matita/matita/lib/turing/multi_universal/unistep.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 include "turing/multi_universal/unistep_aux.ma".
  14
  15 definition exec_move ≝
  16   cfg_to_obj · tape_move_obj · restart_tape prg 2 · obj_to_cfg.
  17
  18 definition low_char' ≝ λc.
  19   match c with
  20   [ None ⇒ null
  21   | Some b ⇒ if (is_bit b) then b else null
  22   ].
  23
  24 lemma low_char_option : ∀s.
  25   low_char' (option_map FinBool FSUnialpha bit s) = low_char s.
  26 * //
  27 qed.
  28
  29 definition R_exec_move ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
  30 ∀c,m,ls1,ls2,rs2.
  31   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls1@[bar]) (None ?) [ ] →
  32   nth prg ? t1 (niltape ?) = midtape FSUnialpha (ls2@[bar]) m rs2 →
  33   c ≠ bar → m ≠ bar →
  34   let new_obj ≝
  35       tape_move_mono ? (nth obj ? t1 (niltape ?))
  36         〈char_to_bit_option c, char_to_move m〉 in
  37   let next_c ≝ low_char' (current ? new_obj) in
  38   let new_cfg ≝ midtape ? [ ] bar ((reverse ? ls1)@[next_c]) in
  39   let new_prg ≝ midtape FSUnialpha [ ] bar ((reverse ? ls2)@m::rs2) in
  40   t2 = Vector_of_list ? [new_obj;new_cfg;new_prg].
  41
  42
  43 lemma sem_exec_move: exec_move ⊨ R_exec_move.
  44 @(sem_seq_app ??????? sem_cfg_to_obj1
  45   (sem_seq ?????? sem_tape_move_obj
  46    (sem_seq ?????? (sem_restart_tape ???) sem_obj_to_cfg))) //
  47 #ta #tout * #t1 * #semM1 * #t2 * #semM2 * #t3 * #semM3 #semM4
  48 #c #m #ls1 #ls2 #rs2 #Hcfg #Hprg #Hc #Hm
  49 (* M1 = cfg_to_obj *)
  50 lapply (semM1 … Hcfg Hc) #Ht1
  51 (* M2 = tape_move *)
  52 whd in semM2; >Ht1 in semM2; -Ht1
  53 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  54 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  55 >Hprg #Ht2 lapply (Ht2 … (refl ??)) -Ht2
  56 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  57 >nth_change_vec // >change_vec_commute [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  58 >change_vec_change_vec #Ht2
  59 (* M3 = restart prg *)
  60 whd in semM3; >Ht2 in semM3; #semM3 lapply (semM3 … (refl ??)); -semM3
  61 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
  62 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %] #Ht3
  63 (* M4 = obj_to_cfg *)
  64
  65
  66 definition unistep ≝
  67   match_m cfg prg FSUnialpha 2 ·
  68   restart_tape cfg 2 · mmove cfg ? 2 R · copy prg cfg FSUnialpha 2 ·
  69   cfg_to_obj · tape_move_obj · restart_tape prg 2 · obj_to_cfg.
  70
  71 (*
  72 definition legal_tape ≝ λn,l,h,t.
  73   ∃state,char,table.
  74   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar (state@[char]) →
  75   is_config n (bar::state@[char]) →
  76   nth prg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar table →
  77   bar::table = table_TM n l h → *)
  78
  79 definition R_unistep ≝ λn,l,h.λt1,t2: Vector ? 3.
  80   ∀state,char,table.
  81   (* cfg *)
  82   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar (state@[char]) →
  83   is_config n (bar::state@[char]) →
  84   (* prg *)
  85   nth prg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar table →
  86   bar::table = table_TM n l h →
  87   (* obj *)
  88   only_bits (list_of_tape ? (nth obj ? t1 (niltape ?))) →
  89   let conf ≝ (bar::state@[char]) in
  90   (∃ll,lr.bar::table = ll@conf@lr) →
  91 (*
  92     ∃nstate,nchar,m,t. tuple_encoding n h t = (conf@nstate@[nchar;m]) ∧
  93     mem ? t l ∧  *)
  94     ∀nstate,nchar,m,t.
  95     tuple_encoding n h t = (conf@nstate@[nchar;m])→
  96     mem ? t l →
  97     let new_obj ≝
  98      tape_move_mono ? (nth obj ? t1 (niltape ?))
  99        〈char_to_bit_option nchar,char_to_move m〉 in
 100     let next_char ≝ low_char' (current ? new_obj) in
 101     t2 =
 102       change_vec ??
 103         (change_vec ?? t1 (midtape ? [ ] bar (nstate@[next_char])) cfg)
 104         new_obj obj.
 105
 106 lemma lt_obj : obj < 3. // qed.
 107 lemma lt_cfg : cfg < 3. // qed.
 108 lemma lt_prg : prg < 3. // qed.
 109
 110 definition R_copy_strict ≝
 111   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 112   ((current ? (nth src ? int (niltape ?)) = None ? ∨
 113     current ? (nth dst ? int (niltape ?)) = None ?) → outt = int) ∧
 114   (∀ls,x,x0,rs,ls0,rs0.
 115     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x rs →
 116     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 117     |rs0| ≤ |rs| →
 118     (∃rs1,rs2.rs = rs1@rs2 ∧ |rs1| = |rs0| ∧
 119      outt = change_vec ??
 120             (change_vec ?? int
 121               (mk_tape sig (reverse sig rs1@x::ls) (option_hd sig rs2)
 122             (tail sig rs2)) src)
 123             (mk_tape sig (reverse sig rs1@x::ls0) (None sig) []) dst)).
 124
 125 axiom sem_copy_strict : ∀src,dst,sig,n. src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 126   copy src dst sig n ⊨ R_copy_strict src dst sig n.
 127
 128 lemma sem_unistep : ∀n,l,h.unistep ⊨ R_unistep n l h.
 129 #n #l #h
 130 @(sem_seq_app ??????? (sem_match_m cfg prg FSUnialpha 2 ???)
 131   (sem_seq ?????? (sem_restart_tape ???)
 132    (sem_seq ?????? (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)
 133     (sem_seq ?????? (sem_copy_strict prg cfg FSUnialpha 2 ???)
 134      (sem_seq ?????? sem_cfg_to_obj1
 135       (sem_seq ?????? sem_tape_move_obj
 136        (sem_seq ?????? (sem_restart_tape ???) sem_obj_to_cfg)))))))
 137   /2 by le_n,sym_not_eq/
 138 #ta #tb #HR #state #char #table #Hta_cfg #Hcfg #Hta_prg #Htable
 139 #Hbits_obj #Htotaltable
 140 #nstate #nchar #m #t #Htuple #Hmatch
 141 cases HR -HR #tc * whd in ⊢ (%→?);
 142 >Hta_cfg #H cases (H ?? (refl ??)) -H
 143 (* prg starts with a bar, so it's not empty *) #_
 144 >Hta_prg #H lapply (H ??? (refl ??)) -H *
 145 [| cases Htotaltable #ll * #lr #H >H
 146    #Hfalse @False_ind cases (Hfalse ll lr) #H1 @H1 //]
 147 * #ll * #lr * #Hintable -Htotaltable #Htc
 148 * #td * whd in ⊢ (%→?); >Htc
 149 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >(nth_change_vec ?????? lt_cfg)
 150 #Htd lapply (Htd ? (refl ??)) -Htd
 151 >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 152 >(?: list_of_tape ? (mk_tape ? (reverse ? (state@[char])@[bar]) (None ?) [ ]) =
 153      bar::state@[char])
 154 [|whd in ⊢ (??%?); >left_mk_tape >reverse_append >reverse_reverse
 155   >current_mk_tape >right_mk_tape normalize >append_nil % ]
 156 whd in ⊢ (???(???(????%?)??)→?); whd in match (tail ??); #Htd
 157 (* move cfg to R *)
 158 * #te * whd in ⊢ (%→?); >Htd
 159 >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 160 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 161 >Htable in Hintable; #Hintable #Hte
 162 (* copy *)
 163 cases (cfg_in_table_to_tuple ???? Hcfg ?? Hintable)
 164 #newstate * #m0 * #lr0 * * #Hlr destruct (Hlr) #Hnewcfg #Hm0
 165 cut (∃fo,so,co.state = fo::so@[co] ∧ |so| = n)
 166 [ @daemon ] * #fo * #so * #co * #Hstate_exp #Hsolen
 167 cut (∃fn,sn,cn.newstate = fn::sn@[cn] ∧ |sn| = n)
 168 [ @daemon ] * #fn * #sn * #cn * #Hnewstate_exp #Hsnlen
 169 * #tf * * #_ >Hte >(nth_change_vec ?????? lt_prg)
 170 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >(nth_change_vec ?????? lt_cfg)
 171 >Hstate_exp >Hnewstate_exp
 172 whd in match (mk_tape ????); whd in match (tape_move ???);
 173 #Htf cases (Htf ?????? (refl ??) (refl ??) ?) -Htf
 174 [| whd in match (tail ??); >length_append >length_append
 175    >Hsolen >length_append >length_append >Hsnlen
 176    <plus_n_Sm <plus_n_Sm <plus_n_Sm <plus_n_O <plus_n_O normalize // ]
 177 #rs1 * #rs2 whd in match (tail ??); * *
 178 >append_cons #Hrs1rs2 #Hrs1len
 179 >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 180 >change_vec_change_vec #Htf
 181 (* cfg to obj *)
 182 * #tg * whd in ⊢ (%→?); >Htf
 183 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >(nth_change_vec ?????? lt_cfg)
 184 lapply (append_l1_injective ?????? Hrs1rs2)
 185 [ >Hsnlen >Hrs1len >length_append >length_append >length_append >length_append
 186   normalize >Hsolen >Hsnlen % ] #Hrs1 <Hrs1 >reverse_append >reverse_single
 187   >associative_append #Htg lapply (Htg … (refl ??) Hm0) -Htg
 188   (* simplifying tg *)
 189   >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 190   >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 191
 192
 193
 194
 195
 196   cut ((mk_tape FSUnialpha []
 197      (option_hd FSUnialpha
 198       (reverse FSUnialpha (m0::[]@reverse FSUnialpha (sn@[cn])@[fn; bar])))
 199      (tail FSUnialpha
 200       (reverse FSUnialpha (m0::[]@reverse FSUnialpha (sn@[cn])@[fn; bar])))) =
 201       midtape ? [ ] bar (fn::sn@[cn;m0]))
 202   [cut (reverse FSUnialpha (m0::[]@reverse FSUnialpha (sn@[cn])@[fn; bar]) =
 203           bar::fn::sn@[cn;m0])
 204     [>reverse_cons whd in ⊢ (??(??(??%)?)?); >reverse_append >reverse_reverse
 205      >append_cons in ⊢ (???%); % ] #Hrev >Hrev % ] #Hmk_tape >Hmk_tape -Hmk_tape
 206    >change_vec_commute
 207
 208   >reverse_append >reverse_append
 209   check reverse_cons
 210   <reverse_cons >reverse_cons
 211    -Htg #Htg
 212
 213 >(change_vec_commute ????? cfg prg) [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 214 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 215 >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 216 lapply (append_l1_injective ?????? Hrs1rs2)
 217 [ >Hsnlen >Hrs1len >length_append >length_append >length_append >length_append
 218   normalize >Hsolen >Hsnlen % ]
 219 #Hrs1 <Hrs1 >reverse_append #Htg cases (Htg ?? (refl ??)) -Htg
 220 cases m0
 221   [#mv #_ #Htg #_
 222
 223
 224
 225
 226
 227 [ *
 228
 229   match_m cfg prg FSUnialpha 2 ·
 230   restart_tape cfg · copy prg cfg FSUnialpha 2 ·
 231   cfg_to_obj · tape_move_obj · restart_tape prg · obj_to_cfg.
 232
 233 definition tape_map ≝ λA,B:FinSet.λf:A→B.λt.
 234   mk_tape B (map ?? f (left ? t))
 235     (option_map ?? f (current ? t))
 236     (map ?? f (right ? t)).
 237
 238 lemma map_list_of_tape: ∀A,B,f,t.
 239   list_of_tape B (tape_map ?? f t) = map ?? f (list_of_tape A t).
 240 #A #B #f * // normalize // #ls #c #rs <map_append %
 241 qed.
 242
 243 lemma low_char_current : ∀t.
 244   low_char' (current FSUnialpha (tape_map FinBool FSUnialpha bit t))
 245   = low_char (current FinBool t).
 246 * // qed.
 247
 248 definition low_tapes: ∀M:normalTM.∀c:nconfig (no_states M).Vector ? 3 ≝
 249 λM:normalTM.λc:nconfig (no_states M).Vector_of_list ?
 250   [tape_map ?? bit (ctape ?? c);
 251    midtape ? [ ] bar
 252     ((bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))@[low_char (current ? (ctape ?? c))]);
 253    midtape ? [ ] bar (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M)))
 254   ].
 255
 256 lemma obj_low_tapes: ∀M,c.
 257   nth obj ? (low_tapes M c) (niltape ?) = tape_map ?? bit (ctape ?? c).
 258 // qed.
 259
 260 lemma cfg_low_tapes: ∀M,c.
 261   nth cfg ? (low_tapes M c) (niltape ?) =
 262   midtape ? [ ] bar
 263     ((bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))@[low_char (current ? (ctape ?? c))]).
 264 // qed.
 265
 266 lemma prg_low_tapes: ∀M,c.
 267   nth prg ? (low_tapes M c) (niltape ?) =
 268   midtape ? [ ] bar (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M))).
 269 // qed.
 270
 271 (* commutation lemma for write *)
 272 lemma map_write: ∀t,cout.
 273  tape_write ? (tape_map FinBool ? bit t) (char_to_bit_option (low_char cout))
 274   = tape_map ?? bit (tape_write ? t cout).
 275 #t * // #b whd in match (char_to_bit_option ?);
 276 whd in ⊢ (??%%); @eq_f3 [elim t // | // | elim t //]
 277 qed.
 278
 279 (* commutation lemma for moves *)
 280 lemma map_move: ∀t,m.
 281  tape_move ? (tape_map FinBool ? bit t) (char_to_move (low_mv m))
 282   = tape_map ?? bit (tape_move ? t m).
 283 #t * // whd in match (char_to_move ?);
 284   [cases t // * // | cases t // #ls #a * //]
 285 qed.
 286
 287 (* commutation lemma for actions *)
 288 lemma map_action: ∀t,cout,m.
 289  tape_move ? (tape_write ? (tape_map FinBool ? bit t)
 290     (char_to_bit_option (low_char cout))) (char_to_move (low_mv m))
 291  = tape_map ?? bit (tape_move ? (tape_write ? t cout) m).
 292 #t #cout #m >map_write >map_move %
 293 qed.
 294
 295 lemma map_move_mono: ∀t,cout,m.
 296  tape_move_mono ? (tape_map FinBool ? bit t)
 297   〈char_to_bit_option (low_char cout), char_to_move (low_mv m)〉
 298  = tape_map ?? bit (tape_move_mono ? t 〈cout,m〉).
 299 @map_action
 300 qed.
 301
 302 definition R_unistep_high ≝ λM:normalTM.λt1,t2.
 303 ∀c:nconfig (no_states M).
 304   t1 = low_tapes M c →
 305   t2 = low_tapes M (step ? M c).
 306
 307 lemma R_unistep_equiv : ∀M,t1,t2.
 308   R_unistep (no_states M) (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M) t1 t2 →
 309   R_unistep_high M t1 t2.
 310 #M #t1 #t2 #H whd whd in match (nconfig ?); #c #Ht1
 311 lapply (initial_bar ? (nhalt M) (graph_enum ?? (ntrans M)) (nTM_nog ?)) #Htable
 312 (* tup = current tuple *)
 313 cut (∃t.t = 〈〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉,
 314              ntrans M 〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉〉) [% //] * #tup #Htup
 315 (* tup is in the graph *)
 316 cut (mem ? tup (graph_enum ?? (ntrans M)))
 317   [@memb_to_mem >Htup @(graph_enum_complete … (ntrans M)) %] #Hingraph
 318 (* tupe target = 〈qout,cout,m〉 *)
 319 lapply (decomp_target ? (ntrans M 〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉))
 320 * #qout * #cout * #m #Htg >Htg in Htup; #Htup
 321 (* new config *)
 322 cut (step FinBool M c = mk_config ?? qout (tape_move ? (tape_write ? (ctape … c) cout) m))
 323   [>(config_expand … c) whd in ⊢ (??%?); (* >Htg ?? why not?? *)
 324    cut (trans ? M 〈cstate  … c, current ? (ctape … c)〉 = 〈qout,cout,m〉) [<Htg %] #Heq1
 325    >Heq1 %] #Hstep
 326 (* new state *)
 327 cut (cstate ?? (step FinBool M c) = qout) [>Hstep %] #Hnew_state
 328 (* new tape *)
 329 cut (ctape ?? (step FinBool M c) = tape_move ? (tape_write ? (ctape … c) cout) m)
 330   [>Hstep %] #Hnew_tape
 331 lapply(H (bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))
 332          (low_char (current ? (ctape ?? c)))
 333          (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M)))
 334          ??????)
 335 [<Htable
 336  lapply(list_to_table … (nhalt M) …Hingraph) * #ll * #lr #Htable1 %{ll}
 337  %{(((bits_of_state ? (nhalt M) qout)@[low_char cout;low_mv m])@lr)}
 338  >Htable1 @eq_f <associative_append @eq_f2 // >Htup
 339  whd in ⊢ (??%?); @eq_f >associative_append %
 340 |>Ht1 >obj_low_tapes >map_list_of_tape elim (list_of_tape ??)
 341   [#b @False_ind | #b #tl #Hind #a * [#Ha >Ha //| @Hind]]
 342 |@sym_eq @Htable
 343 |>Ht1 %
 344 |%{(bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))} %{(low_char (current ? (ctape ?? c)))}
 345  % [% [% [// | cases (current ??) normalize [|#b] % #Hd destruct (Hd)]
 346       |>length_map whd in match (length ??); @eq_f //]
 347    |//]
 348 |>Ht1 >cfg_low_tapes //] -H #H
 349 lapply(H (bits_of_state … (nhalt M) qout) (low_char … cout)
 350          (low_mv … m) tup ? Hingraph)
 351   [>Htup whd in ⊢ (??%?); @eq_f >associative_append %] -H
 352 #Ht2 @(eq_vec ? 3 ?? (niltape ?) ?) >Ht2 #i #Hi
 353 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 354   [cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 355     [cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 356       [@False_ind /2/
 357       |>Hi >obj_low_tapes >nth_change_vec //
 358        >Ht1 >obj_low_tapes >Hstep @map_action
 359       ]
 360     |>Hi >cfg_low_tapes >nth_change_vec_neq
 361       [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 362      >nth_change_vec // >Hnew_state @eq_f @eq_f >Hnew_tape
 363      @eq_f2 [|2:%] >Ht1 >obj_low_tapes >map_move_mono >low_char_current %
 364     ]
 365   |(* program tapes do not change *)
 366    >Hi >prg_low_tapes
 367    >nth_change_vec_neq [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 368    >nth_change_vec_neq [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 369    >Ht1 >prg_low_tapes //
 370   ]
 371 qed.