matita/matita/lib/turing/universal/marks.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/if_machine.ma".
  18 include "turing/basic_machines.ma".
  19 include "turing/universal/alphabet.ma".
  20
  21 (* ADVANCE TO MARK (right)
  22
  23    sposta la testina a destra fino a raggiungere il primo carattere marcato
  24
  25 *)
  26
  27 (* 0, a ≠ mark _ ⇒ 0, R
  28 0, a = mark _ ⇒ 1, N *)
  29
  30 definition atm_states ≝ initN 3.
  31
  32 definition atm0 : atm_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
  33 definition atm1 : atm_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
  34 definition atm2 : atm_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
  35
  36 definition atmr_step ≝
  37   λalpha:FinSet.λtest:alpha→bool.
  38   mk_TM alpha atm_states
  39   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
  40    match a with
  41    [ None ⇒ 〈atm1, None ?〉
  42    | Some a' ⇒
  43      match test a' with
  44      [ true ⇒ 〈atm1,None ?〉
  45      | false ⇒ 〈atm2,Some ? 〈a',R〉〉 ]])
  46   atm0 (λx.notb (x == atm0)).
  47
  48 definition Ratmr_step_true ≝
  49   λalpha,test,t1,t2.
  50    ∃ls,a,rs.
  51    t1 = midtape alpha ls a rs ∧ test a = false ∧
  52    t2 = mk_tape alpha (a::ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs).
  53
  54 definition Ratmr_step_false ≝
  55   λalpha,test,t1,t2.
  56     t1 = t2 ∧
  57     (current alpha t1 = None ? ∨
  58      (∃a.current ? t1 = Some ? a ∧ test a = true)).
  59
  60 lemma atmr_q0_q1 :
  61   ∀alpha,test,ls,a0,rs. test a0 = true →
  62   step alpha (atmr_step alpha test)
  63     (mk_config ?? atm0 (midtape … ls a0 rs)) =
  64   mk_config alpha (states ? (atmr_step alpha test)) atm1
  65     (midtape … ls a0 rs).
  66 #alpha #test #ls #a0 #ts #Htest whd in ⊢ (??%?);
  67 whd in match (trans … 〈?,?〉); >Htest %
  68 qed.
  69
  70 lemma atmr_q0_q2 :
  71   ∀alpha,test,ls,a0,rs. test a0 = false →
  72   step alpha (atmr_step alpha test)
  73     (mk_config ?? atm0 (midtape … ls a0 rs)) =
  74   mk_config alpha (states ? (atmr_step alpha test)) atm2
  75     (mk_tape … (a0::ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs)).
  76 #alpha #test #ls #a0 #ts #Htest whd in ⊢ (??%?);
  77 whd in match (trans … 〈?,?〉); >Htest cases ts //
  78 qed.
  79
  80 lemma sem_atmr_step :
  81   ∀alpha,test.
  82   accRealize alpha (atmr_step alpha test)
  83     atm2 (Ratmr_step_true alpha test) (Ratmr_step_false alpha test).
  84 #alpha #test *
  85 [ @(ex_intro ?? 2)
  86   @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (niltape ?))) %
  87   [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
  88 | #a #al @(ex_intro ?? 2) @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (leftof ? a al)))
  89   % [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
  90 | #a #al @(ex_intro ?? 2) @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (rightof ? a al)))
  91   % [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
  92 | #ls #c #rs @(ex_intro ?? 2)
  93   cases (true_or_false (test c)) #Htest
  94   [ @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 ?))
  95     [| %
  96       [ %
  97         [ whd in ⊢ (??%?); >atmr_q0_q1 //
  98         | whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct ]
  99       | #_ % // %2 @(ex_intro ?? c) % // ]
 100     ]
 101   | @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm2 (mk_tape ? (c::ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs))))
 102     %
 103     [ %
 104       [ whd in ⊢ (??%?); >atmr_q0_q2 //
 105       | #_ @(ex_intro ?? ls) @(ex_intro ?? c) @(ex_intro ?? rs)
 106         % // % //
 107       ]
 108     | #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
 109     ]
 110   ]
 111 ]
 112 qed.
 113
 114 lemma dec_test: ∀alpha,rs,test.
 115  decidable (∀c.memb alpha c rs = true → test c = false).
 116 #alpha #rs #test elim rs
 117   [%1 #n normalize #H destruct
 118   |#a #tl cases (true_or_false (test a)) #Ha
 119     [#_ %2 % #Hall @(absurd ?? not_eq_true_false) <Ha
 120      @Hall @memb_hd
 121     |* [#Hall %1 #c #memc cases (orb_true_l … memc)
 122          [#eqca >(\P eqca) @Ha |@Hall]
 123     |#Hnall %2 @(not_to_not … Hnall) #Hall #c #memc @Hall @memb_cons //
 124     ]
 125   qed.
 126
 127 definition R_adv_to_mark_r ≝ λalpha,test,t1,t2.
 128   (current ? t1 = None ? → t1 = t2) ∧
 129   ∀ls,c,rs.
 130   (t1 = midtape alpha ls c rs  →
 131   ((test c = true ∧ t2 = t1) ∨
 132    (test c = false ∧
 133     (∀rs1,b,rs2. rs = rs1@b::rs2 →
 134      test b = true → (∀x.memb ? x rs1 = true → test x = false) →
 135      t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) b rs2) ∧
 136      ((∀x.memb ? x rs = true → test x = false) →
 137       ∀a,l.reverse ? (c::rs) = a::l →
 138       t2 = rightof alpha a (l@ls))))).
 139
 140 definition adv_to_mark_r ≝
 141   λalpha,test.whileTM alpha (atmr_step alpha test) atm2.
 142
 143 lemma wsem_adv_to_mark_r :
 144   ∀alpha,test.
 145   WRealize alpha (adv_to_mark_r alpha test) (R_adv_to_mark_r alpha test).
 146 #alpha #test #t #i #outc #Hloop
 147 lapply (sem_while … (sem_atmr_step alpha test) t i outc Hloop) [%]
 148 -Hloop * #t1 * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 149 [ #tapea * #Htapea *
 150   [ #H1 %
 151     [#_ @Htapea
 152     |#ls #c #rs #H2 >H2 in H1; whd in ⊢ (??%? → ?);
 153      #Hfalse destruct (Hfalse)
 154     ]
 155   | * #a * #Ha #Htest %
 156     [ >Ha #H destruct (H);
 157     | #ls #c #rs #H2 %
 158      >H2 in Ha; whd in ⊢ (??%? → ?); #Heq destruct (Heq) % //
 159      <Htapea //
 160     ]
 161   ]
 162 | #tapea #tapeb #tapec #Hleft #Hright #IH #HRfalse
 163   lapply (IH HRfalse) -IH #IH %
 164   [cases Hleft #ls * #a * #rs * * #Htapea #_ #_ >Htapea
 165    whd in ⊢((??%?)→?); #H destruct (H);
 166   |#ls #c #rs #Htapea %2
 167    cases Hleft #ls0 * #a0 * #rs0 * * #Htapea' #Htest #Htapeb
 168    >Htapea' in Htapea; #Htapea destruct (Htapea) % [ % // ]
 169    [*
 170     [ #b #rs2 #Hrs >Hrs in Htapeb; #Htapeb #Htestb #_
 171      cases (proj2 ?? IH … Htapeb)
 172       [ * #_ #Houtc >Houtc >Htapeb %
 173       | * * >Htestb #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 174     | #r1 #rs1 #b #rs2 #Hrs >Hrs in Htapeb; #Htapeb #Htestb #Hmemb
 175      cases (proj2 ?? IH … Htapeb)
 176       [ * #Hfalse >(Hmemb …) in Hfalse;
 177         [ #Hft destruct (Hft)
 178         | @memb_hd ]
 179       | * * #Htestr1 #H1 #_ >reverse_cons >associative_append
 180        @H1 // #x #Hx @Hmemb @memb_cons //
 181       ]
 182     ]
 183    |cases rs in Htapeb; normalize in ⊢ (%→?);
 184     [#Htapeb #_ #a0 #l whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hrev destruct (Hrev)
 185      >Htapeb in IH; #IH cases (proj1 ?? IH … (refl …)) //
 186     |#r1 #rs1 #Htapeb #Hmemb
 187      cases (proj2 ?? IH … Htapeb) [ * >Hmemb [ #Hfalse destruct(Hfalse) ] @memb_hd ]
 188      * #_ #H1 #a #l <(reverse_reverse … l) cases (reverse … l)
 189       [#H cut (c::r1::rs1 = [a])
 190         [<(reverse_reverse  … (c::r1::rs1)) >H //]
 191        #Hrev destruct (Hrev)
 192       |#a1 #l2 >reverse_cons >reverse_cons >reverse_cons
 193        #Hrev cut ([c] = [a1])
 194         [@(append_l2_injective_r ?? (a::reverse … l2) … Hrev) //]
 195        #Ha <Ha >associative_append @H1
 196         [#x #membx @Hmemb @memb_cons @membx
 197         |<(append_l1_injective_r ?? (a::reverse … l2) … Hrev) //
 198         ]
 199 qed.
 200
 201 lemma terminate_adv_to_mark_r :
 202   ∀alpha,test.
 203   ∀t.Terminate alpha (adv_to_mark_r alpha test) t.
 204 #alpha #test #t
 205 @(terminate_while … (sem_atmr_step alpha test))
 206   [ %
 207   | cases t
 208     [ % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * * #Hfalse destruct (Hfalse)
 209     |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * * #Hfalse destruct (Hfalse)
 210     | #ls #c #rs generalize in match c; -c generalize in match ls; -ls
 211       elim rs
 212       [#ls #c % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * *
 213        #H1 destruct (H1) #Hc0 #Ht1 normalize in Ht1;
 214        % #t2 * #ls1 * #c1 * #rs1 * * >Ht1
 215        normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 216       | #r0 #rs0 #IH #ls #c % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * *
 217         #H1 destruct (H1) #Hc0 #Ht1 normalize in Ht1;
 218         >Ht1 @IH
 219       ]
 220     ]
 221   ]
 222 qed.
 223
 224 lemma sem_adv_to_mark_r :
 225   ∀alpha,test.
 226   Realize alpha (adv_to_mark_r alpha test) (R_adv_to_mark_r alpha test).
 227 /2/
 228 qed.
 229
 230 (* MARK machine
 231
 232    marks the current character
 233  *)
 234
 235 definition mark_states ≝ initN 2.
 236
 237 definition ms0 : mark_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 2 (refl …)).
 238 definition ms1 : mark_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 2 (refl …)).
 239
 240 definition mark ≝
 241   λalpha:FinSet.mk_TM (FinProd … alpha FinBool) mark_states
 242   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
 243     match a with
 244     [ None ⇒ 〈ms1,None ?〉
 245     | Some a' ⇒ match (pi1 … q) with
 246       [ O ⇒ let 〈a'',b〉 ≝ a' in 〈ms1,Some ? 〈〈a'',true〉,N〉〉
 247       | S q ⇒ 〈ms1,None ?〉 ] ])
 248   ms0 (λq.q == ms1).
 249
 250 definition R_mark ≝ λalpha,t1,t2.
 251   (∀ls,c,b,rs.
 252      t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈c,b〉 rs →
 253      t2 = midtape ? ls 〈c,true〉 rs) ∧
 254   (current ? t1 = None ? → t2 = t1).
 255
 256 lemma sem_mark :
 257   ∀alpha.Realize ? (mark alpha) (R_mark alpha).
 258 #alpha #intape @(ex_intro ?? 2) cases intape
 259 [ @ex_intro
 260   [| % [ % | % [#ls #c #b #rs #Hfalse destruct | // ]]]
 261 |#a #al @ex_intro
 262   [| % [ % | % [#ls #c #b #rs #Hfalse destruct | // ]]]
 263 |#a #al @ex_intro
 264   [| % [ % | % [#ls #c #b #rs #Hfalse destruct ] // ]]
 265 | #ls * #c #b #rs
 266   @ex_intro [| % [ % | %
 267   [#ls0 #c0 #b0 #rs0 #H1 destruct (H1) %
 268   | whd in ⊢ ((??%?)→?); #H1 destruct (H1)]]]
 269 qed.
 270
 271
 272 (* MOVE RIGHT AND MARK machine
 273
 274    marks the first character on the right
 275
 276    (could be rewritten using (mark; move_right))
 277  *)
 278
 279 definition mrm_states ≝ initN 3.
 280
 281 definition mrm0 : mrm_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
 282 definition mrm1 : mrm_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
 283 definition mrm2 : mrm_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
 284
 285 definition move_right_and_mark ≝
 286   λalpha:FinSet.mk_TM (FinProd … alpha FinBool) mrm_states
 287   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
 288     match a with
 289     [ None ⇒ 〈mrm2,None ?〉
 290     | Some a' ⇒ match pi1 … q with
 291       [ O ⇒ 〈mrm1,Some ? 〈a',R〉〉
 292       | S q ⇒ match q with
 293         [ O ⇒ let 〈a'',b〉 ≝ a' in
 294               〈mrm2,Some ? 〈〈a'',true〉,N〉〉
 295         | S _ ⇒ 〈mrm2,None ?〉 ] ] ])
 296   mrm0 (λq.q == mrm2).
 297
 298 definition R_move_right_and_mark ≝ λalpha,t1,t2.
 299   ∀ls,c,d,b,rs.
 300   t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls c (〈d,b〉::rs) →
 301   t2 = midtape ? (c::ls) 〈d,true〉 rs.
 302
 303 lemma sem_move_right_and_mark :
 304   ∀alpha.Realize ? (move_right_and_mark alpha) (R_move_right_and_mark alpha).
 305 #alpha #intape @(ex_intro ?? 3) cases intape
 306 [ @ex_intro
 307   [| % [ % | #ls #c #d #b #rs #Hfalse destruct ] ]
 308 |#a #al @ex_intro
 309   [| % [ % | #ls #c #d #b #rs #Hfalse destruct ] ]
 310 |#a #al @ex_intro
 311   [| % [ % | #ls #c #d #b #rs #Hfalse destruct ] ]
 312 | #ls #c *
 313   [ @ex_intro [| % [ % | #ls0 #c0 #d0 #b0 #rs0 #Hfalse destruct ] ]
 314   | * #d #b #rs @ex_intro
 315     [| % [ % | #ls0 #c0 #d0 #b0 #rs0 #H1 destruct (H1) % ] ] ] ]
 316 qed.
 317
 318 (* CLEAR MARK machine
 319
 320    clears the mark in the current character
 321  *)
 322
 323 definition clear_mark_states ≝ initN 3.
 324
 325 definition clear0 : clear_mark_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
 326 definition clear1 : clear_mark_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
 327 definition claer2 : clear_mark_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
 328
 329 definition clear_mark ≝
 330   λalpha:FinSet.mk_TM (FinProd … alpha FinBool) clear_mark_states
 331   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
 332     match a with
 333     [ None ⇒ 〈clear1,None ?〉
 334     | Some a' ⇒ match pi1 … q with
 335       [ O ⇒ let 〈a'',b〉 ≝ a' in 〈clear1,Some ? 〈〈a'',false〉,N〉〉
 336       | S q ⇒ 〈clear1,None ?〉 ] ])
 337   clear0 (λq.q == clear1).
 338
 339 definition R_clear_mark ≝ λalpha,t1,t2.
 340   (current ? t1 = None ? → t1 = t2) ∧
 341   ∀ls,c,b,rs.
 342   t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈c,b〉 rs →
 343   t2 = midtape ? ls 〈c,false〉 rs.
 344
 345 lemma sem_clear_mark :
 346   ∀alpha.Realize ? (clear_mark alpha) (R_clear_mark alpha).
 347 #alpha #intape @(ex_intro ?? 2) cases intape
 348 [ @ex_intro
 349   [| % [ % | % [#_ %|#ls #c #b #rs #Hfalse destruct ]]]
 350 |#a #al @ex_intro
 351   [| % [ % | % [#_ %|#ls #c #b #rs #Hfalse destruct ]]]
 352 |#a #al @ex_intro
 353   [| % [ % | % [#_ %|#ls #c #b #rs #Hfalse destruct ]]]
 354 | #ls * #c #b #rs
 355   @ex_intro [| % [ % | %
 356   [whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct| #ls0 #c0 #b0 #rs0 #H1 destruct (H1) % ]]]]
 357 qed.
 358
 359 (* ADVANCE MARK RIGHT machine
 360
 361    clears mark on current char,
 362    moves right, and marks new current char
 363
 364 *)
 365
 366 definition adv_mark_r ≝
 367   λalpha:FinSet.
 368     clear_mark alpha · move_r ? · mark alpha.
 369
 370 definition R_adv_mark_r ≝ λalpha,t1,t2.
 371   (∀ls,c.
 372     (∀d,b,rs.
 373      t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈c,true〉 (〈d,b〉::rs) →
 374      t2 = midtape ? (〈c,false〉::ls) 〈d,true〉 rs) ∧
 375     (t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈c,true〉 [ ] →
 376      t2 = rightof ? 〈c,false〉 ls)) ∧
 377   (current ? t1 = None ? → t1 = t2).
 378
 379 lemma sem_adv_mark_r :
 380   ∀alpha.Realize ? (adv_mark_r alpha) (R_adv_mark_r alpha).
 381 #alpha
 382 @(sem_seq_app … (sem_clear_mark …)
 383          (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark alpha)) …)
 384 #intape #outtape whd in ⊢ (%→?); * #ta *
 385 whd in ⊢ (%→?); #Hs1 whd in ⊢ (%→?); * #tb * #Hs2 whd in ⊢ (%→?); #Hs3 %
 386   [#ls #c %
 387     [#d #b #rs #Hintape @(proj1 … Hs3 ?? b ?)
 388      @(proj2 … Hs2 ls 〈c,false〉 (〈d,b〉::rs))
 389      @(proj2 ?? Hs1 … Hintape)
 390     |#Hintape lapply (proj2 ?? Hs1 … Hintape) #Hta lapply (proj2 … Hs2 … Hta)
 391      whd in ⊢ ((???%)→?); #Htb <Htb @(proj2 … Hs3) >Htb //
 392     ]
 393   |#Hcur lapply(proj1 ?? Hs1 … Hcur) #Hta >Hta >Hta in Hcur; #Hcur
 394    lapply (proj1 ?? Hs2 … Hcur) #Htb >Htb >Htb in Hcur; #Hcur
 395    @sym_eq @(proj2 ?? Hs3) @Hcur
 396   ]
 397 qed.
 398
 399 (* ADVANCE TO MARK (left)
 400
 401 axiomatized
 402
 403 *)
 404 definition atml_step ≝
 405   λalpha:FinSet.λtest:alpha→bool.
 406   mk_TM alpha atm_states
 407   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
 408    match a with
 409    [ None ⇒ 〈atm1, None ?〉
 410    | Some a' ⇒
 411      match test a' with
 412      [ true ⇒ 〈atm1,None ?〉
 413      | false ⇒ 〈atm2,Some ? 〈a',L〉〉 ]])
 414   atm0 (λx.notb (x == atm0)).
 415
 416 definition Ratml_step_true ≝
 417   λalpha,test,t1,t2.
 418    ∃ls,a,rs.
 419    t1 = midtape alpha ls a rs ∧ test a = false ∧
 420    t2 = mk_tape alpha (tail ? ls) (option_hd ? ls) (a :: rs).
 421
 422 definition Ratml_step_false ≝
 423   λalpha,test,t1,t2.
 424     t1 = t2 ∧
 425     (current alpha t1 = None ? ∨
 426      (∃a.current ? t1 = Some ? a ∧ test a = true)).
 427
 428 lemma atml_q0_q1 :
 429   ∀alpha,test,ls,a0,rs. test a0 = true →
 430   step alpha (atml_step alpha test)
 431     (mk_config ?? atm0 (midtape … ls a0 rs)) =
 432   mk_config alpha (states ? (atml_step alpha test)) atm1
 433     (midtape … ls a0 rs).
 434 #alpha #test #ls #a0 #ts #Htest whd in ⊢ (??%?);
 435 whd in match (trans … 〈?,?〉); >Htest %
 436 qed.
 437
 438 lemma atml_q0_q2 :
 439   ∀alpha,test,ls,a0,rs. test a0 = false →
 440   step alpha (atml_step alpha test)
 441     (mk_config ?? atm0 (midtape … ls a0 rs)) =
 442   mk_config alpha (states ? (atml_step alpha test)) atm2
 443     (mk_tape … (tail ? ls) (option_hd ? ls) (a0 :: rs)).
 444 #alpha #test #ls #a0 #rs #Htest whd in ⊢ (??%?);
 445 whd in match (trans … 〈?,?〉); >Htest cases ls //
 446 qed.
 447
 448 lemma sem_atml_step :
 449   ∀alpha,test.
 450   accRealize alpha (atml_step alpha test)
 451     atm2 (Ratml_step_true alpha test) (Ratml_step_false alpha test).
 452 #alpha #test *
 453 [ @(ex_intro ?? 2)
 454   @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (niltape ?))) %
 455   [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
 456 | #a #al @(ex_intro ?? 2) @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (leftof ? a al)))
 457   % [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
 458 | #a #al @(ex_intro ?? 2) @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (rightof ? a al)))
 459   % [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
 460 | #ls #c #rs @(ex_intro ?? 2)
 461   cases (true_or_false (test c)) #Htest
 462   [ @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 ?))
 463     [| %
 464       [ %
 465         [ whd in ⊢ (??%?); >atml_q0_q1 //
 466         | whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct ]
 467       | #_ % // %2 @(ex_intro ?? c) % // ]
 468     ]
 469   | @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm2 (mk_tape ? (tail ? ls) (option_hd ? ls) (c::rs))))
 470     %
 471     [ %
 472       [ whd in ⊢ (??%?); >atml_q0_q2 //
 473       | #_ @(ex_intro ?? ls) @(ex_intro ?? c) @(ex_intro ?? rs)
 474         % // % //
 475       ]
 476     | #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
 477     ]
 478   ]
 479 ]
 480 qed.
 481
 482 definition R_adv_to_mark_l ≝ λalpha,test,t1,t2.
 483   (current ? t1 = None ? → t1 = t2) ∧
 484   ∀ls,c,rs.
 485   (t1 = midtape alpha ls c rs  →
 486   ((test c = true → t2 = t1) ∧
 487    (test c = false →
 488     (∀ls1,b,ls2. ls = ls1@b::ls2 →
 489      test b = true → (∀x.memb ? x ls1 = true → test x = false) →
 490      t2 = midtape ? ls2 b (reverse ? ls1@c::rs)) ∧
 491     ((∀x.memb ? x ls = true → test x = false) →
 492       ∀a,l. reverse ? (c::ls) = a::l → t2 = leftof ? a (l@rs))
 493      ))).
 494
 495 definition adv_to_mark_l ≝
 496   λalpha,test.whileTM alpha (atml_step alpha test) atm2.
 497
 498 lemma wsem_adv_to_mark_l :
 499   ∀alpha,test.
 500   WRealize alpha (adv_to_mark_l alpha test) (R_adv_to_mark_l alpha test).
 501 #alpha #test #t #i #outc #Hloop
 502 lapply (sem_while … (sem_atml_step alpha test) t i outc Hloop) [%]
 503 -Hloop * #t1 * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 504 [ #tapea * #Htapea *
 505   [ #H1 %
 506     [#_ @Htapea
 507     |#ls #c #rs #H2 >H2 in H1; whd in ⊢ (??%? → ?);
 508      #Hfalse destruct (Hfalse)
 509     ]
 510   | * #a * #Ha #Htest %
 511     [>Ha #H destruct (H);
 512     |#ls #c #rs #H2 %
 513       [#Hc <Htapea //
 514       |#Hc @False_ind >H2 in Ha; whd in ⊢ ((??%?)→?);
 515        #H destruct (H) /2/
 516       ]
 517     ]
 518   ]
 519 | #tapea #tapeb #tapec #Hleft #Hright #IH #HRfalse
 520   lapply (IH HRfalse) -IH #IH %
 521   [cases Hleft #ls0 * #a0 * #rs0 * * #Htapea #_ #_ >Htapea
 522    whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 523   |#ls #c #rs #Htapea %
 524     [#Hc cases Hleft #ls0 * #a0 * #rs0 * * #Htapea' #Htest @False_ind
 525      >Htapea' in Htapea; #H destruct /2/
 526     |cases Hleft #ls0 * #a * #rs0 *
 527      * #Htapea1 >Htapea in Htapea1; #H destruct (H) #_ #Htapeb
 528      #Hc %
 529       [*
 530         [#b #ls2 #Hls >Hls in Htapeb; #Htapeb #Htestb #_
 531          cases (proj2 ?? IH … Htapeb) #H1 #_ >H1 // >Htapeb %
 532         |#l1 #ls1 #b #ls2 #Hls >Hls in Htapeb; #Htapeb #Htestb #Hmemb
 533          cases (proj2 ?? IH … Htapeb) #_ #H1 >reverse_cons >associative_append
 534          @(proj1 ?? (H1 ?) … (refl …) Htestb …)
 535           [@Hmemb @memb_hd
 536           |#x #memx @Hmemb @memb_cons @memx
 537           ]
 538         ]
 539       |cases ls0 in Htapeb; normalize in ⊢ (%→?);
 540         [#Htapeb #Htest #a0 #l whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hrev destruct (Hrev)
 541          >Htapeb in IH; #IH cases (proj1 ?? IH … (refl …)) //
 542         |#l1 #ls1 #Htapeb
 543          cases (proj2 ?? IH … Htapeb) #_ #H1 #Htest #a0 #l
 544          <(reverse_reverse … l) cases (reverse … l)
 545           [#H cut (a::l1::ls1 = [a0])
 546             [<(reverse_reverse  … (a::l1::ls1)) >H //]
 547            #Hrev destruct (Hrev)
 548           |#a1 #l2 >reverse_cons >reverse_cons >reverse_cons
 549            #Hrev cut ([a] = [a1])
 550             [@(append_l2_injective_r ?? (a0::reverse … l2) … Hrev) //]
 551            #Ha <Ha >associative_append @(proj2 ?? (H1 ?))
 552             [@Htest @memb_hd
 553             |#x #membx @Htest @memb_cons @membx
 554             |<(append_l1_injective_r ?? (a0::reverse … l2) … Hrev) //
 555             ]
 556           ]
 557         ]
 558       ]
 559     ]
 560   ]
 561 qed.
 562
 563 lemma terminate_adv_to_mark_l :
 564   ∀alpha,test.
 565   ∀t.Terminate alpha (adv_to_mark_l alpha test) t.
 566 #alpha #test #t
 567 @(terminate_while … (sem_atml_step alpha test))
 568   [ %
 569   | cases t
 570     [ % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * * #Hfalse destruct (Hfalse)
 571     |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * * #Hfalse destruct (Hfalse)
 572     | #ls elim ls
 573       [#c #rs % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * *
 574        #H1 destruct (H1) #Hc0 #Ht1 normalize in Ht1;
 575        % #t2 * #ls1 * #c1 * #rs1 * * >Ht1
 576        normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 577       | #rs0 #r0 #IH #ls #c % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * *
 578         #H1 destruct (H1) #Hc0 #Ht1 normalize in Ht1;
 579         >Ht1 @IH
 580       ]
 581     ]
 582   ]
 583 qed.
 584
 585 lemma sem_adv_to_mark_l :
 586   ∀alpha,test.
 587   Realize alpha (adv_to_mark_l alpha test) (R_adv_to_mark_l alpha test).
 588 /2/
 589 qed.
 590
 591 (*
 592    ADVANCE BOTH MARKS machine
 593
 594    l1 does not contain marks ⇒
 595
 596
 597    input:
 598    l0 x* a l1 x0* a0 l2
 599               ^
 600
 601    output:
 602    l0 x a* l1 x0 a0* l2
 603         ^
 604 *)
 605
 606 definition adv_both_marks ≝ λalpha.
 607   adv_mark_r alpha · move_l ? ·
 608     adv_to_mark_l (FinProd alpha FinBool) (is_marked alpha) ·
 609       adv_mark_r alpha.
 610
 611 definition R_adv_both_marks ≝
 612   λalpha,t1,t2.
 613     ∀l0,x,a,l1,x0. (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 614     (∀l1',a0,l2. t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 615         (l1@〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 (〈a0,false〉::l2) →
 616      reverse ? (〈x0,false〉::l1) = 〈a,false〉::l1' →
 617      t2 = midtape ? (〈x,false〉::l0) 〈a,true〉 (l1'@〈a0,true〉::l2)) ∧
 618      (t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 619         (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 [ ] →
 620      t2 = rightof ? 〈x0,false〉 (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0)).
 621
 622 lemma sem_adv_both_marks :
 623   ∀alpha.Realize ? (adv_both_marks alpha) (R_adv_both_marks alpha).
 624 #alpha
 625 @(sem_seq_app … (sem_adv_mark_r …)
 626    (sem_seq ????? (sem_move_l …)
 627       (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 628         (sem_adv_mark_r alpha))) …)
 629 #intape #outtape * #tapea * #Hta * #tb * #Htb * #tc * #Htc #Hout
 630 #l0 #x #a #l1 #x0 #Hmarks %
 631   [#l1' #a0 #l2 #Hintape #Hrev @(proj1 ?? (proj1 ?? Hout … ) ? false) -Hout
 632    lapply (proj1 … (proj1 … Hta …) … Hintape) #Htapea
 633    lapply (proj2 … Htb  … Htapea) -Htb
 634    whd in match (mk_tape ????) ; #Htapeb
 635    lapply (proj1 ?? (proj2 ?? (proj2 ?? Htc … Htapeb) (refl …))) -Htc #Htc
 636    change with ((?::?)@?) in match (cons ???); <Hrev >reverse_cons
 637    >associative_append @Htc [%|%|@Hmarks]
 638   |#Hintape lapply (proj2 ?? (proj1 ?? Hta … ) … Hintape) -Hta #Hta
 639    lapply (proj1 … Htb) >Hta -Htb #Htb lapply (Htb (refl …)) -Htb #Htb
 640    lapply (proj1 ?? Htc) <Htb -Htc #Htc lapply (Htc (refl …)) -Htc #Htc
 641    @sym_eq >Htc @(proj2 ?? Hout …) <Htc %
 642   ]
 643 qed.
 644
 645 (*
 646 definition R_adv_both_marks ≝
 647   λalpha,t1,t2.
 648     ∀l0,x,a,l1,x0,a0,l2. (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 649     (t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 650         (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 (〈a0,false〉::l2) →
 651      t2 = midtape ? (〈x,false〉::l0) 〈a,true〉 (reverse ? l1@〈x0,false〉::〈a0,true〉::l2)) ∧
 652      (t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 653         (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 [] →
 654      t2 = rightof ? 〈x0,false〉 (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0)).
 655
 656 lemma sem_adv_both_marks :
 657   ∀alpha.Realize ? (adv_both_marks alpha) (R_adv_both_marks alpha).
 658 #alpha #intape
 659 cases (sem_seq ????? (sem_adv_mark_r …)
 660         (sem_seq ????? (sem_move_l …)
 661           (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 662             (sem_adv_mark_r alpha))) intape)
 663 #k * #outc * #Hloop whd in ⊢ (%→?);
 664 * #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hs1 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hs2
 665 * #tc * whd in ⊢ (%→%→?); #Hs3 #Hs4
 666 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) %
 667 [ @Hloop
 668 | -Hloop #l0 #x #a #l1 #x0 #a0 #l2 #Hl1 #Hintape
 669   @(Hs4 … false) -Hs4
 670   lapply (Hs1 … Hintape) #Hta
 671   lapply (proj2 … Hs2 … Hta) #Htb
 672   cases (Hs3 … Htb)
 673   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse)
 674   | * #_ -Hs3 #Hs3
 675     lapply (Hs3 (l1@[〈a,false〉]) 〈x,true〉 l0 ???)
 676     [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1)
 677       [ @Hl1
 678       | #Hx1' >(memb_single … Hx1') % ]
 679     | %
 680     | >associative_append %
 681     | >reverse_append #Htc @Htc ]
 682   ]
 683 qed. *)
 684
 685 (*
 686    MATCH AND ADVANCE(f)
 687
 688    input:
 689    l0 x* a l1 x0* a0 l2
 690               ^
 691
 692    output:
 693    l0 x a* l1 x0 a0* l2   (f(x0) == true)
 694         ^
 695    l0 x* a l1 x0* a0 l2   (f(x0) == false)
 696               ^
 697 *)
 698
 699 definition match_and_adv ≝
 700   λalpha,f.ifTM ? (test_char ? f)
 701      (adv_both_marks alpha) (clear_mark ?) tc_true.
 702
 703 definition R_match_and_adv ≝
 704   λalpha,f,t1,t2.
 705     ∀l0,x,a,l1,x0,a0,l2. (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 706     t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 707         (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 (〈a0,false〉::l2) →
 708     (f 〈x0,true〉 = true ∧ t2 = midtape ? (〈x,false〉::l0) 〈a,true〉 (reverse ? l1@〈x0,false〉::〈a0,true〉::l2))
 709     ∨ (f 〈x0,true〉 = false ∧
 710     t2 = midtape ? (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,false〉 (〈a0,false〉::l2)).
 711
 712 lemma sem_match_and_adv :
 713   ∀alpha,f.Realize ? (match_and_adv alpha f) (R_match_and_adv alpha f).
 714 #alpha #f #intape
 715 cases (sem_if ? (test_char ? f) … tc_true (sem_test_char ? f) (sem_adv_both_marks alpha) (sem_clear_mark ?) intape)
 716 #k * #outc * #Hloop #Hif @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)
 717 % [ @Hloop ] -Hloop
 718 cases Hif
 719 [ * #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hta #Houtc
 720   #l0 #x #a #l1 #x0 #a0 #l2 #Hl1 #Hintape >Hintape in Hta;
 721   * * #x1 * whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H) #Hf #Hta % %
 722   [ @Hf | >append_cons >append_cons in Hta; #Hta @(proj1 ?? (Houtc …) …Hta)
 723     [ #x #memx cases (memb_append …memx)
 724       [@Hl1 | -memx #memx >(memb_single … memx) %]
 725     |>reverse_cons >reverse_append % ] ]
 726 | * #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hta #Houtc
 727   #l0 #x #a #l1 #x0 #a0 #l2 #Hl1 #Hintape >Hintape in Hta;
 728   * #Hf #Hta %2 % [ @Hf % | >(proj2 ?? Houtc … Hta) % ]
 729 ]
 730 qed.
 731
 732 definition R_match_and_adv_of ≝
 733   λalpha,t1,t2.current (FinProd … alpha FinBool) t1 = None ? → t2 = t1.
 734
 735 lemma sem_match_and_adv_of :
 736   ∀alpha,f.Realize ? (match_and_adv alpha f) (R_match_and_adv_of alpha).
 737 #alpha #f #intape
 738 cases (sem_if ? (test_char ? f) … tc_true (sem_test_char ? f) (sem_adv_both_marks alpha) (sem_clear_mark ?) intape)
 739 #k * #outc * #Hloop #Hif @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)
 740 % [ @Hloop ] -Hloop
 741 cases Hif
 742 [ * #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hta #Houtc #Hcur
 743   cases Hta * #x >Hcur * #Hfalse destruct (Hfalse)
 744 | * #ta * whd in ⊢ (%→%→?); * #_ #Hta * #Houtc #_ <Hta #Hcur >(Houtc Hcur) % ]
 745 qed.
 746
 747 lemma sem_match_and_adv_full :
 748   ∀alpha,f.Realize ? (match_and_adv alpha f)
 749     (R_match_and_adv alpha f ∩ R_match_and_adv_of alpha).
 750 #alpha #f #intape cases (sem_match_and_adv ? f intape)
 751 #i * #outc * #Hloop #HR1 %{i} %{outc} % // % //
 752 cases (sem_match_and_adv_of ? f intape) #i0 * #outc0 * #Hloop0 #HR2
 753 >(loop_eq … Hloop Hloop0) //
 754 qed.
 755
 756 (*
 757  if x = c
 758       then move_right; ----
 759            adv_to_mark_r;
 760            if current (* x0 *) = 0
 761               then advance_mark ----
 762                    adv_to_mark_l;
 763                    advance_mark
 764               else STOP
 765       else M
 766 *)
 767
 768 definition comp_step_subcase ≝ λalpha,c,elseM.
 769   ifTM ? (test_char ? (λx.x == c))
 770     (move_r … · adv_to_mark_r ? (is_marked alpha) · match_and_adv ? (λx.x == c))
 771     elseM tc_true.
 772
 773 definition R_comp_step_subcase ≝
 774   λalpha,c,RelseM,t1,t2.
 775     ∀l0,x,rs.t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) l0 〈x,true〉 rs →
 776     (〈x,true〉 = c →
 777      ((∀c.memb ? c rs = true → is_marked ? c = false) →
 778        ∀a,l. (a::l) = reverse ? (〈x,true〉::rs) → t2 = rightof (FinProd alpha FinBool) a (l@l0)) ∧
 779      ∀a,l1,x0,a0,l2. (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 780      rs = 〈a,false〉::l1@〈x0,true〉::〈a0,false〉::l2 →
 781      ((x = x0 →
 782       t2 = midtape ? (〈x,false〉::l0) 〈a,true〉 (l1@〈x0,false〉::〈a0,true〉::l2)) ∧
 783       (x ≠ x0 →
 784       t2 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 785         (reverse ? l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,false〉 (〈a0,false〉::l2)))) ∧
 786     (〈x,true〉 ≠ c → RelseM t1 t2).
 787
 788 lemma dec_marked: ∀alpha,rs.
 789  decidable (∀c.memb ? c rs = true → is_marked alpha c = false).
 790 #alpha #rs elim rs
 791   [%1 #n normalize #H destruct
 792   |#a #tl cases (true_or_false (is_marked ? a)) #Ha
 793     [#_ %2 % #Hall @(absurd ?? not_eq_true_false) <Ha
 794      @Hall @memb_hd
 795     |* [#Hall %1 #c #memc cases (orb_true_l … memc)
 796          [#eqca >(\P eqca) @Ha |@Hall]
 797     |#Hnall %2 @(not_to_not … Hnall) #Hall #c #memc @Hall @memb_cons //
 798     ]
 799   qed.
 800
 801 lemma sem_comp_step_subcase :
 802   ∀alpha,c,elseM,RelseM.
 803   Realize ? elseM RelseM →
 804   Realize ? (comp_step_subcase alpha c elseM)
 805     (R_comp_step_subcase alpha c RelseM).
 806 #alpha #c #elseM #RelseM #Helse #intape
 807 cases (sem_if ? (test_char ? (λx.x == c)) … tc_true
 808         (sem_test_char ? (λx.x == c))
 809         (sem_seq ????? (sem_move_r …)
 810           (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_r ? (is_marked alpha))
 811              (sem_match_and_adv_full ? (λx.x == c)))) Helse intape)
 812 #k * #outc * #Hloop #HR @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)
 813 % [ @Hloop ] -Hloop cases HR -HR
 814   [* #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 815    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc * whd in ⊢ (%→%→?); #Houtc #Houtc1
 816    #l0 #x #rs #Hintape %
 817      [#_ cases (dec_marked ? rs) #Hdec
 818       [%
 819         [#_ #a #l1
 820          >Hintape in Hta; * #_(* #x1 * whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H) #Hx *)
 821          #Hta lapply (proj2 … Htb … Hta) -Htb -Hta cases rs in Hdec;
 822            [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htb >Htb in Htc; #Htc
 823             lapply (proj1 ?? Htc (refl …)) -Htc #Htc <Htc in Houtc1; #Houtc1
 824             normalize in ⊢ (???%→?); #Hl1 destruct(Hl1) @(Houtc1 (refl …))
 825            |#r0 #rs0 #Hdec whd in ⊢ ((???%)→?); #Htb >Htb in Htc; #Htc
 826             >reverse_cons >reverse_cons #Hl1
 827             cases (proj2 ?? Htc … (refl …))
 828             [* >(Hdec …) [ #Hfalse destruct(Hfalse) ] @memb_hd
 829             |* #_ -Htc #Htc cut (∃l2.l1 = l2@[〈x,true〉])
 830              [generalize in match Hl1; -Hl1 <(reverse_reverse … l1)
 831               cases (reverse ? l1)
 832               [#Hl1 cut ([a]=〈x,true〉::r0::rs0)
 833                [ <(reverse_reverse … (〈x,true〉::r0::rs0))
 834                  >reverse_cons >reverse_cons <Hl1 %
 835                | #Hfalse destruct(Hfalse)]
 836               |#a0 #l10 >reverse_cons #Heq
 837                lapply (append_l2_injective_r ? (a::reverse ? l10) ???? Heq) //
 838                #Ha0 destruct(Ha0) /2/ ]
 839              |* #l2 #Hl2 >Hl2 in Hl1; #Hl1
 840               lapply (append_l1_injective_r ? (a::l2) … Hl1) // -Hl1 #Hl1
 841               >reverse_cons in Htc; #Htc lapply (Htc … (sym_eq … Hl1))
 842               [ #x0 #Hmemb @Hdec @memb_cons @Hmemb ]
 843               -Htc #Htc >Htc in Houtc1; #Houtc1 >associative_append @Houtc1 %
 844              ]
 845             ]
 846            ]
 847         |#a #l1 #x0 #a0
 848          #l2 #_ #Hrs @False_ind
 849          @(absurd ?? not_eq_true_false)
 850          change with (is_marked ? 〈x0,true〉) in match true;
 851          @Hdec >Hrs @memb_cons @memb_append_l2 @memb_hd
 852         ]
 853       |% [#H @False_ind @(absurd …H Hdec)]
 854        #a #l1 #x0 #a0 #l2 #Hl1 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape
 855        >Hintape in Hta; * * #x1 * whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H) #Hx
 856        #Hta lapply (proj2 … Htb … Hta) -Htb -Hta
 857        whd in match (mk_tape ????); #Htb cases Htc -Htc #_ #Htc
 858        cases (Htc … Htb) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 859        -Htc * * #_ #Htc #_ lapply (Htc l1 〈x0,true〉 (〈a0,false〉::l2) (refl ??) (refl ??) Hl1)
 860        -Htc #Htc cases (Houtc ???????? Htc) -Houtc
 861         [* #Hx0 #Houtc %
 862           [ #Hx >Houtc >reverse_reverse %
 863           | lapply (\P Hx0) -Hx0 <(\P Hx) in ⊢ (%→?); #Hx0 destruct (Hx0)
 864             * #Hfalse @False_ind @Hfalse % ]
 865         |* #Hx0 #Houtc %
 866           [ #Hxx0 >Hxx0 in Hx; #Hx; lapply (\Pf Hx0) -Hx0 <(\P Hx) in ⊢ (%→?);
 867             * #Hfalse @False_ind @Hfalse %
 868           | #_ >Houtc % ]
 869         |#c #membc @Hl1 <(reverse_reverse …l1) @memb_reverse @membc
 870         ]
 871        ]
 872      | cases Hta * #c0 * >Hintape whd in ⊢ (??%%→?); #Hc0 destruct(Hc0) #Hx >(\P Hx)
 873        #_ * #Hc @False_ind @Hc % ]
 874     | * #ta * * #Hcur #Hta #Houtc
 875       #l0 #x #rs #Hintape >Hintape in Hcur; #Hcur lapply (Hcur ? (refl …)) -Hcur #Hc %
 876       [ #Hfalse >Hfalse in Hc; #Hc cases (\Pf Hc) #Hc @False_ind @Hc %
 877       | -Hc #Hc <Hintape <Hta @Houtc ] ]
 878 qed.
 879
 880 (*
 881 - se marcato, itero
 882 - se non è marcato
 883   + se è un bit, ho fallito il confronto della tupla corrente
 884   + se è un separatore, la tupla fa match
 885
 886
 887 ifTM ? (test_char ? is_marked)
 888   (single_finalTM … (comp_step_subcase unialpha 〈bit false,true〉
 889     (comp_step_subcase unialpha 〈bit true,true〉
 890       (clear_mark …))))
 891   (nop ?)
 892 *)
 893
 894 definition comp_step ≝
 895   ifTM ? (test_char ? (is_marked ?))
 896   (single_finalTM … (comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit false,true〉
 897     (comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit true,true〉
 898       (comp_step_subcase FSUnialpha 〈null,true〉
 899         (clear_mark …)))))
 900   (nop ?)
 901   tc_true.
 902
 903 (* da spostare *)
 904
 905 lemma mem_append : ∀A,x,l1,l2. mem A x (l1@l2) →
 906   mem A x l1 ∨ mem A x l2.
 907 #A #x #l1 elim l1 normalize [/2/]
 908 #a #tl #Hind #l2 * [#eqxa %1 /2/ |#memx cases (Hind … memx) /3/]
 909 qed.
 910
 911 let rec split_on A (l:list A) f acc on l ≝
 912   match l with
 913   [ nil ⇒ 〈acc,nil ?〉
 914   | cons a tl ⇒
 915     if f a then 〈acc,a::tl〉 else split_on A tl f (a::acc)
 916   ].
 917
 918 lemma split_on_spec: ∀A,l,f,acc,res1,res2.
 919   split_on A l f acc = 〈res1,res2〉 →
 920     (∃l1. res1 = l1@acc ∧
 921     reverse ? l1@res2 = l ∧
 922     ∀x. mem ? x l1 → f x = false) ∧
 923     ∀a,tl. res2 = a::tl → f a = true.
 924 #A #l #f elim l
 925   [#acc #res1 #res2 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct %
 926     [@(ex_intro … []) % normalize [% % | #x @False_ind]
 927     |#a #tl #H destruct
 928     ]
 929   |#a #tl #Hind #acc #res1 #res2 normalize in ⊢ (%→?);
 930    cases (true_or_false (f a)) #Hfa >Hfa normalize in ⊢ (%→?);
 931    #H destruct
 932    [% [@(ex_intro … []) % normalize [% % | #x @False_ind]
 933       |#a1 #tl1 #H destruct (H) //]
 934    |cases (Hind (a::acc) res1 res2 H) * #l1 * *
 935     #Hres1 #Htl #Hfalse #Htrue % [2:@Htrue] @(ex_intro … (l1@[a])) %
 936      [% [>associative_append @Hres1 | >reverse_append <Htl % ]
 937      |#x #Hmemx cases (mem_append ???? Hmemx)
 938         [@Hfalse | normalize * [#H >H //| @False_ind]
 939      ]
 940    ]
 941   ]
 942 qed.
 943
 944 axiom mem_reverse: ∀A,l,x. mem A x (reverse ? l) → mem A x l.
 945
 946 lemma split_on_spec_ex: ∀A,l,f.∃l1,l2.
 947     l1@l2 = l ∧ (∀x:A. mem ? x l1 → f x = false) ∧
 948     ∀a,tl. l2 = a::tl → f a = true.
 949 #A #l #f @(ex_intro … (reverse … (\fst (split_on A l f []))))
 950 @(ex_intro … (\snd (split_on A l f [])))
 951 cases (split_on_spec A l f [ ] ?? (eq_pair_fst_snd …)) * #l1 * *
 952 >append_nil #Hl1 >Hl1 #Hl #Hfalse #Htrue %
 953   [% [@Hl|#x #memx @Hfalse @mem_reverse //] | @Htrue]
 954 qed.
 955
 956 FAIL
 957
 958 (* manca il caso in cui alla destra della testina il nastro non ha la forma
 959    (l1@〈c0,true〉::〈a0,false〉::l2)
 960 *)
 961 definition R_comp_step_true ≝ λt1,t2.
 962   ∃l0,c,a,l1,c0,l1',a0,l2.
 963     t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool)
 964       l0 〈c,true〉 (l1@〈c0,true〉::〈a0,false〉::l2) ∧
 965        l1@[〈c0,false〉] = 〈a,false〉::l1' ∧
 966       (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) ∧
 967       (bit_or_null c = true → c0 = c →
 968         t2 = midtape ? (〈c,false〉::l0) 〈a,true〉 (l1'@〈c0,false〉::〈a0,true〉::l2)) ∧
 969       (bit_or_null c = true → c0 ≠ c →
 970         t2 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool)
 971          (reverse ? l1@〈a,false〉::〈c,true〉::l0) 〈c0,false〉 (〈a0,false〉::l2)) ∧
 972       (bit_or_null c = false →
 973         t2 = midtape ? l0 〈c,false〉 (〈a,false〉::l1@〈c0,true〉::〈a0,false〉::l2)).
 974
 975 definition R_comp_step_false ≝
 976   λt1,t2.
 977    ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
 978    is_marked ? c = false ∧ t2 = t1.
 979
 980 (*
 981 lemma is_marked_to_exists: ∀alpha,c. is_marked alpha c = true →
 982  ∃c'. c = 〈c',true〉.
 983 #alpha * c *)
 984
 985 lemma sem_comp_step :
 986   accRealize ? comp_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
 987     R_comp_step_true R_comp_step_false.
 988 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (is_marked ?))
 989         (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit false,true〉 ??
 990           (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit true,true〉 ??
 991             (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈null,true〉 ??
 992               (sem_clear_mark …))))
 993         (sem_nop …) …)
 994 (*
 995 [#intape #outtape #midtape * * * #c #b * #Hcurrent
 996 whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hb #Hmidtape >Hmidtape -Hmidtape
 997  cases (current_to_midtape … Hcurrent) #ls * #rs >Hb #Hintape >Hintape -Hb
 998  whd in ⊢ (%→?); #Htapea lapply (Htapea … (refl …)) -Htapea
 999  cases (split_on_spec_ex ? rs (is_marked ?)) #l1 * #l2 * * #Hrs #Hl1 #Hl2
1000  cases (true_or_false (c == bit false))
1001   [(* c = bit false *) #Hc *
1002    [>(\P Hc) #H lapply (H (refl ??)) -H * #_ #H lapply (H ????? Hl1) @False_ind @H //]
1003    * #_ #Hout whd
1004    cases (split_on_spec *)
1005 [ #ta #tb #tc * * * #c #b * #Hcurrent whd in ⊢(??%?→?); #Hc
1006   >Hc in Hcurrent; #Hcurrent; #Htc
1007   cases (current_to_midtape … Hcurrent) #ls * #rs #Hta
1008   >Htc #H1 cases (H1 … Hta) -H1 #H1 #H2 whd
1009   lapply (refl ? (〈c,true〉==〈bit false,true〉))
1010   cases (〈c,true〉==〈bit false,true〉) in ⊢ (???%→?);
1011   [ #Hceq lapply (H1 (\P Hceq)) -H1 *
1012     cases (split_on_spec_ex ? rs (is_marked ?)) #l1 * #l2 * * cases l2
1013     [ >append_nil #Hrs #Hl1 #Hl2 #Htb1 #_
1014
1015  #Hstate lapply (H1 Hstate) -H1 -Hstate -H2 *
1016   #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hleft #Hright #ls #c #rs #Hintape
1017   >Hintape in Hleft; * *
1018   cases c in Hintape; #c' #b #Hintape #x * whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
1019   whd in ⊢ (??%?→?); #Hb >Hb #Hta @(ex_intro ?? c') % //
1020   cases (Hright … Hta)
1021   [ * #Hc' #H1 % % [destruct (Hc') % ]
1022     #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
1023     cases (H1 … Hl1 Hrs)
1024     [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
1025     | * #Hneq #Houtc %2 %
1026       [ @sym_not_eq //
1027       | @Houtc ]
1028     ]
1029   | * #Hc #Helse1 cases (Helse1 … Hta)
1030     [ * #Hc' #H1 % % [destruct (Hc') % ]
1031       #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
1032       cases (H1 … Hl1 Hrs)
1033       [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
1034       | * #Hneq #Houtc %2 %
1035         [ @sym_not_eq //
1036         | @Houtc ]
1037       ]
1038     | * #Hc' #Helse2 cases (Helse2 … Hta)
1039       [ * #Hc'' #H1 % % [destruct (Hc'') % ]
1040         #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
1041         cases (H1 … Hl1 Hrs)
1042         [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
1043         | * #Hneq #Houtc %2 %
1044           [ @sym_not_eq //
1045           | @Houtc ]
1046         ]
1047       | * #Hc'' whd in ⊢ (%→?); #Helse3 %2 %
1048         [ generalize in match Hc''; generalize in match Hc'; generalize in match Hc;
1049           cases c'
1050           [ * [ #_ #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
1051               | #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) % ]
1052           | #_ #_ #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
1053           |*: #_ #_ #_ % ]
1054         | @(Helse3 … Hta)
1055         ]
1056       ]
1057     ]
1058   ]
1059 | #Hstate lapply (H2 Hstate) -H1 -Hstate -H2 *
1060   #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hleft #Hright #ls #c #rs #Hintape
1061   >Hintape in Hleft; * #Hc #Hta % [@Hc % | >Hright //]
1062 ]
1063 qed.
1064 definition R_comp_step_true ≝
1065   λt1,t2.
1066     ∀l0,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) l0 c rs →
1067     ∃c'. c = 〈c',true〉 ∧
1068     ((bit_or_null c' = true ∧
1069      ∀a,l1,c0,a0,l2.
1070       rs = 〈a,false〉::l1@〈c0,true〉::〈a0,false〉::l2 →
1071       (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
1072       (c0 = c' ∧
1073        t2 = midtape ? (〈c',false〉::l0) 〈a,true〉 (l1@〈c0,false〉::〈a0,true〉::l2)) ∨
1074       (c0 ≠ c' ∧
1075        t2 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool)
1076         (reverse ? l1@〈a,false〉::〈c',true〉::l0) 〈c0,false〉 (〈a0,false〉::l2))) ∨
1077      (bit_or_null c' = false ∧ t2 = midtape ? l0 〈c',false〉 rs)).
1078
1079 definition R_comp_step_false ≝
1080   λt1,t2.
1081    ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
1082    is_marked ? c = false ∧ t2 = t1.
1083
1084 lemma sem_comp_step :
1085   accRealize ? comp_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
1086     R_comp_step_true R_comp_step_false.
1087 #intape
1088 cases (acc_sem_if … (sem_test_char ? (is_marked ?))
1089         (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit false,true〉 ??
1090           (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit true,true〉 ??
1091             (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈null,true〉 ??
1092               (sem_clear_mark …))))
1093         (sem_nop …) intape)
1094 #k * #outc * * #Hloop #H1 #H2
1095 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) %
1096 [ % [@Hloop ] ] -Hloop
1097 [ #Hstate lapply (H1 Hstate) -H1 -Hstate -H2 *
1098   #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hleft #Hright #ls #c #rs #Hintape
1099   >Hintape in Hleft; * *
1100   cases c in Hintape; #c' #b #Hintape #x * whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
1101   whd in ⊢ (??%?→?); #Hb >Hb #Hta @(ex_intro ?? c') % //
1102   cases (Hright … Hta)
1103   [ * #Hc' #H1 % % [destruct (Hc') % ]
1104     #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
1105     cases (H1 … Hl1 Hrs)
1106     [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
1107     | * #Hneq #Houtc %2 %
1108       [ @sym_not_eq //
1109       | @Houtc ]
1110     ]
1111   | * #Hc #Helse1 cases (Helse1 … Hta)
1112     [ * #Hc' #H1 % % [destruct (Hc') % ]
1113       #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
1114       cases (H1 … Hl1 Hrs)
1115       [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
1116       | * #Hneq #Houtc %2 %
1117         [ @sym_not_eq //
1118         | @Houtc ]
1119       ]
1120     | * #Hc' #Helse2 cases (Helse2 … Hta)
1121       [ * #Hc'' #H1 % % [destruct (Hc'') % ]
1122         #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
1123         cases (H1 … Hl1 Hrs)
1124         [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
1125         | * #Hneq #Houtc %2 %
1126           [ @sym_not_eq //
1127           | @Houtc ]
1128         ]
1129       | * #Hc'' whd in ⊢ (%→?); #Helse3 %2 %
1130         [ generalize in match Hc''; generalize in match Hc'; generalize in match Hc;
1131           cases c'
1132           [ * [ #_ #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
1133               | #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) % ]
1134           | #_ #_ #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
1135           |*: #_ #_ #_ % ]
1136         | @(Helse3 … Hta)
1137         ]
1138       ]
1139     ]
1140   ]
1141 | #Hstate lapply (H2 Hstate) -H1 -Hstate -H2 *
1142   #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hleft #Hright #ls #c #rs #Hintape
1143   >Hintape in Hleft; * #Hc #Hta % [@Hc % | >Hright //]
1144 ]
1145 qed.
1146
1147 definition compare ≝
1148   whileTM ? comp_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
1149
1150 (*
1151 definition R_compare :=
1152   λt1,t2.
1153   (t
1154
1155   ∀ls,c,b,rs.t1 = midtape ? ls 〈c,b〉 rs →
1156   (b = true → rs = ....) →
1157   (b = false ∧ ....) ∨
1158   (b = true ∧
1159
1160    rs = cs@l1@〈c0,true〉::cs0@l2
1161    (
1162
1163
1164   ls 〈c,b〉 cs l1 〈c0,b0〉 cs0 l2
1165
1166
1167 ACCETTAZIONE:
1168   ls (hd (Ls@〈grid,false〉))* (tail (Ls@〈grid,false〉)) l1 (hd (Ls@〈comma,false〉))* (tail (Ls@〈comma,false〉)) l2
1169      ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
1170
1171   ls Ls 〈grid,false〉 l1 Ls 〈comma,true〉 l2
1172         ^^^^^^^^^^^^
1173
1174 RIFIUTO: c ≠ d
1175
1176   ls (hd (Ls@〈c,false〉))* (tail (Ls@〈c,false〉)) l1 (hd (Ls@〈d,false〉))* (tail (Ls@〈d,false〉)) l2
1177      ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
1178
1179
1180   ls Ls 〈c,true〉 l1 Ls 〈d,false〉 l2
1181                        ^^^^^^^^
1182
1183   ).
1184
1185   |bs| = |b0s| →
1186   (∃la,d.〈b,true〉::bs = la@[〈grid,d〉] ∧ ∀x.memb ? x la → is_bit (\fst x) = true) →
1187   (∃lb,d0.〈b0,true〉::b0s = lb@[〈comma,d0〉] ∧ ∀x.memb ? x lb → is_bit (\fst x) = true) →
1188   t1 = midtape ? l0 〈b,true〉 (bs@l1@〈b0,true〉::b0s@l2 →
1189
1190   mk_tape left (option current) right
1191
1192   (b = grid ∧ b0 = comma ∧ bs = [] ∧ b0s = [] ∧
1193    t2 = midtape ? l0 〈grid,false〉 (l1@〈comma,true〉::l2)) ∨
1194   (b = bit x ∧ b = c ∧ bs = b0s
1195   *)
1196 definition R_compare :=
1197   λt1,t2.
1198   ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
1199   (∀c'.bit_or_null c' = false → c = 〈c',true〉 → t2 = midtape ? ls 〈c',false〉 rs) ∧
1200   (∀c'. c = 〈c',false〉 → t2 = t1) ∧
1201   ∀b,b0,bs,b0s,l1,l2.
1202   |bs| = |b0s| →
1203   (∀c.memb (FinProd … FSUnialpha FinBool) c bs = true → bit_or_null (\fst c) = true) →
1204   (∀c.memb (FinProd … FSUnialpha FinBool) c b0s = true → bit_or_null (\fst c) = true) →
1205   (∀c.memb ? c bs = true → is_marked ? c = false) →
1206   (∀c.memb ? c b0s = true → is_marked ? c = false) →
1207   (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
1208   c = 〈b,true〉 → bit_or_null b = true →
1209   rs = bs@〈grid,false〉::l1@〈b0,true〉::b0s@〈comma,false〉::l2 →
1210   (〈b,true〉::bs = 〈b0,true〉::b0s ∧
1211    t2 = midtape ? (reverse ? bs@〈b,false〉::ls)
1212           〈grid,false〉 (l1@〈b0,false〉::b0s@〈comma,true〉::l2)) ∨
1213   (∃la,c',d',lb,lc.c' ≠ d' ∧
1214     〈b,false〉::bs = la@〈c',false〉::lb ∧
1215     〈b0,false〉::b0s = la@〈d',false〉::lc ∧
1216     t2 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) (reverse ? la@
1217                     reverse ? l1@
1218                     〈grid,false〉::
1219                     reverse ? lb@
1220                     〈c',true〉::
1221                     reverse ? la@ls)
1222                     〈d',false〉 (lc@〈comma,false〉::l2)).
1223
1224 lemma wsem_compare : WRealize ? compare R_compare.
1225 #t #i #outc #Hloop
1226 lapply (sem_while ?????? sem_comp_step t i outc Hloop) [%]
1227 -Hloop * #t1 * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
1228 [ #tapea whd in ⊢ (%→?); #Rfalse #ls #c #rs #Htapea %
1229   [ %
1230     [ #c' #Hc' #Hc lapply (Rfalse … Htapea) -Rfalse * >Hc
1231       whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
1232     | #c' #Hc lapply (Rfalse … Htapea) -Rfalse * #_
1233       #Htrue @Htrue ]
1234   | #b #b0 #bs #b0s #l1 #l2 #Hlen #Hbs1 #Hb0s1 #Hbs2 #Hb0s2 #Hl1 #Hc
1235     cases (Rfalse … Htapea) -Rfalse >Hc whd in ⊢ (??%?→?);#Hfalse destruct (Hfalse)
1236   ]
1237 | #tapea #tapeb #tapec #Hleft #Hright #IH #Htapec lapply (IH Htapec) -Htapec -IH #IH
1238   whd in Hleft; #ls #c #rs #Htapea cases (Hleft … Htapea) -Hleft
1239   #c' * #Hc >Hc cases (true_or_false (bit_or_null c')) #Hc'
1240   [2: *
1241     [ * >Hc' #H @False_ind destruct (H)
1242     | * #_ #Htapeb cases (IH … Htapeb) * #_ #H #_ %
1243       [%
1244         [#c1 #Hc1 #Heqc destruct (Heqc) <Htapeb @(H c1) %
1245         |#c1 #Hfalse destruct (Hfalse)
1246         ]
1247       |#b #b0 #bs #b0s #l1 #l2 #_ #_ #_ #_ #_ #_
1248        #Heq destruct (Heq) >Hc' #Hfalse @False_ind destruct (Hfalse)
1249       ]
1250     ]
1251  |#Hleft %
1252     [ %
1253       [ #c'' #Hc'' #Heq destruct (Heq) >Hc'' in Hc'; #H destruct (H)
1254       | #c0 #Hfalse destruct (Hfalse)
1255       ]
1256     |#b #b0 #bs #b0s #l1 #l2 #Hlen #Hbs1 #Hb0s1 #Hbs2 #Hb0s2 #Hl1
1257      #Heq destruct (Heq) #_ #Hrs cases Hleft -Hleft
1258       [2: * >Hc' #Hfalse @False_ind destruct ] * #_
1259        @(list_cases2 … Hlen)
1260        [ #Hbs #Hb0s generalize in match Hrs; >Hbs in ⊢ (%→?); >Hb0s in ⊢ (%→?);
1261        -Hrs #Hrs normalize in Hrs; #Hleft cases (Hleft ????? Hrs ?) -Hleft
1262          [ * #Heqb #Htapeb cases (IH … Htapeb) -IH * #IH #_ #_
1263           % %
1264             [ >Heqb >Hbs >Hb0s %
1265             | >Hbs >Hb0s @IH %
1266             ]
1267          |* #Hneqb #Htapeb %2
1268           @(ex_intro … [ ]) @(ex_intro … b)
1269           @(ex_intro … b0) @(ex_intro … [ ])
1270           @(ex_intro … [ ]) %
1271             [ % [ % [@sym_not_eq //| >Hbs %] | >Hb0s %]
1272             | cases (IH … Htapeb) -IH * #_ #IH #_ >(IH ? (refl ??))
1273               @Htapeb
1274             ]
1275          | @Hl1 ]
1276       | * #b' #bitb' * #b0' #bitb0' #bs' #b0s' #Hbs #Hb0s
1277         generalize in match Hrs; >Hbs in ⊢ (%→?); >Hb0s in ⊢ (%→?);
1278         cut (bit_or_null b' = true ∧ bit_or_null b0' = true ∧
1279              bitb' = false ∧ bitb0' = false)
1280         [ % [ % [ % [ >Hbs in Hbs1; #Hbs1 @(Hbs1 〈b',bitb'〉) @memb_hd
1281             | >Hb0s in Hb0s1; #Hb0s1 @(Hb0s1 〈b0',bitb0'〉) @memb_hd ]
1282             | >Hbs in Hbs2; #Hbs2 @(Hbs2 〈b',bitb'〉) @memb_hd ]
1283             | >Hb0s in Hb0s2; #Hb0s2 @(Hb0s2 〈b0',bitb0'〉) @memb_hd ]
1284         | * * * #Ha #Hb #Hc #Hd >Hc >Hd
1285           #Hrs #Hleft
1286           cases (Hleft b' (bs'@〈grid,false〉::l1) b0 b0'
1287                          (b0s'@〈comma,false〉::l2) ??) -Hleft
1288           [ 3: >Hrs normalize @eq_f >associative_append %
1289           | * #Hb0 #Htapeb cases (IH …Htapeb) -IH * #_ #_ #IH
1290             cases (IH b' b0' bs' b0s' (l1@[〈b0,false〉]) l2 ??????? Ha ?) -IH
1291             [ * #Heq #Houtc % %
1292               [ >Hb0 @eq_f >Hbs in Heq; >Hb0s in ⊢ (%→?); #Heq
1293                 destruct (Heq) >Hb0s >Hc >Hd %
1294               | >Houtc >Hbs >Hb0s >Hc >Hd >reverse_cons >associative_append
1295                 >associative_append %
1296               ]
1297             | * #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #H4 %2
1298               @(ex_intro … (〈b,false〉::la)) @(ex_intro … c') @(ex_intro … d')
1299               @(ex_intro … lb) @(ex_intro … lc)
1300               % [ % [ % // >Hbs >Hc >H2 % | >Hb0s >Hd >H3 >Hb0 % ]
1301                 | >H4 >Hbs >Hb0s >Hc >Hd >Hb0 >reverse_append
1302                   >reverse_cons >reverse_cons
1303                   >associative_append >associative_append
1304                   >associative_append >associative_append %
1305                 ]
1306             | generalize in match Hlen; >Hbs >Hb0s
1307               normalize #Hlen destruct (Hlen) @e0
1308             | #c0 #Hc0 @Hbs1 >Hbs @memb_cons //
1309             | #c0 #Hc0 @Hb0s1 >Hb0s @memb_cons //
1310             | #c0 #Hc0 @Hbs2 >Hbs @memb_cons //
1311             | #c0 #Hc0 @Hb0s2 >Hb0s @memb_cons //
1312             | #c0 #Hc0 cases (memb_append … Hc0)
1313               [ @Hl1 | #Hc0' >(memb_single … Hc0') % ]
1314             | %
1315             | >associative_append >associative_append % ]
1316          | * #Hneq #Htapeb %2
1317             @(ex_intro … []) @(ex_intro … b) @(ex_intro … b0)
1318             @(ex_intro … bs) @(ex_intro … b0s) %
1319            [ % // % // @sym_not_eq //
1320            | >Hbs >Hb0s >Hc >Hd >reverse_cons >associative_append
1321              >reverse_append in Htapeb; >reverse_cons
1322              >associative_append >associative_append
1323              #Htapeb <Htapeb
1324              cases (IH … Htapeb) -Htapeb -IH * #_ #IH #_ @(IH ? (refl ??))
1325            ]
1326          | #c1 #Hc1 cases (memb_append … Hc1) #Hyp
1327            [ @Hbs2 >Hbs @memb_cons @Hyp
1328            | cases (orb_true_l … Hyp)
1329              [ #Hyp2 >(\P Hyp2) %
1330              | @Hl1
1331              ]
1332            ]
1333          ]
1334 ]]]]]
1335 qed.
1336
1337 axiom sem_compare : Realize ? compare R_compare.