)
 503                     | #ci' #xs' normalize #H lapply (cons_injective_l ????? H)
 504                       #H1 >H1 %{xs'} % ]
 505                   ]
 506                   * #xs' #Hxs' >Hxs' normalize % #H destruct (H)
 507                   lapply (Hcomp … (refl ??)) * /2/
 508                 |#t #l2 #l3 % normalize #H lapply (cons_injective_r ????? H)
 509                  -H #H >H in IH; #IH cases (IH l2 l3) -IH #IH @IH % ]
 510               | >Htb >nth_change_vec // >Hmid_dst >Hrs0 % ]
 511             | #x2 #xs2 normalize in ⊢ (%→?); #Hrs0 #Hnotendxs2 normalize in ⊢ (%→?);
 512               #Hxs cases (IH Hstart (c::ls0) x2 (xs2@cj::tl2') ?)
 513               [ -IH * #l * #l1 * #Hll1 #IH % %{(c::l)} %{l1}
 514                 % [ @eq_f @Hll1 ]
 515                 #cj0 #l2 #Hcj0 >(IH … Hcj0) >Htb
 516                 >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 517                 >change_vec_commute [|@sym_not_eq // ] @eq_f3 //
 518                 >reverse_cons >associative_append %
 519               | -IH #IH %2 #l #l1 >(?:l@c::xs@l1 = l@(c::xs)@l1) [|%]
 520                 @not_sub_list_merge_2 [| @IH]
 521                 cut (∃l2.xs = (x2::xs2)@ci::l2)
 522                 [lapply Hnotendxs2
 523                  lapply Hnotend -Hnotend lapply Hxs
 524                  >(?:x2::xs2@ci::tl1 = (x2::xs2)@ci::tl1) [|%]
 525                  lapply (x2::xs2) elim xs
 526                   [ *
 527                     [ normalize in ⊢ (%→?); #H1 destruct (H1)
 528                       >Hendci in Hend; #Hend destruct (Hend)
 529                     | #x3 #xs3 normalize in ⊢ (%→?); #H1 destruct (H1)
 530                       #_ #Hnotendx3 >(Hnotendx3 ? (memb_hd …)) in Hend;
 531                       #Hend destruct (Hend)
 532                     ]
 533                   | #x3 #xs3 #IHin *
 534                     [ normalize in ⊢ (%→?); #Hxs3 destruct (Hxs3) #_ #_
 535                       %{xs3} %
 536                     | #x4 #xs4 normalize in ⊢ (%→?); #Hxs3xs4 #Hnotend
 537                       #Hnotendxs4 destruct (Hxs3xs4) cases (IHin ? e0 ??)
 538                       [ #l0 #Hxs3 >Hxs3 %{l0} %
 539                       | #c0 #Hc0 @Hnotend cases (orb_true_l … Hc0) -Hc0 #Hc0
 540                         [ >(\P Hc0) @memb_hd
 541                         | @memb_cons @memb_cons @Hc0 ]
 542                       | #c0 #Hc0 @Hnotendxs4 @memb_cons //
 543                       ]
 544                     ]
 545                   ]
 546                 ] * #l2 #Hxs'
 547                 >Hxs' #l3 normalize >associative_append normalize % #H
 548                 destruct (H) lapply (append_l2_injective ?????? e1) //
 549                 #H1 destruct (H1) cases (Hcomp ?? (refl ??)) /2/
 550               | >Htb >nth_change_vec // >Hmid_dst >Hrs0 % ]
 551             ]
 552           ]
 553         ]
 554       ]
 555     |lapply (\Pf eqx) -eqx #eqx >Hmid_dst #Htrue
 556      cases (Htrue ? (refl ??) eqx) -Htrue #Htb #Hendcx #_
 557      cases rs0 in Htb;
 558      [ #_ %2 #l #l1 cases l
 559        [ normalize cases xs
 560          [ cases l1
 561            [ normalize % #H destruct (H) cases eqx /2/
 562            | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 563          | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H) ]
 564        | #tmp1 #l2 normalize % #H destruct (H)cases l2 in e0;
 565          [ normalize #H1 destruct (H1)
 566          | #tmp2 #l3 normalize #H1 destruct (H1) ]
 567        ]
 568      | #r1 #rs1 normalize in ⊢ (???(????%?)→?); #Htb >Htb in IH; #IH
 569        cases (IH ls x xs end rs ? Hnotend Hend Hnotstart)
 570        [| >Htb >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @Hmid_src ] -IH
 571        #_ #IH cases (IH Hstart (c::ls0) r1 rs1 ?)
 572        [|| >nth_change_vec // ] -IH
 573        [ * #l * #l1 * #Hll1 #Hout % %{(c::l)} %{l1} % >Hll1 //
 574          >reverse_cons >associative_append #cj0 #ls #Hl1 >(Hout ?? Hl1)
 575          >change_vec_commute in ⊢ (??(???%??)?); // @sym_not_eq //
 576        | #IH %2 @(not_sub_list_merge_2 ?? (x::xs)) normalize [|@IH]
 577          #l1 % #H destruct (H) cases eqx /2/
 578        ]
 579     ]
 580   ]
 581 ]
 582 qed.