]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/lib/turing/multi_universal/moves_2.ma
parmove based on end of the tape
[helm.git] / matita / matita / lib / turing / multi_universal / moves_2.ma
1 (*
2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic   
3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science 
4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.           
5     ||I||                                                            
6     ||T||  
7     ||A||  
8     \   /  This file is distributed under the terms of the       
9      \ /   GNU General Public License Version 2   
10       V_____________________________________________________________*)
11
12 include "turing/turing.ma".
13 include "turing/inject.ma".
14 include "turing/while_multi.ma".
15
16 definition parmove_states ≝ initN 3.
17
18 definition parmove0 : parmove_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
19 definition parmove1 : parmove_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
20 definition parmove2 : parmove_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
21
22 (*
23
24 src: a b c ... z ---→ a b c ... z 
25      ^                            ^
26
27 dst: _ _ _ ... _ ---→ a b c ... z 
28      ^                            ^
29
30 0) (x,_) → (x,_)(R,R) → 1
31    (None,_) → None 2
32 1) (_,_) → None 1
33 2) (_,_) → None 2
34
35 *)
36
37 definition trans_parmove_step ≝ 
38  λsrc,dst,sig,n,D.
39  λp:parmove_states × (Vector (option sig) (S n)).
40  let 〈q,a〉 ≝ p in
41  match pi1 … q with
42  [ O ⇒ match nth src ? a (None ?) with
43    [ None ⇒ 〈parmove2,null_action sig n〉
44    | Some a0 ⇒ match nth dst ? a (None ?) with
45      [ None ⇒ 〈parmove2,null_action ? n〉
46      | Some a1 ⇒ 〈parmove1,change_vec ? (S n)
47                           (change_vec ?(S n)
48                            (null_action ? n) (〈None ?,D〉) src)
49                           (〈None ?,D〉) dst〉 ] ]
50  | S q ⇒ match q with 
51    [ O ⇒ (* 1 *) 〈parmove1,null_action ? n〉
52    | S _ ⇒ (* 2 *) 〈parmove2,null_action ? n〉 ] ].
53
54 definition parmove_step ≝ 
55   λsrc,dst,sig,n,D.
56   mk_mTM sig n parmove_states (trans_parmove_step src dst sig n D) 
57     parmove0 (λq.q == parmove1 ∨ q == parmove2).
58
59 definition R_parmove_step_true ≝ 
60   λsrc,dst,sig,n,D.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
61   ∃x1,x2.
62    current ? (nth src ? int (niltape ?)) = Some ? x1 ∧
63    current ? (nth dst ? int (niltape ?)) = Some ? x2 ∧
64    outt = change_vec ?? 
65             (change_vec ?? int
66               (tape_move ? (nth src ? int (niltape ?)) D) src)
67             (tape_move ? (nth dst ? int (niltape ?)) D) dst.
68
69 definition R_parmove_step_false ≝ 
70   λsrc,dst:nat.λsig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
71   (current ? (nth src ? int (niltape ?)) = None ?  ∨
72    current ? (nth dst ? int (niltape ?)) = None ?) ∧
73    outt = int.
74
75 lemma parmove_q0_q2_null_src :
76   ∀src,dst,sig,n,D,v.src < S n → dst < S n → 
77   nth src ? (current_chars ?? v) (None ?) = None ? → 
78   step sig n (parmove_step src dst sig n D)
79     (mk_mconfig ??? parmove0 v) =
80     mk_mconfig ??? parmove2 v.
81 #src #dst #sig #n #D #v #Hsrc #Hdst #Hcurrent
82 whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?);
83 @eq_f2
84 [ whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcurrent %
85 | whd in ⊢ (??(????(???%))?); >Hcurrent @tape_move_null_action ]
86 qed.
87
88 lemma parmove_q0_q2_null_dst :
89   ∀src,dst,sig,n,D,v,s.src < S n → dst < S n → 
90   nth src ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? s → 
91   nth dst ? (current_chars ?? v) (None ?) = None ? → 
92   step sig n (parmove_step src dst sig n D)
93     (mk_mconfig ??? parmove0 v) =
94     mk_mconfig ??? parmove2 v.
95 #src #dst #sig #n #D #v #s #Hsrc #Hdst #Hcursrc #Hcurdst
96 whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?);
97 @eq_f2
98 [ whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcursrc whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcurdst %
99 | whd in ⊢ (??(????(???%))?); >Hcursrc
100   whd in ⊢ (??(????(???%))?); >Hcurdst @tape_move_null_action ]
101 qed.
102
103 axiom parmove_q0_q1 :
104   ∀src,dst,sig,n,D,v.src ≠ dst → src < S n → dst < S n → 
105   ∀a1,a2.
106   nth src ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? a1 →
107   nth dst ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? a2 → 
108   step sig n (parmove_step src dst sig n D)
109     (mk_mconfig ??? parmove0 v) =
110     mk_mconfig ??? parmove1 
111      (change_vec ? (S n) 
112        (change_vec ?? v
113          (tape_move ? (nth src ? v (niltape ?)) D) src)
114        (tape_move ? (nth dst ? v (niltape ?)) D) dst).
115 (*
116 #src #dst #sig #n #D #is_sep #v #Hneq #Hsrc #Hdst
117 #a1 #a2 #Hcursrc #Hcurdst #Hsep
118 whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?); @eq_f2
119 [ whd in match (trans ????);
120   >Hcursrc >Hcurdst whd in ⊢ (??(???%)?); >Hsep //
121 | whd in match (trans ????);
122   >Hcursrc >Hcurdst whd in ⊢ (??(????(???%))?); >Hsep whd in ⊢ (??(????(???%))?);
123   change with (pmap_vec ???????) in ⊢ (??%?);
124   whd in match (vec_map ?????);
125   >pmap_change >pmap_change >tape_move_null_action
126   @eq_f2 // @eq_f2 // >nth_change_vec_neq //
127 ]
128 qed.
129 *)
130
131 lemma sem_parmove_step :
132   ∀src,dst,sig,n,D.src ≠ dst → src < S n → dst < S n → 
133   parmove_step src dst sig n D ⊨ 
134     [ parmove1: R_parmove_step_true src dst sig n D, 
135              R_parmove_step_false src dst sig n ].
136 #src #dst #sig #n #D #Hneq #Hsrc #Hdst #int
137 lapply (refl ? (current ? (nth src ? int (niltape ?))))
138 cases (current ? (nth src ? int (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
139 [ #Hcursrc %{2} %
140   [| % [ %
141     [ whd in ⊢ (??%?); >parmove_q0_q2_null_src /2/
142       <(nth_vec_map ?? (current …) src ? int (niltape ?)) //
143     | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
144     | #_ % // % // ] ]
145 | #a #Ha lapply (refl ? (current ? (nth dst ? int (niltape ?))))
146   cases (current ? (nth dst ? int (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
147   [ #Hcurdst %{2} %
148     [| % [ %
149       [ whd in ⊢ (??%?); >(parmove_q0_q2_null_dst …) /2/ 
150         [ <(nth_vec_map ?? (current …) dst ? int (niltape ?)) //
151         | <(nth_vec_map ?? (current …) src ? int (niltape ?)) // ]
152       | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
153       | #_ % // %2 // ] ]
154   | #b #Hb %{2} %
155     [| % [ % 
156       [whd in ⊢  (??%?); >(parmove_q0_q1 … Hneq Hsrc Hdst ? b ??)
157         [2: <(nth_vec_map ?? (current …) dst ? int (niltape ?)) //
158         |3: <(nth_vec_map ?? (current …) src ? int (niltape ?)) //
159         | // ]
160       | #_ %{a} %{b} % // % // ]
161       | * #H @False_ind @H % ]
162 ]]]
163 qed.
164
165 definition parmove ≝ λsrc,dst,sig,n,D.
166   whileTM … (parmove_step src dst sig n D) parmove1.
167
168 definition R_parmoveL ≝ 
169   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
170   (∀x,xs,rs.
171     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig xs x rs → 
172     ∀ls0,x0,target,rs0.|xs| = |target| → 
173     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (target@ls0) x0 rs0 → 
174     outt = change_vec ?? 
175            (change_vec ?? int (mk_tape sig [] (None ?) (reverse ? xs@x::rs)) src)
176            (mk_tape sig (tail ? ls0) (option_hd ? ls0) (reverse ? target@x0::rs0)) dst) ∧
177   ((current ? (nth src ? int (niltape ?)) = None ? ∨
178     current ? (nth dst ? int (niltape ?)) = None ?) →
179     outt = int).
180   
181 lemma wsem_parmoveL : ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n → 
182   parmove src dst sig n L ⊫ R_parmoveL src dst sig n.
183 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
184 lapply (sem_while … (sem_parmove_step src dst sig n L Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
185 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
186 [ whd in ⊢ (%→?); * #H #Houtc % [2: #_ @Houtc ] cases H
187   [ #Hcurtb #x #xs #rs #Hsrctb >Hsrctb in Hcurtb; normalize in ⊢ (%→?);
188     #Hfalse destruct (Hfalse)
189   | #Hcur_dst #x #xs #rs #Hsrctb #ls0 #x0 #target 
190     #rs0 #Hlen #Hdsttb >Hdsttb in Hcur_dst; normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
191   ]  
192 | #td #te * #c0 * #c1 * * #Hc0 #Hc1 #Hd #Hstar #IH #He 
193   lapply (IH He) -IH * #IH1 #IH2 %
194   [ #x #xs #rs #Hsrc_td #ls0 #x0 #target
195     #rs0 #Hlen #Hdst_td
196     >Hsrc_td in Hc0; normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
197     >Hdst_td in Hd; >Hsrc_td @(list_cases2 … Hlen)
198     [ #Hxsnil #Htargetnil >Hxsnil >Htargetnil #Hd >IH2 
199       [2: %1 >Hd >nth_change_vec_neq [|@(sym_not_eq … Hneq)]
200       >nth_change_vec //]  
201       >Hd -Hd @(eq_vec … (niltape ?))
202       #i #Hi cases (decidable_eq_nat i src) #Hisrc
203       [ >Hisrc >(nth_change_vec_neq … src dst) [|@(sym_not_eq … Hneq)]
204         >nth_change_vec //
205         >(nth_change_vec_neq … src dst) [|@(sym_not_eq … Hneq)]
206         >nth_change_vec //
207       | cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
208         [ >Hidst >nth_change_vec // >nth_change_vec //
209           >Hdst_td in Hc1; >Htargetnil
210           normalize in ⊢ (%→?); #Hc1 destruct (Hc1) cases ls0 //
211         | >nth_change_vec_neq [|@(sym_not_eq … Hidst)]
212           >nth_change_vec_neq [|@(sym_not_eq … Hisrc)]
213           >nth_change_vec_neq [|@(sym_not_eq … Hidst)]
214           >nth_change_vec_neq [|@(sym_not_eq … Hisrc)] % 
215         ]
216       ]
217     | #hd1 #hd2 #tl1 #tl2 #Hxs #Htarget >Hxs >Htarget #Hd
218       >(IH1 hd1 tl1 (c0::rs) ? ls0 hd2 tl2 (x0::rs0))
219       [ >Hd >(change_vec_commute … ?? td ?? src dst) //
220        >change_vec_change_vec
221        >(change_vec_commute … ?? td ?? dst src) [|@sym_not_eq //]
222        >change_vec_change_vec
223        >reverse_cons >associative_append
224        >reverse_cons >associative_append % 
225      | >Hd >nth_change_vec //
226      | >Hxs in Hlen; >Htarget normalize #Hlen destruct (Hlen) //
227      | >Hd >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
228        >nth_change_vec // ]
229    ]
230  | >Hc0 >Hc1 * [ #Hc0 destruct (Hc0) | #Hc1 destruct (Hc1) ]
231  ] ]
232 qed.
233  
234 lemma terminate_parmoveL :  ∀src,dst,sig,n,t.
235   src ≠ dst → src < S n → dst < S n → 
236   parmove src dst sig n L ↓ t.
237 #src #dst #sig #n #t #Hneq #Hsrc #Hdst
238 @(terminate_while … (sem_parmove_step …)) //
239 <(change_vec_same … t src (niltape ?))
240 cases (nth src (tape sig) t (niltape ?))
241 [ % #t1 * #x1 * #x2 * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct 
242 |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #x1 * #x2 * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
243 | #ls lapply t -t elim ls
244   [#t #c #rs % #t1 * #x1 * #x2 * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?);
245    #H1 destruct (H1) #Hcurdst >change_vec_change_vec #Ht1 % 
246    #t2 * #y1 * #y2 * * >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
247    >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
248   |#l0 #ls0 #IH #t #c #rs % #t1 * #x1 * #x2 * * >nth_change_vec //
249    normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) #Hcurdst
250    >change_vec_change_vec >change_vec_commute // #Ht1 >Ht1 @IH
251   ]
252 ]
253 qed.
254
255 lemma sem_parmoveL : ∀src,dst,sig,n.
256   src ≠ dst → src < S n → dst < S n → 
257   parmove src dst sig n L ⊨ R_parmoveL src dst sig n.
258 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst @WRealize_to_Realize 
259 [/2/ | @wsem_parmoveL //]
260 qed.