]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/lib/turing/turing.ma
- cprs and cnx on the way
[helm.git] / matita / matita / lib / turing / turing.ma
1 include "turing/mono.ma".
2 include "basics/vectors.ma".
3
4 (* We do not distinuish an input tape *)
5
6 (* tapes_no = number of ADDITIONAL working tapes *)
7
8 record mTM (sig:FinSet) (tapes_no:nat) : Type[1] ≝ 
9 { states : FinSet;
10   trans : states × (Vector (option sig) (S tapes_no)) → 
11     states  × (Vector ((option sig) × move) (S tapes_no));
12   start: states;
13   halt : states → bool
14 }.
15
16 record mconfig (sig,states:FinSet) (n:nat): Type[0] ≝
17 { cstate : states;
18   ctapes : Vector (tape sig) (S n)
19 }.
20
21 lemma mconfig_expand: ∀sig,n,Q,c. 
22   c = mk_mconfig sig Q n (cstate ??? c) (ctapes ??? c).
23 #sig #n #Q * // 
24 qed.
25   
26 lemma mconfig_eq : ∀sig,n,M,c1,c2.
27   cstate sig n M c1 = cstate sig n M c2 → 
28     ctapes sig n M c1 = ctapes sig n M c2 →  c1 = c2.
29 #sig #n #M1 * #s1 #t1 * #s2 #t2 //
30 qed.
31
32 definition current_chars ≝ λsig.λn.λtapes.
33   vec_map ?? (current sig) (S n) tapes.
34
35 lemma nth_current_chars : ∀sig,n,tapes,i.
36   nth i ? (current_chars sig n tapes) (None ?) 
37    = current sig (nth i ? tapes (niltape sig)).
38 #sig #n #tapes #i >(nth_vec_map … (current sig) i (S n)) %
39 qed.
40
41 definition tape_move_multi ≝ 
42   λsig,n,ts,mvs.
43   pmap_vec ??? (tape_move_mono sig) n ts mvs.
44   
45 lemma tape_move_multi_def : ∀sig,n,ts,mvs.
46   tape_move_multi sig n ts mvs = pmap_vec ??? (tape_move_mono sig) n ts mvs.
47 // qed.
48
49 definition step ≝ λsig.λn.λM:mTM sig n.λc:mconfig sig (states ?? M) n.
50   let 〈news,mvs〉 ≝ trans sig n M 〈cstate ??? c,current_chars ?? (ctapes ??? c)〉 in
51   mk_mconfig ??? news (tape_move_multi sig ? (ctapes ??? c) mvs).
52
53 definition empty_tapes ≝ λsig.λn.
54 mk_Vector ? n (make_list (tape sig) (niltape sig) n) ?.
55 elim n // normalize //
56 qed.
57
58 (************************** Realizability *************************************)
59 definition loopM ≝ λsig,n.λM:mTM sig n.λi,cin.
60   loop ? i (step sig n M) (λc.halt sig n M (cstate ??? c)) cin.
61
62 lemma loopM_unfold : ∀sig,n,M,i,cin.
63   loopM sig n M i cin = loop ? i (step sig n M) (λc.halt sig n M (cstate ??? c)) cin.
64 // qed.
65
66 definition initc ≝ λsig,n.λM:mTM sig n.λtapes.
67   mk_mconfig sig (states sig n M) n (start sig n M) tapes.
68
69 definition Realize ≝ λsig,n.λM:mTM sig n.λR:relation (Vector (tape sig) ?).
70 ∀t.∃i.∃outc.
71   loopM sig n M i (initc sig n M t) = Some ? outc ∧ R t (ctapes ??? outc).
72
73 definition WRealize ≝ λsig,n.λM:mTM sig n.λR:relation (Vector (tape sig) ?).
74 ∀t,i,outc.
75   loopM sig n M i (initc sig n M t) = Some ? outc → R t (ctapes ??? outc).
76
77 definition Terminate ≝ λsig,n.λM:mTM sig n.λt. ∃i,outc.
78   loopM sig n M i (initc sig n M t) = Some ? outc.
79   
80 (* notation "M \vDash R" non associative with precedence 45 for @{ 'models $M $R}. *)
81 interpretation "multi realizability" 'models M R = (Realize ?? M R).
82
83 (* notation "M \VDash R" non associative with precedence 45 for @{ 'wmodels $M $R}. *)
84 interpretation "weak multi realizability" 'wmodels M R = (WRealize ?? M R).
85
86 interpretation "multi termination" 'fintersects M t = (Terminate ?? M t).
87
88 lemma WRealize_to_Realize : ∀sig,n .∀M: mTM sig n.∀R.
89   (∀t.M ↓ t) → M ⊫ R → M ⊨ R.
90 #sig #n #M #R #HT #HW #t cases (HT … t) #i * #outc #Hloop 
91 @(ex_intro … i) @(ex_intro … outc) % // @(HW … i) //
92 qed.
93
94 theorem Realize_to_WRealize : ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀R.
95   M ⊨ R → M ⊫ R.
96 #sig #n #M #R #H1 #inc #i #outc #Hloop 
97 cases (H1 inc) #k * #outc1 * #Hloop1 #HR >(loop_eq … Hloop Hloop1) //
98 qed.
99
100 definition accRealize ≝ λsig,n.λM:mTM sig n.λacc:states sig n M.λRtrue,Rfalse.
101 ∀t.∃i.∃outc.
102   loopM sig n M i (initc sig n M t) = Some ? outc ∧
103     (cstate ??? outc = acc → Rtrue t (ctapes ??? outc)) ∧ 
104     (cstate ??? outc ≠ acc → Rfalse t (ctapes ??? outc)).
105     
106 (* notation "M ⊨ [q: R1,R2]" non associative with precedence 45 for @{ 'cmodels $M $q $R1 $R2}. *)
107 interpretation "conditional multi realizability" 'cmodels M q R1 R2 = (accRealize ?? M q R1 R2).
108
109 (*************************** guarded realizablity *****************************)
110 definition GRealize ≝ λsig,n.λM:mTM sig n.
111  λPre:Vector (tape sig) ? →Prop.λR:relation (Vector (tape sig) ?).
112   ∀t.Pre t → ∃i.∃outc.
113    loopM sig n M i (initc sig n M t) = Some ? outc ∧ R t (ctapes ??? outc).
114   
115 definition accGRealize ≝ λsig,n.λM:mTM sig n.λacc:states sig n M.
116 λPre: Vector (tape sig) ? → Prop.λRtrue,Rfalse.
117 ∀t.Pre t → ∃i.∃outc.
118   loopM sig n M i (initc sig n M t) = Some ? outc ∧
119     (cstate ??? outc = acc → Rtrue t (ctapes ??? outc)) ∧ 
120     (cstate ??? outc ≠ acc → Rfalse t (ctapes ??? outc)).
121     
122 lemma WRealize_to_GRealize : ∀sig,n.∀M: mTM sig n.∀Pre,R.
123   (∀t.Pre t → M ↓ t) → M ⊫ R → GRealize sig n M Pre R.
124 #sig #n #M #Pre #R #HT #HW #t #HPre cases (HT … t HPre) #i * #outc #Hloop 
125 @(ex_intro … i) @(ex_intro … outc) % // @(HW … i) //
126 qed.
127
128 lemma Realize_to_GRealize : ∀sig,n.∀M: mTM sig n.∀P,R. 
129   M ⊨ R → GRealize sig n M P R.
130 #alpha #n #M #Pre #R #HR #t #HPre
131 cases (HR t) -HR #k * #outc * #Hloop #HR 
132 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % 
133   [ @Hloop | @HR ]
134 qed.
135
136 lemma acc_Realize_to_acc_GRealize: ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀q:states sig n M.∀P,R1,R2. 
137   M ⊨ [q:R1,R2] → accGRealize sig n M q P R1 R2.
138 #alpha #n #M #q #Pre #R1 #R2 #HR #t #HPre
139 cases (HR t) -HR #k * #outc * * #Hloop #HRtrue #HRfalse 
140 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % 
141   [ % [@Hloop] @HRtrue | @HRfalse]
142 qed.
143
144 (******************************** monotonicity ********************************)
145 lemma Realize_to_Realize : ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀R1,R2.
146   R1 ⊆ R2 → M ⊨ R1 → M ⊨ R2.
147 #alpha #n #M #R1 #R2 #Himpl #HR1 #intape
148 cases (HR1 intape) -HR1 #k * #outc * #Hloop #HR1
149 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % /2/
150 qed.
151
152 lemma WRealize_to_WRealize: ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀R1,R2.
153   R1 ⊆ R2 → WRealize sig n M R1 → WRealize sig n M R2.
154 #alpha #n #M #R1 #R2 #Hsub #HR1 #intape #i #outc #Hloop
155 @Hsub @(HR1 … i) @Hloop
156 qed.
157
158 lemma GRealize_to_GRealize : ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀P,R1,R2.
159   R1 ⊆ R2 → GRealize sig n M P R1 → GRealize sig n M P R2.
160 #alpha #n #M #P #R1 #R2 #Himpl #HR1 #intape #HP
161 cases (HR1 intape HP) -HR1 #k * #outc * #Hloop #HR1
162 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % /2/
163 qed.
164
165 lemma GRealize_to_GRealize_2 : ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀P1,P2,R1,R2.
166   P2 ⊆ P1 → R1 ⊆ R2 → GRealize sig n M P1 R1 → GRealize sig n M P2 R2.
167 #alpha #n #M #P1 #P2 #R1 #R2 #Himpl1 #Himpl2 #H1 #intape #HP
168 cases (H1 intape (Himpl1 … HP)) -H1 #k * #outc * #Hloop #H1
169 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % /2/
170 qed.
171
172 lemma acc_Realize_to_acc_Realize: ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀q:states sig n M.
173  ∀R1,R2,R3,R4. 
174   R1 ⊆ R3 → R2 ⊆ R4 → M ⊨ [q:R1,R2] → M ⊨ [q:R3,R4].
175 #alpha #n #M #q #R1 #R2 #R3 #R4 #Hsub13 #Hsub24 #HRa #intape
176 cases (HRa intape) -HRa #k * #outc * * #Hloop #HRtrue #HRfalse 
177 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % 
178   [ % [@Hloop] #Hq @Hsub13 @HRtrue // | #Hq @Hsub24 @HRfalse //]
179 qed.
180
181 (**************************** A canonical relation ****************************)
182
183 definition R_mTM ≝ λsig,n.λM:mTM sig n.λq.λt1,t2.
184 ∃i,outc.
185   loopM ? n M i (mk_mconfig ??? q t1) = Some ? outc ∧ 
186   t2 = (ctapes ??? outc).
187   
188 lemma R_mTM_to_R: ∀sig,n.∀M:mTM sig n.∀R. ∀t1,t2. 
189   M ⊫ R → R_mTM ?? M (start sig n M) t1 t2 → R t1 t2.
190 #sig #n #M #R #t1 #t2 whd in ⊢ (%→?); #HMR * #i * #outc *
191 #Hloop #Ht2 >Ht2 @(HMR … Hloop)
192 qed.
193
194 (******************************** NOP Machine *********************************)
195
196 (* NO OPERATION
197    t1 = t2 
198   
199 definition nop_states ≝ initN 1.
200 definition start_nop : initN 1 ≝ mk_Sig ?? 0 (le_n … 1). *)
201
202 definition nop ≝ 
203   λalpha:FinSet.λn.mk_mTM alpha n nop_states
204   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in 〈q,mk_Vector ? (S n) (make_list ? (〈None ?,N〉) (S n)) ?〉)
205   start_nop (λ_.true).
206 elim n normalize //
207 qed.
208   
209 definition R_nop ≝ λalpha,n.λt1,t2:Vector (tape alpha) (S n).t2 = t1.
210
211 lemma sem_nop :
212   ∀alpha,n.nop alpha n⊨ R_nop alpha n.
213 #alpha #n #intapes @(ex_intro ?? 1) 
214 @(ex_intro … (mk_mconfig ??? start_nop intapes)) % % 
215 qed.
216
217 lemma nop_single_state: ∀sig,n.∀q1,q2:states ? n (nop sig n). q1 = q2.
218 normalize #sig #n0 * #n #ltn1 * #m #ltm1 
219 generalize in match ltn1; generalize in match ltm1;
220 <(le_n_O_to_eq … (le_S_S_to_le … ltn1)) <(le_n_O_to_eq … (le_S_S_to_le … ltm1)) 
221 // qed.
222
223 (************************** Sequential Composition ****************************)
224 definition null_action ≝ λsig.λn.
225 mk_Vector ? (S n) (make_list (option sig × move) (〈None ?,N〉) (S n)) ?.
226 elim (S n) // normalize //
227 qed.
228
229 lemma tape_move_null_action: ∀sig,n,tapes.
230   tape_move_multi sig (S n) tapes (null_action sig n) = tapes.
231 #sig #n #tapes cases tapes -tapes #tapes whd in match (null_action ??);
232 #Heq @Vector_eq <Heq -Heq elim tapes //
233 #a #tl #Hind whd in ⊢ (??%?); @eq_f2 // @Hind
234 qed.
235
236 definition seq_trans ≝ λsig,n. λM1,M2 : mTM sig n. 
237 λp. let 〈s,a〉 ≝ p in
238   match s with 
239   [ inl s1 ⇒ 
240       if halt sig n M1 s1 then 〈inr … (start sig n M2), null_action sig n〉
241       else let 〈news1,m〉 ≝ trans sig n M1 〈s1,a〉 in 〈inl … news1,m〉
242   | inr s2 ⇒ let 〈news2,m〉 ≝ trans sig n M2 〈s2,a〉 in 〈inr … news2,m〉
243   ].
244  
245 definition seq ≝ λsig,n. λM1,M2 : mTM sig n. 
246   mk_mTM sig n
247     (FinSum (states sig n M1) (states sig n M2))
248     (seq_trans sig n M1 M2) 
249     (inl … (start sig n M1))
250     (λs.match s with 
251       [ inl _ ⇒ false | inr s2 ⇒ halt sig n M2 s2]). 
252
253 (* notation "a · b" right associative with precedence 65 for @{ 'middot $a $b}. *)
254 interpretation "sequential composition" 'middot a b = (seq ?? a b).
255
256 definition lift_confL ≝ 
257   λsig,n,S1,S2,c.match c with 
258   [ mk_mconfig s t ⇒ mk_mconfig sig (FinSum S1 S2) n (inl … s) t ].
259   
260 definition lift_confR ≝ 
261   λsig,n,S1,S2,c.match c with
262   [ mk_mconfig s t ⇒ mk_mconfig sig (FinSum S1 S2) n (inr … s) t ].
263
264 (* 
265 definition halt_liftL ≝ 
266   λS1,S2,halt.λs:FinSum S1 S2.
267   match s with
268   [ inl s1 ⇒ halt s1
269   | inr _ ⇒ true ]. (* should be vacuous in all cases we use halt_liftL *)
270
271 definition halt_liftR ≝ 
272   λS1,S2,halt.λs:FinSum S1 S2.
273   match s with
274   [ inl _ ⇒ false 
275   | inr s2 ⇒ halt s2 ]. *)
276       
277 lemma p_halt_liftL : ∀sig,n,S1,S2,halt,c.
278   halt (cstate sig S1 n c) =
279      halt_liftL S1 S2 halt (cstate … (lift_confL … c)).
280 #sig #n #S1 #S2 #halt #c cases c #s #t %
281 qed.
282
283 lemma trans_seq_liftL : ∀sig,n,M1,M2,s,a,news,move.
284   halt ?? M1 s = false → 
285   trans sig n M1 〈s,a〉 = 〈news,move〉 → 
286   trans sig n (seq sig n M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inl … news,move〉.
287 #sig #n (*#M1*) * #Q1 #T1 #init1 #halt1 #M2 #s #a #news #move
288 #Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
289 qed.
290
291 lemma trans_seq_liftR : ∀sig,n,M1,M2,s,a,news,move.
292   halt ?? M2 s = false → 
293   trans sig n M2 〈s,a〉 = 〈news,move〉 → 
294   trans sig n (seq sig n M1 M2) 〈inr … s,a〉 = 〈inr … news,move〉.
295 #sig #n #M1 * #Q2 #T2 #init2 #halt2 #s #a #news #move
296 #Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
297 qed.
298
299 lemma step_seq_liftR : ∀sig,n,M1,M2,c0.
300  halt ?? M2 (cstate ??? c0) = false → 
301  step sig n (seq sig n M1 M2) (lift_confR sig n (states ?? M1) (states ?? M2) c0) =
302  lift_confR sig n (states ?? M1) (states ?? M2) (step sig n M2 c0).
303 #sig #n #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 * #s #t
304 lapply (refl ? (trans ??? 〈s,current_chars sig n t〉))
305 cases (trans ??? 〈s,current_chars sig n t〉) in ⊢ (???% → %);
306 #s0 #m0 #Heq #Hhalt whd in ⊢ (???(?????%)); >Heq  whd in ⊢ (???%);
307 whd in ⊢ (??(????%)?); whd in ⊢ (??%?); >(trans_seq_liftR … Heq) //
308 qed.
309
310 lemma step_seq_liftL : ∀sig,n,M1,M2,c0.
311  halt ?? M1 (cstate ??? c0) = false → 
312  step sig n (seq sig n M1 M2) (lift_confL sig n (states ?? M1) (states ?? M2) c0) =
313  lift_confL sig n ?? (step sig n M1 c0).
314 #sig #n #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 * #s #t
315   lapply (refl ? (trans ??? 〈s,current_chars sig n t〉))
316   cases (trans ??? 〈s,current_chars sig n t〉) in ⊢ (???% → %);
317   #s0 #m0 #Heq #Hhalt
318   whd in ⊢ (???(?????%)); >Heq whd in ⊢ (???%);
319   whd in ⊢ (??(????%)?); whd in ⊢ (??%?); >(trans_seq_liftL … Heq) //
320 qed.
321
322 lemma trans_liftL_true : ∀sig,n,M1,M2,s,a.
323   halt ?? M1 s = true → 
324   trans sig n (seq sig n M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inr … (start ?? M2),null_action sig n〉.
325 #sig #n #M1 #M2 #s #a #Hhalt whd in ⊢ (??%?); >Hhalt %
326 qed.
327
328 lemma eq_ctape_lift_conf_L : ∀sig,n,S1,S2,outc.
329   ctapes sig (FinSum S1 S2) n (lift_confL … outc) = ctapes … outc.
330 #sig #n #S1 #S2 #outc cases outc #s #t %
331 qed.
332   
333 lemma eq_ctape_lift_conf_R : ∀sig,n,S1,S2,outc.
334   ctapes sig (FinSum S1 S2) n (lift_confR … outc) = ctapes … outc.
335 #sig #n #S1 #S2 #outc cases outc #s #t %
336 qed.
337
338 theorem sem_seq: ∀sig,n.∀M1,M2:mTM sig n.∀R1,R2.
339   M1 ⊨ R1 → M2 ⊨ R2 → M1 · M2 ⊨ R1 ∘ R2.
340 #sig #n #M1 #M2 #R1 #R2 #HR1 #HR2 #t 
341 cases (HR1 t) #k1 * #outc1 * #Hloop1 #HM1
342 cases (HR2 (ctapes sig (states ?? M1) n outc1)) #k2 * #outc2 * #Hloop2 #HM2
343 @(ex_intro … (k1+k2)) @(ex_intro … (lift_confR … outc2))
344 %
345 [@(loop_merge ??????????? 
346    (loop_lift ??? (lift_confL sig n (states sig n M1) (states sig n M2))
347    (step sig n M1) (step sig n (seq sig n M1 M2)) 
348    (λc.halt sig n M1 (cstate … c)) 
349    (λc.halt_liftL ?? (halt sig n M1) (cstate … c)) … Hloop1))
350   [ * *
351    [ #sl #tl whd in ⊢ (??%? → ?); #Hl %
352    | #sr #tr whd in ⊢ (??%? → ?); #Hr destruct (Hr) ]
353   || #c0 #Hhalt <step_seq_liftL //
354   | #x <p_halt_liftL %
355   |6:cases outc1 #s1 #t1 %
356   |7:@(loop_lift … (initc ??? (ctapes … outc1)) … Hloop2) 
357     [ * #s2 #t2 %
358     | #c0 #Hhalt <step_seq_liftR // ]
359   |whd in ⊢ (??(????%)?);whd in ⊢ (??%?);
360    generalize in match Hloop1; cases outc1 #sc1 #tc1 #Hloop10 
361    >(trans_liftL_true sig n M1 M2 ??) 
362     [ whd in ⊢ (??%?); whd in ⊢ (???%);
363       @mconfig_eq whd in ⊢ (???%); // 
364     | @(loop_Some ?????? Hloop10) ]
365  ]
366 | @(ex_intro … (ctapes ? (FinSum (states ?? M1) (states ?? M2)) ? (lift_confL … outc1)))
367   % // >eq_ctape_lift_conf_L >eq_ctape_lift_conf_R //
368 ]
369 qed.
370
371 theorem sem_seq_app: ∀sig,n.∀M1,M2:mTM sig n.∀R1,R2,R3.
372   M1 ⊨ R1 → M2 ⊨ R2 → R1 ∘ R2 ⊆ R3 → M1 · M2 ⊨ R3.
373 #sig #n #M1 #M2 #R1 #R2 #R3 #HR1 #HR2 #Hsub
374 #t cases (sem_seq … HR1 HR2 t)
375 #k * #outc * #Hloop #Houtc @(ex_intro … k) @(ex_intro … outc)
376 % [@Hloop |@Hsub @Houtc]
377 qed.
378
379 (* composition with guards *)
380 theorem sem_seq_guarded: ∀sig,n.∀M1,M2:mTM sig n.∀Pre1,Pre2,R1,R2.
381   GRealize sig n M1 Pre1 R1 → GRealize sig n M2 Pre2 R2 → 
382   (∀t1,t2.Pre1 t1 → R1 t1 t2 → Pre2 t2) → 
383   GRealize sig n (M1 · M2) Pre1 (R1 ∘ R2).
384 #sig #n #M1 #M2 #Pre1 #Pre2 #R1 #R2 #HGR1 #HGR2 #Hinv #t1 #HPre1
385 cases (HGR1 t1 HPre1) #k1 * #outc1 * #Hloop1 #HM1
386 cases (HGR2 (ctapes sig (states ?? M1) n outc1) ?) 
387   [2: @(Hinv … HPre1 HM1)]  
388 #k2 * #outc2 * #Hloop2 #HM2
389 @(ex_intro … (k1+k2)) @(ex_intro … (lift_confR … outc2))
390 %
391 [@(loop_merge ??????????? 
392    (loop_lift ??? (lift_confL sig n (states sig n M1) (states sig n M2))
393    (step sig n M1) (step sig n (seq sig n M1 M2)) 
394    (λc.halt sig n M1 (cstate … c)) 
395    (λc.halt_liftL ?? (halt sig n M1) (cstate … c)) … Hloop1))
396   [ * *
397    [ #sl #tl whd in ⊢ (??%? → ?); #Hl %
398    | #sr #tr whd in ⊢ (??%? → ?); #Hr destruct (Hr) ]
399   || #c0 #Hhalt <step_seq_liftL //
400   | #x <p_halt_liftL %
401   |6:cases outc1 #s1 #t1 %
402   |7:@(loop_lift … (initc ??? (ctapes … outc1)) … Hloop2) 
403     [ * #s2 #t2 %
404     | #c0 #Hhalt <step_seq_liftR // ]
405   |whd in ⊢ (??(????%)?);whd in ⊢ (??%?);
406    generalize in match Hloop1; cases outc1 #sc1 #tc1 #Hloop10 
407    >(trans_liftL_true sig n M1 M2 ??) 
408     [ whd in ⊢ (??%?); whd in ⊢ (???%);
409       @mconfig_eq whd in ⊢ (???%); //
410     | @(loop_Some ?????? Hloop10) ]
411  ]
412 | @(ex_intro … (ctapes ? (FinSum (states ?? M1) (states ?? M2)) n (lift_confL … outc1)))
413   % // >eq_ctape_lift_conf_L >eq_ctape_lift_conf_R //
414 ]
415 qed.
416
417 theorem sem_seq_app_guarded: ∀sig,n.∀M1,M2:mTM sig n.∀Pre1,Pre2,R1,R2,R3.
418   GRealize sig n M1 Pre1 R1 → GRealize sig n M2 Pre2 R2 → 
419   (∀t1,t2.Pre1 t1 → R1 t1 t2 → Pre2 t2) → R1 ∘ R2 ⊆ R3 →
420   GRealize sig n (M1 · M2) Pre1 R3.
421 #sig #n #M1 #M2 #Pre1 #Pre2 #R1 #R2 #R3 #HR1 #HR2 #Hinv #Hsub
422 #t #HPre1 cases (sem_seq_guarded … HR1 HR2 Hinv t HPre1)
423 #k * #outc * #Hloop #Houtc @(ex_intro … k) @(ex_intro … outc)
424 % [@Hloop |@Hsub @Houtc]
425 qed.
426
427 theorem acc_sem_seq : ∀sig,n.∀M1,M2:mTM sig n.∀R1,Rtrue,Rfalse,acc.
428   M1 ⊨ R1 → M2 ⊨ [ acc: Rtrue, Rfalse ] → 
429   M1 · M2 ⊨ [ inr … acc: R1 ∘ Rtrue, R1 ∘ Rfalse ].
430 #sig #n #M1 #M2 #R1 #Rtrue #Rfalse #acc #HR1 #HR2 #t 
431 cases (HR1 t) #k1 * #outc1 * #Hloop1 #HM1
432 cases (HR2 (ctapes sig (states ?? M1) n outc1)) #k2 * #outc2 * * #Hloop2 
433 #HMtrue #HMfalse
434 @(ex_intro … (k1+k2)) @(ex_intro … (lift_confR … outc2))
435 % [ %
436 [@(loop_merge ??????????? 
437    (loop_lift ??? (lift_confL sig n (states sig n M1) (states sig n M2))
438    (step sig n M1) (step sig n (seq sig n M1 M2)) 
439    (λc.halt sig n M1 (cstate … c)) 
440    (λc.halt_liftL ?? (halt sig n M1) (cstate … c)) … Hloop1))
441   [ * *
442    [ #sl #tl whd in ⊢ (??%? → ?); #Hl %
443    | #sr #tr whd in ⊢ (??%? → ?); #Hr destruct (Hr) ]
444   || #c0 #Hhalt <step_seq_liftL //
445   | #x <p_halt_liftL %
446   |6:cases outc1 #s1 #t1 %
447   |7:@(loop_lift … (initc ??? (ctapes … outc1)) … Hloop2) 
448     [ * #s2 #t2 %
449     | #c0 #Hhalt <step_seq_liftR // ]
450   |whd in ⊢ (??(????%)?);whd in ⊢ (??%?);
451    generalize in match Hloop1; cases outc1 #sc1 #tc1 #Hloop10 
452    >(trans_liftL_true sig n M1 M2 ??) 
453     [ whd in ⊢ (??%?); whd in ⊢ (???%);
454       @mconfig_eq whd in ⊢ (???%); // 
455     | @(loop_Some ?????? Hloop10) ]
456  ]
457 | >(mconfig_expand … outc2) in ⊢ (%→?); whd in ⊢ (??%?→?); 
458   #Hqtrue destruct (Hqtrue)
459   @(ex_intro … (ctapes ? (FinSum (states ?? M1) (states ?? M2)) ? (lift_confL … outc1)))
460   % // >eq_ctape_lift_conf_L >eq_ctape_lift_conf_R /2/ ]
461 | >(mconfig_expand … outc2) in ⊢ (%→?); whd in ⊢ (?(??%?)→?); #Hqfalse
462   @(ex_intro … (ctapes ? (FinSum (states ?? M1) (states ?? M2)) ? (lift_confL … outc1)))
463   % // >eq_ctape_lift_conf_L >eq_ctape_lift_conf_R @HMfalse
464   @(not_to_not … Hqfalse) //
465 ]
466 qed.
467
468 lemma acc_sem_seq_app : ∀sig,n.∀M1,M2:mTM sig n.∀R1,Rtrue,Rfalse,R2,R3,acc.
469   M1 ⊨ R1 → M2 ⊨ [acc: Rtrue, Rfalse] → 
470     (∀t1,t2,t3. R1 t1 t3 → Rtrue t3 t2 → R2 t1 t2) → 
471     (∀t1,t2,t3. R1 t1 t3 → Rfalse t3 t2 → R3 t1 t2) → 
472     M1 · M2 ⊨ [inr … acc : R2, R3].    
473 #sig #n #M1 #M2 #R1 #Rtrue #Rfalse #R2 #R3 #acc
474 #HR1 #HRacc #Hsub1 #Hsub2 
475 #t cases (acc_sem_seq … HR1 HRacc t)
476 #k * #outc * * #Hloop #Houtc1 #Houtc2 @(ex_intro … k) @(ex_intro … outc)
477 % [% [@Hloop
478      |#H cases (Houtc1 H) #t3 * #Hleft #Hright @Hsub1 // ]
479   |#H cases (Houtc2 H) #t3 * #Hleft #Hright @Hsub2 // ]
480 qed.