matita/matita/lib/turing/multi_universal/unistep_aux.ma

   1 (*
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   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
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  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  13 include "turing/multi_universal/match.ma".
  14 include "turing/multi_universal/copy.ma".
  15 include "turing/multi_universal/alphabet.ma".
  16 include "turing/multi_universal/tuples.ma".
  17
  18 (*
  19
  20   in.obj : ...  x ...
  21                 ^
  22   in.cfg : ...  ? ? ...
  23                     ^
  24
  25   out.cfg : ... 1 x ...
  26                   ^
  27
  28   ---------------------
  29   current (in.obj) = None
  30
  31   in.cfg : ...  ? ? ...
  32                     ^
  33
  34   out.cfg : ... 0 0 ...
  35                   ^
  36
  37   obj_to_cfg ≝
  38     move_l(cfg);
  39     move_l(cfg);
  40     (if (current(in.obj)) == None
  41        then write(0,cfg);
  42             move_r(cfg);
  43             write(0,cfg);
  44        else write(1,cfg);
  45             move_r(cfg);
  46             copy_step(obj,cfg);
  47             move_l(obj);)
  48     move_to_end_l(cfg);
  49     move_r(cfg);
  50
  51
  52   cfg_to_obj
  53 *)
  54
  55 definition obj ≝ (0:DeqNat).
  56 definition cfg ≝ (1:DeqNat).
  57 definition prg ≝ (2:DeqNat).
  58
  59 definition obj_to_cfg ≝
  60   mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
  61   (ifTM ?? (inject_TM ? (test_null ?) 2 obj)
  62     (copy_step obj cfg FSUnialpha 2 ·
  63      mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
  64      mmove obj FSUnialpha 2 L)
  65     (inject_TM ? (write FSUnialpha null) 2 cfg)
  66      tc_true) ·
  67   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
  68   mmove cfg FSUnialpha 2 R.
  69
  70 definition R_obj_to_cfg ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
  71   ∀c,ls.
  72   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
  73   (∀lso,x,rso.nth obj ? t1 (niltape ?) = midtape FSUnialpha lso x rso →
  74    t2 = change_vec ?? t1
  75          (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (reverse ? (x::ls))) (tail ? (reverse ? (x::ls)))) cfg) ∧
  76   (current ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) = None ? →
  77    t2 = change_vec ?? t1
  78          (mk_tape ? [ ] (option_hd FSUnialpha (reverse ? (null::ls)))
  79            (tail ? (reverse ? (null::ls)))) cfg).
  80
  81 axiom sem_move_to_end_l : ∀sig. move_to_end sig L ⊨ R_move_to_end_l sig.
  82 axiom accRealize_to_Realize :
  83   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
  84   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
  85
  86 lemma eq_mk_tape_rightof :
  87  ∀alpha,a,al.mk_tape alpha (a::al) (None ?) [ ] = rightof ? a al.
  88 #alpha #a #al %
  89 qed.
  90
  91 axiom daemon : ∀P:Prop.P.
  92
  93 definition option_cons ≝ λsig.λc:option sig.λl.
  94   match c with [ None ⇒ l | Some c0 ⇒ c0::l ].
  95
  96 lemma tape_move_mk_tape_R :
  97   ∀sig,ls,c,rs.
  98   (c = None ? → ls = [ ] ∨ rs = [ ]) →
  99   tape_move ? (mk_tape sig ls c rs) R =
 100   mk_tape ? (option_cons ? c ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs).
 101 #sig * [ * [ * | #c * ] | #l0 #ls0 * [ *
 102 [| #r0 #rs0 #H @False_ind cases (H (refl ??)) #H1 destruct (H1) ] | #c * ] ]
 103 normalize //
 104 qed.
 105
 106 lemma sem_obj_to_cfg : obj_to_cfg ⊨  R_obj_to_cfg.
 107 @(sem_seq_app FSUnialpha 2 ????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 108    (sem_seq ??????
 109     (sem_if ??????????
 110      (sem_test_null_multi ?? obj ?)
 111       (sem_seq ?????? (accRealize_to_Realize … (sem_copy_step …))
 112        (sem_seq ?????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 113         (sem_move_multi ? 2 obj L ?)))
 114       (sem_inject ???? cfg ? (sem_write FSUnialpha null)))
 115      (sem_seq ?????? (sem_inject ???? cfg ? (sem_move_to_end_l ?))
 116        (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)))) //
 117 #ta #tb *
 118 #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc *
 119 #td * *
 120 [ * #te * * #Hcurtc #Hte
 121   * destruct (Hte) #te * *
 122   [ whd in ⊢ (%→%→?); * #x * #y * * -Hcurtc #Hcurtc1 #Hcurtc2 #Hte
 123     * #tf * whd in ⊢ (%→%→?); #Htf #Htd
 124     * #tg * * * whd in ⊢ (%→%→%→%→?); #Htg1 #Htg2 #Htg3 #Htb
 125     #c #ls #Hta1 %
 126     [ #lso #x0 #rso #Hta2 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 127       whd in match (tape_move ???); #Htc
 128       cut (tg = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[x])) cfg)
 129       [@daemon] -Htg1 -Htg2 -Htg3 #Htg destruct (Htg Htf Hte Htd Htc Htb)
 130       >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 131       >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 132       >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 133       >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 134       >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 135       >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 136       >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] @eq_f3 //
 137       [ >Hta2 cases rso in Hta2; whd in match (tape_move_mono ???);
 138         [ #Hta2 whd in match (tape_move ???); <Hta2 @change_vec_same
 139         | #r1 #rs1 #Hta2 whd in match (tape_move ???); <Hta2 @change_vec_same ]
 140       | >tape_move_mk_tape_R [| #_ % %] >reverse_cons
 141         >nth_change_vec_neq in Hcurtc1; [|@sym_not_eq //] >Hta2
 142         normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) %
 143       ]
 144     | #Hta2 >Htc in Hcurtc1; >nth_change_vec_neq [| @sym_not_eq //]
 145       >Hta2 #H destruct (H)
 146     ]
 147   | * #Hcurtc0 #Hte #_ #_ #c #ls #Hta1 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 148     whd in match (tape_move ???); #Htc >Htc in Hcurtc0; *
 149     [ >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 150       #Hcurtc #Hcurtc0 >Hcurtc0 in Hcurtc; * #H @False_ind @H %
 151     | >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 152   ]
 153 | * #te * * #Hcurtc #Hte
 154   * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd1 #Htd2
 155   * #tf * * * #Htf1 #Htf2 #Htf3 whd in ⊢ (%→?); #Htb
 156   #c #ls #Hta1 %
 157   [ #lso #x #rso #Hta2 >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 158     >Hta2 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 159   | #_ >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 160     destruct (Hte) cut (td = change_vec ?? tc (midtape ? ls null []) cfg)
 161     [@daemon] -Htd1 -Htd2 #Htd
 162     -Htf1 cut (tf = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[null])) cfg)
 163     [@daemon] -Htf2 -Htf3 #Htf destruct (Htf Htd Htc Htb)
 164     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 165     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 166     >reverse_cons >tape_move_mk_tape_R /2/ ]
 167 ]
 168 qed.
 169
 170 definition test_null_char ≝ test_char FSUnialpha (λc.c == null).
 171
 172 definition R_test_null_char_true ≝ λt1,t2.
 173   current FSUnialpha t1 = Some ? null ∧ t1 = t2.
 174
 175 definition R_test_null_char_false ≝ λt1,t2.
 176   current FSUnialpha t1 ≠ Some ? null ∧ t1 = t2.
 177
 178 lemma sem_test_null_char :
 179   test_null_char ⊨ [ tc_true : R_test_null_char_true, R_test_null_char_false].
 180 #t1 cases (sem_test_char FSUnialpha (λc.c == null) t1) #k * #outc * * #Hloop #Htrue
 181 #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
 182 [ @Hloop
 183 | #Houtc cases (Htrue ?) [| @Houtc] * #c * #Hcurt1 #Hcnull lapply (\P Hcnull)
 184   -Hcnull #H destruct (H) #Houtc1 %
 185   [ @Hcurt1 | <Houtc1 % ] ]
 186 | #Houtc cases (Hfalse ?) [| @Houtc] #Hc #Houtc %
 187   [ % #Hcurt1 >Hcurt1 in Hc; #Hc lapply (Hc ? (refl ??))
 188     >(?:((null:FSUnialpha) == null) = true) [|@(\b (refl ??)) ]
 189     #H destruct (H)
 190   | <Houtc % ] ]
 191 qed.
 192
 193 definition copy_char_states ≝ initN 3.
 194
 195 definition cc0 : copy_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
 196 definition cc1 : copy_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
 197
 198 definition trans_copy_char ≝
 199  λsrc,dst.λsig:FinSet.λn.
 200  λp:copy_char_states × (Vector (option sig) (S n)).
 201  let 〈q,a〉 ≝ p in
 202  match pi1 … q with
 203  [ O ⇒ 〈cc1,change_vec ? (S n)
 204            (change_vec ? (S n) (null_action ? n) (〈None ?,R〉) src)
 205            (〈nth src ? a (None ?),R〉) dst〉
 206  | S _ ⇒ 〈cc1,null_action ? n〉 ].
 207
 208 definition copy_char ≝
 209   λsrc,dst,sig,n.
 210   mk_mTM sig n copy_char_states (trans_copy_char src dst sig n)
 211     cc0 (λq.q == cc1).
 212
 213 definition R_copy_char ≝
 214   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 215   outt = change_vec ??
 216          (change_vec ?? int
 217           (tape_move_mono ? (nth src ? int (niltape ?)) 〈None ?, R〉) src)
 218           (tape_move_mono ? (nth dst ? int (niltape ?))
 219            〈current ? (nth src ? int (niltape ?)), R〉) dst.
 220
 221 lemma copy_char_q0_q1 :
 222   ∀src,dst,sig,n,v.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 223   step sig n (copy_char src dst sig n) (mk_mconfig ??? cc0 v) =
 224     mk_mconfig ??? cc1
 225      (change_vec ? (S n)
 226        (change_vec ?? v
 227          (tape_move_mono ? (nth src ? v (niltape ?)) 〈None ?, R〉) src)
 228             (tape_move_mono ? (nth dst ? v (niltape ?)) 〈current ? (nth src ? v (niltape ?)), R〉) dst).
 229 #src #dst #sig #n #v #Heq #Hsrc #Hdst
 230 whd in ⊢ (??%?);
 231 <(change_vec_same … v dst (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
 232 <(change_vec_same … v src (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
 233 >tape_move_multi_def @eq_f2 //
 234 >pmap_change >pmap_change <tape_move_multi_def
 235 >tape_move_null_action @eq_f2 // @eq_f2
 236 [ >change_vec_same %
 237 | >change_vec_same >change_vec_same // ]
 238 qed.
 239
 240 lemma sem_copy_char:
 241   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 242   copy_char src dst sig n ⊨ R_copy_char src dst sig n.
 243 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #int
 244 %{2} % [| % [ % | whd >copy_char_q0_q1 // ]]
 245 qed.
 246
 247 definition cfg_to_obj ≝
 248   mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
 249   (ifTM ?? (inject_TM ? test_null_char 2 cfg)
 250     (nop ? 2)
 251     (copy_char cfg obj FSUnialpha 2 ·
 252      mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
 253      mmove obj FSUnialpha 2 L)
 254      tc_true) ·
 255   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
 256   mmove cfg FSUnialpha 2 R.
 257
 258 definition R_cfg_to_obj ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 259   ∀c,ls.
 260   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
 261   (c = null →
 262    t2 = change_vec ?? t1
 263          (mk_tape ? [ ] (option_hd FSUnialpha (reverse ? (c::ls)))
 264            (tail ? (reverse ? (c::ls)))) cfg) ∧
 265   (c ≠ null →
 266    t2 = change_vec ??
 267           (change_vec ?? t1
 268              (midtape ? (left ? (nth obj ? t1 (niltape ?))) c (right ? (nth obj ? t1 (niltape ?)))) obj)
 269           (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (reverse ? (c::ls))) (tail ? (reverse ? (c::ls)))) cfg).
 270
 271 lemma sem_cfg_to_obj : cfg_to_obj ⊨  R_cfg_to_obj.
 272 @(sem_seq_app FSUnialpha 2 ????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 273   (sem_seq ??????
 274    (sem_if ??????????
 275     (acc_sem_inject ?????? cfg ? sem_test_null_char)
 276     (sem_nop …)
 277     (sem_seq ?????? (sem_copy_char …)
 278      (sem_seq ?????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?) (sem_move_multi ? 2 obj L ?))))
 279    (sem_seq ?????? (sem_inject ???? cfg ? (sem_move_to_end_l ?))
 280     (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)))) // [@sym_not_eq //]
 281 #ta #tb *
 282 #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc *
 283 #td * *
 284 [ * #te * * * #Hcurtc #Hte1 #Hte2 whd in ⊢ (%→?); #Htd destruct (Htd)
 285   * #tf * * * #Htf1 #Htf2 #Htf3
 286   whd in ⊢ (%→?); #Htb
 287   #c #ls #Hta %
 288   [ #Hc >Hta in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 289     cut (te = tc) [@daemon] -Hte1 -Hte2 #Hte
 290     cut (tf = change_vec ? 3 te (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[c])) cfg)
 291     [@daemon] -Htf1 -Htf2 -Htf3 #Htf
 292     destruct (Htf Hte Htc Htb)
 293     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 294     >nth_change_vec // >tape_move_mk_tape_R [| #_ % % ]
 295     >reverse_cons %
 296   | #Hc >Hta in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 297     >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?);
 298     #H destruct (H) @False_ind cases Hc /2/ ]
 299   * #tf * *
 300 | * #te * * * #Hcurtc #Hte1 #Hte2
 301   * #tf * whd in ⊢ (%→?); #Htf
 302   * #tg * whd in ⊢ (%→%→?); #Htg #Htd
 303   * #th * * * #Hth1 #Hth2 #Hth3
 304   whd in ⊢ (%→?); #Htb
 305   #c #ls #Hta % #Hc
 306   [ cut (te = tc) [ @daemon ] -Hte1 -Hte2 #Hte
 307     cut (th = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[c])) cfg)
 308     [@daemon] -Hth1 -Hth2 -Hth3 #Hth
 309     destruct (Hth Hte Hta Htb Htd Htg Htc Htf)
 310     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 311     >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 312     >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 313     >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 314     >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 315     >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 316     >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 317     @eq_f3 //
 318     [ >Hta2 cases rso in Hta2; whd in match (tape_move_mono ???);
 319       [ #Hta2 whd in match (tape_move ???); <Hta2 @change_vec_same
 320       | #r1 #rs1 #Hta2 whd in match (tape_move ???); <Hta2 @change_vec_same ]
 321     | >tape_move_mk_tape_R [| #_ % %] >reverse_cons
 322       >nth_change_vec_neq in Hcurtc1; [|@sym_not_eq //] >Hta2
 323       normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) %
 324     ]
 325
 326   #c #ls #Hta % #Hc
 327   [ >Hta in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 328       >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); >Hc
 329       * #H @False_ind /2/
 330     | >Hta in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 331       cut (te = tc) [@daemon] -Hte1 -Hte2 #Hte
 332 qed.
 333 *)
 334
 335 (* macchina che muove il nastro obj a destra o sinistra a seconda del valore
 336    del current di prg, che codifica la direzione in cui ci muoviamo *)
 337
 338 definition char_to_move ≝ λc.match c with
 339   [ bit b ⇒ if b then R else L
 340   | _ ⇒ N].
 341
 342 definition char_to_bit_option ≝ λc.match c with
 343   [ bit b ⇒ Some ? (bit b)
 344   | _ ⇒ None ?].
 345
 346 definition tape_move_obj : mTM FSUnialpha 2 ≝
 347   ifTM ??
 348    (inject_TM ? (test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit false)) 2 prg)
 349    (mmove obj FSUnialpha 2 L)
 350    (ifTM ??
 351     (inject_TM ? (test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit true)) 2 prg)
 352     (mmove obj FSUnialpha 2 R)
 353     (nop ??)
 354     tc_true)
 355    tc_true.
 356
 357 definition restart_tape ≝ λi.
 358   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 i ·
 359   mmove i FSUnialpha 2 R.
 360
 361 definition unistep ≝
 362   match_m cfg prg FSUnialpha 2 ·
 363   restart_tape cfg · copy prg cfg FSUnialpha 2 ·
 364   cfg_to_obj · tape_move_obj · restart_tape prg · obj_to_cfg.
 365
 366 (*
 367 definition legal_tape ≝ λn,l,h,t.
 368   ∃state,char,table.
 369   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar (state@[char]) →
 370   is_config n (bar::state@[char]) →
 371   nth prg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar table →
 372   bar::table = table_TM n l h → *)
 373
 374 definition list_of_tape ≝ λsig,t.
 375   left sig t@option_cons ? (current ? t) (right ? t).
 376
 377 definition low_char' ≝ λc.
 378   match c with
 379   [ None ⇒ null
 380   | Some b ⇒ if (is_bit b) then b else null
 381   ].
 382
 383 lemma low_char_option : ∀s.
 384   low_char' (option_map FinBool FSUnialpha bit s) = low_char s.
 385 * //
 386 qed.
 387
 388 definition R_unistep ≝ λn,l,h.λt1,t2: Vector ? 3.
 389   ∀state,char,table.
 390   (* cfg *)
 391   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar (state@[char]) →
 392   is_config n (bar::state@[char]) →
 393   (* prg *)
 394   nth prg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar table →
 395   bar::table = table_TM n l h →
 396   (* obj *)
 397   only_bits (list_of_tape ? (nth obj ? t1 (niltape ?))) →
 398   let conf ≝ (bar::state@[char]) in
 399   (∃ll,lr.bar::table = ll@conf@lr) →
 400 (*
 401     ∃nstate,nchar,m,t. tuple_encoding n h t = (conf@nstate@[nchar;m]) ∧
 402     mem ? t l ∧  *)
 403     ∀nstate,nchar,m,t.
 404     tuple_encoding n h t = (conf@nstate@[nchar;m])→
 405     mem ? t l →
 406     let new_obj ≝
 407      tape_move_mono ? (nth obj ? t1 (niltape ?))
 408        〈char_to_bit_option nchar,char_to_move m〉 in
 409     let next_char ≝ low_char' (current ? new_obj) in
 410     t2 =
 411       change_vec ??
 412         (change_vec ?? t1 (midtape ? [ ] bar (nstate@[next_char])) cfg)
 413         new_obj obj.
 414
 415 definition tape_map ≝ λA,B:FinSet.λf:A→B.λt.
 416   mk_tape B (map ?? f (left ? t))
 417     (option_map ?? f (current ? t))
 418     (map ?? f (right ? t)).
 419
 420 lemma map_list_of_tape: ∀A,B,f,t.
 421   list_of_tape B (tape_map ?? f t) = map ?? f (list_of_tape A t).
 422 #A #B #f * // normalize // #ls #c #rs <map_append %
 423 qed.
 424
 425 lemma low_char_current : ∀t.
 426   low_char' (current FSUnialpha (tape_map FinBool FSUnialpha bit t))
 427   = low_char (current FinBool t).
 428 * // qed.
 429
 430 definition low_tapes ≝ λM:normalTM.λc:nconfig (no_states M).Vector_of_list ?
 431   [tape_map ?? bit (ctape ?? c);
 432    midtape ? [ ] bar
 433     ((bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))@[low_char (current ? (ctape ?? c))]);
 434    midtape ? [ ] bar (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M)))
 435   ].
 436
 437 lemma obj_low_tapes: ∀M,c.
 438   nth obj ? (low_tapes M c) (niltape ?) = tape_map ?? bit (ctape ?? c).
 439 // qed.
 440
 441 lemma cfg_low_tapes: ∀M,c.
 442   nth cfg ? (low_tapes M c) (niltape ?) =
 443   midtape ? [ ] bar
 444     ((bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))@[low_char (current ? (ctape ?? c))]).
 445 // qed.
 446
 447 lemma prg_low_tapes: ∀M,c.
 448   nth prg ? (low_tapes M c) (niltape ?) =
 449   midtape ? [ ] bar (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M))).
 450 // qed.
 451
 452 (* commutation lemma for write *)
 453 lemma map_write: ∀t,cout.
 454  tape_write ? (tape_map FinBool ? bit t) (char_to_bit_option (low_char cout))
 455   = tape_map ?? bit (tape_write ? t cout).
 456 #t * // #b whd in match (char_to_bit_option ?);
 457 whd in ⊢ (??%%); @eq_f3 [elim t // | // | elim t //]
 458 qed.
 459
 460 (* commutation lemma for moves *)
 461 lemma map_move: ∀t,m.
 462  tape_move ? (tape_map FinBool ? bit t) (char_to_move (low_mv m))
 463   = tape_map ?? bit (tape_move ? t m).
 464 #t * // whd in match (char_to_move ?);
 465   [cases t // * // | cases t // #ls #a * //]
 466 qed.
 467
 468 (* commutation lemma for actions *)
 469 lemma map_action: ∀t,cout,m.
 470  tape_move ? (tape_write ? (tape_map FinBool ? bit t)
 471     (char_to_bit_option (low_char cout))) (char_to_move (low_mv m))
 472  = tape_map ?? bit (tape_move ? (tape_write ? t cout) m).
 473 #t #cout #m >map_write >map_move %
 474 qed.
 475
 476 lemma map_move_mono: ∀t,cout,m.
 477  tape_move_mono ? (tape_map FinBool ? bit t)
 478   〈char_to_bit_option (low_char cout), char_to_move (low_mv m)〉
 479  = tape_map ?? bit (tape_move_mono ? t 〈cout,m〉).
 480 @map_action
 481 qed.
 482
 483 definition R_unistep_high ≝ λM:normalTM.λc:nconfig (no_states M).λt1,t2.
 484   t1 = low_tapes M c →
 485   t2 = low_tapes M (step ? M c).
 486
 487 lemma R_unistep_equiv : ∀M,c,t1,t2.
 488   R_unistep (no_states M) (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M) t1 t2 →
 489   R_unistep_high M c t1 t2.
 490 #M #c #t1 #t2 #H #Ht1
 491 lapply (initial_bar ? (nhalt M) (graph_enum ?? (ntrans M)) (nTM_nog ?)) #Htable
 492 (* tup = current tuple *)
 493 cut (∃t.t = 〈〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉,
 494              ntrans M 〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉〉) [% //] * #tup #Htup
 495 (* tup is in the graph *)
 496 cut (mem ? tup (graph_enum ?? (ntrans M)))
 497   [@memb_to_mem >Htup @(graph_enum_complete … (ntrans M)) %] #Hingraph
 498 (* tupe target = 〈qout,cout,m〉 *)
 499 lapply (decomp_target ? (ntrans M 〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉))
 500 * #qout * #cout * #m #Htg >Htg in Htup; #Htup
 501 (* new config *)
 502 cut (step FinBool M c = mk_config ?? qout (tape_move ? (tape_write ? (ctape … c) cout) m))
 503   [>(config_expand … c) whd in ⊢ (??%?); (* >Htg ?? why not?? *)
 504    cut (trans ? M 〈cstate  … c, current ? (ctape … c)〉 = 〈qout,cout,m〉) [<Htg %] #Heq1
 505    >Heq1 %] #Hstep
 506 (* new state *)
 507 cut (cstate ?? (step FinBool M c) = qout) [>Hstep %] #Hnew_state
 508 (* new tape *)
 509 cut (ctape ?? (step FinBool M c) = tape_move ? (tape_write ? (ctape … c) cout) m)
 510   [>Hstep %] #Hnew_tape
 511 lapply(H (bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))
 512          (low_char (current ? (ctape ?? c)))
 513          (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M)))
 514          ??????)
 515 [<Htable
 516  lapply(list_to_table … (nhalt M) …Hingraph) * #ll * #lr #Htable1 %{ll}
 517  %{(((bits_of_state ? (nhalt M) qout)@[low_char cout;low_mv m])@lr)}
 518  >Htable1 @eq_f <associative_append @eq_f2 // >Htup
 519  whd in ⊢ (??%?); @eq_f >associative_append %
 520 |>Ht1 >obj_low_tapes >map_list_of_tape elim (list_of_tape ??)
 521   [#b @False_ind | #b #tl #Hind #a * [#Ha >Ha //| @Hind]]
 522 |@sym_eq @Htable
 523 |>Ht1 %
 524 |%{(bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))} %{(low_char (current ? (ctape ?? c)))}
 525  % [% [% [// | cases (current ??) normalize [|#b] % #Hd destruct (Hd)]
 526       |>length_map whd in match (length ??); @eq_f //]
 527    |//]
 528 |>Ht1 >cfg_low_tapes //] -H #H
 529 lapply(H (bits_of_state … (nhalt M) qout) (low_char … cout)
 530          (low_mv … m) tup ? Hingraph)
 531   [>Htup whd in ⊢ (??%?); @eq_f >associative_append %] -H
 532 #Ht2 >Ht2 @(eq_vec ? 3 … (niltape ?)) #i #Hi
 533 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 534   [cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 535     [cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 536       [@False_ind /2/
 537       |>Hi >obj_low_tapes >nth_change_vec //
 538        >Ht1 >obj_low_tapes >Hstep @map_action
 539       ]
 540     |>Hi >cfg_low_tapes >nth_change_vec_neq
 541       [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 542      >nth_change_vec // >Hnew_state @eq_f @eq_f >Hnew_tape
 543      @eq_f2 [|2:%] >Ht1 >obj_low_tapes >map_move_mono >low_char_current %
 544     ]
 545   |(* program tapes do not change *)
 546    >Hi >prg_low_tapes
 547    >nth_change_vec_neq [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 548    >nth_change_vec_neq [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 549    >Ht1 >prg_low_tapes //
 550   ]
 551 qed.
 552
 553
 554
 555