matita/matita/lib/turing/multi_universal/unistep_aux.ma

   1 (*
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   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
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   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  13 include "turing/multi_universal/match.ma".
  14 include "turing/multi_universal/copy.ma".
  15 include "turing/multi_universal/alphabet.ma".
  16
  17 (*
  18
  19   in.obj : ...  x ...
  20                 ^
  21   in.cfg : ...  ? ? ...
  22                     ^
  23
  24   out.cfg : ... 1 x ...
  25                   ^
  26
  27   ---------------------
  28   current (in.obj) = None
  29
  30   in.cfg : ...  ? ? ...
  31                     ^
  32
  33   out.cfg : ... 0 0 ...
  34                   ^
  35
  36   obj_to_cfg ≝
  37     move_l(cfg);
  38     move_l(cfg);
  39     (if (current(in.obj)) == None
  40        then write(0,cfg);
  41             move_r(cfg);
  42             write(0,cfg);
  43        else write(1,cfg);
  44             move_r(cfg);
  45             copy_step(obj,cfg);
  46             move_l(obj);)
  47     move_to_end_l(cfg);
  48     move_r(cfg);
  49
  50
  51   cfg_to_obj
  52 *)
  53
  54 definition obj ≝ (0:DeqNat).
  55 definition cfg ≝ (1:DeqNat).
  56 definition prg ≝ (2:DeqNat).
  57
  58 definition obj_to_cfg ≝
  59   mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
  60   (ifTM ?? (inject_TM ? (test_null ?) 2 obj)
  61     (copy_step obj cfg FSUnialpha 2 ·
  62      mmove cfg FSUnialpha 2 L)
  63     (inject_TM ? (write FSUnialpha null) 2 cfg)
  64      tc_true) ·
  65   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
  66   mmove cfg FSUnialpha 2 R.
  67
  68 definition R_obj_to_cfg ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
  69   ∀c,ls.
  70   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
  71   (∀lso,x,rso.nth obj ? t1 (niltape ?) = midtape FSUnialpha lso x rso →
  72    t2 = change_vec ?? t1
  73          (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (reverse ? (c::ls))) (tail ? (reverse ? (c::ls)))) cfg) ∧
  74   (current ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) = None ? →
  75    t2 = change_vec ?? t1
  76          (mk_tape ? [ ] (option_hd FSUnialpha (reverse ? (null::ls)))
  77            (tail ? (reverse ? (null::ls)))) cfg).
  78
  79 axiom sem_move_to_end_l : ∀sig. move_to_end sig L ⊨ R_move_to_end_l sig.
  80 axiom accRealize_to_Realize :
  81   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
  82   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
  83
  84 lemma eq_mk_tape_rightof :
  85  ∀alpha,a,al.mk_tape alpha (a::al) (None ?) [ ] = rightof ? a al.
  86 #alpha #a #al %
  87 qed.
  88
  89 axiom daemon : ∀P:Prop.P.
  90
  91 definition option_cons ≝ λsig.λc:option sig.λl.
  92   match c with [ None ⇒ l | Some c0 ⇒ c0::l ].
  93
  94 lemma tape_move_mk_tape_R :
  95   ∀sig,ls,c,rs.
  96   (c = None ? → ls = [ ] ∨ rs = [ ]) →
  97   tape_move ? (mk_tape sig ls c rs) R =
  98   mk_tape ? (option_cons ? c ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs).
  99 #sig * [ * [ * | #c * ] | #l0 #ls0 * [ *
 100 [| #r0 #rs0 #H @False_ind cases (H (refl ??)) #H1 destruct (H1) ] | #c * ] ]
 101 normalize //
 102 qed.
 103
 104 lemma sem_obj_to_cfg : obj_to_cfg ⊨  R_obj_to_cfg.
 105 @(sem_seq_app FSUnialpha 2 ????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 106    (sem_seq ??????
 107     (sem_if ??????????
 108      (sem_test_null_multi ?? obj ?)
 109       (sem_seq ?????? (accRealize_to_Realize … (sem_copy_step …))
 110        (sem_move_multi ? 2 cfg L ?))
 111       (sem_inject ???? cfg ? (sem_write FSUnialpha null)))
 112      (sem_seq ?????? (sem_inject ???? cfg ? (sem_move_to_end_l ?))
 113        (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)))) //
 114 #ta #tb *
 115 #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc *
 116 #td * *
 117 [ * #te * * #Hcurtc #Hte
 118   * destruct (Hte) #te * *
 119   [ whd in ⊢ (%→%→?); * #x * #y * * -Hcurtc #Hcurtc1 #Hcurtc2 #Hte #Htd
 120     * #tf * * * whd in ⊢ (%→%→%→%→?); #Htf1 #Htf2 #Htf3 #Htb
 121     #c #ls #Hta1 %
 122     [ #lso #x0 #rso #Hta2 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 123       whd in match (tape_move ???); #Htc
 124       cut (tf = change_vec ?? tc (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[x])) cfg)
 125       [@daemon] -Htf1 -Htf2 -Htf3 #Htf destruct (Htf Hte Htd Htc Htb)
 126       >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 127       >nth_change_vec // >tape_move_mk_tape_R
 128       @daemon
 129     | #Hta2 >Htc in Hcurtc1; >nth_change_vec_neq [| @sym_not_eq //]
 130       >Hta2 #H destruct (H)
 131     ]
 132   | * #Hcurtc0 #Hte #_ #_ #c #ls #Hta1 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 133     whd in match (tape_move ???); #Htc >Htc in Hcurtc0; *
 134     [ >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 135       #Hcurtc #Hcurtc0 >Hcurtc0 in Hcurtc; * #H @False_ind @H %
 136     | >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 137   ]
 138 | * #te * * #Hcurtc #Hte
 139   * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd1 #Htd2
 140   * #tf * * * #Htf1 #Htf2 #Htf3 whd in ⊢ (%→?); #Htb
 141   #c #ls #Hta1 %
 142   [ #lso #x #rso #Hta2 >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 143     >Hta2 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 144   | #_ >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 145     destruct (Hte) cut (td = change_vec ?? tc (midtape ? ls null []) cfg)
 146     [@daemon] -Htd1 -Htd2 #Htd
 147     -Htf1 cut (tf = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[null])) cfg)
 148     [@daemon] -Htf2 -Htf3 #Htf destruct (Htf Htd Htc Htb)
 149     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 150     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 151     >reverse_cons >tape_move_mk_tape_R /2/ ]
 152 ]
 153 qed.
 154
 155 definition test_null_char ≝ test_char FSUnialpha (λc.c == null).
 156
 157 definition R_test_null_char_true ≝ λt1,t2.
 158   current FSUnialpha t1 = Some ? null ∧ t1 = t2.
 159
 160 definition R_test_null_char_false ≝ λt1,t2.
 161   current FSUnialpha t1 ≠ Some ? null ∧ t1 = t2.
 162
 163 lemma sem_test_null_char :
 164   test_null_char ⊨ [ tc_true : R_test_null_char_true, R_test_null_char_false].
 165 #t1 cases (sem_test_char FSUnialpha (λc.c == null) t1) #k * #outc * * #Hloop #Htrue
 166 #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
 167 [ @Hloop
 168 | #Houtc cases (Htrue ?) [| @Houtc] * #c * #Hcurt1 #Hcnull lapply (\P Hcnull)
 169   -Hcnull #H destruct (H) #Houtc1 %
 170   [ @Hcurt1 | <Houtc1 % ] ]
 171 | #Houtc cases (Hfalse ?) [| @Houtc] #Hc #Houtc %
 172   [ % #Hcurt1 >Hcurt1 in Hc; #Hc lapply (Hc ? (refl ??))
 173     >(?:((null:FSUnialpha) == null) = true) [|@(\b (refl ??)) ]
 174     #H destruct (H)
 175   | <Houtc % ] ]
 176 qed.
 177
 178 definition cfg_to_obj ≝
 179   mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
 180   (ifTM ?? (inject_TM ? test_null_char 2 cfg)
 181     (nop ? 2)
 182     (copy_step cfg obj FSUnialpha 2 ·
 183      mmove cfg FSUnialpha 2 L)
 184      tc_true) ·
 185   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
 186   mmove cfg FSUnialpha 2 R.
 187
 188 definition R_cfg_to_obj ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 189   ∀c,ls.
 190   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
 191   (c = null →
 192    t2 = change_vec ?? t1
 193          (mk_tape ? [ ] (option_hd FSUnialpha (reverse ? (c::ls)))
 194            (tail ? (reverse ? (c::ls)))) cfg) ∧
 195   (c ≠ null →
 196    t2 = change_vec ??
 197           (change_vec ?? t1
 198              (midtape ? (left ? (nth obj ? t1 (niltape ?))) c (right ? (nth obj ? t1 (niltape ?)))) obj)
 199           (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (reverse ? (c::ls))) (tail ? (reverse ? (c::ls)))) cfg).
 200
 201 axiom sem_cfg_to_obj : obj_to_cfg ⊨  R_obj_to_cfg.
 202 (*@(sem_seq_app FSUnialpha 2 ????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 203    (sem_seq ??????
 204     (sem_if ??????????
 205      (sem_test_null_multi ?? obj ?)
 206       (sem_seq ?????? (accRealize_to_Realize … (sem_copy_step …))
 207        (sem_move_multi ? 2 cfg L ?))
 208       (sem_inject ???? cfg ? (sem_write FSUnialpha null)))
 209      (sem_seq ?????? (sem_inject ???? cfg ? (sem_move_to_end_l ?))
 210        (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)))) //
 211 #ta #tb *
 212 #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc *
 213 #td * *
 214 [ * #te * * #Hcurtc #Hte
 215   * destruct (Hte) #te * *
 216   [ whd in ⊢ (%→%→?); * #x * #y * * -Hcurtc #Hcurtc1 #Hcurtc2 #Hte #Htd
 217     * #tf * * * whd in ⊢ (%→%→%→%→?); #Htf1 #Htf2 #Htf3 #Htb
 218     #c #ls #Hta1 %
 219     [ #lso #x0 #rso #Hta2 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 220       whd in match (tape_move ???); #Htc
 221       cut (tf = change_vec ?? tc (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[x])) cfg)
 222       [@daemon] -Htf1 -Htf2 -Htf3 #Htf destruct (Htf Hte Htd Htc Htb)
 223       >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 224       >nth_change_vec // >tape_move_mk_tape_R
 225       @daemon
 226     | #Hta2 >Htc in Hcurtc1; >nth_change_vec_neq [| @sym_not_eq //]
 227       >Hta2 #H destruct (H)
 228     ]
 229   | * #Hcurtc0 #Hte #_ #_ #c #ls #Hta1 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 230     whd in match (tape_move ???); #Htc >Htc in Hcurtc0; *
 231     [ >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 232       #Hcurtc #Hcurtc0 >Hcurtc0 in Hcurtc; * #H @False_ind @H %
 233     | >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 234   ]
 235 | * #te * * #Hcurtc #Hte
 236   * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd1 #Htd2
 237   * #tf * * * #Htf1 #Htf2 #Htf3 whd in ⊢ (%→?); #Htb
 238   #c #ls #Hta1 %
 239   [ #lso #x #rso #Hta2 >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 240     >Hta2 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 241   | #_ >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 242     destruct (Hte) cut (td = change_vec ?? tc (midtape ? ls null []) cfg)
 243     [@daemon] -Htd1 -Htd2 #Htd
 244     -Htf1 cut (tf = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[null])) cfg)
 245     [@daemon] -Htf2 -Htf3 #Htf destruct (Htf Htd Htc Htb)
 246     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 247     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 248     >reverse_cons >tape_move_mk_tape_R /2/ ]
 249 ]
 250 qed.
 251 *)
 252
 253 (* macchina che muove il nastro obj a destra o sinistra a seconda del valore
 254    del current di prg, che codifica la direzione in cui ci muoviamo *)
 255
 256 axiom tape_move_obj : mTM FSUnialpha 2.
 257
 258 definition unistep ≝
 259   obj_to_cfg · match_m cfg prg FSUnialpha 2 · copy prg cfg FSUnialpha 2 ·
 260    cfg_to_obj · tape_move_obj.