]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/lib/turing/ntm.ma
Added compare auxiliary machine for universal turing machine.
[helm.git] / matita / matita / lib / turing / ntm.ma
1 (*
2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic   
3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science 
4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.           
5     ||I||                                                            
6     ||T||  
7     ||A||  
8     \   /  This file is distributed under the terms of the       
9      \ /   GNU General Public License Version 2   
10       V_____________________________________________________________*)
11
12 include "basics/star.ma".
13 include "turing/turing.ma".
14
15 (*
16 record Vector (A:Type[0]) (n:nat): Type[0] ≝ 
17 { vec :> list A;
18   len: length ? vec = n
19 }.
20
21 record tape (sig:FinSet): Type[0] ≝ 
22 { left : list sig;
23   right: list sig
24 }.
25
26 inductive move : Type[0] ≝
27 | L : move 
28 | R : move
29 | N : move
30
31 *)
32
33 record NTM (sig:FinSet): Type[1] ≝ 
34 { states : FinSet;
35   tapes_no: nat; (* additional working tapes *)
36   trans : list ((states × (Vector (option sig) (S tapes_no))) ×
37     (states  × (Vector (sig × move) (S tapes_no))));
38   output: list sig;
39   start: states;
40   halt : states → bool;
41   accept : states → bool
42 }.
43
44 record config (sig:FinSet) (M:NTM sig): Type[0] ≝
45 { state : states sig M;
46   tapes : Vector (tape sig) (S (tapes_no sig M))
47 }.
48
49 (*
50 definition option_hd ≝ λA.λl:list A.
51   match l with
52   [nil ⇒ None ?
53   |cons a _ ⇒ Some ? a
54   ].
55
56 lemma length_tail: ∀A,l. length ? (tail A l) = pred (length ? l).
57 #A #l elim l // 
58 qed.
59
60 definition vec_tail ≝ λA.λn.λv:Vector A n.
61 mk_Vector A (pred n) (tail A v) ?.
62 >length_tail >(len A n v) //
63 qed.
64
65 definition vec_cons ≝ λA.λa.λn.λv:Vector A n.
66 mk_Vector A (S n) (cons A a v) ?.
67 normalize >(len A n v) //
68 qed.
69
70 lemma length_map: ∀A,B,l.∀f:A→B. length ? (map ?? f l) = length ? l.
71 #A #B #l #f elim l // #a #tl #Hind normalize //
72 qed.
73
74 definition vec_map ≝ λA,B.λf:A→B.λn.λv:Vector A n.
75 mk_Vector B n (map ?? f v) 
76   (trans_eq … (length_map …) (len A n v)). 
77   
78 definition tape_move ≝ λsig.λt: tape sig.λm:sig × move.
79   match \snd m with
80   [ R ⇒ mk_tape sig ((\fst m)::(left ? t)) (tail ? (right ? t))
81   | L ⇒ mk_tape sig (tail ? (left ? t)) ((\fst m)::(right ? t))
82   ].
83 *)
84
85 (*  
86 definition hds ≝ λsig.λM.λc:config sig M. vec_map ?? (option_hd ?) (tapes_no sig M) (\snd c).
87
88 definition tls ≝ λsig.λM.λc:config sig M.vec_map ?? (tail ?) (tapes_no sig M) (\snd c).
89 *)
90 (*
91 let rec compose A B C (f:A→B→C) l1 l2 on l1 ≝
92    match l1 with
93    [ nil ⇒ nil C
94    | cons a tlA ⇒ 
95      match l2 with
96      [nil ⇒ nil C
97      |cons b tlB ⇒ (f a b)::compose A B C f tlA tlB
98      ]
99    ].
100
101 lemma length_compose: ∀A,B,C.∀f:A→B→C.∀l1,l2.
102 length C (compose  A B C f l1 l2) = 
103   min (length A l1) (length B l2).
104 #A #B #C #f #l1 elim l1 // #a #tlA #Hind #l2 cases l2 //
105 #b #tlB lapply (Hind tlB) normalize 
106 cases (true_or_false (leb (length A tlA) (length B tlB))) #H >H
107 normalize //
108 qed.
109
110 definition compose_vec ≝ λA,B,C.λf:A→B→C.λn.λvA:Vector A n.λvB:Vector B n.
111 mk_Vector C n (compose A B C f vA vB) ?.
112 >length_compose >(len A n vA) >(len B n vB) normalize 
113 >(le_to_leb_true … (le_n n)) //
114 qed.
115 *)
116
117 definition current_chars ≝ λsig.λM:NTM sig.λc:config sig M.
118   vec_map ?? (λt.option_hd ? (right ? t)) (S (tapes_no sig M)) (tapes ?? c).
119
120 let rec mem A (a:A) (l:list A) on l ≝
121   match l with
122   [ nil ⇒ False
123   | cons hd tl ⇒ a=hd ∨ mem A a tl
124   ]. 
125
126 definition reach ≝ λsig.λM:NTM sig.λc,c1:config sig M.
127   ∃q,l,q1,mvs. 
128     state ?? c = q ∧ 
129     halt ?? q = false ∧
130     current_chars ?? c = l ∧
131     mem ? 〈〈q,l〉,〈q1,mvs〉〉 (trans ? M)  ∧ 
132     state ?? c1 = q1 ∧
133     tapes ?? c1 = (compose_vec ??? (tape_move sig) ? (tapes ?? c) mvs).
134
135 (*
136 definition empty_tapes ≝ λsig.λn.
137 mk_Vector ? n (make_list (tape sig) (mk_tape sig [] []) n) ?.
138 elim n // normalize //
139 qed.
140 *)
141
142 definition init ≝ λsig.λM:NTM sig.λi:(list sig).
143   mk_config ??
144     (start sig M)
145     (vec_cons ? (mk_tape sig [] i) ? (empty_tapes sig (tapes_no sig M))).
146
147 definition accepted ≝ λsig.λM:NTM sig.λw:(list sig).
148 ∃c. star ? (reach sig M) (init sig M w) c ∧
149   accept ?? (state ?? c) = true.
150