matita/matita/lib/turing/multi_universal/unistep_aux.ma

   1 (*
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   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
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   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  13 include "turing/multi_universal/match.ma".
  14 include "turing/multi_universal/copy.ma".
  15 include "turing/multi_universal/alphabet.ma".
  16 include "turing/multi_universal/tuples.ma".
  17
  18 (*
  19
  20   in.obj : ...  x ...
  21                 ^
  22   in.cfg : ...  ? ? ...
  23                     ^
  24
  25   out.cfg : ... 1 x ...
  26                   ^
  27
  28   ---------------------
  29   current (in.obj) = None
  30
  31   in.cfg : ...  ? ? ...
  32                     ^
  33
  34   out.cfg : ... 0 0 ...
  35                   ^
  36
  37   obj_to_cfg ≝
  38     move_l(cfg);
  39     move_l(cfg);
  40     (if (current(in.obj)) == None
  41        then write(0,cfg);
  42             move_r(cfg);
  43             write(0,cfg);
  44        else write(1,cfg);
  45             move_r(cfg);
  46             copy_step(obj,cfg);
  47             move_l(obj);)
  48     move_to_end_l(cfg);
  49     move_r(cfg);
  50
  51
  52   cfg_to_obj
  53 *)
  54
  55 definition obj ≝ (0:DeqNat).
  56 definition cfg ≝ (1:DeqNat).
  57 definition prg ≝ (2:DeqNat).
  58
  59 definition obj_to_cfg ≝
  60   mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
  61   (ifTM ?? (inject_TM ? (test_null ?) 2 obj)
  62     (copy_step obj cfg FSUnialpha 2 ·
  63      mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
  64      mmove obj FSUnialpha 2 L)
  65     (inject_TM ? (write FSUnialpha null) 2 cfg)
  66      tc_true) ·
  67   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
  68   mmove cfg FSUnialpha 2 R.
  69
  70 definition R_obj_to_cfg ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
  71   ∀c,ls.
  72   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
  73   (∀lso,x,rso.nth obj ? t1 (niltape ?) = midtape FSUnialpha lso x rso →
  74    t2 = change_vec ?? t1
  75          (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (reverse ? (x::ls))) (tail ? (reverse ? (x::ls)))) cfg) ∧
  76   (current ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) = None ? →
  77    t2 = change_vec ?? t1
  78          (mk_tape ? [ ] (option_hd FSUnialpha (reverse ? (null::ls)))
  79            (tail ? (reverse ? (null::ls)))) cfg).
  80
  81 axiom sem_move_to_end_l : ∀sig. move_to_end sig L ⊨ R_move_to_end_l sig.
  82 axiom accRealize_to_Realize :
  83   ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀Rtrue,Rfalse,acc.
  84   M ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] →  M ⊨ Rtrue ∪ Rfalse.
  85
  86 lemma eq_mk_tape_rightof :
  87  ∀alpha,a,al.mk_tape alpha (a::al) (None ?) [ ] = rightof ? a al.
  88 #alpha #a #al %
  89 qed.
  90
  91 axiom daemon : ∀P:Prop.P.
  92
  93 definition option_cons ≝ λsig.λc:option sig.λl.
  94   match c with [ None ⇒ l | Some c0 ⇒ c0::l ].
  95
  96 lemma tape_move_mk_tape_R :
  97   ∀sig,ls,c,rs.
  98   (c = None ? → ls = [ ] ∨ rs = [ ]) →
  99   tape_move ? (mk_tape sig ls c rs) R =
 100   mk_tape ? (option_cons ? c ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs).
 101 #sig * [ * [ * | #c * ] | #l0 #ls0 * [ *
 102 [| #r0 #rs0 #H @False_ind cases (H (refl ??)) #H1 destruct (H1) ] | #c * ] ]
 103 normalize //
 104 qed.
 105
 106 lemma sem_obj_to_cfg : obj_to_cfg ⊨  R_obj_to_cfg.
 107 @(sem_seq_app FSUnialpha 2 ????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 108    (sem_seq ??????
 109     (sem_if ??????????
 110      (sem_test_null_multi ?? obj ?)
 111       (sem_seq ?????? (accRealize_to_Realize … (sem_copy_step …))
 112        (sem_seq ?????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 113         (sem_move_multi ? 2 obj L ?)))
 114       (sem_inject ???? cfg ? (sem_write FSUnialpha null)))
 115      (sem_seq ?????? (sem_inject ???? cfg ? (sem_move_to_end_l ?))
 116        (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)))) //
 117 #ta #tb *
 118 #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc *
 119 #td * *
 120 [ * #te * * #Hcurtc #Hte
 121   * destruct (Hte) #te * *
 122   [ whd in ⊢ (%→%→?); * #x * #y * * -Hcurtc #Hcurtc1 #Hcurtc2 #Hte
 123     * #tf * whd in ⊢ (%→%→?); #Htf #Htd
 124     * #tg * * * whd in ⊢ (%→%→%→%→?); #Htg1 #Htg2 #Htg3 #Htb
 125     #c #ls #Hta1 %
 126     [ #lso #x0 #rso #Hta2 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 127       whd in match (tape_move ???); #Htc
 128       cut (tg = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[x])) cfg)
 129       [@daemon] -Htg1 -Htg2 -Htg3 #Htg destruct (Htg Htf Hte Htd Htc Htb)
 130       >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 131       >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 132       >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 133       >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 134       >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 135       >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 136       >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] @eq_f3 //
 137       [ >Hta2 cases rso in Hta2; whd in match (tape_move_mono ???);
 138         [ #Hta2 whd in match (tape_move ???); <Hta2 @change_vec_same
 139         | #r1 #rs1 #Hta2 whd in match (tape_move ???); <Hta2 @change_vec_same ]
 140       | >tape_move_mk_tape_R [| #_ % %] >reverse_cons
 141         >nth_change_vec_neq in Hcurtc1; [|@sym_not_eq //] >Hta2
 142         normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) %
 143       ]
 144     | #Hta2 >Htc in Hcurtc1; >nth_change_vec_neq [| @sym_not_eq //]
 145       >Hta2 #H destruct (H)
 146     ]
 147   | * #Hcurtc0 #Hte #_ #_ #c #ls #Hta1 >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof
 148     whd in match (tape_move ???); #Htc >Htc in Hcurtc0; *
 149     [ >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 150       #Hcurtc #Hcurtc0 >Hcurtc0 in Hcurtc; * #H @False_ind @H %
 151     | >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 152   ]
 153 | * #te * * #Hcurtc #Hte
 154   * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd1 #Htd2
 155   * #tf * * * #Htf1 #Htf2 #Htf3 whd in ⊢ (%→?); #Htb
 156   #c #ls #Hta1 %
 157   [ #lso #x #rso #Hta2 >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 158     >Hta2 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 159   | #_ >Hta1 in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 160     destruct (Hte) cut (td = change_vec ?? tc (midtape ? ls null []) cfg)
 161     [@daemon] -Htd1 -Htd2 #Htd
 162     -Htf1 cut (tf = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[null])) cfg)
 163     [@daemon] -Htf2 -Htf3 #Htf destruct (Htf Htd Htc Htb)
 164     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 165     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >nth_change_vec //
 166     >reverse_cons >tape_move_mk_tape_R /2/ ]
 167 ]
 168 qed.
 169
 170 definition test_null_char ≝ test_char FSUnialpha (λc.c == null).
 171
 172 definition R_test_null_char_true ≝ λt1,t2.
 173   current FSUnialpha t1 = Some ? null ∧ t1 = t2.
 174
 175 definition R_test_null_char_false ≝ λt1,t2.
 176   current FSUnialpha t1 ≠ Some ? null ∧ t1 = t2.
 177
 178 lemma sem_test_null_char :
 179   test_null_char ⊨ [ tc_true : R_test_null_char_true, R_test_null_char_false].
 180 #t1 cases (sem_test_char FSUnialpha (λc.c == null) t1) #k * #outc * * #Hloop #Htrue
 181 #Hfalse %{k} %{outc} % [ %
 182 [ @Hloop
 183 | #Houtc cases (Htrue ?) [| @Houtc] * #c * #Hcurt1 #Hcnull lapply (\P Hcnull)
 184   -Hcnull #H destruct (H) #Houtc1 %
 185   [ @Hcurt1 | <Houtc1 % ] ]
 186 | #Houtc cases (Hfalse ?) [| @Houtc] #Hc #Houtc %
 187   [ % #Hcurt1 >Hcurt1 in Hc; #Hc lapply (Hc ? (refl ??))
 188     >(?:((null:FSUnialpha) == null) = true) [|@(\b (refl ??)) ]
 189     #H destruct (H)
 190   | <Houtc % ] ]
 191 qed.
 192
 193 definition copy_char_states ≝ initN 3.
 194
 195 definition cc0 : copy_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
 196 definition cc1 : copy_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
 197
 198 definition trans_copy_char ≝
 199  λsrc,dst.λsig:FinSet.λn.
 200  λp:copy_char_states × (Vector (option sig) (S n)).
 201  let 〈q,a〉 ≝ p in
 202  match pi1 … q with
 203  [ O ⇒ 〈cc1,change_vec ? (S n)
 204            (change_vec ? (S n) (null_action ? n) (〈None ?,R〉) src)
 205            (〈nth src ? a (None ?),R〉) dst〉
 206  | S _ ⇒ 〈cc1,null_action ? n〉 ].
 207
 208 definition copy_char ≝
 209   λsrc,dst,sig,n.
 210   mk_mTM sig n copy_char_states (trans_copy_char src dst sig n)
 211     cc0 (λq.q == cc1).
 212
 213 definition R_copy_char ≝
 214   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 215   outt = change_vec ??
 216          (change_vec ?? int
 217           (tape_move_mono ? (nth src ? int (niltape ?)) 〈None ?, R〉) src)
 218           (tape_move_mono ? (nth dst ? int (niltape ?))
 219            〈current ? (nth src ? int (niltape ?)), R〉) dst.
 220
 221 lemma copy_char_q0_q1 :
 222   ∀src,dst,sig,n,v.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 223   step sig n (copy_char src dst sig n) (mk_mconfig ??? cc0 v) =
 224     mk_mconfig ??? cc1
 225      (change_vec ? (S n)
 226        (change_vec ?? v
 227          (tape_move_mono ? (nth src ? v (niltape ?)) 〈None ?, R〉) src)
 228             (tape_move_mono ? (nth dst ? v (niltape ?)) 〈current ? (nth src ? v (niltape ?)), R〉) dst).
 229 #src #dst #sig #n #v #Heq #Hsrc #Hdst
 230 whd in ⊢ (??%?);
 231 <(change_vec_same … v dst (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
 232 <(change_vec_same … v src (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
 233 >tape_move_multi_def @eq_f2 //
 234 >pmap_change >pmap_change <tape_move_multi_def
 235 >tape_move_null_action @eq_f2 // @eq_f2
 236 [ >change_vec_same %
 237 | >change_vec_same >change_vec_same // ]
 238 qed.
 239
 240 lemma sem_copy_char:
 241   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 242   copy_char src dst sig n ⊨ R_copy_char src dst sig n.
 243 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #int
 244 %{2} % [| % [ % | whd >copy_char_q0_q1 // ]]
 245 qed.
 246
 247 definition cfg_to_obj ≝
 248   mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
 249   (ifTM ?? (inject_TM ? test_null_char 2 cfg)
 250     (nop ? 2)
 251     (copy_char cfg obj FSUnialpha 2 ·
 252      mmove cfg FSUnialpha 2 L ·
 253      mmove obj FSUnialpha 2 L)
 254      tc_true) ·
 255   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 cfg ·
 256   mmove cfg FSUnialpha 2 R.
 257
 258 definition R_cfg_to_obj ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 259   ∀c,ls.
 260   nth cfg ? t1 (niltape ?) = mk_tape FSUnialpha (c::ls) (None ?) [ ] →
 261   (c = null →
 262    t2 = change_vec ?? t1
 263          (mk_tape ? [ ] (option_hd FSUnialpha (reverse ? (c::ls)))
 264            (tail ? (reverse ? (c::ls)))) cfg) ∧
 265   (c ≠ null →
 266    t2 = change_vec ??
 267           (change_vec ?? t1
 268              (midtape ? (left ? (nth obj ? t1 (niltape ?))) c (right ? (nth obj ? t1 (niltape ?)))) obj)
 269           (mk_tape ? [ ] (option_hd ? (reverse ? (c::ls))) (tail ? (reverse ? (c::ls)))) cfg).
 270
 271 lemma tape_move_mk_tape_L :
 272   ∀sig,ls,c,rs.
 273   (c = None ? → ls = [ ] ∨ rs = [ ]) →
 274   tape_move ? (mk_tape sig ls c rs) L =
 275   mk_tape ? (tail ? ls) (option_hd ? ls) (option_cons ? c rs).
 276 #sig * [ * [ * | #c * ] | #l0 #ls0 * [ *
 277 [| #r0 #rs0 #H @False_ind cases (H (refl ??)) #H1 destruct (H1) ] | #c * ] ]
 278 normalize //
 279 qed.
 280
 281 lemma sem_cfg_to_obj : cfg_to_obj ⊨  R_cfg_to_obj.
 282 @(sem_seq_app FSUnialpha 2 ????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?)
 283   (sem_seq ??????
 284    (sem_if ??????????
 285     (acc_sem_inject ?????? cfg ? sem_test_null_char)
 286     (sem_nop …)
 287     (sem_seq ?????? (sem_copy_char …)
 288      (sem_seq ?????? (sem_move_multi ? 2 cfg L ?) (sem_move_multi ? 2 obj L ?))))
 289    (sem_seq ?????? (sem_inject ???? cfg ? (sem_move_to_end_l ?))
 290     (sem_move_multi ? 2 cfg R ?)))) // [@sym_not_eq //]
 291 #ta #tb *
 292 #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc *
 293 #td * *
 294 [ * #te * * * #Hcurtc #Hte1 #Hte2 whd in ⊢ (%→?); #Htd destruct (Htd)
 295   * #tf * * * #Htf1 #Htf2 #Htf3
 296   whd in ⊢ (%→?); #Htb
 297   #c #ls #Hta %
 298   [ #Hc >Hta in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 299     cut (te = tc) [@daemon] -Hte1 -Hte2 #Hte
 300     cut (tf = change_vec ? 3 te (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[c])) cfg)
 301     [@daemon] -Htf1 -Htf2 -Htf3 #Htf
 302     destruct (Htf Hte Htc Htb)
 303     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 304     >nth_change_vec // >tape_move_mk_tape_R [| #_ % % ]
 305     >reverse_cons %
 306   | #Hc >Hta in Htc; >eq_mk_tape_rightof whd in match (tape_move ???); #Htc
 307     >Htc in Hcurtc; >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?);
 308     #H destruct (H) @False_ind cases Hc /2/ ]
 309   * #tf * *
 310 | * #te * * * #Hcurtc #Hte1 #Hte2
 311   * #tf * whd in ⊢ (%→?); #Htf
 312   * #tg * whd in ⊢ (%→%→?); #Htg #Htd
 313   * #th * * * #Hth1 #Hth2 #Hth3
 314   whd in ⊢ (%→?); #Htb
 315   #c #ls #Hta % #Hc
 316   [ >Htc in Hcurtc; >Hta >nth_change_vec // >tape_move_mk_tape_L //
 317     >Hc normalize in ⊢ (%→?); * #H @False_ind /2/
 318   | cut (te = tc) [ @daemon ] -Hte1 -Hte2 #Hte
 319     cut (th = change_vec ?? td (mk_tape ? [ ] (None ?) (reverse ? ls@[c])) cfg)
 320     [@daemon] -Hth1 -Hth2 -Hth3 #Hth
 321     destruct (Hth Hte Hta Htb Htd Htg Htc Htf)
 322     >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
 323     >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 324     >change_vec_commute [|@sym_not_eq //] >change_vec_change_vec
 325     >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 326     >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 327     >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 328     >change_vec_commute [|@sym_not_eq //]
 329     @eq_f3 //
 330     [ >Hta >tape_move_mk_tape_L // >nth_change_vec // whd in match (current ??);
 331       @eq_f2 // cases (nth obj ? ta (niltape ?))
 332       [| #r0 #rs0 | #l0 #ls0 | #ls0 #c0 #rs0 ] try %
 333       cases rs0 //
 334     | >reverse_cons >tape_move_mk_tape_R // #_ % % ]
 335   ]
 336 ]
 337 qed.
 338
 339 (* macchina che muove il nastro obj a destra o sinistra a seconda del valore
 340    del current di prg, che codifica la direzione in cui ci muoviamo *)
 341
 342 definition char_to_move ≝ λc.match c with
 343   [ bit b ⇒ if b then R else L
 344   | _ ⇒ N].
 345
 346 definition char_to_bit_option ≝ λc.match c with
 347   [ bit b ⇒ Some ? (bit b)
 348   | _ ⇒ None ?].
 349
 350 definition tape_move_obj : mTM FSUnialpha 2 ≝
 351   ifTM ??
 352    (inject_TM ? (test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit false)) 2 prg)
 353    (mmove obj FSUnialpha 2 L)
 354    (ifTM ??
 355     (inject_TM ? (test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit true)) 2 prg)
 356     (mmove obj FSUnialpha 2 R)
 357     (nop ??)
 358     tc_true)
 359    tc_true.
 360
 361 definition R_tape_move_obj' ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 362   (current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) = Some ? (bit false) →
 363    t2 = change_vec ?? t1 (tape_move ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) L) obj) ∧
 364   (current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) = Some ? (bit true) →
 365    t2 = change_vec ?? t1 (tape_move ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) R) obj) ∧
 366   (current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) ≠ Some ? (bit false) →
 367    current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) ≠ Some ? (bit true) →
 368    t2 = t1).
 369
 370 lemma sem_tape_move_obj' : tape_move_obj ⊨ R_tape_move_obj'.
 371 #ta cases (sem_if ??????????
 372   (acc_sem_inject ?????? prg ? (sem_test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit false)))
 373   (sem_move_multi ? 2 obj L ?)
 374   (sem_if ??????????
 375    (acc_sem_inject ?????? prg ? (sem_test_char ? (λc:FSUnialpha.c == bit true)))
 376    (sem_move_multi ? 2 obj R ?)
 377    (sem_nop …)) ta) //
 378 #i * #outc * #Hloop #HR %{i} %{outc} % [@Hloop] -i
 379 cases HR -HR
 380 [ * #tb * * * * #c * #Hcurta_prg #Hc lapply (\P Hc) -Hc #Hc #Htb1 #Htb2
 381   whd in ⊢ (%→%); #Houtc >Houtc -Houtc % [ %
 382   [ >Hcurta_prg #H destruct (H) >(?:tb = ta) [|@daemon] %
 383   | >Hcurta_prg #H destruct (H) destruct (Hc) ]
 384   | >Hcurta_prg >Hc * #H @False_ind /2/ ]
 385 | * #tb * * * #Hnotfalse #Htb1 #Htb2 cut (tb = ta) [@daemon] -Htb1 -Htb2
 386   #Htb destruct (Htb) *
 387   [ * #tc * * * * #c * #Hcurta_prg #Hc lapply (\P Hc) -Hc #Hc #Htc1 #Htc2
 388     whd in ⊢ (%→%); #Houtc >Houtc -Houtc % [ %
 389     [ >Hcurta_prg #H destruct (H) destruct (Hc)
 390     | >Hcurta_prg #H destruct (H) >(?:tc = ta) [|@daemon] % ]
 391     | >Hcurta_prg >Hc #_ * #H @False_ind /2/ ]
 392   | * #tc * * * #Hnottrue #Htc1 #Htc2 cut (tc = ta) [@daemon] -Htc1 -Htc2
 393     #Htc destruct (Htc) whd in ⊢ (%→?); #Houtc % [ %
 394     [ #Hcurta_prg lapply (\Pf (Hnotfalse ? Hcurta_prg)) * #H @False_ind /2/
 395     | #Hcurta_prg lapply (\Pf (Hnottrue ? Hcurta_prg)) * #H @False_ind /2/ ]
 396     | #_ #_ @Houtc ]
 397   ]
 398 ]
 399 qed.
 400
 401 definition R_tape_move_obj ≝ λt1,t2:Vector (tape FSUnialpha) 3.
 402   ∀c. current ? (nth prg ? t1 (niltape ?)) = Some ? c →
 403   t2 = change_vec ?? t1 (tape_move ? (nth obj ? t1 (niltape ?)) (char_to_move c)) obj.
 404
 405 lemma sem_tape_move_obj : tape_move_obj ⊨ R_tape_move_obj.
 406 @(Realize_to_Realize … sem_tape_move_obj')
 407 #ta #tb * * #Htb1 #Htb2 #Htb3 * [ *
 408 [ @Htb2 | @Htb1 ]
 409 | #Hcurta_prg change with (nth obj ? ta (niltape ?)) in match (tape_move ???);
 410   >change_vec_same @Htb3 >Hcurta_prg % #H destruct (H)
 411 | #Hcurta_prg change with (nth obj ? ta (niltape ?)) in match (tape_move ???);
 412   >change_vec_same @Htb3 >Hcurta_prg % #H destruct (H)
 413 ]
 414 qed.
 415
 416 definition restart_tape ≝ λi.
 417   inject_TM ? (move_to_end FSUnialpha L) 2 i ·
 418   mmove i FSUnialpha 2 R.
 419
 420 definition unistep ≝
 421   match_m cfg prg FSUnialpha 2 ·
 422   restart_tape cfg · copy prg cfg FSUnialpha 2 ·
 423   cfg_to_obj · tape_move_obj · restart_tape prg · obj_to_cfg.
 424
 425 (*
 426 definition legal_tape ≝ λn,l,h,t.
 427   ∃state,char,table.
 428   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar (state@[char]) →
 429   is_config n (bar::state@[char]) →
 430   nth prg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar table →
 431   bar::table = table_TM n l h → *)
 432
 433 definition list_of_tape ≝ λsig,t.
 434   left sig t@option_cons ? (current ? t) (right ? t).
 435
 436 definition low_char' ≝ λc.
 437   match c with
 438   [ None ⇒ null
 439   | Some b ⇒ if (is_bit b) then b else null
 440   ].
 441
 442 lemma low_char_option : ∀s.
 443   low_char' (option_map FinBool FSUnialpha bit s) = low_char s.
 444 * //
 445 qed.
 446
 447 definition R_unistep ≝ λn,l,h.λt1,t2: Vector ? 3.
 448   ∀state,char,table.
 449   (* cfg *)
 450   nth cfg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar (state@[char]) →
 451   is_config n (bar::state@[char]) →
 452   (* prg *)
 453   nth prg ? t1 (niltape ?) = midtape ? [ ] bar table →
 454   bar::table = table_TM n l h →
 455   (* obj *)
 456   only_bits (list_of_tape ? (nth obj ? t1 (niltape ?))) →
 457   let conf ≝ (bar::state@[char]) in
 458   (∃ll,lr.bar::table = ll@conf@lr) →
 459 (*
 460     ∃nstate,nchar,m,t. tuple_encoding n h t = (conf@nstate@[nchar;m]) ∧
 461     mem ? t l ∧  *)
 462     ∀nstate,nchar,m,t.
 463     tuple_encoding n h t = (conf@nstate@[nchar;m])→
 464     mem ? t l →
 465     let new_obj ≝
 466      tape_move_mono ? (nth obj ? t1 (niltape ?))
 467        〈char_to_bit_option nchar,char_to_move m〉 in
 468     let next_char ≝ low_char' (current ? new_obj) in
 469     t2 =
 470       change_vec ??
 471         (change_vec ?? t1 (midtape ? [ ] bar (nstate@[next_char])) cfg)
 472         new_obj obj.
 473
 474 definition tape_map ≝ λA,B:FinSet.λf:A→B.λt.
 475   mk_tape B (map ?? f (left ? t))
 476     (option_map ?? f (current ? t))
 477     (map ?? f (right ? t)).
 478
 479 lemma map_list_of_tape: ∀A,B,f,t.
 480   list_of_tape B (tape_map ?? f t) = map ?? f (list_of_tape A t).
 481 #A #B #f * // normalize // #ls #c #rs <map_append %
 482 qed.
 483
 484 lemma low_char_current : ∀t.
 485   low_char' (current FSUnialpha (tape_map FinBool FSUnialpha bit t))
 486   = low_char (current FinBool t).
 487 * // qed.
 488
 489 definition low_tapes: ∀M:normalTM.∀c:nconfig (no_states M).Vector ? 3 ≝
 490 λM:normalTM.λc:nconfig (no_states M).Vector_of_list ?
 491   [tape_map ?? bit (ctape ?? c);
 492    midtape ? [ ] bar
 493     ((bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))@[low_char (current ? (ctape ?? c))]);
 494    midtape ? [ ] bar (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M)))
 495   ].
 496
 497 lemma obj_low_tapes: ∀M,c.
 498   nth obj ? (low_tapes M c) (niltape ?) = tape_map ?? bit (ctape ?? c).
 499 // qed.
 500
 501 lemma cfg_low_tapes: ∀M,c.
 502   nth cfg ? (low_tapes M c) (niltape ?) =
 503   midtape ? [ ] bar
 504     ((bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))@[low_char (current ? (ctape ?? c))]).
 505 // qed.
 506
 507 lemma prg_low_tapes: ∀M,c.
 508   nth prg ? (low_tapes M c) (niltape ?) =
 509   midtape ? [ ] bar (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M))).
 510 // qed.
 511
 512 (* commutation lemma for write *)
 513 lemma map_write: ∀t,cout.
 514  tape_write ? (tape_map FinBool ? bit t) (char_to_bit_option (low_char cout))
 515   = tape_map ?? bit (tape_write ? t cout).
 516 #t * // #b whd in match (char_to_bit_option ?);
 517 whd in ⊢ (??%%); @eq_f3 [elim t // | // | elim t //]
 518 qed.
 519
 520 (* commutation lemma for moves *)
 521 lemma map_move: ∀t,m.
 522  tape_move ? (tape_map FinBool ? bit t) (char_to_move (low_mv m))
 523   = tape_map ?? bit (tape_move ? t m).
 524 #t * // whd in match (char_to_move ?);
 525   [cases t // * // | cases t // #ls #a * //]
 526 qed.
 527
 528 (* commutation lemma for actions *)
 529 lemma map_action: ∀t,cout,m.
 530  tape_move ? (tape_write ? (tape_map FinBool ? bit t)
 531     (char_to_bit_option (low_char cout))) (char_to_move (low_mv m))
 532  = tape_map ?? bit (tape_move ? (tape_write ? t cout) m).
 533 #t #cout #m >map_write >map_move %
 534 qed.
 535
 536 lemma map_move_mono: ∀t,cout,m.
 537  tape_move_mono ? (tape_map FinBool ? bit t)
 538   〈char_to_bit_option (low_char cout), char_to_move (low_mv m)〉
 539  = tape_map ?? bit (tape_move_mono ? t 〈cout,m〉).
 540 @map_action
 541 qed.
 542
 543 definition R_unistep_high ≝ λM:normalTM.λt1,t2.
 544 ∀c:nconfig (no_states M).
 545   t1 = low_tapes M c →
 546   t2 = low_tapes M (step ? M c).
 547
 548 lemma R_unistep_equiv : ∀M,t1,t2.
 549   R_unistep (no_states M) (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M) t1 t2 →
 550   R_unistep_high M t1 t2.
 551 #M #t1 #t2 #H whd whd in match (nconfig ?); #c #Ht1
 552 lapply (initial_bar ? (nhalt M) (graph_enum ?? (ntrans M)) (nTM_nog ?)) #Htable
 553 (* tup = current tuple *)
 554 cut (∃t.t = 〈〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉,
 555              ntrans M 〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉〉) [% //] * #tup #Htup
 556 (* tup is in the graph *)
 557 cut (mem ? tup (graph_enum ?? (ntrans M)))
 558   [@memb_to_mem >Htup @(graph_enum_complete … (ntrans M)) %] #Hingraph
 559 (* tupe target = 〈qout,cout,m〉 *)
 560 lapply (decomp_target ? (ntrans M 〈cstate … c,current ? (ctape … c)〉))
 561 * #qout * #cout * #m #Htg >Htg in Htup; #Htup
 562 (* new config *)
 563 cut (step FinBool M c = mk_config ?? qout (tape_move ? (tape_write ? (ctape … c) cout) m))
 564   [>(config_expand … c) whd in ⊢ (??%?); (* >Htg ?? why not?? *)
 565    cut (trans ? M 〈cstate  … c, current ? (ctape … c)〉 = 〈qout,cout,m〉) [<Htg %] #Heq1
 566    >Heq1 %] #Hstep
 567 (* new state *)
 568 cut (cstate ?? (step FinBool M c) = qout) [>Hstep %] #Hnew_state
 569 (* new tape *)
 570 cut (ctape ?? (step FinBool M c) = tape_move ? (tape_write ? (ctape … c) cout) m)
 571   [>Hstep %] #Hnew_tape
 572 lapply(H (bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))
 573          (low_char (current ? (ctape ?? c)))
 574          (tail ? (table_TM ? (graph_enum ?? (ntrans M)) (nhalt M)))
 575          ??????)
 576 [<Htable
 577  lapply(list_to_table … (nhalt M) …Hingraph) * #ll * #lr #Htable1 %{ll}
 578  %{(((bits_of_state ? (nhalt M) qout)@[low_char cout;low_mv m])@lr)}
 579  >Htable1 @eq_f <associative_append @eq_f2 // >Htup
 580  whd in ⊢ (??%?); @eq_f >associative_append %
 581 |>Ht1 >obj_low_tapes >map_list_of_tape elim (list_of_tape ??)
 582   [#b @False_ind | #b #tl #Hind #a * [#Ha >Ha //| @Hind]]
 583 |@sym_eq @Htable
 584 |>Ht1 %
 585 |%{(bits_of_state ? (nhalt M) (cstate ?? c))} %{(low_char (current ? (ctape ?? c)))}
 586  % [% [% [// | cases (current ??) normalize [|#b] % #Hd destruct (Hd)]
 587       |>length_map whd in match (length ??); @eq_f //]
 588    |//]
 589 |>Ht1 >cfg_low_tapes //] -H #H
 590 lapply(H (bits_of_state … (nhalt M) qout) (low_char … cout)
 591          (low_mv … m) tup ? Hingraph)
 592   [>Htup whd in ⊢ (??%?); @eq_f >associative_append %] -H
 593 #Ht2 @(eq_vec ? 3 ?? (niltape ?) ?) >Ht2 #i #Hi
 594 cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 595   [cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 596     [cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le … Hi)) -Hi #Hi
 597       [@False_ind /2/
 598       |>Hi >obj_low_tapes >nth_change_vec //
 599        >Ht1 >obj_low_tapes >Hstep @map_action
 600       ]
 601     |>Hi >cfg_low_tapes >nth_change_vec_neq
 602       [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 603      >nth_change_vec // >Hnew_state @eq_f @eq_f >Hnew_tape
 604      @eq_f2 [|2:%] >Ht1 >obj_low_tapes >map_move_mono >low_char_current %
 605     ]
 606   |(* program tapes do not change *)
 607    >Hi >prg_low_tapes
 608    >nth_change_vec_neq [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 609    >nth_change_vec_neq [|% whd in ⊢ (??%?→?);  #H destruct (H)]
 610    >Ht1 >prg_low_tapes //
 611   ]
 612 qed.
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