matita/matita/lib/turing/multi_universal/unistep_aux.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  13 include "turing/multi_universal/match.ma".
  14 include "turing/multi_universal/copy.ma".
  15 include "turing/multi_universal/alphabet.ma".
  16 include "turing/multi_universal/tuples.ma".
  17
  18 (*
  19
  20   in.obj : ...  x ...
  21                 ^
  22   in.cfg : ...  ? ? ...
  23                     ^
  24
  25   out.cfg : ... 1 x ...
  26                   ^
  27
  28   ---------------------
  29   current (in.obj) = None
  30
  31   in.cfg : ...  ? ? ...
  32                     ^
  33
  34   out.cfg : ... 0 0 ...
  35                   ^
  36
  37   obj_to_cfg ≝
  38     move_l(cfg);
  39     move_l(cfg);
  40     (if (current(in.obj)) == None
  41        then write(0,cfg);
  42             move_r(cfg);
  43             write(0,cfg);
  44        else write(1,cfg);
  45             move_r(cfg);
  46             copy_step(obj,cfg);
  47             move_l(obj);)
  48     move_to_end_l(cfg);
  49     move_r(cfg);
  50
  51
  52   cfg_to_obj
  53 *)
  54
  55 definition obj ≝ (0:DeqNat).
  56 definition cfg ≝ (1:DeqNat).
  57 definition prg ≝ (2:DeqNat).
  58
  59 definition obj_to_cfg ≝
  60   mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
  61   (ifTM ?? (inject_TM ? (test_null ?) 2 obj)
  62     (copy_step obj cfg FSUnialpha 2 ·
  63      mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
  64      mmove obj FSUnialpha 2 L)
  65     (inject_TM ? (write FSUnialpha null) 2 cfg)
  66      tc_true) ·
  67   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
  68   mmove cfg FSUnialpha 2 R.
  69
  70 definition R_obj_to_cfg ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
  71   ∀c,ls.
  72   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
  73   (∀lso,x,rso.nth obj ? t1 (niltape ?) = midtape FSUnialpha lso x rso →
  74    t2 = change_vec ?? t1
  75          (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (reverse ? (x::ls))) (tail ? (reverse ? (x::ls)))) cfg) ∧
  76   (current ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) = None ? →
  77    t2 = change_vec ?? t1
  78          (mk_tape ? [ ] (option_hd FSUnialpha (reverse ? (null::ls)))
  79            (tail ? (reverse ? (null::ls)))) cfg).
  80
  81 axiom sem_move_to_end_l : ∀sig. move_to_end sig L ⊨ R_move_to_end_l sig.
  82 axiom accRealize_to_Realize :
  83   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
  84   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
  85
  86 lemma eq_mk_tape_rightof :
  87  ∀alpha,a,al.mk_tape alpha (a::al) (None ?) [ ] = rightof ? a al.
  88 #alpha #a #al %
  89 qed.
  90
  91 axiom daemon : ∀P:Prop.P.
  92
  93 definition option_cons ≝ λsig.λc:option sig.λl.
  94   match c with [ None ⇒ l | Some c0 ⇒ c0::l ].
  95
  96 lemma tape_move_mk_tape_R :
  97   ∀sig,ls,c,rs.
  98   (c = None ? → ls = [ ] ∨ rs = [ ]) →
  99   tape_move ? (mk_tape sig ls c rs) R =
 100   mk_tape ? (option_cons ? c ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs).
 101 #sig * [ * [ * | #c * ] | #l0 #ls0 * [ *
 102 [| #r0 #rs0 #H @False_ind cases (H (refl ??)) #H1 destruct (H1) ] | #c * ] ]
 103 normalize //
 104 qed.
 105
 106 lemma sem_obj_to_cfg : obj_to_cfg ⊨  R_obj_to_cfg.
 107 @(sem_seq_app FSUnialpha 2 ????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 108    (sem_seq ??????
 109     (sem_if ??????????
 110      (sem_test_null_multi ?? obj ?)
 111       (sem_seq ?????? (accRealize_to_Realize … (sem_copy_step …))
 112        (sem_seq ?????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 113         (sem_move_multi ? 2 obj L ?)))
 114       (sem_inject ???? cfg ? (sem_write FSUnialpha null)))
 115      (sem_seq ?????? (sem_inject ???? cfg ? (sem_move_to_end_l ?))
 116        (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)))) //
 117 #ta #tb *
 118 #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc *
 119 #td * *
 120 [ * #te * * #Hcurtc #Hte
 121   * destruct (Hte) #te * *
 122   [ whd in ⊢ (%→%→?); * #x * #y * * -Hcurtc #Hcurtc1 #Hcurtc2 #Hte
 123     * #tf * whd in ⊢ (%→%→?); #Htf #Htd
 124     * #tg * * * whd in ⊢ (%→%→%→%→?); #Htg1 #Htg2 #Htg3 #Htb
 125     #c #ls #Hta1 %
 126     [ #lso #x0 #rso #Hta2 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 127       whd in match (tape_move ???); #Htc
 128       cut (tg = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[x])) cfg)
 129       [@daemon] -Htg1 -Htg2 -Htg3 #Htg destruct (Htg Htf Hte Htd Htc Htb)
 130       >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 131       >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 132       >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 133       >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 134       >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 135       >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 136       >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] @eq_f3 //
 137       [ >Hta2 cases rso in Hta2; whd in match (tape_move_mono ???);
 138         [ #Hta2 whd in match (tape_move ???); <Hta2 @change_vec_same
 139         | #r1 #rs1 #Hta2 whd in match (tape_move ???); <Hta2 @change_vec_same ]
 140       | >tape_move_mk_tape_R [| #_ % %] >reverse_cons
 141         >nth_change_vec_neq in Hcurtc1; [|@sym_not_eq //] >Hta2
 142         normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) %
 143       ]
 144     | #Hta2 >Htc in Hcurtc1; >nth_change_vec_neq [| @sym_not_eq //]
 145       >Hta2 #H destruct (H)
 146     ]
 147   | * #Hcurtc0 #Hte #_ #_ #c #ls #Hta1 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 148     whd in match (tape_move ???); #Htc >Htc in Hcurtc0; *
 149     [ >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 150       #Hcurtc #Hcurtc0 >Hcurtc0 in Hcurtc; * #H @False_ind @H %
 151     | >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 152   ]
 153 | * #te * * #Hcurtc #Hte
 154   * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd1 #Htd2
 155   * #tf * * * #Htf1 #Htf2 #Htf3 whd in ⊢ (%→?); #Htb
 156   #c #ls #Hta1 %
 157   [ #lso #x #rso #Hta2 >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 158     >Hta2 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 159   | #_ >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 160     destruct (Hte) cut (td = change_vec ?? tc (midtape ? ls null []) cfg)
 161     [@daemon] -Htd1 -Htd2 #Htd
 162     -Htf1 cut (tf = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[null])) cfg)
 163     [@daemon] -Htf2 -Htf3 #Htf destruct (Htf Htd Htc Htb)
 164     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 165     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 166     >reverse_cons >tape_move_mk_tape_R /2/ ]
 167 ]
 168 qed.
 169
 170 definition test_null_char ≝ test_char FSUnialpha (λc.c == null).
 171
 172 definition R_test_null_char_true ≝ λt1,t2.
 173   current FSUnialpha t1 = Some ? null ∧ t1 = t2.
 174
 175 definition R_test_null_char_false ≝ λt1,t2.
 176   current FSUnialpha t1 ≠ Some ? null ∧ t1 = t2.
 177
 178 lemma sem_test_null_char :
 179   test_null_char ⊨ [ tc_true : R_test_null_char_true, R_test_null_char_false].
 180 #t1 cases (sem_test_char FSUnialpha (λc.c == null) t1) #k * #outc * * #Hloop #Htrue
 181 #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
 182 [ @Hloop
 183 | #Houtc cases (Htrue ?) [| @Houtc] * #c * #Hcurt1 #Hcnull lapply (\P Hcnull)
 184   -Hcnull #H destruct (H) #Houtc1 %
 185   [ @Hcurt1 | <Houtc1 % ] ]
 186 | #Houtc cases (Hfalse ?) [| @Houtc] #Hc #Houtc %
 187   [ % #Hcurt1 >Hcurt1 in Hc; #Hc lapply (Hc ? (refl ??))
 188     >(?:((null:FSUnialpha) == null) = true) [|@(\b (refl ??)) ]
 189     #H destruct (H)
 190   | <Houtc % ] ]
 191 qed.
 192
 193 definition cfg_to_obj ≝
 194   mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
 195   (ifTM ?? (inject_TM ? test_null_char 2 cfg)
 196     (nop ? 2)
 197     (copy_step cfg obj FSUnialpha 2 ·
 198      mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
 199      mmove obj FSUnialpha 2 L)
 200      tc_true) ·
 201   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
 202   mmove cfg FSUnialpha 2 R.
 203
 204 definition R_cfg_to_obj ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 205   ∀c,ls.
 206   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
 207   (c = null →
 208    t2 = change_vec ?? t1
 209          (mk_tape ? [ ] (option_hd FSUnialpha (reverse ? (c::ls)))
 210            (tail ? (reverse ? (c::ls)))) cfg) ∧
 211   (c ≠ null →
 212    t2 = change_vec ??
 213           (change_vec ?? t1
 214              (midtape ? (left ? (nth obj ? t1 (niltape ?))) c (right ? (nth obj ? t1 (niltape ?)))) obj)
 215           (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (reverse ? (c::ls))) (tail ? (reverse ? (c::ls)))) cfg).
 216
 217 lemma sem_cfg_to_obj : cfg_to_obj ⊨  R_cfg_to_obj.
 218 @(sem_seq_app FSUnialpha 2 ????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 219   (sem_seq ??????
 220    (sem_if ??????????
 221     (acc_sem_inject ?????? cfg ? sem_test_null_char)
 222     (sem_nop …)
 223     (sem_seq ?????? (accRealize_to_Realize … (sem_copy_step …))
 224      (sem_seq ?????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?) (sem_move_multi ? 2 obj L ?))))
 225    (sem_seq ?????? (sem_inject ???? cfg ? (sem_move_to_end_l ?))
 226     (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)))) // [@sym_not_eq //]
 227 #ta #tb *
 228 #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc *
 229 #td * *
 230 [ * #te * * * #Hcurtc #Hte1 #Hte2 whd in ⊢ (%→?); #Htd destruct (Htd)
 231   * #tf * * * #Htf1 #Htf2 #Htf3
 232   whd in ⊢ (%→?); #Htb
 233   #c #ls #Hta %
 234   [ #Hc >Hta in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 235     cut (te = tc) [@daemon] -Hte1 -Hte2 #Hte
 236     cut (tf = change_vec ? 3 te (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[c])) cfg)
 237     [@daemon] -Htf1 -Htf2 -Htf3 #Htf
 238     destruct (Htf Hte Htc Htb)
 239     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 240     >nth_change_vec // >tape_move_mk_tape_R [| #_ % % ]
 241     >reverse_cons %
 242   | #Hc >Hta in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 243     >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?);
 244     #H destruct (H) @False_ind cases Hc /2/ ]
 245 | * #te * * * #Hcurtc #Hte1 #Hte2
 246   * #tf * *
 247   [ (* purtroppo copy_step assume che la destinazione sia Some (almeno come semantica) *)
 248     STOP
 249     * #x * #y * * #Hcurte_cfg #Hcurte_obj #Htf
 250     * #tg * whd in ⊢ (%→%→?); #Htg #Htd
 251     * #th * * * #Hth1 #Hth2 #Hth3
 252     whd in ⊢ (%→%); #Htb
 253     #c #ls #Hta % #Hc
 254     [ >Hta in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 255       >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); >Hc
 256       * #H @False_ind /2/
 257     | >Hta in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 258       cut (te = tc) [@daemon] -Hte1 -Hte2 #Hte
 259 qed.
 260 *)
 261
 262 (* macchina che muove il nastro obj a destra o sinistra a seconda del valore
 263    del current di prg, che codifica la direzione in cui ci muoviamo *)
 264
 265 definition char_to_move ≝ λc.match c with
 266   [ bit b ⇒ if b then R else L
 267   | _ ⇒ N].
 268
 269 definition char_to_bit_option ≝ λc.match c with
 270   [ bit b ⇒ Some ? (bit b)
 271   | _ ⇒ None ?].
 272
 273 definition tape_move_obj : mTM FSUnialpha 2 ≝
 274   ifTM ??
 275    (inject_TM ? (test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit false)) 2 prg)
 276    (mmove obj FSUnialpha 2 L)
 277    (ifTM ??
 278     (inject_TM ? (test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit true)) 2 prg)
 279     (mmove obj FSUnialpha 2 R)
 280     (nop ??)
 281     tc_true)
 282    tc_true.
 283
 284 definition restart_tape ≝ λi.
 285   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 i ·
 286   mmove i FSUnialpha 2 R.
 287
 288 definition unistep ≝
 289   match_m cfg prg FSUnialpha 2 ·
 290   restart_tape cfg · copy prg cfg FSUnialpha 2 ·
 291   cfg_to_obj · tape_move_obj · restart_tape prg · obj_to_cfg.
 292
 293 (*
 294 definition legal_tape ≝ λn,l,h,t.
 295   ∃state,char,table.
 296   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar (state@[char]) →
 297   is_config n (bar::state@[char]) →
 298   nth prg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar table →
 299   bar::table = table_TM n l h → *)
 300
 301 definition list_of_tape ≝ λsig,t.
 302   left sig t@option_cons ? (current ? t) (right ? t).
 303
 304 definition low_char' ≝ λc.
 305   match c with
 306   [ None ⇒ null
 307   | Some b ⇒ if (is_bit b) then b else null
 308   ].
 309
 310 lemma low_char_option : ∀s.
 311   low_char' (option_map FinBool FSUnialpha bit s) = low_char s.
 312 * //
 313 qed.
 314
 315 definition R_unistep ≝ λn,l,h.λt1,t2: Vector ? 3.
 316   ∀state,char,table.
 317   (* cfg *)
 318   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar (state@[char]) →
 319   is_config n (bar::state@[char]) →
 320   (* prg *)
 321   nth prg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar table →
 322   bar::table = table_TM n l h →
 323   (* obj *)
 324   only_bits (list_of_tape ? (nth obj ? t1 (niltape ?))) →
 325   let conf ≝ (bar::state@[char]) in
 326   (∃ll,lr.bar::table = ll@conf@lr) →
 327 (*
 328     ∃nstate,nchar,m,t. tuple_encoding n h t = (conf@nstate@[nchar;m]) ∧
 329     mem ? t l ∧  *)
 330     ∀nstate,nchar,m,t.
 331     tuple_encoding n h t = (conf@nstate@[nchar;m])→
 332     mem ? t l →
 333     let new_obj ≝
 334      tape_move_mono ? (nth obj ? t1 (niltape ?))
 335        〈char_to_bit_option nchar,char_to_move m〉 in
 336     let next_char ≝ low_char' (current ? new_obj) in
 337     t2 =
 338       change_vec ??
 339         (change_vec ?? t1 (midtape ? [ ] bar (nstate@[next_char])) cfg)
 340         new_obj obj.
 341
 342 definition tape_map ≝ λA,B:FinSet.λf:A→B.λt.
 343   mk_tape B (map ?? f (left ? t))
 344     (option_map ?? f (current ? t))
 345     (map ?? f (right ? t)).
 346
 347 lemma map_list_of_tape: ∀A,B,f,t.
 348   list_of_tape B (tape_map ?? f t) = map ?? f (list_of_tape A t).
 349 #A #B #f * // normalize // #ls #c #rs <map_append %
 350 qed.
 351
 352 lemma low_char_current : ∀t.
 353   low_char' (current FSUnialpha (tape_map FinBool FSUnialpha bit t))
 354   = low_char (current FinBool t).
 355 * // qed.
 356
 357 definition low_tapes ≝ λM:normalTM.λc:nconfig (no_states M).Vector_of_list ?
 358   [tape_map ?? bit (ctape ?? c);
 359    midtape ? [ ] bar
 360     ((bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))@[low_char (current ? (ctape ?? c))]);
 361    midtape ? [ ] bar (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M)))
 362   ].
 363
 364 lemma obj_low_tapes: ∀M,c.
 365   nth obj ? (low_tapes M c) (niltape ?) = tape_map ?? bit (ctape ?? c).
 366 // qed.
 367
 368 lemma cfg_low_tapes: ∀M,c.
 369   nth cfg ? (low_tapes M c) (niltape ?) =
 370   midtape ? [ ] bar
 371     ((bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))@[low_char (current ? (ctape ?? c))]).
 372 // qed.
 373
 374 lemma prg_low_tapes: ∀M,c.
 375   nth prg ? (low_tapes M c) (niltape ?) =
 376   midtape ? [ ] bar (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M))).
 377 // qed.
 378
 379 (* commutation lemma for write *)
 380 lemma map_write: ∀t,cout.
 381  tape_write ? (tape_map FinBool ? bit t) (char_to_bit_option (low_char cout))
 382   = tape_map ?? bit (tape_write ? t cout).
 383 #t * // #b whd in match (char_to_bit_option ?);
 384 whd in ⊢ (??%%); @eq_f3 [elim t // | // | elim t //]
 385 qed.
 386
 387 (* commutation lemma for moves *)
 388 lemma map_move: ∀t,m.
 389  tape_move ? (tape_map FinBool ? bit t) (char_to_move (low_mv m))
 390   = tape_map ?? bit (tape_move ? t m).
 391 #t * // whd in match (char_to_move ?);
 392   [cases t // * // | cases t // #ls #a * //]
 393 qed.
 394
 395 (* commutation lemma for actions *)
 396 lemma map_action: ∀t,cout,m.
 397  tape_move ? (tape_write ? (tape_map FinBool ? bit t)
 398     (char_to_bit_option (low_char cout))) (char_to_move (low_mv m))
 399  = tape_map ?? bit (tape_move ? (tape_write ? t cout) m).
 400 #t #cout #m >map_write >map_move %
 401 qed.
 402
 403 lemma map_move_mono: ∀t,cout,m.
 404  tape_move_mono ? (tape_map FinBool ? bit t)
 405   〈char_to_bit_option (low_char cout), char_to_move (low_mv m)〉
 406  = tape_map ?? bit (tape_move_mono ? t 〈cout,m〉).
 407 @map_action
 408 qed.
 409
 410 definition R_unistep_high ≝ λM:normalTM.λc:nconfig (no_states M).λt1,t2.
 411   t1 = low_tapes M c →
 412   t2 = low_tapes M (step ? M c).
 413
 414 lemma R_unistep_equiv : ∀M,c,t1,t2.
 415   R_unistep (no_states M) (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M) t1 t2 →
 416   R_unistep_high M c t1 t2.
 417 #M #c #t1 #t2 #H #Ht1
 418 lapply (initial_bar ? (nhalt M) (graph_enum ?? (ntrans M)) (nTM_nog ?)) #Htable
 419 (* tup = current tuple *)
 420 cut (∃t.t = 〈〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉,
 421              ntrans M 〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉〉) [% //] * #tup #Htup
 422 (* tup is in the graph *)
 423 cut (mem ? tup (graph_enum ?? (ntrans M)))
 424   [@memb_to_mem >Htup @(graph_enum_complete … (ntrans M)) %] #Hingraph
 425 (* tupe target = 〈qout,cout,m〉 *)
 426 lapply (decomp_target ? (ntrans M 〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉))
 427 * #qout * #cout * #m #Htg >Htg in Htup; #Htup
 428 (* new config *)
 429 cut (step FinBool M c = mk_config ?? qout (tape_move ? (tape_write ? (ctape … c) cout) m))
 430   [>(config_expand … c) whd in ⊢ (??%?); (* >Htg ?? why not?? *)
 431    cut (trans ? M 〈cstate  … c, current ? (ctape … c)〉 = 〈qout,cout,m〉) [<Htg %] #Heq1
 432    >Heq1 %] #Hstep
 433 (* new state *)
 434 cut (cstate ?? (step FinBool M c) = qout) [>Hstep %] #Hnew_state
 435 (* new tape *)
 436 cut (ctape ?? (step FinBool M c) = tape_move ? (tape_write ? (ctape … c) cout) m)
 437   [>Hstep %] #Hnew_tape
 438 lapply(H (bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))
 439          (low_char (current ? (ctape ?? c)))
 440          (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M)))
 441          ??????)
 442 [<Htable
 443  lapply(list_to_table … (nhalt M) …Hingraph) * #ll * #lr #Htable1 %{ll}
 444  %{(((bits_of_state ? (nhalt M) qout)@[low_char cout;low_mv m])@lr)}
 445  >Htable1 @eq_f <associative_append @eq_f2 // >Htup
 446  whd in ⊢ (??%?); @eq_f >associative_append %
 447 |>Ht1 >obj_low_tapes >map_list_of_tape elim (list_of_tape ??)
 448   [#b @False_ind | #b #tl #Hind #a * [#Ha >Ha //| @Hind]]
 449 |@sym_eq @Htable
 450 |>Ht1 %
 451 |%{(bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))} %{(low_char (current ? (ctape ?? c)))}
 452  % [% [% [// | cases (current ??) normalize [|#b] % #Hd destruct (Hd)]
 453       |>length_map whd in match (length ??); @eq_f //]
 454    |//]
 455 |>Ht1 >cfg_low_tapes //] -H #H
 456 lapply(H (bits_of_state … (nhalt M) qout) (low_char … cout)
 457          (low_mv … m) tup ? Hingraph)
 458   [>Htup whd in ⊢ (??%?); @eq_f >associative_append %] -H
 459 #Ht2 >Ht2 @(eq_vec ? 3 … (niltape ?)) #i #Hi
 460 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 461   [cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 462     [cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 463       [@False_ind /2/
 464       |>Hi >obj_low_tapes >nth_change_vec //
 465        >Ht1 >obj_low_tapes >Hstep @map_action
 466       ]
 467     |>Hi >cfg_low_tapes >nth_change_vec_neq
 468       [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 469      >nth_change_vec // >Hnew_state @eq_f @eq_f >Hnew_tape
 470      @eq_f2 [|2:%] >Ht1 >obj_low_tapes >map_move_mono >low_char_current %
 471     ]
 472   |(* program tapes do not change *)
 473    >Hi >prg_low_tapes
 474    >nth_change_vec_neq [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 475    >nth_change_vec_neq [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 476    >Ht1 >prg_low_tapes //
 477   ]
 478 qed.
 479
 480
 481
 482