matita/matita/lib/turing/universal/copy.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/tuples.ma".
  18
  19 definition write_states ≝ initN 2.
  20
  21 definition write ≝ λalpha,c.
  22   mk_TM alpha write_states
  23   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
  24     match q with
  25     [ O ⇒ 〈1,Some ? 〈c,N〉〉
  26     | S _ ⇒ 〈1,None ?〉 ])
  27   O (λx.x == 1).
  28
  29 definition R_write ≝ λalpha,c,t1,t2.
  30   ∀ls,x,rs.t1 = midtape alpha ls x rs → t2 = midtape alpha ls c rs.
  31
  32 axiom sem_write : ∀alpha,c.Realize ? (write alpha c) (R_write alpha c).
  33
  34 definition copy_step_subcase ≝
  35   λalpha,c,elseM.ifTM ? (test_char ? (λx.x == 〈c,true〉))
  36     (seq (FinProd alpha FinBool) (adv_mark_r …)
  37       (seq ? (move_l …)
  38         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked alpha))
  39           (seq ? (write ? 〈c,false〉)
  40             (seq ? (move_r …)
  41               (seq ? (mark …)
  42                 (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked alpha)))))))))
  43     elseM tc_true.
  44
  45 definition R_copy_step_subcase ≝
  46   λalpha,c,RelseM,t1,t2.
  47     ∀ls,x,rs.t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈x,true〉 rs →
  48     (x = c ∧
  49      ∀a,l1,x0,a0,l2,l3. (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
  50      ls = l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2 →
  51      rs = 〈a,false〉::l3 →
  52      t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
  53     (x ≠ c ∧ RelseM t1 t2).
  54
  55 axiom sem_copy_step_subcase :
  56   ∀alpha,c,elseM,RelseM.
  57   Realize ? (copy_step_subcase alpha c elseM) (R_copy_step_subcase alpha c RelseM).
  58
  59 (*
  60 if current = 0,tt
  61    then advance_mark_r;
  62         move_l;
  63         advance_to_mark_l;
  64         write(0,ff)
  65         move_r;
  66         mark;
  67         move_r;
  68         advance_to_mark_r;
  69 else if current = 1,tt
  70    then advance_mark_r;
  71         move_l;
  72         advance_to_mark_l;
  73         write(1,ff)
  74         move_r;
  75         mark;
  76         move_r;
  77         advance_to_mark_r;
  78 else nop
  79 *)
  80
  81 definition copy_step ≝
  82   ifTM ? (test_char STape (λc.is_bit (\fst c)))
  83   (single_finalTM ? (copy_step_subcase FSUnialpha (bit false)
  84     (copy_step_subcase FSUnialpha (bit true) (nop ?))))
  85   (nop ?)
  86   tc_true.
  87
  88 definition R_copy_step_true ≝
  89   λt1,t2.
  90     ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls 〈c,true〉 rs →
  91     ∃x. c = bit x ∧
  92     (∀a,l1,c0,a0,l2,l3. (∀y.memb ? y l1 = true → is_marked ? y = false) →
  93      ls = l1@〈a0,false〉::〈c0,true〉::l2 →
  94      rs = 〈a,false〉::l3 →
  95      t2 = midtape STape (〈bit x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈bit x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3).
  96
  97 definition R_copy_step_false ≝
  98   λt1,t2.
  99    ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
 100    is_bit (\fst c) = false ∧ t2 = t1.
 101
 102 axiom sem_comp_step :
 103   accRealize ? copy_step (inr … (inl … (inr … 0))) R_copy_step_true R_copy_step_false.
 104
 105 definition copy ≝ whileTM ? copy_step (inr … (inl … (inr … 0))).
 106
 107 definition R_copy ≝ λt1,t2.
 108   ∀ls,c,rs.t1 = midtape ? ls 〈c,true〉 rs →
 109   (∀l1,d,l2,l3,l4.
 110    〈c,false〉::rs = l1@〈d,false〉::l2 → only_bits l1 → is_bit d = false →
 111    ls = l3@l4@〈c0,true〉::l5 → |l4| = |l1@[〈d,false〉]|
 112
 113
 114
 115 axiom no_grids_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_grids l.
 116 (*
 117 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
 118    ^                               ^
 119
 120 if current (* x *) = #
 121    then
 122    else if x = 0
 123       then move_right; ----
 124            adv_to_mark_r;
 125            if current (* x0 *) = 0
 126               then advance_mark ----
 127                    adv_to_mark_l;
 128                    advance_mark
 129               else STOP
 130       else x = 1 (* analogo *)
 131
 132 *)
 133
 134
 135 (*
 136    MARK NEXT TUPLE machine
 137    (partially axiomatized)
 138
 139    marks the first character after the first bar (rightwards)
 140  *)
 141
 142 definition bar_or_grid ≝ λc:STape.is_bar (\fst c) ∨ is_grid (\fst c).
 143
 144 definition mark_next_tuple ≝
 145   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 146      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
 147        (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1).
 148
 149 definition R_mark_next_tuple ≝
 150   λt1,t2.
 151     ∀ls,c,rs1,rs2.
 152     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
 153     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
 154     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
 155     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
 156       no_bars rs3 ∧
 157       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
 158       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
 159     ∨
 160     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
 161
 162 axiom tech_split :
 163   ∀A:DeqSet.∀f,l.
 164    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
 165    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
 166 (*#A #f #l elim l
 167 [ % #x normalize #Hfalse *)
 168
 169 theorem sem_mark_next_tuple :
 170   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
 171 #intape
 172 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 173          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1) ????)
 174 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
 175 | //
 176 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
 177    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
 178    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
 179    -Hloop
 180    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
 181    cases (Hleft … Hrs)
 182    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
 183    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
 184      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
 185        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
 186        | %
 187        | -Hta #Hta cases Hright
 188          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 189            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 190            [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 191            | >Hta % ]
 192          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 193            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 194            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 195              %2 %
 196              [ @H1
 197              | >Houtc >Htb >Hta % ]
 198            | >Hta % ]
 199          ]
 200        ]
 201     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 202       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 203      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 204      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 205        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 206        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 207      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 208      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 209        cases Hright
 210        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 211          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 212          cases (Hta' c0 ?)
 213          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 214            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 215            cases rs4 in Hta;
 216            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 217              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 218              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 219                % [ % [ %
 220                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 221                | (* Hc0 *) @daemon ]
 222            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 223              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 224              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 225              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 226                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 227                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 228              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 229                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 230                cases (Hta' c0 ?)
 231                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 232                  #Hc0 destruct (Hc0)
 233                | >Hta % ]
 234 ]]]]
 235 qed.
 236
 237 definition init_current ≝
 238   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 239     (seq ? (clear_mark ?)
 240        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 241           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 242
 243 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 244   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 245   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 246   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 247   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 248         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 249
 250 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 251 #intape
 252 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 253         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 254            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 255              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 256 #k * #outc * #Hloop #HR
 257 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 258 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 259 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 260 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 261 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 262 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 263 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 264 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 265 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 266 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 267 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 268 >reverse_append >reverse_cons
 269 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 270 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 271   #Htd >(Houtc … Htd) %
 272 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 273   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 274   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 275   >associative_append >associative_append %
 276 ]
 277 qed.
 278
 279 definition match_tuple_step ≝
 280   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 281    (single_finalTM ?
 282      (seq ? compare
 283       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 284         (nop ?)
 285         (seq ? mark_next_tuple
 286            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 287              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 288     (nop ?) tc_true.
 289
 290 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 291   ∀ls,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs,n.
 292   is_bit c = true → only_bits l1 → no_grids l2 → is_bit c1 = true →
 293   only_bits l3 → n = |l1| → |l1| = |l3| →
 294   table_TM (S n) (〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 295   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 296          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs) →
 297   (* facciamo match *)
 298   (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 299   t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 300         (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs))
 301   ∨
 302   (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 303   ((〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 304    ∃c2,l5,l6,l7.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6@〈comma,false〉::l7 ∧
 305    (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 306    t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 307          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::
 308           l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈comma,false〉::l7))
 309   ∨
 310   (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 311      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 312      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 313   (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 314
 315 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 316   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 317
 318 include alias "basics/logic.ma".
 319
 320 (*
 321 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 322   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 323     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 324 //
 325 qed-. *)
 326
 327 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 328   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 329 #A #l #a cases l normalize /2/
 330 qed.
 331
 332 lemma bit_not_grid: ∀d. is_bit d = true → is_grid d = false.
 333 * // normalize #H destruct
 334 qed.
 335
 336 lemma bit_not_bar: ∀d. is_bit d = true → is_bar d = false.
 337 * // normalize #H destruct
 338 qed.
 339
 340 axiom sem_match_tuple_step:
 341     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0)))
 342     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 343 (* @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 344   (sem_seq … sem_compare
 345     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 346       (sem_nop …)
 347         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 348            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 349              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 350   (sem_nop ?) …)
 351 [(* is_grid: termination case *)
 352  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 353   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 354     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 355 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Htapea
 356  * #tapec * #Hcompare #Hor
 357  #ls #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs #n #Hc #Hl1 #Hl2 #Hc1 #Hl3 #eqn
 358  #eqlen #Htable #Htapea1 cases (Htapea 〈c,true〉 ?) >Htapea1 [2:%]
 359  #notgridc -Htapea -Htapea1 -tapea #Htapeb
 360  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 361  cases (Hcompare c c1 l1 l3 (l2@[〈bar,false〉]) (l4@〈grid,false〉::rs) eqlen … (refl …) Hc ?)
 362  -Hcompare
 363    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % [%]
 364     >Htapec in Hor; -Htapec *
 365      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 366       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 367      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 368       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped >associative_append
 369       %
 370      ]
 371    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 372     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 373       [>H2 >H3 elim la
 374         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 375         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 376         ]
 377       ] #Hnoteq %2
 378     cut (is_bit d' = true)
 379       [cases la in H3;
 380         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 381         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 382          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 383         ]
 384       ] #Hd'
 385     >Htapec in Hor; -Htapec *
 386      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 387       cases (H … (refl …)) >Hd' #Htemp destruct (Htemp)
 388      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 389       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 390       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 391       lapply (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 392        [whd in ⊢ (??%?); >(bit_not_grid … Hd') >(bit_not_bar … Hd') %
 393        |#x #Hx cases (memb_append … Hx)
 394          [-Hx #Hx @bit_not_grid @Hl3 cases la in H3; normalize
 395            [#H3 destruct (H3) @Hx | #y #tl #H3 destruct (H3)
 396             @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ]
 397          |-Hx #Hx @(no_grids_in_table … Htable)
 398           @memb_cons @memb_append_l2 @Hx
 399          ]
 400        |@daemon (* TODO *)
 401        |*
 402          [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 403            [* #d * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 404             whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 405             #Htapee *
 406              [* #tapef * whd in ⊢ (%→?); >Htapee -Htapee #Htapef
 407               cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 408               whd in ⊢ (%→?); #H lapply (H … ???? (refl …)) #Htapeout
 409               %1 %
 410               [ //| @daemon]
 411               | >Htapeout %
 412               ]
 413            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); >Htapee -Htapee #Htapef
 414             cases (Htapef … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 415            ]
 416          |* #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 417           cut (is_grid d2 = false) [@daemon (* ??? *)] #Hd2
 418           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 419            [* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 420             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 421            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 422             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 423             * #tapeg >Htapef -Htapef * whd in ⊢ (%→?);
 424             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 425             >Htapeg -Htapeg whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 426             %1 cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 427             * #c00 #b00 #Hoption
 428             lapply
 429              (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? (l2@[〈bar,false〉])@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 430              c' (reverse ? la) false ls bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs) c00 b00 ?????) -Htapeout
 431               [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 432                >associative_append
 433                generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls); #l
 434                whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append
 435                %
 436               |@daemon
 437               |@daemon
 438               |@daemon
 439               |@daemon
 440               |@daemon
 441               ]
 442            ]
 443          ]
 444        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 445          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 446           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 447           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2
 448           >(Htapeout … (refl …)) %
 449            [ %
 450              [ @daemon
 451              | @daemon
 452              ]
 453            | %
 454            ]
 455          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 456           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 457           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 458          ]
 459        |
 460
 461
 462
 463
 464
 465
 466   ????? (refl …) Hc ?) -Hcompare
 467  #Hcompare
 468   is_bit c = true → only_bits l1 → no_grids l2 → is_bit c1 = true →
 469   only_bits l3 → n = |l2| → |l2| = |l3| →
 470   table_TM (S n) (〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4) →#x
 471
 472   #intape
 473 cases
 474   (acc_sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 475     (sem_seq … sem_compare
 476       (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 477         (sem_nop …)
 478         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 479            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 480              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 481     (sem_nop ?) intape)
 482 #k * #outc * * #Hloop #H1 #H2
 483 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) %
 484 [ % [@Hloop ] ] -Hloop
 485   *)
 486
 487 (*
 488   MATCH TUPLE
 489
 490   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 491   current configuration is found
 492 *)
 493
 494 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0))).
 495
 496 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 497   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 498   is_bit c = true → only_bits l1 → is_bit c1 = true → n = |l1| →
 499   table_TM (S n) (〈c1,true〉::l2) →
 500   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 501          (l1@〈grid,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 502   (* facciamo match *)
 503   (∃l3,newc,mv,l4.
 504    〈c1,false〉::l2 = l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4 ∧
 505    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 506         (l3@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4@〈grid,false〉::rs))
 507   ∨
 508   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 509      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 510      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 511   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 512    ∀l3,newc,mv,l4.
 513    〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4).