matita/matita/lib/turing/universal/copy.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 include "turing/universal/tuples.ma".
  14
  15 definition copy_step_subcase ≝
  16   λalpha,c,elseM.ifTM ? (test_char ? (λx.x == 〈c,true〉))
  17     (seq (FinProd alpha FinBool) (adv_mark_r …)
  18       (seq ? (move_l …)
  19         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked alpha))
  20           (seq ? (write ? 〈c,false〉)
  21             (seq ? (move_r …)
  22               (seq ? (mark …)
  23                 (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked alpha)))))))))
  24     elseM tc_true.
  25
  26 definition R_copy_step_subcase ≝
  27   λalpha,c,RelseM,t1,t2.
  28     ∀a,l1,x0,a0,l2,x,l3.
  29     t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2)
  30          〈x,true〉 (〈a,false〉::l3) →
  31     (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
  32     (x = c ∧ t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
  33     (x ≠ c ∧ RelseM t1 t2).
  34
  35 lemma sem_copy_step_subcase :
  36   ∀alpha,c,elseM,RelseM. Realize ? elseM RelseM →
  37   Realize ? (copy_step_subcase alpha c elseM) (R_copy_step_subcase alpha c RelseM).
  38 #alpha #c #elseM #RelseM #HelseM #intape
  39 cases (sem_if ? (test_char ? (λx. x == 〈c,true〉)) ?????? tc_true (sem_test_char ? (λx.x == 〈c,true〉))
  40         (sem_seq ????? (sem_adv_mark_r alpha)
  41           (sem_seq ????? (sem_move_l …)
  42             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l … (is_marked alpha))
  43               (sem_seq ????? (sem_write ? 〈c,false〉)
  44                 (sem_seq ????? (sem_move_r …)
  45                   (sem_seq ????? (sem_mark …)
  46                     (sem_seq ????? (sem_move_r …) (sem_adv_to_mark_r … (is_marked alpha)))))))))
  47         HelseM intape)
  48 #k * #outc * #Hloop #HR %{k} %{outc} % [@Hloop] -Hloop
  49 #a #l1 #x0 #a0 #l2 #x #l3 #Hintape #Hl1marks cases HR -HR
  50 [ * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape #Hta cases (Hta … (refl ??)) -Hta #Hx #Hta
  51   * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Hta -Htb #Htb
  52   * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc #Htc
  53   * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
  54   [ >Htc * normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
  55   * #_ #Htd lapply (Htd (l1@[〈a0,false〉]) 〈x0,true〉 l2 ? (refl ??) ?) -Htd
  56   [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) -Hx1 #Hx1 [@(Hl1marks ? Hx1)|>(memb_single … Hx1) %]
  57   | normalize >associative_append % ] #Htd
  58   * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Hte -Htd -Htc #Hte
  59   * #tf * whd in ⊢ (%→?); #Htf lapply (Htf … Hte) -Hte -Htf >reverse_append #Htf
  60   * #tg * whd in ⊢ (%→?); #Htg lapply (Htg … Htf) -Htf -Htg >reverse_single #Htg
  61   * #th * whd in ⊢ (%→?); #Hth lapply (Hth … Htg) -Htg -Hth
  62   generalize in match Hl1marks; -Hl1marks @(list_elim_left … l1)
  63   [ #Hl1marks #Hth whd in ⊢ (%→?); #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
  64     [ * normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
  65     * #_ #Houtc lapply (Houtc [] ?? (refl ??) (refl ??) Hl1marks) -Houtc
  66     #Houtc lapply (\P Hx) -Hx #Hx destruct (Hx) % % [%] @Houtc
  67   | -l1 #c1 #l1 #_ #Hl1marks >reverse_append >reverse_single
  68     #Hth whd in ⊢ (%→?); #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
  69     [ * >Hl1marks [ #Hfalse destruct (Hfalse) ] @memb_append_l2 @memb_hd ]
  70     * #_ #Houtc lapply (Houtc (reverse ? l1@[〈x,false〉]) 〈a,true〉 l3 ? (refl ??) ?) -Houtc
  71     [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) -Hx1 #Hx1 [ @Hl1marks @memb_append_l1 @daemon | >(memb_single … Hx1) % ]
  72     | normalize >associative_append % ]
  73     #Houtc lapply (\P Hx) -Hx #Hx destruct (Hx) % % [%] >Houtc
  74     >reverse_append >reverse_reverse >associative_append >associative_append % ]
  75 | * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape #Hta cases (Hta ? (refl ??)) -Hta
  76   #Hxc #Hta >Hta #Houtc %2 % // lapply (\Pf Hxc) @not_to_not #Heq >Heq % ]
  77 qed.
  78
  79 (*
  80 if current = 0,tt
  81    then advance_mark_r;
  82         move_l;
  83         advance_to_mark_l;
  84         write(0,ff)
  85         move_r;
  86         mark;
  87         move_r;
  88         advance_to_mark_r;
  89 else if current = 1,tt
  90    then advance_mark_r;
  91         move_l;
  92         advance_to_mark_l;
  93         write(1,ff)
  94         move_r;
  95         mark;
  96         move_r;
  97         advance_to_mark_r;
  98 else if current = null
  99    then advance_mark_r;
 100         move_l;
 101         advance_to_mark_l
 102         adv_mark_r;
 103         move_r;
 104         advance_to_mark_r
 105 *)
 106
 107 definition nocopy_subcase ≝
 108   ifTM STape (test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉))
 109     (seq ? (adv_mark_r …)
 110       (seq ? (move_l …)
 111         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 112           (seq ? (adv_mark_r …)
 113             (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked ?)))))))
 114     (nop ?) tc_true.
 115
 116 definition R_nocopy_subcase ≝
 117   λt1,t2.
 118     ∀a,l1,x0,a0,l2,x,l3.
 119     t1 = midtape STape (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2)
 120          〈x,true〉 (〈a,false〉::l3) →
 121     (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 122     (x = null ∧
 123      t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x0,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
 124     (x ≠ null ∧ t2 = t1).
 125
 126 lemma sem_nocopy_subcase : Realize ? nocopy_subcase R_nocopy_subcase.
 127 #intape
 128 cases (sem_if ? (test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉)) ?????? tc_true
 129         (sem_test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉))
 130           (sem_seq … (sem_adv_mark_r …)
 131             (sem_seq … (sem_move_l …)
 132               (sem_seq … (sem_adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 133                 (sem_seq … (sem_adv_mark_r …)
 134                   (sem_seq … (sem_move_r …)
 135                     (sem_adv_to_mark_r … (is_marked ?))))))) (sem_nop ?) intape)
 136 #k * #outc * #Hloop #HR @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)  % [@Hloop] -Hloop
 137 #a #l1 #x0 #a0 #l2 #x #l3 #Hintape #Hl1marks cases HR -HR
 138 [ * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape #Hta cases (Hta … (refl ??)) -Hta #Hx #Hta
 139   * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Hta -Htb #Htb
 140   * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc #Htc
 141   * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 142   [ >Htc * normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 143   * #_ #Htd lapply (Htd (l1@[〈a0,false〉]) 〈x0,true〉 l2 ? (refl ??) ?) -Htd
 144   [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) -Hx1 #Hx1 [@(Hl1marks ? Hx1)|>(memb_single … Hx1) %]
 145   | normalize >associative_append % ] >reverse_append #Htd
 146   * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Hte -Htd -Htc #Hte
 147   * #tf * whd in ⊢ (%→?); #Htf lapply (Htf … Hte) -Hte -Htf
 148   generalize in match Hl1marks; -Hl1marks @(list_elim_left … l1)
 149   [ #Hl1marks #Hth whd in ⊢ (%→?); #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
 150     [ * normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 151     * #_ #Houtc lapply (Houtc [] ?? (refl ??) (refl ??) Hl1marks) -Houtc
 152     #Houtc lapply (\P Hx) -Hx #Hx destruct (Hx) % % [%] @Houtc
 153   | -l1 #c1 #l1 #_ #Hl1marks >reverse_append >reverse_single
 154     #Hth whd in ⊢ (%→?); #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
 155     [ * >Hl1marks [ #Hfalse destruct (Hfalse) ] @memb_append_l2 @memb_hd ]
 156     * #_ #Houtc lapply (Houtc (reverse ? l1@[〈x,false〉]) 〈a,true〉 l3 ? (refl ??) ?) -Houtc
 157     [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) -Hx1 #Hx1 [ @Hl1marks @memb_append_l1 @daemon | >(memb_single … Hx1) % ]
 158     | normalize >associative_append % ]
 159     #Houtc lapply (\P Hx) -Hx #Hx destruct (Hx) % % [%] >Houtc
 160     >reverse_append >reverse_reverse >associative_append >associative_append % ]
 161 | * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape #Hta cases (Hta ? (refl ??)) -Hta
 162   #Hxc #Hta >Hta whd in ⊢ (%→?); #Houtc %2 %
 163   [ lapply (\Pf Hxc) @not_to_not #Heq >Heq %
 164   | @Houtc ]
 165 qed.
 166
 167 definition copy_step ≝
 168   ifTM ? (test_char STape (λc.bit_or_null (\fst c)))
 169   (single_finalTM ? (copy_step_subcase FSUnialpha (bit false)
 170     (copy_step_subcase FSUnialpha (bit true) nocopy_subcase)))
 171   (nop ?)
 172   tc_true.
 173
 174 definition R_copy_step_true ≝
 175   λt1,t2.
 176     ∀ls,c,rs. t1 = midtape STape ls 〈c,true〉 rs →
 177     bit_or_null c = true ∧
 178     (∀a,l1,x0,a0,l2,l3.
 179      ls = (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2) →
 180      rs = (〈a,false〉::l3) →
 181      no_marks l1 →
 182      ((∃x. c = bit x ∧
 183       t2 = midtape STape (〈bit x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈bit x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
 184       (c = null ∧
 185       t2 = midtape ? (〈null,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x0,false〉::l2) 〈a,true〉 l3))).
 186
 187 definition R_copy_step_false ≝
 188   λt1,t2.
 189    ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
 190    bit_or_null (\fst c) = false ∧ t2 = t1.
 191
 192 lemma sem_copy_step :
 193   accRealize ? copy_step (inr … (inl … (inr … start_nop))) R_copy_step_true R_copy_step_false.
 194 #intape
 195 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.bit_or_null (\fst c)))  …
 196     (sem_copy_step_subcase FSUnialpha (bit false) …
 197        (sem_copy_step_subcase FSUnialpha (bit true) … (sem_nocopy_subcase …)))
 198           (sem_nop …))
 199 [ #t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→%→?); #H1 #H2 #ls #c #rs #Ht1 >Ht1 in H1; #H1
 200   cases (H1 … (refl ??)) #Hc #Ht3 % [ @Hc ]
 201   #a #l1 #x0 #a0 #l2 #l3 #Hls #Hrs #Hl1marks >Hls in Ht3; >Hrs #Ht3
 202   cases (H2 … Ht3 ?)
 203   [ * #Hc' #Ht2 % %{false} % // <Hc' @Ht2
 204   | * #Hnotfalse whd in ⊢ (%→?); #Ht2 cases (Ht2 … Ht3 ?) -Ht2
 205     [ * #Hc' #Ht2 % %{true} % // <Hc' @Ht2
 206     |  * #Hnottrue whd in ⊢ (%→?); #Ht2 cases (Ht2 … Ht3 ?) -Ht2
 207       [ * #Hc' #Ht2 %2 <Hc' % // @Ht2
 208       | * #Hnotnull @False_ind
 209         generalize in match Hnotnull;generalize in match Hnottrue;generalize in match Hnotfalse;
 210         cases c in Hc; normalize
 211         [ * [ #_ #_ * #Hfalse #_ | #_ * #Hfalse #_ #_ ]
 212         | #_ #_ #_ * #Hfalse
 213         |*: #Hfalse destruct (Hfalse) ] @Hfalse %
 214       | @Hl1marks ]
 215     | @Hl1marks ]
 216   | @Hl1marks ]
 217 | #t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→%→?); #H1 #H2 #ls #c #rs #Ht1
 218   >Ht1 in H1; #H1 cases (H1 … (refl ??)) #_ #Ht3 cases (H1 ? (refl ??)) -H1
 219   #Hc #Ht3 % //
 220 ]
 221 qed.
 222
 223 (*
 224 1) il primo carattere è marcato
 225 2) l'ultimo carattere è l'unico che può essere null, gli altri sono bit
 226 3) il terminatore non è né bit, né null
 227 *)
 228
 229 definition copy0 ≝ whileTM ? copy_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 230
 231 let rec merge_config (l1,l2:list STape) ≝
 232   match l1 with
 233   [ nil ⇒ nil ?
 234   | cons p1 l1' ⇒ match l2 with
 235     [ nil ⇒ nil ?
 236     | cons p2 l2' ⇒
 237            let 〈c1,b1〉 ≝ p1 in let 〈c2,b2〉 ≝ p2 in
 238            match c2 with
 239            [ null ⇒ p1
 240            | _ ⇒ p2 ] :: merge_config l1' l2' ] ].
 241
 242 lemma merge_config_append :
 243  ∀l1,l2,l3,l4.|l1| = |l2| →
 244  merge_config (l1@l3) (l2@l4) = merge_config l1 l2@merge_config l3 l4.
 245 #l1 #l2 #l3 #l4 #Hlen @(list_ind2 … Hlen)
 246 [normalize //
 247 | #t1 #t2 * #c1 #b1 * #c2 #b2 #IH whd in ⊢ (??%%); >IH % ]
 248 qed.
 249
 250 definition R_copy0 ≝ λt1,t2.
 251   ∀ls,c,c0,rs,l1,l3,l4.
 252   t1 = midtape STape (l3@l4@〈c0,true〉::ls) 〈c,true〉 (l1@rs) →
 253   no_marks l1 → no_marks (l3@l4) → |l1| = |l4| →
 254   ∀l1',bv.〈c,false〉::l1 = l1'@[〈comma,bv〉] → only_bits_or_nulls l1' →
 255   ∀l4',bg.l4@[〈c0,false〉] = 〈grid,bg〉::l4' → only_bits_or_nulls l4' →
 256   (c = comma ∧ t2 = t1) ∨
 257   (c ≠ comma ∧
 258     t2 = midtape ? (reverse ? l1'@l3@〈grid,true〉::
 259                   merge_config l4' (reverse ? l1')@ls)
 260      〈comma,true〉 rs).
 261
 262 lemma inj_append_singleton_l1 :
 263   ∀A.∀l1,l2:list A.∀a1,a2.l1@[a1] = l2@[a2] → l1 = l2.
 264 #A #l1 #l2 #a1 #a2 #H lapply (eq_f … (reverse ?) … H)
 265 >reverse_append >reverse_append normalize #H1 destruct
 266 lapply (eq_f … (reverse ?) … e0) >reverse_reverse >reverse_reverse //
 267 qed.
 268
 269 lemma inj_append_singleton_l2 :
 270   ∀A.∀l1,l2:list A.∀a1,a2.l1@[a1] = l2@[a2] → a1 = a2.
 271 #A #l1 #l2 #a1 #a2 #H lapply (eq_f … (reverse ?) … H)
 272 >reverse_append >reverse_append normalize #H1 destruct %
 273 qed.
 274
 275 lemma wsem_copy0 : WRealize ? copy0 R_copy0.
 276 #intape #k #outc #Hloop
 277 lapply (sem_while … sem_copy_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 278 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 279 [ #tb whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 280   #ls #c #c0 #rs #l1 #l3 #l4 #Htb #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen #l1' #bv
 281   #Hl1 #Hl1bits #l4' #bg #Hl4 #Hl4bits
 282   cases (Hleft … Htb) -Hleft #Hc #Houtc % %
 283   [ generalize in match Hl1bits; -Hl1bits cases l1' in Hl1;
 284     [ normalize #Hl1 #c1 destruct (Hl1) %
 285     | * #c' #b' #l0 #Heq normalize in Heq; destruct (Heq)
 286       #Hl1bits lapply (Hl1bits 〈c',false〉 ?) [ @memb_hd ]
 287       >Hc #Hfalse destruct ]
 288   | @Houtc ]
 289 | #tb #tc #td whd in ⊢ (%→?→(?→%)→%→?); #Htc #Hstar1 #Hind #Htd
 290   lapply (Hind Htd) -Hind #Hind
 291   #ls #c #c0 #rs #l1 #l3 #l4 #Htb #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen #l1' #bv
 292   #Hl1 #Hl1bits #l4' #bg #Hl4 #Hl4bits %2
 293   cases (Htc … Htb) -Htc #Hcbitnull #Htc
 294   % [ % #Hc' >Hc' in Hcbitnull; normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 295   cut (|l1| = |reverse ? l4|) [@daemon] #Hlen1
 296   @(list_cases2 … Hlen1)
 297   [ (* case l1 = [] is discriminated because l1 contains at least comma *)
 298     #Hl1nil @False_ind >Hl1nil in Hl1; cases l1' normalize
 299     [ #Hl1 destruct normalize in Hcbitnull; destruct (Hcbitnull)
 300     | #p0 #l0 normalize #Hfalse destruct (Hfalse) cases l0 in e0;
 301       [ normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1)
 302       | #p0' #l0' normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1) ] ]
 303   | (* case c::l1 = c::a::l1'' *)
 304     * #a #ba * #a0 #ba0 #l1'' #l4'' #Hl1cons #Hl4cons
 305     lapply (eq_f ?? (reverse ?) ?? Hl4cons) >reverse_reverse >reverse_cons -Hl4cons #Hl4cons
 306     cut (ba = false)
 307     [ >Hl1cons in Hl1nomarks; #Hl1nomarks lapply (Hl1nomarks 〈a,ba〉 ?)
 308       [ @memb_hd | normalize // ] ] #Hba
 309     cut (ba0 = false)
 310     [ >Hl4cons in Hl3l4nomarks; #Hl3l4nomarks lapply (Hl3l4nomarks 〈a0,ba0〉 ?)
 311       [ @memb_append_l2 @memb_append_l2 @memb_hd | normalize // ] ] #Hba0
 312     >Hba0 in Hl4cons; >Hba in Hl1cons; -Hba0 -Hba #Hl1cons #Hl4cons
 313     >Hl4cons in Htc; >Hl1cons #Htc
 314     lapply (Htc a (l3@reverse ? l4'') c0 a0 ls (l1''@rs) ? (refl ??) ?)
 315     [ #x #Hx @Hl3l4nomarks >Hl4cons <associative_append
 316       @memb_append_l1 @Hx
 317     | >associative_append >associative_append %
 318     | -Htc
 319       cut (∃la.l1' = 〈c,false〉::la)
 320       [ >Hl1cons in Hl1; cases l1'
 321         [normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 322         | #p #la normalize #Hla destruct (Hla) @(ex_intro ?? la) % ] ]
 323       * #la #Hla
 324       cut (∃lb.l4' = lb@[〈c0,false〉])
 325       [ >Hl4cons in Hl4;
 326         @(list_elim_left … l4')
 327         [ #Heq lapply (eq_f … (length ?) … Heq)
 328           >length_append >length_append
 329           >commutative_plus normalize >commutative_plus normalize
 330           #Hfalse destruct
 331         | #a1 #tl #_ #Heq
 332           >(inj_append_singleton_l2 ? (reverse ? l4''@[〈a0,false〉]) (〈grid,bg〉::tl) 〈c0,false〉 a1 Heq)
 333           @ex_intro //
 334       ] ] * #lb #Hlb
 335       cut (|lb| = |reverse ? la|)
 336       [ >Hla in Hl1; >Hlb in Hl4; #Hl4 #Hl1
 337         >(?:l1 = la@[〈comma,bv〉]) in Hlen;
 338         [|normalize in Hl1; destruct (Hl1) %]
 339         >(?:l4 = 〈grid,bg〉::lb)
 340         [|@(inj_append_singleton_l1 ?? (〈grid,bg〉::lb) ?? Hl4) ]
 341         >length_append >commutative_plus >length_reverse
 342         normalize #Hlalb destruct (Hlalb) //
 343       ] #Hlen2
 344       *
 345       (* by hyp on the first iteration step,
 346          we consider whether c = bit x or c = null *)
 347       (* c = bit x *)
 348       [ * #x * #Hx #Htc
 349         lapply (Hind (〈bit x,false〉::ls) a a0 rs l1''
 350                 (〈bit x,false〉::l3) (reverse ? l4'') ????)
 351         [ >Hl1cons in Hlen; >Hl4cons >length_append >commutative_plus
 352           normalize #Hlen destruct (Hlen) //
 353         | #x0 #Hx0 cases (orb_true_l … Hx0)
 354           [ #Hx0eq >(\P Hx0eq) %
 355           | -Hx0 #Hx0 @Hl3l4nomarks >Hl4cons
 356             <associative_append @memb_append_l1 // ]
 357         | #x0 #Hx0 @Hl1nomarks >Hl1cons @memb_cons //
 358         | >Htc >associative_append %
 359         | -Hind
 360           <Hl1cons <Hl4cons #Hind lapply (Hind la bv ?? lb bg ??)
 361           [ #x0 #Hx0 @Hl4bits >Hlb @memb_append_l1 //
 362           | >Hlb in Hl4; normalize in ⊢ (%→?); #Hl4
 363             @(inj_append_singleton_l1 ? l4 (〈grid,bg〉::lb) … Hl4)
 364           | #x0 #Hx0 @Hl1bits >Hla @memb_cons //
 365           | >Hla in Hl1; normalize in ⊢ (%→?); #Hl1
 366             destruct (Hl1) // ] -Hind
 367           (* by IH, we proceed by cases, whether a = comma
 368              (consequently several lists = []) or not *)
 369           *
 370           [ * #Ha #Houtc1
 371            cut (la = [] ∧ lb = [] ∧ l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 372            [ @daemon ] * * * #Hla1 #Hlb1 #Hl1nil #Hl4nil
 373            >Hl1cons in Hl1; >Hla
 374            >Houtc1 >Htc #Hl1
 375            >Hl4cons in Hl4; >Hlb #Hl4
 376            >Hla1 >Hlb1 >Hl1nil >Hl4nil >Hx
 377            cut (a0 = grid) [ @daemon ] #Ha0 <Ha <Ha0
 378            normalize in ⊢ (??(??%?%)(??%?%)); >associative_append %
 379           | * #Ha #Houtc1 >Houtc1 @eq_f3 //
 380             >Hla >reverse_cons >associative_append @eq_f
 381             >Hx whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (???%); @eq_f @eq_f
 382             >Hlb >append_cons @eq_f2 // >(merge_config_append … Hlen2) %
 383           ]
 384        ]
 385     | (* c = null *)
 386       * #Hc #Htc
 387       lapply (Hind (〈c0,false〉::ls) a a0 rs l1'' (〈null,false〉::l3) (reverse ? l4'') ????)
 388       [  >Hl1cons in Hlen; >Hl4cons >length_append >commutative_plus normalize
 389          #Hlen destruct (Hlen) @e0
 390       | #x0 #Hx0 cases (memb_append STape ? [〈null,false〉] (l3@reverse ? l4'') … Hx0) -Hx0 #Hx0
 391         [ >(memb_single … Hx0) %
 392         | @Hl3l4nomarks cases (memb_append … Hx0) -Hx0 #Hx0
 393           [ @memb_append_l1 //
 394           | @memb_append_l2 >Hl4cons @memb_append_l1 // ]
 395         ]
 396       | >Hl1cons #x' #Hx0 @Hl1nomarks >Hl1cons @memb_cons //
 397       | >Htc @eq_f3 // >associative_append % ] -Hind <Hl1cons <Hl4cons #Hind
 398         lapply (Hind la bv ?? lb bg ??)
 399           [ #x0 #Hx0 @Hl4bits >Hlb @memb_append_l1 //
 400           | >Hlb in Hl4; normalize in ⊢ (%→?); #Hl4
 401             @(inj_append_singleton_l1 ? l4 (〈grid,bg〉::lb) … Hl4)
 402           | #x0 #Hx0 @Hl1bits >Hla @memb_cons //
 403           | >Hla in Hl1; normalize in ⊢ (%→?); #Hl1
 404             destruct (Hl1) // ] -Hind *
 405           (* by IH, we proceed by cases, whether a = comma
 406              (consequently several lists = []) or not *)
 407           [ * #Ha #Houtc1 >Hl1cons in Hl1; >Hla
 408            >Houtc1 >Htc #Hl1
 409            >Hl4cons in Hl4; >Hlb #Hl4
 410            cut (la = [] ∧ lb = [] ∧ l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 411            [@daemon] * * * #Hla1 #Hlb1 #Hl1nil #Hl4nil
 412            >Hla1 >Hlb1 >Hl1nil >Hl4nil >Hc
 413            cut (a0 = grid) [ @daemon ] #Ha0 <Ha <Ha0
 414            normalize in ⊢ (??(??%?%)(??%?%)); >associative_append %
 415           | * #Ha #Houtc1 >Houtc1 @eq_f3 //
 416             >Hla >reverse_cons >associative_append @eq_f
 417             >Hc whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (???%); @eq_f @eq_f
 418             >Hlb >append_cons @eq_f2 // >(merge_config_append … Hlen2) %
 419           ]
 420        ]
 421 ]]]
 422 qed.
 423
 424 definition merge_char ≝ λc1,c2.
 425   match c2 with
 426   [ null ⇒ c1
 427   | _ ⇒ c2 ].
 428
 429 lemma merge_cons :
 430   ∀c1,c2,conf1,conf2.
 431   merge_config (〈c1,false〉::conf1) (〈c2,false〉::conf2) =
 432     〈merge_char c1 c2,false〉::merge_config conf1 conf2.
 433 #c1 #c2 #conf1 #conf2 normalize @eq_f2 //
 434 cases c2 /2/
 435 qed.
 436
 437 lemma merge_bits : ∀l1,l2.|l1| = |l2| → only_bits l2 → merge_config l1 l2 = l2.
 438 #l1 #l2 #Hlen @(list_ind2 … Hlen) //
 439 #tl1 #tl2 #hd1 #hd2 #IH
 440 >(eq_pair_fst_snd … hd1) >(eq_pair_fst_snd … hd2) #Hbits
 441 change with (cons ???) in ⊢ (??%?); @eq_f2
 442 [ cases (\fst hd2) in Hbits;
 443   [ #b #_ %
 444   |*: #Hfalse lapply (Hfalse … (memb_hd …)) normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1) ]
 445 | @IH #x #Hx @Hbits @memb_cons // ]
 446 qed.
 447
 448 lemma merge_config_c_nil :
 449   ∀c.merge_config c [] = [].
 450 #c cases c normalize //
 451 qed.
 452
 453 lemma reverse_merge_config :
 454   ∀c1,c2.|c1| = |c2| → reverse ? (merge_config c1 c2) =
 455     merge_config (reverse ? c1) (reverse ? c2).
 456 #c1 #c2 <(length_reverse ? c1) <(length_reverse ? c2) #Hlen
 457 <(reverse_reverse ? c1) in ⊢ (??%?); <(reverse_reverse ? c2) in ⊢ (??%?);
 458 generalize in match Hlen; @(list_ind2 … Hlen) -Hlen //
 459 #tl1 #tl2 #hd1 #hd2 #IH whd in ⊢ (??%%→?); #Hlen destruct (Hlen) -Hlen
 460 <(length_reverse ? tl1) in e0; <(length_reverse ? tl2) #Hlen
 461 >reverse_cons >reverse_cons >(merge_config_append ???? Hlen)
 462 >reverse_append >(eq_pair_fst_snd ?? hd1) >(eq_pair_fst_snd ?? hd2)
 463 whd in ⊢ (??%%); @eq_f2 // @IH //
 464 qed.
 465
 466 definition copy
 467 ≝
 468   seq STape copy0 (seq ? (move_l …) (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 469    (seq ? (clear_mark …) (seq ? (adv_to_mark_r … (is_marked ?)) (clear_mark …))))).
 470
 471 (*
 472    s0, s1 = caratteri di testa dello stato
 473    c0 = carattere corrente del nastro oggetto
 474    c1 = carattere in scrittura sul nastro oggetto
 475
 476    questa dimostrazione sfrutta il fatto che
 477    merge_config (l0@[c0]) (l1@[c1]) = l1@[merge_char c0 c1]
 478    se l0 e l1 non contengono null
 479 *)
 480
 481 definition R_copy ≝ λt1,t2.
 482   ∀ls,s0,s1,c0,c1,rs,l1,l3,l4.
 483   t1 = midtape STape (l3@〈grid,false〉::〈c0,false〉::l4@〈s0,true〉::ls) 〈s1,true〉 (l1@〈c1,false〉::〈comma,false〉::rs) →
 484   no_marks l1 → no_marks l3 → no_marks l4 → |l1| = |l4| →
 485   only_bits (l4@[〈s0,false〉]) → only_bits (〈s1,false〉::l1) →
 486   bit_or_null c0 = true → bit_or_null c1 = true →
 487   t2 = midtape STape (〈c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::l3@〈grid,false〉::
 488                       〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)
 489        〈comma,false〉 rs.
 490
 491 axiom sem_copy0 : Realize ? copy0 R_copy0.
 492
 493 definition option_cons ≝ λA.λa:option A.λl.
 494   match a with
 495   [ None ⇒ l
 496   | Some a' ⇒ a'::l ].
 497
 498 lemma sem_copy : Realize ? copy R_copy.
 499 #intape
 500 cases (sem_seq … (sem_copy0 …)
 501         (sem_seq … (sem_move_l …)
 502           (sem_seq … (sem_adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 503             (sem_seq … (sem_clear_mark …)
 504               (sem_seq … (sem_adv_to_mark_r … (is_marked ?)) (sem_clear_mark …))))) intape)
 505 #k * #outc * #Hloop #HR %{k} %{outc} % [@Hloop] -Hloop
 506 #ls #s0 #s1 #c0 #c1 #rs #l1 #l2 #l3 #Hintape #Hl1marks #Hl2marks #Hl3marks #Hlen
 507 #Hbits1 #Hbits2 #Hc0bits #Hc1bits
 508 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 509 cut (ta = midtape STape (〈c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::l2@〈grid,true〉::
 510                       〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)
 511        〈comma,true〉 rs)
 512 [lapply (Hta ls s1 s0 rs (l1@[〈c1,false〉;〈comma,false〉]) l2 (〈grid,false〉::〈c0,false〉::l3) ?)
 513   [>associative_append in ⊢ (???(????%)); normalize in ⊢ (???(??%%%)); @Hintape ]
 514  -Hta #Hta cases (Hta ??? (〈s1,false〉::l1@[〈c1,false〉]) false ? ? ?? (refl ??) ?)
 515   [3: #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 516     [ @Hl1marks //
 517     | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx [ >(\P Hx) % | >(memb_single … Hx) % ]]
 518   |4: #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 519     [ @Hl2marks //
 520     | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx [ >(\P Hx) % | cases (orb_true_l … Hx) [-Hx #Hx >(\P Hx) % | @Hl3marks ] ] ]
 521   |5: >length_append normalize >Hlen >commutative_plus %
 522   |6: normalize >associative_append %
 523   |7: #x #Hx cases (memb_append ?? (〈s1,false〉::l1) … Hx) -Hx #Hx
 524     [ whd in ⊢ (??%?); >(Hbits2 … Hx) %
 525     | >(memb_single … Hx) // ]
 526   |8: #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 527     [ cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx [ >(\P Hx) // | whd in ⊢ (??%?); >Hbits1 // @memb_append_l1 // ]
 528     | >(memb_single … Hx) whd in ⊢ (??%?); >(Hbits1 〈s0,false〉) // @memb_append_l2 @memb_hd ]
 529   | * #Hs1 @False_ind >Hs1 in Hbits2; #Hbits2 lapply (Hbits2 〈comma,false〉 ?) //
 530     normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 531   | * #Hs1 #Ht2 >Ht2 >reverse_cons >reverse_append >reverse_single @eq_f3 //
 532     >merge_cons >merge_bits
 533     [2: #x #Hx @Hbits2 cases (memb_append STape ? (reverse ? l1) ? Hx) -Hx #Hx
 534       [@daemon | >(memb_single … Hx) @memb_hd ]
 535     |3: >length_append >length_append >length_reverse >Hlen % ]
 536     normalize >associative_append normalize >associative_append %
 537   ]
 538 ] -Hta #Hta * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 539 lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb change with (midtape ????) in Htb:(???%);
 540 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 541 cases (Htc … Htb)
 542 [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 543 * #_ #Htc
 544 lapply (Htc (reverse ? l1@〈s1,false〉::l2) 〈grid,true〉
 545           (〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)???)
 546 [ #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 547   [ @Hl1marks @daemon
 548   | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 549     [ >(\P Hx) % | @(Hl2marks … Hx) ] ]
 550 | %
 551 | whd in ⊢ (??%?); >associative_append % ] -Htc #Htc
 552 * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htd #Htd
 553 * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte cases (Hte … Htd) -Hte -Htd
 554 [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 555 * #_ #Hte
 556 lapply (Hte (reverse ? (reverse ? l1@〈s1,false〉::l2)@[〈c1,false〉])
 557          〈comma,true〉 rs ? (refl ??) ?) -Hte
 558 [ >reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse #x #Hx
 559   cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 560   [ cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 561     [ cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 562       [ @daemon
 563       | lapply (memb_single … Hx) -Hx #Hx >Hx % ]
 564     | @(Hl1marks … Hx) ]
 565   | lapply (memb_single … Hx) -Hx #Hx >Hx % ]
 566 | >reverse_append >reverse_reverse >reverse_cons
 567   >associative_append >associative_append >associative_append
 568   >associative_append >associative_append % ]
 569 #Hte whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc #Houtc >Houtc
 570 @eq_f3 //
 571 >reverse_append >reverse_append >reverse_single >reverse_cons
 572 >reverse_append >reverse_append >reverse_reverse >reverse_reverse
 573 >reverse_single >associative_append >associative_append %
 574 qed.