matita/matita/lib/turing/universal/copy.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/tuples.ma".
  18
  19 definition write_states ≝ initN 2.
  20
  21 definition write ≝ λalpha,c.
  22   mk_TM alpha write_states
  23   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
  24     match q with
  25     [ O ⇒ 〈1,Some ? 〈c,N〉〉
  26     | S _ ⇒ 〈1,None ?〉 ])
  27   O (λx.x == 1).
  28
  29 definition R_write ≝ λalpha,c,t1,t2.
  30   ∀ls,x,rs.t1 = midtape alpha ls x rs → t2 = midtape alpha ls c rs.
  31
  32 axiom sem_write : ∀alpha,c.Realize ? (write alpha c) (R_write alpha c).
  33
  34 definition copy_step_subcase ≝
  35   λalpha,c,elseM.ifTM ? (test_char ? (λx.x == 〈c,true〉))
  36     (seq (FinProd alpha FinBool) (adv_mark_r …)
  37       (seq ? (move_l …)
  38         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked alpha))
  39           (seq ? (write ? 〈c,false〉)
  40             (seq ? (move_r …)
  41               (seq ? (mark …)
  42                 (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked alpha)))))))))
  43     elseM tc_true.
  44
  45 definition R_copy_step_subcase ≝
  46   λalpha,c,RelseM,t1,t2.
  47     ∀a,l1,x0,a0,l2,x,l3.
  48     t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2)
  49          〈x,true〉 (〈a,false〉::l3) →
  50     (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
  51     (x = c ∧ t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
  52     (x ≠ c ∧ RelseM t1 t2).
  53
  54 axiom sem_copy_step_subcase :
  55   ∀alpha,c,elseM,RelseM.
  56   Realize ? (copy_step_subcase alpha c elseM) (R_copy_step_subcase alpha c RelseM).
  57
  58 (*
  59 if current = 0,tt
  60    then advance_mark_r;
  61         move_l;
  62         advance_to_mark_l;
  63         write(0,ff)
  64         move_r;
  65         mark;
  66         move_r;
  67         advance_to_mark_r;
  68 else if current = 1,tt
  69    then advance_mark_r;
  70         move_l;
  71         advance_to_mark_l;
  72         write(1,ff)
  73         move_r;
  74         mark;
  75         move_r;
  76         advance_to_mark_r;
  77 else if current = null
  78    then advance_mark_r;
  79         move_l;
  80         advance_to_mark_l
  81         adv_mark_r;
  82         move_r;
  83         advance_to_mark_r
  84 *)
  85
  86 definition nocopy_subcase ≝
  87   ifTM STape (test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉))
  88     (seq ? (adv_mark_r …)
  89       (seq ? (move_l …)
  90         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked ?))
  91           (seq ? (adv_mark_r …)
  92             (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked ?)))))))
  93     (nop ?) tc_true.
  94
  95 definition R_nocopy_subcase ≝
  96   λt1,t2.
  97     ∀a,l1,x0,a0,l2,x,l3.
  98     t1 = midtape STape (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2)
  99          〈x,true〉 (〈a,false〉::l3) →
 100     (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 101     (x = null ∧
 102      t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x0,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
 103     (x ≠ null ∧ t2 = t1).
 104
 105 axiom sem_nocopy_subcase : Realize ? nocopy_subcase R_nocopy_subcase.
 106 (* #intape
 107 cases (sem_if ? (test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉)) ?????? tc_true
 108  (sem_test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉))
 109         (sem_seq … (sem_adv_mark_r …)
 110            (sem_seq … (sem_move_l …)
 111              (sem_seq … (sem_adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 112                (sem_seq … (sem_adv_mark_r …)
 113                  (sem_seq … (sem_move_r …) (sem_adv_to_mark_r … (is_marked ?))
 114                  ))))) (sem_nop ?) intape)
 115 #k * #outc * #Hloop #HR @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)  % [@Hloop] -Hloop
 116 cases HR -HR
 117 [| * #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hta #Houtc
 118    #ls #x #rs #Hintape %2  >Hintape in Hta; #Hta cases (Hta ? (refl ??)) -Hta #Hx #Hta %
 119    [ lapply (\Pf Hx) @not_to_not #Hx' >Hx' %
 120    | <Hta @Houtc ] ]
 121 @daemon
 122 qed. *)
 123
 124 definition copy_step ≝
 125   ifTM ? (test_char STape (λc.is_bit (\fst c)))
 126   (single_finalTM ? (copy_step_subcase FSUnialpha (bit false)
 127     (copy_step_subcase FSUnialpha (bit true) nocopy_subcase)))
 128   (nop ?)
 129   tc_true.
 130
 131 definition R_copy_step_true ≝
 132   λt1,t2.
 133     ∀ls,c,rs. t1 = midtape STape ls 〈c,true〉 rs →
 134     bit_or_null c = true ∧
 135     (∀a,l1,x0,a0,l2,l3.
 136      ls = (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2) →
 137      rs = (〈a,false〉::l3) →
 138      no_marks l1 →
 139      ((∃x. c = bit x ∧
 140       t2 = midtape STape (〈bit x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈bit x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
 141       (c = null ∧
 142       t2 = midtape ? (〈null,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x0,false〉::l2) 〈a,true〉 l3))).
 143
 144 definition R_copy_step_false ≝
 145   λt1,t2.
 146    ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
 147    bit_or_null (\fst c) = false ∧ t2 = t1.
 148
 149 axiom sem_copy_step :
 150   accRealize ? copy_step (inr … (inl … (inr … 0))) R_copy_step_true R_copy_step_false.
 151
 152 (*
 153 1) il primo carattere è marcato
 154 2) l'ultimo carattere è l'unico che può essere null, gli altri sono bit
 155 3) il terminatore non è né bit, né null
 156 *)
 157
 158 definition copy0 ≝ whileTM ? copy_step (inr … (inl … (inr … 0))).
 159
 160 let rec merge_config (l1,l2:list STape) ≝
 161   match l1 with
 162   [ nil ⇒ nil ?
 163   | cons p1 l1' ⇒ match l2 with
 164     [ nil ⇒ nil ?
 165     | cons p2 l2' ⇒
 166            let 〈c1,b1〉 ≝ p1 in let 〈c2,b2〉 ≝ p2 in
 167            match c2 with
 168            [ null ⇒ p1 :: merge_config l1' l2'
 169            | _ ⇒ p2 :: merge_config l1' l2' ] ] ].
 170
 171 definition R_copy0 ≝ λt1,t2.
 172   ∀ls,c,c0,rs,l1,l3,l4.
 173   t1 = midtape STape (l3@l4@〈c0,true〉::ls) 〈c,true〉 (l1@rs) →
 174   no_marks l1 → no_marks (l3@l4) → |l1| = |l4| →
 175   ∀l1',bv.〈c,false〉::l1 = l1'@[〈comma,bv〉] → only_bits_or_nulls l1' →
 176   ∀l4',bg.l4@[〈c0,false〉] = 〈grid,bg〉::l4' → only_bits_or_nulls l4' →
 177   (c = comma ∧ t2 = t1) ∨
 178   (c ≠ comma ∧
 179     t2 = midtape ? (reverse ? l1'@l3@〈grid,true〉::
 180                   merge_config l4' (reverse ? l1')@ls)
 181      〈comma,true〉 rs).
 182
 183 lemma wsem_copy0 : WRealize ? copy0 R_copy0.
 184 #intape #k #outc #Hloop
 185 lapply (sem_while … sem_copy_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 186 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 187 [ #tb whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 188   #ls #c #c0 #rs #l1 #l3 #l4 #Htb #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen #l1' #bv
 189   #Hl1 #Hl1bits #l4' #bg #Hl4 #Hl4bits
 190   cases (Hleft … Htb) -Hleft #Hc #Houtc % %
 191   [ generalize in match Hl1bits; -Hl1bits cases l1' in Hl1;
 192     [ normalize #Hl1 #c1 destruct (Hl1) %
 193     | * #c' #b' #l0 #Heq normalize in Heq; destruct (Heq)
 194       #Hl1bits lapply (Hl1bits 〈c',false〉 ?) [ @memb_hd ]
 195       >Hc #Hfalse destruct ]
 196   | @Houtc ]
 197 | #tb #tc #td whd in ⊢ (%→?→(?→%)→%→?); #Htc #Hstar1 #Hind #Htd
 198   lapply (Hind Htd) -Hind #Hind
 199   #ls #c #c0 #rs #l1 #l3 #l4 #Htb #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen #l1' #bv
 200   #Hl1 #Hl1bits #l4' #bg #Hl4 #Hl4bits %2
 201   cases (Htc … Htb) -Htc #Hcbitnull #Htc
 202   % [ % #Hc' >Hc' in Hcbitnull; normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 203   cut (|l1| = |reverse ? l4|) [@daemon] #Hlen1
 204   @(list_cases_2 … Hlen1)
 205   [ #Hl1nil @False_ind >Hl1nil in Hl1; cases l1' normalize
 206     [ #Hl1 destruct normalize in Hcbitnull; destruct (Hcbitnull)
 207     | #p0 #l0 normalize #Hfalse destruct (Hfalse) cases l0 in e0;
 208       [ normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1)
 209       | #p0' #l0' normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1) ] ]
 210   | * #a #ba * #a0 #ba0 #l1'' #l4'' #Hl1cons #Hl4cons
 211     lapply (eq_f ?? (reverse ?) ?? Hl4cons) >reverse_reverse >reverse_cons -Hl4cons #Hl4cons
 212     cut (ba = false) [ @daemon ] #Hba
 213     cut (ba0 = false) [ @daemon ] #Hba0
 214     >Hba0 in Hl4cons; >Hba in Hl1cons; -Hba0 -Hba #Hl1cons #Hl4cons
 215     >Hl4cons in Htc; >Hl1cons #Htc
 216     lapply (Htc a (l3@reverse ? l4'') c0 a0 ls (l1''@rs) ? (refl ??) ?)
 217     [ #x #Hx @Hl3l4nomarks >Hl4cons <associative_append
 218       @memb_append_l1 @Hx
 219     | >associative_append >associative_append %
 220     | -Htc *
 221       [ * #x * #Hx #Htc
 222         lapply (Hind (〈bit x,false〉::ls) a a0 rs l1''
 223                 (〈bit x,false〉::l3) (reverse ? l4'') ????)
 224         [ >Hl1cons in Hlen; >Hl4cons >length_append >commutative_plus
 225           normalize #Hlen destruct (Hlen) //
 226         | #x0 #Hx0 cases (orb_true_l … Hx0)
 227           [ #Hx0eq >(\P Hx0eq) %
 228           | -Hx0 #Hx0 @Hl3l4nomarks >Hl4cons
 229             <associative_append @memb_append_l1 // ]
 230         | #x0 #Hx0 @Hl1nomarks >Hl1cons @memb_cons //
 231         | >Htc >associative_append %
 232         | -Hind
 233           cut (∃la.l1' = 〈c,false〉::la)
 234           [ >Hl1cons in Hl1; cases l1'
 235             [normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 236             | #p #la normalize #Hla destruct (Hla) @(ex_intro ?? la) % ] ]
 237           * #la #Hla
 238           cut (∃lb.l4' = lb@[〈c0,false〉])
 239             [ >Hl4cons in Hl4;
 240               @(list_elim_left … l4')
 241               (* si usa l'iniettività del "cons destro"
 242               [ normalize
 243               | #p #lb
 244              cases l4'
 245               [normalize
 246               | #p #lb *)
 247
 248             @(list_elim_left … l4')
 249            <Hl1cons <Hl4cons #Hind lapply (Hind ?? Hl1 ??? Hl4 ?)
 250
 251 definition copy
 252 ≝
 253   seq STape (move_l …) (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 254    (seq ? (clear_mark …) (seq ? (adv_to_mark_r … (is_marked ?)) (clear_mark …)))).
 255
 256 definition R_copy ≝ λt1,t2.
 257   ∀ls,c,c0,rs,l1,l3,l4.
 258   t1 = midtape STape (l3@〈grid,false〉::l4@〈c0,true〉::ls) 〈c,true〉 (l1@〈comma,false〉::rs) →
 259   no_marks l1 → no_marks l3 → no_marks l4 → |l1| = |l4| →
 260   only_bits_or_nulls (〈c0,true〉::l4) → only_bits_or_nulls (〈c,true〉::l1) →
 261   t2 = midtape STape (reverse ? l1@l3@〈grid,false〉::
 262           merge_config (l4@[〈c0,false〉]) (reverse ? (〈c,false〉::l1))@ls)
 263      〈comma,false〉 rs.
 264
 265 axiom sem_copy : Realize ? copy R_copy.