matita/matita/lib/turing/universal/copy.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 include "turing/universal/tuples.ma".
  14
  15 definition write_states ≝ initN 2.
  16
  17 definition wr0 : write_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 2 (refl …)).
  18 definition wr1 : write_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 2 (refl …)).
  19
  20 definition write ≝ λalpha,c.
  21   mk_TM alpha write_states
  22   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
  23     match pi1 … q with
  24     [ O ⇒ 〈wr1,Some ? 〈c,N〉〉
  25     | S _ ⇒ 〈wr1,None ?〉 ])
  26   wr0 (λx.x == wr1).
  27
  28 definition R_write ≝ λalpha,c,t1,t2.
  29   ∀ls,x,rs.t1 = midtape alpha ls x rs → t2 = midtape alpha ls c rs.
  30
  31 axiom sem_write : ∀alpha,c.Realize ? (write alpha c) (R_write alpha c).
  32
  33 definition copy_step_subcase ≝
  34   λalpha,c,elseM.ifTM ? (test_char ? (λx.x == 〈c,true〉))
  35     (seq (FinProd alpha FinBool) (adv_mark_r …)
  36       (seq ? (move_l …)
  37         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked alpha))
  38           (seq ? (write ? 〈c,false〉)
  39             (seq ? (move_r …)
  40               (seq ? (mark …)
  41                 (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked alpha)))))))))
  42     elseM tc_true.
  43
  44 definition R_copy_step_subcase ≝
  45   λalpha,c,RelseM,t1,t2.
  46     ∀a,l1,x0,a0,l2,x,l3.
  47     t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2)
  48          〈x,true〉 (〈a,false〉::l3) →
  49     (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
  50     (x = c ∧ t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
  51     (x ≠ c ∧ RelseM t1 t2).
  52
  53 axiom sem_copy_step_subcase :
  54   ∀alpha,c,elseM,RelseM.
  55   Realize ? (copy_step_subcase alpha c elseM) (R_copy_step_subcase alpha c RelseM).
  56
  57 (*
  58 if current = 0,tt
  59    then advance_mark_r;
  60         move_l;
  61         advance_to_mark_l;
  62         write(0,ff)
  63         move_r;
  64         mark;
  65         move_r;
  66         advance_to_mark_r;
  67 else if current = 1,tt
  68    then advance_mark_r;
  69         move_l;
  70         advance_to_mark_l;
  71         write(1,ff)
  72         move_r;
  73         mark;
  74         move_r;
  75         advance_to_mark_r;
  76 else if current = null
  77    then advance_mark_r;
  78         move_l;
  79         advance_to_mark_l
  80         adv_mark_r;
  81         move_r;
  82         advance_to_mark_r
  83 *)
  84
  85 definition nocopy_subcase ≝
  86   ifTM STape (test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉))
  87     (seq ? (adv_mark_r …)
  88       (seq ? (move_l …)
  89         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked ?))
  90           (seq ? (adv_mark_r …)
  91             (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked ?)))))))
  92     (nop ?) tc_true.
  93
  94 definition R_nocopy_subcase ≝
  95   λt1,t2.
  96     ∀a,l1,x0,a0,l2,x,l3.
  97     t1 = midtape STape (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2)
  98          〈x,true〉 (〈a,false〉::l3) →
  99     (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 100     (x = null ∧
 101      t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x0,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
 102     (x ≠ null ∧ t2 = t1).
 103
 104 axiom sem_nocopy_subcase : Realize ? nocopy_subcase R_nocopy_subcase.
 105 (* #intape
 106 cases (sem_if ? (test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉)) ?????? tc_true
 107  (sem_test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉))
 108         (sem_seq … (sem_adv_mark_r …)
 109            (sem_seq … (sem_move_l …)
 110              (sem_seq … (sem_adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 111                (sem_seq … (sem_adv_mark_r …)
 112                  (sem_seq … (sem_move_r …) (sem_adv_to_mark_r … (is_marked ?))
 113                  ))))) (sem_nop ?) intape)
 114 #k * #outc * #Hloop #HR @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)  % [@Hloop] -Hloop
 115 cases HR -HR
 116 [| * #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hta #Houtc
 117    #ls #x #rs #Hintape %2  >Hintape in Hta; #Hta cases (Hta ? (refl ??)) -Hta #Hx #Hta %
 118    [ lapply (\Pf Hx) @not_to_not #Hx' >Hx' %
 119    | <Hta @Houtc ] ]
 120 @daemon
 121 qed. *)
 122
 123 definition copy_step ≝
 124   ifTM ? (test_char STape (λc.is_bit (\fst c)))
 125   (single_finalTM ? (copy_step_subcase FSUnialpha (bit false)
 126     (copy_step_subcase FSUnialpha (bit true) nocopy_subcase)))
 127   (nop ?)
 128   tc_true.
 129
 130 definition R_copy_step_true ≝
 131   λt1,t2.
 132     ∀ls,c,rs. t1 = midtape STape ls 〈c,true〉 rs →
 133     bit_or_null c = true ∧
 134     (∀a,l1,x0,a0,l2,l3.
 135      ls = (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2) →
 136      rs = (〈a,false〉::l3) →
 137      no_marks l1 →
 138      ((∃x. c = bit x ∧
 139       t2 = midtape STape (〈bit x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈bit x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
 140       (c = null ∧
 141       t2 = midtape ? (〈null,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x0,false〉::l2) 〈a,true〉 l3))).
 142
 143 definition R_copy_step_false ≝
 144   λt1,t2.
 145    ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
 146    bit_or_null (\fst c) = false ∧ t2 = t1.
 147
 148 axiom sem_copy_step :
 149   accRealize ? copy_step (inr … (inl … (inr … start_nop))) R_copy_step_true R_copy_step_false.
 150
 151 (*
 152 1) il primo carattere è marcato
 153 2) l'ultimo carattere è l'unico che può essere null, gli altri sono bit
 154 3) il terminatore non è né bit, né null
 155 *)
 156
 157 definition copy0 ≝ whileTM ? copy_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 158
 159 let rec merge_config (l1,l2:list STape) ≝
 160   match l1 with
 161   [ nil ⇒ nil ?
 162   | cons p1 l1' ⇒ match l2 with
 163     [ nil ⇒ nil ?
 164     | cons p2 l2' ⇒
 165            let 〈c1,b1〉 ≝ p1 in let 〈c2,b2〉 ≝ p2 in
 166            match c2 with
 167            [ null ⇒ p1
 168            | _ ⇒ p2 ] :: merge_config l1' l2' ] ].
 169
 170 lemma merge_config_append :
 171  ∀l1,l2,l3,l4.|l1| = |l2| →
 172  merge_config (l1@l3) (l2@l4) = merge_config l1 l2@merge_config l3 l4.
 173 #l1 #l2 #l3 #l4 #Hlen @(list_ind2 … Hlen)
 174 [normalize //
 175 | #t1 #t2 * #c1 #b1 * #c2 #b2 #IH whd in ⊢ (??%%); >IH % ]
 176 qed.
 177
 178 definition R_copy0 ≝ λt1,t2.
 179   ∀ls,c,c0,rs,l1,l3,l4.
 180   t1 = midtape STape (l3@l4@〈c0,true〉::ls) 〈c,true〉 (l1@rs) →
 181   no_marks l1 → no_marks (l3@l4) → |l1| = |l4| →
 182   ∀l1',bv.〈c,false〉::l1 = l1'@[〈comma,bv〉] → only_bits_or_nulls l1' →
 183   ∀l4',bg.l4@[〈c0,false〉] = 〈grid,bg〉::l4' → only_bits_or_nulls l4' →
 184   (c = comma ∧ t2 = t1) ∨
 185   (c ≠ comma ∧
 186     t2 = midtape ? (reverse ? l1'@l3@〈grid,true〉::
 187                   merge_config l4' (reverse ? l1')@ls)
 188      〈comma,true〉 rs).
 189
 190 lemma inj_append_singleton_l1 :
 191   ∀A.∀l1,l2:list A.∀a1,a2.l1@[a1] = l2@[a2] → l1 = l2.
 192 #A #l1 #l2 #a1 #a2 #H lapply (eq_f … (reverse ?) … H)
 193 >reverse_append >reverse_append normalize #H1 destruct
 194 lapply (eq_f … (reverse ?) … e0) >reverse_reverse >reverse_reverse //
 195 qed.
 196
 197 lemma inj_append_singleton_l2 :
 198   ∀A.∀l1,l2:list A.∀a1,a2.l1@[a1] = l2@[a2] → a1 = a2.
 199 #A #l1 #l2 #a1 #a2 #H lapply (eq_f … (reverse ?) … H)
 200 >reverse_append >reverse_append normalize #H1 destruct %
 201 qed.
 202
 203 axiom length_reverse : ∀A,l.|reverse A l| = |l|.
 204
 205 lemma wsem_copy0 : WRealize ? copy0 R_copy0.
 206 #intape #k #outc #Hloop
 207 lapply (sem_while … sem_copy_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 208 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 209 [ #tb whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 210   #ls #c #c0 #rs #l1 #l3 #l4 #Htb #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen #l1' #bv
 211   #Hl1 #Hl1bits #l4' #bg #Hl4 #Hl4bits
 212   cases (Hleft … Htb) -Hleft #Hc #Houtc % %
 213   [ generalize in match Hl1bits; -Hl1bits cases l1' in Hl1;
 214     [ normalize #Hl1 #c1 destruct (Hl1) %
 215     | * #c' #b' #l0 #Heq normalize in Heq; destruct (Heq)
 216       #Hl1bits lapply (Hl1bits 〈c',false〉 ?) [ @memb_hd ]
 217       >Hc #Hfalse destruct ]
 218   | @Houtc ]
 219 | #tb #tc #td whd in ⊢ (%→?→(?→%)→%→?); #Htc #Hstar1 #Hind #Htd
 220   lapply (Hind Htd) -Hind #Hind
 221   #ls #c #c0 #rs #l1 #l3 #l4 #Htb #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen #l1' #bv
 222   #Hl1 #Hl1bits #l4' #bg #Hl4 #Hl4bits %2
 223   cases (Htc … Htb) -Htc #Hcbitnull #Htc
 224   % [ % #Hc' >Hc' in Hcbitnull; normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 225   cut (|l1| = |reverse ? l4|) [@daemon] #Hlen1
 226   @(list_cases_2 … Hlen1)
 227   [ (* case l1 = [] is discriminated because l1 contains at least comma *)
 228     #Hl1nil @False_ind >Hl1nil in Hl1; cases l1' normalize
 229     [ #Hl1 destruct normalize in Hcbitnull; destruct (Hcbitnull)
 230     | #p0 #l0 normalize #Hfalse destruct (Hfalse) cases l0 in e0;
 231       [ normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1)
 232       | #p0' #l0' normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1) ] ]
 233   | (* case c::l1 = c::a::l1'' *)
 234     * #a #ba * #a0 #ba0 #l1'' #l4'' #Hl1cons #Hl4cons
 235     lapply (eq_f ?? (reverse ?) ?? Hl4cons) >reverse_reverse >reverse_cons -Hl4cons #Hl4cons
 236     cut (ba = false)
 237     [ >Hl1cons in Hl1nomarks; #Hl1nomarks lapply (Hl1nomarks 〈a,ba〉 ?)
 238       [ @memb_hd | normalize // ] ] #Hba
 239     cut (ba0 = false)
 240     [ >Hl4cons in Hl3l4nomarks; #Hl3l4nomarks lapply (Hl3l4nomarks 〈a0,ba0〉 ?)
 241       [ @memb_append_l2 @memb_append_l2 @memb_hd | normalize // ] ] #Hba0
 242     >Hba0 in Hl4cons; >Hba in Hl1cons; -Hba0 -Hba #Hl1cons #Hl4cons
 243     >Hl4cons in Htc; >Hl1cons #Htc
 244     lapply (Htc a (l3@reverse ? l4'') c0 a0 ls (l1''@rs) ? (refl ??) ?)
 245     [ #x #Hx @Hl3l4nomarks >Hl4cons <associative_append
 246       @memb_append_l1 @Hx
 247     | >associative_append >associative_append %
 248     | -Htc
 249       cut (∃la.l1' = 〈c,false〉::la)
 250       [ >Hl1cons in Hl1; cases l1'
 251         [normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 252         | #p #la normalize #Hla destruct (Hla) @(ex_intro ?? la) % ] ]
 253       * #la #Hla
 254       cut (∃lb.l4' = lb@[〈c0,false〉])
 255       [ >Hl4cons in Hl4;
 256         @(list_elim_left … l4')
 257         [ #Heq lapply (eq_f … (length ?) … Heq)
 258           >length_append >length_append
 259           >commutative_plus normalize >commutative_plus normalize
 260           #Hfalse destruct
 261         | #a1 #tl #_ #Heq
 262           >(inj_append_singleton_l2 ? (reverse ? l4''@[〈a0,false〉]) (〈grid,bg〉::tl) 〈c0,false〉 a1 Heq)
 263           @ex_intro //
 264       ] ] * #lb #Hlb
 265       cut (|lb| = |reverse ? la|)
 266       [ >Hla in Hl1; >Hlb in Hl4; #Hl4 #Hl1
 267         >(?:l1 = la@[〈comma,bv〉]) in Hlen;
 268         [|normalize in Hl1; destruct (Hl1) %]
 269         >(?:l4 = 〈grid,bg〉::lb)
 270         [|@(inj_append_singleton_l1 ?? (〈grid,bg〉::lb) ?? Hl4) ]
 271         >length_append >commutative_plus >length_reverse
 272         normalize #Hlalb destruct (Hlalb) //
 273       ] #Hlen2
 274       *
 275       (* by hyp on the first iteration step,
 276          we consider whether c = bit x or c = null *)
 277       (* c = bit x *)
 278       [ * #x * #Hx #Htc
 279         lapply (Hind (〈bit x,false〉::ls) a a0 rs l1''
 280                 (〈bit x,false〉::l3) (reverse ? l4'') ????)
 281         [ >Hl1cons in Hlen; >Hl4cons >length_append >commutative_plus
 282           normalize #Hlen destruct (Hlen) //
 283         | #x0 #Hx0 cases (orb_true_l … Hx0)
 284           [ #Hx0eq >(\P Hx0eq) %
 285           | -Hx0 #Hx0 @Hl3l4nomarks >Hl4cons
 286             <associative_append @memb_append_l1 // ]
 287         | #x0 #Hx0 @Hl1nomarks >Hl1cons @memb_cons //
 288         | >Htc >associative_append %
 289         | -Hind
 290           <Hl1cons <Hl4cons #Hind lapply (Hind la bv ?? lb bg ??)
 291           [ #x0 #Hx0 @Hl4bits >Hlb @memb_append_l1 //
 292           | >Hlb in Hl4; normalize in ⊢ (%→?); #Hl4
 293             @(inj_append_singleton_l1 ? l4 (〈grid,bg〉::lb) … Hl4)
 294           | #x0 #Hx0 @Hl1bits >Hla @memb_cons //
 295           | >Hla in Hl1; normalize in ⊢ (%→?); #Hl1
 296             destruct (Hl1) // ] -Hind
 297           (* by IH, we proceed by cases, whether a = comma
 298              (consequently several lists = []) or not *)
 299           *
 300           [ * #Ha #Houtc1
 301 (*           cut (l1 = [〈a,false〉])
 302            [ cases l1'' in Hl1cons; // #y #ly #Hly
 303              >Hly in Hl1; cases l1' in Hl1bits;
 304              [ #_ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 305              | #p #lp #Hl1bits normalize #Heq destruct (Heq)
 306                @False_ind lapply (Hl1bits 〈a,false〉 ?)
 307                [ cases lp in e0;
 308                  [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 309                  | #p0 #lp0 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 310                    @memb_cons @memb_hd ]
 311                | >Ha normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 312              ]
 313            ] #Hl1a
 314            cut (l4 = [〈a0,false〉])
 315            [ generalize in match Hl4bits; cases l4' in Hl4;
 316              [ >Hl4cons #Hfalse #_
 317                lapply (inj_append_singleton_l1 ?? [] ?? Hfalse)
 318                cases (reverse ? l4'') normalize
 319                [ #Hfalse1 | #p0 #lp0 #Hfalse1 ] destruct (Hfalse1)
 320              | #p #lp
 321
 322              cases l4'' in Hl4cons; // #y #ly #Hly
 323              >Hly in Hl4; cases l4' in Hl4bits;
 324              [ #_ >reverse_cons #Hfalse
 325                lapply (inj_append_singleton_l1 ?? [] ?? Hfalse)
 326                -Hfalse cases ly normalize
 327                [ #Hfalse | #p #Hp #Hfalse ] destruct (Hfalse)
 328
 329              | #p #lp #Hl1bits normalize #Heq destruct (Heq)
 330                @False_ind lapply (Hl1bits 〈a,false〉 ?)
 331                [ cases lp in e0;
 332                  [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 333                  | #p0 #lp0 normalize in ⊢ (%→?); #Heq destruct (Heq)
 334                    @memb_cons @memb_hd ]
 335                | >Ha normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 336              ]
 337            ] #Hl1a
 338
 339               >Hla normalize #Hl1 destruct (Hl1) lapply (inj_append_ @False_ind
 340
 341            cut (l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 342            [ % [ >Hla in Hl1; normalize #Hl1 destruct (Hl1)
 343
 344             cases l1'' in Hl1bits;
 345
 346                  [ #_ normalize #H *)
 347            cut (la = [] ∧ lb = [] ∧ l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 348            [ @daemon ] * * * #Hla1 #Hlb1 #Hl1nil #Hl4nil
 349            >Hl1cons in Hl1; >Hla
 350            >Houtc1 >Htc #Hl1
 351            >Hl4cons in Hl4; >Hlb #Hl4
 352            >Hla1 >Hlb1 >Hl1nil >Hl4nil >Hx
 353            cut (a0 = grid) [ @daemon ] #Ha0 <Ha <Ha0
 354            normalize in ⊢ (??(??%?%)(??%?%)); >associative_append %
 355           | * #Ha #Houtc1 >Houtc1 @eq_f3 //
 356             >Hla >reverse_cons >associative_append @eq_f
 357             >Hx whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (???%); @eq_f @eq_f
 358             >Hlb >append_cons @eq_f2 // >(merge_config_append … Hlen2) %
 359           ]
 360        ]
 361     | (* c = null *)
 362       * #Hc #Htc
 363       lapply (Hind (〈c0,false〉::ls) a a0 rs l1'' (〈null,false〉::l3) (reverse ? l4'') ????)
 364       [  >Hl1cons in Hlen; >Hl4cons >length_append >commutative_plus normalize
 365          #Hlen destruct (Hlen) @e0
 366       | #x0 #Hx0 cases (memb_append STape ? [〈null,false〉] (l3@reverse ? l4'') … Hx0) -Hx0 #Hx0
 367         [ >(memb_single … Hx0) %
 368         | @Hl3l4nomarks cases (memb_append … Hx0) -Hx0 #Hx0
 369           [ @memb_append_l1 //
 370           | @memb_append_l2 >Hl4cons @memb_append_l1 // ]
 371         ]
 372       | >Hl1cons #x' #Hx0 @Hl1nomarks >Hl1cons @memb_cons //
 373       | >Htc @eq_f3 // >associative_append % ] -Hind <Hl1cons <Hl4cons #Hind
 374         lapply (Hind la bv ?? lb bg ??)
 375           [ #x0 #Hx0 @Hl4bits >Hlb @memb_append_l1 //
 376           | >Hlb in Hl4; normalize in ⊢ (%→?); #Hl4
 377             @(inj_append_singleton_l1 ? l4 (〈grid,bg〉::lb) … Hl4)
 378           | #x0 #Hx0 @Hl1bits >Hla @memb_cons //
 379           | >Hla in Hl1; normalize in ⊢ (%→?); #Hl1
 380             destruct (Hl1) // ] -Hind *
 381           (* by IH, we proceed by cases, whether a = comma
 382              (consequently several lists = []) or not *)
 383           [ * #Ha #Houtc1 >Hl1cons in Hl1; >Hla
 384            >Houtc1 >Htc #Hl1
 385            >Hl4cons in Hl4; >Hlb #Hl4
 386            cut (la = [] ∧ lb = [] ∧ l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 387            [@daemon] * * * #Hla1 #Hlb1 #Hl1nil #Hl4nil
 388            >Hla1 >Hlb1 >Hl1nil >Hl4nil >Hc
 389            cut (a0 = grid) [ @daemon ] #Ha0 <Ha <Ha0
 390            normalize in ⊢ (??(??%?%)(??%?%)); >associative_append %
 391           | * #Ha #Houtc1 >Houtc1 @eq_f3 //
 392             >Hla >reverse_cons >associative_append @eq_f
 393             >Hc whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (???%); @eq_f @eq_f
 394             >Hlb >append_cons @eq_f2 // >(merge_config_append … Hlen2) %
 395           ]
 396        ]
 397 ]]]
 398 qed.
 399
 400 definition merge_char ≝ λc1,c2.
 401   match c2 with
 402   [ null ⇒ c1
 403   | _ ⇒ c2 ].
 404
 405 lemma merge_cons :
 406   ∀c1,c2,conf1,conf2.
 407   merge_config (〈c1,false〉::conf1) (〈c2,false〉::conf2) =
 408     〈merge_char c1 c2,false〉::merge_config conf1 conf2.
 409 #c1 #c2 #conf1 #conf2 normalize @eq_f2 //
 410 cases c2 /2/
 411 qed.
 412
 413 lemma merge_config_c_nil :
 414   ∀c.merge_config c [] = [].
 415 #c cases c normalize //
 416 qed.
 417
 418 axiom reverse_merge_config :
 419   ∀c1,c2.|c1| = |c2| → reverse ? (merge_config c1 c2) =
 420     merge_config (reverse ? c1) (reverse ? c2).
 421
 422 definition copy
 423 ≝
 424   seq STape (move_l …) (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 425    (seq ? (clear_mark …) (seq ? (adv_to_mark_r … (is_marked ?)) (clear_mark …)))).
 426
 427 (*
 428    s0, s1 = caratteri di testa dello stato
 429    c0 = carattere corrente del nastro oggetto
 430    c1 = carattere in scrittura sul nastro oggetto
 431
 432    questa dimostrazione sfrutta il fatto che
 433    merge_config (l0@[c0]) (l1@[c1]) = l1@[merge_char c0 c1]
 434    se l0 e l1 non contengono null
 435 *)
 436
 437 definition R_copy ≝ λt1,t2.
 438   ∀ls,s0,s1,c0,c1,rs,l1,l3,l4.
 439   t1 = midtape STape (l3@〈grid,false〉::〈c0,false〉::l4@〈s0,true〉::ls) 〈s1,true〉 (l1@〈c1,false〉::〈comma,false〉::rs) →
 440   no_marks l1 → no_marks l3 → no_marks l4 → |l1| = |l4| →
 441   only_bits (l4@[〈s0,true〉]) → only_bits (〈s1,true〉::l1) →
 442   bit_or_null c0 = true → bit_or_null c1 = true →
 443   t2 = midtape STape (〈c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::l3@〈grid,false〉::
 444                       〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)
 445        〈comma,false〉 rs.
 446
 447 axiom sem_copy : Realize ? copy R_copy.