matita/matita/lib/turing/multi_universal/moves_2.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "turing/turing.ma".
  13 include "turing/inject.ma".
  14 include "turing/while_multi.ma".
  15 include "turing/while_machine.ma".
  16 include "turing/simple_machines.ma".
  17 include "turing/if_machine.ma".
  18
  19 definition parmove_states ≝ initN 3.
  20
  21 definition parmove0 : parmove_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
  22 definition parmove1 : parmove_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
  23 definition parmove2 : parmove_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
  24
  25 (*
  26
  27 src: a b c ... z ---→ a b c ... z
  28      ^                            ^
  29
  30 dst: _ _ _ ... _ ---→ a b c ... z
  31      ^                            ^
  32
  33 0) (x,_) → (x,_)(R,R) → 1
  34    (None,_) → None 2
  35 1) (_,_) → None 1
  36 2) (_,_) → None 2
  37
  38 *)
  39
  40 definition trans_parmove_step ≝
  41  λsrc,dst,sig,n,D.
  42  λp:parmove_states × (Vector (option sig) (S n)).
  43  let 〈q,a〉 ≝ p in
  44  match pi1 … q with
  45  [ O ⇒ match nth src ? a (None ?) with
  46    [ None ⇒ 〈parmove2,null_action sig n〉
  47    | Some a0 ⇒ match nth dst ? a (None ?) with
  48      [ None ⇒ 〈parmove2,null_action ? n〉
  49      | Some a1 ⇒ 〈parmove1,change_vec ? (S n)
  50                           (change_vec ?(S n)
  51                            (null_action ? n) (〈None ?,D〉) src)
  52                           (〈None ?,D〉) dst〉 ] ]
  53  | S q ⇒ match q with
  54    [ O ⇒ (* 1 *) 〈parmove1,null_action ? n〉
  55    | S _ ⇒ (* 2 *) 〈parmove2,null_action ? n〉 ] ].
  56
  57 definition parmove_step ≝
  58   λsrc,dst,sig,n,D.
  59   mk_mTM sig n parmove_states (trans_parmove_step src dst sig n D)
  60     parmove0 (λq.q == parmove1 ∨ q == parmove2).
  61
  62 definition R_parmove_step_true ≝
  63   λsrc,dst,sig,n,D.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  64   ∃x1,x2.
  65    current ? (nth src ? int (niltape ?)) = Some ? x1 ∧
  66    current ? (nth dst ? int (niltape ?)) = Some ? x2 ∧
  67    outt = change_vec ??
  68             (change_vec ?? int
  69               (tape_move ? (nth src ? int (niltape ?)) D) src)
  70             (tape_move ? (nth dst ? int (niltape ?)) D) dst.
  71
  72 definition R_parmove_step_false ≝
  73   λsrc,dst:nat.λsig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  74   (current ? (nth src ? int (niltape ?)) = None ?  ∨
  75    current ? (nth dst ? int (niltape ?)) = None ?) ∧
  76    outt = int.
  77
  78 lemma parmove_q0_q2_null_src :
  79   ∀src,dst,sig,n,D,v.src < S n → dst < S n →
  80   nth src ? (current_chars ?? v) (None ?) = None ? →
  81   step sig n (parmove_step src dst sig n D)
  82     (mk_mconfig ??? parmove0 v) =
  83     mk_mconfig ??? parmove2 v.
  84 #src #dst #sig #n #D #v #Hsrc #Hdst #Hcurrent
  85 whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?);
  86 @eq_f2
  87 [ whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcurrent %
  88 | whd in ⊢ (??(????(???%))?); >Hcurrent @tape_move_null_action ]
  89 qed.
  90
  91 lemma parmove_q0_q2_null_dst :
  92   ∀src,dst,sig,n,D,v,s.src < S n → dst < S n →
  93   nth src ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? s →
  94   nth dst ? (current_chars ?? v) (None ?) = None ? →
  95   step sig n (parmove_step src dst sig n D)
  96     (mk_mconfig ??? parmove0 v) =
  97     mk_mconfig ??? parmove2 v.
  98 #src #dst #sig #n #D #v #s #Hsrc #Hdst #Hcursrc #Hcurdst
  99 whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?);
 100 @eq_f2
 101 [ whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcursrc whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcurdst %
 102 | whd in ⊢ (??(????(???%))?); >Hcursrc
 103   whd in ⊢ (??(????(???%))?); >Hcurdst @tape_move_null_action ]
 104 qed.
 105
 106 lemma parmove_q0_q1 :
 107   ∀src,dst,sig,n,D,v.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 108   ∀a1,a2.
 109   nth src ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? a1 →
 110   nth dst ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? a2 →
 111   step sig n (parmove_step src dst sig n D)
 112     (mk_mconfig ??? parmove0 v) =
 113     mk_mconfig ??? parmove1
 114      (change_vec ? (S n)
 115        (change_vec ?? v
 116          (tape_move ? (nth src ? v (niltape ?)) D) src)
 117        (tape_move ? (nth dst ? v (niltape ?)) D) dst).
 118 #src #dst #sig #n #D #v #Hneq #Hsrc #Hdst
 119 #a1 #a2 #Hcursrc #Hcurdst
 120 whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?); @eq_f2
 121 [ whd in match (trans ????);
 122   >Hcursrc >Hcurdst %
 123 | whd in match (trans ????);
 124   >Hcursrc >Hcurdst whd in ⊢ (??(????(???%))?);
 125   >tape_move_multi_def <(change_vec_same ?? v dst (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
 126   >pmap_change <(change_vec_same ?? v src (niltape ?)) in ⊢(??%?);
 127   >pmap_change <tape_move_multi_def >tape_move_null_action
 128   @eq_f2 // >nth_change_vec_neq //
 129 ]
 130 qed.
 131
 132 lemma sem_parmove_step :
 133   ∀src,dst,sig,n,D.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 134   parmove_step src dst sig n D ⊨
 135     [ parmove1: R_parmove_step_true src dst sig n D,
 136              R_parmove_step_false src dst sig n ].
 137 #src #dst #sig #n #D #Hneq #Hsrc #Hdst #int
 138 lapply (refl ? (current ? (nth src ? int (niltape ?))))
 139 cases (current ? (nth src ? int (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 140 [ #Hcursrc %{2} %
 141   [| % [ %
 142     [ whd in ⊢ (??%?); >parmove_q0_q2_null_src /2/
 143     | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 144     | #_ % // % // ] ]
 145 | #a #Ha lapply (refl ? (current ? (nth dst ? int (niltape ?))))
 146   cases (current ? (nth dst ? int (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 147   [ #Hcurdst %{2} %
 148     [| % [ %
 149       [ whd in ⊢ (??%?); >(parmove_q0_q2_null_dst …) /2/
 150       | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 151       | #_ % // %2 // ] ]
 152   | #b #Hb %{2} %
 153     [| % [ %
 154       [whd in ⊢  (??%?); >(parmove_q0_q1 … Hneq Hsrc Hdst ? b ??)
 155         [2: <(nth_vec_map ?? (current …) dst ? int (niltape ?)) //
 156         |3: <(nth_vec_map ?? (current …) src ? int (niltape ?)) //
 157         | // ]
 158       | #_ %{a} %{b} % // % // ]
 159       | * #H @False_ind @H % ]
 160 ]]]
 161 qed.
 162
 163 definition parmove ≝ λsrc,dst,sig,n,D.
 164   whileTM … (parmove_step src dst sig n D) parmove1.
 165
 166 definition R_parmoveL ≝
 167   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 168   (∀x,xs,rs.
 169     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig xs x rs →
 170     ∀ls0,x0,target,rs0.|xs| = |target| →
 171     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig (target@ls0) x0 rs0 →
 172     outt = change_vec ??
 173            (change_vec ?? int (mk_tape sig [] (None ?) (reverse ? xs@x::rs)) src)
 174            (mk_tape sig (tail ? ls0) (option_hd ? ls0) (reverse ? target@x0::rs0)) dst) ∧
 175   (∀x,xs,rs.
 176     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig xs x rs →
 177     ∀ls0,x0,target,rs0.|xs| = |target| →
 178     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig (target@ls0) x0 rs0 →
 179     outt = change_vec ??
 180            (change_vec ?? int (mk_tape sig [] (None ?) (reverse ? xs@x::rs)) dst)
 181            (mk_tape sig (tail ? ls0) (option_hd ? ls0) (reverse ? target@x0::rs0)) src) ∧
 182   ((current ? (nth src ? int (niltape ?)) = None ? ∨
 183     current ? (nth dst ? int (niltape ?)) = None ?) →
 184     outt = int).
 185
 186 lemma wsem_parmoveL : ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 187   parmove src dst sig n L ⊫ R_parmoveL src dst sig n.
 188 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 189 lapply (sem_while … (sem_parmove_step src dst sig n L Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 190 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 191 [ whd in ⊢ (%→?); * #H #Houtc % [2: #_ @Houtc ] cases H #Hcurtb
 192   [ %
 193     [ #x #xs #rs #Hsrctb >Hsrctb in Hcurtb; normalize in ⊢ (%→?);
 194       #Hfalse destruct (Hfalse)
 195     | #x #xs #rs #Hdsttb #ls0 #x0 #target #rs0 #Hlen #Hsrctb >Hsrctb in Hcurtb;
 196       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 197     ]
 198   | %
 199     [ #x #xs #rs #Hsrctb #ls0 #x0 #target
 200       #rs0 #Hlen #Hdsttb >Hdsttb in Hcurtb; normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 201     | #x #xs #rs #Hdsttb >Hdsttb in Hcurtb; normalize in ⊢ (%→?);
 202       #Hfalse destruct (Hfalse)
 203     ]
 204   ]
 205 | #td #te * #c0 * #c1 * * #Hc0 #Hc1 #Hd #Hstar #IH #He
 206   lapply (IH He) -IH * * #IH1a #IH1b #IH2 % [ %
 207   [ #x #xs #rs #Hsrc_td #ls0 #x0 #target
 208     #rs0 #Hlen #Hdst_td
 209     >Hsrc_td in Hc0; normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 210     >Hdst_td in Hd; >Hsrc_td @(list_cases2 … Hlen)
 211     [ #Hxsnil #Htargetnil >Hxsnil >Htargetnil #Hd >IH2
 212       [2: %1 >Hd >nth_change_vec_neq [|@(sym_not_eq … Hneq)]
 213       >nth_change_vec //]
 214       >Hd -Hd @(eq_vec … (niltape ?))
 215       #i #Hi cases (decidable_eq_nat i src) #Hisrc
 216       [ >Hisrc >(nth_change_vec_neq … src dst) [|@(sym_not_eq … Hneq)]
 217         >nth_change_vec //
 218         >(nth_change_vec_neq … src dst) [|@(sym_not_eq … Hneq)]
 219         >nth_change_vec //
 220       | cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 221         [ >Hidst >nth_change_vec // >nth_change_vec //
 222           >Hdst_td in Hc1; >Htargetnil
 223           normalize in ⊢ (%→?); #Hc1 destruct (Hc1) cases ls0 //
 224         | >nth_change_vec_neq [|@(sym_not_eq … Hidst)]
 225           >nth_change_vec_neq [|@(sym_not_eq … Hisrc)]
 226           >nth_change_vec_neq [|@(sym_not_eq … Hidst)]
 227           >nth_change_vec_neq [|@(sym_not_eq … Hisrc)] %
 228         ]
 229       ]
 230     | #hd1 #hd2 #tl1 #tl2 #Hxs #Htarget >Hxs >Htarget #Hd
 231       >(IH1a hd1 tl1 (c0::rs) ? ls0 hd2 tl2 (x0::rs0))
 232       [ >Hd >(change_vec_commute … ?? td ?? src dst) //
 233         >change_vec_change_vec
 234         >(change_vec_commute … ?? td ?? dst src) [|@sym_not_eq //]
 235         >change_vec_change_vec
 236         >reverse_cons >associative_append
 237         >reverse_cons >associative_append %
 238       | >Hd >nth_change_vec //
 239       | >Hxs in Hlen; >Htarget normalize #Hlen destruct (Hlen) //
 240       | >Hd >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 241         >nth_change_vec // ]
 242     ]
 243   | #x #xs #rs #Hdst_td #ls0 #x0 #target
 244     #rs0 #Hlen #Hsrc_td
 245     >Hdst_td in Hc0; normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 246     >Hsrc_td in Hd; >Hdst_td @(list_cases2 … Hlen)
 247     [ #Hxsnil #Htargetnil >Hxsnil >Htargetnil #Hd >IH2
 248       [2: %2 >Hd >nth_change_vec //]
 249       >Hd -Hd @(eq_vec … (niltape ?))
 250       #i #Hi cases (decidable_eq_nat i dst) #Hidst
 251       [ >Hidst >(nth_change_vec_neq … dst src) //
 252         >nth_change_vec // >nth_change_vec //
 253       | cases (decidable_eq_nat i src) #Hisrc
 254         [ >Hisrc >nth_change_vec // >(nth_change_vec_neq …) [|@sym_not_eq //]
 255           >Hsrc_td in Hc1; >Htargetnil
 256           normalize in ⊢ (%→?); #Hc1 destruct (Hc1) >nth_change_vec //
 257           cases ls0 //
 258         | >nth_change_vec_neq [|@(sym_not_eq … Hidst)]
 259           >nth_change_vec_neq [|@(sym_not_eq … Hisrc)]
 260           >nth_change_vec_neq [|@(sym_not_eq … Hisrc)]
 261           >nth_change_vec_neq [|@(sym_not_eq … Hidst)] %
 262         ]
 263       ]
 264     | #hd1 #hd2 #tl1 #tl2 #Hxs #Htarget >Hxs >Htarget #Hd
 265       >(IH1b hd1 tl1 (x::rs) ? ls0 hd2 tl2 (x0::rs0))
 266       [ >Hd >(change_vec_commute … ?? td ?? dst src) [|@sym_not_eq //]
 267         >change_vec_change_vec
 268         >(change_vec_commute … ?? td ?? src dst) //
 269         >change_vec_change_vec
 270         >reverse_cons >associative_append
 271         >reverse_cons >associative_append
 272         >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] %
 273       | >Hd >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 274       | >Hxs in Hlen; >Htarget normalize #Hlen destruct (Hlen) //
 275       | >Hd >nth_change_vec // ]
 276     ]
 277   ]
 278 | >Hc0 >Hc1 * [ #Hc0 destruct (Hc0) | #Hc1 destruct (Hc1) ]
 279 ] ]
 280 qed.
 281
 282 lemma terminate_parmoveL :  ∀src,dst,sig,n,t.
 283   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 284   parmove src dst sig n L ↓ t.
 285 #src #dst #sig #n #t #Hneq #Hsrc #Hdst
 286 @(terminate_while … (sem_parmove_step …)) //
 287 <(change_vec_same … t src (niltape ?))
 288 cases (nth src (tape sig) t (niltape ?))
 289 [ % #t1 * #x1 * #x2 * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
 290 |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #x1 * #x2 * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
 291 | #ls lapply t -t elim ls
 292   [#t #c #rs % #t1 * #x1 * #x2 * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?);
 293    #H1 destruct (H1) #Hcurdst >change_vec_change_vec #Ht1 %
 294    #t2 * #y1 * #y2 * * >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 295    >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 296   |#l0 #ls0 #IH #t #c #rs % #t1 * #x1 * #x2 * * >nth_change_vec //
 297    normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) #Hcurdst
 298    >change_vec_change_vec >change_vec_commute // #Ht1 >Ht1 @IH
 299   ]
 300 ]
 301 qed.
 302
 303 lemma sem_parmoveL : ∀src,dst,sig,n.
 304   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 305   parmove src dst sig n L ⊨ R_parmoveL src dst sig n.
 306 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst @WRealize_to_Realize
 307 [/2/ | @wsem_parmoveL //]
 308 qed.
 309
 310 (* while {
 311      if current != null
 312         then move_r
 313         else nop
 314      }
 315  *)
 316
 317 definition mte_step ≝ λalpha,D.
 318 ifTM ? (test_null alpha) (single_finalTM ? (move alpha D)) (nop ?) tc_true.
 319
 320 definition R_mte_step_true ≝ λalpha,D,t1,t2.
 321   ∃ls,c,rs.
 322     t1 = midtape alpha ls c rs ∧ t2 = tape_move ? t1 D.
 323
 324 definition R_mte_step_false ≝ λalpha.λt1,t2:tape alpha.
 325   current ? t1 = None ? ∧ t1 = t2.
 326
 327 definition mte2 : ∀alpha,D.states ? (mte_step alpha D) ≝
 328 λalpha,D.(inr … (inl … (inr … start_nop))).
 329
 330 lemma sem_mte_step :
 331   ∀alpha,D.mte_step alpha D ⊨
 332    [ mte2 … : R_mte_step_true alpha D, R_mte_step_false alpha ] .
 333 #alpha #D #ta
 334 @(acc_sem_if_app ??????????? (sem_test_null …)
 335   (sem_move_single …) (sem_nop alpha) ??)
 336 [ #tb #tc #td * #Hcurtb
 337   lapply (refl ? (current ? tb)) cases (current ? tb) in ⊢ (???%→?);
 338   [ #H @False_ind >H in Hcurtb; * /2/ ]
 339   -Hcurtb #c #Hcurtb #Htb whd in ⊢ (%→?); #Htc whd
 340   cases (current_to_midtape … Hcurtb) #ls * #rs #Hmidtb
 341   %{ls} %{c} %{rs} % //
 342 | #tb #tc #td * #Hcurtb #Htb whd in ⊢ (%→?); #Htc whd % // ]
 343 qed.
 344
 345 definition move_to_end ≝ λsig,D.whileTM sig (mte_step sig D) (mte2 …).
 346
 347 definition R_move_to_end_r ≝
 348   λsig,int,outt.
 349   (current ? int = None ? → outt = int) ∧
 350   ∀ls,c,rs.int = midtape sig ls c rs → outt = mk_tape ? (reverse ? rs@c::ls) (None ?) [ ].
 351
 352 lemma wsem_move_to_end_r : ∀sig. move_to_end sig R ⊫ R_move_to_end_r sig.
 353 #sig #ta #k #outc #Hloop
 354 lapply (sem_while … (sem_mte_step sig R) … Hloop) //
 355 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 356 [ * #Hcurtb #Houtc % /2/ #ls #c #rs #Htb >Htb in Hcurtb; normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 357 | #tc #td * #ls * #c * #rs * #Htc >Htc cases rs
 358   [ normalize in ⊢ (%→?); #Htd >Htd #Hstar #IH whd in ⊢ (%→?); #Hfalse
 359     lapply (IH Hfalse) -IH * #Htd1 #_ %
 360     [ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 361     | #ls0 #c0 #rs0 #H destruct (H) >Htd1 // ]
 362   | #r0 #rs0 whd in ⊢ (???%→?); #Htd >Htd #Hstar #IH whd in ⊢ (%→?); #Hfalse
 363     lapply (IH Hfalse) -IH * #_ #IH %
 364     [ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 365     | #ls1 #c1 #rs1 #H destruct (H) >reverse_cons >associative_append @IH % ] ] ]
 366 qed.
 367
 368 lemma terminate_move_to_end_r :  ∀sig,t.move_to_end sig R ↓ t.
 369 #sig #t @(terminate_while … (sem_mte_step sig R …)) //
 370 cases t
 371 [ % #t1 * #ls * #c * #rs * #H destruct
 372 |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #ls * #c * #rs * #H destruct
 373 | #ls #c #rs lapply c -c lapply ls -ls elim rs
 374   [ #ls #c % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * #Hmid #Ht1 destruct %
 375     #t2 * #ls1 * #c1 * #rs1 * normalize in ⊢ (%→?); #H destruct
 376   | #r0 #rs0 #IH #ls #c % #t1 * #ls1 * #c1 * #rs1 * #Hmid #Ht1 destruct @IH
 377   ]
 378 ]
 379 qed.
 380
 381 lemma sem_move_to_end_r : ∀sig. move_to_end sig R ⊨ R_move_to_end_r sig.
 382 #sig @WRealize_to_Realize //
 383 qed.
 384
 385 definition R_move_to_end_l ≝
 386   λsig,int,outt.
 387   (current ? int = None ? → outt = int) ∧
 388   ∀ls,c,rs.int = midtape sig ls c rs → outt = mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@c::rs).
 389
 390 lemma wsem_move_to_end_l : ∀sig. move_to_end sig L ⊫ R_move_to_end_l sig.
 391 #sig #ta #k #outc #Hloop
 392 lapply (sem_while … (sem_mte_step sig L) … Hloop) //
 393 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 394 [ * #Hcurtb #Houtc % /2/ #ls #c #rs #Htb >Htb in Hcurtb; normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 395 | #tc #td * #ls * #c * #rs * #Htc >Htc cases ls
 396   [ normalize in ⊢ (%→?); #Htd >Htd #Hstar #IH whd in ⊢ (%→?); #Hfalse
 397     lapply (IH Hfalse) -IH * #Htd1 #_ %
 398     [ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 399     | #ls0 #c0 #rs0 #H destruct (H) >Htd1 // ]
 400   | #l0 #ls0 whd in ⊢ (???%→?); #Htd >Htd #Hstar #IH whd in ⊢ (%→?); #Hfalse
 401     lapply (IH Hfalse) -IH * #_ #IH %
 402     [ normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 403     | #ls1 #c1 #rs1 #H destruct (H) >reverse_cons >associative_append @IH % ] ] ]
 404 qed.
 405
 406 lemma terminate_move_to_end_l :  ∀sig,t.move_to_end sig L ↓ t.
 407 #sig #t @(terminate_while … (sem_mte_step sig L …)) //
 408 cases t
 409 [ % #t1 * #ls * #c * #rs * #H destruct
 410 |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #ls * #c * #rs * #H destruct
 411 | #ls elim ls
 412   [ #c #rs % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * #Hmid #Ht1 destruct %
 413     #t2 * #ls1 * #c1 * #rs1 * normalize in ⊢ (%→?); #H destruct
 414   | #l0 #ls0 #IH #c #rs % #t1 * #ls1 * #c1 * #rs1 * #Hmid #Ht1 destruct @IH
 415   ]
 416 ]
 417 qed.
 418
 419 lemma sem_move_to_end_l : ∀sig. move_to_end sig L ⊨ R_move_to_end_l sig.
 420 #sig @WRealize_to_Realize //
 421 qed.