matita/matita/lib/turing/multi_universal/unistep.ma

   1 #(*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 include "turing/multi_universal/unistep_aux.ma".
  14
  15 definition exec_move ≝
  16   cfg_to_obj · tape_move_obj · restart_tape prg 2 · obj_to_cfg.
  17
  18 definition R_exec_move ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
  19 ∀c,m,ls1,ls2,rs2.
  20   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls1@[bar]) (None ?) [ ] →
  21   nth prg ? t1 (niltape ?) = midtape FSUnialpha (ls2@[bar]) m rs2 →
  22   only_bits (list_of_tape ? (nth obj ? t1 (niltape ?))) →
  23   c ≠ bar → m ≠ bar →
  24   let new_obj ≝
  25       tape_move_mono ? (nth obj ? t1 (niltape ?))
  26         〈char_to_bit_option c, char_to_move m〉 in
  27   let next_c ≝ low_char' (current ? new_obj) in
  28   let new_cfg ≝ midtape ? [ ] bar ((reverse ? ls1)@[next_c]) in
  29   let new_prg ≝ midtape FSUnialpha [ ] bar ((reverse ? ls2)@m::rs2) in
  30   t2 = Vector_of_list ? [new_obj;new_cfg;new_prg].
  31
  32
  33 lemma sem_exec_move: exec_move ⊨ R_exec_move.
  34 @(sem_seq_app ??????? sem_cfg_to_obj1
  35   (sem_seq ?????? sem_tape_move_obj
  36    (sem_seq ?????? (sem_restart_tape ???) sem_obj_to_cfg1))) //
  37 #ta #tout * #t1 * #semM1 * #t2 * #semM2 * #t3 * #semM3 #semM4
  38 #c #m #ls1 #ls2 #rs2 #Hcfg #Hprg #Honlybits #Hc #Hm
  39 (* M1 = cfg_to_obj *)
  40 lapply (semM1 … Hcfg Hc) #Ht1
  41 (* M2 = tape_move *)
  42 whd in semM2; >Ht1 in semM2; -Ht1
  43 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  44 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  45 >Hprg #Ht2 lapply (Ht2 … (refl ??)) -Ht2
  46 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  47 >nth_change_vec // >change_vec_commute [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  48 >change_vec_change_vec #Ht2
  49 (* M3 = restart prg *)
  50 whd in semM3; >Ht2 in semM3; #semM3 lapply (semM3 … (refl ??)); -semM3
  51 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  52 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %] #Ht3
  53 (* M4 = obj_to_cfg *)
  54 whd in semM4; >Ht3 in semM4;
  55 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  56 >nth_change_vec [2:@leb_true_to_le %] #semM4 lapply (semM4 … (refl ??)) -semM4
  57 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  58 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  59 >nth_change_vec [2:@leb_true_to_le %] #semM4 >(semM4 ?)
  60   [(* tape by tape *)
  61    @(eq_vec … (niltape ?)) #i #lei2
  62    cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei2))
  63     [#lei1 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei1))
  64       [#lei0 lapply(le_n_O_to_eq … (le_S_S_to_le …lei0)) #eqi <eqi
  65        >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  66        >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  67        >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  68        >nth_change_vec [2:@leb_true_to_le %] %
  69       |#Hi >Hi (* obj tape *)
  70        >nth_change_vec [2:@leb_true_to_le %] whd in ⊢ (???%);
  71        >reverse_cons >reverse_append >reverse_single
  72        whd in match (option_hd ??); whd in match (tail ??);
  73        whd in ⊢ (??%?); %
  74       ]
  75     |#Hi >Hi (* prg tape *)
  76      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  77      >nth_change_vec [2:@leb_true_to_le %] whd in ⊢ (???%);
  78      >Hprg whd in match (list_of_tape ??); >reverse_append
  79      >reverse_single %
  80     ]
  81   |#b #Hcurrent @(list_of_tape_write ? is_bit … (char_to_bit_option c) ? Honlybits)
  82     [#b0 cases c
  83       [#b1 whd in ⊢ (??%?→?); #Hbit destruct (Hbit) %
  84       |whd in ⊢ (??%?→?); #Hbit destruct (Hbit)
  85       |whd in ⊢ (??%?→?); #Hbit destruct (Hbit)
  86       ]
  87     |>(list_of_tape_move … (char_to_move m)) @current_in_list @Hcurrent
  88     ]
  89   ]
  90 qed.
  91
  92 definition unistep ≝
  93   match_m cfg prg FSUnialpha 2 ·
  94   restart_tape cfg 2 · mmove cfg ? 2 R · copy prg cfg FSUnialpha 2 ·
  95   cfg_to_obj · tape_move_obj · restart_tape prg 2 · obj_to_cfg.
  96
  97 (*
  98 definition legal_tape ≝ λn,l,h,t.
  99   ∃state,char,table.
 100   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar (state@[char]) →
 101   is_config n (bar::state@[char]) →
 102   nth prg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar table →
 103   bar::table = table_TM n l h → *)
 104
 105 definition R_unistep ≝ λn,l,h.λt1,t2: Vector ? 3.
 106   ∀state,char,table.
 107   (* cfg *)
 108   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar (state@[char]) →
 109   is_config n (bar::state@[char]) →
 110   (* prg *)
 111   nth prg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar table →
 112   bar::table = table_TM n l h →
 113   (* obj *)
 114   only_bits (list_of_tape ? (nth obj ? t1 (niltape ?))) →
 115   let conf ≝ (bar::state@[char]) in
 116   (∃ll,lr.bar::table = ll@conf@lr) →
 117 (*
 118     ∃nstate,nchar,m,t. tuple_encoding n h t = (conf@nstate@[nchar;m]) ∧
 119     mem ? t l ∧  *)
 120     ∀nstate,nchar,m,t.
 121     tuple_encoding n h t = (conf@nstate@[nchar;m])→
 122     mem ? t l →
 123     let new_obj ≝
 124      tape_move_mono ? (nth obj ? t1 (niltape ?))
 125        〈char_to_bit_option nchar,char_to_move m〉 in
 126     let next_char ≝ low_char' (current ? new_obj) in
 127     t2 =
 128       change_vec ??
 129         (change_vec ?? t1 (midtape ? [ ] bar (nstate@[next_char])) cfg)
 130         new_obj obj.
 131
 132 lemma lt_obj : obj < 3. // qed.
 133 lemma lt_cfg : cfg < 3. // qed.
 134 lemma lt_prg : prg < 3. // qed.
 135
 136 definition R_copy_strict ≝
 137   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 138   ((current ? (nth src ? int (niltape ?)) = None ? ∨
 139     current ? (nth dst ? int (niltape ?)) = None ?) → outt = int) ∧
 140   (∀ls,x,x0,rs,ls0,rs0.
 141     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x rs →
 142     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 143     |rs0| ≤ |rs| →
 144     (∃rs1,rs2.rs = rs1@rs2 ∧ |rs1| = |rs0| ∧
 145      outt = change_vec ??
 146             (change_vec ?? int
 147               (mk_tape sig (reverse sig rs1@x::ls) (option_hd sig rs2)
 148             (tail sig rs2)) src)
 149             (mk_tape sig (reverse sig rs1@x::ls0) (None sig) []) dst)).
 150
 151 axiom sem_copy_strict : ∀src,dst,sig,n. src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 152   copy src dst sig n ⊨ R_copy_strict src dst sig n.
 153
 154 lemma sem_unistep : ∀n,l,h.unistep ⊨ R_unistep n l h.
 155 #n #l #h
 156 @(sem_seq_app ??????? (sem_match_m cfg prg FSUnialpha 2 ???)
 157   (sem_seq ?????? (sem_restart_tape ???)
 158    (sem_seq ?????? (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)
 159     (sem_seq ?????? (sem_copy_strict prg cfg FSUnialpha 2 ???)
 160      (sem_seq ?????? sem_cfg_to_obj1
 161       (sem_seq ?????? sem_tape_move_obj
 162        (sem_seq ?????? (sem_restart_tape ???) sem_obj_to_cfg)))))))
 163   /2 by le_n,sym_not_eq/
 164 #ta #tb #HR #state #char #table #Hta_cfg #Hcfg #Hta_prg #Htable
 165 #Hbits_obj #Htotaltable
 166 #nstate #nchar #m #t #Htuple #Hmatch
 167 cases HR -HR #tc * whd in ⊢ (%→?);
 168 >Hta_cfg #H cases (H ?? (refl ??)) -H
 169 (* prg starts with a bar, so it's not empty *) #_
 170 >Hta_prg #H lapply (H ??? (refl ??)) -H *
 171 [| cases Htotaltable #ll * #lr #H >H
 172    #Hfalse @False_ind cases (Hfalse ll lr) #H1 @H1 //]
 173 * #ll * #lr * #Hintable -Htotaltable #Htc
 174 * #td * whd in ⊢ (%→?); >Htc
 175 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >(nth_change_vec ?????? lt_cfg)
 176 #Htd lapply (Htd ? (refl ??)) -Htd
 177 >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 178 >(?: list_of_tape ? (mk_tape ? (reverse ? (state@[char])@[bar]) (None ?) [ ]) =
 179      bar::state@[char])
 180 [|whd in ⊢ (??%?); >left_mk_tape >reverse_append >reverse_reverse
 181   >current_mk_tape >right_mk_tape normalize >append_nil % ]
 182 whd in ⊢ (???(???(????%?)??)→?); whd in match (tail ??); #Htd
 183 (* move cfg to R *)
 184 * #te * whd in ⊢ (%→?); >Htd
 185 >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 186 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 187 >Htable in Hintable; #Hintable #Hte
 188 (* copy *)
 189 cases (cfg_in_table_to_tuple ???? Hcfg ?? Hintable)
 190 #newstate * #m0 * #lr0 * * #Hlr destruct (Hlr) #Hnewcfg #Hm0
 191 cut (∃fo,so,co.state = fo::so@[co] ∧ |so| = n)
 192 [ @daemon ] * #fo * #so * #co * #Hstate_exp #Hsolen
 193 cut (∃fn,sn,cn.newstate = fn::sn@[cn] ∧ |sn| = n)
 194 [ @daemon ] * #fn * #sn * #cn * #Hnewstate_exp #Hsnlen
 195 * #tf * * #_ >Hte >(nth_change_vec ?????? lt_prg)
 196 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >(nth_change_vec ?????? lt_cfg)
 197 >Hstate_exp >Hnewstate_exp
 198 whd in match (mk_tape ????); whd in match (tape_move ???);
 199 #Htf cases (Htf ?????? (refl ??) (refl ??) ?) -Htf
 200 [| whd in match (tail ??); >length_append >length_append
 201    >Hsolen >length_append >length_append >Hsnlen
 202    <plus_n_Sm <plus_n_Sm <plus_n_Sm <plus_n_O <plus_n_O normalize // ]
 203 #rs1 * #rs2 whd in match (tail ??); * *
 204 >append_cons #Hrs1rs2 #Hrs1len
 205 >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 206 >change_vec_change_vec #Htf
 207 (* cfg to obj *)
 208 * #tg * whd in ⊢ (%→?); >Htf
 209 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >(nth_change_vec ?????? lt_cfg)
 210 lapply (append_l1_injective ?????? Hrs1rs2)
 211 [ >Hsnlen >Hrs1len >length_append >length_append >length_append >length_append
 212   normalize >Hsolen >Hsnlen % ] #Hrs1 <Hrs1 >reverse_append >reverse_single
 213   >associative_append #Htg lapply (Htg … (refl ??) Hm0) -Htg
 214   (* simplifying tg *)
 215   >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 216   >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 217
 218
 219
 220
 221
 222   cut ((mk_tape FSUnialpha []
 223      (option_hd FSUnialpha
 224       (reverse FSUnialpha (m0::[]@reverse FSUnialpha (sn@[cn])@[fn; bar])))
 225      (tail FSUnialpha
 226       (reverse FSUnialpha (m0::[]@reverse FSUnialpha (sn@[cn])@[fn; bar])))) =
 227       midtape ? [ ] bar (fn::sn@[cn;m0]))
 228   [cut (reverse FSUnialpha (m0::[]@reverse FSUnialpha (sn@[cn])@[fn; bar]) =
 229           bar::fn::sn@[cn;m0])
 230     [>reverse_cons whd in ⊢ (??(??(??%)?)?); >reverse_append >reverse_reverse
 231      >append_cons in ⊢ (???%); % ] #Hrev >Hrev % ] #Hmk_tape >Hmk_tape -Hmk_tape
 232    >change_vec_commute
 233
 234   >reverse_append >reverse_append
 235   check reverse_cons
 236   <reverse_cons >reverse_cons
 237    -Htg #Htg
 238
 239 >(change_vec_commute ????? cfg prg) [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 240 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 241 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 242 lapply (append_l1_injective ?????? Hrs1rs2)
 243 [ >Hsnlen >Hrs1len >length_append >length_append >length_append >length_append
 244   normalize >Hsolen >Hsnlen % ]
 245 #Hrs1 <Hrs1 >reverse_append #Htg cases (Htg ?? (refl ??)) -Htg
 246 cases m0
 247   [#mv #_ #Htg #_
 248
 249
 250
 251
 252
 253 [ *
 254
 255   match_m cfg prg FSUnialpha 2 ·
 256   restart_tape cfg · copy prg cfg FSUnialpha 2 ·
 257   cfg_to_obj · tape_move_obj · restart_tape prg · obj_to_cfg.
 258
 259 definition tape_map ≝ λA,B:FinSet.λf:A→B.λt.
 260   mk_tape B (map ?? f (left ? t))
 261     (option_map ?? f (current ? t))
 262     (map ?? f (right ? t)).
 263
 264 lemma map_list_of_tape: ∀A,B,f,t.
 265   list_of_tape B (tape_map ?? f t) = map ?? f (list_of_tape A t).
 266 #A #B #f * // normalize // #ls #c #rs <map_append %
 267 qed.
 268
 269 lemma low_char_current : ∀t.
 270   low_char' (current FSUnialpha (tape_map FinBool FSUnialpha bit t))
 271   = low_char (current FinBool t).
 272 * // qed.
 273
 274 definition low_tapes: ∀M:normalTM.∀c:nconfig (no_states M).Vector ? 3 ≝
 275 λM:normalTM.λc:nconfig (no_states M).Vector_of_list ?
 276   [tape_map ?? bit (ctape ?? c);
 277    midtape ? [ ] bar
 278     ((bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))@[low_char (current ? (ctape ?? c))]);
 279    midtape ? [ ] bar (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M)))
 280   ].
 281
 282 lemma obj_low_tapes: ∀M,c.
 283   nth obj ? (low_tapes M c) (niltape ?) = tape_map ?? bit (ctape ?? c).
 284 // qed.
 285
 286 lemma cfg_low_tapes: ∀M,c.
 287   nth cfg ? (low_tapes M c) (niltape ?) =
 288   midtape ? [ ] bar
 289     ((bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))@[low_char (current ? (ctape ?? c))]).
 290 // qed.
 291
 292 lemma prg_low_tapes: ∀M,c.
 293   nth prg ? (low_tapes M c) (niltape ?) =
 294   midtape ? [ ] bar (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M))).
 295 // qed.
 296
 297 (* commutation lemma for write *)
 298 lemma map_write: ∀t,cout.
 299  tape_write ? (tape_map FinBool ? bit t) (char_to_bit_option (low_char cout))
 300   = tape_map ?? bit (tape_write ? t cout).
 301 #t * // #b whd in match (char_to_bit_option ?);
 302 whd in ⊢ (??%%); @eq_f3 [elim t // | // | elim t //]
 303 qed.
 304
 305 (* commutation lemma for moves *)
 306 lemma map_move: ∀t,m.
 307  tape_move ? (tape_map FinBool ? bit t) (char_to_move (low_mv m))
 308   = tape_map ?? bit (tape_move ? t m).
 309 #t * // whd in match (char_to_move ?);
 310   [cases t // * // | cases t // #ls #a * //]
 311 qed.
 312
 313 (* commutation lemma for actions *)
 314 lemma map_action: ∀t,cout,m.
 315  tape_move ? (tape_write ? (tape_map FinBool ? bit t)
 316     (char_to_bit_option (low_char cout))) (char_to_move (low_mv m))
 317  = tape_map ?? bit (tape_move ? (tape_write ? t cout) m).
 318 #t #cout #m >map_write >map_move %
 319 qed.
 320
 321 lemma map_move_mono: ∀t,cout,m.
 322  tape_move_mono ? (tape_map FinBool ? bit t)
 323   〈char_to_bit_option (low_char cout), char_to_move (low_mv m)〉
 324  = tape_map ?? bit (tape_move_mono ? t 〈cout,m〉).
 325 @map_action
 326 qed.
 327
 328 definition R_unistep_high ≝ λM:normalTM.λt1,t2.
 329 ∀c:nconfig (no_states M).
 330   t1 = low_tapes M c →
 331   t2 = low_tapes M (step ? M c).
 332
 333 lemma R_unistep_equiv : ∀M,t1,t2.
 334   R_unistep (no_states M) (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M) t1 t2 →
 335   R_unistep_high M t1 t2.
 336 #M #t1 #t2 #H whd whd in match (nconfig ?); #c #Ht1
 337 lapply (initial_bar ? (nhalt M) (graph_enum ?? (ntrans M)) (nTM_nog ?)) #Htable
 338 (* tup = current tuple *)
 339 cut (∃t.t = 〈〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉,
 340              ntrans M 〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉〉) [% //] * #tup #Htup
 341 (* tup is in the graph *)
 342 cut (mem ? tup (graph_enum ?? (ntrans M)))
 343   [@memb_to_mem >Htup @(graph_enum_complete … (ntrans M)) %] #Hingraph
 344 (* tupe target = 〈qout,cout,m〉 *)
 345 lapply (decomp_target ? (ntrans M 〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉))
 346 * #qout * #cout * #m #Htg >Htg in Htup; #Htup
 347 (* new config *)
 348 cut (step FinBool M c = mk_config ?? qout (tape_move ? (tape_write ? (ctape … c) cout) m))
 349   [>(config_expand … c) whd in ⊢ (??%?); (* >Htg ?? why not?? *)
 350    cut (trans ? M 〈cstate  … c, current ? (ctape … c)〉 = 〈qout,cout,m〉) [<Htg %] #Heq1
 351    >Heq1 %] #Hstep
 352 (* new state *)
 353 cut (cstate ?? (step FinBool M c) = qout) [>Hstep %] #Hnew_state
 354 (* new tape *)
 355 cut (ctape ?? (step FinBool M c) = tape_move ? (tape_write ? (ctape … c) cout) m)
 356   [>Hstep %] #Hnew_tape
 357 lapply(H (bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))
 358          (low_char (current ? (ctape ?? c)))
 359          (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M)))
 360          ??????)
 361 [<Htable
 362  lapply(list_to_table … (nhalt M) …Hingraph) * #ll * #lr #Htable1 %{ll}
 363  %{(((bits_of_state ? (nhalt M) qout)@[low_char cout;low_mv m])@lr)}
 364  >Htable1 @eq_f <associative_append @eq_f2 // >Htup
 365  whd in ⊢ (??%?); @eq_f >associative_append %
 366 |>Ht1 >obj_low_tapes >map_list_of_tape elim (list_of_tape ??)
 367   [#b @False_ind | #b #tl #Hind #a * [#Ha >Ha //| @Hind]]
 368 |@sym_eq @Htable
 369 |>Ht1 %
 370 |%{(bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))} %{(low_char (current ? (ctape ?? c)))}
 371  % [% [% [// | cases (current ??) normalize [|#b] % #Hd destruct (Hd)]
 372       |>length_map whd in match (length ??); @eq_f //]
 373    |//]
 374 |>Ht1 >cfg_low_tapes //] -H #H
 375 lapply(H (bits_of_state … (nhalt M) qout) (low_char … cout)
 376          (low_mv … m) tup ? Hingraph)
 377   [>Htup whd in ⊢ (??%?); @eq_f >associative_append %] -H
 378 #Ht2 @(eq_vec ? 3 ?? (niltape ?) ?) >Ht2 #i #Hi
 379 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 380   [cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 381     [cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 382       [@False_ind /2/
 383       |>Hi >obj_low_tapes >nth_change_vec //
 384        >Ht1 >obj_low_tapes >Hstep @map_action
 385       ]
 386     |>Hi >cfg_low_tapes >nth_change_vec_neq
 387       [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 388      >nth_change_vec // >Hnew_state @eq_f @eq_f >Hnew_tape
 389      @eq_f2 [|2:%] >Ht1 >obj_low_tapes >map_move_mono >low_char_current %
 390     ]
 391   |(* program tapes do not change *)
 392    >Hi >prg_low_tapes
 393    >nth_change_vec_neq [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 394    >nth_change_vec_neq [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 395    >Ht1 >prg_low_tapes //
 396   ]
 397 qed.