matita/matita/lib/turing/universal/copy.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 include "turing/universal/marks.ma".
  14
  15 definition copy_step_subcase ≝
  16   λalpha,c,elseM.ifTM ? (test_char ? (λx.x == 〈c,true〉))
  17     (seq (FinProd alpha FinBool) (adv_mark_r …)
  18       (seq ? (move_l …)
  19         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked alpha))
  20           (seq ? (write ? 〈c,false〉)
  21             (seq ? (move_r …)
  22               (seq ? (mark …)
  23                 (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked alpha)))))))))
  24     elseM tc_true.
  25
  26 definition R_copy_step_subcase ≝
  27   λalpha,c,RelseM,t1,t2.
  28     ∀a,l1,x0,a0,l2,x,l3.
  29     t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2)
  30          〈x,true〉 (〈a,false〉::l3) →
  31     (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
  32     (x = c ∧ t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
  33     (x ≠ c ∧ RelseM t1 t2).
  34
  35 lemma sem_copy_step_subcase :
  36   ∀alpha,c,elseM,RelseM. Realize ? elseM RelseM →
  37   Realize ? (copy_step_subcase alpha c elseM) (R_copy_step_subcase alpha c RelseM).
  38 #alpha #c #elseM #RelseM #HelseM #intape
  39 cases (sem_if ? (test_char ? (λx. x == 〈c,true〉)) ?????? tc_true (sem_test_char ? (λx.x == 〈c,true〉))
  40         (sem_seq ????? (sem_adv_mark_r alpha)
  41           (sem_seq ????? (sem_move_l …)
  42             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l … (is_marked alpha))
  43               (sem_seq ????? (sem_write ? 〈c,false〉)
  44                 (sem_seq ????? (sem_move_r …)
  45                   (sem_seq ????? (sem_mark …)
  46                     (sem_seq ????? (sem_move_r …) (sem_adv_to_mark_r … (is_marked alpha)))))))))
  47         HelseM intape)
  48 #k * #outc * #Hloop #HR %{k} %{outc} % [@Hloop] -Hloop
  49 #a #l1 #x0 #a0 #l2 #x #l3 #Hintape #Hl1marks cases HR -HR
  50 [ * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape * * #c0 * whd in ⊢ (??%?→?); #Hx #Hc #Hta
  51   * #tb * whd in ⊢ (%→?); * #Htb cases (Htb (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2) x) -Htb
  52   #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb #_ #_
  53   * #tc * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc #Htc
  54   * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htd cases (Htd … Htc) -Htd #_ #Htd cases (Htd (refl ??))
  55   -Htd #Htd lapply (Htd (l1@[〈a0,false〉]) 〈x0,true〉 l2 ???) //
  56   [#x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) [ @Hl1marks | #Hsingle >(memb_single … Hsingle) % ]
  57   |whd in ⊢ (??%?); // ]
  58   -Htd #Htd #_
  59   * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Hte -Htd -Htc #Hte
  60   * #tf * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htf lapply (Htf … Hte) -Hte -Htf >reverse_append #Htf
  61   * #tg * whd in ⊢ (%→?); * #Htg #_ lapply (Htg … Htf) -Htf -Htg >reverse_single #Htg
  62   * #th * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Hth lapply (Hth … Htg) -Htg -Hth
  63   generalize in match Hl1marks; -Hl1marks @(list_elim_left … l1)
  64   [ #Hl1marks #Hth whd in ⊢ (%→?); * #_ #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
  65     [ * normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
  66     * * #_ #Houtc #_ lapply (Houtc [] ?? (refl ??) (refl ??) Hl1marks) -Houtc
  67     #Houtc % >(\P Hc) in Hx; #Hx destruct (Hx) % // @Houtc
  68   | -l1 #c1 #l1 #_ #Hl1marks >reverse_append >reverse_single
  69     #Hth whd in ⊢ (%→?); * #_ #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
  70     [ * >Hl1marks [ #Hfalse destruct (Hfalse) ] @memb_append_l2 @memb_hd ]
  71     * * #_ #Houtc lapply (Houtc (reverse ? l1@[〈x,false〉]) 〈a,true〉 l3 ? (refl ??) ?) -Houtc
  72     [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) -Hx1 #Hx1
  73       [@Hl1marks @memb_append_l1 <(reverse_reverse … l1) @memb_reverse @Hx1
  74       |>(memb_single … Hx1) % ]
  75     | normalize >associative_append % ]
  76     #Houtc #_ % destruct (Hx) lapply (\P Hc) -Hc #Hc destruct (Hc) % //
  77     >Houtc >reverse_append >reverse_reverse >associative_append >associative_append % ]
  78 | * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape * #Hxc #Hta #Helse %2 %
  79   [| <Hta @Helse ]
  80   % #Hxc0 >Hxc0 in Hxc; #Hxc lapply (Hxc 〈c,true〉 (refl …)) #Hfalse
  81   cases (\Pf Hfalse) #Hfalse0 @Hfalse0 %
  82 ]
  83 qed.
  84
  85 (*
  86 if current = 0,tt
  87    then advance_mark_r;
  88         move_l;
  89         advance_to_mark_l;
  90         write(0,ff)
  91         move_r;
  92         mark;
  93         move_r;
  94         advance_to_mark_r;
  95 else if current = 1,tt
  96    then advance_mark_r;
  97         move_l;
  98         advance_to_mark_l;
  99         write(1,ff)
 100         move_r;
 101         mark;
 102         move_r;
 103         advance_to_mark_r;
 104 else if current = null
 105    then advance_mark_r;
 106         move_l;
 107         advance_to_mark_l
 108         adv_mark_r;
 109         move_r;
 110         advance_to_mark_r
 111 *)
 112
 113 definition nocopy_subcase ≝
 114   ifTM STape (test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉))
 115     (seq ? (adv_mark_r …)
 116       (seq ? (move_l …)
 117         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 118           (seq ? (adv_mark_r …)
 119             (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked ?)))))))
 120     (nop ?) tc_true.
 121
 122 definition R_nocopy_subcase ≝
 123   λt1,t2.
 124     ∀a,l1,x0,a0,l2,x,l3.
 125     t1 = midtape STape (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2)
 126          〈x,true〉 (〈a,false〉::l3) →
 127     (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 128     (x = null ∧
 129      t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x0,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
 130     (x ≠ null ∧ t2 = t1).
 131
 132 lemma sem_nocopy_subcase : Realize ? nocopy_subcase R_nocopy_subcase.
 133 #intape
 134 cases (sem_if ? (test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉)) ?????? tc_true
 135         (sem_test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉))
 136           (sem_seq … (sem_adv_mark_r …)
 137             (sem_seq … (sem_move_l …)
 138               (sem_seq … (sem_adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 139                 (sem_seq … (sem_adv_mark_r …)
 140                   (sem_seq … (sem_move_r …)
 141                     (sem_adv_to_mark_r … (is_marked ?))))))) (sem_nop ?) intape)
 142 #k * #outc * #Hloop #HR @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)  % [@Hloop] -Hloop
 143 #a #l1 #x0 #a0 #l2 #x #l3 #Hintape #Hl1marks cases HR -HR
 144 [ * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape * * #c * whd in ⊢ (??%?→?); #Hc destruct (Hc) #Hx #Hta
 145   * #tb * whd in ⊢ (%→?); * #Htb #_ cases (Htb (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2) x) -Htb #Htb #_ lapply (Htb … Hta) -Hta -Htb #Htb
 146   * #tc * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc #Htc
 147   * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htd cases (Htd … Htc) -Htd #_ #Htd cases (Htd (refl …)) -Htd #Htd #_
 148   lapply (Htd (l1@[〈a0,false〉]) 〈x0,true〉 l2 ? (refl …) ?)
 149   [#x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) [@Hl1marks| -Hx1 #Hx1 >(memb_single … Hx1) % ]
 150   |>associative_append % ] -Htd >reverse_append in ⊢ (???%→?); >associative_append in ⊢ (???%→?); #Htd
 151   * #te * whd in ⊢ (%→?); * #Hte cases (Hte l2 x0) -Hte #Hte #_ #_ lapply (Hte … Htd) -Hte -Htd -Htc #Hte
 152   * #tf * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htf lapply (Htf … Hte) -Hte -Htf
 153   generalize in match Hl1marks; -Hl1marks @(list_elim_left … l1)
 154   [ #Hl1marks #Hth whd in ⊢ (%→?); * #_ #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
 155     [ * normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 156     * * #_ #Houtc lapply (Houtc [] ?? (refl ??) (refl ??) Hl1marks) -Houtc
 157     #Houtc lapply (\P Hx) -Hx #Hx destruct (Hx) #_ % % [%] @Houtc
 158   | -l1 #c1 #l1 #_ #Hl1marks >reverse_append >reverse_single
 159     #Hth whd in ⊢ (%→?); * #_ #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
 160     [ * >Hl1marks [ #Hfalse destruct (Hfalse) ] @memb_append_l2 @memb_hd ]
 161     * * #Hc1 #Houtc #_ lapply (Houtc (reverse ? l1@[〈x,false〉]) 〈a,true〉 l3 ? (refl ??) ?) -Houtc
 162     [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) -Hx1 #Hx1
 163       [@Hl1marks @memb_append_l1 <(reverse_reverse … l1) @memb_reverse @Hx1
 164       |>(memb_single … Hx1) % ]
 165     | normalize >associative_append % ]
 166     #Houtc lapply (\P Hx) -Hx #Hx destruct (Hx) % % [%] >Houtc
 167     >reverse_append >reverse_reverse >associative_append >associative_append % ]
 168 | * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape * #Hxc
 169   cut (x ≠ null) [ % #Hx cases (\Pf (Hxc ? (refl …))) #Hfalse @Hfalse >Hx % ] -Hxc #Hxnull
 170   #Hta whd in ⊢ (%→?); #Houtc %2 % // <Hta @Houtc ]
 171 qed.
 172
 173 definition copy_step ≝
 174   ifTM ? (test_char STape (λc.bit_or_null (\fst c)))
 175   (single_finalTM ? (copy_step_subcase FSUnialpha (bit false)
 176     (copy_step_subcase FSUnialpha (bit true) nocopy_subcase)))
 177   (nop ?)
 178   tc_true.
 179
 180 definition R_copy_step_true ≝
 181   λt1,t2.
 182     ∀ls,c,rs. t1 = midtape STape ls 〈c,true〉 rs →
 183     bit_or_null c = true ∧
 184     (∀a,l1,x0,a0,l2,l3.
 185      ls = (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2) →
 186      rs = (〈a,false〉::l3) →
 187      no_marks l1 →
 188      ((∃x. c = bit x ∧
 189       t2 = midtape STape (〈bit x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈bit x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
 190       (c = null ∧
 191       t2 = midtape ? (〈null,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x0,false〉::l2) 〈a,true〉 l3))).
 192
 193 definition R_copy_step_false ≝
 194   λt1,t2.
 195    ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
 196    bit_or_null (\fst c) = false ∧ t2 = t1.
 197
 198 lemma sem_copy_step :
 199   accRealize ? copy_step (inr … (inl … (inr … start_nop))) R_copy_step_true R_copy_step_false.
 200 #intape
 201 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.bit_or_null (\fst c)))  …
 202     (sem_copy_step_subcase FSUnialpha (bit false) …
 203        (sem_copy_step_subcase FSUnialpha (bit true) … (sem_nocopy_subcase …)))
 204           (sem_nop …))
 205 [ #t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→%→?); #H1 #H2 #ls #c #rs #Ht1 >Ht1 in H1;
 206   * * #c0 * whd in ⊢ (??%?→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hc #Ht3 % //
 207   #a #l1 #x0 #a0 #l2 #l3 #Hls #Hrs #Hl1marks >Hls in Ht3; >Hrs #Ht3
 208   cases (H2 … Ht3 ?)
 209   [ * #Hc' #Ht2 % %{false} % // <Hc' @Ht2
 210   | * #Hnotfalse whd in ⊢ (%→?); #Ht2 cases (Ht2 … Ht3 ?) -Ht2
 211     [ * #Hc' #Ht2 % %{true} % // <Hc' @Ht2
 212     |  * #Hnottrue whd in ⊢ (%→?); #Ht2 cases (Ht2 … Ht3 ?) -Ht2
 213       [ * #Hc' #Ht2 %2 <Hc' % // @Ht2
 214       | * #Hnotnull @False_ind
 215         generalize in match Hnotnull;generalize in match Hnottrue;generalize in match Hnotfalse;
 216         cases c in Hc; normalize
 217         [ * [ #_ #_ * #Hfalse #_ | #_ * #Hfalse #_ #_ ]
 218         | #_ #_ #_ * #Hfalse
 219         |*: #Hfalse destruct (Hfalse) ] @Hfalse %
 220       | @Hl1marks ]
 221     | @Hl1marks ]
 222   | @Hl1marks ]
 223 | #t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→%→?); #H1 #H2 #ls #c #rs #Ht1
 224   >Ht1 in H1; * #Hcur #Ht3 % // @Hcur % ]
 225 qed.
 226
 227 (*
 228 1) il primo carattere è marcato
 229 2) l'ultimo carattere è l'unico che può essere null, gli altri sono bit
 230 3) il terminatore non è né bit, né null
 231 *)
 232
 233 definition copy0 ≝ whileTM ? copy_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 234
 235 let rec merge_config (l1,l2:list STape) ≝
 236   match l1 with
 237   [ nil ⇒ nil ?
 238   | cons p1 l1' ⇒ match l2 with
 239     [ nil ⇒ nil ?
 240     | cons p2 l2' ⇒
 241            let 〈c1,b1〉 ≝ p1 in let 〈c2,b2〉 ≝ p2 in
 242            match c2 with
 243            [ null ⇒ p1
 244            | _ ⇒ p2 ] :: merge_config l1' l2' ] ].
 245
 246 lemma merge_config_append :
 247  ∀l1,l2,l3,l4.|l1| = |l2| →
 248  merge_config (l1@l3) (l2@l4) = merge_config l1 l2@merge_config l3 l4.
 249 #l1 #l2 #l3 #l4 #Hlen @(list_ind2 … Hlen)
 250 [normalize //
 251 | #t1 #t2 * #c1 #b1 * #c2 #b2 #IH whd in ⊢ (??%%); >IH % ]
 252 qed.
 253
 254 definition R_copy0 ≝ λt1,t2.
 255   ∀ls,c,c0,rs,l1,l3,l4.
 256   t1 = midtape STape (l3@l4@〈c0,true〉::ls) 〈c,true〉 (l1@rs) →
 257   no_marks l1 → no_marks (l3@l4) → |l1| = |l4| →
 258   ∀l1',bv.〈c,false〉::l1 = l1'@[〈comma,bv〉] → only_bits_or_nulls l1' →
 259   ∀l4',bg.l4@[〈c0,false〉] = 〈grid,bg〉::l4' → only_bits_or_nulls l4' →
 260   (c = comma ∧ t2 = t1) ∨
 261   (c ≠ comma ∧
 262     t2 = midtape ? (reverse ? l1'@l3@〈grid,true〉::
 263                   merge_config l4' (reverse ? l1')@ls)
 264      〈comma,true〉 rs).
 265
 266 lemma inj_append_singleton_l1 :
 267   ∀A.∀l1,l2:list A.∀a1,a2.l1@[a1] = l2@[a2] → l1 = l2.
 268 #A #l1 #l2 #a1 #a2 #H lapply (eq_f … (reverse ?) … H)
 269 >reverse_append >reverse_append normalize #H1 destruct
 270 lapply (eq_f … (reverse ?) … e0) >reverse_reverse >reverse_reverse //
 271 qed.
 272
 273 lemma inj_append_singleton_l2 :
 274   ∀A.∀l1,l2:list A.∀a1,a2.l1@[a1] = l2@[a2] → a1 = a2.
 275 #A #l1 #l2 #a1 #a2 #H lapply (eq_f … (reverse ?) … H)
 276 >reverse_append >reverse_append normalize #H1 destruct %
 277 qed.
 278
 279 axiom daemon : ∀P:Prop.P.
 280
 281 lemma wsem_copy0 : WRealize ? copy0 R_copy0.
 282 #intape #k #outc #Hloop
 283 lapply (sem_while … sem_copy_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 284 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 285 [ #tb whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 286   #ls #c #c0 #rs #l1 #l3 #l4 #Htb #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen #l1' #bv
 287   #Hl1 #Hl1bits #l4' #bg #Hl4 #Hl4bits
 288   cases (Hleft … Htb) -Hleft #Hc #Houtc % %
 289   [ generalize in match Hl1bits; -Hl1bits cases l1' in Hl1;
 290     [ normalize #Hl1 #c1 destruct (Hl1) %
 291     | * #c' #b' #l0 #Heq normalize in Heq; destruct (Heq)
 292       #Hl1bits lapply (Hl1bits 〈c',false〉 ?) [ @memb_hd ]
 293       >Hc #Hfalse destruct ]
 294   | @Houtc ]
 295 | #tb #tc #td whd in ⊢ (%→?→(?→%)→%→?); #Htc #Hstar1 #Hind #Htd
 296   lapply (Hind Htd) -Hind #Hind
 297   #ls #c #c0 #rs #l1 #l3 #l4 #Htb #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen #l1' #bv
 298   #Hl1 #Hl1bits #l4' #bg #Hl4 #Hl4bits %2
 299   cases (Htc … Htb) -Htc #Hcbitnull #Htc
 300   % [ % #Hc' >Hc' in Hcbitnull; normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 301   cut (|l1| = |reverse ? l4|) [>length_reverse @Hlen] #Hlen1
 302   @(list_cases2 … Hlen1)
 303   [ (* case l1 = [] is discriminated because l1 contains at least comma *)
 304     #Hl1nil @False_ind >Hl1nil in Hl1; cases l1' normalize
 305     [ #Hl1 destruct normalize in Hcbitnull; destruct (Hcbitnull)
 306     | #p0 #l0 normalize #Hfalse destruct (Hfalse) cases l0 in e0;
 307       [ normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1)
 308       | #p0' #l0' normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1) ] ]
 309   | (* case c::l1 = c::a::l1'' *)
 310     * #a #ba * #a0 #ba0 #l1'' #l4'' #Hl1cons #Hl4cons
 311     lapply (eq_f ?? (reverse ?) ?? Hl4cons) >reverse_reverse >reverse_cons -Hl4cons #Hl4cons
 312     cut (ba = false)
 313     [ >Hl1cons in Hl1nomarks; #Hl1nomarks lapply (Hl1nomarks 〈a,ba〉 ?)
 314       [ @memb_hd | normalize // ] ] #Hba
 315     cut (ba0 = false)
 316     [ >Hl4cons in Hl3l4nomarks; #Hl3l4nomarks lapply (Hl3l4nomarks 〈a0,ba0〉 ?)
 317       [ @memb_append_l2 @memb_append_l2 @memb_hd | normalize // ] ] #Hba0
 318     >Hba0 in Hl4cons; >Hba in Hl1cons; -Hba0 -Hba #Hl1cons #Hl4cons
 319     >Hl4cons in Htc; >Hl1cons #Htc
 320     lapply (Htc a (l3@reverse ? l4'') c0 a0 ls (l1''@rs) ? (refl ??) ?)
 321     [ #x #Hx @Hl3l4nomarks >Hl4cons <associative_append
 322       @memb_append_l1 @Hx
 323     | >associative_append >associative_append %
 324     | -Htc
 325       cut (∃la.l1' = 〈c,false〉::la)
 326       [ >Hl1cons in Hl1; cases l1'
 327         [normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 328         | #p #la normalize #Hla destruct (Hla) @(ex_intro ?? la) % ] ]
 329       * #la #Hla
 330       cut (∃lb.l4' = lb@[〈c0,false〉])
 331       [ >Hl4cons in Hl4;
 332         @(list_elim_left … l4')
 333         [ #Heq lapply (eq_f … (length ?) … Heq)
 334           >length_append >length_append
 335           >commutative_plus normalize >commutative_plus normalize
 336           #Hfalse destruct
 337         | #a1 #tl #_ #Heq
 338           >(inj_append_singleton_l2 ? (reverse ? l4''@[〈a0,false〉]) (〈grid,bg〉::tl) 〈c0,false〉 a1 Heq)
 339           @ex_intro //
 340       ] ] * #lb #Hlb
 341       cut (|lb| = |reverse ? la|)
 342       [ >Hla in Hl1; >Hlb in Hl4; #Hl4 #Hl1
 343         >(?:l1 = la@[〈comma,bv〉]) in Hlen;
 344         [|normalize in Hl1; destruct (Hl1) %]
 345         >(?:l4 = 〈grid,bg〉::lb)
 346         [|@(inj_append_singleton_l1 ?? (〈grid,bg〉::lb) ?? Hl4) ]
 347         >length_append >commutative_plus >length_reverse
 348         normalize #Hlalb destruct (Hlalb) //
 349       ] #Hlen2
 350       *
 351       (* by hyp on the first iteration step,
 352          we consider whether c = bit x or c = null *)
 353       (* c = bit x *)
 354       [ * #x * #Hx #Htc
 355         lapply (Hind (〈bit x,false〉::ls) a a0 rs l1''
 356                 (〈bit x,false〉::l3) (reverse ? l4'') ????)
 357         [ >Hl1cons in Hlen; >Hl4cons >length_append >commutative_plus
 358           normalize #Hlen destruct (Hlen) //
 359         | #x0 #Hx0 cases (orb_true_l … Hx0)
 360           [ #Hx0eq >(\P Hx0eq) %
 361           | -Hx0 #Hx0 @Hl3l4nomarks >Hl4cons
 362             <associative_append @memb_append_l1 // ]
 363         | #x0 #Hx0 @Hl1nomarks >Hl1cons @memb_cons //
 364         | >Htc >associative_append %
 365         | -Hind
 366           <Hl1cons <Hl4cons #Hind lapply (Hind la bv ?? lb bg ??)
 367           [ #x0 #Hx0 @Hl4bits >Hlb @memb_append_l1 //
 368           | >Hlb in Hl4; normalize in ⊢ (%→?); #Hl4
 369             @(inj_append_singleton_l1 ? l4 (〈grid,bg〉::lb) … Hl4)
 370           | #x0 #Hx0 @Hl1bits >Hla @memb_cons //
 371           | >Hla in Hl1; normalize in ⊢ (%→?); #Hl1
 372             destruct (Hl1) // ] -Hind
 373           (* by IH, we proceed by cases, whether a = comma
 374              (consequently several lists = []) or not *)
 375           *
 376           [ * #Ha #Houtc1
 377            cut (la = [] ∧ lb = [] ∧ l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 378            [ @daemon ] * * * #Hla1 #Hlb1 #Hl1nil #Hl4nil
 379            >Hl1cons in Hl1; >Hla
 380            >Houtc1 >Htc #Hl1
 381            >Hl4cons in Hl4; >Hlb #Hl4
 382            >Hla1 >Hlb1 >Hl1nil >Hl4nil >Hx
 383            cut (a0 = grid) [ @daemon ] #Ha0 <Ha <Ha0
 384            normalize in ⊢ (??(??%?%)(??%?%)); >associative_append %
 385           | * #Ha #Houtc1 >Houtc1 @eq_f3 //
 386             >Hla >reverse_cons >associative_append @eq_f
 387             >Hx whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (???%); @eq_f @eq_f
 388             >Hlb >append_cons @eq_f2 // >(merge_config_append … Hlen2) %
 389           ]
 390        ]
 391     | (* c = null *)
 392       * #Hc #Htc
 393       lapply (Hind (〈c0,false〉::ls) a a0 rs l1'' (〈null,false〉::l3) (reverse ? l4'') ????)
 394       [  >Hl1cons in Hlen; >Hl4cons >length_append >commutative_plus normalize
 395          #Hlen destruct (Hlen) @e0
 396       | #x0 #Hx0 cases (memb_append STape ? [〈null,false〉] (l3@reverse ? l4'') … Hx0) -Hx0 #Hx0
 397         [ >(memb_single … Hx0) %
 398         | @Hl3l4nomarks cases (memb_append … Hx0) -Hx0 #Hx0
 399           [ @memb_append_l1 //
 400           | @memb_append_l2 >Hl4cons @memb_append_l1 // ]
 401         ]
 402       | >Hl1cons #x' #Hx0 @Hl1nomarks >Hl1cons @memb_cons //
 403       | >Htc @eq_f3 // >associative_append % ] -Hind <Hl1cons <Hl4cons #Hind
 404         lapply (Hind la bv ?? lb bg ??)
 405           [ #x0 #Hx0 @Hl4bits >Hlb @memb_append_l1 //
 406           | >Hlb in Hl4; normalize in ⊢ (%→?); #Hl4
 407             @(inj_append_singleton_l1 ? l4 (〈grid,bg〉::lb) … Hl4)
 408           | #x0 #Hx0 @Hl1bits >Hla @memb_cons //
 409           | >Hla in Hl1; normalize in ⊢ (%→?); #Hl1
 410             destruct (Hl1) // ] -Hind *
 411           (* by IH, we proceed by cases, whether a = comma
 412              (consequently several lists = []) or not *)
 413           [ * #Ha #Houtc1 >Hl1cons in Hl1; >Hla
 414            >Houtc1 >Htc #Hl1
 415            >Hl4cons in Hl4; >Hlb #Hl4
 416            cut (la = [] ∧ lb = [] ∧ l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 417            [@daemon] * * * #Hla1 #Hlb1 #Hl1nil #Hl4nil
 418            >Hla1 >Hlb1 >Hl1nil >Hl4nil >Hc
 419            cut (a0 = grid) [ @daemon ] #Ha0 <Ha <Ha0
 420            normalize in ⊢ (??(??%?%)(??%?%)); >associative_append %
 421           | * #Ha #Houtc1 >Houtc1 @eq_f3 //
 422             >Hla >reverse_cons >associative_append @eq_f
 423             >Hc whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (???%); @eq_f @eq_f
 424             >Hlb >append_cons @eq_f2 // >(merge_config_append … Hlen2) %
 425           ]
 426        ]
 427 ]]]
 428 qed.
 429
 430 definition merge_char ≝ λc1,c2.
 431   match c2 with
 432   [ null ⇒ c1
 433   | _ ⇒ c2 ].
 434
 435 lemma merge_cons :
 436   ∀c1,c2,conf1,conf2.
 437   merge_config (〈c1,false〉::conf1) (〈c2,false〉::conf2) =
 438     〈merge_char c1 c2,false〉::merge_config conf1 conf2.
 439 #c1 #c2 #conf1 #conf2 normalize @eq_f2 //
 440 cases c2 /2/
 441 qed.
 442
 443 lemma merge_bits : ∀l1,l2.|l1| = |l2| → only_bits l2 → merge_config l1 l2 = l2.
 444 #l1 #l2 #Hlen @(list_ind2 … Hlen) //
 445 #tl1 #tl2 #hd1 #hd2 #IH
 446 >(eq_pair_fst_snd … hd1) >(eq_pair_fst_snd … hd2) #Hbits
 447 change with (cons ???) in ⊢ (??%?); @eq_f2
 448 [ cases (\fst hd2) in Hbits;
 449   [ #b #_ %
 450   |*: #Hfalse lapply (Hfalse … (memb_hd …)) normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1) ]
 451 | @IH #x #Hx @Hbits @memb_cons // ]
 452 qed.
 453
 454 lemma merge_config_c_nil :
 455   ∀c.merge_config c [] = [].
 456 #c cases c normalize //
 457 qed.
 458
 459 lemma reverse_merge_config :
 460   ∀c1,c2.|c1| = |c2| → reverse ? (merge_config c1 c2) =
 461     merge_config (reverse ? c1) (reverse ? c2).
 462 #c1 #c2 <(length_reverse ? c1) <(length_reverse ? c2) #Hlen
 463 <(reverse_reverse ? c1) in ⊢ (??%?); <(reverse_reverse ? c2) in ⊢ (??%?);
 464 generalize in match Hlen; @(list_ind2 … Hlen) -Hlen //
 465 #tl1 #tl2 #hd1 #hd2 #IH whd in ⊢ (??%%→?); #Hlen destruct (Hlen) -Hlen
 466 <(length_reverse ? tl1) in e0; <(length_reverse ? tl2) #Hlen
 467 >reverse_cons >reverse_cons >(merge_config_append ???? Hlen)
 468 >reverse_append >(eq_pair_fst_snd ?? hd1) >(eq_pair_fst_snd ?? hd2)
 469 whd in ⊢ (??%%); @eq_f2 // @IH //
 470 qed.
 471
 472 definition copy
 473 ≝
 474   seq STape copy0 (seq ? (move_l …) (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 475    (seq ? (clear_mark …) (seq ? (adv_to_mark_r … (is_marked ?)) (clear_mark …))))).
 476
 477 (*
 478    s0, s1 = caratteri di testa dello stato
 479    c0 = carattere corrente del nastro oggetto
 480    c1 = carattere in scrittura sul nastro oggetto
 481
 482    questa dimostrazione sfrutta il fatto che
 483    merge_config (l0@[c0]) (l1@[c1]) = l1@[merge_char c0 c1]
 484    se l0 e l1 non contengono null
 485 *)
 486
 487 definition R_copy ≝ λt1,t2.
 488   ∀ls,s0,s1,c0,c1,rs,l1,l3,l4.
 489   t1 = midtape STape (l3@〈grid,false〉::〈c0,false〉::l4@〈s0,true〉::ls) 〈s1,true〉 (l1@〈c1,false〉::〈comma,false〉::rs) →
 490   no_marks l1 → no_marks l3 → no_marks l4 → |l1| = |l4| →
 491   only_bits (l4@[〈s0,false〉]) → only_bits (〈s1,false〉::l1) →
 492   bit_or_null c0 = true → bit_or_null c1 = true →
 493   t2 = midtape STape (〈c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::l3@〈grid,false〉::
 494                       〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)
 495        〈comma,false〉 rs.
 496
 497 axiom sem_copy0 : Realize ? copy0 R_copy0.
 498
 499 definition option_cons ≝ λA.λa:option A.λl.
 500   match a with
 501   [ None ⇒ l
 502   | Some a' ⇒ a'::l ].
 503
 504 lemma sem_copy : Realize ? copy R_copy.
 505 #intape
 506 cases (sem_seq … (sem_copy0 …)
 507         (sem_seq … (sem_move_l …)
 508           (sem_seq … (sem_adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 509             (sem_seq … (sem_clear_mark …)
 510               (sem_seq … (sem_adv_to_mark_r … (is_marked ?)) (sem_clear_mark …))))) intape)
 511 #k * #outc * #Hloop #HR %{k} %{outc} % [@Hloop] -Hloop
 512 #ls #s0 #s1 #c0 #c1 #rs #l1 #l2 #l3 #Hintape #Hl1marks #Hl2marks #Hl3marks #Hlen
 513 #Hbits1 #Hbits2 #Hc0bits #Hc1bits
 514 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 515 cut (ta = midtape STape (〈c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::l2@〈grid,true〉::
 516                       〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)
 517        〈comma,true〉 rs)
 518 [lapply (Hta ls s1 s0 rs (l1@[〈c1,false〉;〈comma,false〉]) l2 (〈grid,false〉::〈c0,false〉::l3) ?)
 519   [>associative_append in ⊢ (???(????%)); normalize in ⊢ (???(??%%%)); @Hintape ]
 520  -Hta #Hta cases (Hta ??? (〈s1,false〉::l1@[〈c1,false〉]) false ? ? ?? (refl ??) ?)
 521   [3: #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 522     [ @Hl1marks //
 523     | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx [ >(\P Hx) % | >(memb_single … Hx) % ]]
 524   |4: #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 525     [ @Hl2marks //
 526     | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx [ >(\P Hx) % | cases (orb_true_l … Hx) [-Hx #Hx >(\P Hx) % | @Hl3marks ] ] ]
 527   |5: >length_append normalize >Hlen >commutative_plus %
 528   |6: normalize >associative_append %
 529   |7: #x #Hx cases (memb_append ?? (〈s1,false〉::l1) … Hx) -Hx #Hx
 530     [ whd in ⊢ (??%?); >(Hbits2 … Hx) %
 531     | >(memb_single … Hx) // ]
 532   |8: #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 533     [ cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx [ >(\P Hx) // | whd in ⊢ (??%?); >Hbits1 // @memb_append_l1 // ]
 534     | >(memb_single … Hx) whd in ⊢ (??%?); >(Hbits1 〈s0,false〉) // @memb_append_l2 @memb_hd ]
 535   | * #Hs1 @False_ind >Hs1 in Hbits2; #Hbits2 lapply (Hbits2 〈comma,false〉 ?) //
 536     normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 537   | * #Hs1 #Ht2 >Ht2 >reverse_cons >reverse_append >reverse_single @eq_f3 //
 538     >merge_cons >merge_bits
 539     [2: #x #Hx @Hbits2 cases (memb_append STape ? (reverse ? l1) ? Hx) -Hx #Hx
 540       [@daemon | >(memb_single … Hx) @memb_hd ]
 541     |3: >length_append >length_append >length_reverse >Hlen % ]
 542     normalize >associative_append normalize >associative_append %
 543   ]
 544 ] -Hta #Hta * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 545 lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb change with (midtape ????) in Htb:(???%);
 546 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 547 cases (Htc … Htb)
 548 [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 549 * #_ #Htc
 550 lapply (Htc (reverse ? l1@〈s1,false〉::l2) 〈grid,true〉
 551           (〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)???)
 552 [ #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 553   [ @Hl1marks @daemon
 554   | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 555     [ >(\P Hx) % | @(Hl2marks … Hx) ] ]
 556 | %
 557 | whd in ⊢ (??%?); >associative_append % ] -Htc #Htc
 558 * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htd #Htd
 559 * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte cases (Hte … Htd) -Hte -Htd
 560 [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 561 * #_ #Hte
 562 lapply (Hte (reverse ? (reverse ? l1@〈s1,false〉::l2)@[〈c1,false〉])
 563          〈comma,true〉 rs ? (refl ??) ?) -Hte
 564 [ >reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse #x #Hx
 565   cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 566   [ cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 567     [ cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 568       [ @daemon
 569       | lapply (memb_single … Hx) -Hx #Hx >Hx % ]
 570     | @(Hl1marks … Hx) ]
 571   | lapply (memb_single … Hx) -Hx #Hx >Hx % ]
 572 | >reverse_append >reverse_reverse >reverse_cons
 573   >associative_append >associative_append >associative_append
 574   >associative_append >associative_append % ]
 575 #Hte whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc #Houtc >Houtc
 576 @eq_f3 //
 577 >reverse_append >reverse_append >reverse_single >reverse_cons
 578 >reverse_append >reverse_append >reverse_reverse >reverse_reverse
 579 >reverse_single >associative_append >associative_append %
 580 qed.