matita/matita/lib/turing/multi_universal/unistep_aux.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  13 include "turing/multi_universal/match.ma".
  14 include "turing/multi_universal/copy.ma".
  15 include "turing/multi_universal/alphabet.ma".
  16 include "turing/multi_universal/tuples.ma".
  17
  18 (*
  19
  20   in.obj : ...  x ...
  21                 ^
  22   in.cfg : ...  ? ? ...
  23                     ^
  24
  25   out.cfg : ... 1 x ...
  26                   ^
  27
  28   ---------------------
  29   current (in.obj) = None
  30
  31   in.cfg : ...  ? ? ...
  32                     ^
  33
  34   out.cfg : ... 0 0 ...
  35                   ^
  36
  37   obj_to_cfg ≝
  38     move_l(cfg);
  39     move_l(cfg);
  40     (if (current(in.obj)) == None
  41        then write(0,cfg);
  42             move_r(cfg);
  43             write(0,cfg);
  44        else write(1,cfg);
  45             move_r(cfg);
  46             copy_step(obj,cfg);
  47             move_l(obj);)
  48     move_to_end_l(cfg);
  49     move_r(cfg);
  50
  51
  52   cfg_to_obj
  53 *)
  54
  55 definition obj ≝ (0:DeqNat).
  56 definition cfg ≝ (1:DeqNat).
  57 definition prg ≝ (2:DeqNat).
  58
  59 definition obj_to_cfg ≝
  60   (ifTM ?? (inject_TM ? (test_null ?) 2 obj)
  61     (copy_char_N obj cfg FSUnialpha 2)
  62     (inject_TM ? (write FSUnialpha null) 2 cfg)
  63      tc_true) ·
  64   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
  65   mmove cfg FSUnialpha 2 R.
  66
  67 definition R_obj_to_cfg ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
  68   ∀c,ls.
  69   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? ls c [ ] →
  70   (∀lso,x,rso.nth obj ? t1 (niltape ?) = midtape FSUnialpha lso x rso →
  71    t2 = change_vec ?? t1
  72          (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (reverse ? (x::ls))) (tail ? (reverse ? (x::ls)))) cfg) ∧
  73   (current ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) = None ? →
  74    t2 = change_vec ?? t1
  75          (mk_tape ? [ ] (option_hd FSUnialpha (reverse ? (null::ls)))
  76            (tail ? (reverse ? (null::ls)))) cfg).
  77
  78 axiom accRealize_to_Realize :
  79   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
  80   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
  81
  82 lemma eq_mk_tape_rightof :
  83  ∀alpha,a,al.mk_tape alpha (a::al) (None ?) [ ] = rightof ? a al.
  84 #alpha #a #al %
  85 qed.
  86
  87 lemma tape_move_mk_tape_R :
  88   ∀sig,ls,c,rs.
  89   (c = None ? → ls = [ ] ∨ rs = [ ]) →
  90   tape_move ? (mk_tape sig ls c rs) R =
  91   mk_tape ? (option_cons ? c ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs).
  92 #sig * [ * [ * | #c * ] | #l0 #ls0 * [ *
  93 [| #r0 #rs0 #H @False_ind cases (H (refl ??)) #H1 destruct (H1) ] | #c * ] ]
  94 normalize //
  95 qed.
  96
  97 lemma eq_vec_change_vec : ∀sig,n.∀v1,v2:Vector sig n.∀i,t,d.
  98   nth i ? v2 d = t →
  99   (∀j.i ≠ j → nth j ? v1 d = nth j ? v2 d) →
 100   v2 = change_vec ?? v1 t i.
 101 #sig #n #v1 #v2 #i #t #d #H1 #H2 @(eq_vec … d)
 102 #i0 #Hlt cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hii0
 103 [ >Hii0 >nth_change_vec //
 104 | >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @H2 @sym_not_eq // ]
 105 qed.
 106
 107 lemma not_None_to_Some: ∀A.∀a. a ≠ None A → ∃b. a = Some ? b.
 108 #A * /2/ * #H @False_ind @H %
 109 qed.
 110
 111 lemma sem_obj_to_cfg : obj_to_cfg ⊨  R_obj_to_cfg.
 112 @(sem_seq_app FSUnialpha 2 ?????
 113   (sem_if ??????????
 114    (sem_test_null_multi ?? obj ?)
 115    (sem_copy_char_N …)
 116    (sem_inject ???? cfg ? (sem_write FSUnialpha null)))
 117   (sem_seq ?????? (sem_inject ???? cfg ? (sem_move_to_end_l ?))
 118     (sem_move_multi ? 2 cfg R ?))) //
 119 #ta #tout *
 120 #tb * #Hif * #tc * #HM2 #HM3 #c #ls #Hcfg
 121 (* Hif *)
 122 cases Hif -Hif
 123 [ * #t1 * * #Hcurta #Ht1 destruct (Ht1)
 124   lapply (not_None_to_Some … Hcurta) * #curta #Hcurtaeq
 125   whd in ⊢ (%→?); #Htb % [2: #Hcur @False_ind /2/]
 126   #lso #xo #rso #Hobjta cases HM2 whd in ⊢ (%→?); * #_
 127   #HM2 #Heq >Htb in HM2; >nth_change_vec [2: @leb_true_to_le %]
 128   >Hcfg >Hcurtaeq #HM2 lapply (HM2 … (refl ??)) -HM2
 129   whd in match (left ??); whd in match (right ??);
 130   >reverse_cons #Htc >HM3 @(eq_vec … (niltape ?)) #i #lei2
 131   cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei2))
 132   [#lei1 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei1))
 133     [#lei0 lapply(le_n_O_to_eq … (le_S_S_to_le …lei0)) #eqi <eqi
 134      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 135      <(Heq 0) [2:@eqb_false_to_not_eq %] >Htb
 136      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 137      >nth_change_vec_neq [%|2:@eqb_false_to_not_eq %]
 138     |#Hi >Hi >nth_change_vec // >nth_change_vec // >Htc
 139      >Hobjta in Hcurtaeq; whd in ⊢ (??%?→?); #Htmp destruct(Htmp)
 140      >tape_move_mk_tape_R [2: #_ %1 %] %
 141     ]
 142   |#Hi >Hi >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 143    >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 144    <(Heq 2) [2:@eqb_false_to_not_eq %] >Htb
 145    >nth_change_vec_neq [%|2:@eqb_false_to_not_eq %]
 146   ]
 147 | * #t1 * * #Hcurta #Ht1 destruct (Ht1)
 148   * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hcfg) -Htb #Htb
 149   #Htbeq %
 150     [#lso #xo #rso #Hmid @False_ind >Hmid in Hcurta;
 151      whd in ⊢ (??%?→?); #Htmp destruct (Htmp)]
 152   #_ cases HM2 whd in ⊢ (%→?); * #_
 153   #HM2 #Heq >Htb in HM2; #HM2 lapply (HM2 … (refl ??)) -HM2
 154   #Htc >HM3 @(eq_vec … (niltape ?)) #i #lei2
 155   cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei2))
 156   [#lei1 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei1))
 157     [#lei0 lapply(le_n_O_to_eq … (le_S_S_to_le …lei0)) #eqi <eqi
 158      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 159      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 160      <(Heq 0) [2:@eqb_false_to_not_eq %] >Htb
 161      <(Htbeq 0) [2:@eqb_false_to_not_eq %] %
 162     |#Hi >Hi >nth_change_vec // >nth_change_vec // >Htc
 163      >tape_move_mk_tape_R [2: #_ %1 %] >reverse_cons %
 164     ]
 165   |#Hi >Hi >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 166    >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 167    <(Heq 2) [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 168    <(Htbeq 2) [%|@eqb_false_to_not_eq %]
 169   ]
 170 ]
 171 qed.
 172
 173 definition test_null_char ≝ test_char FSUnialpha (λc.c == null).
 174
 175 definition R_test_null_char_true ≝ λt1,t2.
 176   current FSUnialpha t1 = Some ? null ∧ t1 = t2.
 177
 178 definition R_test_null_char_false ≝ λt1,t2.
 179   current FSUnialpha t1 ≠ Some ? null ∧ t1 = t2.
 180
 181 lemma sem_test_null_char :
 182   test_null_char ⊨ [ tc_true : R_test_null_char_true, R_test_null_char_false].
 183 #t1 cases (sem_test_char FSUnialpha (λc.c == null) t1) #k * #outc * * #Hloop #Htrue
 184 #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
 185 [ @Hloop
 186 | #Houtc cases (Htrue ?) [| @Houtc] * #c * #Hcurt1 #Hcnull lapply (\P Hcnull)
 187   -Hcnull #H destruct (H) #Houtc1 %
 188   [ @Hcurt1 | <Houtc1 % ] ]
 189 | #Houtc cases (Hfalse ?) [| @Houtc] #Hc #Houtc %
 190   [ % #Hcurt1 >Hcurt1 in Hc; #Hc lapply (Hc ? (refl ??))
 191     >(?:((null:FSUnialpha) == null) = true) [|@(\b (refl ??)) ]
 192     #H destruct (H)
 193   | <Houtc % ] ]
 194 qed.
 195
 196 definition cfg_to_obj ≝
 197   mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
 198   (ifTM ?? (inject_TM ? test_null_char 2 cfg)
 199     (nop ? 2)
 200     (copy_char_N cfg obj FSUnialpha 2)
 201     tc_true).
 202 (* ·
 203   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
 204   mmove cfg FSUnialpha 2 R. *)
 205
 206 definition R_cfg_to_obj ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 207   ∀c,ls.
 208   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
 209   (c = null → t2 = change_vec ?? t1 (midtape ? ls c [ ]) cfg) ∧
 210   (c ≠ null →
 211    t2 = change_vec ??
 212           (change_vec ?? t1
 213              (midtape ? (left ? (nth obj ? t1 (niltape ?))) c (right ? (nth obj ? t1 (niltape ?)))) obj)
 214           (midtape ? ls c [ ]) cfg).
 215
 216 lemma tape_move_mk_tape_L :
 217   ∀sig,ls,c,rs.
 218   (c = None ? → ls = [ ] ∨ rs = [ ]) →
 219   tape_move ? (mk_tape sig ls c rs) L =
 220   mk_tape ? (tail ? ls) (option_hd ? ls) (option_cons ? c rs).
 221 #sig * [ * [ * | #c * ] | #l0 #ls0 * [ *
 222 [| #r0 #rs0 #H @False_ind cases (H (refl ??)) #H1 destruct (H1) ] | #c * ] ]
 223 normalize //
 224 qed.
 225
 226 lemma sem_cfg_to_obj : cfg_to_obj ⊨  R_cfg_to_obj.
 227 @(sem_seq_app FSUnialpha 2 ????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 228   (sem_if ??????????
 229    (acc_sem_inject ?????? cfg ? sem_test_null_char)
 230    (sem_nop …)
 231    (sem_copy_char_N …)))
 232 // [@sym_not_eq //]
 233 #ta #tb *
 234 #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc *
 235 [ * #te * * * #Hcurtc #Hte1 #Hte2 whd in ⊢ (%→?); #Htb destruct (Htb)
 236   #c #ls #Hta %
 237   [ #Hc >Hta in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 238     cut (te = tc)
 239     [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? (sym_eq … Hte1) Hte2) >change_vec_same // ]
 240       -Hte1 -Hte2 #Hte //
 241     | #Hc >Hta in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 242       >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?);
 243       #H destruct (H) @False_ind cases Hc /2/ ]
 244 | * #te * * * #Hcurtc #Hte1 #Hte2
 245   whd in ⊢ (%→?); #Htb
 246   #c #ls #Hta % #Hc
 247   [ >Htc in Hcurtc; >Hta >nth_change_vec //
 248     normalize in ⊢ (%→?); * #H @False_ind /2/
 249   | cut (te = tc)
 250     [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? (sym_eq … Hte1) Hte2)
 251       >change_vec_same // ] -Hte1 -Hte2 #Hte destruct (Hte)
 252     >Hta in Htc; whd in match (tape_move ???); #Htc
 253     >Htc in Htb; >nth_change_vec //
 254     >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq //] >Hta
 255     #Htb @Htb
 256   ]
 257 qed.
 258
 259 definition char_to_move ≝ λc.match c with
 260   [ bit b ⇒ if b then R else L
 261   | _ ⇒ N].
 262
 263 definition char_to_bit_option ≝ λc.match c with
 264   [ bit b ⇒ Some ? (bit b)
 265   | _ ⇒ None ?].
 266
 267 definition R_cfg_to_obj1 ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 268   ∀c,ls.
 269   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
 270   c ≠ bar →
 271   let new_obj ≝
 272       tape_write ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) (char_to_bit_option c) in
 273     t2 = change_vec ??
 274           (change_vec ?? t1
 275             (tape_write ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) (char_to_bit_option c)) obj)
 276           (midtape ? ls c [ ]) cfg.
 277
 278 lemma sem_cfg_to_obj1: cfg_to_obj ⊨  R_cfg_to_obj1.
 279 @(Realize_to_Realize … sem_cfg_to_obj) #t1 #t2 #H #c #ls #Hcfg #Hbar
 280 cases (H c ls Hcfg) cases (true_or_false (c==null)) #Hc
 281   [#Ht2 #_ >(Ht2 (\P Hc)) -Ht2 @(eq_vec … (niltape ?))
 282    #i #lei2 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei2))
 283     [#lei1 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei1))
 284       [#lei0 lapply(le_n_O_to_eq … (le_S_S_to_le …lei0)) #eqi <eqi
 285        >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 286        >nth_change_vec_neq in ⊢ (???%); [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 287        >nth_change_vec // >(\P Hc) %
 288       |#Hi >Hi >nth_change_vec //
 289       ]
 290     |#Hi >Hi >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 291      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 292      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %] %
 293     ]
 294   |#_ #Ht2 >(Ht2 (\Pf Hc)) -Ht2 @(eq_vec … (niltape ?))
 295    #i #lei2 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei2))
 296     [#lei1 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lei1))
 297       [#lei0 lapply(le_n_O_to_eq … (le_S_S_to_le …lei0)) #eqi <eqi
 298        >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 299        >nth_change_vec_neq in ⊢ (???%); [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 300        >nth_change_vec // >nth_change_vec //
 301        lapply (\bf Hbar) lapply Hc elim c //
 302         [whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 303         |#_ whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 304         ]
 305       |#Hi >Hi >nth_change_vec //
 306       ]
 307     |#Hi >Hi >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 308      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %]
 309      >nth_change_vec_neq [2:@eqb_false_to_not_eq %] %
 310     ]
 311   ]
 312 qed.
 313
 314
 315 (* macchina che muove il nastro obj a destra o sinistra a seconda del valore
 316    del current di prg, che codifica la direzione in cui ci muoviamo *)
 317
 318 definition tape_move_obj : mTM FSUnialpha 2 ≝
 319   ifTM ??
 320    (inject_TM ? (test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit false)) 2 prg)
 321    (mmove obj FSUnialpha 2 L)
 322    (ifTM ??
 323     (inject_TM ? (test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit true)) 2 prg)
 324     (mmove obj FSUnialpha 2 R)
 325     (nop ??)
 326     tc_true)
 327    tc_true.
 328
 329 definition R_tape_move_obj' ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 330   (current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) = Some ? (bit false) →
 331    t2 = change_vec ?? t1 (tape_move ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) L) obj) ∧
 332   (current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) = Some ? (bit true) →
 333    t2 = change_vec ?? t1 (tape_move ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) R) obj) ∧
 334   (current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) ≠ Some ? (bit false) →
 335    current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) ≠ Some ? (bit true) →
 336    t2 = t1).
 337
 338 lemma sem_tape_move_obj' : tape_move_obj ⊨ R_tape_move_obj'.
 339 #ta cases (sem_if ??????????
 340   (acc_sem_inject ?????? prg ? (sem_test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit false)))
 341   (sem_move_multi ? 2 obj L ?)
 342   (sem_if ??????????
 343    (acc_sem_inject ?????? prg ? (sem_test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit true)))
 344    (sem_move_multi ? 2 obj R ?)
 345    (sem_nop …)) ta) //
 346 #i * #outc * #Hloop #HR %{i} %{outc} % [@Hloop] -i
 347 cases HR -HR
 348 [ * #tb * * * * #c * #Hcurta_prg #Hc lapply (\P Hc) -Hc #Hc #Htb1 #Htb2
 349   whd in ⊢ (%→%); #Houtc >Houtc -Houtc % [ %
 350   [ >Hcurta_prg #H destruct (H) >(?:tb = ta)
 351     [| lapply (eq_vec_change_vec ??????? Htb1 Htb2)
 352        >change_vec_same // ] %
 353   | >Hcurta_prg #H destruct (H) destruct (Hc) ]
 354   | >Hcurta_prg >Hc * #H @False_ind /2/ ]
 355 | * #tb * * * #Hnotfalse #Htb1 #Htb2 cut (tb = ta)
 356   [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? Htb1 Htb2)
 357      >change_vec_same // ] -Htb1 -Htb2 #Htb destruct (Htb) *
 358   [ * #tc * * * * #c * #Hcurta_prg #Hc lapply (\P Hc) -Hc #Hc #Htc1 #Htc2
 359     whd in ⊢ (%→%); #Houtc >Houtc -Houtc % [ %
 360     [ >Hcurta_prg #H destruct (H) destruct (Hc)
 361     | >Hcurta_prg #H destruct (H) >(?:tc = ta)
 362       [| lapply (eq_vec_change_vec ??????? Htc1 Htc2)
 363         >change_vec_same // ] % ]
 364     | >Hcurta_prg >Hc #_ * #H @False_ind /2/ ]
 365   | * #tc * * * #Hnottrue #Htc1 #Htc2 cut (tc = ta)
 366     [ lapply (eq_vec_change_vec ??????? Htc1 Htc2)
 367       >change_vec_same // ] -Htc1 -Htc2
 368     #Htc destruct (Htc) whd in ⊢ (%→?); #Houtc % [ %
 369     [ #Hcurta_prg lapply (\Pf (Hnotfalse ? Hcurta_prg)) * #H @False_ind /2/
 370     | #Hcurta_prg lapply (\Pf (Hnottrue ? Hcurta_prg)) * #H @False_ind /2/ ]
 371     | #_ #_ @Houtc ]
 372   ]
 373 ]
 374 qed.
 375
 376 definition R_tape_move_obj ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 377   ∀c. current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) = Some ? c →
 378   t2 = change_vec ?? t1 (tape_move ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) (char_to_move c)) obj.
 379
 380 lemma sem_tape_move_obj : tape_move_obj ⊨ R_tape_move_obj.
 381 @(Realize_to_Realize … sem_tape_move_obj')
 382 #ta #tb * * #Htb1 #Htb2 #Htb3 * [ *
 383 [ @Htb2 | @Htb1 ]
 384 | #Hcurta_prg change with (nth obj ? ta (niltape ?)) in match (tape_move ???);
 385   >change_vec_same @Htb3 >Hcurta_prg % #H destruct (H)
 386 | #Hcurta_prg change with (nth obj ? ta (niltape ?)) in match (tape_move ???);
 387   >change_vec_same @Htb3 >Hcurta_prg % #H destruct (H)
 388 ]
 389 qed.
 390
 391 definition list_of_tape ≝ λsig.λt:tape sig.
 392   reverse ? (left ? t)@option_cons ? (current ? t) (right ? t).
 393
 394 definition restart_tape ≝ λi,n.
 395   mmove i FSUnialpha n L ·
 396   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) n i ·
 397   mmove i FSUnialpha n R.
 398
 399 definition R_restart_tape ≝ λi,n.λint,outt:Vector (tape FSUnialpha) (S n).
 400    ∀t.t = nth i ? int (niltape ?) →
 401    outt = change_vec ?? int
 402     (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (list_of_tape ? t)) (tail ? (list_of_tape ? t))) i.
 403
 404 lemma sem_restart_tape : ∀i,n.i < S n → restart_tape i n ⊨ R_restart_tape i n.
 405 #i #n #Hleq
 406 @(sem_seq_app ??????? (sem_move_multi ? n i L ?)
 407   (sem_seq ?????? (sem_inject ???? i ? (sem_move_to_end_l ?))
 408    (sem_move_multi ? n i R ?))) [1,2,3:@le_S_S_to_le //]
 409 #ta #tb * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 410 * #td * * * #Htd1 #Htd2 #Htd3
 411 whd in ⊢ (%→?); #Htb *
 412 [ #Hta_i <Hta_i in Htc; whd in ⊢ (???(????%?)→?); #Htc
 413   cut (td = tc) [@daemon]
 414   (* >Htc in Htd1; >nth_change_vec // *) -Htd1 -Htd2 -Htd3
 415   #Htd >Htd in Htb; >Htc >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 416   #Htb >Htb %
 417 | #r0 #rs0 #Hta_i <Hta_i in Htc; whd in ⊢ (???(????%?)→?); #Htc
 418   cut (td = tc) [@daemon]
 419   (* >Htc in Htd1; >nth_change_vec // *) -Htd1 -Htd2 -Htd3
 420   #Htd >Htd in Htb; >Htc >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 421   #Htb >Htb %
 422 | #l0 #ls0 #Hta_i <Hta_i in Htc; whd in ⊢ (???(????%?)→?); #Htc
 423   cut (td = change_vec ?? tc (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls0@[l0])) i)
 424   [@daemon]
 425   #Htd >Htd in Htb; >Htc >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 426   >nth_change_vec // #Htb >Htb <(reverse_reverse ? ls0) in ⊢ (???%);
 427   cases (reverse ? ls0)
 428   [ %
 429   | #l1 #ls1 >reverse_cons
 430      >(?: list_of_tape ? (rightof ? l0 (reverse ? ls1@[l1])) =
 431           l1::ls1@[l0])
 432      [|change with (reverse ??@?) in ⊢ (??%?);
 433        whd in match (left ??); >reverse_cons >reverse_append
 434        whd in ⊢ (??%?); @eq_f >reverse_reverse normalize >append_nil % ] % ]
 435 | *
 436   [ #c #rs #Hta_i <Hta_i in Htc; whd in ⊢ (???(????%?)→?); #Htc
 437     cut (td = tc) [@daemon]
 438     (* >Htc in Htd1; >nth_change_vec // *) -Htd1 -Htd2 -Htd3
 439     #Htd >Htd in Htb; >Htc >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 440     #Htb >Htb %
 441   | #l0 #ls0 #c #rs #Hta_i <Hta_i in Htc; whd in ⊢ (???(????%?)→?); #Htc
 442     cut (td = change_vec ?? tc (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls0@l0::c::rs)) i)
 443     [@daemon]
 444     #Htd >Htd in Htb; >Htc >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 445     >nth_change_vec // #Htb >Htb <(reverse_reverse ? ls0) in ⊢ (???%);
 446     cases (reverse ? ls0)
 447     [ %
 448     | #l1 #ls1 >reverse_cons
 449       >(?: list_of_tape ? (midtape ? (l0::reverse ? ls1@[l1]) c rs) =
 450             l1::ls1@l0::c::rs)
 451       [|change with (reverse ??@?) in ⊢ (??%?);
 452         whd in match (left ??); >reverse_cons >reverse_append
 453         whd in ⊢ (??%?); @eq_f >reverse_reverse normalize
 454         >associative_append % ] % ]
 455   ]
 456 ]
 457 qed.
 458