matita/matita/lib/turing/universal/marks.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/if_machine.ma".
  18 include "turing/basic_machines.ma".
  19 include "turing/universal/alphabet.ma".
  20
  21 (* ADVANCE TO MARK (right)
  22
  23    sposta la testina a destra fino a raggiungere il primo carattere marcato
  24
  25 *)
  26
  27 (* 0, a ≠ mark _ ⇒ 0, R
  28 0, a = mark _ ⇒ 1, N *)
  29
  30 definition atm_states ≝ initN 3.
  31
  32 definition atm0 : atm_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
  33 definition atm1 : atm_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
  34 definition atm2 : atm_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
  35
  36 definition atmr_step ≝
  37   λalpha:FinSet.λtest:alpha→bool.
  38   mk_TM alpha atm_states
  39   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
  40    match a with
  41    [ None ⇒ 〈atm1, None ?〉
  42    | Some a' ⇒
  43      match test a' with
  44      [ true ⇒ 〈atm1,None ?〉
  45      | false ⇒ 〈atm2,Some ? 〈a',R〉〉 ]])
  46   atm0 (λx.notb (x == atm0)).
  47
  48 definition Ratmr_step_true ≝
  49   λalpha,test,t1,t2.
  50    ∃ls,a,rs.
  51    t1 = midtape alpha ls a rs ∧ test a = false ∧
  52    t2 = mk_tape alpha (a::ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs).
  53
  54 definition Ratmr_step_false ≝
  55   λalpha,test,t1,t2.
  56     t1 = t2 ∧
  57     (current alpha t1 = None ? ∨
  58      (∃a.current ? t1 = Some ? a ∧ test a = true)).
  59
  60 lemma atmr_q0_q1 :
  61   ∀alpha,test,ls,a0,rs. test a0 = true →
  62   step alpha (atmr_step alpha test)
  63     (mk_config ?? atm0 (midtape … ls a0 rs)) =
  64   mk_config alpha (states ? (atmr_step alpha test)) atm1
  65     (midtape … ls a0 rs).
  66 #alpha #test #ls #a0 #ts #Htest whd in ⊢ (??%?);
  67 whd in match (trans … 〈?,?〉); >Htest %
  68 qed.
  69
  70 lemma atmr_q0_q2 :
  71   ∀alpha,test,ls,a0,rs. test a0 = false →
  72   step alpha (atmr_step alpha test)
  73     (mk_config ?? atm0 (midtape … ls a0 rs)) =
  74   mk_config alpha (states ? (atmr_step alpha test)) atm2
  75     (mk_tape … (a0::ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs)).
  76 #alpha #test #ls #a0 #ts #Htest whd in ⊢ (??%?);
  77 whd in match (trans … 〈?,?〉); >Htest cases ts //
  78 qed.
  79
  80 lemma sem_atmr_step :
  81   ∀alpha,test.
  82   accRealize alpha (atmr_step alpha test)
  83     atm2 (Ratmr_step_true alpha test) (Ratmr_step_false alpha test).
  84 #alpha #test *
  85 [ @(ex_intro ?? 2)
  86   @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (niltape ?))) %
  87   [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
  88 | #a #al @(ex_intro ?? 2) @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (leftof ? a al)))
  89   % [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
  90 | #a #al @(ex_intro ?? 2) @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (rightof ? a al)))
  91   % [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
  92 | #ls #c #rs @(ex_intro ?? 2)
  93   cases (true_or_false (test c)) #Htest
  94   [ @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 ?))
  95     [| %
  96       [ %
  97         [ whd in ⊢ (??%?); >atmr_q0_q1 //
  98         | whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct ]
  99       | #_ % // %2 @(ex_intro ?? c) % // ]
 100     ]
 101   | @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm2 (mk_tape ? (c::ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs))))
 102     %
 103     [ %
 104       [ whd in ⊢ (??%?); >atmr_q0_q2 //
 105       | #_ @(ex_intro ?? ls) @(ex_intro ?? c) @(ex_intro ?? rs)
 106         % // % //
 107       ]
 108     | #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
 109     ]
 110   ]
 111 ]
 112 qed.
 113
 114 lemma dec_test: ∀alpha,rs,test.
 115  decidable (∀c.memb alpha c rs = true → test c = false).
 116 #alpha #rs #test elim rs
 117   [%1 #n normalize #H destruct
 118   |#a #tl cases (true_or_false (test a)) #Ha
 119     [#_ %2 % #Hall @(absurd ?? not_eq_true_false) <Ha
 120      @Hall @memb_hd
 121     |* [#Hall %1 #c #memc cases (orb_true_l … memc)
 122          [#eqca >(\P eqca) @Ha |@Hall]
 123     |#Hnall %2 @(not_to_not … Hnall) #Hall #c #memc @Hall @memb_cons //
 124     ]
 125   qed.
 126
 127 definition R_adv_to_mark_r ≝ λalpha,test,t1,t2.
 128   (current ? t1 = None ? → t1 = t2) ∧
 129   ∀ls,c,rs.
 130   (t1 = midtape alpha ls c rs  →
 131   ((test c = true ∧ t2 = t1) ∨
 132    (test c = false ∧
 133     (∀rs1,b,rs2. rs = rs1@b::rs2 →
 134      test b = true → (∀x.memb ? x rs1 = true → test x = false) →
 135      t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) b rs2) ∧
 136      ((∀x.memb ? x rs = true → test x = false) →
 137       ∀a,l.reverse ? (c::rs) = a::l →
 138       t2 = rightof alpha a (l@ls))))).
 139
 140 definition adv_to_mark_r ≝
 141   λalpha,test.whileTM alpha (atmr_step alpha test) atm2.
 142
 143 lemma wsem_adv_to_mark_r :
 144   ∀alpha,test.
 145   WRealize alpha (adv_to_mark_r alpha test) (R_adv_to_mark_r alpha test).
 146 #alpha #test #t #i #outc #Hloop
 147 lapply (sem_while … (sem_atmr_step alpha test) t i outc Hloop) [%]
 148 -Hloop * #t1 * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 149 [ * #Htapea *
 150   [ #H1 %
 151     [#_ @Htapea
 152     |#ls #c #rs #H2 >H2 in H1; whd in ⊢ (??%? → ?);
 153      #Hfalse destruct (Hfalse)
 154     ]
 155   | * #a * #Ha #Htest %
 156     [ >Ha #H destruct (H);
 157     | #ls #c #rs #H2 %
 158      >H2 in Ha; whd in ⊢ (??%? → ?); #Heq destruct (Heq) % //
 159      <Htapea //
 160     ]
 161   ]
 162 | #tapeb #tapec #Hleft #Hright #IH #HRfalse
 163   lapply (IH HRfalse) -IH #IH %
 164   [cases Hleft #ls * #a * #rs * * #Htapea #_ #_ >Htapea
 165    whd in ⊢((??%?)→?); #H destruct (H);
 166   |#ls #c #rs #Htapea %2
 167    cases Hleft #ls0 * #a0 * #rs0 * * #Htapea' #Htest #Htapeb
 168    >Htapea' in Htapea; #Htapea destruct (Htapea) % [ % // ]
 169    [*
 170     [ #b #rs2 #Hrs >Hrs in Htapeb; #Htapeb #Htestb #_
 171      cases (proj2 ?? IH … Htapeb)
 172       [ * #_ #Houtc >Houtc >Htapeb %
 173       | * * >Htestb #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 174     | #r1 #rs1 #b #rs2 #Hrs >Hrs in Htapeb; #Htapeb #Htestb #Hmemb
 175      cases (proj2 ?? IH … Htapeb)
 176       [ * #Hfalse >(Hmemb …) in Hfalse;
 177         [ #Hft destruct (Hft)
 178         | @memb_hd ]
 179       | * * #Htestr1 #H1 #_ >reverse_cons >associative_append
 180        @H1 // #x #Hx @Hmemb @memb_cons //
 181       ]
 182     ]
 183    |cases rs in Htapeb; normalize in ⊢ (%→?);
 184     [#Htapeb #_ #a0 #l whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hrev destruct (Hrev)
 185      >Htapeb in IH; #IH cases (proj1 ?? IH … (refl …)) //
 186     |#r1 #rs1 #Htapeb #Hmemb
 187      cases (proj2 ?? IH … Htapeb) [ * >Hmemb [ #Hfalse destruct(Hfalse) ] @memb_hd ]
 188      * #_ #H1 #a #l <(reverse_reverse … l) cases (reverse … l)
 189       [#H cut (c::r1::rs1 = [a])
 190         [<(reverse_reverse  … (c::r1::rs1)) >H //]
 191        #Hrev destruct (Hrev)
 192       |#a1 #l2 >reverse_cons >reverse_cons >reverse_cons
 193        #Hrev cut ([c] = [a1])
 194         [@(append_l2_injective_r ?? (a::reverse … l2) … Hrev) //]
 195        #Ha <Ha >associative_append @H1
 196         [#x #membx @Hmemb @memb_cons @membx
 197         |<(append_l1_injective_r ?? (a::reverse … l2) … Hrev) //
 198         ]
 199 qed.
 200
 201 lemma terminate_adv_to_mark_r :
 202   ∀alpha,test.
 203   ∀t.Terminate alpha (adv_to_mark_r alpha test) t.
 204 #alpha #test #t
 205 @(terminate_while … (sem_atmr_step alpha test))
 206   [ %
 207   | cases t
 208     [ % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * * #Hfalse destruct (Hfalse)
 209     |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * * #Hfalse destruct (Hfalse)
 210     | #ls #c #rs generalize in match c; -c generalize in match ls; -ls
 211       elim rs
 212       [#ls #c % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * *
 213        #H1 destruct (H1) #Hc0 #Ht1 normalize in Ht1;
 214        % #t2 * #ls1 * #c1 * #rs1 * * >Ht1
 215        normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 216       | #r0 #rs0 #IH #ls #c % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * *
 217         #H1 destruct (H1) #Hc0 #Ht1 normalize in Ht1;
 218         >Ht1 @IH
 219       ]
 220     ]
 221   ]
 222 qed.
 223
 224 lemma sem_adv_to_mark_r :
 225   ∀alpha,test.
 226   Realize alpha (adv_to_mark_r alpha test) (R_adv_to_mark_r alpha test).
 227 /2/
 228 qed.
 229
 230 (* MARK machine
 231
 232    marks the current character
 233  *)
 234
 235 definition mark_states ≝ initN 2.
 236
 237 definition ms0 : mark_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 2 (refl …)).
 238 definition ms1 : mark_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 2 (refl …)).
 239
 240 definition mark ≝
 241   λalpha:FinSet.mk_TM (FinProd … alpha FinBool) mark_states
 242   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
 243     match a with
 244     [ None ⇒ 〈ms1,None ?〉
 245     | Some a' ⇒ match (pi1 … q) with
 246       [ O ⇒ let 〈a'',b〉 ≝ a' in 〈ms1,Some ? 〈〈a'',true〉,N〉〉
 247       | S q ⇒ 〈ms1,None ?〉 ] ])
 248   ms0 (λq.q == ms1).
 249
 250 definition R_mark ≝ λalpha,t1,t2.
 251   (∀ls,c,b,rs.
 252      t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈c,b〉 rs →
 253      t2 = midtape ? ls 〈c,true〉 rs) ∧
 254   (current ? t1 = None ? → t2 = t1).
 255
 256 lemma sem_mark :
 257   ∀alpha.Realize ? (mark alpha) (R_mark alpha).
 258 #alpha #intape @(ex_intro ?? 2) cases intape
 259 [ @ex_intro
 260   [| % [ % | % [#ls #c #b #rs #Hfalse destruct | // ]]]
 261 |#a #al @ex_intro
 262   [| % [ % | % [#ls #c #b #rs #Hfalse destruct | // ]]]
 263 |#a #al @ex_intro
 264   [| % [ % | % [#ls #c #b #rs #Hfalse destruct ] // ]]
 265 | #ls * #c #b #rs
 266   @ex_intro [| % [ % | %
 267   [#ls0 #c0 #b0 #rs0 #H1 destruct (H1) %
 268   | whd in ⊢ ((??%?)→?); #H1 destruct (H1)]]]
 269 qed.
 270
 271
 272 (* MOVE RIGHT AND MARK machine
 273
 274    marks the first character on the right
 275
 276    (could be rewritten using (mark; move_right))
 277  *)
 278
 279 definition mrm_states ≝ initN 3.
 280
 281 definition mrm0 : mrm_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
 282 definition mrm1 : mrm_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
 283 definition mrm2 : mrm_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
 284
 285 definition move_right_and_mark ≝
 286   λalpha:FinSet.mk_TM (FinProd … alpha FinBool) mrm_states
 287   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
 288     match a with
 289     [ None ⇒ 〈mrm2,None ?〉
 290     | Some a' ⇒ match pi1 … q with
 291       [ O ⇒ 〈mrm1,Some ? 〈a',R〉〉
 292       | S q ⇒ match q with
 293         [ O ⇒ let 〈a'',b〉 ≝ a' in
 294               〈mrm2,Some ? 〈〈a'',true〉,N〉〉
 295         | S _ ⇒ 〈mrm2,None ?〉 ] ] ])
 296   mrm0 (λq.q == mrm2).
 297
 298 definition R_move_right_and_mark ≝ λalpha,t1,t2.
 299   ∀ls,c,d,b,rs.
 300   t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls c (〈d,b〉::rs) →
 301   t2 = midtape ? (c::ls) 〈d,true〉 rs.
 302
 303 lemma sem_move_right_and_mark :
 304   ∀alpha.Realize ? (move_right_and_mark alpha) (R_move_right_and_mark alpha).
 305 #alpha #intape @(ex_intro ?? 3) cases intape
 306 [ @ex_intro
 307   [| % [ % | #ls #c #d #b #rs #Hfalse destruct ] ]
 308 |#a #al @ex_intro
 309   [| % [ % | #ls #c #d #b #rs #Hfalse destruct ] ]
 310 |#a #al @ex_intro
 311   [| % [ % | #ls #c #d #b #rs #Hfalse destruct ] ]
 312 | #ls #c *
 313   [ @ex_intro [| % [ % | #ls0 #c0 #d0 #b0 #rs0 #Hfalse destruct ] ]
 314   | * #d #b #rs @ex_intro
 315     [| % [ % | #ls0 #c0 #d0 #b0 #rs0 #H1 destruct (H1) % ] ] ] ]
 316 qed.
 317
 318 (* CLEAR MARK machine
 319
 320    clears the mark in the current character
 321  *)
 322
 323 definition clear_mark_states ≝ initN 3.
 324
 325 definition clear0 : clear_mark_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
 326 definition clear1 : clear_mark_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
 327 definition claer2 : clear_mark_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
 328
 329 definition clear_mark ≝
 330   λalpha:FinSet.mk_TM (FinProd … alpha FinBool) clear_mark_states
 331   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
 332     match a with
 333     [ None ⇒ 〈clear1,None ?〉
 334     | Some a' ⇒ match pi1 … q with
 335       [ O ⇒ let 〈a'',b〉 ≝ a' in 〈clear1,Some ? 〈〈a'',false〉,N〉〉
 336       | S q ⇒ 〈clear1,None ?〉 ] ])
 337   clear0 (λq.q == clear1).
 338
 339 definition R_clear_mark ≝ λalpha,t1,t2.
 340   (current ? t1 = None ? → t1 = t2) ∧
 341   ∀ls,c,b,rs.
 342   t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈c,b〉 rs →
 343   t2 = midtape ? ls 〈c,false〉 rs.
 344
 345 lemma sem_clear_mark :
 346   ∀alpha.Realize ? (clear_mark alpha) (R_clear_mark alpha).
 347 #alpha #intape @(ex_intro ?? 2) cases intape
 348 [ @ex_intro
 349   [| % [ % | % [#_ %|#ls #c #b #rs #Hfalse destruct ]]]
 350 |#a #al @ex_intro
 351   [| % [ % | % [#_ %|#ls #c #b #rs #Hfalse destruct ]]]
 352 |#a #al @ex_intro
 353   [| % [ % | % [#_ %|#ls #c #b #rs #Hfalse destruct ]]]
 354 | #ls * #c #b #rs
 355   @ex_intro [| % [ % | %
 356   [whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct| #ls0 #c0 #b0 #rs0 #H1 destruct (H1) % ]]]]
 357 qed.
 358
 359 (* ADVANCE MARK RIGHT machine
 360
 361    clears mark on current char,
 362    moves right, and marks new current char
 363
 364 *)
 365
 366 definition adv_mark_r ≝
 367   λalpha:FinSet.
 368     clear_mark alpha · move_r ? · mark alpha.
 369
 370 definition R_adv_mark_r ≝ λalpha,t1,t2.
 371   (∀ls,c.
 372     (∀d,b,rs.
 373      t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈c,true〉 (〈d,b〉::rs) →
 374      t2 = midtape ? (〈c,false〉::ls) 〈d,true〉 rs) ∧
 375     (t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈c,true〉 [ ] →
 376      t2 = rightof ? 〈c,false〉 ls)) ∧
 377   (current ? t1 = None ? → t1 = t2).
 378
 379 lemma sem_adv_mark_r :
 380   ∀alpha.Realize ? (adv_mark_r alpha) (R_adv_mark_r alpha).
 381 #alpha
 382 @(sem_seq_app … (sem_clear_mark …)
 383          (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark alpha)) …)
 384 #intape #outtape whd in ⊢ (%→?); * #ta *
 385 whd in ⊢ (%→?); #Hs1 whd in ⊢ (%→?); * #tb * #Hs2 whd in ⊢ (%→?); #Hs3 %
 386   [#ls #c %
 387     [#d #b #rs #Hintape @(proj1 … Hs3 ?? b ?)
 388      @(proj2 … Hs2 ls 〈c,false〉 (〈d,b〉::rs))
 389      @(proj2 ?? Hs1 … Hintape)
 390     |#Hintape lapply (proj2 ?? Hs1 … Hintape) #Hta lapply (proj2 … Hs2 … Hta)
 391      whd in ⊢ ((???%)→?); #Htb <Htb @(proj2 … Hs3) >Htb //
 392     ]
 393   |#Hcur lapply(proj1 ?? Hs1 … Hcur) #Hta >Hta >Hta in Hcur; #Hcur
 394    lapply (proj1 ?? Hs2 … Hcur) #Htb >Htb >Htb in Hcur; #Hcur
 395    @sym_eq @(proj2 ?? Hs3) @Hcur
 396   ]
 397 qed.
 398
 399 (* ADVANCE TO MARK (left)
 400
 401 axiomatized
 402
 403 *)
 404 definition atml_step ≝
 405   λalpha:FinSet.λtest:alpha→bool.
 406   mk_TM alpha atm_states
 407   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
 408    match a with
 409    [ None ⇒ 〈atm1, None ?〉
 410    | Some a' ⇒
 411      match test a' with
 412      [ true ⇒ 〈atm1,None ?〉
 413      | false ⇒ 〈atm2,Some ? 〈a',L〉〉 ]])
 414   atm0 (λx.notb (x == atm0)).
 415
 416 definition Ratml_step_true ≝
 417   λalpha,test,t1,t2.
 418    ∃ls,a,rs.
 419    t1 = midtape alpha ls a rs ∧ test a = false ∧
 420    t2 = mk_tape alpha (tail ? ls) (option_hd ? ls) (a :: rs).
 421
 422 definition Ratml_step_false ≝
 423   λalpha,test,t1,t2.
 424     t1 = t2 ∧
 425     (current alpha t1 = None ? ∨
 426      (∃a.current ? t1 = Some ? a ∧ test a = true)).
 427
 428 lemma atml_q0_q1 :
 429   ∀alpha,test,ls,a0,rs. test a0 = true →
 430   step alpha (atml_step alpha test)
 431     (mk_config ?? atm0 (midtape … ls a0 rs)) =
 432   mk_config alpha (states ? (atml_step alpha test)) atm1
 433     (midtape … ls a0 rs).
 434 #alpha #test #ls #a0 #ts #Htest whd in ⊢ (??%?);
 435 whd in match (trans … 〈?,?〉); >Htest %
 436 qed.
 437
 438 lemma atml_q0_q2 :
 439   ∀alpha,test,ls,a0,rs. test a0 = false →
 440   step alpha (atml_step alpha test)
 441     (mk_config ?? atm0 (midtape … ls a0 rs)) =
 442   mk_config alpha (states ? (atml_step alpha test)) atm2
 443     (mk_tape … (tail ? ls) (option_hd ? ls) (a0 :: rs)).
 444 #alpha #test #ls #a0 #rs #Htest whd in ⊢ (??%?);
 445 whd in match (trans … 〈?,?〉); >Htest cases ls //
 446 qed.
 447
 448 lemma sem_atml_step :
 449   ∀alpha,test.
 450   accRealize alpha (atml_step alpha test)
 451     atm2 (Ratml_step_true alpha test) (Ratml_step_false alpha test).
 452 #alpha #test *
 453 [ @(ex_intro ?? 2)
 454   @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (niltape ?))) %
 455   [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
 456 | #a #al @(ex_intro ?? 2) @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (leftof ? a al)))
 457   % [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
 458 | #a #al @(ex_intro ?? 2) @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (rightof ? a al)))
 459   % [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
 460 | #ls #c #rs @(ex_intro ?? 2)
 461   cases (true_or_false (test c)) #Htest
 462   [ @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 ?))
 463     [| %
 464       [ %
 465         [ whd in ⊢ (??%?); >atml_q0_q1 //
 466         | whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct ]
 467       | #_ % // %2 @(ex_intro ?? c) % // ]
 468     ]
 469   | @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm2 (mk_tape ? (tail ? ls) (option_hd ? ls) (c::rs))))
 470     %
 471     [ %
 472       [ whd in ⊢ (??%?); >atml_q0_q2 //
 473       | #_ @(ex_intro ?? ls) @(ex_intro ?? c) @(ex_intro ?? rs)
 474         % // % //
 475       ]
 476     | #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
 477     ]
 478   ]
 479 ]
 480 qed.
 481
 482 definition R_adv_to_mark_l ≝ λalpha,test,t1,t2.
 483   (current ? t1 = None ? → t1 = t2) ∧
 484   ∀ls,c,rs.
 485   (t1 = midtape alpha ls c rs  →
 486   ((test c = true → t2 = t1) ∧
 487    (test c = false →
 488     (∀ls1,b,ls2. ls = ls1@b::ls2 →
 489      test b = true → (∀x.memb ? x ls1 = true → test x = false) →
 490      t2 = midtape ? ls2 b (reverse ? ls1@c::rs)) ∧
 491     ((∀x.memb ? x ls = true → test x = false) →
 492       ∀a,l. reverse ? (c::ls) = a::l → t2 = leftof ? a (l@rs))
 493      ))).
 494
 495 definition adv_to_mark_l ≝
 496   λalpha,test.whileTM alpha (atml_step alpha test) atm2.
 497
 498 lemma wsem_adv_to_mark_l :
 499   ∀alpha,test.
 500   WRealize alpha (adv_to_mark_l alpha test) (R_adv_to_mark_l alpha test).
 501 #alpha #test #t #i #outc #Hloop
 502 lapply (sem_while … (sem_atml_step alpha test) t i outc Hloop) [%]
 503 -Hloop * #t1 * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 504 [ * #Htapea *
 505   [ #H1 %
 506     [#_ @Htapea
 507     |#ls #c #rs #H2 >H2 in H1; whd in ⊢ (??%? → ?);
 508      #Hfalse destruct (Hfalse)
 509     ]
 510   | * #a * #Ha #Htest %
 511     [>Ha #H destruct (H);
 512     |#ls #c #rs #H2 %
 513       [#Hc <Htapea //
 514       |#Hc @False_ind >H2 in Ha; whd in ⊢ ((??%?)→?);
 515        #H destruct (H) /2/
 516       ]
 517     ]
 518   ]
 519 | #tapeb #tapec #Hleft #Hright #IH #HRfalse
 520   lapply (IH HRfalse) -IH #IH %
 521   [cases Hleft #ls0 * #a0 * #rs0 * * #Htapea #_ #_ >Htapea
 522    whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 523   |#ls #c #rs #Htapea %
 524     [#Hc cases Hleft #ls0 * #a0 * #rs0 * * #Htapea' #Htest @False_ind
 525      >Htapea' in Htapea; #H destruct /2/
 526     |cases Hleft #ls0 * #a * #rs0 *
 527      * #Htapea1 >Htapea in Htapea1; #H destruct (H) #_ #Htapeb
 528      #Hc %
 529       [*
 530         [#b #ls2 #Hls >Hls in Htapeb; #Htapeb #Htestb #_
 531          cases (proj2 ?? IH … Htapeb) #H1 #_ >H1 // >Htapeb %
 532         |#l1 #ls1 #b #ls2 #Hls >Hls in Htapeb; #Htapeb #Htestb #Hmemb
 533          cases (proj2 ?? IH … Htapeb) #_ #H1 >reverse_cons >associative_append
 534          @(proj1 ?? (H1 ?) … (refl …) Htestb …)
 535           [@Hmemb @memb_hd
 536           |#x #memx @Hmemb @memb_cons @memx
 537           ]
 538         ]
 539       |cases ls0 in Htapeb; normalize in ⊢ (%→?);
 540         [#Htapeb #Htest #a0 #l whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hrev destruct (Hrev)
 541          >Htapeb in IH; #IH cases (proj1 ?? IH … (refl …)) //
 542         |#l1 #ls1 #Htapeb
 543          cases (proj2 ?? IH … Htapeb) #_ #H1 #Htest #a0 #l
 544          <(reverse_reverse … l) cases (reverse … l)
 545           [#H cut (a::l1::ls1 = [a0])
 546             [<(reverse_reverse  … (a::l1::ls1)) >H //]
 547            #Hrev destruct (Hrev)
 548           |#a1 #l2 >reverse_cons >reverse_cons >reverse_cons
 549            #Hrev cut ([a] = [a1])
 550             [@(append_l2_injective_r ?? (a0::reverse … l2) … Hrev) //]
 551            #Ha <Ha >associative_append @(proj2 ?? (H1 ?))
 552             [@Htest @memb_hd
 553             |#x #membx @Htest @memb_cons @membx
 554             |<(append_l1_injective_r ?? (a0::reverse … l2) … Hrev) //
 555             ]
 556           ]
 557         ]
 558       ]
 559     ]
 560   ]
 561 qed.
 562
 563 lemma terminate_adv_to_mark_l :
 564   ∀alpha,test.
 565   ∀t.Terminate alpha (adv_to_mark_l alpha test) t.
 566 #alpha #test #t
 567 @(terminate_while … (sem_atml_step alpha test))
 568   [ %
 569   | cases t
 570     [ % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * * #Hfalse destruct (Hfalse)
 571     |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * * #Hfalse destruct (Hfalse)
 572     | #ls elim ls
 573       [#c #rs % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * *
 574        #H1 destruct (H1) #Hc0 #Ht1 normalize in Ht1;
 575        % #t2 * #ls1 * #c1 * #rs1 * * >Ht1
 576        normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 577       | #rs0 #r0 #IH #ls #c % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * *
 578         #H1 destruct (H1) #Hc0 #Ht1 normalize in Ht1;
 579         >Ht1 @IH
 580       ]
 581     ]
 582   ]
 583 qed.
 584
 585 lemma sem_adv_to_mark_l :
 586   ∀alpha,test.
 587   Realize alpha (adv_to_mark_l alpha test) (R_adv_to_mark_l alpha test).
 588 /2/
 589 qed.
 590
 591 (*
 592    ADVANCE BOTH MARKS machine
 593
 594    l1 does not contain marks ⇒
 595
 596
 597    input:
 598    l0 x* a l1 x0* a0 l2
 599               ^
 600
 601    output:
 602    l0 x a* l1 x0 a0* l2
 603         ^
 604 *)
 605
 606 definition adv_both_marks ≝ λalpha.
 607   adv_mark_r alpha · move_l ? ·
 608     adv_to_mark_l (FinProd alpha FinBool) (is_marked alpha) ·
 609       adv_mark_r alpha.
 610
 611 definition R_adv_both_marks ≝ λalpha,t1,t2.
 612   ∀ls,x0,rs.
 613     t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈x0,true〉 rs →
 614      (rs = [ ] → (* first case: rs empty *)
 615        t2 = rightof (FinProd … alpha FinBool) 〈x0,false〉 ls) ∧
 616      (∀l0,x,a,a0,b,l1,l1',l2.
 617        ls = (l1@〈x,true〉::l0) →
 618        (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 619        rs = (〈a0,b〉::l2) →
 620        reverse ? (〈x0,false〉::l1) = 〈a,false〉::l1' →
 621        t2 = midtape ? (〈x,false〉::l0) 〈a,true〉 (l1'@〈a0,true〉::l2)).
 622
 623 lemma sem_adv_both_marks :
 624   ∀alpha.Realize ? (adv_both_marks alpha) (R_adv_both_marks alpha).
 625 #alpha
 626 @(sem_seq_app … (sem_adv_mark_r …)
 627    (sem_seq ????? (sem_move_l …)
 628       (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 629         (sem_adv_mark_r alpha))) …)
 630 #intape #outtape * #tapea * #Hta * #tb * #Htb * #tc * #Htc #Hout
 631 #ls #c #rs #Hintape %
 632   [#Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape lapply (proj2 ?? (proj1 ?? Hta … ) … Hintape) -Hta #Hta
 633    lapply (proj1 … Htb) >Hta -Htb #Htb lapply (Htb (refl …)) -Htb #Htb
 634    lapply (proj1 ?? Htc) <Htb -Htc #Htc lapply (Htc (refl …)) -Htc #Htc
 635    @sym_eq >Htc @(proj2 ?? Hout …) <Htc %
 636   |#l0 #x #a #a0 #b #l1 #l1' #l2 #Hls #Hmarks #Hrs #Hrev
 637    >Hrs in Hintape; >Hls #Hintape
 638    @(proj1 ?? (proj1 ?? Hout … ) ? false) -Hout
 639    lapply (proj1 … (proj1 … Hta …) … Hintape) #Htapea
 640    lapply (proj2 … Htb  … Htapea) -Htb
 641    whd in match (mk_tape ????) ; #Htapeb
 642    lapply (proj1 ?? (proj2 ?? (proj2 ?? Htc … Htapeb) (refl …))) -Htc #Htc
 643    change with ((?::?)@?) in match (cons ???); <Hrev >reverse_cons
 644    >associative_append @Htc [%|%|@Hmarks]
 645   ]
 646 qed.
 647
 648 (*
 649 definition R_adv_both_marks ≝
 650   λalpha,t1,t2.
 651     ∀l0,x,a,l1,x0,a0,l2. (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 652     (t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 653         (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 (〈a0,false〉::l2) →
 654      t2 = midtape ? (〈x,false〉::l0) 〈a,true〉 (reverse ? l1@〈x0,false〉::〈a0,true〉::l2)) ∧
 655      (t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 656         (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 [] →
 657      t2 = rightof ? 〈x0,false〉 (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0)).
 658
 659 lemma sem_adv_both_marks :
 660   ∀alpha.Realize ? (adv_both_marks alpha) (R_adv_both_marks alpha).
 661 #alpha #intape
 662 cases (sem_seq ????? (sem_adv_mark_r …)
 663         (sem_seq ????? (sem_move_l …)
 664           (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 665             (sem_adv_mark_r alpha))) intape)
 666 #k * #outc * #Hloop whd in ⊢ (%→?);
 667 * #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hs1 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hs2
 668 * #tc * whd in ⊢ (%→%→?); #Hs3 #Hs4
 669 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) %
 670 [ @Hloop
 671 | -Hloop #l0 #x #a #l1 #x0 #a0 #l2 #Hl1 #Hintape
 672   @(Hs4 … false) -Hs4
 673   lapply (Hs1 … Hintape) #Hta
 674   lapply (proj2 … Hs2 … Hta) #Htb
 675   cases (Hs3 … Htb)
 676   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse)
 677   | * #_ -Hs3 #Hs3
 678     lapply (Hs3 (l1@[〈a,false〉]) 〈x,true〉 l0 ???)
 679     [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1)
 680       [ @Hl1
 681       | #Hx1' >(memb_single … Hx1') % ]
 682     | %
 683     | >associative_append %
 684     | >reverse_append #Htc @Htc ]
 685   ]
 686 qed. *)
 687
 688 (*
 689    MATCH AND ADVANCE(f)
 690
 691    input:
 692    l0 x* a l1 x0* a0 l2
 693               ^
 694
 695    output:
 696    l0 x a* l1 x0 a0* l2   (f(x0) == true)
 697         ^
 698    l0 x* a l1 x0* a0 l2   (f(x0) == false)
 699               ^
 700 *)
 701
 702 definition match_and_adv ≝
 703   λalpha,f.ifTM ? (test_char ? f)
 704      (adv_both_marks alpha) (clear_mark ?) tc_true.
 705
 706 definition R_match_and_adv ≝
 707   λalpha,f,t1,t2.
 708     ∀ls,x0,rs.
 709      t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈x0,true〉 rs →
 710     ((* first case: (f 〈x0,true〉 = false) *)
 711      (f 〈x0,true〉 = false) →
 712        t2 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈x0,false〉 rs) ∧
 713     ((f 〈x0,true〉 = true) →  rs = [ ] → (* second case: rs empty *)
 714        t2 = rightof (FinProd … alpha FinBool) 〈x0,false〉 ls) ∧
 715     ((f 〈x0,true〉 = true) →
 716      ∀l0,x,a,a0,b,l1,l1',l2.
 717      (* third case: we expect to have a mark on the left! *)
 718      ls = (l1@〈x,true〉::l0) →
 719      (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 720      rs = 〈a0,b〉::l2 →
 721      reverse ? (〈x0,false〉::l1) = 〈a,false〉::l1' →
 722        t2 = midtape ? (〈x,false〉::l0) 〈a,true〉 (l1'@〈a0,true〉::l2)).
 723
 724 lemma sem_match_and_adv :
 725   ∀alpha,f.Realize ? (match_and_adv alpha f) (R_match_and_adv alpha f).
 726 #alpha #f #intape
 727 cases (sem_if ? (test_char ? f) … tc_true (sem_test_char ? f) (sem_adv_both_marks alpha) (sem_clear_mark ?) intape)
 728 #k * #outc * #Hloop #Hif @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)
 729 % [ @Hloop ] -Hloop
 730 (*
 731 @(sem_if_app … (sem_test_char ? f) (sem_adv_both_marks alpha) (sem_clear_mark ?))
 732 #intape #outape #Htb * #H *)
 733 cases Hif -Hif
 734 [ * #ta * whd in ⊢ (%→%→?); * * #c * #Hcurrent #fc #Hta #Houtc
 735   #ls #x #rs #Hintape >Hintape in Hcurrent; whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H) %
 736   [%[>fc #H destruct (H)
 737     |#_ #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape >Hintape in Hta; #Hta
 738      cases (Houtc … Hta) #Houtc #_ @Houtc //
 739     ]
 740   |#l0 #x0 #a #a0 #b #l1 #l1' #l2 #Hls #Hmarks #Hrs #Hrev >Hintape in Hta; #Hta
 741    @(proj2 ?? (Houtc … Hta) … Hls Hmarks Hrs Hrev)
 742   ]
 743 | * #ta * * #H #Hta * #_ #Houtc #ls #c #rs #Hintape
 744    >Hintape in H; #H lapply(H … (refl …)) #fc %
 745   [%[#_ >Hintape in Hta; #Hta @(Houtc … Hta)
 746     |>fc #H destruct (H)
 747     ]
 748   |>fc #H destruct (H)
 749   ]
 750 ]
 751 qed.
 752
 753 definition R_match_and_adv_of ≝
 754   λalpha,t1,t2.current (FinProd … alpha FinBool) t1 = None ? → t2 = t1.
 755
 756 lemma sem_match_and_adv_of :
 757   ∀alpha,f.Realize ? (match_and_adv alpha f) (R_match_and_adv_of alpha).
 758 #alpha #f #intape
 759 cases (sem_if ? (test_char ? f) … tc_true (sem_test_char ? f) (sem_adv_both_marks alpha) (sem_clear_mark ?) intape)
 760 #k * #outc * #Hloop #Hif @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)
 761 % [ @Hloop ] -Hloop
 762 cases Hif
 763 [ * #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hta #Houtc #Hcur
 764   cases Hta * #x >Hcur * #Hfalse destruct (Hfalse)
 765 | * #ta * whd in ⊢ (%→%→?); * #_ #Hta * #Houtc #_ <Hta #Hcur >(Houtc Hcur) % ]
 766 qed.
 767
 768 lemma sem_match_and_adv_full :
 769   ∀alpha,f.Realize ? (match_and_adv alpha f)
 770     (R_match_and_adv alpha f ∩ R_match_and_adv_of alpha).
 771 #alpha #f #intape cases (sem_match_and_adv ? f intape)
 772 #i * #outc * #Hloop #HR1 %{i} %{outc} % // % //
 773 cases (sem_match_and_adv_of ? f intape) #i0 * #outc0 * #Hloop0 #HR2
 774 >(loop_eq … Hloop Hloop0) //
 775 qed.
 776
 777 definition comp_step_subcase ≝ λalpha,c,elseM.
 778   ifTM ? (test_char ? (λx.x == c))
 779     (move_r … · adv_to_mark_r ? (is_marked alpha) · match_and_adv ? (λx.x == c))
 780     elseM tc_true.
 781
 782 definition R_comp_step_subcase ≝
 783   λalpha,c,RelseM,t1,t2.
 784     ∀ls,x,rs.t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈x,true〉 rs →
 785     (〈x,true〉 = c →
 786      ((* test true but no marks in rs *)
 787       (∀c.memb ? c rs = true → is_marked ? c = false) →
 788        ∀a,l. (a::l) = reverse ? (〈x,true〉::rs) →
 789        t2 = rightof (FinProd alpha FinBool) a (l@ls)) ∧
 790     ∀l1,x0,l2.
 791      (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 792       rs = l1@〈x0,true〉::l2 →
 793       (x = x0 →
 794        l2 = [ ] → (* test true but l2 is empty *)
 795        t2 = rightof ? 〈x0,false〉 ((reverse ? l1)@〈x,true〉::ls))  ∧
 796       (x = x0 →
 797        ∀a,a0,b,l1',l2'. (* test true and l2 is not empty *)
 798        〈a,false〉::l1' = l1@[〈x0,false〉] →
 799        l2 = 〈a0,b〉::l2' →
 800        t2 = midtape ? (〈x,false〉::ls) 〈a,true〉 (l1'@〈a0,true〉::l2')) ∧
 801       (x ≠ x0 →(* test false *)
 802       t2 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ((reverse ? l1)@〈x,true〉::ls) 〈x0,false〉 l2)) ∧
 803     (〈x,true〉 ≠ c → RelseM t1 t2).
 804
 805 lemma dec_marked: ∀alpha,rs.
 806  decidable (∀c.memb ? c rs = true → is_marked alpha c = false).
 807 #alpha #rs elim rs
 808   [%1 #n normalize #H destruct
 809   |#a #tl cases (true_or_false (is_marked ? a)) #Ha
 810     [#_ %2 % #Hall @(absurd ?? not_eq_true_false) <Ha
 811      @Hall @memb_hd
 812     |* [#Hall %1 #c #memc cases (orb_true_l … memc)
 813          [#eqca >(\P eqca) @Ha |@Hall]
 814     |#Hnall %2 @(not_to_not … Hnall) #Hall #c #memc @Hall @memb_cons //
 815     ]
 816   qed.
 817
 818 (* axiom daemon:∀P:Prop.P. *)
 819
 820 lemma sem_comp_step_subcase :
 821   ∀alpha,c,elseM,RelseM.
 822   Realize ? elseM RelseM →
 823   Realize ? (comp_step_subcase alpha c elseM)
 824     (R_comp_step_subcase alpha c RelseM).
 825 #alpha #c #elseM #RelseM #Helse #intape
 826 cases (sem_if ? (test_char ? (λx.x == c)) … tc_true
 827         (sem_test_char ? (λx.x == c))
 828         (sem_seq ????? (sem_move_r …)
 829           (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_r ? (is_marked alpha))
 830              (sem_match_and_adv_full ? (λx.x == c)))) Helse intape)
 831 #k * #outc * #Hloop #HR @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)
 832 % [ @Hloop ] -Hloop cases HR -HR
 833   [* #ta * whd in ⊢ (%→?); * * #cin * #Hcin #Hcintrue #Hta * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 834    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc * whd in ⊢ (%→%→?); #Houtc #Houtc1
 835    #ls #x #rs #Hintape >Hintape in Hcin; whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H) %
 836     [#_ cases (dec_marked ? rs) #Hdec
 837       [%
 838         [#_ #a #l1
 839          >Hintape in Hta; #Hta
 840          lapply (proj2 ?? Htb … Hta) -Htb -Hta cases rs in Hdec;
 841            (* by cases on rs *)
 842            [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htb >Htb in Htc; #Htc
 843             lapply (proj1 ?? Htc (refl …)) -Htc #Htc <Htc in Houtc1; #Houtc1
 844             normalize in ⊢ (???%→?); #Hl1 destruct(Hl1) @(Houtc1 (refl …))
 845            |#r0 #rs0 #Hdec whd in ⊢ ((???%)→?); #Htb >Htb in Htc; #Htc
 846             >reverse_cons >reverse_cons #Hl1
 847             cases (proj2 ?? Htc … (refl …))
 848             [* >(Hdec …) [ #Hfalse destruct(Hfalse) ] @memb_hd
 849             |* #_ -Htc #Htc cut (∃l2.l1 = l2@[〈x,true〉])
 850              [generalize in match Hl1; -Hl1 <(reverse_reverse … l1)
 851               cases (reverse ? l1)
 852               [#Hl1 cut ([a]=〈x,true〉::r0::rs0)
 853                [ <(reverse_reverse … (〈x,true〉::r0::rs0))
 854                  >reverse_cons >reverse_cons <Hl1 %
 855                | #Hfalse destruct(Hfalse)]
 856               |#a0 #l10 >reverse_cons #Heq
 857                lapply (append_l2_injective_r ? (a::reverse ? l10) ???? Heq) //
 858                #Ha0 destruct(Ha0) /2/ ]
 859              |* #l2 #Hl2 >Hl2 in Hl1; #Hl1
 860               lapply (append_l1_injective_r ? (a::l2) … Hl1) // -Hl1 #Hl1
 861               >reverse_cons in Htc; #Htc lapply (Htc … (sym_eq … Hl1))
 862               [ #x0 #Hmemb @Hdec @memb_cons @Hmemb ]
 863               -Htc #Htc >Htc in Houtc1; #Houtc1 >associative_append @Houtc1 %
 864              ]
 865             ]
 866            ]
 867         |#l1 #x0 #l2 #_ #Hrs @False_ind
 868          @(absurd ?? not_eq_true_false)
 869          change with (is_marked ? 〈x0,true〉) in match true;
 870          @Hdec >Hrs @memb_append_l2 @memb_hd
 871         ]
 872       |% [#H @False_ind @(absurd …H Hdec)]
 873        (* by cases on l1 *) *
 874         [#x0 #l2 #Hdec normalize in ⊢ (%→?); #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape
 875          >Hintape in Hta; (* * * #x1 * whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H) #Hx *)
 876          #Hta lapply (proj2 … Htb … Hta) -Htb -Hta
 877          whd in match (mk_tape ????); whd in match (tail ??); #Htb cases Htc -Htc
 878          #_ #Htc cases (Htc … Htb) -Htc
 879           [2: * * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 880          * * #Htc >Htb in Htc; -Htb #Htc cases (Houtc … Htc) -Houtc *
 881          #H1 #H2 #H3 cases (true_or_false (x==x0)) #eqxx0
 882           [>(\P eqxx0) % [2: #H @False_ind /2/] %
 883             [#_ #Hl2 >(H2 … Hl2) <(\P eqxx0) [% | @Hcintrue]
 884             |#_ #a #a0 #b #l1' #l2' normalize in ⊢ (%→?); #Hdes destruct (Hdes)
 885              #Hl2 @(H3 … Hdec … Hl2) <(\P eqxx0) [@Hcintrue | % | @reverse_single]
 886             ]
 887           |% [% #eqx @False_ind lapply (\Pf eqxx0) #Habs @(absurd … eqx Habs)]
 888            #_ @H1 @(\bf ?) @(not_to_not ??? (\Pf eqxx0)) <(\P Hcintrue)
 889            #Hdes destruct (Hdes) %
 890           ]
 891         |#l1hd #l1tl #x0 #l2 #Hdec normalize in ⊢ (%→?); #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape
 892          >Hintape in Hta; (* * * #x1 * whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H) #Hx *)
 893          #Hta lapply (proj2 … Htb … Hta) -Htb -Hta
 894          whd in match (mk_tape ????); whd in match (tail ??); #Htb cases Htc -Htc
 895          #_ #Htc cases (Htc … Htb) -Htc
 896           [* #Hfalse @False_ind >(Hdec … (memb_hd …)) in Hfalse; #H destruct]
 897          * * #_ #Htc lapply (Htc … (refl …) (refl …) ?) -Htc
 898           [#x1 #membx1 @Hdec @memb_cons @membx1] #Htc
 899          cases (Houtc … Htc) -Houtc *
 900          #H1 #H2 #H3 #_ cases (true_or_false (x==x0)) #eqxx0
 901           [>(\P eqxx0) % [2: #H @False_ind /2/] %
 902             [#_ #Hl2 >(H2 … Hl2) <(\P eqxx0)
 903               [>reverse_cons >associative_append % | @Hcintrue]
 904             |#_ #a #a0 #b #l1' #l2' normalize in ⊢ (%→?); #Hdes (* destruct (Hdes) *)
 905              #Hl2 @(H3 ?????? (reverse … (l1hd::l1tl)) … Hl2) <(\P eqxx0)
 906               [@Hcintrue
 907               |>reverse_cons >associative_append %
 908               |#c0 #memc @Hdec <(reverse_reverse ? (l1hd::l1tl)) @memb_reverse @memc
 909               |>Hdes >reverse_cons >reverse_reverse >(\P eqxx0) %
 910               ]
 911             ]
 912           |% [% #eqx @False_ind lapply (\Pf eqxx0) #Habs @(absurd … eqx Habs)]
 913            #_ >reverse_cons >associative_append @H1 @(\bf ?)
 914            @(not_to_not ??? (\Pf eqxx0)) <(\P Hcintrue) #Hdes
 915            destruct (Hdes) %
 916           ]
 917         ]
 918       ]
 919     |>(\P Hcintrue) * #Hfalse @False_ind @Hfalse %
 920     ]
 921   | * #ta * * #Hcur #Hta #Houtc
 922     #l0 #x #rs #Hintape >Hintape in Hcur; #Hcur lapply (Hcur ? (refl …)) -Hcur #Hc %
 923     [ #Hfalse >Hfalse in Hc; #Hc cases (\Pf Hc) #Hc @False_ind @Hc %
 924     | -Hc #Hc <Hintape <Hta @Houtc ] ]
 925 qed.
 926
 927 (*
 928 - se marcato, itero
 929 - se non è marcato
 930   + se è un bit, ho fallito il confronto della tupla corrente
 931   + se è un separatore, la tupla fa match
 932
 933
 934 ifTM ? (test_char ? is_marked)
 935   (single_finalTM … (comp_step_subcase unialpha 〈bit false,true〉
 936     (comp_step_subcase unialpha 〈bit true,true〉
 937       (clear_mark …))))
 938   (nop ?)
 939 *)
 940
 941 definition comp_step ≝
 942   ifTM ? (test_char ? (is_marked ?))
 943   (single_finalTM … (comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit false,true〉
 944     (comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit true,true〉
 945       (comp_step_subcase FSUnialpha 〈null,true〉
 946         (clear_mark …)))))
 947   (nop ?)
 948   tc_true.
 949
 950 (* da spostare *)
 951
 952 lemma mem_append : ∀A,x,l1,l2. mem A x (l1@l2) →
 953   mem A x l1 ∨ mem A x l2.
 954 #A #x #l1 elim l1 normalize [/2/]
 955 #a #tl #Hind #l2 * [#eqxa %1 /2/ |#memx cases (Hind … memx) /3/]
 956 qed.
 957
 958 let rec split_on A (l:list A) f acc on l ≝
 959   match l with
 960   [ nil ⇒ 〈acc,nil ?〉
 961   | cons a tl ⇒
 962     if f a then 〈acc,a::tl〉 else split_on A tl f (a::acc)
 963   ].
 964
 965 lemma split_on_spec: ∀A:DeqSet.∀l,f,acc,res1,res2.
 966   split_on A l f acc = 〈res1,res2〉 →
 967     (∃l1. res1 = l1@acc ∧
 968     reverse ? l1@res2 = l ∧
 969     ∀x. memb ? x l1 =true → f x = false) ∧
 970     ∀a,tl. res2 = a::tl → f a = true.
 971 #A #l #f elim l
 972   [#acc #res1 #res2 normalize in ⊢ (%→?); #H destruct %
 973     [@(ex_intro … []) % normalize [% % | #x #H destruct]
 974     |#a #tl #H destruct
 975     ]
 976   |#a #tl #Hind #acc #res1 #res2 normalize in ⊢ (%→?);
 977    cases (true_or_false (f a)) #Hfa >Hfa normalize in ⊢ (%→?);
 978    #H destruct
 979    [% [@(ex_intro … []) % normalize [% % | #x #H destruct]
 980       |#a1 #tl1 #H destruct (H) //]
 981    |cases (Hind (a::acc) res1 res2 H) * #l1 * *
 982     #Hres1 #Htl #Hfalse #Htrue % [2:@Htrue] @(ex_intro … (l1@[a])) %
 983      [% [>associative_append @Hres1 | >reverse_append <Htl % ]
 984      |#x #Hmemx cases (memb_append ???? Hmemx)
 985         [@Hfalse | #H >(memb_single … H) //]
 986      ]
 987    ]
 988   ]
 989 qed.
 990
 991 axiom mem_reverse: ∀A,l,x. mem A x (reverse ? l) → mem A x l.
 992
 993 lemma split_on_spec_ex: ∀A:DeqSet.∀l,f.∃l1,l2.
 994     l1@l2 = l ∧ (∀x:A. memb ? x l1 = true → f x = false) ∧
 995     ∀a,tl. l2 = a::tl → f a = true.
 996 #A #l #f @(ex_intro … (reverse … (\fst (split_on A l f []))))
 997 @(ex_intro … (\snd (split_on A l f [])))
 998 cases (split_on_spec A l f [ ] ?? (eq_pair_fst_snd …)) * #l1 * *
 999 >append_nil #Hl1 >Hl1 #Hl #Hfalse #Htrue %
1000   [% [@Hl|#x #memx @Hfalse <(reverse_reverse … l1) @memb_reverse //] | @Htrue]
1001 qed.
1002
1003 (* versione esistenziale *)
1004
1005 definition R_comp_step_true ≝ λt1,t2.
1006   ∃ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls 〈c,true〉 rs ∧
1007     ((* bit_or_null c = false *)
1008     (bit_or_null c = false → t2 = midtape ? ls 〈c,false〉 rs) ∧
1009     (* no marks in rs *)
1010     (bit_or_null c = true →
1011       (∀c.memb ? c rs = true → is_marked ? c = false) →
1012        ∀a,l. (a::l) = reverse ? (〈c,true〉::rs) →
1013        t2 = rightof (FinProd FSUnialpha FinBool) a (l@ls)) ∧
1014     (∀l1,c0,l2.
1015       bit_or_null c = true →
1016       (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
1017       rs = l1@〈c0,true〉::l2 →
1018       (c = c0 →
1019        l2 = [ ] → (* test true but l2 is empty *)
1020        t2 = rightof ? 〈c0,false〉 ((reverse ? l1)@〈c,true〉::ls))  ∧
1021       (c = c0 →
1022        ∀a,a0,b,l1',l2'. (* test true and l2 is not empty *)
1023        〈a,false〉::l1' = l1@[〈c0,false〉] →
1024        l2 = 〈a0,b〉::l2' →
1025        t2 = midtape ? (〈c,false〉::ls) 〈a,true〉 (l1'@〈a0,true〉::l2')) ∧
1026       (c ≠ c0 →(* test false *)
1027        t2 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool)
1028          ((reverse ? l1)@〈c,true〉::ls) 〈c0,false〉 l2))).
1029
1030 definition R_comp_step_false ≝
1031   λt1,t2.
1032    ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
1033    is_marked ? c = false ∧ t2 = t1.
1034
1035 lemma is_marked_to_exists: ∀alpha,c. is_marked alpha c = true →
1036  ∃c'. c = 〈c',true〉.
1037 #alpha * #c * [#_ @(ex_intro … c) //| normalize #H destruct]
1038 qed.
1039
1040 lemma exists_current: ∀alpha,c,t.
1041   current alpha t = Some alpha c → ∃ls,rs. t= midtape ? ls c rs.
1042 #alpha #c *
1043   [whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct
1044   |#a #l whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct
1045   |#a #l whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct
1046   |#ls #c1 #rs whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct
1047    @(ex_intro … ls) @(ex_intro … rs) //
1048   ]
1049 qed.
1050
1051 lemma sem_comp_step :
1052   accRealize ? comp_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
1053     R_comp_step_true R_comp_step_false.
1054 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (is_marked ?))
1055         (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit false,true〉 ??
1056           (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit true,true〉 ??
1057             (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈null,true〉 ??
1058               (sem_clear_mark …))))
1059         (sem_nop …) …)
1060 [#intape #outape #ta #Hta #Htb cases Hta * #cm * #Hcur
1061  cases (exists_current … Hcur) #ls * #rs #Hintape #cmark
1062  cases (is_marked_to_exists … cmark) #c #Hcm
1063  >Hintape >Hcm -Hintape -Hcm #Hta
1064  @(ex_intro … ls) @(ex_intro … c) @(ex_intro …rs) % [//] lapply Hta -Hta
1065  (* #ls #c #rs #Hintape whd in Hta;
1066  >Hintape in Hta; * #_ -Hintape  forse non serve *)
1067  cases (true_or_false (c==bit false)) #Hc
1068   [>(\P Hc) #Hta %
1069     [%[whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hdes destruct
1070       |#Hc @(proj1 ?? (proj1 ?? (Htb … Hta) (refl …)))
1071       ]
1072     |#l1 #c0 #l2 #Hc @(proj2 ?? (proj1 ?? (Htb … Hta) (refl …)))
1073     ]
1074   |cases (true_or_false (c==bit true)) #Hc1
1075     [>(\P Hc1) #Hta
1076       cut (〈bit true, true〉 ≠ 〈bit false, true〉) [% #Hdes destruct] #Hneq %
1077       [%[whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hdes destruct
1078         |#Hc @(proj1 … (proj1 ?? (proj2 ?? (Htb … Hta) Hneq … Hta) (refl …)))
1079         ]
1080       |#l1 #c0 #l2 #Hc @(proj2 ?? (proj1 ?? (proj2 ?? (Htb … Hta) Hneq … Hta)(refl …)))
1081       ]
1082     |cases (true_or_false (c==null)) #Hc2
1083       [>(\P Hc2) #Hta
1084         cut (〈null, true〉 ≠ 〈bit false, true〉) [% #Hdes destruct] #Hneq
1085         cut (〈null, true〉 ≠ 〈bit true, true〉) [% #Hdes destruct] #Hneq1 %
1086         [%[whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hdes destruct
1087           |#Hc @(proj1 … (proj1 ?? (proj2 ?? (proj2 ?? (Htb … Hta) Hneq … Hta) Hneq1 … Hta) (refl …)))
1088           ]
1089         |#l1 #c0 #l2 #Hc @(proj2 ?? (proj1 ?? (proj2 ?? (proj2 ?? (Htb … Hta) Hneq … Hta) Hneq1 … Hta) (refl …)))
1090         ]
1091       |#Hta cut (bit_or_null c = false)
1092         [lapply Hc; lapply Hc1; lapply Hc2 -Hc -Hc1 -Hc2
1093          cases c normalize [* normalize /2/] /2/] #Hcut %
1094         [%[cases (Htb … Hta) #_ -Htb #Htb
1095            cases (Htb … Hta) [2: % #H destruct (H) normalize in Hc; destruct] #_ -Htb #Htb
1096            cases (Htb … Hta) [2: % #H destruct (H) normalize in Hc1; destruct] #_ -Htb #Htb
1097            lapply (Htb ?) [% #H destruct (H) normalize in Hc2; destruct]
1098            * #_ #Houttape #_ @(Houttape … Hta)
1099           |>Hcut #H destruct
1100           ]
1101         |#l1 #c0 #l2 >Hcut #H destruct
1102         ]
1103       ]
1104     ]
1105   ]
1106 |#intape #outape #ta #Hta #Htb #ls #c #rs #Hintape
1107  >Hintape in Hta; whd in ⊢ (%→?); * #Hmark #Hta % [@Hmark //]
1108  whd in Htb; >Htb //
1109 ]
1110 qed.
1111
1112 (* compare *)
1113
1114 definition compare ≝
1115   whileTM ? comp_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
1116
1117 (*
1118 definition R_compare :=
1119   λt1,t2.
1120   (t
1121
1122   ∀ls,c,b,rs.t1 = midtape ? ls 〈c,b〉 rs →
1123   (b = true → rs = ....) →
1124   (b = false ∧ ....) ∨
1125   (b = true ∧
1126
1127    rs = cs@l1@〈c0,true〉::cs0@l2
1128    (
1129
1130
1131   ls 〈c,b〉 cs l1 〈c0,b0〉 cs0 l2
1132
1133
1134 ACCETTAZIONE:
1135   ls (hd (Ls@〈grid,false〉))* (tail (Ls@〈grid,false〉)) l1 (hd (Ls@〈comma,false〉))* (tail (Ls@〈comma,false〉)) l2
1136      ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
1137
1138   ls Ls 〈grid,false〉 l1 Ls 〈comma,true〉 l2
1139         ^^^^^^^^^^^^
1140
1141 RIFIUTO: c ≠ d
1142
1143   ls (hd (Ls@〈c,false〉))* (tail (Ls@〈c,false〉)) l1 (hd (Ls@〈d,false〉))* (tail (Ls@〈d,false〉)) l2
1144      ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
1145
1146
1147   ls Ls 〈c,true〉 l1 Ls 〈d,false〉 l2
1148                        ^^^^^^^^
1149
1150   ).
1151
1152   |bs| = |b0s| →
1153   (∃la,d.〈b,true〉::bs = la@[〈grid,d〉] ∧ ∀x.memb ? x la → is_bit (\fst x) = true) →
1154   (∃lb,d0.〈b0,true〉::b0s = lb@[〈comma,d0〉] ∧ ∀x.memb ? x lb → is_bit (\fst x) = true) →
1155   t1 = midtape ? l0 〈b,true〉 (bs@l1@〈b0,true〉::b0s@l2 →
1156
1157   mk_tape left (option current) right
1158
1159   (b = grid ∧ b0 = comma ∧ bs = [] ∧ b0s = [] ∧
1160    t2 = midtape ? l0 〈grid,false〉 (l1@〈comma,true〉::l2)) ∨
1161   (b = bit x ∧ b = c ∧ bs = b0s
1162   *)
1163
1164 definition list_cases2: ∀A.∀P:list A →list A →Prop.∀l1,l2. |l1| = |l2| →
1165 P [ ] [ ] → (∀a1,a2:A.∀tl1,tl2. |tl1| = |tl2| → P (a1::tl1) (a2::tl2)) → P l1 l2.
1166 #A #P #l1 #l2 #Hlen lapply Hlen @(list_ind2 … Hlen) //
1167 #tl1 #tl2 #hd1 #hd2 #Hind normalize #HlenS #H1 #H2 @H2 //
1168 qed.
1169
1170 definition R_compare :=
1171   λt1,t2.
1172   ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
1173   (∀c'.bit_or_null c' = false → c = 〈c',true〉 → t2 = midtape ? ls 〈c',false〉 rs) ∧
1174   (∀c'. c = 〈c',false〉 → t2 = t1) ∧
1175 (* forse manca il caso no marks in rs *)
1176   ∀b,b0,bs,b0s,l1,l2.
1177   |bs| = |b0s| →
1178   (∀c.memb (FinProd … FSUnialpha FinBool) c bs = true → bit_or_null (\fst c) = true) →
1179   (∀c.memb (FinProd … FSUnialpha FinBool) c b0s = true → bit_or_null (\fst c) = true) →
1180   (∀c.memb ? c bs = true → is_marked ? c = false) →
1181   (∀c.memb ? c b0s = true → is_marked ? c = false) →
1182   (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
1183   c = 〈b,true〉 → bit_or_null b = true →
1184   rs = bs@〈grid,false〉::l1@〈b0,true〉::b0s@〈comma,false〉::l2 →
1185   (〈b,true〉::bs = 〈b0,true〉::b0s ∧
1186    t2 = midtape ? (reverse ? bs@〈b,false〉::ls)
1187           〈grid,false〉 (l1@〈b0,false〉::b0s@〈comma,true〉::l2)) ∨
1188   (∃la,c',d',lb,lc.c' ≠ d' ∧
1189     〈b,false〉::bs = la@〈c',false〉::lb ∧
1190     〈b0,false〉::b0s = la@〈d',false〉::lc ∧
1191     t2 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) (reverse ? la@
1192                     reverse ? l1@
1193                     〈grid,false〉::
1194                     reverse ? lb@
1195                     〈c',true〉::
1196                     reverse ? la@ls)
1197                     〈d',false〉 (lc@〈comma,false〉::l2)).
1198
1199 lemma wsem_compare : WRealize ? compare R_compare.
1200 #t #i #outc #Hloop
1201 lapply (sem_while ?????? sem_comp_step t i outc Hloop) [%]
1202 -Hloop * #t1 * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
1203 [ whd in ⊢ (%→?); #Rfalse #ls #c #rs #Htapea %
1204   [ %
1205     [ #c' #Hc' #Hc lapply (Rfalse … Htapea) -Rfalse * >Hc
1206       whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
1207     | #c' #Hc lapply (Rfalse … Htapea) -Rfalse * #_
1208       #Htrue @Htrue ]
1209   | #b #b0 #bs #b0s #l1 #l2 #Hlen #Hbs1 #Hb0s1 #Hbs2 #Hb0s2 #Hl1 #Hc
1210     cases (Rfalse … Htapea) -Rfalse >Hc whd in ⊢ (??%?→?);#Hfalse destruct (Hfalse)
1211   ]
1212 | #tapeb #tapec #Hleft #Hright #IH #Htapec lapply (IH Htapec) -Htapec -IH #IH
1213   whd in Hleft; #ls #c #rs #Htapea cases Hleft -Hleft
1214   #ls0 * #c' * #rs0 * >Htapea #Hdes destruct (Hdes) * *
1215   cases (true_or_false (bit_or_null c')) #Hc'
1216   [2: #Htapeb lapply (Htapeb Hc') -Htapeb #Htapeb #_ #_ %
1217     [%[#c1 #Hc1 #Heqc destruct (Heqc)
1218        cases (IH … Htapeb) * #_ #H #_ <Htapeb @(H … (refl…))
1219       |#c1 #Heqc destruct (Heqc)
1220       ]
1221     |#b #b0 #bs #b0s #l1 #l2 #_ #_ #_ #_ #_ #_
1222      #Heq destruct (Heq) >Hc' #Hfalse @False_ind destruct (Hfalse)
1223     ]
1224   |#_ (* no marks in rs ??? *) #_ #Hleft %
1225     [ %
1226       [ #c'' #Hc'' #Heq destruct (Heq) >Hc'' in Hc'; #H destruct (H)
1227       | #c0 #Hfalse destruct (Hfalse)
1228       ]
1229     |#b #b0 #bs #b0s #l1 #l2 #Hlen #Hbs1 #Hb0s1 #Hbs2 #Hb0s2 #Hl1
1230      #Heq destruct (Heq) #_ >append_cons; <associative_append #Hrs
1231      cases (Hleft …  Hc' … Hrs) -Hleft
1232       [2: #c1 #memc1 cases (memb_append … memc1) -memc1 #memc1
1233         [cases (memb_append … memc1) -memc1 #memc1
1234           [@Hbs2 @memc1 |>(memb_single … memc1) %]
1235         |@Hl1 @memc1
1236         ]
1237       |* (* manca il caso in cui dopo una parte uguale il
1238             secondo nastro finisca ... ???? *)
1239        #_ cases (true_or_false (b==b0)) #eqbb0
1240         [2: #_ #Htapeb %2 lapply (Htapeb … (\Pf eqbb0)) -Htapeb #Htapeb
1241          cases (IH … Htapeb) * #_ #Hout #_
1242          @(ex_intro … []) @(ex_intro … b) @(ex_intro … b0)
1243          @(ex_intro … bs) @(ex_intro … b0s) %
1244           [%[%[@(\Pf eqbb0) | %] | %]
1245           |>(Hout … (refl …)) -Hout >Htapeb @eq_f3 [2,3:%]
1246            >reverse_append >reverse_append >associative_append
1247            >associative_append %
1248           ]
1249         |lapply Hbs1 lapply Hb0s1 lapply Hbs2 lapply Hb0s2 lapply Hrs
1250          -Hbs1 -Hb0s1 -Hbs2 -Hb0s2 -Hrs
1251          @(list_cases2 … Hlen)
1252           [#Hrs #_ #_ #_ #_ >associative_append >associative_append #Htapeb #_
1253            lapply (Htapeb … (\P eqbb0) … (refl …) (refl …)) -Htapeb #Htapeb
1254            cases (IH … Htapeb) -IH * #Hout #_ #_ %1 %
1255             [>(\P eqbb0) %
1256             |>(Hout grid (refl …) (refl …)) @eq_f
1257              normalize >associative_append %
1258             ]
1259           |* #a1 #ba1 * #a2 #ba2 #tl1 #tl2 #HlenS #Hrs #Hb0s2 #Hbs2 #Hb0s1 #Hbs1
1260            cut (ba1 = false) [@(Hbs2 〈a1,ba1〉) @memb_hd] #Hba1 >Hba1
1261            >associative_append >associative_append #Htapeb #_
1262            lapply (Htapeb … (\P eqbb0) … (refl …) (refl …)) -Htapeb #Htapeb
1263            cases (IH … Htapeb) -IH * #_ #_
1264            cut (ba2=false) [@(Hb0s2 〈a2,ba2〉) @memb_hd] #Hba2 >Hba2
1265            #IH cases(IH a1 a2 ?? (l1@[〈b0,false〉]) l2 HlenS ????? (refl …) ??)
1266             [3:#x #memx @Hbs1 @memb_cons @memx
1267             |4:#x #memx @Hb0s1 @memb_cons @memx
1268             |5:#x #memx @Hbs2 @memb_cons @memx
1269             |6:#x #memx @Hb0s2 @memb_cons @memx
1270             |7:#x #memx cases (memb_append …memx) -memx #memx
1271               [@Hl1 @memx | >(memb_single … memx) %]
1272             |8:@(Hbs1 〈a1,ba1〉) @memb_hd
1273             |9: >associative_append >associative_append %
1274             |-IH -Hbs1 -Hb0s1 -Hbs2 -Hrs *
1275              #Ha1a2 #Houtc %1 %
1276               [>(\P eqbb0) @eq_f destruct (Ha1a2) %
1277               |>Houtc @eq_f3
1278                 [>reverse_cons >associative_append %
1279                 |%
1280                 |>associative_append %
1281                 ]
1282               ]
1283             |-IH -Hbs1 -Hb0s1 -Hbs2 -Hrs *
1284              #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * *
1285              #Hcd #H1 #H2 #Houtc %2
1286              @(ex_intro … (〈b,false〉::la)) @(ex_intro … c') @(ex_intro … d')
1287              @(ex_intro … lb) @(ex_intro … lc) %
1288               [%[%[@Hcd | >H1 %] |>(\P eqbb0) >Hba2 >H2 %]
1289               |>Houtc @eq_f3
1290                 [>(\P eqbb0) >reverse_append >reverse_cons
1291                  >reverse_cons >associative_append >associative_append
1292                  >associative_append >associative_append %
1293                 |%
1294                 |%
1295                 ]
1296               ]
1297             ]
1298           ]
1299         ]
1300       ]
1301     ]
1302   ]
1303 ]
1304 qed.
1305
1306 lemma WF_cst_niltape:
1307   WF ? (inv ? R_comp_step_true) (niltape (FinProd FSUnialpha FinBool)).
1308 @wf #t1 whd in ⊢ (%→?); * #ls * #c * #rs * #H destruct
1309 qed.
1310
1311 lemma WF_cst_rightof:
1312   ∀a,ls. WF ? (inv ? R_comp_step_true) (rightof (FinProd FSUnialpha FinBool) a ls).
1313 #a #ls @wf #t1 whd in ⊢ (%→?); * #ls * #c * #rs * #H destruct
1314 qed.
1315
1316 lemma WF_cst_leftof:
1317   ∀a,ls. WF ? (inv ? R_comp_step_true) (leftof (FinProd FSUnialpha FinBool) a ls).
1318 #a #ls @wf #t1 whd in ⊢ (%→?); * #ls * #c * #rs * #H destruct
1319 qed.
1320
1321 lemma WF_cst_midtape_false:
1322   ∀ls,c,rs. WF ? (inv ? R_comp_step_true)
1323     (midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls 〈c,false〉 rs).
1324 #ls #c #rs @wf #t1 whd in ⊢ (%→?); * #ls' * #c' * #rs' * #H destruct
1325 qed.
1326
1327 (* da spostare *)
1328 lemma not_nil_to_exists:∀A.∀l: list A. l ≠ [ ] →
1329  ∃a,tl. a::tl = l.
1330  #A * [* #H @False_ind @H // | #a #tl #_ @(ex_intro … a) @(ex_intro … tl) //]
1331  qed.
1332
1333 lemma terminate_compare:
1334   ∀t. Terminate ? compare t.
1335 #t @(terminate_while … sem_comp_step) [%]
1336 cases t // #ls * #c * //
1337 #rs
1338 (* we cannot proceed by structural induction on the right tape,
1339    since compare moves the marks! *)
1340 cut (∃len. |rs| = len) [/2/]
1341 * #len lapply rs lapply c lapply ls -ls -c -rs elim len
1342   [#ls #c #rs #Hlen >(lenght_to_nil … Hlen) @wf #t1 whd in ⊢ (%→?); * #ls0 * #c0 * #rs0 * #Hmid destruct (Hmid)
1343    * * #H1 #H2 #_ cases (true_or_false (bit_or_null c0)) #Hc0
1344     [>(H2 Hc0 … (refl …)) // #x whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hdes destruct
1345     |>(H1 Hc0) //
1346     ]
1347   |-len #len #Hind #ls #c #rs #Hlen @wf #t1 whd in ⊢ (%→?); * #ls0 * #c0 * #rs0 * #Hmid destruct (Hmid)
1348    * * #H1 #H2 #H3 cases (true_or_false (bit_or_null c0)) #Hc0
1349     [-H1 cases (split_on_spec_ex ? rs0 (is_marked ?)) #rs1 * #rs2
1350      cases rs2
1351       [(* no marks in right tape *)
1352        * * >append_nil #H >H -H #Hmarks #_
1353        cases (not_nil_to_exists ? (reverse (FSUnialpha×bool) (〈c0,true〉::rs0)) ?)
1354         [2: % >reverse_cons #H cases (nil_to_nil  … H) #_ #H1 destruct]
1355        #a0 * #tl #H4 >(H2 Hc0 Hmarks a0 tl H4) //
1356       |(* the first marked element is a0 *)
1357        * #a0 #a0b #rs3 * * #H4 #H5 #H6 lapply (H3 ? a0 rs3 … Hc0 H5 ?)
1358         [<H4 @eq_f @eq_f2 [@eq_f @(H6 〈a0,a0b〉 … (refl …)) | %]
1359         |cases (true_or_false (c0==a0)) #eqc0a0 (* comparing a0 with c0 *)
1360           [* * (* we check if we have elements at the right of a0 *)
1361             lapply H4 -H4 cases rs3
1362             [#_ #Ht1 #_ #_ >(Ht1 (\P eqc0a0) (refl …)) //
1363             |(* a1 will be marked *)
1364              cases (not_nil_to_exists ? (rs1@[〈a0,false〉]) ?)
1365                [2: % #H cases (nil_to_nil  … H) #_ #H1 destruct]
1366              * #a2 #a2b * #tl2 #H7 * #a1 #a1b #rs4 #H4 #_ #Ht1 #_
1367              cut (a2b =false)
1368                [lapply (memb_hd ? 〈a2,a2b〉 tl2) >H7 #mema2
1369                 cases (memb_append … mema2)
1370                  [@H5 |#H lapply(memb_single … H) #H2 destruct %]
1371                ]
1372              #Ha2b >Ha2b in H7; #H7
1373              >(Ht1 (\P eqc0a0) … H7 (refl …)) @Hind -Hind -Ht1 -Ha2b -H2 -H3 -H5 -H6
1374              <H4 in Hlen; >length_append normalize <plus_n_Sm #Hlen1
1375              >length_append normalize <(injective_S … Hlen1) @eq_f2 //
1376              cut (|〈a2,false〉::tl2|=|rs1@[〈a0,false〉]|) [>H7 %]
1377              >length_append normalize <plus_n_Sm <plus_n_O //
1378             ]
1379           |(* c0 =/= a0 *) * * #_ #_ #Ht1 >(Ht1 (\Pf eqc0a0)) //
1380           ]
1381         ]
1382       ]
1383     |>(H1 Hc0) //
1384     ]
1385 qed.
1386
1387 lemma sem_compare : Realize ? compare R_compare.
1388 /2/ qed.
1389
1390 (* new *)
1391 definition R_compare_new :=
1392   λt1,t2.
1393   ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
1394   (∀c'.bit_or_null c' = false → c = 〈c',true〉 → t2 = midtape ? ls 〈c',false〉 rs) ∧
1395   (∀c'. c = 〈c',false〉 → t2 = t1) ∧
1396 (* forse manca il caso no marks in rs *)
1397   ∀b,b0,bs,b0s,comma,l1,l2.
1398   |bs| = |b0s| →
1399   (∀c.memb (FinProd … FSUnialpha FinBool) c bs = true → bit_or_null (\fst c) = true) →
1400   (∀c.memb ? c bs = true → is_marked ? c = false) →
1401   (∀c.memb ? c b0s = true → is_marked ? c = false) →
1402   (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
1403   c = 〈b,true〉 → bit_or_null b = true →
1404   rs = bs@〈grid,false〉::l1@〈b0,true〉::b0s@〈comma,false〉::l2 →
1405   (〈b,true〉::bs = 〈b0,true〉::b0s ∧
1406    t2 = midtape ? (reverse ? bs@〈b,false〉::ls)
1407           〈grid,false〉 (l1@〈b0,false〉::b0s@〈comma,true〉::l2)) ∨
1408   (∃la,c',d',lb,lc.c' ≠ d' ∧
1409     〈b,false〉::bs = la@〈c',false〉::lb ∧
1410     〈b0,false〉::b0s = la@〈d',false〉::lc ∧
1411     t2 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) (reverse ? la@
1412                     reverse ? l1@
1413                     〈grid,false〉::
1414                     reverse ? lb@
1415                     〈c',true〉::
1416                     reverse ? la@ls)
1417                     〈d',false〉 (lc@〈comma,false〉::l2)).
1418
1419 lemma wsem_compare_new : WRealize ? compare R_compare_new.
1420 #t #i #outc #Hloop
1421 lapply (sem_while ?????? sem_comp_step t i outc Hloop) [%]
1422 -Hloop * #t1 * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
1423 [ #tapea whd in ⊢ (%→?); #Rfalse #ls #c #rs #Htapea %
1424   [ %
1425     [ #c' #Hc' #Hc lapply (Rfalse … Htapea) -Rfalse * >Hc
1426       whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
1427     | #c' #Hc lapply (Rfalse … Htapea) -Rfalse * #_
1428       #Htrue @Htrue ]
1429   | #b #b0 #bs #b0s #l1 #l2 #Hlen #Hbs1 #Hb0s1 #Hbs2 #Hb0s2 #Hl1 #Hc
1430     cases (Rfalse … Htapea) -Rfalse >Hc whd in ⊢ (??%?→?);#Hfalse destruct (Hfalse)
1431   ]
1432 | #tapea #tapeb #tapec #Hleft #Hright #IH #Htapec lapply (IH Htapec) -Htapec -IH #IH
1433   whd in Hleft; #ls #c #rs #Htapea cases Hleft -Hleft
1434   #ls0 * #c' * #rs0 * >Htapea #Hdes destruct (Hdes) * *
1435   cases (true_or_false (bit_or_null c')) #Hc'
1436   [2: #Htapeb lapply (Htapeb Hc') -Htapeb #Htapeb #_ #_ %
1437     [%[#c1 #Hc1 #Heqc destruct (Heqc)
1438        cases (IH … Htapeb) * #_ #H #_ <Htapeb @(H … (refl…))
1439       |#c1 #Heqc destruct (Heqc)
1440       ]
1441     |#b #b0 #bs #b0s #comma #l1 #l2 #_ #_ #_ #_ #_
1442      #Heq destruct (Heq) >Hc' #Hfalse @False_ind destruct (Hfalse)
1443     ]
1444   |#_ (* no marks in rs ??? *) #_ #Hleft %
1445     [ %
1446       [ #c'' #Hc'' #Heq destruct (Heq) >Hc'' in Hc'; #H destruct (H)
1447       | #c0 #Hfalse destruct (Hfalse)
1448       ]
1449     |#b #b0 #bs #b0s #comma #l1 #l2 #Hlen #Hbs1 #Hbs2 #Hb0s2 #Hl1
1450      #Heq destruct (Heq) #_ >append_cons; <associative_append #Hrs
1451      cases (Hleft …  Hc' … Hrs) -Hleft
1452       [2: #c1 #memc1 cases (memb_append … memc1) -memc1 #memc1
1453         [cases (memb_append … memc1) -memc1 #memc1
1454           [@Hbs2 @memc1 |>(memb_single … memc1) %]
1455         |@Hl1 @memc1
1456         ]
1457       |* (* manca il caso in cui dopo una parte uguale il
1458             secondo nastro finisca ... ???? *)
1459        #_ cases (true_or_false (b==b0)) #eqbb0
1460         [2: #_ #Htapeb %2 lapply (Htapeb … (\Pf eqbb0)) -Htapeb #Htapeb
1461          cases (IH … Htapeb) * #_ #Hout #_
1462          @(ex_intro … []) @(ex_intro … b) @(ex_intro … b0)
1463          @(ex_intro … bs) @(ex_intro … b0s) %
1464           [%[%[@(\Pf eqbb0) | %] | %]
1465           |>(Hout … (refl …)) -Hout >Htapeb @eq_f3 [2,3:%]
1466            >reverse_append >reverse_append >associative_append
1467            >associative_append %
1468           ]
1469         |lapply Hbs1 lapply Hbs2 lapply Hb0s2 lapply Hrs
1470          -Hbs1 -Hbs2 -Hb0s2 -Hrs
1471          @(list_cases2 … Hlen)
1472           [#Hrs #_ #_ #_ >associative_append >associative_append #Htapeb #_
1473            lapply (Htapeb … (\P eqbb0) … (refl …) (refl …)) -Htapeb #Htapeb
1474            cases (IH … Htapeb) -IH * #Hout #_ #_ %1 %
1475             [>(\P eqbb0) %
1476             |>(Hout grid (refl …) (refl …)) @eq_f
1477              normalize >associative_append %
1478             ]
1479           |* #a1 #ba1 * #a2 #ba2 #tl1 #tl2 #HlenS #Hrs #Hb0s2 #Hbs2 #Hbs1
1480            cut (ba1 = false) [@(Hbs2 〈a1,ba1〉) @memb_hd] #Hba1 >Hba1
1481            >associative_append >associative_append #Htapeb #_
1482            lapply (Htapeb … (\P eqbb0) … (refl …) (refl …)) -Htapeb #Htapeb
1483            cases (IH … Htapeb) -IH * #_ #_
1484            cut (ba2=false) [@(Hb0s2 〈a2,ba2〉) @memb_hd] #Hba2 >Hba2
1485            #IH cases(IH a1 a2 ??? (l1@[〈b0,false〉]) l2 HlenS ???? (refl …) ??)
1486             [4:#x #memx @Hbs1 @memb_cons @memx
1487             |5:#x #memx @Hbs2 @memb_cons @memx
1488             |6:#x #memx @Hb0s2 @memb_cons @memx
1489             |7:#x #memx cases (memb_append …memx) -memx #memx
1490               [@Hl1 @memx | >(memb_single … memx) %]
1491             |8:@(Hbs1 〈a1,ba1〉) @memb_hd
1492             |9: >associative_append >associative_append %
1493             |-IH -Hbs1 -Hbs2 -Hrs *
1494              #Ha1a2 #Houtc %1 %
1495               [>(\P eqbb0) @eq_f destruct (Ha1a2) %
1496               |>Houtc @eq_f3
1497                 [>reverse_cons >associative_append %
1498                 |%
1499                 |>associative_append %
1500                 ]
1501               ]
1502             |-IH -Hbs1 -Hbs2 -Hrs *
1503              #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * *
1504              #Hcd #H1 #H2 #Houtc %2
1505              @(ex_intro … (〈b,false〉::la)) @(ex_intro … c') @(ex_intro … d')
1506              @(ex_intro … lb) @(ex_intro … lc) %
1507               [%[%[@Hcd | >H1 %] |>(\P eqbb0) >Hba2 >H2 %]
1508               |>Houtc @eq_f3
1509                 [>(\P eqbb0) >reverse_append >reverse_cons
1510                  >reverse_cons >associative_append >associative_append
1511                  >associative_append >associative_append %
1512                 |%
1513                 |%
1514                 ]
1515               ]
1516             ]
1517           ]
1518         ]
1519       ]
1520     ]
1521   ]
1522 ]
1523 qed.