matita/matita/lib/turing/multi_universal/unistep_aux.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "turing/multi_universal/moves_2.ma".
  13
  14 (*
  15
  16   in.obj : ...  x ...
  17                 ^
  18   in.cfg : ...  ? ? ...
  19                     ^
  20
  21   out.cfg : ... 1 x ...
  22                   ^
  23
  24   ---------------------
  25   current (in.obj) = None
  26
  27   in.cfg : ...  ? ? ...
  28                     ^
  29
  30   out.cfg : ... 0 0 ...
  31                   ^
  32
  33   obj_to_cfg ≝
  34     move_l(cfg);
  35     move_l(cfg);
  36     (if (current(in.obj)) == None
  37        then write(0,cfg);
  38             move_r(cfg);
  39             write(0,cfg);
  40        else write(1,cfg);
  41             move_r(cfg);
  42             copy_step(obj,cfg);
  43             move_l(obj);)
  44     move_to_end_l(cfg);
  45     move_r(cfg);
  46
  47
  48   cfg_to_obj
  49 *)
  50
  51 definition obj_to_cfg ≝
  52   mmove cfg unialpha 3 L ·
  53   mmove cfg unialpha 3 L ·
  54   if_TM ?? (inject_TM ? (test_null ?) 3 obj)
  55     (
  56
  57
  58
  59
  60 definition o2c_states ≝ initN 3.
  61
  62 definition copy0 : copy_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
  63 definition copy1 : copy_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
  64 definition copy2 : copy_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
  65
  66
  67 definition trans_copy_step ≝
  68  λsrc,dst.λsig:FinSet.λn.
  69  λp:copy_states × (Vector (option sig) (S n)).
  70  let 〈q,a〉 ≝ p in
  71  match pi1 … q with
  72  [ O ⇒ match nth src ? a (None ?) with
  73    [ None ⇒ 〈copy2,null_action sig n〉
  74    | Some ai ⇒ match nth dst ? a (None ?) with
  75      [ None ⇒ 〈copy2,null_action ? n〉
  76      | Some aj ⇒
  77          〈copy1,change_vec ? (S n)
  78            (change_vec ? (S n) (null_action ? n) (〈None ?,R〉) src)
  79            (〈Some ? ai,R〉) dst〉
  80      ]
  81    ]
  82  | S q ⇒ match q with
  83    [ O ⇒ (* 1 *) 〈copy1,null_action ? n〉
  84    | S _ ⇒ (* 2 *) 〈copy2,null_action ? n〉 ] ].
  85
  86 definition copy_step ≝
  87   λsrc,dst,sig,n.
  88   mk_mTM sig n copy_states (trans_copy_step src dst sig n)
  89     copy0 (λq.q == copy1 ∨ q == copy2).
  90
  91 definition R_comp_step_true ≝
  92   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
  93   ∃x,y.
  94    current ? (nth src ? int (niltape ?)) = Some ? x ∧
  95    current ? (nth dst ? int (niltape ?)) = Some ? y ∧
  96    outt = change_vec ??
  97             (change_vec ?? int
  98               (tape_move_mono ? (nth src ? int (niltape ?)) 〈None ?, R〉) src)
  99             (tape_move_mono ? (nth dst ? int (niltape ?)) 〈Some ? x, R〉) dst.
 100
 101 definition R_comp_step_false ≝
 102   λsrc,dst:nat.λsig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 103     (current ? (nth src ? int (niltape ?)) = None ? ∨
 104      current ? (nth dst ? int (niltape ?)) = None ?) ∧ outt = int.
 105
 106 lemma copy_q0_q2_null :
 107   ∀src,dst,sig,n,v.src < S n → dst < S n →
 108   (nth src ? (current_chars ?? v) (None ?) = None ? ∨
 109    nth dst ? (current_chars ?? v) (None ?) = None ?) →
 110   step sig n (copy_step src dst sig n) (mk_mconfig ??? copy0 v)
 111   = mk_mconfig ??? copy2 v.
 112 #src #dst #sig #n #v #Hi #Hj
 113 whd in ⊢ (? → ??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (?→??%?);
 114 * #Hcurrent
 115 [ @eq_f2
 116   [ whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcurrent %
 117   | whd in ⊢ (??(????(???%))?); >Hcurrent @tape_move_null_action ]
 118 | @eq_f2
 119   [ whd in ⊢ (??(???%)?); >Hcurrent cases (nth src ?? (None sig)) //
 120   | whd in ⊢ (??(????(???%))?); >Hcurrent
 121     cases (nth src ?? (None sig)) [|#x] @tape_move_null_action ] ]
 122 qed.
 123
 124 lemma copy_q0_q1 :
 125   ∀src,dst,sig,n,v,a,b.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 126   nth src ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? a →
 127   nth dst ? (current_chars ?? v) (None ?) = Some ? b →
 128   step sig n (copy_step src dst sig n) (mk_mconfig ??? copy0 v) =
 129     mk_mconfig ??? copy1
 130      (change_vec ? (S n)
 131        (change_vec ?? v
 132          (tape_move_mono ? (nth src ? v (niltape ?)) 〈None ?, R〉) src)
 133             (tape_move_mono ? (nth dst ? v (niltape ?)) 〈Some ? a, R〉) dst).
 134 #src #dst #sig #n #v #a #b #Heq #Hsrc #Hdst #Ha1 #Ha2
 135 whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?); @eq_f2
 136 [ whd in match (trans ????);
 137   >Ha1 >Ha2 whd in ⊢ (??(???%)?); >(\b ?) //
 138 | whd in match (trans ????);
 139   >Ha1 >Ha2 whd in ⊢ (??(????(???%))?); >(\b ?) //
 140   change with (change_vec ?????) in ⊢ (??(????%)?);
 141   <(change_vec_same … v dst (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
 142   <(change_vec_same … v src (niltape ?)) in ⊢ (??%?);
 143   >tape_move_multi_def
 144   >pmap_change >pmap_change <tape_move_multi_def
 145   >tape_move_null_action
 146   @eq_f2 // >nth_change_vec_neq //
 147 ]
 148 qed.
 149
 150 lemma sem_copy_step :
 151   ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 152   copy_step src dst sig n ⊨
 153     [ copy1: R_comp_step_true src dst sig n,
 154             R_comp_step_false src dst sig n ].
 155 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #int
 156 lapply (refl ? (current ? (nth src ? int (niltape ?))))
 157 cases (current ? (nth src ? int (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 158 [ #Hcur_src %{2} %
 159   [| % [ %
 160     [ whd in ⊢ (??%?); >copy_q0_q2_null /2/
 161     | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 162   | #_ % // % // ] ]
 163 | #a #Ha lapply (refl ? (current ? (nth dst ? int (niltape ?))))
 164   cases (current ? (nth dst ? int (niltape ?))) in ⊢ (???%→?);
 165   [ #Hcur_dst %{2} %
 166     [| % [ %
 167        [ whd in ⊢ (??%?); >copy_q0_q2_null /2/
 168        | normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) ]
 169        | #_ % // %2 >Hcur_dst % ] ]
 170   | #b #Hb %{2} %
 171     [| % [ %
 172       [whd in ⊢  (??%?);  >(copy_q0_q1 … a b Hneq Hsrc Hdst) //
 173       | #_ %{a} %{b} % // % //]
 174       | * #H @False_ind @H %
 175       ]
 176     ]
 177   ]
 178 ]
 179 qed.
 180
 181 definition copy ≝ λsrc,dst,sig,n.
 182   whileTM … (copy_step src dst sig n) copy1.
 183
 184 definition R_copy ≝
 185   λsrc,dst,sig,n.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
 186   ((current ? (nth src ? int (niltape ?)) = None ? ∨
 187     current ? (nth dst ? int (niltape ?)) = None ?) → outt = int) ∧
 188   (∀ls,x,x0,rs,ls0,rs0.
 189     nth src ? int (niltape ?) = midtape sig ls x rs →
 190     nth dst ? int (niltape ?) = midtape sig ls0 x0 rs0 →
 191     (∃rs01,rs02.rs0 = rs01@rs02 ∧ |rs01| = |rs| ∧
 192      outt = change_vec ??
 193             (change_vec ?? int
 194               (mk_tape sig (reverse sig rs@x::ls) (None sig) []) src)
 195             (mk_tape sig (reverse sig rs@x::ls0) (option_hd sig rs02)
 196             (tail sig rs02)) dst) ∨
 197     (∃rs1,rs2.rs = rs1@rs2 ∧ |rs1| = |rs0| ∧
 198      outt = change_vec ??
 199             (change_vec ?? int
 200               (mk_tape sig (reverse sig rs1@x::ls) (option_hd sig rs2)
 201             (tail sig rs2)) src)
 202             (mk_tape sig (reverse sig rs1@x::ls0) (None sig) []) dst)).
 203
 204 lemma wsem_copy : ∀src,dst,sig,n.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 205   copy src dst sig n ⊫ R_copy src dst sig n.
 206 #src #dst #sig #n #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
 207 lapply (sem_while … (sem_copy_step src dst sig n Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
 208 -Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
 209 [ whd in ⊢ (%→?); * #Hnone #Hout %
 210   [#_ @Hout
 211   |#ls #x #x0 #rs #ls0 #rs0 #Hsrc1 #Hdst1 @False_ind cases Hnone
 212     [>Hsrc1 normalize #H destruct (H) | >Hdst1 normalize #H destruct (H)]
 213   ]
 214 |#tc #td * #x * #y * * #Hcx #Hcy #Htd #Hstar #IH #He lapply (IH He) -IH *
 215  #IH1 #IH2 %
 216   [* [>Hcx #H destruct (H) | >Hcy #H destruct (H)]
 217   |#ls #x' #y' #rs #ls0 #rs0 #Hnth_src #Hnth_dst
 218    >Hnth_src in Hcx; whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 219    >Hnth_dst in Hcy; whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 220    >Hnth_src in Htd; >Hnth_dst -Hnth_src -Hnth_dst
 221    cases rs
 222     [(* the source tape is empty after the move *)
 223      #Htd lapply (IH1 ?)
 224       [%1 >Htd >nth_change_vec_neq [2:@(not_to_not … Hneq) //] >nth_change_vec //]
 225      #Hout (* whd in match (tape_move ???); *) %1 %{([])} %{rs0} %
 226       [% [// | // ]
 227       |whd in match (reverse ??); whd in match (reverse ??);
 228        >Hout >Htd @eq_f2 // cases rs0 //
 229       ]
 230     |#c1 #tl1 cases rs0
 231       [(* the dst tape is empty after the move *)
 232        #Htd lapply (IH1 ?) [%2 >Htd >nth_change_vec //]
 233        #Hout (* whd in match (tape_move ???); *) %2 %{[ ]} %{(c1::tl1)} %
 234         [% [// | // ]
 235         |whd in match (reverse ??); whd in match (reverse ??);
 236          >Hout >Htd @eq_f2 //
 237         ]
 238       |#c2 #tl2 whd in match (tape_move_mono ???); whd in match (tape_move_mono ???);
 239        #Htd
 240        cut (nth src (tape sig) td (niltape sig)=midtape sig (x::ls) c1 tl1)
 241          [>Htd >nth_change_vec_neq [2:@(not_to_not … Hneq) //] @nth_change_vec //]
 242        #Hsrc_td
 243        cut (nth dst (tape sig) td (niltape sig)=midtape sig (x::ls0) c2 tl2)
 244          [>Htd @nth_change_vec //]
 245        #Hdst_td cases (IH2 … Hsrc_td Hdst_td) -Hsrc_td -Hdst_td
 246         [* #rs01 * #rs02 * * #H1 #H2 #H3 %1
 247          %{(c2::rs01)} %{rs02} % [% [@eq_f //|normalize @eq_f @H2]]
 248          >Htd in H3; >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 249          >change_vec_commute [2:@(not_to_not … Hneq) //] >change_vec_change_vec
 250          #H >reverse_cons >associative_append >associative_append @H
 251         |* #rs11 * #rs12 * * #H1 #H2 #H3 %2
 252          %{(c1::rs11)} %{rs12} % [% [@eq_f //|normalize @eq_f @H2]]
 253          >Htd in H3; >change_vec_commute // >change_vec_change_vec
 254          >change_vec_commute [2:@(not_to_not … Hneq) //] >change_vec_change_vec
 255          #H >reverse_cons >associative_append >associative_append @H
 256         ]
 257       ]
 258     ]
 259   ]
 260 qed.
 261
 262
 263 lemma terminate_copy :  ∀src,dst,sig,n,t.
 264   src ≠ dst → src < S n → dst < S n → copy src dst sig n ↓ t.
 265 #src #dst #sig #n #t #Hneq #Hsrc #Hdts
 266 @(terminate_while … (sem_copy_step …)) //
 267 <(change_vec_same … t src (niltape ?))
 268 cases (nth src (tape sig) t (niltape ?))
 269 [ % #t1 * #x * #y * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
 270 |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #x * #y * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #Hx destruct
 271 | #ls #c #rs lapply c -c lapply ls -ls lapply t -t elim rs
 272   [#t #ls #c % #t1 * #x * #y * * >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?);
 273    #H1 destruct (H1) #_ >change_vec_change_vec #Ht1 %
 274    #t2 * #x0 * #y0 * * >Ht1 >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //]
 275    >nth_change_vec // normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H)
 276   |#r0 #rs0 #IH #t #ls #c % #t1 * #x * #y * * >nth_change_vec //
 277    normalize in ⊢ (%→?); #H destruct (H) #Hcur
 278    >change_vec_change_vec >change_vec_commute // #Ht1 >Ht1 @IH
 279   ]
 280 ]
 281 qed.
 282
 283 lemma sem_copy : ∀src,dst,sig,n.
 284   src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
 285   copy src dst sig n ⊨ R_copy src dst sig n.
 286 #i #j #sig #n #Hneq #Hi #Hj @WRealize_to_Realize [/2/| @wsem_copy // ]
 287 qed.