matita/matita/lib/turing/multi_universal/unistep_aux.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  13 include "turing/multi_universal/match.ma".
  14 include "turing/multi_universal/copy.ma".
  15 include "turing/multi_universal/alphabet.ma".
  16 include "turing/multi_universal/tuples.ma".
  17
  18 (*
  19
  20   in.obj : ...  x ...
  21                 ^
  22   in.cfg : ...  ? ? ...
  23                     ^
  24
  25   out.cfg : ... 1 x ...
  26                   ^
  27
  28   ---------------------
  29   current (in.obj) = None
  30
  31   in.cfg : ...  ? ? ...
  32                     ^
  33
  34   out.cfg : ... 0 0 ...
  35                   ^
  36
  37   obj_to_cfg ≝
  38     move_l(cfg);
  39     move_l(cfg);
  40     (if (current(in.obj)) == None
  41        then write(0,cfg);
  42             move_r(cfg);
  43             write(0,cfg);
  44        else write(1,cfg);
  45             move_r(cfg);
  46             copy_step(obj,cfg);
  47             move_l(obj);)
  48     move_to_end_l(cfg);
  49     move_r(cfg);
  50
  51
  52   cfg_to_obj
  53 *)
  54
  55 definition copy_char_states ≝ initN 3.
  56
  57 definition cc0 : copy_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
  58 definition cc1 : copy_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
  59
  60 definition trans_copy_char ≝
  61  λsrc,dst.λsig:FinSet.λn.
  62  λp:copy_char_states × (Vector (option sig) (S n)).
  63  let 〈q,a〉 ≝ p in
  64  match pi1 … q with
  65  [ O ⇒ 〈cc1,change_vec ? (S n)
  66            (change_vec ? (S n) (null_action ? n) (〈None ?,R〉) src)
  67            (〈nth src ? a (None ?),R〉) dst〉
  68  | S _ ⇒ 〈cc1,null_action ? n〉 ].
  69
  70 definition copy_char ≝
  71   λsrc,dst,sig,n.
  72   mk_mTM sig n copy_char_states (trans_copy_char src dst sig n)
  73     cc0 (λq.q == cc1).
  74
  75 definition R_copy_char ≝
  76   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  77   outt = change_vec ??
  78          (change_vec ?? int
  79           (tape_move_mono ? (nth src ? int (niltape ?)) 〈None ?, R〉) src)
  80           (tape_move_mono ? (nth dst ? int (niltape ?))
  81            〈current ? (nth src ? int (niltape ?)), R〉) dst.
  82
  83 lemma copy_char_q0_q1 :
  84   ∀src,dst,sig,n,v.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
  85   step sig n (copy_char src dst sig n) (mk_mconfig ??? cc0 v) =
  86     mk_mconfig ??? cc1
  87      (change_vec ? (S n)
  88        (change_vec ?? v
  89          (tape_move_mono ? (nth src ? v (niltape ?)) 〈None ?, R〉) src)
  90             (tape_move_mono ? (nth dst ? v (niltape ?)) 〈current ? (nth src ? v (niltape ?)), R〉) dst).
  91 #src #dst #sig #n #v #Heq #Hsrc #Hdst
  92 whd in ⊢ (??%?);
  93 <(change_vec_same … v dst (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
  94 <(change_vec_same … v src (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
  95 >tape_move_multi_def @eq_f2 //
  96 >pmap_change >pmap_change <tape_move_multi_def
  97 >tape_move_null_action @eq_f2 // @eq_f2
  98 [ >change_vec_same %
  99 | >change_vec_same >change_vec_same // ]
 100 qed.
 101
 102 lemma sem_copy_char:
 103   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 104   copy_char src dst sig n ⊨ R_copy_char src dst sig n.
 105 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #int
 106 %{2} % [| % [ % | whd >copy_char_q0_q1 // ]]
 107 qed.
 108
 109 definition obj ≝ (0:DeqNat).
 110 definition cfg ≝ (1:DeqNat).
 111 definition prg ≝ (2:DeqNat).
 112
 113 definition obj_to_cfg ≝
 114   mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
 115   (ifTM ?? (inject_TM ? (test_null ?) 2 obj)
 116     (copy_char obj cfg FSUnialpha 2 ·
 117      mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
 118      mmove obj FSUnialpha 2 L)
 119     (inject_TM ? (write FSUnialpha null) 2 cfg)
 120      tc_true) ·
 121   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
 122   mmove cfg FSUnialpha 2 R.
 123
 124 definition R_obj_to_cfg ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 125   ∀c,ls.
 126   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
 127   (∀lso,x,rso.nth obj ? t1 (niltape ?) = midtape FSUnialpha lso x rso →
 128    t2 = change_vec ?? t1
 129          (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (reverse ? (x::ls))) (tail ? (reverse ? (x::ls)))) cfg) ∧
 130   (current ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) = None ? →
 131    t2 = change_vec ?? t1
 132          (mk_tape ? [ ] (option_hd FSUnialpha (reverse ? (null::ls)))
 133            (tail ? (reverse ? (null::ls)))) cfg).
 134
 135 axiom accRealize_to_Realize :
 136   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
 137   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
 138
 139 lemma eq_mk_tape_rightof :
 140  ∀alpha,a,al.mk_tape alpha (a::al) (None ?) [ ] = rightof ? a al.
 141 #alpha #a #al %
 142 qed.
 143
 144 lemma tape_move_mk_tape_R :
 145   ∀sig,ls,c,rs.
 146   (c = None ? → ls = [ ] ∨ rs = [ ]) →
 147   tape_move ? (mk_tape sig ls c rs) R =
 148   mk_tape ? (option_cons ? c ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs).
 149 #sig * [ * [ * | #c * ] | #l0 #ls0 * [ *
 150 [| #r0 #rs0 #H @False_ind cases (H (refl ??)) #H1 destruct (H1) ] | #c * ] ]
 151 normalize //
 152 qed.
 153
 154 lemma eq_vec_change_vec : ∀sig,n.∀v1,v2:Vector sig n.∀i,t,d.
 155   nth i ? v2 d = t →
 156   (∀j.i ≠ j → nth j ? v1 d = nth j ? v2 d) →
 157   v2 = change_vec ?? v1 t i.
 158 #sig #n #v1 #v2 #i #t #d #H1 #H2 @(eq_vec … d)
 159 #i0 #Hlt cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hii0
 160 [ >Hii0 >nth_change_vec //
 161 | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @H2 @sym_not_eq // ]
 162 qed.
 163
 164 lemma sem_obj_to_cfg : obj_to_cfg ⊨  R_obj_to_cfg.
 165 @(sem_seq_app FSUnialpha 2 ????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 166    (sem_seq ??????
 167     (sem_if ??????????
 168      (sem_test_null_multi ?? obj ?)
 169       (sem_seq ?????? (sem_copy_char …)
 170        (sem_seq ?????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 171         (sem_move_multi ? 2 obj L ?)))
 172       (sem_inject ???? cfg ? (sem_write FSUnialpha null)))
 173      (sem_seq ?????? (sem_inject ???? cfg ? (sem_move_to_end_l ?))
 174        (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)))) //
 175 #ta #tb *
 176 #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc *
 177 #td * *
 178 [ * #te * * #Hcurtc #Hte
 179   * destruct (Hte) #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte
 180   cut (∃x.current ? (nth obj ? tc (niltape ?)) = Some ? x)
 181   [ cases (current ? (nth obj ? tc (niltape ?))) in Hcurtc;
 182     [ * #H @False_ind /2/ | #x #_ %{x} % ] ] * #x #Hcurtc'
 183 (*  [ whd in ⊢ (%→%→?); * #x * #y * * -Hcurtc #Hcurtc1 #Hcurtc2 #Hte *)
 184     * #tf * whd in ⊢ (%→%→?); #Htf #Htd
 185     * #tg * * * whd in ⊢ (%→%→%→%→?); #Htg1 #Htg2 #Htg3 #Htb
 186     #c #ls #Hta1 %
 187     [ #lso #x0 #rso #Hta2 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 188       whd in match (tape_move ???); #Htc
 189       cut (tg = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[x])) cfg)
 190       [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? (Htg2 ls x [ ] ?) Htg3) //
 191         >Htd >nth_change_vec_neq // >Htf >nth_change_vec //
 192         >Hte >Hcurtc' >nth_change_vec // >Htc >nth_change_vec // ]
 193       -Htg1 -Htg2 -Htg3 #Htg destruct
 194       >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 195       >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 196       >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 197       >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 198       >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 199       >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 200       >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] @eq_f3 //
 201       [ >Hta2 cases rso in Hta2; whd in match (tape_move_mono ???);
 202         [ #Hta2 whd in match (tape_move ???); <Hta2 @change_vec_same
 203         | #r1 #rs1 #Hta2 whd in match (tape_move ???); <Hta2 @change_vec_same ]
 204       | >tape_move_mk_tape_R [| #_ % %] >reverse_cons
 205         >nth_change_vec_neq in Hcurtc'; [|@sym_not_eq //] >Hta2
 206         normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) %
 207       ]
 208     | #Hta2 >Htc in Hcurtc'; >nth_change_vec_neq [| @sym_not_eq //]
 209       >Hta2 #H destruct (H)
 210     ]
 211 | * #te * * #Hcurtc #Hte
 212   * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd1 #Htd2
 213   * #tf * * * #Htf1 #Htf2 #Htf3 whd in ⊢ (%→?); #Htb
 214   #c #ls #Hta1 %
 215   [ #lso #x #rso #Hta2 >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 216     >Hta2 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 217   | #_ >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 218     destruct (Hte) cut (td = change_vec ?? tc (midtape ? ls null []) cfg)
 219     [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? (Htd1 ls c [ ] ?) Htd2) //
 220       >Htc >nth_change_vec // ] -Htd1 -Htd2 #Htd
 221     -Htf1 cut (tf = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[null])) cfg)
 222     [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? (Htf2 ls null [ ] ?) Htf3) //
 223       >Htd >nth_change_vec // ] -Htf2 -Htf3 #Htf destruct (Htf Htd Htc Htb)
 224     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 225     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 226     >reverse_cons >tape_move_mk_tape_R /2/ ]
 227 ]
 228 qed.
 229
 230 definition test_null_char ≝ test_char FSUnialpha (λc.c == null).
 231
 232 definition R_test_null_char_true ≝ λt1,t2.
 233   current FSUnialpha t1 = Some ? null ∧ t1 = t2.
 234
 235 definition R_test_null_char_false ≝ λt1,t2.
 236   current FSUnialpha t1 ≠ Some ? null ∧ t1 = t2.
 237
 238 lemma sem_test_null_char :
 239   test_null_char ⊨ [ tc_true : R_test_null_char_true, R_test_null_char_false].
 240 #t1 cases (sem_test_char FSUnialpha (λc.c == null) t1) #k * #outc * * #Hloop #Htrue
 241 #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
 242 [ @Hloop
 243 | #Houtc cases (Htrue ?) [| @Houtc] * #c * #Hcurt1 #Hcnull lapply (\P Hcnull)
 244   -Hcnull #H destruct (H) #Houtc1 %
 245   [ @Hcurt1 | <Houtc1 % ] ]
 246 | #Houtc cases (Hfalse ?) [| @Houtc] #Hc #Houtc %
 247   [ % #Hcurt1 >Hcurt1 in Hc; #Hc lapply (Hc ? (refl ??))
 248     >(?:((null:FSUnialpha) == null) = true) [|@(\b (refl ??)) ]
 249     #H destruct (H)
 250   | <Houtc % ] ]
 251 qed.
 252
 253 definition cfg_to_obj ≝
 254   mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
 255   (ifTM ?? (inject_TM ? test_null_char 2 cfg)
 256     (nop ? 2)
 257     (copy_char cfg obj FSUnialpha 2 ·
 258      mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
 259      mmove obj FSUnialpha 2 L)
 260      tc_true) ·
 261   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
 262   mmove cfg FSUnialpha 2 R.
 263
 264 definition R_cfg_to_obj ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 265   ∀c,ls.
 266   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
 267   (c = null →
 268    t2 = change_vec ?? t1
 269          (mk_tape ? [ ] (option_hd FSUnialpha (reverse ? (c::ls)))
 270            (tail ? (reverse ? (c::ls)))) cfg) ∧
 271   (c ≠ null →
 272    t2 = change_vec ??
 273           (change_vec ?? t1
 274              (midtape ? (left ? (nth obj ? t1 (niltape ?))) c (right ? (nth obj ? t1 (niltape ?)))) obj)
 275           (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (reverse ? (c::ls))) (tail ? (reverse ? (c::ls)))) cfg).
 276
 277 lemma tape_move_mk_tape_L :
 278   ∀sig,ls,c,rs.
 279   (c = None ? → ls = [ ] ∨ rs = [ ]) →
 280   tape_move ? (mk_tape sig ls c rs) L =
 281   mk_tape ? (tail ? ls) (option_hd ? ls) (option_cons ? c rs).
 282 #sig * [ * [ * | #c * ] | #l0 #ls0 * [ *
 283 [| #r0 #rs0 #H @False_ind cases (H (refl ??)) #H1 destruct (H1) ] | #c * ] ]
 284 normalize //
 285 qed.
 286
 287 lemma sem_cfg_to_obj : cfg_to_obj ⊨  R_cfg_to_obj.
 288 @(sem_seq_app FSUnialpha 2 ????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 289   (sem_seq ??????
 290    (sem_if ??????????
 291     (acc_sem_inject ?????? cfg ? sem_test_null_char)
 292     (sem_nop …)
 293     (sem_seq ?????? (sem_copy_char …)
 294      (sem_seq ?????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?) (sem_move_multi ? 2 obj L ?))))
 295    (sem_seq ?????? (sem_inject ???? cfg ? (sem_move_to_end_l ?))
 296     (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)))) // [@sym_not_eq //]
 297 #ta #tb *
 298 #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc *
 299 #td * *
 300 [ * #te * * * #Hcurtc #Hte1 #Hte2 whd in ⊢ (%→?); #Htd destruct (Htd)
 301   * #tf * * * #Htf1 #Htf2 #Htf3
 302   whd in ⊢ (%→?); #Htb
 303   #c #ls #Hta %
 304   [ #Hc >Hta in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 305     cut (te = tc)
 306     [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? (sym_eq … Hte1) Hte2) >change_vec_same // ]
 307     -Hte1 -Hte2 #Hte
 308     cut (tf = change_vec ? 3 te (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[c])) cfg)
 309     [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? (Htf2 ls c [ ] ?) Htf3) //
 310       >Hte >Htc >nth_change_vec // ] -Htf1 -Htf2 -Htf3 #Htf
 311     destruct (Htf Hte Htc Htb)
 312     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 313     >nth_change_vec // >tape_move_mk_tape_R [| #_ % % ]
 314     >reverse_cons %
 315   | #Hc >Hta in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 316     >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?);
 317     #H destruct (H) @False_ind cases Hc /2/ ]
 318   * #tf * *
 319 | * #te * * * #Hcurtc #Hte1 #Hte2
 320   * #tf * whd in ⊢ (%→?); #Htf
 321   * #tg * whd in ⊢ (%→%→?); #Htg #Htd
 322   * #th * * * #Hth1 #Hth2 #Hth3
 323   whd in ⊢ (%→?); #Htb
 324   #c #ls #Hta % #Hc
 325   [ >Htc in Hcurtc; >Hta >nth_change_vec // >tape_move_mk_tape_L //
 326     >Hc normalize in ⊢ (%→?); * #H @False_ind /2/
 327   | cut (te = tc)
 328     [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? (sym_eq … Hte1) Hte2)
 329       >change_vec_same // ] -Hte1 -Hte2 #Hte
 330     cut (th = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[c])) cfg)
 331     [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? (Hth2 ls c [ ] ?) Hth3) //
 332       >Htd >nth_change_vec_neq // >Htg >nth_change_vec //
 333       >Htf >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec //
 334       >Hte >Htc >nth_change_vec // >Hta // ] -Hth1 -Hth2 -Hth3 #Hth
 335     destruct (Hth Hte Hta Htb Htd Htg Htc Htf)
 336     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 337     >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 338     >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 339     >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 340     >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 341     >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 342     >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 343     @eq_f3 //
 344     [ >Hta >tape_move_mk_tape_L // >nth_change_vec // whd in match (current ??);
 345       @eq_f2 // cases (nth obj ? ta (niltape ?))
 346       [| #r0 #rs0 | #l0 #ls0 | #ls0 #c0 #rs0 ] try %
 347       cases rs0 //
 348     | >reverse_cons >tape_move_mk_tape_R // #_ % % ]
 349   ]
 350 ]
 351 qed.
 352
 353 (* macchina che muove il nastro obj a destra o sinistra a seconda del valore
 354    del current di prg, che codifica la direzione in cui ci muoviamo *)
 355
 356 definition char_to_move ≝ λc.match c with
 357   [ bit b ⇒ if b then R else L
 358   | _ ⇒ N].
 359
 360 definition char_to_bit_option ≝ λc.match c with
 361   [ bit b ⇒ Some ? (bit b)
 362   | _ ⇒ None ?].
 363
 364 definition tape_move_obj : mTM FSUnialpha 2 ≝
 365   ifTM ??
 366    (inject_TM ? (test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit false)) 2 prg)
 367    (mmove obj FSUnialpha 2 L)
 368    (ifTM ??
 369     (inject_TM ? (test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit true)) 2 prg)
 370     (mmove obj FSUnialpha 2 R)
 371     (nop ??)
 372     tc_true)
 373    tc_true.
 374
 375 definition R_tape_move_obj' ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 376   (current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) = Some ? (bit false) →
 377    t2 = change_vec ?? t1 (tape_move ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) L) obj) ∧
 378   (current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) = Some ? (bit true) →
 379    t2 = change_vec ?? t1 (tape_move ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) R) obj) ∧
 380   (current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) ≠ Some ? (bit false) →
 381    current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) ≠ Some ? (bit true) →
 382    t2 = t1).
 383
 384 lemma sem_tape_move_obj' : tape_move_obj ⊨ R_tape_move_obj'.
 385 #ta cases (sem_if ??????????
 386   (acc_sem_inject ?????? prg ? (sem_test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit false)))
 387   (sem_move_multi ? 2 obj L ?)
 388   (sem_if ??????????
 389    (acc_sem_inject ?????? prg ? (sem_test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit true)))
 390    (sem_move_multi ? 2 obj R ?)
 391    (sem_nop …)) ta) //
 392 #i * #outc * #Hloop #HR %{i} %{outc} % [@Hloop] -i
 393 cases HR -HR
 394 [ * #tb * * * * #c * #Hcurta_prg #Hc lapply (\P Hc) -Hc #Hc #Htb1 #Htb2
 395   whd in ⊢ (%→%); #Houtc >Houtc -Houtc % [ %
 396   [ >Hcurta_prg #H destruct (H) >(?:tb = ta)
 397     [| lapply (eq_vec_change_vec ??????? Htb1 Htb2)
 398        >change_vec_same // ] %
 399   | >Hcurta_prg #H destruct (H) destruct (Hc) ]
 400   | >Hcurta_prg >Hc * #H @False_ind /2/ ]
 401 | * #tb * * * #Hnotfalse #Htb1 #Htb2 cut (tb = ta)
 402   [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? Htb1 Htb2)
 403      >change_vec_same // ] -Htb1 -Htb2 #Htb destruct (Htb) *
 404   [ * #tc * * * * #c * #Hcurta_prg #Hc lapply (\P Hc) -Hc #Hc #Htc1 #Htc2
 405     whd in ⊢ (%→%); #Houtc >Houtc -Houtc % [ %
 406     [ >Hcurta_prg #H destruct (H) destruct (Hc)
 407     | >Hcurta_prg #H destruct (H) >(?:tc = ta)
 408       [| lapply (eq_vec_change_vec ??????? Htc1 Htc2)
 409         >change_vec_same // ] % ]
 410     | >Hcurta_prg >Hc #_ * #H @False_ind /2/ ]
 411   | * #tc * * * #Hnottrue #Htc1 #Htc2 cut (tc = ta)
 412     [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? Htc1 Htc2)
 413       >change_vec_same // ] -Htc1 -Htc2
 414     #Htc destruct (Htc) whd in ⊢ (%→?); #Houtc % [ %
 415     [ #Hcurta_prg lapply (\Pf (Hnotfalse ? Hcurta_prg)) * #H @False_ind /2/
 416     | #Hcurta_prg lapply (\Pf (Hnottrue ? Hcurta_prg)) * #H @False_ind /2/ ]
 417     | #_ #_ @Houtc ]
 418   ]
 419 ]
 420 qed.
 421
 422 definition R_tape_move_obj ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 423   ∀c. current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) = Some ? c →
 424   t2 = change_vec ?? t1 (tape_move ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) (char_to_move c)) obj.
 425
 426 lemma sem_tape_move_obj : tape_move_obj ⊨ R_tape_move_obj.
 427 @(Realize_to_Realize … sem_tape_move_obj')
 428 #ta #tb * * #Htb1 #Htb2 #Htb3 * [ *
 429 [ @Htb2 | @Htb1 ]
 430 | #Hcurta_prg change with (nth obj ? ta (niltape ?)) in match (tape_move ???);
 431   >change_vec_same @Htb3 >Hcurta_prg % #H destruct (H)
 432 | #Hcurta_prg change with (nth obj ? ta (niltape ?)) in match (tape_move ???);
 433   >change_vec_same @Htb3 >Hcurta_prg % #H destruct (H)
 434 ]
 435 qed.
 436
 437 definition list_of_tape ≝ λsig.λt:tape sig.
 438   reverse ? (left ? t)@option_cons ? (current ? t) (right ? t).
 439
 440 definition restart_tape ≝ λi,n.
 441   mmove i FSUnialpha n L ·
 442   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) n i ·
 443   mmove i FSUnialpha n R.
 444
 445 definition R_restart_tape ≝ λi,n.λint,outt:Vector (tape FSUnialpha) (S n).
 446    ∀t.t = nth i ? int (niltape ?) →
 447    outt = change_vec ?? int
 448     (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (list_of_tape ? t)) (tail ? (list_of_tape ? t))) i.
 449
 450 lemma sem_restart_tape : ∀i,n.i < S n → restart_tape i n ⊨ R_restart_tape i n.
 451 #i #n #Hleq
 452 @(sem_seq_app ??????? (sem_move_multi ? n i L ?)
 453   (sem_seq ?????? (sem_inject ???? i ? (sem_move_to_end_l ?))
 454    (sem_move_multi ? n i R ?))) [1,2,3:@le_S_S_to_le //]
 455 #ta #tb * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 456 * #td * * * #Htd1 #Htd2 #Htd3
 457 whd in ⊢ (%→?); #Htb *
 458 [ #Hta_i <Hta_i in Htc; whd in ⊢ (???(????%?)→?); #Htc
 459   cut (td = tc) [@daemon]
 460   (* >Htc in Htd1; >nth_change_vec // *) -Htd1 -Htd2 -Htd3
 461   #Htd >Htd in Htb; >Htc >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 462   #Htb >Htb %
 463 | #r0 #rs0 #Hta_i <Hta_i in Htc; whd in ⊢ (???(????%?)→?); #Htc
 464   cut (td = tc) [@daemon]
 465   (* >Htc in Htd1; >nth_change_vec // *) -Htd1 -Htd2 -Htd3
 466   #Htd >Htd in Htb; >Htc >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 467   #Htb >Htb %
 468 | #l0 #ls0 #Hta_i <Hta_i in Htc; whd in ⊢ (???(????%?)→?); #Htc
 469   cut (td = change_vec ?? tc (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls0@[l0])) i)
 470   [@daemon]
 471   #Htd >Htd in Htb; >Htc >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 472   >nth_change_vec // #Htb >Htb <(reverse_reverse ? ls0) in ⊢ (???%);
 473   cases (reverse ? ls0)
 474   [ %
 475   | #l1 #ls1 >reverse_cons
 476      >(?: list_of_tape ? (rightof ? l0 (reverse ? ls1@[l1])) =
 477           l1::ls1@[l0])
 478      [|change with (reverse ??@?) in ⊢ (??%?);
 479        whd in match (left ??); >reverse_cons >reverse_append
 480        whd in ⊢ (??%?); @eq_f >reverse_reverse normalize >append_nil % ] % ]
 481 | *
 482   [ #c #rs #Hta_i <Hta_i in Htc; whd in ⊢ (???(????%?)→?); #Htc
 483     cut (td = tc) [@daemon]
 484     (* >Htc in Htd1; >nth_change_vec // *) -Htd1 -Htd2 -Htd3
 485     #Htd >Htd in Htb; >Htc >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 486     #Htb >Htb %
 487   | #l0 #ls0 #c #rs #Hta_i <Hta_i in Htc; whd in ⊢ (???(????%?)→?); #Htc
 488     cut (td = change_vec ?? tc (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls0@l0::c::rs)) i)
 489     [@daemon]
 490     #Htd >Htd in Htb; >Htc >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 491     >nth_change_vec // #Htb >Htb <(reverse_reverse ? ls0) in ⊢ (???%);
 492     cases (reverse ? ls0)
 493     [ %
 494     | #l1 #ls1 >reverse_cons
 495       >(?: list_of_tape ? (midtape ? (l0::reverse ? ls1@[l1]) c rs) =
 496             l1::ls1@l0::c::rs)
 497       [|change with (reverse ??@?) in ⊢ (??%?);
 498         whd in match (left ??); >reverse_cons >reverse_append
 499         whd in ⊢ (??%?); @eq_f >reverse_reverse normalize
 500         >associative_append % ] % ]
 501   ]
 502 ]
 503 qed.
 504
 505 definition unistep ≝
 506   match_m cfg prg FSUnialpha 2 ·
 507   restart_tape cfg 2 · mmove cfg ? 2 R · copy prg cfg FSUnialpha 2 ·
 508   cfg_to_obj · tape_move_obj · restart_tape prg 2 · obj_to_cfg.
 509
 510 (*
 511 definition legal_tape ≝ λn,l,h,t.
 512   ∃state,char,table.
 513   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar (state@[char]) →
 514   is_config n (bar::state@[char]) →
 515   nth prg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar table →
 516   bar::table = table_TM n l h → *)
 517
 518 definition low_char' ≝ λc.
 519   match c with
 520   [ None ⇒ null
 521   | Some b ⇒ if (is_bit b) then b else null
 522   ].
 523
 524 lemma low_char_option : ∀s.
 525   low_char' (option_map FinBool FSUnialpha bit s) = low_char s.
 526 * //
 527 qed.
 528
 529 definition R_unistep ≝ λn,l,h.λt1,t2: Vector ? 3.
 530   ∀state,char,table.
 531   (* cfg *)
 532   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar (state@[char]) →
 533   is_config n (bar::state@[char]) →
 534   (* prg *)
 535   nth prg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar table →
 536   bar::table = table_TM n l h →
 537   (* obj *)
 538   only_bits (list_of_tape ? (nth obj ? t1 (niltape ?))) →
 539   let conf ≝ (bar::state@[char]) in
 540   (∃ll,lr.bar::table = ll@conf@lr) →
 541 (*
 542     ∃nstate,nchar,m,t. tuple_encoding n h t = (conf@nstate@[nchar;m]) ∧
 543     mem ? t l ∧  *)
 544     ∀nstate,nchar,m,t.
 545     tuple_encoding n h t = (conf@nstate@[nchar;m])→
 546     mem ? t l →
 547     let new_obj ≝
 548      tape_move_mono ? (nth obj ? t1 (niltape ?))
 549        〈char_to_bit_option nchar,char_to_move m〉 in
 550     let next_char ≝ low_char' (current ? new_obj) in
 551     t2 =
 552       change_vec ??
 553         (change_vec ?? t1 (midtape ? [ ] bar (nstate@[next_char])) cfg)
 554         new_obj obj.
 555
 556 lemma lt_obj : obj < 3. // qed.
 557 lemma lt_cfg : cfg < 3. // qed.
 558 lemma lt_prg : prg < 3. // qed.
 559
 560 definition R_copy_strict ≝
 561   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 562   ((current ? (nth src ? int (niltape ?)) = None ? ∨
 563     current ? (nth dst ? int (niltape ?)) = None ?) → outt = int) ∧
 564   (∀ls,x,x0,rs,ls0,rs0.
 565     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x rs →
 566     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 567     |rs0| ≤ |rs| →
 568     (∃rs1,rs2.rs = rs1@rs2 ∧ |rs1| = |rs0| ∧
 569      outt = change_vec ??
 570             (change_vec ?? int
 571               (mk_tape sig (reverse sig rs1@x::ls) (option_hd sig rs2)
 572             (tail sig rs2)) src)
 573             (mk_tape sig (reverse sig rs1@x::ls0) (None sig) []) dst)).
 574
 575 axiom sem_copy_strict : ∀src,dst,sig,n. src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 576   copy src dst sig n ⊨ R_copy_strict src dst sig n.
 577
 578 lemma sem_unistep : ∀n,l,h.unistep ⊨ R_unistep n l h.
 579 #n #l #h
 580 @(sem_seq_app ??????? (sem_match_m cfg prg FSUnialpha 2 ???)
 581   (sem_seq ?????? (sem_restart_tape ???)
 582    (sem_seq ?????? (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)
 583     (sem_seq ?????? (sem_copy_strict prg cfg FSUnialpha 2 ???)
 584      (sem_seq ?????? sem_cfg_to_obj
 585       (sem_seq ?????? sem_tape_move_obj
 586        (sem_seq ?????? (sem_restart_tape ???) sem_obj_to_cfg)))))))
 587   /2 by le_n,sym_not_eq/
 588 #ta #tb #HR #state #char #table #Hta_cfg #Hcfg #Hta_prg #Htable
 589 #Hbits_obj #Htotaltable
 590 #nstate #nchar #m #t #Htuple #Hmatch
 591 cases HR -HR #tc * whd in ⊢ (%→?);
 592 >Hta_cfg #H cases (H ?? (refl ??)) -H
 593 (* prg starts with a bar, so it's not empty *) #_
 594 >Hta_prg #H lapply (H ??? (refl ??)) -H *
 595 [| cases Htotaltable #ll * #lr #H >H
 596    #Hfalse @False_ind cases (Hfalse ll lr) #H1 @H1 //]
 597 * #ll * #lr * #Hintable -Htotaltable #Htc
 598 * #td * whd in ⊢ (%→?); >Htc
 599 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >(nth_change_vec ?????? lt_cfg)
 600 #Htd lapply (Htd ? (refl ??)) -Htd
 601 >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 602 >(?: list_of_tape ? (mk_tape ? (reverse ? (state@[char])@[bar]) (None ?) [ ]) =
 603      bar::state@[char])
 604 [|whd in ⊢ (??%?); >left_mk_tape >reverse_append >reverse_reverse
 605   >current_mk_tape >right_mk_tape normalize >append_nil % ]
 606 whd in ⊢ (???(???(????%?)??)→?); whd in match (tail ??); #Htd
 607 (* move cfg to R *)
 608 * #te * whd in ⊢ (%→?); >Htd
 609 >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 610 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >nth_change_vec //
 611 >Htable in Hintable; #Hintable #Hte
 612 (* copy *)
 613 cases (cfg_in_table_to_tuple ???? Hcfg ?? Hintable)
 614 #newstate * #m0 * #lr0 * * #Hlr destruct (Hlr) #Hnewcfg #Hm0
 615 cut (∃fo,so,co.state = fo::so@[co] ∧ |so| = n)
 616 [ @daemon ] * #fo * #so * #co * #Hstate_exp #Hsolen
 617 cut (∃fn,sn,cn.newstate = fn::sn@[cn] ∧ |sn| = n)
 618 [ @daemon ] * #fn * #sn * #cn * #Hnewstate_exp #Hsnlen
 619 * #tf * * #_ >Hte >(nth_change_vec ?????? lt_prg)
 620 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] >(nth_change_vec ?????? lt_cfg)
 621 >Hstate_exp >Hnewstate_exp
 622 whd in match (mk_tape ????); whd in match (tape_move ???);
 623 #Htf cases (Htf ?????? (refl ??) (refl ??) ?)
 624 [| whd in match (tail ??); >length_append >length_append
 625    >Hsolen >length_append >length_append >Hsnlen
 626    <plus_n_Sm <plus_n_Sm <plus_n_Sm <plus_n_O <plus_n_O normalize // ]
 627 #rs1 * #rs2 whd in match (tail ??); * *
 628 >append_cons #Hrs1rs2 #Hrs1len
 629 >change_vec_change_vec >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 630 >change_vec_change_vec #Htf
 631 (* cfg to obj *)
 632 * #tg * whd in ⊢ (%→?); >Htf
 633 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 634 >(nth_change_vec ?????? lt_cfg)
 635 lapply (append_l1_injective ?????? Hrs1rs2)
 636 [ >Hsnlen >Hrs1len >length_append >length_append >length_append >length_append
 637   normalize >Hsolen >Hsnlen % ]
 638 #Hrs1 <Hrs1 >reverse_append #Htg cases (Htg ?? (refl ??)) -Htg #Htg1 #Htg2
 639
 640
 641
 642
 643
 644 [ *
 645
 646   match_m cfg prg FSUnialpha 2 ·
 647   restart_tape cfg · copy prg cfg FSUnialpha 2 ·
 648   cfg_to_obj · tape_move_obj · restart_tape prg · obj_to_cfg.
 649
 650 definition tape_map ≝ λA,B:FinSet.λf:A→B.λt.
 651   mk_tape B (map ?? f (left ? t))
 652     (option_map ?? f (current ? t))
 653     (map ?? f (right ? t)).
 654
 655 lemma map_list_of_tape: ∀A,B,f,t.
 656   list_of_tape B (tape_map ?? f t) = map ?? f (list_of_tape A t).
 657 #A #B #f * // normalize // #ls #c #rs <map_append %
 658 qed.
 659
 660 lemma low_char_current : ∀t.
 661   low_char' (current FSUnialpha (tape_map FinBool FSUnialpha bit t))
 662   = low_char (current FinBool t).
 663 * // qed.
 664
 665 definition low_tapes: ∀M:normalTM.∀c:nconfig (no_states M).Vector ? 3 ≝
 666 λM:normalTM.λc:nconfig (no_states M).Vector_of_list ?
 667   [tape_map ?? bit (ctape ?? c);
 668    midtape ? [ ] bar
 669     ((bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))@[low_char (current ? (ctape ?? c))]);
 670    midtape ? [ ] bar (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M)))
 671   ].
 672
 673 lemma obj_low_tapes: ∀M,c.
 674   nth obj ? (low_tapes M c) (niltape ?) = tape_map ?? bit (ctape ?? c).
 675 // qed.
 676
 677 lemma cfg_low_tapes: ∀M,c.
 678   nth cfg ? (low_tapes M c) (niltape ?) =
 679   midtape ? [ ] bar
 680     ((bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))@[low_char (current ? (ctape ?? c))]).
 681 // qed.
 682
 683 lemma prg_low_tapes: ∀M,c.
 684   nth prg ? (low_tapes M c) (niltape ?) =
 685   midtape ? [ ] bar (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M))).
 686 // qed.
 687
 688 (* commutation lemma for write *)
 689 lemma map_write: ∀t,cout.
 690  tape_write ? (tape_map FinBool ? bit t) (char_to_bit_option (low_char cout))
 691   = tape_map ?? bit (tape_write ? t cout).
 692 #t * // #b whd in match (char_to_bit_option ?);
 693 whd in ⊢ (??%%); @eq_f3 [elim t // | // | elim t //]
 694 qed.
 695
 696 (* commutation lemma for moves *)
 697 lemma map_move: ∀t,m.
 698  tape_move ? (tape_map FinBool ? bit t) (char_to_move (low_mv m))
 699   = tape_map ?? bit (tape_move ? t m).
 700 #t * // whd in match (char_to_move ?);
 701   [cases t // * // | cases t // #ls #a * //]
 702 qed.
 703
 704 (* commutation lemma for actions *)
 705 lemma map_action: ∀t,cout,m.
 706  tape_move ? (tape_write ? (tape_map FinBool ? bit t)
 707     (char_to_bit_option (low_char cout))) (char_to_move (low_mv m))
 708  = tape_map ?? bit (tape_move ? (tape_write ? t cout) m).
 709 #t #cout #m >map_write >map_move %
 710 qed.
 711
 712 lemma map_move_mono: ∀t,cout,m.
 713  tape_move_mono ? (tape_map FinBool ? bit t)
 714   〈char_to_bit_option (low_char cout), char_to_move (low_mv m)〉
 715  = tape_map ?? bit (tape_move_mono ? t 〈cout,m〉).
 716 @map_action
 717 qed.
 718
 719 definition R_unistep_high ≝ λM:normalTM.λt1,t2.
 720 ∀c:nconfig (no_states M).
 721   t1 = low_tapes M c →
 722   t2 = low_tapes M (step ? M c).
 723
 724 lemma R_unistep_equiv : ∀M,t1,t2.
 725   R_unistep (no_states M) (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M) t1 t2 →
 726   R_unistep_high M t1 t2.
 727 #M #t1 #t2 #H whd whd in match (nconfig ?); #c #Ht1
 728 lapply (initial_bar ? (nhalt M) (graph_enum ?? (ntrans M)) (nTM_nog ?)) #Htable
 729 (* tup = current tuple *)
 730 cut (∃t.t = 〈〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉,
 731              ntrans M 〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉〉) [% //] * #tup #Htup
 732 (* tup is in the graph *)
 733 cut (mem ? tup (graph_enum ?? (ntrans M)))
 734   [@memb_to_mem >Htup @(graph_enum_complete … (ntrans M)) %] #Hingraph
 735 (* tupe target = 〈qout,cout,m〉 *)
 736 lapply (decomp_target ? (ntrans M 〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉))
 737 * #qout * #cout * #m #Htg >Htg in Htup; #Htup
 738 (* new config *)
 739 cut (step FinBool M c = mk_config ?? qout (tape_move ? (tape_write ? (ctape … c) cout) m))
 740   [>(config_expand … c) whd in ⊢ (??%?); (* >Htg ?? why not?? *)
 741    cut (trans ? M 〈cstate  … c, current ? (ctape … c)〉 = 〈qout,cout,m〉) [<Htg %] #Heq1
 742    >Heq1 %] #Hstep
 743 (* new state *)
 744 cut (cstate ?? (step FinBool M c) = qout) [>Hstep %] #Hnew_state
 745 (* new tape *)
 746 cut (ctape ?? (step FinBool M c) = tape_move ? (tape_write ? (ctape … c) cout) m)
 747   [>Hstep %] #Hnew_tape
 748 lapply(H (bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))
 749          (low_char (current ? (ctape ?? c)))
 750          (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M)))
 751          ??????)
 752 [<Htable
 753  lapply(list_to_table … (nhalt M) …Hingraph) * #ll * #lr #Htable1 %{ll}
 754  %{(((bits_of_state ? (nhalt M) qout)@[low_char cout;low_mv m])@lr)}
 755  >Htable1 @eq_f <associative_append @eq_f2 // >Htup
 756  whd in ⊢ (??%?); @eq_f >associative_append %
 757 |>Ht1 >obj_low_tapes >map_list_of_tape elim (list_of_tape ??)
 758   [#b @False_ind | #b #tl #Hind #a * [#Ha >Ha //| @Hind]]
 759 |@sym_eq @Htable
 760 |>Ht1 %
 761 |%{(bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))} %{(low_char (current ? (ctape ?? c)))}
 762  % [% [% [// | cases (current ??) normalize [|#b] % #Hd destruct (Hd)]
 763       |>length_map whd in match (length ??); @eq_f //]
 764    |//]
 765 |>Ht1 >cfg_low_tapes //] -H #H
 766 lapply(H (bits_of_state … (nhalt M) qout) (low_char … cout)
 767          (low_mv … m) tup ? Hingraph)
 768   [>Htup whd in ⊢ (??%?); @eq_f >associative_append %] -H
 769 #Ht2 @(eq_vec ? 3 ?? (niltape ?) ?) >Ht2 #i #Hi
 770 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 771   [cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 772     [cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 773       [@False_ind /2/
 774       |>Hi >obj_low_tapes >nth_change_vec //
 775        >Ht1 >obj_low_tapes >Hstep @map_action
 776       ]
 777     |>Hi >cfg_low_tapes >nth_change_vec_neq
 778       [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 779      >nth_change_vec // >Hnew_state @eq_f @eq_f >Hnew_tape
 780      @eq_f2 [|2:%] >Ht1 >obj_low_tapes >map_move_mono >low_char_current %
 781     ]
 782   |(* program tapes do not change *)
 783    >Hi >prg_low_tapes
 784    >nth_change_vec_neq [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 785    >nth_change_vec_neq [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 786    >Ht1 >prg_low_tapes //
 787   ]
 788 qed.