matita/matita/lib/turing/universal/copy.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 include "turing/universal/tuples.ma".
  14
  15 definition write_states ≝ initN 2.
  16
  17 definition wr0 : write_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 2 (refl …)).
  18 definition wr1 : write_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 2 (refl …)).
  19
  20 definition write ≝ λalpha,c.
  21   mk_TM alpha write_states
  22   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
  23     match pi1 … q with
  24     [ O ⇒ 〈wr1,Some ? 〈c,N〉〉
  25     | S _ ⇒ 〈wr1,None ?〉 ])
  26   wr0 (λx.x == wr1).
  27
  28 definition R_write ≝ λalpha,c,t1,t2.
  29   ∀ls,x,rs.t1 = midtape alpha ls x rs → t2 = midtape alpha ls c rs.
  30
  31 axiom sem_write : ∀alpha,c.Realize ? (write alpha c) (R_write alpha c).
  32
  33 definition copy_step_subcase ≝
  34   λalpha,c,elseM.ifTM ? (test_char ? (λx.x == 〈c,true〉))
  35     (seq (FinProd alpha FinBool) (adv_mark_r …)
  36       (seq ? (move_l …)
  37         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked alpha))
  38           (seq ? (write ? 〈c,false〉)
  39             (seq ? (move_r …)
  40               (seq ? (mark …)
  41                 (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked alpha)))))))))
  42     elseM tc_true.
  43
  44 definition R_copy_step_subcase ≝
  45   λalpha,c,RelseM,t1,t2.
  46     ∀a,l1,x0,a0,l2,x,l3.
  47     t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2)
  48          〈x,true〉 (〈a,false〉::l3) →
  49     (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
  50     (x = c ∧ t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
  51     (x ≠ c ∧ RelseM t1 t2).
  52
  53 lemma sem_copy_step_subcase :
  54   ∀alpha,c,elseM,RelseM. Realize ? elseM RelseM →
  55   Realize ? (copy_step_subcase alpha c elseM) (R_copy_step_subcase alpha c RelseM).
  56 #alpha #c #elseM #RelseM #HelseM #intape
  57 cases (sem_if ? (test_char ? (λx. x == 〈c,true〉)) ?????? tc_true (sem_test_char ? (λx.x == 〈c,true〉))
  58         (sem_seq ????? (sem_adv_mark_r alpha)
  59           (sem_seq ????? (sem_move_l …)
  60             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l … (is_marked alpha))
  61               (sem_seq ????? (sem_write ? 〈c,false〉)
  62                 (sem_seq ????? (sem_move_r …)
  63                   (sem_seq ????? (sem_mark …)
  64                     (sem_seq ????? (sem_move_r …) (sem_adv_to_mark_r … (is_marked alpha)))))))))
  65         HelseM intape)
  66 #k * #outc * #Hloop #HR %{k} %{outc} % [@Hloop] -Hloop
  67 #a #l1 #x0 #a0 #l2 #x #l3 #Hintape #Hl1marks cases HR -HR
  68 [ * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape #Hta cases (Hta … (refl ??)) -Hta #Hx #Hta
  69   * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Hta -Htb #Htb
  70   * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc #Htc
  71   * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
  72   [ >Htc * normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
  73   * #_ #Htd lapply (Htd (l1@[〈a0,false〉]) 〈x0,true〉 l2 ? (refl ??) ?) -Htd
  74   [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) -Hx1 #Hx1 [@(Hl1marks ? Hx1)|>(memb_single … Hx1) %]
  75   | normalize >associative_append % ] #Htd
  76   * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Hte -Htd -Htc #Hte
  77   * #tf * whd in ⊢ (%→?); #Htf lapply (Htf … Hte) -Hte -Htf >reverse_append #Htf
  78   * #tg * whd in ⊢ (%→?); #Htg lapply (Htg … Htf) -Htf -Htg >reverse_single #Htg
  79   * #th * whd in ⊢ (%→?); #Hth lapply (Hth … Htg) -Htg -Hth
  80   generalize in match Hl1marks; -Hl1marks @(list_elim_left … l1)
  81   [ #Hl1marks #Hth whd in ⊢ (%→?); #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
  82     [ * normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
  83     * #_ #Houtc lapply (Houtc [] ?? (refl ??) (refl ??) Hl1marks) -Houtc
  84     #Houtc lapply (\P Hx) -Hx #Hx destruct (Hx) % % [%] @Houtc
  85   | -l1 #c1 #l1 #_ #Hl1marks >reverse_append >reverse_single
  86     #Hth whd in ⊢ (%→?); #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
  87     [ * >Hl1marks [ #Hfalse destruct (Hfalse) ] @memb_append_l2 @memb_hd ]
  88     * #_ #Houtc lapply (Houtc (reverse ? l1@[〈x,false〉]) 〈a,true〉 l3 ? (refl ??) ?) -Houtc
  89     [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) -Hx1 #Hx1 [ @Hl1marks @memb_append_l1 @daemon | >(memb_single … Hx1) % ]
  90     | normalize >associative_append % ]
  91     #Houtc lapply (\P Hx) -Hx #Hx destruct (Hx) % % [%] >Houtc
  92     >reverse_append >reverse_reverse >associative_append >associative_append % ]
  93 | * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape #Hta cases (Hta ? (refl ??)) -Hta
  94   #Hxc #Hta >Hta #Houtc %2 % // lapply (\Pf Hxc) @not_to_not #Heq >Heq % ]
  95 qed.
  96
  97 (*
  98 if current = 0,tt
  99    then advance_mark_r;
 100         move_l;
 101         advance_to_mark_l;
 102         write(0,ff)
 103         move_r;
 104         mark;
 105         move_r;
 106         advance_to_mark_r;
 107 else if current = 1,tt
 108    then advance_mark_r;
 109         move_l;
 110         advance_to_mark_l;
 111         write(1,ff)
 112         move_r;
 113         mark;
 114         move_r;
 115         advance_to_mark_r;
 116 else if current = null
 117    then advance_mark_r;
 118         move_l;
 119         advance_to_mark_l
 120         adv_mark_r;
 121         move_r;
 122         advance_to_mark_r
 123 *)
 124
 125 definition nocopy_subcase ≝
 126   ifTM STape (test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉))
 127     (seq ? (adv_mark_r …)
 128       (seq ? (move_l …)
 129         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 130           (seq ? (adv_mark_r …)
 131             (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked ?)))))))
 132     (nop ?) tc_true.
 133
 134 definition R_nocopy_subcase ≝
 135   λt1,t2.
 136     ∀a,l1,x0,a0,l2,x,l3.
 137     t1 = midtape STape (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2)
 138          〈x,true〉 (〈a,false〉::l3) →
 139     (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 140     (x = null ∧
 141      t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x0,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
 142     (x ≠ null ∧ t2 = t1).
 143
 144 lemma sem_nocopy_subcase : Realize ? nocopy_subcase R_nocopy_subcase.
 145 #intape
 146 cases (sem_if ? (test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉)) ?????? tc_true
 147         (sem_test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉))
 148           (sem_seq … (sem_adv_mark_r …)
 149             (sem_seq … (sem_move_l …)
 150               (sem_seq … (sem_adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 151                 (sem_seq … (sem_adv_mark_r …)
 152                   (sem_seq … (sem_move_r …)
 153                     (sem_adv_to_mark_r … (is_marked ?))))))) (sem_nop ?) intape)
 154 #k * #outc * #Hloop #HR @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)  % [@Hloop] -Hloop
 155 #a #l1 #x0 #a0 #l2 #x #l3 #Hintape #Hl1marks cases HR -HR
 156 [ * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape #Hta cases (Hta … (refl ??)) -Hta #Hx #Hta
 157   * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Hta -Htb #Htb
 158   * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc #Htc
 159   * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 160   [ >Htc * normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 161   * #_ #Htd lapply (Htd (l1@[〈a0,false〉]) 〈x0,true〉 l2 ? (refl ??) ?) -Htd
 162   [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) -Hx1 #Hx1 [@(Hl1marks ? Hx1)|>(memb_single … Hx1) %]
 163   | normalize >associative_append % ] >reverse_append #Htd
 164   * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Hte -Htd -Htc #Hte
 165   * #tf * whd in ⊢ (%→?); #Htf lapply (Htf … Hte) -Hte -Htf
 166   generalize in match Hl1marks; -Hl1marks @(list_elim_left … l1)
 167   [ #Hl1marks #Hth whd in ⊢ (%→?); #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
 168     [ * normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 169     * #_ #Houtc lapply (Houtc [] ?? (refl ??) (refl ??) Hl1marks) -Houtc
 170     #Houtc lapply (\P Hx) -Hx #Hx destruct (Hx) % % [%] @Houtc
 171   | -l1 #c1 #l1 #_ #Hl1marks >reverse_append >reverse_single
 172     #Hth whd in ⊢ (%→?); #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
 173     [ * >Hl1marks [ #Hfalse destruct (Hfalse) ] @memb_append_l2 @memb_hd ]
 174     * #_ #Houtc lapply (Houtc (reverse ? l1@[〈x,false〉]) 〈a,true〉 l3 ? (refl ??) ?) -Houtc
 175     [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) -Hx1 #Hx1 [ @Hl1marks @memb_append_l1 @daemon | >(memb_single … Hx1) % ]
 176     | normalize >associative_append % ]
 177     #Houtc lapply (\P Hx) -Hx #Hx destruct (Hx) % % [%] >Houtc
 178     >reverse_append >reverse_reverse >associative_append >associative_append % ]
 179 | * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape #Hta cases (Hta ? (refl ??)) -Hta
 180   #Hxc #Hta >Hta whd in ⊢ (%→?); #Houtc %2 %
 181   [ lapply (\Pf Hxc) @not_to_not #Heq >Heq %
 182   | @Houtc ]
 183 qed.
 184
 185 definition copy_step ≝
 186   ifTM ? (test_char STape (λc.bit_or_null (\fst c)))
 187   (single_finalTM ? (copy_step_subcase FSUnialpha (bit false)
 188     (copy_step_subcase FSUnialpha (bit true) nocopy_subcase)))
 189   (nop ?)
 190   tc_true.
 191
 192 definition R_copy_step_true ≝
 193   λt1,t2.
 194     ∀ls,c,rs. t1 = midtape STape ls 〈c,true〉 rs →
 195     bit_or_null c = true ∧
 196     (∀a,l1,x0,a0,l2,l3.
 197      ls = (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2) →
 198      rs = (〈a,false〉::l3) →
 199      no_marks l1 →
 200      ((∃x. c = bit x ∧
 201       t2 = midtape STape (〈bit x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈bit x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
 202       (c = null ∧
 203       t2 = midtape ? (〈null,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x0,false〉::l2) 〈a,true〉 l3))).
 204
 205 definition R_copy_step_false ≝
 206   λt1,t2.
 207    ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
 208    bit_or_null (\fst c) = false ∧ t2 = t1.
 209
 210 lemma sem_copy_step :
 211   accRealize ? copy_step (inr … (inl … (inr … start_nop))) R_copy_step_true R_copy_step_false.
 212 #intape
 213 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.bit_or_null (\fst c)))  …
 214     (sem_copy_step_subcase FSUnialpha (bit false) …
 215        (sem_copy_step_subcase FSUnialpha (bit true) … (sem_nocopy_subcase …)))
 216           (sem_nop …))
 217 [ #t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→%→?); #H1 #H2 #ls #c #rs #Ht1 >Ht1 in H1; #H1
 218   cases (H1 … (refl ??)) #Hc #Ht3 % [ @Hc ]
 219   #a #l1 #x0 #a0 #l2 #l3 #Hls #Hrs #Hl1marks >Hls in Ht3; >Hrs #Ht3
 220   cases (H2 … Ht3 ?)
 221   [ * #Hc' #Ht2 % %{false} % // <Hc' @Ht2
 222   | * #Hnotfalse whd in ⊢ (%→?); #Ht2 cases (Ht2 … Ht3 ?) -Ht2
 223     [ * #Hc' #Ht2 % %{true} % // <Hc' @Ht2
 224     |  * #Hnottrue whd in ⊢ (%→?); #Ht2 cases (Ht2 … Ht3 ?) -Ht2
 225       [ * #Hc' #Ht2 %2 <Hc' % // @Ht2
 226       | * #Hnotnull @False_ind
 227         generalize in match Hnotnull;generalize in match Hnottrue;generalize in match Hnotfalse;
 228         cases c in Hc; normalize
 229         [ * [ #_ #_ * #Hfalse #_ | #_ * #Hfalse #_ #_ ]
 230         | #_ #_ #_ * #Hfalse
 231         |*: #Hfalse destruct (Hfalse) ] @Hfalse %
 232       | @Hl1marks ]
 233     | @Hl1marks ]
 234   | @Hl1marks ]
 235 | #t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→%→?); #H1 #H2 #ls #c #rs #Ht1
 236   >Ht1 in H1; #H1 cases (H1 … (refl ??)) #_ #Ht3 cases (H1 ? (refl ??)) -H1
 237   #Hc #Ht3 % //
 238 ]
 239 qed.
 240
 241 (*
 242 1) il primo carattere è marcato
 243 2) l'ultimo carattere è l'unico che può essere null, gli altri sono bit
 244 3) il terminatore non è né bit, né null
 245 *)
 246
 247 definition copy0 ≝ whileTM ? copy_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 248
 249 let rec merge_config (l1,l2:list STape) ≝
 250   match l1 with
 251   [ nil ⇒ nil ?
 252   | cons p1 l1' ⇒ match l2 with
 253     [ nil ⇒ nil ?
 254     | cons p2 l2' ⇒
 255            let 〈c1,b1〉 ≝ p1 in let 〈c2,b2〉 ≝ p2 in
 256            match c2 with
 257            [ null ⇒ p1
 258            | _ ⇒ p2 ] :: merge_config l1' l2' ] ].
 259
 260 lemma merge_config_append :
 261  ∀l1,l2,l3,l4.|l1| = |l2| →
 262  merge_config (l1@l3) (l2@l4) = merge_config l1 l2@merge_config l3 l4.
 263 #l1 #l2 #l3 #l4 #Hlen @(list_ind2 … Hlen)
 264 [normalize //
 265 | #t1 #t2 * #c1 #b1 * #c2 #b2 #IH whd in ⊢ (??%%); >IH % ]
 266 qed.
 267
 268 definition R_copy0 ≝ λt1,t2.
 269   ∀ls,c,c0,rs,l1,l3,l4.
 270   t1 = midtape STape (l3@l4@〈c0,true〉::ls) 〈c,true〉 (l1@rs) →
 271   no_marks l1 → no_marks (l3@l4) → |l1| = |l4| →
 272   ∀l1',bv.〈c,false〉::l1 = l1'@[〈comma,bv〉] → only_bits_or_nulls l1' →
 273   ∀l4',bg.l4@[〈c0,false〉] = 〈grid,bg〉::l4' → only_bits_or_nulls l4' →
 274   (c = comma ∧ t2 = t1) ∨
 275   (c ≠ comma ∧
 276     t2 = midtape ? (reverse ? l1'@l3@〈grid,true〉::
 277                   merge_config l4' (reverse ? l1')@ls)
 278      〈comma,true〉 rs).
 279
 280 lemma inj_append_singleton_l1 :
 281   ∀A.∀l1,l2:list A.∀a1,a2.l1@[a1] = l2@[a2] → l1 = l2.
 282 #A #l1 #l2 #a1 #a2 #H lapply (eq_f … (reverse ?) … H)
 283 >reverse_append >reverse_append normalize #H1 destruct
 284 lapply (eq_f … (reverse ?) … e0) >reverse_reverse >reverse_reverse //
 285 qed.
 286
 287 lemma inj_append_singleton_l2 :
 288   ∀A.∀l1,l2:list A.∀a1,a2.l1@[a1] = l2@[a2] → a1 = a2.
 289 #A #l1 #l2 #a1 #a2 #H lapply (eq_f … (reverse ?) … H)
 290 >reverse_append >reverse_append normalize #H1 destruct %
 291 qed.
 292
 293 lemma wsem_copy0 : WRealize ? copy0 R_copy0.
 294 #intape #k #outc #Hloop
 295 lapply (sem_while … sem_copy_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 296 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 297 [ #tb whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 298   #ls #c #c0 #rs #l1 #l3 #l4 #Htb #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen #l1' #bv
 299   #Hl1 #Hl1bits #l4' #bg #Hl4 #Hl4bits
 300   cases (Hleft … Htb) -Hleft #Hc #Houtc % %
 301   [ generalize in match Hl1bits; -Hl1bits cases l1' in Hl1;
 302     [ normalize #Hl1 #c1 destruct (Hl1) %
 303     | * #c' #b' #l0 #Heq normalize in Heq; destruct (Heq)
 304       #Hl1bits lapply (Hl1bits 〈c',false〉 ?) [ @memb_hd ]
 305       >Hc #Hfalse destruct ]
 306   | @Houtc ]
 307 | #tb #tc #td whd in ⊢ (%→?→(?→%)→%→?); #Htc #Hstar1 #Hind #Htd
 308   lapply (Hind Htd) -Hind #Hind
 309   #ls #c #c0 #rs #l1 #l3 #l4 #Htb #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen #l1' #bv
 310   #Hl1 #Hl1bits #l4' #bg #Hl4 #Hl4bits %2
 311   cases (Htc … Htb) -Htc #Hcbitnull #Htc
 312   % [ % #Hc' >Hc' in Hcbitnull; normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 313   cut (|l1| = |reverse ? l4|) [@daemon] #Hlen1
 314   @(list_cases2 … Hlen1)
 315   [ (* case l1 = [] is discriminated because l1 contains at least comma *)
 316     #Hl1nil @False_ind >Hl1nil in Hl1; cases l1' normalize
 317     [ #Hl1 destruct normalize in Hcbitnull; destruct (Hcbitnull)
 318     | #p0 #l0 normalize #Hfalse destruct (Hfalse) cases l0 in e0;
 319       [ normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1)
 320       | #p0' #l0' normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1) ] ]
 321   | (* case c::l1 = c::a::l1'' *)
 322     * #a #ba * #a0 #ba0 #l1'' #l4'' #Hl1cons #Hl4cons
 323     lapply (eq_f ?? (reverse ?) ?? Hl4cons) >reverse_reverse >reverse_cons -Hl4cons #Hl4cons
 324     cut (ba = false)
 325     [ >Hl1cons in Hl1nomarks; #Hl1nomarks lapply (Hl1nomarks 〈a,ba〉 ?)
 326       [ @memb_hd | normalize // ] ] #Hba
 327     cut (ba0 = false)
 328     [ >Hl4cons in Hl3l4nomarks; #Hl3l4nomarks lapply (Hl3l4nomarks 〈a0,ba0〉 ?)
 329       [ @memb_append_l2 @memb_append_l2 @memb_hd | normalize // ] ] #Hba0
 330     >Hba0 in Hl4cons; >Hba in Hl1cons; -Hba0 -Hba #Hl1cons #Hl4cons
 331     >Hl4cons in Htc; >Hl1cons #Htc
 332     lapply (Htc a (l3@reverse ? l4'') c0 a0 ls (l1''@rs) ? (refl ??) ?)
 333     [ #x #Hx @Hl3l4nomarks >Hl4cons <associative_append
 334       @memb_append_l1 @Hx
 335     | >associative_append >associative_append %
 336     | -Htc
 337       cut (∃la.l1' = 〈c,false〉::la)
 338       [ >Hl1cons in Hl1; cases l1'
 339         [normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 340         | #p #la normalize #Hla destruct (Hla) @(ex_intro ?? la) % ] ]
 341       * #la #Hla
 342       cut (∃lb.l4' = lb@[〈c0,false〉])
 343       [ >Hl4cons in Hl4;
 344         @(list_elim_left … l4')
 345         [ #Heq lapply (eq_f … (length ?) … Heq)
 346           >length_append >length_append
 347           >commutative_plus normalize >commutative_plus normalize
 348           #Hfalse destruct
 349         | #a1 #tl #_ #Heq
 350           >(inj_append_singleton_l2 ? (reverse ? l4''@[〈a0,false〉]) (〈grid,bg〉::tl) 〈c0,false〉 a1 Heq)
 351           @ex_intro //
 352       ] ] * #lb #Hlb
 353       cut (|lb| = |reverse ? la|)
 354       [ >Hla in Hl1; >Hlb in Hl4; #Hl4 #Hl1
 355         >(?:l1 = la@[〈comma,bv〉]) in Hlen;
 356         [|normalize in Hl1; destruct (Hl1) %]
 357         >(?:l4 = 〈grid,bg〉::lb)
 358         [|@(inj_append_singleton_l1 ?? (〈grid,bg〉::lb) ?? Hl4) ]
 359         >length_append >commutative_plus >length_reverse
 360         normalize #Hlalb destruct (Hlalb) //
 361       ] #Hlen2
 362       *
 363       (* by hyp on the first iteration step,
 364          we consider whether c = bit x or c = null *)
 365       (* c = bit x *)
 366       [ * #x * #Hx #Htc
 367         lapply (Hind (〈bit x,false〉::ls) a a0 rs l1''
 368                 (〈bit x,false〉::l3) (reverse ? l4'') ????)
 369         [ >Hl1cons in Hlen; >Hl4cons >length_append >commutative_plus
 370           normalize #Hlen destruct (Hlen) //
 371         | #x0 #Hx0 cases (orb_true_l … Hx0)
 372           [ #Hx0eq >(\P Hx0eq) %
 373           | -Hx0 #Hx0 @Hl3l4nomarks >Hl4cons
 374             <associative_append @memb_append_l1 // ]
 375         | #x0 #Hx0 @Hl1nomarks >Hl1cons @memb_cons //
 376         | >Htc >associative_append %
 377         | -Hind
 378           <Hl1cons <Hl4cons #Hind lapply (Hind la bv ?? lb bg ??)
 379           [ #x0 #Hx0 @Hl4bits >Hlb @memb_append_l1 //
 380           | >Hlb in Hl4; normalize in ⊢ (%→?); #Hl4
 381             @(inj_append_singleton_l1 ? l4 (〈grid,bg〉::lb) … Hl4)
 382           | #x0 #Hx0 @Hl1bits >Hla @memb_cons //
 383           | >Hla in Hl1; normalize in ⊢ (%→?); #Hl1
 384             destruct (Hl1) // ] -Hind
 385           (* by IH, we proceed by cases, whether a = comma
 386              (consequently several lists = []) or not *)
 387           *
 388           [ * #Ha #Houtc1
 389 (*           cut (l1 = [〈a,false〉])
 390            [ cases l1'' in Hl1cons; // #y #ly #Hly
 391              >Hly in Hl1; cases l1' in Hl1bits;
 392              [ #_ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 393              | #p #lp #Hl1bits normalize #Heq destruct (Heq)
 394                @False_ind lapply (Hl1bits 〈a,false〉 ?)
 395                [ cases lp in e0;
 396                  [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 397                  | #p0 #lp0 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 398                    @memb_cons @memb_hd ]
 399                | >Ha normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 400              ]
 401            ] #Hl1a
 402            cut (l4 = [〈a0,false〉])
 403            [ generalize in match Hl4bits; cases l4' in Hl4;
 404              [ >Hl4cons #Hfalse #_
 405                lapply (inj_append_singleton_l1 ?? [] ?? Hfalse)
 406                cases (reverse ? l4'') normalize
 407                [ #Hfalse1 | #p0 #lp0 #Hfalse1 ] destruct (Hfalse1)
 408              | #p #lp
 409
 410              cases l4'' in Hl4cons; // #y #ly #Hly
 411              >Hly in Hl4; cases l4' in Hl4bits;
 412              [ #_ >reverse_cons #Hfalse
 413                lapply (inj_append_singleton_l1 ?? [] ?? Hfalse)
 414                -Hfalse cases ly normalize
 415                [ #Hfalse | #p #Hp #Hfalse ] destruct (Hfalse)
 416
 417              | #p #lp #Hl1bits normalize #Heq destruct (Heq)
 418                @False_ind lapply (Hl1bits 〈a,false〉 ?)
 419                [ cases lp in e0;
 420                  [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 421                  | #p0 #lp0 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 422                    @memb_cons @memb_hd ]
 423                | >Ha normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 424              ]
 425            ] #Hl1a
 426
 427               >Hla normalize #Hl1 destruct (Hl1) lapply (inj_append_ @False_ind
 428
 429            cut (l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 430            [ % [ >Hla in Hl1; normalize #Hl1 destruct (Hl1)
 431
 432             cases l1'' in Hl1bits;
 433
 434                  [ #_ normalize #H *)
 435            cut (la = [] ∧ lb = [] ∧ l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 436            [ @daemon ] * * * #Hla1 #Hlb1 #Hl1nil #Hl4nil
 437            >Hl1cons in Hl1; >Hla
 438            >Houtc1 >Htc #Hl1
 439            >Hl4cons in Hl4; >Hlb #Hl4
 440            >Hla1 >Hlb1 >Hl1nil >Hl4nil >Hx
 441            cut (a0 = grid) [ @daemon ] #Ha0 <Ha <Ha0
 442            normalize in ⊢ (??(??%?%)(??%?%)); >associative_append %
 443           | * #Ha #Houtc1 >Houtc1 @eq_f3 //
 444             >Hla >reverse_cons >associative_append @eq_f
 445             >Hx whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (???%); @eq_f @eq_f
 446             >Hlb >append_cons @eq_f2 // >(merge_config_append … Hlen2) %
 447           ]
 448        ]
 449     | (* c = null *)
 450       * #Hc #Htc
 451       lapply (Hind (〈c0,false〉::ls) a a0 rs l1'' (〈null,false〉::l3) (reverse ? l4'') ????)
 452       [  >Hl1cons in Hlen; >Hl4cons >length_append >commutative_plus normalize
 453          #Hlen destruct (Hlen) @e0
 454       | #x0 #Hx0 cases (memb_append STape ? [〈null,false〉] (l3@reverse ? l4'') … Hx0) -Hx0 #Hx0
 455         [ >(memb_single … Hx0) %
 456         | @Hl3l4nomarks cases (memb_append … Hx0) -Hx0 #Hx0
 457           [ @memb_append_l1 //
 458           | @memb_append_l2 >Hl4cons @memb_append_l1 // ]
 459         ]
 460       | >Hl1cons #x' #Hx0 @Hl1nomarks >Hl1cons @memb_cons //
 461       | >Htc @eq_f3 // >associative_append % ] -Hind <Hl1cons <Hl4cons #Hind
 462         lapply (Hind la bv ?? lb bg ??)
 463           [ #x0 #Hx0 @Hl4bits >Hlb @memb_append_l1 //
 464           | >Hlb in Hl4; normalize in ⊢ (%→?); #Hl4
 465             @(inj_append_singleton_l1 ? l4 (〈grid,bg〉::lb) … Hl4)
 466           | #x0 #Hx0 @Hl1bits >Hla @memb_cons //
 467           | >Hla in Hl1; normalize in ⊢ (%→?); #Hl1
 468             destruct (Hl1) // ] -Hind *
 469           (* by IH, we proceed by cases, whether a = comma
 470              (consequently several lists = []) or not *)
 471           [ * #Ha #Houtc1 >Hl1cons in Hl1; >Hla
 472            >Houtc1 >Htc #Hl1
 473            >Hl4cons in Hl4; >Hlb #Hl4
 474            cut (la = [] ∧ lb = [] ∧ l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 475            [@daemon] * * * #Hla1 #Hlb1 #Hl1nil #Hl4nil
 476            >Hla1 >Hlb1 >Hl1nil >Hl4nil >Hc
 477            cut (a0 = grid) [ @daemon ] #Ha0 <Ha <Ha0
 478            normalize in ⊢ (??(??%?%)(??%?%)); >associative_append %
 479           | * #Ha #Houtc1 >Houtc1 @eq_f3 //
 480             >Hla >reverse_cons >associative_append @eq_f
 481             >Hc whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (???%); @eq_f @eq_f
 482             >Hlb >append_cons @eq_f2 // >(merge_config_append … Hlen2) %
 483           ]
 484        ]
 485 ]]]
 486 qed.
 487
 488 definition merge_char ≝ λc1,c2.
 489   match c2 with
 490   [ null ⇒ c1
 491   | _ ⇒ c2 ].
 492
 493 lemma merge_cons :
 494   ∀c1,c2,conf1,conf2.
 495   merge_config (〈c1,false〉::conf1) (〈c2,false〉::conf2) =
 496     〈merge_char c1 c2,false〉::merge_config conf1 conf2.
 497 #c1 #c2 #conf1 #conf2 normalize @eq_f2 //
 498 cases c2 /2/
 499 qed.
 500
 501 lemma merge_bits : ∀l1,l2.|l1| = |l2| → only_bits l2 → merge_config l1 l2 = l2.
 502 #l1 #l2 #Hlen @(list_ind2 … Hlen) //
 503 #tl1 #tl2 #hd1 #hd2 #IH
 504 >(eq_pair_fst_snd … hd1) >(eq_pair_fst_snd … hd2) #Hbits
 505 change with (cons ???) in ⊢ (??%?); @eq_f2
 506 [ cases (\fst hd2) in Hbits;
 507   [ #b #_ %
 508   |*: #Hfalse lapply (Hfalse … (memb_hd …)) normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1) ]
 509 | @IH #x #Hx @Hbits @memb_cons // ]
 510 qed.
 511
 512 lemma merge_config_c_nil :
 513   ∀c.merge_config c [] = [].
 514 #c cases c normalize //
 515 qed.
 516
 517 lemma reverse_merge_config :
 518   ∀c1,c2.|c1| = |c2| → reverse ? (merge_config c1 c2) =
 519     merge_config (reverse ? c1) (reverse ? c2).
 520 #c1 #c2 <(length_reverse ? c1) <(length_reverse ? c2) #Hlen
 521 <(reverse_reverse ? c1) in ⊢ (??%?); <(reverse_reverse ? c2) in ⊢ (??%?);
 522 generalize in match Hlen; @(list_ind2 … Hlen) -Hlen //
 523 #tl1 #tl2 #hd1 #hd2 #IH whd in ⊢ (??%%→?); #Hlen destruct (Hlen) -Hlen
 524 <(length_reverse ? tl1) in e0; <(length_reverse ? tl2) #Hlen
 525 >reverse_cons >reverse_cons >(merge_config_append ???? Hlen)
 526 >reverse_append >(eq_pair_fst_snd ?? hd1) >(eq_pair_fst_snd ?? hd2)
 527 whd in ⊢ (??%%); @eq_f2 // @IH //
 528 qed.
 529
 530 definition copy
 531 ≝
 532   seq STape copy0 (seq ? (move_l …) (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 533    (seq ? (clear_mark …) (seq ? (adv_to_mark_r … (is_marked ?)) (clear_mark …))))).
 534
 535 (*
 536    s0, s1 = caratteri di testa dello stato
 537    c0 = carattere corrente del nastro oggetto
 538    c1 = carattere in scrittura sul nastro oggetto
 539
 540    questa dimostrazione sfrutta il fatto che
 541    merge_config (l0@[c0]) (l1@[c1]) = l1@[merge_char c0 c1]
 542    se l0 e l1 non contengono null
 543 *)
 544
 545 definition R_copy ≝ λt1,t2.
 546   ∀ls,s0,s1,c0,c1,rs,l1,l3,l4.
 547   t1 = midtape STape (l3@〈grid,false〉::〈c0,false〉::l4@〈s0,true〉::ls) 〈s1,true〉 (l1@〈c1,false〉::〈comma,false〉::rs) →
 548   no_marks l1 → no_marks l3 → no_marks l4 → |l1| = |l4| →
 549   only_bits (l4@[〈s0,false〉]) → only_bits (〈s1,false〉::l1) →
 550   bit_or_null c0 = true → bit_or_null c1 = true →
 551   t2 = midtape STape (〈c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::l3@〈grid,false〉::
 552                       〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)
 553        〈comma,false〉 rs.
 554
 555 axiom sem_copy0 : Realize ? copy0 R_copy0.
 556
 557 definition option_cons ≝ λA.λa:option A.λl.
 558   match a with
 559   [ None ⇒ l
 560   | Some a' ⇒ a'::l ].
 561
 562 lemma sem_copy : Realize ? copy R_copy.
 563 #intape
 564 cases (sem_seq … (sem_copy0 …)
 565         (sem_seq … (sem_move_l …)
 566           (sem_seq … (sem_adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 567             (sem_seq … (sem_clear_mark …)
 568               (sem_seq … (sem_adv_to_mark_r … (is_marked ?)) (sem_clear_mark …))))) intape)
 569 #k * #outc * #Hloop #HR %{k} %{outc} % [@Hloop] -Hloop
 570 #ls #s0 #s1 #c0 #c1 #rs #l1 #l2 #l3 #Hintape #Hl1marks #Hl2marks #Hl3marks #Hlen
 571 #Hbits1 #Hbits2 #Hc0bits #Hc1bits
 572 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 573 cut (ta = midtape STape (〈c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::l2@〈grid,true〉::
 574                       〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)
 575        〈comma,true〉 rs)
 576 [lapply (Hta ls s1 s0 rs (l1@[〈c1,false〉;〈comma,false〉]) l2 (〈grid,false〉::〈c0,false〉::l3) ?)
 577   [>associative_append in ⊢ (???(????%)); normalize in ⊢ (???(??%%%)); @Hintape ]
 578  -Hta #Hta cases (Hta ??? (〈s1,false〉::l1@[〈c1,false〉]) false ? ? ?? (refl ??) ?)
 579   [3: #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 580     [ @Hl1marks //
 581     | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx [ >(\P Hx) % | >(memb_single … Hx) % ]]
 582   |4: #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 583     [ @Hl2marks //
 584     | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx [ >(\P Hx) % | cases (orb_true_l … Hx) [-Hx #Hx >(\P Hx) % | @Hl3marks ] ] ]
 585   |5: >length_append normalize >Hlen >commutative_plus %
 586   |6: normalize >associative_append %
 587   |7: #x #Hx cases (memb_append ?? (〈s1,false〉::l1) … Hx) -Hx #Hx
 588     [ whd in ⊢ (??%?); >(Hbits2 … Hx) %
 589     | >(memb_single … Hx) // ]
 590   |8: #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 591     [ cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx [ >(\P Hx) // | whd in ⊢ (??%?); >Hbits1 // @memb_append_l1 // ]
 592     | >(memb_single … Hx) whd in ⊢ (??%?); >(Hbits1 〈s0,false〉) // @memb_append_l2 @memb_hd ]
 593   | * #Hs1 @False_ind >Hs1 in Hbits2; #Hbits2 lapply (Hbits2 〈comma,false〉 ?) //
 594     normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 595   | * #Hs1 #Ht2 >Ht2 >reverse_cons >reverse_append >reverse_single @eq_f3 //
 596     >merge_cons >merge_bits
 597     [2: #x #Hx @Hbits2 cases (memb_append STape ? (reverse ? l1) ? Hx) -Hx #Hx
 598       [@daemon | >(memb_single … Hx) @memb_hd ]
 599     |3: >length_append >length_append >length_reverse >Hlen % ]
 600     normalize >associative_append normalize >associative_append %
 601   ]
 602 ] -Hta #Hta * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 603 lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb change with (midtape ????) in Htb:(???%);
 604 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 605 cases (Htc … Htb)
 606 [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 607 * #_ #Htc
 608 lapply (Htc (reverse ? l1@〈s1,false〉::l2) 〈grid,true〉
 609           (〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)???)
 610 [ #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 611   [ @Hl1marks @daemon
 612   | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 613     [ >(\P Hx) % | @(Hl2marks … Hx) ] ]
 614 | %
 615 | whd in ⊢ (??%?); >associative_append % ] -Htc #Htc
 616 * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htd #Htd
 617 * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte cases (Hte … Htd) -Hte -Htd
 618 [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 619 * #_ #Hte
 620 lapply (Hte (reverse ? (reverse ? l1@〈s1,false〉::l2)@[〈c1,false〉])
 621          〈comma,true〉 rs ? (refl ??) ?) -Hte
 622 [ >reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse #x #Hx
 623   cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 624   [ cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 625     [ cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 626       [ @daemon
 627       | lapply (memb_single … Hx) -Hx #Hx >Hx % ]
 628     | @(Hl1marks … Hx) ]
 629   | lapply (memb_single … Hx) -Hx #Hx >Hx % ]
 630 | >reverse_append >reverse_reverse >reverse_cons
 631   >associative_append >associative_append >associative_append
 632   >associative_append >associative_append % ]
 633 #Hte whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc #Houtc >Houtc
 634 @eq_f3 //
 635 >reverse_append >reverse_append >reverse_single >reverse_cons
 636 >reverse_append >reverse_append >reverse_reverse >reverse_reverse
 637 >reverse_single >associative_append >associative_append %
 638 qed.