matita/matita/lib/turing/multi_universal/unistep_aux.ma

   1 (*
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   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
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   7     ||A||
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   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  13 include "turing/multi_universal/match.ma".
  14 include "turing/multi_universal/copy.ma".
  15 include "turing/multi_universal/alphabet.ma".
  16
  17 (*
  18
  19   in.obj : ...  x ...
  20                 ^
  21   in.cfg : ...  ? ? ...
  22                     ^
  23
  24   out.cfg : ... 1 x ...
  25                   ^
  26
  27   ---------------------
  28   current (in.obj) = None
  29
  30   in.cfg : ...  ? ? ...
  31                     ^
  32
  33   out.cfg : ... 0 0 ...
  34                   ^
  35
  36   obj_to_cfg ≝
  37     move_l(cfg);
  38     move_l(cfg);
  39     (if (current(in.obj)) == None
  40        then write(0,cfg);
  41             move_r(cfg);
  42             write(0,cfg);
  43        else write(1,cfg);
  44             move_r(cfg);
  45             copy_step(obj,cfg);
  46             move_l(obj);)
  47     move_to_end_l(cfg);
  48     move_r(cfg);
  49
  50
  51   cfg_to_obj
  52 *)
  53
  54 definition obj ≝ (0:DeqNat).
  55 definition cfg ≝ (1:DeqNat).
  56 definition prg ≝ (2:DeqNat).
  57
  58 definition obj_to_cfg ≝
  59   mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
  60   (ifTM ?? (inject_TM ? (test_null ?) 2 obj)
  61     (copy_step obj cfg FSUnialpha 2 ·
  62      mmove cfg FSUnialpha 2 L)
  63     (inject_TM ? (write FSUnialpha null) 2 cfg)
  64      tc_true) ·
  65   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
  66   mmove cfg FSUnialpha 2 R.
  67
  68 definition R_obj_to_cfg ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
  69   ∀c,ls.
  70   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
  71   (∀lso,x,rso.nth obj ? t1 (niltape ?) = midtape FSUnialpha lso x rso →
  72    t2 = change_vec ?? t1
  73          (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (reverse ? (c::ls))) (tail ? (reverse ? (c::ls)))) cfg) ∧
  74   (current ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) = None ? →
  75    t2 = change_vec ?? t1
  76          (mk_tape ? [ ] (option_hd FSUnialpha (reverse ? (null::ls)))
  77            (tail ? (reverse ? (null::ls)))) cfg).
  78
  79 axiom sem_move_to_end_l : ∀sig. move_to_end sig L ⊨ R_move_to_end_l sig.
  80 axiom accRealize_to_Realize :
  81   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
  82   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
  83
  84 lemma eq_mk_tape_rightof :
  85  ∀alpha,a,al.mk_tape alpha (a::al) (None ?) [ ] = rightof ? a al.
  86 #alpha #a #al %
  87 qed.
  88
  89 axiom daemon : ∀P:Prop.P.
  90
  91 definition option_cons ≝ λsig.λc:option sig.λl.
  92   match c with [ None ⇒ l | Some c0 ⇒ c0::l ].
  93
  94 lemma tape_move_mk_tape_R :
  95   ∀sig,ls,c,rs.
  96   (c = None ? → ls = [ ] ∨ rs = [ ]) →
  97   tape_move ? (mk_tape sig ls c rs) R =
  98   mk_tape ? (option_cons ? c ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs).
  99 #sig * [ * [ * | #c * ] | #l0 #ls0 * [ *
 100 [| #r0 #rs0 #H @False_ind cases (H (refl ??)) #H1 destruct (H1) ] | #c * ] ]
 101 normalize //
 102 qed.
 103
 104 lemma sem_obj_to_cfg : obj_to_cfg ⊨  R_obj_to_cfg.
 105 @(sem_seq_app FSUnialpha 2 ????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 106    (sem_seq ??????
 107     (sem_if ??????????
 108      (sem_test_null_multi ?? obj ?)
 109       (sem_seq ?????? (accRealize_to_Realize … (sem_copy_step …))
 110        (sem_move_multi ? 2 cfg L ?))
 111       (sem_inject ???? cfg ? (sem_write FSUnialpha null)))
 112      (sem_seq ?????? (sem_inject ???? cfg ? (sem_move_to_end_l ?))
 113        (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)))) //
 114 #ta #tb *
 115 #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc *
 116 #td * *
 117 [ * #te * * #Hcurtc #Hte
 118   * destruct (Hte) #te * *
 119   [ whd in ⊢ (%→%→?); * #x * #y * * -Hcurtc #Hcurtc1 #Hcurtc2 #Hte #Htd
 120     * #tf * * * whd in ⊢ (%→%→%→%→?); #Htf1 #Htf2 #Htf3 #Htb
 121     #c #ls #Hta1 %
 122     [ #lso #x0 #rso #Hta2 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 123       whd in match (tape_move ???); #Htc
 124       cut (tf = change_vec ?? tc (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[x])) cfg)
 125       [@daemon] -Htf1 -Htf2 -Htf3 #Htf destruct (Htf Hte Htd Htc Htb)
 126       >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 127       >nth_change_vec // >tape_move_mk_tape_R
 128       @daemon
 129     | #Hta2 >Htc in Hcurtc1; >nth_change_vec_neq [| @sym_not_eq //]
 130       >Hta2 #H destruct (H)
 131     ]
 132   | * #Hcurtc0 #Hte #_ #_ #c #ls #Hta1 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 133     whd in match (tape_move ???); #Htc >Htc in Hcurtc0; *
 134     [ >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 135       #Hcurtc #Hcurtc0 >Hcurtc0 in Hcurtc; * #H @False_ind @H %
 136     | >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 137   ]
 138 | * #te * * #Hcurtc #Hte
 139   * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd1 #Htd2
 140   * #tf * * * #Htf1 #Htf2 #Htf3 whd in ⊢ (%→?); #Htb
 141   #c #ls #Hta1 %
 142   [ #lso #x #rso #Hta2 >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 143     >Hta2 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 144   | #_ >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 145     destruct (Hte) cut (td = change_vec ?? tc (midtape ? ls null []) cfg)
 146     [@daemon] -Htd1 -Htd2 #Htd
 147     -Htf1 cut (tf = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[null])) cfg)
 148     [@daemon] -Htf2 -Htf3 #Htf destruct (Htf Htd Htc Htb)
 149     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 150     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 151     >reverse_cons >tape_move_mk_tape_R /2/ ]
 152 ]
 153 qed.
 154
 155 lemma wsem_copy : ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 156   copy src dst sig n ⊫ R_copy src dst sig n.
 157 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 158 lapply (sem_while … (sem_copy_step src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 159 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 160 [ whd in ⊢ (%→?); * #Hnone #Hout %
 161   [#_ @Hout
 162   |#ls #x #x0 #rs #ls0 #rs0 #Hsrc1 #Hdst1 @False_ind cases Hnone
 163     [>Hsrc1 normalize #H destruct (H) | >Hdst1 normalize #H destruct (H)]
 164   ]
 165 |#tc #td * #x * #y * * #Hcx #Hcy #Htd #Hstar #IH #He lapply (IH He) -IH *
 166  #IH1 #IH2 %
 167   [* [>Hcx #H destruct (H) | >Hcy #H destruct (H)]
 168   |#ls #x' #y' #rs #ls0 #rs0 #Hnth_src #Hnth_dst
 169    >Hnth_src in Hcx; whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 170    >Hnth_dst in Hcy; whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 171    >Hnth_src in Htd; >Hnth_dst -Hnth_src -Hnth_dst
 172    cases rs
 173     [(* the source tape is empty after the move *)
 174      #Htd lapply (IH1 ?)
 175       [%1 >Htd >nth_change_vec_neq [2:@(not_to_not … Hneq) //] >nth_change_vec //]
 176      #Hout (* whd in match (tape_move ???); *) %1 %{([])} %{rs0} %
 177       [% [// | // ]
 178       |whd in match (reverse ??); whd in match (reverse ??);
 179        >Hout >Htd @eq_f2 // cases rs0 //
 180       ]
 181     |#c1 #tl1 cases rs0
 182       [(* the dst tape is empty after the move *)
 183        #Htd lapply (IH1 ?) [%2 >Htd >nth_change_vec //]
 184        #Hout (* whd in match (tape_move ???); *) %2 %{[ ]} %{(c1::tl1)} %
 185         [% [// | // ]
 186         |whd in match (reverse ??); whd in match (reverse ??);
 187          >Hout >Htd @eq_f2 //
 188         ]
 189       |#c2 #tl2 whd in match (tape_move_mono ???); whd in match (tape_move_mono ???);
 190        #Htd
 191        cut (nth src (tape sig) td (niltape sig)=midtape sig (x::ls) c1 tl1)
 192          [>Htd >nth_change_vec_neq [2:@(not_to_not … Hneq) //] @nth_change_vec //]
 193        #Hsrc_td
 194        cut (nth dst (tape sig) td (niltape sig)=midtape sig (x::ls0) c2 tl2)
 195          [>Htd @nth_change_vec //]
 196        #Hdst_td cases (IH2 … Hsrc_td Hdst_td) -Hsrc_td -Hdst_td
 197         [* #rs01 * #rs02 * * #H1 #H2 #H3 %1
 198          %{(c2::rs01)} %{rs02} % [% [@eq_f //|normalize @eq_f @H2]]
 199          >Htd in H3; >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 200          >change_vec_commute [2:@(not_to_not … Hneq) //] >change_vec_change_vec
 201          #H >reverse_cons >associative_append >associative_append @H
 202         |* #rs11 * #rs12 * * #H1 #H2 #H3 %2
 203          %{(c1::rs11)} %{rs12} % [% [@eq_f //|normalize @eq_f @H2]]
 204          >Htd in H3; >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 205          >change_vec_commute [2:@(not_to_not … Hneq) //] >change_vec_change_vec
 206          #H >reverse_cons >associative_append >associative_append @H
 207         ]
 208       ]
 209     ]
 210   ]
 211 qed.
 212
 213
 214 lemma terminate_copy :  ∀src,dst,sig,n,t.
 215   src ≠ dst → src < S n → dst < S n → copy src dst sig n ↓ t.
 216 #src #dst #sig #n #t #Hneq #Hsrc #Hdts
 217 @(terminate_while … (sem_copy_step …)) //
 218 <(change_vec_same … t src (niltape ?))
 219 cases (nth src (tape sig) t (niltape ?))
 220 [ % #t1 * #x * #y * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
 221 |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #x * #y * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
 222 | #ls #c #rs lapply c -c lapply ls -ls lapply t -t elim rs
 223   [#t #ls #c % #t1 * #x * #y * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?);
 224    #H1 destruct (H1) #_ >change_vec_change_vec #Ht1 %
 225    #t2 * #x0 * #y0 * * >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 226    >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 227   |#r0 #rs0 #IH #t #ls #c % #t1 * #x * #y * * >nth_change_vec //
 228    normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) #Hcur
 229    >change_vec_change_vec >change_vec_commute // #Ht1 >Ht1 @IH
 230   ]
 231 ]
 232 qed.
 233
 234 lemma sem_copy : ∀src,dst,sig,n.
 235   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 236   copy src dst sig n ⊨ R_copy src dst sig n.
 237 #i #j #sig #n #Hneq #Hi #Hj @WRealize_to_Realize [/2/| @wsem_copy // ]
 238 qed.