matita/matita/lib/turing/universal/copy.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 include "turing/universal/marks.ma".
  14
  15 definition copy_step_subcase ≝
  16   λalpha,c,elseM.ifTM ? (test_char ? (λx.x == 〈c,true〉))
  17     (seq (FinProd alpha FinBool) (adv_mark_r …)
  18       (seq ? (move_l …)
  19         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked alpha))
  20           (seq ? (write ? 〈c,false〉)
  21             (seq ? (move_r …)
  22               (seq ? (mark …)
  23                 (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked alpha)))))))))
  24     elseM tc_true.
  25
  26 definition R_copy_step_subcase ≝
  27   λalpha,c,RelseM,t1,t2.
  28     ∀a,l1,x0,a0,l2,x,l3.
  29     t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2)
  30          〈x,true〉 (〈a,false〉::l3) →
  31     (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
  32     (x = c ∧ t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
  33     (x ≠ c ∧ RelseM t1 t2).
  34
  35 lemma sem_copy_step_subcase :
  36   ∀alpha,c,elseM,RelseM. Realize ? elseM RelseM →
  37   Realize ? (copy_step_subcase alpha c elseM) (R_copy_step_subcase alpha c RelseM).
  38 #alpha #c #elseM #RelseM #HelseM #intape
  39 cases (sem_if ? (test_char ? (λx. x == 〈c,true〉)) ?????? tc_true (sem_test_char ? (λx.x == 〈c,true〉))
  40         (sem_seq ????? (sem_adv_mark_r alpha)
  41           (sem_seq ????? (sem_move_l …)
  42             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l … (is_marked alpha))
  43               (sem_seq ????? (sem_write ? 〈c,false〉)
  44                 (sem_seq ????? (sem_move_r …)
  45                   (sem_seq ????? (sem_mark …)
  46                     (sem_seq ????? (sem_move_r …) (sem_adv_to_mark_r … (is_marked alpha)))))))))
  47         HelseM intape)
  48 #k * #outc * #Hloop #HR %{k} %{outc} % [@Hloop] -Hloop
  49 #a #l1 #x0 #a0 #l2 #x #l3 #Hintape #Hl1marks cases HR -HR
  50 [ * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape * * #c0 * whd in ⊢ (??%?→?); #Hx #Hc #Hta
  51   * #tb * whd in ⊢ (%→?); * #Htb cases (Htb (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2) x) -Htb
  52   #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb #_ #_
  53   * #tc * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc #Htc
  54   * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htd cases (Htd … Htc) -Htd #_ #Htd cases (Htd (refl ??))
  55   -Htd #Htd lapply (Htd (l1@[〈a0,false〉]) 〈x0,true〉 l2 ???) //
  56   [#x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) [ @Hl1marks | #Hsingle >(memb_single … Hsingle) % ]
  57   |whd in ⊢ (??%?); // ]
  58   -Htd #Htd #_
  59   * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Hte -Htd -Htc #Hte
  60   * #tf * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htf lapply (Htf … Hte) -Hte -Htf >reverse_append #Htf
  61   * #tg * whd in ⊢ (%→?); * #Htg #_ lapply (Htg … Htf) -Htf -Htg >reverse_single #Htg
  62   * #th * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Hth lapply (Hth … Htg) -Htg -Hth
  63   generalize in match Hl1marks; -Hl1marks @(list_elim_left … l1)
  64   [ #Hl1marks #Hth whd in ⊢ (%→?); * #_ #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
  65     [ * normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
  66     * * #_ #Houtc #_ lapply (Houtc [] ?? (refl ??) (refl ??) Hl1marks) -Houtc
  67     #Houtc % >(\P Hc) in Hx; #Hx destruct (Hx) % // @Houtc
  68   | -l1 #c1 #l1 #_ #Hl1marks >reverse_append >reverse_single
  69     #Hth whd in ⊢ (%→?); #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
  70     [ * >Hl1marks [ #Hfalse destruct (Hfalse) ] @memb_append_l2 @memb_hd ]
  71     * #_ #Houtc lapply (Houtc (reverse ? l1@[〈x,false〉]) 〈a,true〉 l3 ? (refl ??) ?) -Houtc
  72     [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) -Hx1 #Hx1
  73       [@Hl1marks @memb_append_l1 <(reverse_reverse … l1) @memb_reverse @Hx1
  74       |>(memb_single … Hx1) % ]
  75     | normalize >associative_append % ]
  76     #Houtc lapply (\P Hx) -Hx #Hx destruct (Hx) % % [%] >Houtc
  77     >reverse_append >reverse_reverse >associative_append >associative_append % ]
  78 | * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape #Hta cases (Hta ? (refl ??)) -Hta
  79   #Hxc #Hta >Hta #Houtc %2 % // lapply (\Pf Hxc) @not_to_not #Heq >Heq % ]
  80 qed.
  81
  82 (*
  83 if current = 0,tt
  84    then advance_mark_r;
  85         move_l;
  86         advance_to_mark_l;
  87         write(0,ff)
  88         move_r;
  89         mark;
  90         move_r;
  91         advance_to_mark_r;
  92 else if current = 1,tt
  93    then advance_mark_r;
  94         move_l;
  95         advance_to_mark_l;
  96         write(1,ff)
  97         move_r;
  98         mark;
  99         move_r;
 100         advance_to_mark_r;
 101 else if current = null
 102    then advance_mark_r;
 103         move_l;
 104         advance_to_mark_l
 105         adv_mark_r;
 106         move_r;
 107         advance_to_mark_r
 108 *)
 109
 110 definition nocopy_subcase ≝
 111   ifTM STape (test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉))
 112     (seq ? (adv_mark_r …)
 113       (seq ? (move_l …)
 114         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 115           (seq ? (adv_mark_r …)
 116             (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked ?)))))))
 117     (nop ?) tc_true.
 118
 119 definition R_nocopy_subcase ≝
 120   λt1,t2.
 121     ∀a,l1,x0,a0,l2,x,l3.
 122     t1 = midtape STape (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2)
 123          〈x,true〉 (〈a,false〉::l3) →
 124     (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 125     (x = null ∧
 126      t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x0,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
 127     (x ≠ null ∧ t2 = t1).
 128
 129 lemma sem_nocopy_subcase : Realize ? nocopy_subcase R_nocopy_subcase.
 130 #intape
 131 cases (sem_if ? (test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉)) ?????? tc_true
 132         (sem_test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉))
 133           (sem_seq … (sem_adv_mark_r …)
 134             (sem_seq … (sem_move_l …)
 135               (sem_seq … (sem_adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 136                 (sem_seq … (sem_adv_mark_r …)
 137                   (sem_seq … (sem_move_r …)
 138                     (sem_adv_to_mark_r … (is_marked ?))))))) (sem_nop ?) intape)
 139 #k * #outc * #Hloop #HR @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)  % [@Hloop] -Hloop
 140 #a #l1 #x0 #a0 #l2 #x #l3 #Hintape #Hl1marks cases HR -HR
 141 [ * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape #Hta cases (Hta … (refl ??)) -Hta #Hx #Hta
 142   * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Hta -Htb #Htb
 143   * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc #Htc
 144   * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 145   [ >Htc * normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 146   * #_ #Htd lapply (Htd (l1@[〈a0,false〉]) 〈x0,true〉 l2 ? (refl ??) ?) -Htd
 147   [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) -Hx1 #Hx1 [@(Hl1marks ? Hx1)|>(memb_single … Hx1) %]
 148   | normalize >associative_append % ] >reverse_append #Htd
 149   * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Hte -Htd -Htc #Hte
 150   * #tf * whd in ⊢ (%→?); #Htf lapply (Htf … Hte) -Hte -Htf
 151   generalize in match Hl1marks; -Hl1marks @(list_elim_left … l1)
 152   [ #Hl1marks #Hth whd in ⊢ (%→?); #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
 153     [ * normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 154     * #_ #Houtc lapply (Houtc [] ?? (refl ??) (refl ??) Hl1marks) -Houtc
 155     #Houtc lapply (\P Hx) -Hx #Hx destruct (Hx) % % [%] @Houtc
 156   | -l1 #c1 #l1 #_ #Hl1marks >reverse_append >reverse_single
 157     #Hth whd in ⊢ (%→?); #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
 158     [ * >Hl1marks [ #Hfalse destruct (Hfalse) ] @memb_append_l2 @memb_hd ]
 159     * #_ #Houtc lapply (Houtc (reverse ? l1@[〈x,false〉]) 〈a,true〉 l3 ? (refl ??) ?) -Houtc
 160     [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) -Hx1 #Hx1
 161       [@Hl1marks @memb_append_l1 <(reverse_reverse … l1) @memb_reverse @Hx1
 162       |>(memb_single … Hx1) % ]
 163     | normalize >associative_append % ]
 164     #Houtc lapply (\P Hx) -Hx #Hx destruct (Hx) % % [%] >Houtc
 165     >reverse_append >reverse_reverse >associative_append >associative_append % ]
 166 | * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape #Hta cases (Hta ? (refl ??)) -Hta
 167   #Hxc #Hta >Hta whd in ⊢ (%→?); #Houtc %2 %
 168   [ lapply (\Pf Hxc) @not_to_not #Heq >Heq %
 169   | @Houtc ]
 170 qed.
 171
 172 definition copy_step ≝
 173   ifTM ? (test_char STape (λc.bit_or_null (\fst c)))
 174   (single_finalTM ? (copy_step_subcase FSUnialpha (bit false)
 175     (copy_step_subcase FSUnialpha (bit true) nocopy_subcase)))
 176   (nop ?)
 177   tc_true.
 178
 179 definition R_copy_step_true ≝
 180   λt1,t2.
 181     ∀ls,c,rs. t1 = midtape STape ls 〈c,true〉 rs →
 182     bit_or_null c = true ∧
 183     (∀a,l1,x0,a0,l2,l3.
 184      ls = (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2) →
 185      rs = (〈a,false〉::l3) →
 186      no_marks l1 →
 187      ((∃x. c = bit x ∧
 188       t2 = midtape STape (〈bit x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈bit x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
 189       (c = null ∧
 190       t2 = midtape ? (〈null,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x0,false〉::l2) 〈a,true〉 l3))).
 191
 192 definition R_copy_step_false ≝
 193   λt1,t2.
 194    ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
 195    bit_or_null (\fst c) = false ∧ t2 = t1.
 196
 197 lemma sem_copy_step :
 198   accRealize ? copy_step (inr … (inl … (inr … start_nop))) R_copy_step_true R_copy_step_false.
 199 #intape
 200 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.bit_or_null (\fst c)))  …
 201     (sem_copy_step_subcase FSUnialpha (bit false) …
 202        (sem_copy_step_subcase FSUnialpha (bit true) … (sem_nocopy_subcase …)))
 203           (sem_nop …))
 204 [ #t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→%→?); #H1 #H2 #ls #c #rs #Ht1 >Ht1 in H1; #H1
 205   cases (H1 … (refl ??)) #Hc #Ht3 % [ @Hc ]
 206   #a #l1 #x0 #a0 #l2 #l3 #Hls #Hrs #Hl1marks >Hls in Ht3; >Hrs #Ht3
 207   cases (H2 … Ht3 ?)
 208   [ * #Hc' #Ht2 % %{false} % // <Hc' @Ht2
 209   | * #Hnotfalse whd in ⊢ (%→?); #Ht2 cases (Ht2 … Ht3 ?) -Ht2
 210     [ * #Hc' #Ht2 % %{true} % // <Hc' @Ht2
 211     |  * #Hnottrue whd in ⊢ (%→?); #Ht2 cases (Ht2 … Ht3 ?) -Ht2
 212       [ * #Hc' #Ht2 %2 <Hc' % // @Ht2
 213       | * #Hnotnull @False_ind
 214         generalize in match Hnotnull;generalize in match Hnottrue;generalize in match Hnotfalse;
 215         cases c in Hc; normalize
 216         [ * [ #_ #_ * #Hfalse #_ | #_ * #Hfalse #_ #_ ]
 217         | #_ #_ #_ * #Hfalse
 218         |*: #Hfalse destruct (Hfalse) ] @Hfalse %
 219       | @Hl1marks ]
 220     | @Hl1marks ]
 221   | @Hl1marks ]
 222 | #t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→%→?); #H1 #H2 #ls #c #rs #Ht1
 223   >Ht1 in H1; #H1 cases (H1 … (refl ??)) #_ #Ht3 cases (H1 ? (refl ??)) -H1
 224   #Hc #Ht3 % //
 225 ]
 226 qed.
 227
 228 (*
 229 1) il primo carattere è marcato
 230 2) l'ultimo carattere è l'unico che può essere null, gli altri sono bit
 231 3) il terminatore non è né bit, né null
 232 *)
 233
 234 definition copy0 ≝ whileTM ? copy_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 235
 236 let rec merge_config (l1,l2:list STape) ≝
 237   match l1 with
 238   [ nil ⇒ nil ?
 239   | cons p1 l1' ⇒ match l2 with
 240     [ nil ⇒ nil ?
 241     | cons p2 l2' ⇒
 242            let 〈c1,b1〉 ≝ p1 in let 〈c2,b2〉 ≝ p2 in
 243            match c2 with
 244            [ null ⇒ p1
 245            | _ ⇒ p2 ] :: merge_config l1' l2' ] ].
 246
 247 lemma merge_config_append :
 248  ∀l1,l2,l3,l4.|l1| = |l2| →
 249  merge_config (l1@l3) (l2@l4) = merge_config l1 l2@merge_config l3 l4.
 250 #l1 #l2 #l3 #l4 #Hlen @(list_ind2 … Hlen)
 251 [normalize //
 252 | #t1 #t2 * #c1 #b1 * #c2 #b2 #IH whd in ⊢ (??%%); >IH % ]
 253 qed.
 254
 255 definition R_copy0 ≝ λt1,t2.
 256   ∀ls,c,c0,rs,l1,l3,l4.
 257   t1 = midtape STape (l3@l4@〈c0,true〉::ls) 〈c,true〉 (l1@rs) →
 258   no_marks l1 → no_marks (l3@l4) → |l1| = |l4| →
 259   ∀l1',bv.〈c,false〉::l1 = l1'@[〈comma,bv〉] → only_bits_or_nulls l1' →
 260   ∀l4',bg.l4@[〈c0,false〉] = 〈grid,bg〉::l4' → only_bits_or_nulls l4' →
 261   (c = comma ∧ t2 = t1) ∨
 262   (c ≠ comma ∧
 263     t2 = midtape ? (reverse ? l1'@l3@〈grid,true〉::
 264                   merge_config l4' (reverse ? l1')@ls)
 265      〈comma,true〉 rs).
 266
 267 lemma inj_append_singleton_l1 :
 268   ∀A.∀l1,l2:list A.∀a1,a2.l1@[a1] = l2@[a2] → l1 = l2.
 269 #A #l1 #l2 #a1 #a2 #H lapply (eq_f … (reverse ?) … H)
 270 >reverse_append >reverse_append normalize #H1 destruct
 271 lapply (eq_f … (reverse ?) … e0) >reverse_reverse >reverse_reverse //
 272 qed.
 273
 274 lemma inj_append_singleton_l2 :
 275   ∀A.∀l1,l2:list A.∀a1,a2.l1@[a1] = l2@[a2] → a1 = a2.
 276 #A #l1 #l2 #a1 #a2 #H lapply (eq_f … (reverse ?) … H)
 277 >reverse_append >reverse_append normalize #H1 destruct %
 278 qed.
 279
 280 axiom daemon : ∀P:Prop.P.
 281
 282 lemma wsem_copy0 : WRealize ? copy0 R_copy0.
 283 #intape #k #outc #Hloop
 284 lapply (sem_while … sem_copy_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 285 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 286 [ #tb whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 287   #ls #c #c0 #rs #l1 #l3 #l4 #Htb #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen #l1' #bv
 288   #Hl1 #Hl1bits #l4' #bg #Hl4 #Hl4bits
 289   cases (Hleft … Htb) -Hleft #Hc #Houtc % %
 290   [ generalize in match Hl1bits; -Hl1bits cases l1' in Hl1;
 291     [ normalize #Hl1 #c1 destruct (Hl1) %
 292     | * #c' #b' #l0 #Heq normalize in Heq; destruct (Heq)
 293       #Hl1bits lapply (Hl1bits 〈c',false〉 ?) [ @memb_hd ]
 294       >Hc #Hfalse destruct ]
 295   | @Houtc ]
 296 | #tb #tc #td whd in ⊢ (%→?→(?→%)→%→?); #Htc #Hstar1 #Hind #Htd
 297   lapply (Hind Htd) -Hind #Hind
 298   #ls #c #c0 #rs #l1 #l3 #l4 #Htb #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen #l1' #bv
 299   #Hl1 #Hl1bits #l4' #bg #Hl4 #Hl4bits %2
 300   cases (Htc … Htb) -Htc #Hcbitnull #Htc
 301   % [ % #Hc' >Hc' in Hcbitnull; normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 302   cut (|l1| = |reverse ? l4|) [>length_reverse @Hlen] #Hlen1
 303   @(list_cases2 … Hlen1)
 304   [ (* case l1 = [] is discriminated because l1 contains at least comma *)
 305     #Hl1nil @False_ind >Hl1nil in Hl1; cases l1' normalize
 306     [ #Hl1 destruct normalize in Hcbitnull; destruct (Hcbitnull)
 307     | #p0 #l0 normalize #Hfalse destruct (Hfalse) cases l0 in e0;
 308       [ normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1)
 309       | #p0' #l0' normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1) ] ]
 310   | (* case c::l1 = c::a::l1'' *)
 311     * #a #ba * #a0 #ba0 #l1'' #l4'' #Hl1cons #Hl4cons
 312     lapply (eq_f ?? (reverse ?) ?? Hl4cons) >reverse_reverse >reverse_cons -Hl4cons #Hl4cons
 313     cut (ba = false)
 314     [ >Hl1cons in Hl1nomarks; #Hl1nomarks lapply (Hl1nomarks 〈a,ba〉 ?)
 315       [ @memb_hd | normalize // ] ] #Hba
 316     cut (ba0 = false)
 317     [ >Hl4cons in Hl3l4nomarks; #Hl3l4nomarks lapply (Hl3l4nomarks 〈a0,ba0〉 ?)
 318       [ @memb_append_l2 @memb_append_l2 @memb_hd | normalize // ] ] #Hba0
 319     >Hba0 in Hl4cons; >Hba in Hl1cons; -Hba0 -Hba #Hl1cons #Hl4cons
 320     >Hl4cons in Htc; >Hl1cons #Htc
 321     lapply (Htc a (l3@reverse ? l4'') c0 a0 ls (l1''@rs) ? (refl ??) ?)
 322     [ #x #Hx @Hl3l4nomarks >Hl4cons <associative_append
 323       @memb_append_l1 @Hx
 324     | >associative_append >associative_append %
 325     | -Htc
 326       cut (∃la.l1' = 〈c,false〉::la)
 327       [ >Hl1cons in Hl1; cases l1'
 328         [normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 329         | #p #la normalize #Hla destruct (Hla) @(ex_intro ?? la) % ] ]
 330       * #la #Hla
 331       cut (∃lb.l4' = lb@[〈c0,false〉])
 332       [ >Hl4cons in Hl4;
 333         @(list_elim_left … l4')
 334         [ #Heq lapply (eq_f … (length ?) … Heq)
 335           >length_append >length_append
 336           >commutative_plus normalize >commutative_plus normalize
 337           #Hfalse destruct
 338         | #a1 #tl #_ #Heq
 339           >(inj_append_singleton_l2 ? (reverse ? l4''@[〈a0,false〉]) (〈grid,bg〉::tl) 〈c0,false〉 a1 Heq)
 340           @ex_intro //
 341       ] ] * #lb #Hlb
 342       cut (|lb| = |reverse ? la|)
 343       [ >Hla in Hl1; >Hlb in Hl4; #Hl4 #Hl1
 344         >(?:l1 = la@[〈comma,bv〉]) in Hlen;
 345         [|normalize in Hl1; destruct (Hl1) %]
 346         >(?:l4 = 〈grid,bg〉::lb)
 347         [|@(inj_append_singleton_l1 ?? (〈grid,bg〉::lb) ?? Hl4) ]
 348         >length_append >commutative_plus >length_reverse
 349         normalize #Hlalb destruct (Hlalb) //
 350       ] #Hlen2
 351       *
 352       (* by hyp on the first iteration step,
 353          we consider whether c = bit x or c = null *)
 354       (* c = bit x *)
 355       [ * #x * #Hx #Htc
 356         lapply (Hind (〈bit x,false〉::ls) a a0 rs l1''
 357                 (〈bit x,false〉::l3) (reverse ? l4'') ????)
 358         [ >Hl1cons in Hlen; >Hl4cons >length_append >commutative_plus
 359           normalize #Hlen destruct (Hlen) //
 360         | #x0 #Hx0 cases (orb_true_l … Hx0)
 361           [ #Hx0eq >(\P Hx0eq) %
 362           | -Hx0 #Hx0 @Hl3l4nomarks >Hl4cons
 363             <associative_append @memb_append_l1 // ]
 364         | #x0 #Hx0 @Hl1nomarks >Hl1cons @memb_cons //
 365         | >Htc >associative_append %
 366         | -Hind
 367           <Hl1cons <Hl4cons #Hind lapply (Hind la bv ?? lb bg ??)
 368           [ #x0 #Hx0 @Hl4bits >Hlb @memb_append_l1 //
 369           | >Hlb in Hl4; normalize in ⊢ (%→?); #Hl4
 370             @(inj_append_singleton_l1 ? l4 (〈grid,bg〉::lb) … Hl4)
 371           | #x0 #Hx0 @Hl1bits >Hla @memb_cons //
 372           | >Hla in Hl1; normalize in ⊢ (%→?); #Hl1
 373             destruct (Hl1) // ] -Hind
 374           (* by IH, we proceed by cases, whether a = comma
 375              (consequently several lists = []) or not *)
 376           *
 377           [ * #Ha #Houtc1
 378            cut (la = [] ∧ lb = [] ∧ l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 379            [ @daemon ] * * * #Hla1 #Hlb1 #Hl1nil #Hl4nil
 380            >Hl1cons in Hl1; >Hla
 381            >Houtc1 >Htc #Hl1
 382            >Hl4cons in Hl4; >Hlb #Hl4
 383            >Hla1 >Hlb1 >Hl1nil >Hl4nil >Hx
 384            cut (a0 = grid) [ @daemon ] #Ha0 <Ha <Ha0
 385            normalize in ⊢ (??(??%?%)(??%?%)); >associative_append %
 386           | * #Ha #Houtc1 >Houtc1 @eq_f3 //
 387             >Hla >reverse_cons >associative_append @eq_f
 388             >Hx whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (???%); @eq_f @eq_f
 389             >Hlb >append_cons @eq_f2 // >(merge_config_append … Hlen2) %
 390           ]
 391        ]
 392     | (* c = null *)
 393       * #Hc #Htc
 394       lapply (Hind (〈c0,false〉::ls) a a0 rs l1'' (〈null,false〉::l3) (reverse ? l4'') ????)
 395       [  >Hl1cons in Hlen; >Hl4cons >length_append >commutative_plus normalize
 396          #Hlen destruct (Hlen) @e0
 397       | #x0 #Hx0 cases (memb_append STape ? [〈null,false〉] (l3@reverse ? l4'') … Hx0) -Hx0 #Hx0
 398         [ >(memb_single … Hx0) %
 399         | @Hl3l4nomarks cases (memb_append … Hx0) -Hx0 #Hx0
 400           [ @memb_append_l1 //
 401           | @memb_append_l2 >Hl4cons @memb_append_l1 // ]
 402         ]
 403       | >Hl1cons #x' #Hx0 @Hl1nomarks >Hl1cons @memb_cons //
 404       | >Htc @eq_f3 // >associative_append % ] -Hind <Hl1cons <Hl4cons #Hind
 405         lapply (Hind la bv ?? lb bg ??)
 406           [ #x0 #Hx0 @Hl4bits >Hlb @memb_append_l1 //
 407           | >Hlb in Hl4; normalize in ⊢ (%→?); #Hl4
 408             @(inj_append_singleton_l1 ? l4 (〈grid,bg〉::lb) … Hl4)
 409           | #x0 #Hx0 @Hl1bits >Hla @memb_cons //
 410           | >Hla in Hl1; normalize in ⊢ (%→?); #Hl1
 411             destruct (Hl1) // ] -Hind *
 412           (* by IH, we proceed by cases, whether a = comma
 413              (consequently several lists = []) or not *)
 414           [ * #Ha #Houtc1 >Hl1cons in Hl1; >Hla
 415            >Houtc1 >Htc #Hl1
 416            >Hl4cons in Hl4; >Hlb #Hl4
 417            cut (la = [] ∧ lb = [] ∧ l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 418            [@daemon] * * * #Hla1 #Hlb1 #Hl1nil #Hl4nil
 419            >Hla1 >Hlb1 >Hl1nil >Hl4nil >Hc
 420            cut (a0 = grid) [ @daemon ] #Ha0 <Ha <Ha0
 421            normalize in ⊢ (??(??%?%)(??%?%)); >associative_append %
 422           | * #Ha #Houtc1 >Houtc1 @eq_f3 //
 423             >Hla >reverse_cons >associative_append @eq_f
 424             >Hc whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (???%); @eq_f @eq_f
 425             >Hlb >append_cons @eq_f2 // >(merge_config_append … Hlen2) %
 426           ]
 427        ]
 428 ]]]
 429 qed.
 430
 431 definition merge_char ≝ λc1,c2.
 432   match c2 with
 433   [ null ⇒ c1
 434   | _ ⇒ c2 ].
 435
 436 lemma merge_cons :
 437   ∀c1,c2,conf1,conf2.
 438   merge_config (〈c1,false〉::conf1) (〈c2,false〉::conf2) =
 439     〈merge_char c1 c2,false〉::merge_config conf1 conf2.
 440 #c1 #c2 #conf1 #conf2 normalize @eq_f2 //
 441 cases c2 /2/
 442 qed.
 443
 444 lemma merge_bits : ∀l1,l2.|l1| = |l2| → only_bits l2 → merge_config l1 l2 = l2.
 445 #l1 #l2 #Hlen @(list_ind2 … Hlen) //
 446 #tl1 #tl2 #hd1 #hd2 #IH
 447 >(eq_pair_fst_snd … hd1) >(eq_pair_fst_snd … hd2) #Hbits
 448 change with (cons ???) in ⊢ (??%?); @eq_f2
 449 [ cases (\fst hd2) in Hbits;
 450   [ #b #_ %
 451   |*: #Hfalse lapply (Hfalse … (memb_hd …)) normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1) ]
 452 | @IH #x #Hx @Hbits @memb_cons // ]
 453 qed.
 454
 455 lemma merge_config_c_nil :
 456   ∀c.merge_config c [] = [].
 457 #c cases c normalize //
 458 qed.
 459
 460 lemma reverse_merge_config :
 461   ∀c1,c2.|c1| = |c2| → reverse ? (merge_config c1 c2) =
 462     merge_config (reverse ? c1) (reverse ? c2).
 463 #c1 #c2 <(length_reverse ? c1) <(length_reverse ? c2) #Hlen
 464 <(reverse_reverse ? c1) in ⊢ (??%?); <(reverse_reverse ? c2) in ⊢ (??%?);
 465 generalize in match Hlen; @(list_ind2 … Hlen) -Hlen //
 466 #tl1 #tl2 #hd1 #hd2 #IH whd in ⊢ (??%%→?); #Hlen destruct (Hlen) -Hlen
 467 <(length_reverse ? tl1) in e0; <(length_reverse ? tl2) #Hlen
 468 >reverse_cons >reverse_cons >(merge_config_append ???? Hlen)
 469 >reverse_append >(eq_pair_fst_snd ?? hd1) >(eq_pair_fst_snd ?? hd2)
 470 whd in ⊢ (??%%); @eq_f2 // @IH //
 471 qed.
 472
 473 definition copy
 474 ≝
 475   seq STape copy0 (seq ? (move_l …) (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 476    (seq ? (clear_mark …) (seq ? (adv_to_mark_r … (is_marked ?)) (clear_mark …))))).
 477
 478 (*
 479    s0, s1 = caratteri di testa dello stato
 480    c0 = carattere corrente del nastro oggetto
 481    c1 = carattere in scrittura sul nastro oggetto
 482
 483    questa dimostrazione sfrutta il fatto che
 484    merge_config (l0@[c0]) (l1@[c1]) = l1@[merge_char c0 c1]
 485    se l0 e l1 non contengono null
 486 *)
 487
 488 definition R_copy ≝ λt1,t2.
 489   ∀ls,s0,s1,c0,c1,rs,l1,l3,l4.
 490   t1 = midtape STape (l3@〈grid,false〉::〈c0,false〉::l4@〈s0,true〉::ls) 〈s1,true〉 (l1@〈c1,false〉::〈comma,false〉::rs) →
 491   no_marks l1 → no_marks l3 → no_marks l4 → |l1| = |l4| →
 492   only_bits (l4@[〈s0,false〉]) → only_bits (〈s1,false〉::l1) →
 493   bit_or_null c0 = true → bit_or_null c1 = true →
 494   t2 = midtape STape (〈c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::l3@〈grid,false〉::
 495                       〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)
 496        〈comma,false〉 rs.
 497
 498 axiom sem_copy0 : Realize ? copy0 R_copy0.
 499
 500 definition option_cons ≝ λA.λa:option A.λl.
 501   match a with
 502   [ None ⇒ l
 503   | Some a' ⇒ a'::l ].
 504
 505 lemma sem_copy : Realize ? copy R_copy.
 506 #intape
 507 cases (sem_seq … (sem_copy0 …)
 508         (sem_seq … (sem_move_l …)
 509           (sem_seq … (sem_adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 510             (sem_seq … (sem_clear_mark …)
 511               (sem_seq … (sem_adv_to_mark_r … (is_marked ?)) (sem_clear_mark …))))) intape)
 512 #k * #outc * #Hloop #HR %{k} %{outc} % [@Hloop] -Hloop
 513 #ls #s0 #s1 #c0 #c1 #rs #l1 #l2 #l3 #Hintape #Hl1marks #Hl2marks #Hl3marks #Hlen
 514 #Hbits1 #Hbits2 #Hc0bits #Hc1bits
 515 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 516 cut (ta = midtape STape (〈c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::l2@〈grid,true〉::
 517                       〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)
 518        〈comma,true〉 rs)
 519 [lapply (Hta ls s1 s0 rs (l1@[〈c1,false〉;〈comma,false〉]) l2 (〈grid,false〉::〈c0,false〉::l3) ?)
 520   [>associative_append in ⊢ (???(????%)); normalize in ⊢ (???(??%%%)); @Hintape ]
 521  -Hta #Hta cases (Hta ??? (〈s1,false〉::l1@[〈c1,false〉]) false ? ? ?? (refl ??) ?)
 522   [3: #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 523     [ @Hl1marks //
 524     | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx [ >(\P Hx) % | >(memb_single … Hx) % ]]
 525   |4: #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 526     [ @Hl2marks //
 527     | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx [ >(\P Hx) % | cases (orb_true_l … Hx) [-Hx #Hx >(\P Hx) % | @Hl3marks ] ] ]
 528   |5: >length_append normalize >Hlen >commutative_plus %
 529   |6: normalize >associative_append %
 530   |7: #x #Hx cases (memb_append ?? (〈s1,false〉::l1) … Hx) -Hx #Hx
 531     [ whd in ⊢ (??%?); >(Hbits2 … Hx) %
 532     | >(memb_single … Hx) // ]
 533   |8: #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 534     [ cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx [ >(\P Hx) // | whd in ⊢ (??%?); >Hbits1 // @memb_append_l1 // ]
 535     | >(memb_single … Hx) whd in ⊢ (??%?); >(Hbits1 〈s0,false〉) // @memb_append_l2 @memb_hd ]
 536   | * #Hs1 @False_ind >Hs1 in Hbits2; #Hbits2 lapply (Hbits2 〈comma,false〉 ?) //
 537     normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 538   | * #Hs1 #Ht2 >Ht2 >reverse_cons >reverse_append >reverse_single @eq_f3 //
 539     >merge_cons >merge_bits
 540     [2: #x #Hx @Hbits2 cases (memb_append STape ? (reverse ? l1) ? Hx) -Hx #Hx
 541       [@daemon | >(memb_single … Hx) @memb_hd ]
 542     |3: >length_append >length_append >length_reverse >Hlen % ]
 543     normalize >associative_append normalize >associative_append %
 544   ]
 545 ] -Hta #Hta * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 546 lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb change with (midtape ????) in Htb:(???%);
 547 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 548 cases (Htc … Htb)
 549 [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 550 * #_ #Htc
 551 lapply (Htc (reverse ? l1@〈s1,false〉::l2) 〈grid,true〉
 552           (〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)???)
 553 [ #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 554   [ @Hl1marks @daemon
 555   | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 556     [ >(\P Hx) % | @(Hl2marks … Hx) ] ]
 557 | %
 558 | whd in ⊢ (??%?); >associative_append % ] -Htc #Htc
 559 * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htd #Htd
 560 * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte cases (Hte … Htd) -Hte -Htd
 561 [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 562 * #_ #Hte
 563 lapply (Hte (reverse ? (reverse ? l1@〈s1,false〉::l2)@[〈c1,false〉])
 564          〈comma,true〉 rs ? (refl ??) ?) -Hte
 565 [ >reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse #x #Hx
 566   cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 567   [ cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 568     [ cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 569       [ @daemon
 570       | lapply (memb_single … Hx) -Hx #Hx >Hx % ]
 571     | @(Hl1marks … Hx) ]
 572   | lapply (memb_single … Hx) -Hx #Hx >Hx % ]
 573 | >reverse_append >reverse_reverse >reverse_cons
 574   >associative_append >associative_append >associative_append
 575   >associative_append >associative_append % ]
 576 #Hte whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc #Houtc >Houtc
 577 @eq_f3 //
 578 >reverse_append >reverse_append >reverse_single >reverse_cons
 579 >reverse_append >reverse_append >reverse_reverse >reverse_reverse
 580 >reverse_single >associative_append >associative_append %
 581 qed.