matita/matita/lib/turing/multi_universal/unistep.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 include "turing/multi_universal/unistep_aux.ma".
  14
  15 definition unistep ≝
  16   match_m cfg prg FSUnialpha 2 ·
  17   restart_tape cfg 2 · mmove cfg ? 2 R · copy prg cfg FSUnialpha 2 ·
  18   cfg_to_obj · tape_move_obj · restart_tape prg 2 · obj_to_cfg.
  19
  20 (*
  21 definition legal_tape ≝ λn,l,h,t.
  22   ∃state,char,table.
  23   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar (state@[char]) →
  24   is_config n (bar::state@[char]) →
  25   nth prg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar table →
  26   bar::table = table_TM n l h → *)
  27
  28 definition low_char' ≝ λc.
  29   match c with
  30   [ None ⇒ null
  31   | Some b ⇒ if (is_bit b) then b else null
  32   ].
  33
  34 lemma low_char_option : ∀s.
  35   low_char' (option_map FinBool FSUnialpha bit s) = low_char s.
  36 * //
  37 qed.
  38
  39 definition R_unistep ≝ λn,l,h.λt1,t2: Vector ? 3.
  40   ∀state,char,table.
  41   (* cfg *)
  42   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar (state@[char]) →
  43   is_config n (bar::state@[char]) →
  44   (* prg *)
  45   nth prg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar table →
  46   bar::table = table_TM n l h →
  47   (* obj *)
  48   only_bits (list_of_tape ? (nth obj ? t1 (niltape ?))) →
  49   let conf ≝ (bar::state@[char]) in
  50   (∃ll,lr.bar::table = ll@conf@lr) →
  51 (*
  52     ∃nstate,nchar,m,t. tuple_encoding n h t = (conf@nstate@[nchar;m]) ∧
  53     mem ? t l ∧  *)
  54     ∀nstate,nchar,m,t.
  55     tuple_encoding n h t = (conf@nstate@[nchar;m])→
  56     mem ? t l →
  57     let new_obj ≝
  58      tape_move_mono ? (nth obj ? t1 (niltape ?))
  59        〈char_to_bit_option nchar,char_to_move m〉 in
  60     let next_char ≝ low_char' (current ? new_obj) in
  61     t2 =
  62       change_vec ??
  63         (change_vec ?? t1 (midtape ? [ ] bar (nstate@[next_char])) cfg)
  64         new_obj obj.
  65
  66 lemma lt_obj : obj < 3. // qed.
  67 lemma lt_cfg : cfg < 3. // qed.
  68 lemma lt_prg : prg < 3. // qed.
  69
  70 definition R_copy_strict ≝
  71   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  72   ((current ? (nth src ? int (niltape ?)) = None ? ∨
  73     current ? (nth dst ? int (niltape ?)) = None ?) → outt = int) ∧
  74   (∀ls,x,x0,rs,ls0,rs0.
  75     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x rs →
  76     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
  77     |rs0| ≤ |rs| →
  78     (∃rs1,rs2.rs = rs1@rs2 ∧ |rs1| = |rs0| ∧
  79      outt = change_vec ??
  80             (change_vec ?? int
  81               (mk_tape sig (reverse sig rs1@x::ls) (option_hd sig rs2)
  82             (tail sig rs2)) src)
  83             (mk_tape sig (reverse sig rs1@x::ls0) (None sig) []) dst)).
  84
  85 axiom sem_copy_strict : ∀src,dst,sig,n. src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
  86   copy src dst sig n ⊨ R_copy_strict src dst sig n.
  87
  88 lemma sem_unistep : ∀n,l,h.unistep ⊨ R_unistep n l h.
  89 #n #l #h
  90 @(sem_seq_app ??????? (sem_match_m cfg prg FSUnialpha 2 ???)
  91   (sem_seq ?????? (sem_restart_tape ???)
  92    (sem_seq ?????? (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)
  93     (sem_seq ?????? (sem_copy_strict prg cfg FSUnialpha 2 ???)
  94      (sem_seq ?????? sem_cfg_to_obj
  95       (sem_seq ?????? sem_tape_move_obj
  96        (sem_seq ?????? (sem_restart_tape ???) sem_obj_to_cfg)))))))
  97   /2 by le_n,sym_not_eq/
  98 #ta #tb #HR #state #char #table #Hta_cfg #Hcfg #Hta_prg #Htable
  99 #Hbits_obj #Htotaltable
 100 #nstate #nchar #m #t #Htuple #Hmatch
 101 cases HR -HR #tc * whd in ⊢ (%→?);
 102 >Hta_cfg #H cases (H ?? (refl ??)) -H
 103 (* prg starts with a bar, so it's not empty *) #_
 104 >Hta_prg #H lapply (H ??? (refl ??)) -H *
 105 [| cases Htotaltable #ll * #lr #H >H
 106    #Hfalse @False_ind cases (Hfalse ll lr) #H1 @H1 //]
 107 * #ll * #lr * #Hintable -Htotaltable #Htc
 108 * #td * whd in ⊢ (%→?); >Htc
 109 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >(nth_change_vec ?????? lt_cfg)
 110 #Htd lapply (Htd ? (refl ??)) -Htd
 111 >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 112 >(?: list_of_tape ? (mk_tape ? (reverse ? (state@[char])@[bar]) (None ?) [ ]) =
 113      bar::state@[char])
 114 [|whd in ⊢ (??%?); >left_mk_tape >reverse_append >reverse_reverse
 115   >current_mk_tape >right_mk_tape normalize >append_nil % ]
 116 whd in ⊢ (???(???(????%?)??)→?); whd in match (tail ??); #Htd
 117 (* move cfg to R *)
 118 * #te * whd in ⊢ (%→?); >Htd
 119 >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 120 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 121 >Htable in Hintable; #Hintable #Hte
 122 (* copy *)
 123 cases (cfg_in_table_to_tuple ???? Hcfg ?? Hintable)
 124 #newstate * #m0 * #lr0 * * #Hlr destruct (Hlr) #Hnewcfg #Hm0
 125 cut (∃fo,so,co.state = fo::so@[co] ∧ |so| = n)
 126 [ @daemon ] * #fo * #so * #co * #Hstate_exp #Hsolen
 127 cut (∃fn,sn,cn.newstate = fn::sn@[cn] ∧ |sn| = n)
 128 [ @daemon ] * #fn * #sn * #cn * #Hnewstate_exp #Hsnlen
 129 * #tf * * #_ >Hte >(nth_change_vec ?????? lt_prg)
 130 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >(nth_change_vec ?????? lt_cfg)
 131 >Hstate_exp >Hnewstate_exp
 132 whd in match (mk_tape ????); whd in match (tape_move ???);
 133 #Htf cases (Htf ?????? (refl ??) (refl ??) ?) -Htf
 134 [| whd in match (tail ??); >length_append >length_append
 135    >Hsolen >length_append >length_append >Hsnlen
 136    <plus_n_Sm <plus_n_Sm <plus_n_Sm <plus_n_O <plus_n_O normalize // ]
 137 #rs1 * #rs2 whd in match (tail ??); * *
 138 >append_cons #Hrs1rs2 #Hrs1len
 139 >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 140 >change_vec_change_vec #Htf
 141 (* cfg to obj *)
 142 * #tg * whd in ⊢ (%→?); >Htf
 143 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >(nth_change_vec ?????? lt_cfg)
 144 >(change_vec_commute ????? cfg prg) [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 145 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 146 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 147 lapply (append_l1_injective ?????? Hrs1rs2)
 148 [ >Hsnlen >Hrs1len >length_append >length_append >length_append >length_append
 149   normalize >Hsolen >Hsnlen % ]
 150 #Hrs1 <Hrs1 >reverse_append #Htg cases (Htg ?? (refl ??)) -Htg
 151 cases m0
 152   [#mv #_ #Htg #_
 153
 154
 155
 156
 157
 158 [ *
 159
 160   match_m cfg prg FSUnialpha 2 ·
 161   restart_tape cfg · copy prg cfg FSUnialpha 2 ·
 162   cfg_to_obj · tape_move_obj · restart_tape prg · obj_to_cfg.
 163
 164 definition tape_map ≝ λA,B:FinSet.λf:A→B.λt.
 165   mk_tape B (map ?? f (left ? t))
 166     (option_map ?? f (current ? t))
 167     (map ?? f (right ? t)).
 168
 169 lemma map_list_of_tape: ∀A,B,f,t.
 170   list_of_tape B (tape_map ?? f t) = map ?? f (list_of_tape A t).
 171 #A #B #f * // normalize // #ls #c #rs <map_append %
 172 qed.
 173
 174 lemma low_char_current : ∀t.
 175   low_char' (current FSUnialpha (tape_map FinBool FSUnialpha bit t))
 176   = low_char (current FinBool t).
 177 * // qed.
 178
 179 definition low_tapes: ∀M:normalTM.∀c:nconfig (no_states M).Vector ? 3 ≝
 180 λM:normalTM.λc:nconfig (no_states M).Vector_of_list ?
 181   [tape_map ?? bit (ctape ?? c);
 182    midtape ? [ ] bar
 183     ((bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))@[low_char (current ? (ctape ?? c))]);
 184    midtape ? [ ] bar (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M)))
 185   ].
 186
 187 lemma obj_low_tapes: ∀M,c.
 188   nth obj ? (low_tapes M c) (niltape ?) = tape_map ?? bit (ctape ?? c).
 189 // qed.
 190
 191 lemma cfg_low_tapes: ∀M,c.
 192   nth cfg ? (low_tapes M c) (niltape ?) =
 193   midtape ? [ ] bar
 194     ((bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))@[low_char (current ? (ctape ?? c))]).
 195 // qed.
 196
 197 lemma prg_low_tapes: ∀M,c.
 198   nth prg ? (low_tapes M c) (niltape ?) =
 199   midtape ? [ ] bar (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M))).
 200 // qed.
 201
 202 (* commutation lemma for write *)
 203 lemma map_write: ∀t,cout.
 204  tape_write ? (tape_map FinBool ? bit t) (char_to_bit_option (low_char cout))
 205   = tape_map ?? bit (tape_write ? t cout).
 206 #t * // #b whd in match (char_to_bit_option ?);
 207 whd in ⊢ (??%%); @eq_f3 [elim t // | // | elim t //]
 208 qed.
 209
 210 (* commutation lemma for moves *)
 211 lemma map_move: ∀t,m.
 212  tape_move ? (tape_map FinBool ? bit t) (char_to_move (low_mv m))
 213   = tape_map ?? bit (tape_move ? t m).
 214 #t * // whd in match (char_to_move ?);
 215   [cases t // * // | cases t // #ls #a * //]
 216 qed.
 217
 218 (* commutation lemma for actions *)
 219 lemma map_action: ∀t,cout,m.
 220  tape_move ? (tape_write ? (tape_map FinBool ? bit t)
 221     (char_to_bit_option (low_char cout))) (char_to_move (low_mv m))
 222  = tape_map ?? bit (tape_move ? (tape_write ? t cout) m).
 223 #t #cout #m >map_write >map_move %
 224 qed.
 225
 226 lemma map_move_mono: ∀t,cout,m.
 227  tape_move_mono ? (tape_map FinBool ? bit t)
 228   〈char_to_bit_option (low_char cout), char_to_move (low_mv m)〉
 229  = tape_map ?? bit (tape_move_mono ? t 〈cout,m〉).
 230 @map_action
 231 qed.
 232
 233 definition R_unistep_high ≝ λM:normalTM.λt1,t2.
 234 ∀c:nconfig (no_states M).
 235   t1 = low_tapes M c →
 236   t2 = low_tapes M (step ? M c).
 237
 238 lemma R_unistep_equiv : ∀M,t1,t2.
 239   R_unistep (no_states M) (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M) t1 t2 →
 240   R_unistep_high M t1 t2.
 241 #M #t1 #t2 #H whd whd in match (nconfig ?); #c #Ht1
 242 lapply (initial_bar ? (nhalt M) (graph_enum ?? (ntrans M)) (nTM_nog ?)) #Htable
 243 (* tup = current tuple *)
 244 cut (∃t.t = 〈〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉,
 245              ntrans M 〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉〉) [% //] * #tup #Htup
 246 (* tup is in the graph *)
 247 cut (mem ? tup (graph_enum ?? (ntrans M)))
 248   [@memb_to_mem >Htup @(graph_enum_complete … (ntrans M)) %] #Hingraph
 249 (* tupe target = 〈qout,cout,m〉 *)
 250 lapply (decomp_target ? (ntrans M 〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉))
 251 * #qout * #cout * #m #Htg >Htg in Htup; #Htup
 252 (* new config *)
 253 cut (step FinBool M c = mk_config ?? qout (tape_move ? (tape_write ? (ctape … c) cout) m))
 254   [>(config_expand … c) whd in ⊢ (??%?); (* >Htg ?? why not?? *)
 255    cut (trans ? M 〈cstate  … c, current ? (ctape … c)〉 = 〈qout,cout,m〉) [<Htg %] #Heq1
 256    >Heq1 %] #Hstep
 257 (* new state *)
 258 cut (cstate ?? (step FinBool M c) = qout) [>Hstep %] #Hnew_state
 259 (* new tape *)
 260 cut (ctape ?? (step FinBool M c) = tape_move ? (tape_write ? (ctape … c) cout) m)
 261   [>Hstep %] #Hnew_tape
 262 lapply(H (bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))
 263          (low_char (current ? (ctape ?? c)))
 264          (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M)))
 265          ??????)
 266 [<Htable
 267  lapply(list_to_table … (nhalt M) …Hingraph) * #ll * #lr #Htable1 %{ll}
 268  %{(((bits_of_state ? (nhalt M) qout)@[low_char cout;low_mv m])@lr)}
 269  >Htable1 @eq_f <associative_append @eq_f2 // >Htup
 270  whd in ⊢ (??%?); @eq_f >associative_append %
 271 |>Ht1 >obj_low_tapes >map_list_of_tape elim (list_of_tape ??)
 272   [#b @False_ind | #b #tl #Hind #a * [#Ha >Ha //| @Hind]]
 273 |@sym_eq @Htable
 274 |>Ht1 %
 275 |%{(bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))} %{(low_char (current ? (ctape ?? c)))}
 276  % [% [% [// | cases (current ??) normalize [|#b] % #Hd destruct (Hd)]
 277       |>length_map whd in match (length ??); @eq_f //]
 278    |//]
 279 |>Ht1 >cfg_low_tapes //] -H #H
 280 lapply(H (bits_of_state … (nhalt M) qout) (low_char … cout)
 281          (low_mv … m) tup ? Hingraph)
 282   [>Htup whd in ⊢ (??%?); @eq_f >associative_append %] -H
 283 #Ht2 @(eq_vec ? 3 ?? (niltape ?) ?) >Ht2 #i #Hi
 284 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 285   [cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 286     [cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 287       [@False_ind /2/
 288       |>Hi >obj_low_tapes >nth_change_vec //
 289        >Ht1 >obj_low_tapes >Hstep @map_action
 290       ]
 291     |>Hi >cfg_low_tapes >nth_change_vec_neq
 292       [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 293      >nth_change_vec // >Hnew_state @eq_f @eq_f >Hnew_tape
 294      @eq_f2 [|2:%] >Ht1 >obj_low_tapes >map_move_mono >low_char_current %
 295     ]
 296   |(* program tapes do not change *)
 297    >Hi >prg_low_tapes
 298    >nth_change_vec_neq [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 299    >nth_change_vec_neq [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 300    >Ht1 >prg_low_tapes //
 301   ]
 302 qed.