matita/matita/lib/turing/universal/copy.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/tuples.ma".
  18
  19 definition write_states ≝ initN 2.
  20
  21 definition write ≝ λalpha,c.
  22   mk_TM alpha write_states
  23   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
  24     match q with
  25     [ O ⇒ 〈1,Some ? 〈c,N〉〉
  26     | S _ ⇒ 〈1,None ?〉 ])
  27   O (λx.x == 1).
  28
  29 definition R_write ≝ λalpha,c,t1,t2.
  30   ∀ls,x,rs.t1 = midtape alpha ls x rs → t2 = midtape alpha ls c rs.
  31
  32 axiom sem_write : ∀alpha,c.Realize ? (write alpha c) (R_write alpha c).
  33
  34 definition copy_step_subcase ≝
  35   λalpha,c,elseM.ifTM ? (test_char ? (λx.x == 〈c,true〉))
  36     (seq (FinProd alpha FinBool) (adv_mark_r …)
  37       (seq ? (move_l …)
  38         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked alpha))
  39           (seq ? (write ? 〈c,false〉)
  40             (seq ? (move_r …)
  41               (seq ? (mark …)
  42                 (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked alpha)))))))))
  43     elseM tc_true.
  44
  45 definition R_copy_step_subcase ≝
  46   λalpha,c,RelseM,t1,t2.
  47     ∀a,l1,x0,a0,l2,x,l3.
  48     t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2)
  49          〈x,true〉 (〈a,false〉::l3) →
  50     (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
  51     (x = c ∧ t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
  52     (x ≠ c ∧ RelseM t1 t2).
  53
  54 axiom sem_copy_step_subcase :
  55   ∀alpha,c,elseM,RelseM.
  56   Realize ? (copy_step_subcase alpha c elseM) (R_copy_step_subcase alpha c RelseM).
  57
  58 (*
  59 if current = 0,tt
  60    then advance_mark_r;
  61         move_l;
  62         advance_to_mark_l;
  63         write(0,ff)
  64         move_r;
  65         mark;
  66         move_r;
  67         advance_to_mark_r;
  68 else if current = 1,tt
  69    then advance_mark_r;
  70         move_l;
  71         advance_to_mark_l;
  72         write(1,ff)
  73         move_r;
  74         mark;
  75         move_r;
  76         advance_to_mark_r;
  77 else if current = null
  78    then advance_mark_r;
  79         move_l;
  80         advance_to_mark_l
  81         adv_mark_r;
  82         move_r;
  83         advance_to_mark_r
  84 *)
  85
  86 definition nocopy_subcase ≝
  87   ifTM STape (test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉))
  88     (seq ? (adv_mark_r …)
  89       (seq ? (move_l …)
  90         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked ?))
  91           (seq ? (adv_mark_r …)
  92             (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked ?)))))))
  93     (nop ?) tc_true.
  94
  95 definition R_nocopy_subcase ≝
  96   λt1,t2.
  97     ∀a,l1,x0,a0,l2,x,l3.
  98     t1 = midtape STape (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2)
  99          〈x,true〉 (〈a,false〉::l3) →
 100     (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 101     (x = null ∧
 102      t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x0,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
 103     (x ≠ null ∧ t2 = t1).
 104
 105 axiom sem_nocopy_subcase : Realize ? nocopy_subcase R_nocopy_subcase.
 106 (* #intape
 107 cases (sem_if ? (test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉)) ?????? tc_true
 108  (sem_test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉))
 109         (sem_seq … (sem_adv_mark_r …)
 110            (sem_seq … (sem_move_l …)
 111              (sem_seq … (sem_adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 112                (sem_seq … (sem_adv_mark_r …)
 113                  (sem_seq … (sem_move_r …) (sem_adv_to_mark_r … (is_marked ?))
 114                  ))))) (sem_nop ?) intape)
 115 #k * #outc * #Hloop #HR @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)  % [@Hloop] -Hloop
 116 cases HR -HR
 117 [| * #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hta #Houtc
 118    #ls #x #rs #Hintape %2  >Hintape in Hta; #Hta cases (Hta ? (refl ??)) -Hta #Hx #Hta %
 119    [ lapply (\Pf Hx) @not_to_not #Hx' >Hx' %
 120    | <Hta @Houtc ] ]
 121 @daemon
 122 qed. *)
 123
 124 definition copy_step ≝
 125   ifTM ? (test_char STape (λc.is_bit (\fst c)))
 126   (single_finalTM ? (copy_step_subcase FSUnialpha (bit false)
 127     (copy_step_subcase FSUnialpha (bit true) nocopy_subcase)))
 128   (nop ?)
 129   tc_true.
 130
 131 definition R_copy_step_true ≝
 132   λt1,t2.
 133     ∀ls,c,rs. t1 = midtape STape ls 〈c,true〉 rs →
 134     bit_or_null c = true ∧
 135     (∀a,l1,x0,a0,l2,l3.
 136      ls = (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2) →
 137      rs = (〈a,false〉::l3) →
 138      no_marks l1 →
 139      ((∃x. c = bit x ∧
 140       t2 = midtape STape (〈bit x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈bit x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
 141       (c = null ∧
 142       t2 = midtape ? (〈null,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x0,false〉::l2) 〈a,true〉 l3))).
 143
 144 definition R_copy_step_false ≝
 145   λt1,t2.
 146    ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
 147    bit_or_null (\fst c) = false ∧ t2 = t1.
 148
 149 axiom sem_copy_step :
 150   accRealize ? copy_step (inr … (inl … (inr … 0))) R_copy_step_true R_copy_step_false.
 151
 152 (*
 153 1) il primo carattere è marcato
 154 2) l'ultimo carattere è l'unico che può essere null, gli altri sono bit
 155 3) il terminatore non è né bit, né null
 156 *)
 157
 158 definition copy0 ≝ whileTM ? copy_step (inr … (inl … (inr … 0))).
 159
 160 let rec merge_config (l1,l2:list STape) ≝
 161   match l1 with
 162   [ nil ⇒ nil ?
 163   | cons p1 l1' ⇒ match l2 with
 164     [ nil ⇒ nil ?
 165     | cons p2 l2' ⇒
 166            let 〈c1,b1〉 ≝ p1 in let 〈c2,b2〉 ≝ p2 in
 167            match c2 with
 168            [ null ⇒ p1
 169            | _ ⇒ p2 ] :: merge_config l1' l2' ] ].
 170
 171 lemma merge_config_append :
 172  ∀l1,l2,l3,l4.|l1| = |l2| →
 173  merge_config (l1@l3) (l2@l4) = merge_config l1 l2@merge_config l3 l4.
 174 #l1 #l2 #l3 #l4 #Hlen @(list_ind2 … Hlen)
 175 [normalize //
 176 | #t1 #t2 * #c1 #b1 * #c2 #b2 #IH whd in ⊢ (??%%); >IH % ]
 177 qed.
 178
 179 definition R_copy0 ≝ λt1,t2.
 180   ∀ls,c,c0,rs,l1,l3,l4.
 181   t1 = midtape STape (l3@l4@〈c0,true〉::ls) 〈c,true〉 (l1@rs) →
 182   no_marks l1 → no_marks (l3@l4) → |l1| = |l4| →
 183   ∀l1',bv.〈c,false〉::l1 = l1'@[〈comma,bv〉] → only_bits_or_nulls l1' →
 184   ∀l4',bg.l4@[〈c0,false〉] = 〈grid,bg〉::l4' → only_bits_or_nulls l4' →
 185   (c = comma ∧ t2 = t1) ∨
 186   (c ≠ comma ∧
 187     t2 = midtape ? (reverse ? l1'@l3@〈grid,true〉::
 188                   merge_config l4' (reverse ? l1')@ls)
 189      〈comma,true〉 rs).
 190
 191 lemma inj_append_singleton_l1 :
 192   ∀A.∀l1,l2:list A.∀a1,a2.l1@[a1] = l2@[a2] → l1 = l2.
 193 #A #l1 #l2 #a1 #a2 #H lapply (eq_f … (reverse ?) … H)
 194 >reverse_append >reverse_append normalize #H1 destruct
 195 lapply (eq_f … (reverse ?) … e0) >reverse_reverse >reverse_reverse //
 196 qed.
 197
 198 lemma inj_append_singleton_l2 :
 199   ∀A.∀l1,l2:list A.∀a1,a2.l1@[a1] = l2@[a2] → a1 = a2.
 200 #A #l1 #l2 #a1 #a2 #H lapply (eq_f … (reverse ?) … H)
 201 >reverse_append >reverse_append normalize #H1 destruct %
 202 qed.
 203
 204 lemma length_reverse : ∀A,l.|reverse A l| = |l|.
 205 #A #l elim l //
 206 #a0 #l0 #IH normalize >rev_append_def >length_append >IH normalize //
 207 qed.
 208
 209 lemma wsem_copy0 : WRealize ? copy0 R_copy0.
 210 #intape #k #outc #Hloop
 211 lapply (sem_while … sem_copy_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 212 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 213 [ #tb whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 214   #ls #c #c0 #rs #l1 #l3 #l4 #Htb #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen #l1' #bv
 215   #Hl1 #Hl1bits #l4' #bg #Hl4 #Hl4bits
 216   cases (Hleft … Htb) -Hleft #Hc #Houtc % %
 217   [ generalize in match Hl1bits; -Hl1bits cases l1' in Hl1;
 218     [ normalize #Hl1 #c1 destruct (Hl1) %
 219     | * #c' #b' #l0 #Heq normalize in Heq; destruct (Heq)
 220       #Hl1bits lapply (Hl1bits 〈c',false〉 ?) [ @memb_hd ]
 221       >Hc #Hfalse destruct ]
 222   | @Houtc ]
 223 | #tb #tc #td whd in ⊢ (%→?→(?→%)→%→?); #Htc #Hstar1 #Hind #Htd
 224   lapply (Hind Htd) -Hind #Hind
 225   #ls #c #c0 #rs #l1 #l3 #l4 #Htb #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen #l1' #bv
 226   #Hl1 #Hl1bits #l4' #bg #Hl4 #Hl4bits %2
 227   cases (Htc … Htb) -Htc #Hcbitnull #Htc
 228   % [ % #Hc' >Hc' in Hcbitnull; normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 229   cut (|l1| = |reverse ? l4|) [//] #Hlen1
 230   @(list_cases_2 … Hlen1)
 231   [ (* case l1 = [] is discriminated because l1 contains at least comma *)
 232     #Hl1nil @False_ind >Hl1nil in Hl1; cases l1' normalize
 233     [ #Hl1 destruct normalize in Hcbitnull; destruct (Hcbitnull)
 234     | #p0 #l0 normalize #Hfalse destruct (Hfalse) cases l0 in e0;
 235       [ normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1)
 236       | #p0' #l0' normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1) ] ]
 237   | (* case c::l1 = c::a::l1'' *)
 238     * #a #ba * #a0 #ba0 #l1'' #l4'' #Hl1cons #Hl4cons
 239     lapply (eq_f ?? (reverse ?) ?? Hl4cons) >reverse_reverse >reverse_cons -Hl4cons #Hl4cons
 240     cut (ba = false)
 241     [ >Hl1cons in Hl1nomarks; #Hl1nomarks lapply (Hl1nomarks 〈a,ba〉 ?)
 242       [ @memb_hd | normalize // ] ] #Hba
 243     cut (ba0 = false)
 244     [ >Hl4cons in Hl3l4nomarks; #Hl3l4nomarks lapply (Hl3l4nomarks 〈a0,ba0〉 ?)
 245       [ @memb_append_l2 @memb_append_l2 @memb_hd | normalize // ] ] #Hba0
 246     >Hba0 in Hl4cons; >Hba in Hl1cons; -Hba0 -Hba #Hl1cons #Hl4cons
 247     >Hl4cons in Htc; >Hl1cons #Htc
 248     lapply (Htc a (l3@reverse ? l4'') c0 a0 ls (l1''@rs) ? (refl ??) ?)
 249     [ #x #Hx @Hl3l4nomarks >Hl4cons <associative_append
 250       @memb_append_l1 @Hx
 251     | >associative_append >associative_append %
 252     | -Htc
 253       cut (∃la.l1' = 〈c,false〉::la)
 254       [ >Hl1cons in Hl1; cases l1'
 255         [normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 256         | #p #la normalize #Hla destruct (Hla) @(ex_intro ?? la) % ] ]
 257       * #la #Hla
 258       cut (∃lb.l4' = lb@[〈c0,false〉])
 259       [ >Hl4cons in Hl4;
 260         @(list_elim_left … l4')
 261         [ #Heq lapply (eq_f … (length ?) … Heq)
 262           >length_append >length_append
 263           >commutative_plus normalize >commutative_plus normalize
 264           #Hfalse destruct
 265         | #a1 #tl #_ #Heq
 266           >(inj_append_singleton_l2 ? (reverse ? l4''@[〈a0,false〉]) (〈grid,bg〉::tl) 〈c0,false〉 a1 Heq)
 267           @ex_intro //
 268       ] ] * #lb #Hlb
 269       cut (|lb| = |reverse ? la|)
 270       [ >Hla in Hl1; >Hlb in Hl4; #Hl4 #Hl1
 271         >(?:l1 = la@[〈comma,bv〉]) in Hlen;
 272         [|normalize in Hl1; destruct (Hl1) %]
 273         >(?:l4 = 〈grid,bg〉::lb)
 274         [|@(inj_append_singleton_l1 ?? (〈grid,bg〉::lb) ?? Hl4) ]
 275         >length_append >commutative_plus >length_reverse
 276         normalize #Hlalb destruct (Hlalb) //
 277       ] #Hlen2
 278       *
 279       (* by hyp on the first iteration step,
 280          we consider whether c = bit x or c = null *)
 281       (* c = bit x *)
 282       [ * #x * #Hx #Htc
 283         lapply (Hind (〈bit x,false〉::ls) a a0 rs l1''
 284                 (〈bit x,false〉::l3) (reverse ? l4'') ????)
 285         [ >Hl1cons in Hlen; >Hl4cons >length_append >commutative_plus
 286           normalize #Hlen destruct (Hlen) //
 287         | #x0 #Hx0 cases (orb_true_l … Hx0)
 288           [ #Hx0eq >(\P Hx0eq) %
 289           | -Hx0 #Hx0 @Hl3l4nomarks >Hl4cons
 290             <associative_append @memb_append_l1 // ]
 291         | #x0 #Hx0 @Hl1nomarks >Hl1cons @memb_cons //
 292         | >Htc >associative_append %
 293         | -Hind
 294           <Hl1cons <Hl4cons #Hind lapply (Hind la bv ?? lb bg ??)
 295           [ #x0 #Hx0 @Hl4bits >Hlb @memb_append_l1 //
 296           | >Hlb in Hl4; normalize in ⊢ (%→?); #Hl4
 297             @(inj_append_singleton_l1 ? l4 (〈grid,bg〉::lb) … Hl4)
 298           | #x0 #Hx0 @Hl1bits >Hla @memb_cons //
 299           | >Hla in Hl1; normalize in ⊢ (%→?); #Hl1
 300             destruct (Hl1) // ] -Hind
 301           (* by IH, we proceed by cases, whether a = comma
 302              (consequently several lists = []) or not *)
 303           *
 304           [ * #Ha #Houtc1
 305 (*           cut (l1 = [〈a,false〉])
 306            [ cases l1'' in Hl1cons; // #y #ly #Hly
 307              >Hly in Hl1; cases l1' in Hl1bits;
 308              [ #_ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 309              | #p #lp #Hl1bits normalize #Heq destruct (Heq)
 310                @False_ind lapply (Hl1bits 〈a,false〉 ?)
 311                [ cases lp in e0;
 312                  [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 313                  | #p0 #lp0 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 314                    @memb_cons @memb_hd ]
 315                | >Ha normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 316              ]
 317            ] #Hl1a
 318            cut (l4 = [〈a0,false〉])
 319            [ generalize in match Hl4bits; cases l4' in Hl4;
 320              [ >Hl4cons #Hfalse #_
 321                lapply (inj_append_singleton_l1 ?? [] ?? Hfalse)
 322                cases (reverse ? l4'') normalize
 323                [ #Hfalse1 | #p0 #lp0 #Hfalse1 ] destruct (Hfalse1)
 324              | #p #lp
 325
 326              cases l4'' in Hl4cons; // #y #ly #Hly
 327              >Hly in Hl4; cases l4' in Hl4bits;
 328              [ #_ >reverse_cons #Hfalse
 329                lapply (inj_append_singleton_l1 ?? [] ?? Hfalse)
 330                -Hfalse cases ly normalize
 331                [ #Hfalse | #p #Hp #Hfalse ] destruct (Hfalse)
 332
 333              | #p #lp #Hl1bits normalize #Heq destruct (Heq)
 334                @False_ind lapply (Hl1bits 〈a,false〉 ?)
 335                [ cases lp in e0;
 336                  [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 337                  | #p0 #lp0 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 338                    @memb_cons @memb_hd ]
 339                | >Ha normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 340              ]
 341            ] #Hl1a
 342
 343               >Hla normalize #Hl1 destruct (Hl1) lapply (inj_append_ @False_ind
 344
 345            cut (l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 346            [ % [ >Hla in Hl1; normalize #Hl1 destruct (Hl1)
 347
 348             cases l1'' in Hl1bits;
 349
 350                  [ #_ normalize #H *)
 351            cut (la = [] ∧ lb = [] ∧ l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 352            [ @daemon ] * * * #Hla1 #Hlb1 #Hl1nil #Hl4nil
 353            >Hl1cons in Hl1; >Hla
 354            >Houtc1 >Htc #Hl1
 355            >Hl4cons in Hl4; >Hlb #Hl4
 356            >Hla1 >Hlb1 >Hl1nil >Hl4nil >Hx
 357            cut (a0 = grid) [ @daemon ] #Ha0 <Ha <Ha0
 358            normalize in ⊢ (??(??%?%)(??%?%)); >associative_append %
 359           | * #Ha #Houtc1 >Houtc1 @eq_f3 //
 360             >Hla >reverse_cons >associative_append @eq_f
 361             >Hx whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (???%); @eq_f @eq_f
 362             >Hlb >append_cons @eq_f2 // >(merge_config_append … Hlen2) %
 363           ]
 364        ]
 365     | (* c = null *)
 366       * #Hc #Htc
 367       lapply (Hind (〈c0,false〉::ls) a a0 rs l1'' (〈null,false〉::l3) (reverse ? l4'') ????)
 368       [  >Hl1cons in Hlen; >Hl4cons >length_append >commutative_plus normalize
 369          #Hlen destruct (Hlen) @e0
 370       | #x0 #Hx0 cases (memb_append STape ? [〈null,false〉] (l3@reverse ? l4'') … Hx0) -Hx0 #Hx0
 371         [ >(memb_single … Hx0) %
 372         | @Hl3l4nomarks cases (memb_append … Hx0) -Hx0 #Hx0
 373           [ @memb_append_l1 //
 374           | @memb_append_l2 >Hl4cons @memb_append_l1 // ]
 375         ]
 376       | >Hl1cons #x' #Hx0 @Hl1nomarks >Hl1cons @memb_cons //
 377       | >Htc @eq_f3 // >associative_append % ] -Hind <Hl1cons <Hl4cons #Hind
 378         lapply (Hind la bv ?? lb bg ??)
 379           [ #x0 #Hx0 @Hl4bits >Hlb @memb_append_l1 //
 380           | >Hlb in Hl4; normalize in ⊢ (%→?); #Hl4
 381             @(inj_append_singleton_l1 ? l4 (〈grid,bg〉::lb) … Hl4)
 382           | #x0 #Hx0 @Hl1bits >Hla @memb_cons //
 383           | >Hla in Hl1; normalize in ⊢ (%→?); #Hl1
 384             destruct (Hl1) // ] -Hind *
 385           (* by IH, we proceed by cases, whether a = comma
 386              (consequently several lists = []) or not *)
 387           [ * #Ha #Houtc1 >Hl1cons in Hl1; >Hla
 388            >Houtc1 >Htc #Hl1
 389            >Hl4cons in Hl4; >Hlb #Hl4
 390            cut (la = [] ∧ lb = [] ∧ l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 391            [@daemon] * * * #Hla1 #Hlb1 #Hl1nil #Hl4nil
 392            >Hla1 >Hlb1 >Hl1nil >Hl4nil >Hc
 393            cut (a0 = grid) [ @daemon ] #Ha0 <Ha <Ha0
 394            normalize in ⊢ (??(??%?%)(??%?%)); >associative_append %
 395           | * #Ha #Houtc1 >Houtc1 @eq_f3 //
 396             >Hla >reverse_cons >associative_append @eq_f
 397             >Hc whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (???%); @eq_f @eq_f
 398             >Hlb >append_cons @eq_f2 // >(merge_config_append … Hlen2) %
 399           ]
 400        ]
 401 ]]]
 402 qed.
 403
 404 definition merge_char ≝ λc1,c2.
 405   match c2 with
 406   [ null ⇒ c1
 407   | _ ⇒ c2 ].
 408
 409 lemma merge_cons :
 410   ∀c1,c2,conf1,conf2.
 411   merge_config (〈c1,false〉::conf1) (〈c2,false〉::conf2) =
 412     〈merge_char c1 c2,false〉::merge_config conf1 conf2.
 413 #c1 #c2 #conf1 #conf2 normalize @eq_f2 //
 414 cases c2 /2/
 415 qed.
 416
 417 lemma merge_config_c_nil :
 418   ∀c.merge_config c [] = [].
 419 #c cases c normalize //
 420 qed.
 421
 422 axiom reverse_merge_config :
 423   ∀c1,c2.|c1| = |c2| → reverse ? (merge_config c1 c2) =
 424     merge_config (reverse ? c1) (reverse ? c2).
 425
 426 definition copy
 427 ≝
 428   seq STape (move_l …) (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 429    (seq ? (clear_mark …) (seq ? (adv_to_mark_r … (is_marked ?)) (clear_mark …)))).
 430
 431 (*
 432    s0, s1 = caratteri di testa dello stato
 433    c0 = carattere corrente del nastro oggetto
 434    c1 = carattere in scrittura sul nastro oggetto
 435
 436    questa dimostrazione sfrutta il fatto che
 437    merge_config (l0@[c0]) (l1@[c1]) = l1@[merge_char c0 c1]
 438    se l0 e l1 non contengono null
 439 *)
 440
 441 definition R_copy ≝ λt1,t2.
 442   ∀ls,s0,s1,c0,c1,rs,l1,l3,l4.
 443   t1 = midtape STape (l3@〈grid,false〉::〈c0,false〉::l4@〈s0,true〉::ls) 〈s1,true〉 (l1@〈c1,false〉::〈comma,false〉::rs) →
 444   no_marks l1 → no_marks l3 → no_marks l4 → |l1| = |l4| →
 445   only_bits (l4@[〈s0,true〉]) → only_bits (〈s1,true〉::l1) →
 446   bit_or_null c0 = true → bit_or_null c1 = true →
 447   t2 = midtape STape (〈c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::l3@〈grid,false〉::
 448                       〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)
 449        〈comma,false〉 rs.
 450
 451 axiom sem_copy : Realize ? copy R_copy.