matita/matita/lib/turing/multi_universal/unistep_aux.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  13 include "turing/multi_universal/match.ma".
  14 include "turing/multi_universal/copy.ma".
  15 include "turing/multi_universal/alphabet.ma".
  16
  17 (*
  18
  19   in.obj : ...  x ...
  20                 ^
  21   in.cfg : ...  ? ? ...
  22                     ^
  23
  24   out.cfg : ... 1 x ...
  25                   ^
  26
  27   ---------------------
  28   current (in.obj) = None
  29
  30   in.cfg : ...  ? ? ...
  31                     ^
  32
  33   out.cfg : ... 0 0 ...
  34                   ^
  35
  36   obj_to_cfg ≝
  37     move_l(cfg);
  38     move_l(cfg);
  39     (if (current(in.obj)) == None
  40        then write(0,cfg);
  41             move_r(cfg);
  42             write(0,cfg);
  43        else write(1,cfg);
  44             move_r(cfg);
  45             copy_step(obj,cfg);
  46             move_l(obj);)
  47     move_to_end_l(cfg);
  48     move_r(cfg);
  49
  50
  51   cfg_to_obj
  52 *)
  53
  54 definition obj ≝ (0:DeqNat).
  55 definition cfg ≝ (1:DeqNat).
  56 definition prg ≝ (2:DeqNat).
  57
  58 definition obj_to_cfg ≝
  59   mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
  60   (ifTM ?? (inject_TM ? (test_null ?) 2 obj)
  61     (copy_step obj cfg FSUnialpha 2 ·
  62      mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
  63      mmove obj FSUnialpha 2 L)
  64     (inject_TM ? (write FSUnialpha null) 2 cfg)
  65      tc_true) ·
  66   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
  67   mmove cfg FSUnialpha 2 R.
  68
  69 definition R_obj_to_cfg ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
  70   ∀c,ls.
  71   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
  72   (∀lso,x,rso.nth obj ? t1 (niltape ?) = midtape FSUnialpha lso x rso →
  73    t2 = change_vec ?? t1
  74          (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (reverse ? (x::ls))) (tail ? (reverse ? (x::ls)))) cfg) ∧
  75   (current ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) = None ? →
  76    t2 = change_vec ?? t1
  77          (mk_tape ? [ ] (option_hd FSUnialpha (reverse ? (null::ls)))
  78            (tail ? (reverse ? (null::ls)))) cfg).
  79
  80 axiom sem_move_to_end_l : ∀sig. move_to_end sig L ⊨ R_move_to_end_l sig.
  81 axiom accRealize_to_Realize :
  82   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
  83   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
  84
  85 lemma eq_mk_tape_rightof :
  86  ∀alpha,a,al.mk_tape alpha (a::al) (None ?) [ ] = rightof ? a al.
  87 #alpha #a #al %
  88 qed.
  89
  90 axiom daemon : ∀P:Prop.P.
  91
  92 definition option_cons ≝ λsig.λc:option sig.λl.
  93   match c with [ None ⇒ l | Some c0 ⇒ c0::l ].
  94
  95 lemma tape_move_mk_tape_R :
  96   ∀sig,ls,c,rs.
  97   (c = None ? → ls = [ ] ∨ rs = [ ]) →
  98   tape_move ? (mk_tape sig ls c rs) R =
  99   mk_tape ? (option_cons ? c ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs).
 100 #sig * [ * [ * | #c * ] | #l0 #ls0 * [ *
 101 [| #r0 #rs0 #H @False_ind cases (H (refl ??)) #H1 destruct (H1) ] | #c * ] ]
 102 normalize //
 103 qed.
 104
 105 lemma sem_obj_to_cfg : obj_to_cfg ⊨  R_obj_to_cfg.
 106 @(sem_seq_app FSUnialpha 2 ????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 107    (sem_seq ??????
 108     (sem_if ??????????
 109      (sem_test_null_multi ?? obj ?)
 110       (sem_seq ?????? (accRealize_to_Realize … (sem_copy_step …))
 111        (sem_seq ?????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 112         (sem_move_multi ? 2 obj L ?)))
 113       (sem_inject ???? cfg ? (sem_write FSUnialpha null)))
 114      (sem_seq ?????? (sem_inject ???? cfg ? (sem_move_to_end_l ?))
 115        (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)))) //
 116 #ta #tb *
 117 #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc *
 118 #td * *
 119 [ * #te * * #Hcurtc #Hte
 120   * destruct (Hte) #te * *
 121   [ whd in ⊢ (%→%→?); * #x * #y * * -Hcurtc #Hcurtc1 #Hcurtc2 #Hte
 122     * #tf * whd in ⊢ (%→%→?); #Htf #Htd
 123     * #tg * * * whd in ⊢ (%→%→%→%→?); #Htg1 #Htg2 #Htg3 #Htb
 124     #c #ls #Hta1 %
 125     [ #lso #x0 #rso #Hta2 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 126       whd in match (tape_move ???); #Htc
 127       cut (tg = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[x])) cfg)
 128       [@daemon] -Htg1 -Htg2 -Htg3 #Htg destruct (Htg Htf Hte Htd Htc Htb)
 129       >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 130       >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 131       >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 132       >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 133       >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 134       >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 135       >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] @eq_f3 //
 136       [ >Hta2 cases rso in Hta2; whd in match (tape_move_mono ???);
 137         [ #Hta2 whd in match (tape_move ???); <Hta2 @change_vec_same
 138         | #r1 #rs1 #Hta2 whd in match (tape_move ???); <Hta2 @change_vec_same ]
 139       | >tape_move_mk_tape_R [| #_ % %] >reverse_cons
 140         >nth_change_vec_neq in Hcurtc1; [|@sym_not_eq //] >Hta2
 141         normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) %
 142       ]
 143     | #Hta2 >Htc in Hcurtc1; >nth_change_vec_neq [| @sym_not_eq //]
 144       >Hta2 #H destruct (H)
 145     ]
 146   | * #Hcurtc0 #Hte #_ #_ #c #ls #Hta1 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 147     whd in match (tape_move ???); #Htc >Htc in Hcurtc0; *
 148     [ >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 149       #Hcurtc #Hcurtc0 >Hcurtc0 in Hcurtc; * #H @False_ind @H %
 150     | >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 151   ]
 152 | * #te * * #Hcurtc #Hte
 153   * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd1 #Htd2
 154   * #tf * * * #Htf1 #Htf2 #Htf3 whd in ⊢ (%→?); #Htb
 155   #c #ls #Hta1 %
 156   [ #lso #x #rso #Hta2 >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 157     >Hta2 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 158   | #_ >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 159     destruct (Hte) cut (td = change_vec ?? tc (midtape ? ls null []) cfg)
 160     [@daemon] -Htd1 -Htd2 #Htd
 161     -Htf1 cut (tf = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[null])) cfg)
 162     [@daemon] -Htf2 -Htf3 #Htf destruct (Htf Htd Htc Htb)
 163     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 164     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 165     >reverse_cons >tape_move_mk_tape_R /2/ ]
 166 ]
 167 qed.
 168
 169 definition test_null_char ≝ test_char FSUnialpha (λc.c == null).
 170
 171 definition R_test_null_char_true ≝ λt1,t2.
 172   current FSUnialpha t1 = Some ? null ∧ t1 = t2.
 173
 174 definition R_test_null_char_false ≝ λt1,t2.
 175   current FSUnialpha t1 ≠ Some ? null ∧ t1 = t2.
 176
 177 lemma sem_test_null_char :
 178   test_null_char ⊨ [ tc_true : R_test_null_char_true, R_test_null_char_false].
 179 #t1 cases (sem_test_char FSUnialpha (λc.c == null) t1) #k * #outc * * #Hloop #Htrue
 180 #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
 181 [ @Hloop
 182 | #Houtc cases (Htrue ?) [| @Houtc] * #c * #Hcurt1 #Hcnull lapply (\P Hcnull)
 183   -Hcnull #H destruct (H) #Houtc1 %
 184   [ @Hcurt1 | <Houtc1 % ] ]
 185 | #Houtc cases (Hfalse ?) [| @Houtc] #Hc #Houtc %
 186   [ % #Hcurt1 >Hcurt1 in Hc; #Hc lapply (Hc ? (refl ??))
 187     >(?:((null:FSUnialpha) == null) = true) [|@(\b (refl ??)) ]
 188     #H destruct (H)
 189   | <Houtc % ] ]
 190 qed.
 191
 192 definition cfg_to_obj ≝
 193   mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
 194   (ifTM ?? (inject_TM ? test_null_char 2 cfg)
 195     (nop ? 2)
 196     (copy_step cfg obj FSUnialpha 2 ·
 197      mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
 198      mmove obj FSUnialpha 2 L)
 199      tc_true) ·
 200   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
 201   mmove cfg FSUnialpha 2 R.
 202
 203 definition R_cfg_to_obj ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 204   ∀c,ls.
 205   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
 206   (c = null →
 207    t2 = change_vec ?? t1
 208          (mk_tape ? [ ] (option_hd FSUnialpha (reverse ? (c::ls)))
 209            (tail ? (reverse ? (c::ls)))) cfg) ∧
 210   (c ≠ null →
 211    t2 = change_vec ??
 212           (change_vec ?? t1
 213              (midtape ? (left ? (nth obj ? t1 (niltape ?))) c (right ? (nth obj ? t1 (niltape ?)))) obj)
 214           (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (reverse ? (c::ls))) (tail ? (reverse ? (c::ls)))) cfg).
 215
 216 axiom sem_cfg_to_obj : cfg_to_obj ⊨  R_cfg_to_obj.
 217 (*@(sem_seq_app FSUnialpha 2 ????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 218    (sem_seq ??????
 219     (sem_if ??????????
 220      (sem_test_null_multi ?? obj ?)
 221       (sem_seq ?????? (accRealize_to_Realize … (sem_copy_step …))
 222        (sem_move_multi ? 2 cfg L ?))
 223       (sem_inject ???? cfg ? (sem_write FSUnialpha null)))
 224      (sem_seq ?????? (sem_inject ???? cfg ? (sem_move_to_end_l ?))
 225        (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)))) //
 226 #ta #tb *
 227 #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc *
 228 #td * *
 229 [ * #te * * #Hcurtc #Hte
 230   * destruct (Hte) #te * *
 231   [ whd in ⊢ (%→%→?); * #x * #y * * -Hcurtc #Hcurtc1 #Hcurtc2 #Hte #Htd
 232     * #tf * * * whd in ⊢ (%→%→%→%→?); #Htf1 #Htf2 #Htf3 #Htb
 233     #c #ls #Hta1 %
 234     [ #lso #x0 #rso #Hta2 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 235       whd in match (tape_move ???); #Htc
 236       cut (tf = change_vec ?? tc (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[x])) cfg)
 237       [@daemon] -Htf1 -Htf2 -Htf3 #Htf destruct (Htf Hte Htd Htc Htb)
 238       >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 239       >nth_change_vec // >tape_move_mk_tape_R
 240       @daemon
 241     | #Hta2 >Htc in Hcurtc1; >nth_change_vec_neq [| @sym_not_eq //]
 242       >Hta2 #H destruct (H)
 243     ]
 244   | * #Hcurtc0 #Hte #_ #_ #c #ls #Hta1 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 245     whd in match (tape_move ???); #Htc >Htc in Hcurtc0; *
 246     [ >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 247       #Hcurtc #Hcurtc0 >Hcurtc0 in Hcurtc; * #H @False_ind @H %
 248     | >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 249   ]
 250 | * #te * * #Hcurtc #Hte
 251   * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd1 #Htd2
 252   * #tf * * * #Htf1 #Htf2 #Htf3 whd in ⊢ (%→?); #Htb
 253   #c #ls #Hta1 %
 254   [ #lso #x #rso #Hta2 >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 255     >Hta2 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 256   | #_ >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 257     destruct (Hte) cut (td = change_vec ?? tc (midtape ? ls null []) cfg)
 258     [@daemon] -Htd1 -Htd2 #Htd
 259     -Htf1 cut (tf = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[null])) cfg)
 260     [@daemon] -Htf2 -Htf3 #Htf destruct (Htf Htd Htc Htb)
 261     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 262     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 263     >reverse_cons >tape_move_mk_tape_R /2/ ]
 264 ]
 265 qed.
 266 *)
 267
 268 (* macchina che muove il nastro obj a destra o sinistra a seconda del valore
 269    del current di prg, che codifica la direzione in cui ci muoviamo *)
 270
 271 definition tape_move_obj : mTM FSUnialpha 2 ≝
 272   ifTM ??
 273    (inject_TM ? (test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit false)) 2 prg)
 274    (mmove obj FSUnialpha 2 L)
 275    (ifTM ??
 276     (inject_TM ? (test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit true)) 2 prg)
 277     (mmove obj FSUnialpha 2 R)
 278     (nop ??)
 279     tc_true)
 280    tc_true.
 281
 282 definition unistep ≝
 283   obj_to_cfg · match_m cfg prg FSUnialpha 2 ·
 284   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
 285   mmove cfg FSUnialpha 2 R · copy prg cfg FSUnialpha 2 ·
 286   cfg_to_obj · tape_move_obj.