matita/matita/lib/turing/multi_universal/unistep_aux.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  13 include "turing/multi_universal/match.ma".
  14 include "turing/multi_universal/copy.ma".
  15 include "turing/multi_universal/alphabet.ma".
  16 include "turing/multi_universal/tuples.ma".
  17
  18
  19 definition obj ≝ (0:DeqNat).
  20 definition cfg ≝ (1:DeqNat).
  21 definition prg ≝ (2:DeqNat).
  22
  23 definition obj_to_cfg ≝
  24   (ifTM ?? (inject_TM ? (test_null ?) 2 obj)
  25     (copy_char_N obj cfg FSUnialpha 2)
  26     (inject_TM ? (write FSUnialpha null) 2 cfg)
  27      tc_true) ·
  28   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
  29   mmove cfg FSUnialpha 2 R.
  30
  31 definition R_obj_to_cfg ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
  32   ∀c,ls.
  33   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? ls c [ ] →
  34   (∀lso,x,rso.nth obj ? t1 (niltape ?) = midtape FSUnialpha lso x rso →
  35    t2 = change_vec ?? t1
  36          (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (reverse ? (x::ls))) (tail ? (reverse ? (x::ls)))) cfg) ∧
  37   (current ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) = None ? →
  38    t2 = change_vec ?? t1
  39          (mk_tape ? [ ] (option_hd FSUnialpha (reverse ? (null::ls)))
  40            (tail ? (reverse ? (null::ls)))) cfg).
  41
  42 axiom accRealize_to_Realize :
  43   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
  44   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
  45
  46 lemma eq_mk_tape_rightof :
  47  ∀alpha,a,al.mk_tape alpha (a::al) (None ?) [ ] = rightof ? a al.
  48 #alpha #a #al %
  49 qed.
  50
  51 lemma tape_move_mk_tape_R :
  52   ∀sig,ls,c,rs.
  53   (c = None ? → ls = [ ] ∨ rs = [ ]) →
  54   tape_move ? (mk_tape sig ls c rs) R =
  55   mk_tape ? (option_cons ? c ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs).
  56 #sig * [ * [ * | #c * ] | #l0 #ls0 * [ *
  57 [| #r0 #rs0 #H @False_ind cases (H (refl ??)) #H1 destruct (H1) ] | #c * ] ]
  58 normalize //
  59 qed.
  60
  61 lemma eq_vec_change_vec : ∀sig,n.∀v1,v2:Vector sig n.∀i,t,d.
  62   nth i ? v2 d = t →
  63   (∀j.i ≠ j → nth j ? v1 d = nth j ? v2 d) →
  64   v2 = change_vec ?? v1 t i.
  65 #sig #n #v1 #v2 #i #t #d #H1 #H2 @(eq_vec … d)
  66 #i0 #Hlt cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hii0
  67 [ >Hii0 >nth_change_vec //
  68 | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @H2 @sym_not_eq // ]
  69 qed.
  70
  71 lemma None_or_Some: ∀A.∀a. a =None A ∨ ∃b. a = Some ? b.
  72 #A * /2/ #a %2 %{a} %
  73 qed.
  74
  75 lemma not_None_to_Some: ∀A.∀a. a ≠ None A → ∃b. a = Some ? b.
  76 #A * /2/ * #H @False_ind @H %
  77 qed.
  78
  79 lemma sem_obj_to_cfg : obj_to_cfg ⊨  R_obj_to_cfg.
  80 @(sem_seq_app FSUnialpha 2 ?????
  81   (sem_if ??????????
  82    (sem_test_null_multi ?? obj ?)
  83    (sem_copy_char_N …)
  84    (sem_inject ???? cfg ? (sem_write FSUnialpha null)))
  85   (sem_seq ?????? (sem_inject ???? cfg ? (sem_move_to_end_l ?))
  86     (sem_move_multi ? 2 cfg R ?))) //
  87 #ta #tout *
  88 #tb * #Hif * #tc * #HM2 #HM3 #c #ls #Hcfg
  89 (* Hif *)
  90 cases Hif -Hif
  91 [ * #t1 * * #Hcurta #Ht1 destruct (Ht1)
  92   lapply (not_None_to_Some … Hcurta) * #curta #Hcurtaeq
  93   whd in ⊢ (%→?); #Htb % [2: #Hcur @False_ind /2/]
  94   #lso #xo #rso #Hobjta cases HM2 whd in ⊢ (%→?); * #_
  95   #HM2 #Heq >Htb in HM2; >nth_change_vec [2: @leb_true_to_le %]
  96   >Hcfg >Hcurtaeq #HM2 lapply (HM2 … (refl ??)) -HM2
  97   whd in match (left ??); whd in match (right ??);
  98   >reverse_cons #Htc >HM3 @(eq_vec … (niltape ?)) #i #lei2
  99   cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei2))
 100   [#lei1 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei1))
 101     [#lei0 lapply(le_n_O_to_eq … (le_S_S_to_le …lei0)) #eqi <eqi
 102      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 103      <(Heq 0) [2:@eqb_false_to_not_eq %] >Htb
 104      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 105      >nth_change_vec_neq [%|2:@eqb_false_to_not_eq %]
 106     |#Hi >Hi >nth_change_vec // >nth_change_vec // >Htc
 107      >Hobjta in Hcurtaeq; whd in ⊢ (??%?→?); #Htmp destruct(Htmp)
 108      >tape_move_mk_tape_R [2: #_ %1 %] %
 109     ]
 110   |#Hi >Hi >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 111    >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 112    <(Heq 2) [2:@eqb_false_to_not_eq %] >Htb
 113    >nth_change_vec_neq [%|2:@eqb_false_to_not_eq %]
 114   ]
 115 | * #t1 * * #Hcurta #Ht1 destruct (Ht1)
 116   * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hcfg) -Htb #Htb
 117   #Htbeq %
 118     [#lso #xo #rso #Hmid @False_ind >Hmid in Hcurta;
 119      whd in ⊢ (??%?→?); #Htmp destruct (Htmp)]
 120   #_ cases HM2 whd in ⊢ (%→?); * #_
 121   #HM2 #Heq >Htb in HM2; #HM2 lapply (HM2 … (refl ??)) -HM2
 122   #Htc >HM3 @(eq_vec … (niltape ?)) #i #lei2
 123   cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei2))
 124   [#lei1 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei1))
 125     [#lei0 lapply(le_n_O_to_eq … (le_S_S_to_le …lei0)) #eqi <eqi
 126      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 127      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 128      <(Heq 0) [2:@eqb_false_to_not_eq %] >Htb
 129      <(Htbeq 0) [2:@eqb_false_to_not_eq %] %
 130     |#Hi >Hi >nth_change_vec // >nth_change_vec // >Htc
 131      >tape_move_mk_tape_R [2: #_ %1 %] >reverse_cons %
 132     ]
 133   |#Hi >Hi >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 134    >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 135    <(Heq 2) [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 136    <(Htbeq 2) [%|@eqb_false_to_not_eq %]
 137   ]
 138 ]
 139 qed.
 140
 141 (* another semantics for obj_to_cfg *)
 142 definition low_char' ≝ λc.
 143   match c with
 144   [ None ⇒ null
 145   | Some b ⇒ if (is_bit b) then b else null
 146   ].
 147
 148 lemma low_char_option : ∀s.
 149   low_char' (option_map FinBool FSUnialpha bit s) = low_char s.
 150 * //
 151 qed.
 152
 153 definition R_obj_to_cfg1 ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 154   ∀c,ls.
 155   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? ls c [ ] →
 156   let x ≝ current ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) in
 157   (∀b. x= Some ? b → is_bit b = true) →
 158   t2 = change_vec ?? t1
 159          (mk_tape ? [ ] (option_hd FSUnialpha (reverse ? (low_char' x::ls)))
 160            (tail ? (reverse ? (low_char' x::ls)))) cfg.
 161
 162 lemma sem_obj_to_cfg1: obj_to_cfg ⊨ R_obj_to_cfg1.
 163 @(Realize_to_Realize … sem_obj_to_cfg) #t1 #t2 #Hsem
 164 #c #ls #Hcfg lapply(Hsem c ls Hcfg) * #HSome #HNone #Hb
 165 cases (None_or_Some ? (current ? (nth obj ? t1 (niltape ?))))
 166   [#Hcur >Hcur @HNone @Hcur
 167   |* #b #Hb1 >Hb1
 168    cut (low_char' (Some ? b) = b)  [whd in ⊢ (??%?); >(Hb b Hb1) %] #Hlow >Hlow
 169    lapply(current_to_midtape … Hb1) * #lsobj * #rsobj #Hmid
 170    @(HSome … Hmid)
 171   ]
 172 qed.
 173
 174 (* test_null_char *)
 175 definition test_null_char ≝ test_char FSUnialpha (λc.c == null).
 176
 177 definition R_test_null_char_true ≝ λt1,t2.
 178   current FSUnialpha t1 = Some ? null ∧ t1 = t2.
 179
 180 definition R_test_null_char_false ≝ λt1,t2.
 181   current FSUnialpha t1 ≠ Some ? null ∧ t1 = t2.
 182
 183 lemma sem_test_null_char :
 184   test_null_char ⊨ [ tc_true : R_test_null_char_true, R_test_null_char_false].
 185 #t1 cases (sem_test_char FSUnialpha (λc.c == null) t1) #k * #outc * * #Hloop #Htrue
 186 #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
 187 [ @Hloop
 188 | #Houtc cases (Htrue ?) [| @Houtc] * #c * #Hcurt1 #Hcnull lapply (\P Hcnull)
 189   -Hcnull #H destruct (H) #Houtc1 %
 190   [ @Hcurt1 | <Houtc1 % ] ]
 191 | #Houtc cases (Hfalse ?) [| @Houtc] #Hc #Houtc %
 192   [ % #Hcurt1 >Hcurt1 in Hc; #Hc lapply (Hc ? (refl ??))
 193     >(?:((null:FSUnialpha) == null) = true) [|@(\b (refl ??)) ]
 194     #H destruct (H)
 195   | <Houtc % ] ]
 196 qed.
 197
 198 definition cfg_to_obj ≝
 199   mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
 200   (ifTM ?? (inject_TM ? test_null_char 2 cfg)
 201     (nop ? 2)
 202     (copy_char_N cfg obj FSUnialpha 2)
 203     tc_true).
 204 (* ·
 205   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
 206   mmove cfg FSUnialpha 2 R. *)
 207
 208 definition R_cfg_to_obj ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 209   ∀c,ls.
 210   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
 211   (c = null → t2 = change_vec ?? t1 (midtape ? ls c [ ]) cfg) ∧
 212   (c ≠ null →
 213    t2 = change_vec ??
 214           (change_vec ?? t1
 215              (midtape ? (left ? (nth obj ? t1 (niltape ?))) c (right ? (nth obj ? t1 (niltape ?)))) obj)
 216           (midtape ? ls c [ ]) cfg).
 217
 218 lemma tape_move_mk_tape_L :
 219   ∀sig,ls,c,rs.
 220   (c = None ? → ls = [ ] ∨ rs = [ ]) →
 221   tape_move ? (mk_tape sig ls c rs) L =
 222   mk_tape ? (tail ? ls) (option_hd ? ls) (option_cons ? c rs).
 223 #sig * [ * [ * | #c * ] | #l0 #ls0 * [ *
 224 [| #r0 #rs0 #H @False_ind cases (H (refl ??)) #H1 destruct (H1) ] | #c * ] ]
 225 normalize //
 226 qed.
 227
 228 lemma sem_cfg_to_obj : cfg_to_obj ⊨  R_cfg_to_obj.
 229 @(sem_seq_app FSUnialpha 2 ????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 230   (sem_if ??????????
 231    (acc_sem_inject ?????? cfg ? sem_test_null_char)
 232    (sem_nop …)
 233    (sem_copy_char_N …)))
 234 // [@sym_not_eq //]
 235 #ta #tb *
 236 #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc *
 237 [ * #te * * * #Hcurtc #Hte1 #Hte2 whd in ⊢ (%→?); #Htb destruct (Htb)
 238   #c #ls #Hta %
 239   [ #Hc >Hta in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 240     cut (te = tc)
 241     [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? (sym_eq … Hte1) Hte2) >change_vec_same // ]
 242       -Hte1 -Hte2 #Hte //
 243     | #Hc >Hta in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 244       >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?);
 245       #H destruct (H) @False_ind cases Hc /2/ ]
 246 | * #te * * * #Hcurtc #Hte1 #Hte2
 247   whd in ⊢ (%→?); #Htb
 248   #c #ls #Hta % #Hc
 249   [ >Htc in Hcurtc; >Hta >nth_change_vec //
 250     normalize in ⊢ (%→?); * #H @False_ind /2/
 251   | cut (te = tc)
 252     [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? (sym_eq … Hte1) Hte2)
 253       >change_vec_same // ] -Hte1 -Hte2 #Hte destruct (Hte)
 254     >Hta in Htc; whd in match (tape_move ???); #Htc
 255     >Htc in Htb; >nth_change_vec //
 256     >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq //] >Hta
 257     #Htb @Htb
 258   ]
 259 qed.
 260
 261 definition char_to_move ≝ λc.match c with
 262   [ bit b ⇒ if b then R else L
 263   | _ ⇒ N].
 264
 265 definition char_to_bit_option ≝ λc.match c with
 266   [ bit b ⇒ Some ? (bit b)
 267   | _ ⇒ None ?].
 268
 269 definition R_cfg_to_obj1 ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 270   ∀c,ls.
 271   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
 272   c ≠ bar →
 273   let new_obj ≝
 274       tape_write ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) (char_to_bit_option c) in
 275     t2 = change_vec ??
 276           (change_vec ?? t1
 277             (tape_write ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) (char_to_bit_option c)) obj)
 278           (midtape ? ls c [ ]) cfg.
 279
 280 lemma sem_cfg_to_obj1: cfg_to_obj ⊨  R_cfg_to_obj1.
 281 @(Realize_to_Realize … sem_cfg_to_obj) #t1 #t2 #H #c #ls #Hcfg #Hbar
 282 cases (H c ls Hcfg) cases (true_or_false (c==null)) #Hc
 283   [#Ht2 #_ >(Ht2 (\P Hc)) -Ht2 @(eq_vec … (niltape ?))
 284    #i #lei2 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei2))
 285     [#lei1 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei1))
 286       [#lei0 lapply(le_n_O_to_eq … (le_S_S_to_le …lei0)) #eqi <eqi
 287        >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 288        >nth_change_vec_neq in ⊢ (???%); [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 289        >nth_change_vec // >(\P Hc) %
 290       |#Hi >Hi >nth_change_vec //
 291       ]
 292     |#Hi >Hi >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 293      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 294      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %] %
 295     ]
 296   |#_ #Ht2 >(Ht2 (\Pf Hc)) -Ht2 @(eq_vec … (niltape ?))
 297    #i #lei2 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei2))
 298     [#lei1 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei1))
 299       [#lei0 lapply(le_n_O_to_eq … (le_S_S_to_le …lei0)) #eqi <eqi
 300        >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 301        >nth_change_vec_neq in ⊢ (???%); [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 302        >nth_change_vec // >nth_change_vec //
 303        lapply (\bf Hbar) lapply Hc elim c //
 304         [whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 305         |#_ whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 306         ]
 307       |#Hi >Hi >nth_change_vec //
 308       ]
 309     |#Hi >Hi >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 310      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 311      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %] %
 312     ]
 313   ]
 314 qed.
 315
 316
 317 (* macchina che muove il nastro obj a destra o sinistra a seconda del valore
 318    del current di prg, che codifica la direzione in cui ci muoviamo *)
 319
 320 definition tape_move_obj : mTM FSUnialpha 2 ≝
 321   ifTM ??
 322    (inject_TM ? (test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit false)) 2 prg)
 323    (mmove obj FSUnialpha 2 L)
 324    (ifTM ??
 325     (inject_TM ? (test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit true)) 2 prg)
 326     (mmove obj FSUnialpha 2 R)
 327     (nop ??)
 328     tc_true)
 329    tc_true.
 330
 331 definition R_tape_move_obj' ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 332   (current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) = Some ? (bit false) →
 333    t2 = change_vec ?? t1 (tape_move ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) L) obj) ∧
 334   (current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) = Some ? (bit true) →
 335    t2 = change_vec ?? t1 (tape_move ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) R) obj) ∧
 336   (current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) ≠ Some ? (bit false) →
 337    current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) ≠ Some ? (bit true) →
 338    t2 = t1).
 339
 340 lemma sem_tape_move_obj' : tape_move_obj ⊨ R_tape_move_obj'.
 341 #ta cases (sem_if ??????????
 342   (acc_sem_inject ?????? prg ? (sem_test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit false)))
 343   (sem_move_multi ? 2 obj L ?)
 344   (sem_if ??????????
 345    (acc_sem_inject ?????? prg ? (sem_test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit true)))
 346    (sem_move_multi ? 2 obj R ?)
 347    (sem_nop …)) ta) //
 348 #i * #outc * #Hloop #HR %{i} %{outc} % [@Hloop] -i
 349 cases HR -HR
 350 [ * #tb * * * * #c * #Hcurta_prg #Hc lapply (\P Hc) -Hc #Hc #Htb1 #Htb2
 351   whd in ⊢ (%→%); #Houtc >Houtc -Houtc % [ %
 352   [ >Hcurta_prg #H destruct (H) >(?:tb = ta)
 353     [| lapply (eq_vec_change_vec ??????? Htb1 Htb2)
 354        >change_vec_same // ] %
 355   | >Hcurta_prg #H destruct (H) destruct (Hc) ]
 356   | >Hcurta_prg >Hc * #H @False_ind /2/ ]
 357 | * #tb * * * #Hnotfalse #Htb1 #Htb2 cut (tb = ta)
 358   [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? Htb1 Htb2)
 359      >change_vec_same // ] -Htb1 -Htb2 #Htb destruct (Htb) *
 360   [ * #tc * * * * #c * #Hcurta_prg #Hc lapply (\P Hc) -Hc #Hc #Htc1 #Htc2
 361     whd in ⊢ (%→%); #Houtc >Houtc -Houtc % [ %
 362     [ >Hcurta_prg #H destruct (H) destruct (Hc)
 363     | >Hcurta_prg #H destruct (H) >(?:tc = ta)
 364       [| lapply (eq_vec_change_vec ??????? Htc1 Htc2)
 365         >change_vec_same // ] % ]
 366     | >Hcurta_prg >Hc #_ * #H @False_ind /2/ ]
 367   | * #tc * * * #Hnottrue #Htc1 #Htc2 cut (tc = ta)
 368     [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? Htc1 Htc2)
 369       >change_vec_same // ] -Htc1 -Htc2
 370     #Htc destruct (Htc) whd in ⊢ (%→?); #Houtc % [ %
 371     [ #Hcurta_prg lapply (\Pf (Hnotfalse ? Hcurta_prg)) * #H @False_ind /2/
 372     | #Hcurta_prg lapply (\Pf (Hnottrue ? Hcurta_prg)) * #H @False_ind /2/ ]
 373     | #_ #_ @Houtc ]
 374   ]
 375 ]
 376 qed.
 377
 378 definition R_tape_move_obj ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 379   ∀c. current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) = Some ? c →
 380   t2 = change_vec ?? t1 (tape_move ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) (char_to_move c)) obj.
 381
 382 lemma sem_tape_move_obj : tape_move_obj ⊨ R_tape_move_obj.
 383 @(Realize_to_Realize … sem_tape_move_obj')
 384 #ta #tb * * #Htb1 #Htb2 #Htb3 * [ *
 385 [ @Htb2 | @Htb1 ]
 386 | #Hcurta_prg change with (nth obj ? ta (niltape ?)) in match (tape_move ???);
 387   >change_vec_same @Htb3 >Hcurta_prg % #H destruct (H)
 388 | #Hcurta_prg change with (nth obj ? ta (niltape ?)) in match (tape_move ???);
 389   >change_vec_same @Htb3 >Hcurta_prg % #H destruct (H)
 390 ]
 391 qed.
 392
 393 (************** list of tape ******************)
 394 definition list_of_tape ≝ λsig.λt:tape sig.
 395   reverse ? (left ? t)@option_cons ? (current ? t) (right ? t).
 396
 397 lemma list_of_midtape: ∀sig,ls,c,rs.
 398   list_of_tape sig (midtape ? ls c rs) = reverse ? ls@c::rs.
 399 // qed-.
 400
 401 lemma list_of_rightof: ∀sig,ls,c.
 402   list_of_tape sig (rightof ? c ls) = reverse ? (c::ls).
 403 #sig #ls #c <(append_nil ? (reverse ? (c::ls)))
 404 // qed-.
 405
 406 lemma list_of_tape_move: ∀sig,t,m.
 407   list_of_tape sig t = list_of_tape sig (tape_move ? t m).
 408 #sig #t * // cases t //
 409  [(* rightof, move L *) #a #l >list_of_midtape
 410   >append_cons <reverse_single <reverse_append %
 411  |(* midtape, move L *) * //
 412   #a #ls #c #rs >list_of_midtape >list_of_midtape
 413   >reverse_cons >associative_append %
 414  |(* midtape, move R *) #ls #c *
 415    [>list_of_midtape >list_of_rightof >reverse_cons %
 416    |#a #rs >list_of_midtape >list_of_midtape >reverse_cons
 417     >associative_append %
 418    ]
 419  ]
 420 qed.
 421
 422 lemma list_of_tape_write: ∀sig,cond,t,c.
 423 (∀b. c = Some ? b → cond b =true) →
 424 (∀x. mem ? x (list_of_tape ? t) → cond x =true ) →
 425 ∀x. mem ? x (list_of_tape sig (tape_write ? t c)) → cond x =true.
 426 #sig #cond #t #c #Hc #Htape #x lapply Hc cases c
 427   [(* c is None *) #_ whd in match (tape_write ???); @Htape
 428   |#b #Hb lapply (Hb … (refl ??)) -Hb #Hb
 429    whd in match (tape_write ???); >list_of_midtape
 430    #Hx cases(mem_append ???? Hx) -Hx
 431     [#Hx @Htape @mem_append_l1 @Hx
 432     |* [//]
 433      #Hx @Htape @mem_append_l2 cases (current sig t)
 434       [@Hx | #c1 %2 @Hx]
 435     ]
 436   ]
 437 qed.
 438
 439 lemma current_in_list: ∀sig,t,b.
 440   current sig t = Some ? b → mem ? b (list_of_tape sig t).
 441 #sig #t #b cases t
 442   [whd in ⊢ (??%?→?); #Htmp destruct
 443   |#l #b whd in ⊢ (??%?→?); #Htmp destruct
 444   |#l #b whd in ⊢ (??%?→?); #Htmp destruct
 445   |#ls #c #rs whd in ⊢ (??%?→?); #Htmp destruct
 446    >list_of_midtape @mem_append_l2 % %
 447   ]
 448 qed.
 449
 450 definition restart_tape ≝ λi,n.
 451   mmove i FSUnialpha n L ·
 452   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) n i ·
 453   mmove i FSUnialpha n R.
 454
 455 definition R_restart_tape ≝ λi,n.λint,outt:Vector (tape FSUnialpha) (S n).
 456    ∀t.t = nth i ? int (niltape ?) →
 457    outt = change_vec ?? int
 458     (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (list_of_tape ? t)) (tail ? (list_of_tape ? t))) i.
 459
 460 lemma sem_restart_tape : ∀i,n.i < S n → restart_tape i n ⊨ R_restart_tape i n.
 461 #i #n #Hleq
 462 @(sem_seq_app ??????? (sem_move_multi ? n i L ?)
 463   (sem_seq ?????? (sem_inject ???? i ? (sem_move_to_end_l ?))
 464    (sem_move_multi ? n i R ?))) [1,2,3:@le_S_S_to_le //]
 465 #ta #tb * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 466 * #td * * * #Htd1 #Htd2 #Htd3
 467 whd in ⊢ (%→?); #Htb *
 468 [ #Hta_i <Hta_i in Htc; whd in ⊢ (???(????%?)→?); #Htc
 469   cut (td = tc) [@daemon]
 470   (* >Htc in Htd1; >nth_change_vec // *) -Htd1 -Htd2 -Htd3
 471   #Htd >Htd in Htb; >Htc >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 472   #Htb >Htb %
 473 | #r0 #rs0 #Hta_i <Hta_i in Htc; whd in ⊢ (???(????%?)→?); #Htc
 474   cut (td = tc) [@daemon]
 475   (* >Htc in Htd1; >nth_change_vec // *) -Htd1 -Htd2 -Htd3
 476   #Htd >Htd in Htb; >Htc >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 477   #Htb >Htb %
 478 | #l0 #ls0 #Hta_i <Hta_i in Htc; whd in ⊢ (???(????%?)→?); #Htc
 479   cut (td = change_vec ?? tc (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls0@[l0])) i)
 480   [@daemon]
 481   #Htd >Htd in Htb; >Htc >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 482   >nth_change_vec // #Htb >Htb <(reverse_reverse ? ls0) in ⊢ (???%);
 483   cases (reverse ? ls0)
 484   [ %
 485   | #l1 #ls1 >reverse_cons
 486      >(?: list_of_tape ? (rightof ? l0 (reverse ? ls1@[l1])) =
 487           l1::ls1@[l0])
 488      [|change with (reverse ??@?) in ⊢ (??%?);
 489        whd in match (left ??); >reverse_cons >reverse_append
 490        whd in ⊢ (??%?); @eq_f >reverse_reverse normalize >append_nil % ] % ]
 491 | *
 492   [ #c #rs #Hta_i <Hta_i in Htc; whd in ⊢ (???(????%?)→?); #Htc
 493     cut (td = tc) [@daemon]
 494     (* >Htc in Htd1; >nth_change_vec // *) -Htd1 -Htd2 -Htd3
 495     #Htd >Htd in Htb; >Htc >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 496     #Htb >Htb %
 497   | #l0 #ls0 #c #rs #Hta_i <Hta_i in Htc; whd in ⊢ (???(????%?)→?); #Htc
 498     cut (td = change_vec ?? tc (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls0@l0::c::rs)) i)
 499     [@daemon]
 500     #Htd >Htd in Htb; >Htc >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 501     >nth_change_vec // #Htb >Htb <(reverse_reverse ? ls0) in ⊢ (???%);
 502     cases (reverse ? ls0)
 503     [ %
 504     | #l1 #ls1 >reverse_cons
 505       >(?: list_of_tape ? (midtape ? (l0::reverse ? ls1@[l1]) c rs) =
 506             l1::ls1@l0::c::rs)
 507       [|change with (reverse ??@?) in ⊢ (??%?);
 508         whd in match (left ??); >reverse_cons >reverse_append
 509         whd in ⊢ (??%?); @eq_f >reverse_reverse normalize
 510         >associative_append % ] % ]
 511   ]
 512 ]
 513 qed.