matita/matita/lib/turing/universal/marks.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/if_machine.ma".
  18 include "turing/basic_machines.ma".
  19 include "turing/universal/alphabet.ma".
  20
  21 (* ADVANCE TO MARK (right)
  22
  23    sposta la testina a destra fino a raggiungere il primo carattere marcato
  24
  25 *)
  26
  27 (* 0, a ≠ mark _ ⇒ 0, R
  28 0, a = mark _ ⇒ 1, N *)
  29
  30 definition atm_states ≝ initN 3.
  31
  32 definition atm0 : atm_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
  33 definition atm1 : atm_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
  34 definition atm2 : atm_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
  35
  36 definition atmr_step ≝
  37   λalpha:FinSet.λtest:alpha→bool.
  38   mk_TM alpha atm_states
  39   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
  40    match a with
  41    [ None ⇒ 〈atm1, None ?〉
  42    | Some a' ⇒
  43      match test a' with
  44      [ true ⇒ 〈atm1,None ?〉
  45      | false ⇒ 〈atm2,Some ? 〈a',R〉〉 ]])
  46   atm0 (λx.notb (x == atm0)).
  47
  48 definition Ratmr_step_true ≝
  49   λalpha,test,t1,t2.
  50    ∃ls,a,rs.
  51    t1 = midtape alpha ls a rs ∧ test a = false ∧
  52    t2 = mk_tape alpha (a::ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs).
  53
  54 definition Ratmr_step_false ≝
  55   λalpha,test,t1,t2.
  56     t1 = t2 ∧
  57     (current alpha t1 = None ? ∨
  58      (∃a.current ? t1 = Some ? a ∧ test a = true)).
  59
  60 lemma atmr_q0_q1 :
  61   ∀alpha,test,ls,a0,rs. test a0 = true →
  62   step alpha (atmr_step alpha test)
  63     (mk_config ?? atm0 (midtape … ls a0 rs)) =
  64   mk_config alpha (states ? (atmr_step alpha test)) atm1
  65     (midtape … ls a0 rs).
  66 #alpha #test #ls #a0 #ts #Htest whd in ⊢ (??%?);
  67 whd in match (trans … 〈?,?〉); >Htest %
  68 qed.
  69
  70 lemma atmr_q0_q2 :
  71   ∀alpha,test,ls,a0,rs. test a0 = false →
  72   step alpha (atmr_step alpha test)
  73     (mk_config ?? atm0 (midtape … ls a0 rs)) =
  74   mk_config alpha (states ? (atmr_step alpha test)) atm2
  75     (mk_tape … (a0::ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs)).
  76 #alpha #test #ls #a0 #ts #Htest whd in ⊢ (??%?);
  77 whd in match (trans … 〈?,?〉); >Htest cases ts //
  78 qed.
  79
  80 lemma sem_atmr_step :
  81   ∀alpha,test.
  82   accRealize alpha (atmr_step alpha test)
  83     atm2 (Ratmr_step_true alpha test) (Ratmr_step_false alpha test).
  84 #alpha #test *
  85 [ @(ex_intro ?? 2)
  86   @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (niltape ?))) %
  87   [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
  88 | #a #al @(ex_intro ?? 2) @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (leftof ? a al)))
  89   % [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
  90 | #a #al @(ex_intro ?? 2) @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (rightof ? a al)))
  91   % [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
  92 | #ls #c #rs @(ex_intro ?? 2)
  93   cases (true_or_false (test c)) #Htest
  94   [ @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 ?))
  95     [| %
  96       [ %
  97         [ whd in ⊢ (??%?); >atmr_q0_q1 //
  98         | whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct ]
  99       | #_ % // %2 @(ex_intro ?? c) % // ]
 100     ]
 101   | @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm2 (mk_tape ? (c::ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs))))
 102     %
 103     [ %
 104       [ whd in ⊢ (??%?); >atmr_q0_q2 //
 105       | #_ @(ex_intro ?? ls) @(ex_intro ?? c) @(ex_intro ?? rs)
 106         % // % //
 107       ]
 108     | #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
 109     ]
 110   ]
 111 ]
 112 qed.
 113
 114 definition R_adv_to_mark_r ≝ λalpha,test,t1,t2.
 115   (current ? t1 = None ? → t1 = t2) ∧
 116   ∀ls,c,rs.
 117   (t1 = midtape alpha ls c rs  →
 118   ((test c = true ∧ t2 = t1) ∨
 119    (test c = false ∧
 120     ∀rs1,b,rs2. rs = rs1@b::rs2 →
 121      test b = true → (∀x.memb ? x rs1 = true → test x = false) →
 122      t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) b rs2))).
 123
 124 definition adv_to_mark_r ≝
 125   λalpha,test.whileTM alpha (atmr_step alpha test) atm2.
 126
 127 lemma wsem_adv_to_mark_r :
 128   ∀alpha,test.
 129   WRealize alpha (adv_to_mark_r alpha test) (R_adv_to_mark_r alpha test).
 130 #alpha #test #t #i #outc #Hloop
 131 lapply (sem_while … (sem_atmr_step alpha test) t i outc Hloop) [%]
 132 -Hloop * #t1 * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 133 [ #tapea * #Htapea *
 134   [ #H1 %
 135     [#_ @Htapea
 136     |#ls #c #rs #H2 >H2 in H1; whd in ⊢ (??%? → ?);
 137      #Hfalse destruct (Hfalse)
 138     ]
 139   | * #a * #Ha #Htest %
 140     [ >Ha #H destruct (H);
 141     | #ls #c #rs #H2 %
 142      >H2 in Ha; whd in ⊢ (??%? → ?); #Heq destruct (Heq) % //
 143      <Htapea //
 144     ]
 145   ]
 146 | #tapea #tapeb #tapec #Hleft #Hright #IH #HRfalse
 147   lapply (IH HRfalse) -IH #IH %
 148   [cases Hleft #ls * #a * #rs * * #Htapea #_ #_ >Htapea
 149    whd in ⊢((??%?)→?); #H destruct (H);
 150   |#ls #c #rs #Htapea %2
 151    cases Hleft #ls0 * #a0 * #rs0 * * #Htapea' #Htest #Htapeb
 152    >Htapea' in Htapea; #Htapea destruct (Htapea) % // *
 153     [ #b #rs2 #Hrs >Hrs in Htapeb; #Htapeb #Htestb #_
 154      cases (proj2 ?? IH … Htapeb)
 155       [ * #_ #Houtc >Houtc >Htapeb %
 156       | * #Hfalse >Hfalse in Htestb; #Htestb destruct (Htestb) ]
 157     | #r1 #rs1 #b #rs2 #Hrs >Hrs in Htapeb; #Htapeb #Htestb #Hmemb
 158      cases (proj2 ?? IH … Htapeb)
 159       [ * #Hfalse >(Hmemb …) in Hfalse;
 160         [ #Hft destruct (Hft)
 161         | @memb_hd ]
 162       | * #Htestr1 #H1 >reverse_cons >associative_append
 163        @H1 // #x #Hx @Hmemb @memb_cons //
 164       ]
 165     ]
 166 qed.
 167
 168 lemma terminate_adv_to_mark_r :
 169   ∀alpha,test.
 170   ∀t.Terminate alpha (adv_to_mark_r alpha test) t.
 171 #alpha #test #t
 172 @(terminate_while … (sem_atmr_step alpha test))
 173   [ %
 174   | cases t
 175     [ % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * * #Hfalse destruct (Hfalse)
 176     |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * * #Hfalse destruct (Hfalse)
 177     | #ls #c #rs generalize in match c; -c generalize in match ls; -ls
 178       elim rs
 179       [#ls #c % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * *
 180        #H1 destruct (H1) #Hc0 #Ht1 normalize in Ht1;
 181        % #t2 * #ls1 * #c1 * #rs1 * * >Ht1
 182        normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 183       | #r0 #rs0 #IH #ls #c % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * *
 184         #H1 destruct (H1) #Hc0 #Ht1 normalize in Ht1;
 185         >Ht1 @IH
 186       ]
 187     ]
 188   ]
 189 qed.
 190
 191 lemma sem_adv_to_mark_r :
 192   ∀alpha,test.
 193   Realize alpha (adv_to_mark_r alpha test) (R_adv_to_mark_r alpha test).
 194 /2/
 195 qed.
 196
 197 (* MARK machine
 198
 199    marks the current character
 200  *)
 201
 202 definition mark_states ≝ initN 2.
 203
 204 definition ms0 : mark_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 2 (refl …)).
 205 definition ms1 : mark_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 2 (refl …)).
 206
 207 definition mark ≝
 208   λalpha:FinSet.mk_TM (FinProd … alpha FinBool) mark_states
 209   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
 210     match a with
 211     [ None ⇒ 〈ms1,None ?〉
 212     | Some a' ⇒ match (pi1 … q) with
 213       [ O ⇒ let 〈a'',b〉 ≝ a' in 〈ms1,Some ? 〈〈a'',true〉,N〉〉
 214       | S q ⇒ 〈ms1,None ?〉 ] ])
 215   ms0 (λq.q == ms1).
 216
 217 definition R_mark ≝ λalpha,t1,t2.
 218   (∀ls,c,b,rs.
 219      t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈c,b〉 rs →
 220      t2 = midtape ? ls 〈c,true〉 rs) ∧
 221   (current ? t1 = None ? → t2 = t1).
 222
 223 lemma sem_mark :
 224   ∀alpha.Realize ? (mark alpha) (R_mark alpha).
 225 #alpha #intape @(ex_intro ?? 2) cases intape
 226 [ @ex_intro
 227   [| % [ % | % [#ls #c #b #rs #Hfalse destruct | // ]]]
 228 |#a #al @ex_intro
 229   [| % [ % | % [#ls #c #b #rs #Hfalse destruct | // ]]]
 230 |#a #al @ex_intro
 231   [| % [ % | % [#ls #c #b #rs #Hfalse destruct ] // ]]
 232 | #ls * #c #b #rs
 233   @ex_intro [| % [ % | %
 234   [#ls0 #c0 #b0 #rs0 #H1 destruct (H1) %
 235   | whd in ⊢ ((??%?)→?); #H1 destruct (H1)]]]
 236 qed.
 237
 238
 239 (* MOVE RIGHT AND MARK machine
 240
 241    marks the first character on the right
 242
 243    (could be rewritten using (mark; move_right))
 244  *)
 245
 246 definition mrm_states ≝ initN 3.
 247
 248 definition mrm0 : mrm_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
 249 definition mrm1 : mrm_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
 250 definition mrm2 : mrm_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
 251
 252 definition move_right_and_mark ≝
 253   λalpha:FinSet.mk_TM (FinProd … alpha FinBool) mrm_states
 254   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
 255     match a with
 256     [ None ⇒ 〈mrm2,None ?〉
 257     | Some a' ⇒ match pi1 … q with
 258       [ O ⇒ 〈mrm1,Some ? 〈a',R〉〉
 259       | S q ⇒ match q with
 260         [ O ⇒ let 〈a'',b〉 ≝ a' in
 261               〈mrm2,Some ? 〈〈a'',true〉,N〉〉
 262         | S _ ⇒ 〈mrm2,None ?〉 ] ] ])
 263   mrm0 (λq.q == mrm2).
 264
 265 definition R_move_right_and_mark ≝ λalpha,t1,t2.
 266   ∀ls,c,d,b,rs.
 267   t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls c (〈d,b〉::rs) →
 268   t2 = midtape ? (c::ls) 〈d,true〉 rs.
 269
 270 lemma sem_move_right_and_mark :
 271   ∀alpha.Realize ? (move_right_and_mark alpha) (R_move_right_and_mark alpha).
 272 #alpha #intape @(ex_intro ?? 3) cases intape
 273 [ @ex_intro
 274   [| % [ % | #ls #c #d #b #rs #Hfalse destruct ] ]
 275 |#a #al @ex_intro
 276   [| % [ % | #ls #c #d #b #rs #Hfalse destruct ] ]
 277 |#a #al @ex_intro
 278   [| % [ % | #ls #c #d #b #rs #Hfalse destruct ] ]
 279 | #ls #c *
 280   [ @ex_intro [| % [ % | #ls0 #c0 #d0 #b0 #rs0 #Hfalse destruct ] ]
 281   | * #d #b #rs @ex_intro
 282     [| % [ % | #ls0 #c0 #d0 #b0 #rs0 #H1 destruct (H1) % ] ] ] ]
 283 qed.
 284
 285 (* CLEAR MARK machine
 286
 287    clears the mark in the current character
 288  *)
 289
 290 definition clear_mark_states ≝ initN 3.
 291
 292 definition clear0 : clear_mark_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
 293 definition clear1 : clear_mark_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
 294 definition claer2 : clear_mark_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
 295
 296 definition clear_mark ≝
 297   λalpha:FinSet.mk_TM (FinProd … alpha FinBool) clear_mark_states
 298   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
 299     match a with
 300     [ None ⇒ 〈clear1,None ?〉
 301     | Some a' ⇒ match pi1 … q with
 302       [ O ⇒ let 〈a'',b〉 ≝ a' in 〈clear1,Some ? 〈〈a'',false〉,N〉〉
 303       | S q ⇒ 〈clear1,None ?〉 ] ])
 304   clear0 (λq.q == clear1).
 305
 306 definition R_clear_mark ≝ λalpha,t1,t2.
 307   ∀ls,c,b,rs.
 308   t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈c,b〉 rs →
 309   t2 = midtape ? ls 〈c,false〉 rs.
 310
 311 lemma sem_clear_mark :
 312   ∀alpha.Realize ? (clear_mark alpha) (R_clear_mark alpha).
 313 #alpha #intape @(ex_intro ?? 2) cases intape
 314 [ @ex_intro
 315   [| % [ % | #ls #c #b #rs #Hfalse destruct ] ]
 316 |#a #al @ex_intro
 317   [| % [ % | #ls #c #b #rs #Hfalse destruct ] ]
 318 |#a #al @ex_intro
 319   [| % [ % | #ls #c #b #rs #Hfalse destruct ] ]
 320 | #ls * #c #b #rs
 321   @ex_intro [| % [ % | #ls0 #c0 #b0 #rs0 #H1 destruct (H1) % ] ] ]
 322 qed.
 323
 324 (* ADVANCE MARK RIGHT machine
 325
 326    clears mark on current char,
 327    moves right, and marks new current char
 328
 329 *)
 330
 331 definition adv_mark_r ≝
 332   λalpha:FinSet.
 333     clear_mark alpha · move_r ? · mark alpha.
 334
 335 definition R_adv_mark_r ≝ λalpha,t1,t2.
 336   ∀ls,c.
 337     (∀d,b,rs.
 338      t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈c,true〉 (〈d,b〉::rs) →
 339      t2 = midtape ? (〈c,false〉::ls) 〈d,true〉 rs) ∧
 340     (t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈c,true〉 [ ] →
 341      t2 = rightof ? 〈c,false〉 ls).
 342
 343 lemma sem_adv_mark_r :
 344   ∀alpha.Realize ? (adv_mark_r alpha) (R_adv_mark_r alpha).
 345 #alpha
 346 @(sem_seq_app … (sem_clear_mark …)
 347          (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark alpha)) …)
 348 #intape #outtape whd in ⊢ (%→?); * #ta *
 349 whd in ⊢ (%→?); #Hs1 whd in ⊢ (%→?); * #tb * #Hs2 whd in ⊢ (%→?); #Hs3
 350 #ls #c %
 351   [#d #b #rs #Hintape @(proj1 … Hs3 ?? b ?)
 352    @(proj2 … Hs2 ls 〈c,false〉 (〈d,b〉::rs))
 353    @(Hs1 … Hintape)
 354   |#Hintape lapply (Hs1 … Hintape) #Hta lapply (proj2 … Hs2 … Hta)
 355    whd in ⊢ ((???%)→?); #Htb <Htb @(proj2 … Hs3) >Htb //
 356   ]
 357 qed.
 358
 359 (* ADVANCE TO MARK (left)
 360
 361 axiomatized
 362
 363 *)
 364 definition atml_step ≝
 365   λalpha:FinSet.λtest:alpha→bool.
 366   mk_TM alpha atm_states
 367   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
 368    match a with
 369    [ None ⇒ 〈atm1, None ?〉
 370    | Some a' ⇒
 371      match test a' with
 372      [ true ⇒ 〈atm1,None ?〉
 373      | false ⇒ 〈atm2,Some ? 〈a',L〉〉 ]])
 374   atm0 (λx.notb (x == atm0)).
 375
 376 definition Ratml_step_true ≝
 377   λalpha,test,t1,t2.
 378    ∃ls,a,rs.
 379    t1 = midtape alpha ls a rs ∧ test a = false ∧
 380    t2 = mk_tape alpha (tail ? ls) (option_hd ? ls) (a :: rs).
 381
 382 definition Ratml_step_false ≝
 383   λalpha,test,t1,t2.
 384     t1 = t2 ∧
 385     (current alpha t1 = None ? ∨
 386      (∃a.current ? t1 = Some ? a ∧ test a = true)).
 387
 388 lemma atml_q0_q1 :
 389   ∀alpha,test,ls,a0,rs. test a0 = true →
 390   step alpha (atml_step alpha test)
 391     (mk_config ?? atm0 (midtape … ls a0 rs)) =
 392   mk_config alpha (states ? (atml_step alpha test)) atm1
 393     (midtape … ls a0 rs).
 394 #alpha #test #ls #a0 #ts #Htest whd in ⊢ (??%?);
 395 whd in match (trans … 〈?,?〉); >Htest %
 396 qed.
 397
 398 lemma atml_q0_q2 :
 399   ∀alpha,test,ls,a0,rs. test a0 = false →
 400   step alpha (atml_step alpha test)
 401     (mk_config ?? atm0 (midtape … ls a0 rs)) =
 402   mk_config alpha (states ? (atml_step alpha test)) atm2
 403     (mk_tape … (tail ? ls) (option_hd ? ls) (a0 :: rs)).
 404 #alpha #test #ls #a0 #rs #Htest whd in ⊢ (??%?);
 405 whd in match (trans … 〈?,?〉); >Htest cases ls //
 406 qed.
 407
 408 lemma sem_atml_step :
 409   ∀alpha,test.
 410   accRealize alpha (atml_step alpha test)
 411     atm2 (Ratml_step_true alpha test) (Ratml_step_false alpha test).
 412 #alpha #test *
 413 [ @(ex_intro ?? 2)
 414   @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (niltape ?))) %
 415   [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
 416 | #a #al @(ex_intro ?? 2) @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (leftof ? a al)))
 417   % [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
 418 | #a #al @(ex_intro ?? 2) @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (rightof ? a al)))
 419   % [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
 420 | #ls #c #rs @(ex_intro ?? 2)
 421   cases (true_or_false (test c)) #Htest
 422   [ @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 ?))
 423     [| %
 424       [ %
 425         [ whd in ⊢ (??%?); >atml_q0_q1 //
 426         | whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct ]
 427       | #_ % // %2 @(ex_intro ?? c) % // ]
 428     ]
 429   | @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm2 (mk_tape ? (tail ? ls) (option_hd ? ls) (c::rs))))
 430     %
 431     [ %
 432       [ whd in ⊢ (??%?); >atml_q0_q2 //
 433       | #_ @(ex_intro ?? ls) @(ex_intro ?? c) @(ex_intro ?? rs)
 434         % // % //
 435       ]
 436     | #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
 437     ]
 438   ]
 439 ]
 440 qed.
 441
 442 definition R_adv_to_mark_l ≝ λalpha,test,t1,t2.
 443   (current ? t1 = None ? → t1 = t2) ∧
 444   ∀ls,c,rs.
 445   (t1 = midtape alpha ls c rs  →
 446   ((test c = true → t2 = t1) ∧
 447    (test c = false →
 448     ∀ls1,b,ls2. ls = ls1@b::ls2 →
 449      test b = true → (∀x.memb ? x ls1 = true → test x = false) →
 450      t2 = midtape ? ls2 b (reverse ? ls1@c::rs)))).
 451
 452 definition adv_to_mark_l ≝
 453   λalpha,test.whileTM alpha (atml_step alpha test) atm2.
 454
 455 lemma wsem_adv_to_mark_l :
 456   ∀alpha,test.
 457   WRealize alpha (adv_to_mark_l alpha test) (R_adv_to_mark_l alpha test).
 458 #alpha #test #t #i #outc #Hloop
 459 lapply (sem_while … (sem_atml_step alpha test) t i outc Hloop) [%]
 460 -Hloop * #t1 * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 461 [ #tapea * #Htapea *
 462   [ #H1 %
 463     [#_ @Htapea
 464     |#ls #c #rs #H2 >H2 in H1; whd in ⊢ (??%? → ?);
 465      #Hfalse destruct (Hfalse)
 466     ]
 467   | * #a * #Ha #Htest %
 468     [>Ha #H destruct (H);
 469     |#ls #c #rs #H2 %
 470       [#Hc <Htapea //
 471       |#Hc @False_ind >H2 in Ha; whd in ⊢ ((??%?)→?);
 472        #H destruct (H) /2/
 473       ]
 474     ]
 475   ]
 476 | #tapea #tapeb #tapec #Hleft #Hright #IH #HRfalse
 477   lapply (IH HRfalse) -IH #IH %
 478   [cases Hleft #ls0 * #a0 * #rs0 * * #Htapea #_ #_ >Htapea
 479    whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 480   |#ls #c #rs #Htapea %
 481     [#Hc cases Hleft #ls0 * #a0 * #rs0 * * #Htapea' #Htest @False_ind
 482      >Htapea' in Htapea; #H destruct /2/
 483     |cases Hleft #ls0 * #a * #rs0 *
 484      * #Htapea1 >Htapea in Htapea1; #H destruct (H) #_ #Htapeb
 485      #Hc *
 486       [#b #ls2 #Hls >Hls in Htapeb; #Htapeb #Htestb #_
 487        cases (proj2 ?? IH … Htapeb) #H1 #_ >H1 // >Htapeb %
 488       |#l1 #ls1 #b #ls2 #Hls >Hls in Htapeb; #Htapeb #Htestb #Hmemb
 489        cases (proj2 ?? IH … Htapeb) #_ #H1 >reverse_cons >associative_append
 490        @(H1 … (refl …) Htestb)
 491         [@Hmemb @memb_hd
 492         |#x #memx @Hmemb @memb_cons @memx
 493         ]
 494       ]
 495     ]
 496   ]
 497 qed.
 498
 499 lemma terminate_adv_to_mark_l :
 500   ∀alpha,test.
 501   ∀t.Terminate alpha (adv_to_mark_l alpha test) t.
 502 #alpha #test #t
 503 @(terminate_while … (sem_atml_step alpha test))
 504   [ %
 505   | cases t
 506     [ % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * * #Hfalse destruct (Hfalse)
 507     |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * * #Hfalse destruct (Hfalse)
 508     | #ls elim ls
 509       [#c #rs % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * *
 510        #H1 destruct (H1) #Hc0 #Ht1 normalize in Ht1;
 511        % #t2 * #ls1 * #c1 * #rs1 * * >Ht1
 512        normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 513       | #rs0 #r0 #IH #ls #c % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * *
 514         #H1 destruct (H1) #Hc0 #Ht1 normalize in Ht1;
 515         >Ht1 @IH
 516       ]
 517     ]
 518   ]
 519 qed.
 520
 521 lemma sem_adv_to_mark_l :
 522   ∀alpha,test.
 523   Realize alpha (adv_to_mark_l alpha test) (R_adv_to_mark_l alpha test).
 524 /2/
 525 qed.
 526
 527 (*
 528    ADVANCE BOTH MARKS machine
 529
 530    l1 does not contain marks ⇒
 531
 532
 533    input:
 534    l0 x* a l1 x0* a0 l2
 535               ^
 536
 537    output:
 538    l0 x a* l1 x0 a0* l2
 539         ^
 540 *)
 541
 542 definition adv_both_marks ≝ λalpha.
 543   adv_mark_r alpha · move_l ? ·
 544     adv_to_mark_l (FinProd alpha FinBool) (is_marked alpha) ·
 545       adv_mark_r alpha.
 546
 547 definition R_adv_both_marks ≝
 548   λalpha,t1,t2.
 549     ∀l0,x,a,l1,x0. (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 550     (∀l1',a0,l2. t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 551         (l1@〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 (〈a0,false〉::l2) →
 552      reverse ? (〈x0,false〉::l1) = 〈a,false〉::l1' →
 553      t2 = midtape ? (〈x,false〉::l0) 〈a,true〉 (l1'@〈a0,true〉::l2)) ∧
 554      (t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 555         (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 [ ] →
 556      t2 = rightof ? 〈x0,false〉 (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0)).
 557
 558 lemma sem_adv_both_marks :
 559   ∀alpha.Realize ? (adv_both_marks alpha) (R_adv_both_marks alpha).
 560 #alpha
 561 @(sem_seq_app … (sem_adv_mark_r …)
 562    (sem_seq ????? (sem_move_l …)
 563       (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 564         (sem_adv_mark_r alpha))) …)
 565 #intape #outtape * #tapea * #Hta * #tb * #Htb * #tc * #Htc #Hout
 566 #l0 #x #a #l1 #x0 #Hmarks %
 567   [#l1' #a0 #l2 #Hintape #Hrev @(proj1 … (Hout … ) ? false) -Hout
 568    lapply (proj1 … (Hta ??) … Hintape) #Htapea
 569    lapply (proj2 … Htb  … Htapea) -Htb
 570    whd in match (mk_tape ????) ; #Htapeb
 571    lapply (proj2 ?? (proj2 ?? Htc … Htapeb) (refl …) … (refl …)) -Htc #Htc
 572    change with ((?::?)@?) in match (cons ???); <Hrev >reverse_cons
 573    >associative_append @Htc [%|@Hmarks]
 574   |#Hintape lapply (proj2 ?? (Hta … ) … Hintape) -Hta #Hta
 575    lapply (proj1 … Htb) >Hta -Htb #Htb lapply (Htb (refl …)) -Htb #Htb
 576    lapply (proj1 ?? Htc) <Htb -Htc #Htc lapply (Htc (refl …)) -Htc #Htc
 577 whd in ⊢ (%→?); * #ta whd #Hs1 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hs2
 578 * #tc * whd in ⊢ (%→%→?); #Hs3 #Hs4
 579 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) %
 580 [ @Hloop
 581 | -Hloop #l0 #x #a #l1 #x0 #a0 #l2 #Hl1 #Hintape
 582   @(Hs4 … false) -Hs4
 583   lapply (Hs1 … Hintape) #Hta
 584   lapply (proj2 … Hs2 … Hta) #Htb
 585   cases (Hs3 … Htb)
 586   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse)
 587   | * #_ -Hs3 #Hs3
 588     lapply (Hs3 (l1@[〈a,false〉]) 〈x,true〉 l0 ???)
 589     [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1)
 590       [ @Hl1
 591       | #Hx1' >(memb_single … Hx1') % ]
 592     | %
 593     | >associative_append %
 594     | >reverse_append #Htc @Htc ]
 595   ]
 596 qed.
 597
 598 definition R_adv_both_marks ≝
 599   λalpha,t1,t2.
 600     ∀l0,x,a,l1,x0,a0,l2. (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 601     (t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 602         (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 (〈a0,false〉::l2) →
 603      t2 = midtape ? (〈x,false〉::l0) 〈a,true〉 (reverse ? l1@〈x0,false〉::〈a0,true〉::l2)) ∧
 604      (t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 605         (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 [] →
 606      t2 = rightof ? 〈x0,false〉 (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0)).
 607
 608 lemma sem_adv_both_marks :
 609   ∀alpha.Realize ? (adv_both_marks alpha) (R_adv_both_marks alpha).
 610 #alpha #intape
 611 cases (sem_seq ????? (sem_adv_mark_r …)
 612         (sem_seq ????? (sem_move_l …)
 613           (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 614             (sem_adv_mark_r alpha))) intape)
 615 #k * #outc * #Hloop whd in ⊢ (%→?);
 616 * #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hs1 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hs2
 617 * #tc * whd in ⊢ (%→%→?); #Hs3 #Hs4
 618 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) %
 619 [ @Hloop
 620 | -Hloop #l0 #x #a #l1 #x0 #a0 #l2 #Hl1 #Hintape
 621   @(Hs4 … false) -Hs4
 622   lapply (Hs1 … Hintape) #Hta
 623   lapply (proj2 … Hs2 … Hta) #Htb
 624   cases (Hs3 … Htb)
 625   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse)
 626   | * #_ -Hs3 #Hs3
 627     lapply (Hs3 (l1@[〈a,false〉]) 〈x,true〉 l0 ???)
 628     [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1)
 629       [ @Hl1
 630       | #Hx1' >(memb_single … Hx1') % ]
 631     | %
 632     | >associative_append %
 633     | >reverse_append #Htc @Htc ]
 634   ]
 635 qed.
 636
 637 (*
 638    MATCH AND ADVANCE(f)
 639
 640    input:
 641    l0 x* a l1 x0* a0 l2
 642               ^
 643
 644    output:
 645    l0 x a* l1 x0 a0* l2   (f(x0) == true)
 646         ^
 647    l0 x* a l1 x0* a0 l2   (f(x0) == false)
 648               ^
 649 *)
 650
 651 definition match_and_adv ≝
 652   λalpha,f.ifTM ? (test_char ? f)
 653      (adv_both_marks alpha) (clear_mark ?) tc_true.
 654
 655 definition R_match_and_adv ≝
 656   λalpha,f,t1,t2.
 657     ∀l0,x,a,l1,x0,a0,l2. (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 658     t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 659         (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 (〈a0,false〉::l2) →
 660     (f 〈x0,true〉 = true ∧ t2 = midtape ? (〈x,false〉::l0) 〈a,true〉 (reverse ? l1@〈x0,false〉::〈a0,true〉::l2))
 661     ∨ (f 〈x0,true〉 = false ∧
 662     t2 = midtape ? (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,false〉 (〈a0,false〉::l2)).
 663
 664 lemma sem_match_and_adv :
 665   ∀alpha,f.Realize ? (match_and_adv alpha f) (R_match_and_adv alpha f).
 666 #alpha #f #intape
 667 cases (sem_if ? (test_char ? f) … tc_true (sem_test_char ? f) (sem_adv_both_marks alpha) (sem_clear_mark ?) intape)
 668 #k * #outc * #Hloop #Hif @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)
 669 % [ @Hloop ] -Hloop
 670 cases Hif
 671 [ * #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hta #Houtc
 672   #l0 #x #a #l1 #x0 #a0 #l2 #Hl1 #Hintape >Hintape in Hta;
 673   * * #x1 * whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H) #Hf #Hta % %
 674   [ @Hf | @Houtc [ @Hl1 | @Hta ] ]
 675 | * #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hta #Houtc
 676   #l0 #x #a #l1 #x0 #a0 #l2 #Hl1 #Hintape >Hintape in Hta;
 677   * #Hf #Hta %2 % [ @Hf % | >(Houtc … Hta) % ]
 678 ]
 679 qed.
 680
 681 (*
 682  if x = c
 683       then move_right; ----
 684            adv_to_mark_r;
 685            if current (* x0 *) = 0
 686               then advance_mark ----
 687                    adv_to_mark_l;
 688                    advance_mark
 689               else STOP
 690       else M
 691 *)
 692
 693 definition comp_step_subcase ≝ λalpha,c,elseM.
 694   ifTM ? (test_char ? (λx.x == c))
 695     (move_r … · adv_to_mark_r ? (is_marked alpha) · match_and_adv ? (λx.x == c))
 696     elseM tc_true.
 697
 698 definition R_comp_step_subcase ≝
 699   λalpha,c,RelseM,t1,t2.
 700     ∀l0,x,rs.t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) l0 〈x,true〉 rs →
 701     (〈x,true〉 = c ∧
 702      ∀a,l1,x0,a0,l2. (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 703      rs = 〈a,false〉::l1@〈x0,true〉::〈a0,false〉::l2 →
 704      ((x = x0 ∧
 705       t2 = midtape ? (〈x,false〉::l0) 〈a,true〉 (l1@〈x0,false〉::〈a0,true〉::l2)) ∨
 706       (x ≠ x0 ∧
 707       t2 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 708         (reverse ? l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,false〉 (〈a0,false〉::l2)))) ∨
 709     (〈x,true〉 ≠ c ∧ RelseM t1 t2).
 710
 711 lemma sem_comp_step_subcase :
 712   ∀alpha,c,elseM,RelseM.
 713   Realize ? elseM RelseM →
 714   Realize ? (comp_step_subcase alpha c elseM)
 715     (R_comp_step_subcase alpha c RelseM).
 716 #alpha #c #elseM #RelseM #Helse #intape
 717 cases (sem_if ? (test_char ? (λx.x == c)) … tc_true
 718         (sem_test_char ? (λx.x == c))
 719         (sem_seq ????? (sem_move_r …)
 720           (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_r ? (is_marked alpha))
 721              (sem_match_and_adv ? (λx.x == c)))) Helse intape)
 722 #k * #outc * #Hloop #HR @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)
 723 % [ @Hloop ] -Hloop cases HR -HR
 724 [ * #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 725   * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 726   #l0 #x #rs #Hintape cases (true_or_false (〈x,true〉==c)) #Hc
 727   [ % % [ @(\P Hc) ]
 728     #a #l1 #x0 #a0 #l2 #Hl1 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape
 729     >Hintape in Hta; * #_(* #x1 * whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H) #Hx *)
 730     #Hta lapply (proj2 … Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 731     cases (Htc … Htb) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 732     -Htc * #_ #Htc lapply (Htc l1 〈x0,true〉 (〈a0,false〉::l2) (refl ??) (refl ??) Hl1)
 733     -Htc #Htc cases (Houtc ???????? Htc) -Houtc
 734     [ * #Hx0 #Houtc %
 735       % [ <(\P Hx0) in Hc; #Hx lapply (\P Hx) #Hx' destruct (Hx') %
 736         | >Houtc >reverse_reverse % ]
 737     | * #Hx0 #Houtc %2
 738       % [ <(\P Hc) in Hx0; #Hx0 lapply (\Pf Hx0) @not_to_not #Hx' >Hx' %
 739         | >Houtc % ]
 740     | #x #membx @Hl1 <(reverse_reverse …l1) @memb_reverse @membx ]
 741   | %2 % [ @(\Pf Hc) ]
 742     >Hintape in Hta; * * #x1 * whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 743     >Hc #H destruct (H) ]
 744 | * #ta * whd in ⊢ (%→?); * #Hc #Hta #Helse #ls #c0 #rs #Hintape %2
 745   >Hintape in Hta; #Hta % [ @(\Pf (Hc …)) >Hintape % | <Hta @Helse ]
 746 ]
 747 qed.
 748
 749 (*
 750 - se marcato, itero
 751 - se non è marcato
 752   + se è un bit, ho fallito il confronto della tupla corrente
 753   + se è un separatore, la tupla fa match
 754
 755
 756 ifTM ? (test_char ? is_marked)
 757   (single_finalTM … (comp_step_subcase unialpha 〈bit false,true〉
 758     (comp_step_subcase unialpha 〈bit true,true〉
 759       (clear_mark …))))
 760   (nop ?)
 761 *)
 762
 763 definition comp_step ≝
 764   ifTM ? (test_char ? (is_marked ?))
 765   (single_finalTM … (comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit false,true〉
 766     (comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit true,true〉
 767       (comp_step_subcase FSUnialpha 〈null,true〉
 768         (clear_mark …)))))
 769   (nop ?)
 770   tc_true.
 771
 772 definition R_comp_step_true ≝ λt1,t2.
 773   ∃l0,c,a,l1,c0,a0,l2.
 774     t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool)
 775           l0 〈c,true〉 (〈a,false〉::l1@〈c0,true〉::〈a0,false〉::l2) ∧
 776       (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) ∧
 777       (bit_or_null c = true → c0 = c →
 778         t2 = midtape ? (〈c,false〉::l0) 〈a,true〉 (l1@〈c0,false〉::〈a0,true〉::l2)) ∧
 779       (bit_or_null c = true → c0 ≠ c →
 780         t2 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool)
 781          (reverse ? l1@〈a,false〉::〈c,true〉::l0) 〈c0,false〉 (〈a0,false〉::l2)) ∧
 782       (bit_or_null c = false →
 783         t2 = midtape ? l0 〈c,false〉 (〈a,false〉::l1@〈c0,true〉::〈a0,false〉::l2)).
 784
 785 definition R_comp_step_false ≝
 786   λt1,t2.
 787    ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
 788    is_marked ? c = false ∧ t2 = t1.
 789
 790 (*
 791 lemma is_marked_to_exists: ∀alpha,c. is_marked alpha c = true →
 792  ∃c'. c = 〈c',true〉.
 793 #alpha * c *)
 794
 795 lemma sem_comp_step :
 796   accRealize ? comp_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
 797     R_comp_step_true R_comp_step_false.
 798 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (is_marked ?))
 799         (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit false,true〉 ??
 800           (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit true,true〉 ??
 801             (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈null,true〉 ??
 802               (sem_clear_mark …))))
 803         (sem_nop …) …)
 804 [#intape #outtape #midtape * * * #c #b * #Hcurrent
 805 whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hb #Hmidtape >Hmidtape -Hmidtape
 806  cases (current_to_midtape … Hcurrent) #ls * #rs >Hb #Hintape >Hintape -Hb
 807  whd in ⊢ (%→?); #Htapea lapply (Htapea … (refl …)) -Htapea
 808  cases (true_or_false (c == bit false))
 809   [(* c = bit false *) #Hc * [2: * >(\P Hc) * #H @False_ind @H //]
 810    * #_ #a
 811
 812
 813 [ #Hstate lapply (H1 Hstate) -H1 -Hstate -H2 *
 814   #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hleft #Hright #ls #c #rs #Hintape
 815   >Hintape in Hleft; * *
 816   cases c in Hintape; #c' #b #Hintape #x * whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 817   whd in ⊢ (??%?→?); #Hb >Hb #Hta @(ex_intro ?? c') % //
 818   cases (Hright … Hta)
 819   [ * #Hc' #H1 % % [destruct (Hc') % ]
 820     #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
 821     cases (H1 … Hl1 Hrs)
 822     [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
 823     | * #Hneq #Houtc %2 %
 824       [ @sym_not_eq //
 825       | @Houtc ]
 826     ]
 827   | * #Hc #Helse1 cases (Helse1 … Hta)
 828     [ * #Hc' #H1 % % [destruct (Hc') % ]
 829       #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
 830       cases (H1 … Hl1 Hrs)
 831       [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
 832       | * #Hneq #Houtc %2 %
 833         [ @sym_not_eq //
 834         | @Houtc ]
 835       ]
 836     | * #Hc' #Helse2 cases (Helse2 … Hta)
 837       [ * #Hc'' #H1 % % [destruct (Hc'') % ]
 838         #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
 839         cases (H1 … Hl1 Hrs)
 840         [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
 841         | * #Hneq #Houtc %2 %
 842           [ @sym_not_eq //
 843           | @Houtc ]
 844         ]
 845       | * #Hc'' whd in ⊢ (%→?); #Helse3 %2 %
 846         [ generalize in match Hc''; generalize in match Hc'; generalize in match Hc;
 847           cases c'
 848           [ * [ #_ #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
 849               | #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) % ]
 850           | #_ #_ #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
 851           |*: #_ #_ #_ % ]
 852         | @(Helse3 … Hta)
 853         ]
 854       ]
 855     ]
 856   ]
 857 | #Hstate lapply (H2 Hstate) -H1 -Hstate -H2 *
 858   #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hleft #Hright #ls #c #rs #Hintape
 859   >Hintape in Hleft; * #Hc #Hta % [@Hc % | >Hright //]
 860 ]
 861 qed.
 862 definition R_comp_step_true ≝
 863   λt1,t2.
 864     ∀l0,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) l0 c rs →
 865     ∃c'. c = 〈c',true〉 ∧
 866     ((bit_or_null c' = true ∧
 867      ∀a,l1,c0,a0,l2.
 868       rs = 〈a,false〉::l1@〈c0,true〉::〈a0,false〉::l2 →
 869       (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 870       (c0 = c' ∧
 871        t2 = midtape ? (〈c',false〉::l0) 〈a,true〉 (l1@〈c0,false〉::〈a0,true〉::l2)) ∨
 872       (c0 ≠ c' ∧
 873        t2 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool)
 874         (reverse ? l1@〈a,false〉::〈c',true〉::l0) 〈c0,false〉 (〈a0,false〉::l2))) ∨
 875      (bit_or_null c' = false ∧ t2 = midtape ? l0 〈c',false〉 rs)).
 876
 877 definition R_comp_step_false ≝
 878   λt1,t2.
 879    ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
 880    is_marked ? c = false ∧ t2 = t1.
 881
 882 lemma sem_comp_step :
 883   accRealize ? comp_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
 884     R_comp_step_true R_comp_step_false.
 885 #intape
 886 cases (acc_sem_if … (sem_test_char ? (is_marked ?))
 887         (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit false,true〉 ??
 888           (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit true,true〉 ??
 889             (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈null,true〉 ??
 890               (sem_clear_mark …))))
 891         (sem_nop …) intape)
 892 #k * #outc * * #Hloop #H1 #H2
 893 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) %
 894 [ % [@Hloop ] ] -Hloop
 895 [ #Hstate lapply (H1 Hstate) -H1 -Hstate -H2 *
 896   #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hleft #Hright #ls #c #rs #Hintape
 897   >Hintape in Hleft; * *
 898   cases c in Hintape; #c' #b #Hintape #x * whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 899   whd in ⊢ (??%?→?); #Hb >Hb #Hta @(ex_intro ?? c') % //
 900   cases (Hright … Hta)
 901   [ * #Hc' #H1 % % [destruct (Hc') % ]
 902     #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
 903     cases (H1 … Hl1 Hrs)
 904     [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
 905     | * #Hneq #Houtc %2 %
 906       [ @sym_not_eq //
 907       | @Houtc ]
 908     ]
 909   | * #Hc #Helse1 cases (Helse1 … Hta)
 910     [ * #Hc' #H1 % % [destruct (Hc') % ]
 911       #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
 912       cases (H1 … Hl1 Hrs)
 913       [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
 914       | * #Hneq #Houtc %2 %
 915         [ @sym_not_eq //
 916         | @Houtc ]
 917       ]
 918     | * #Hc' #Helse2 cases (Helse2 … Hta)
 919       [ * #Hc'' #H1 % % [destruct (Hc'') % ]
 920         #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
 921         cases (H1 … Hl1 Hrs)
 922         [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
 923         | * #Hneq #Houtc %2 %
 924           [ @sym_not_eq //
 925           | @Houtc ]
 926         ]
 927       | * #Hc'' whd in ⊢ (%→?); #Helse3 %2 %
 928         [ generalize in match Hc''; generalize in match Hc'; generalize in match Hc;
 929           cases c'
 930           [ * [ #_ #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
 931               | #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) % ]
 932           | #_ #_ #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
 933           |*: #_ #_ #_ % ]
 934         | @(Helse3 … Hta)
 935         ]
 936       ]
 937     ]
 938   ]
 939 | #Hstate lapply (H2 Hstate) -H1 -Hstate -H2 *
 940   #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hleft #Hright #ls #c #rs #Hintape
 941   >Hintape in Hleft; * #Hc #Hta % [@Hc % | >Hright //]
 942 ]
 943 qed.
 944
 945 definition compare ≝
 946   whileTM ? comp_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 947
 948 (*
 949 definition R_compare :=
 950   λt1,t2.
 951   (t
 952
 953   ∀ls,c,b,rs.t1 = midtape ? ls 〈c,b〉 rs →
 954   (b = true → rs = ....) →
 955   (b = false ∧ ....) ∨
 956   (b = true ∧
 957
 958    rs = cs@l1@〈c0,true〉::cs0@l2
 959    (
 960
 961
 962   ls 〈c,b〉 cs l1 〈c0,b0〉 cs0 l2
 963
 964
 965 ACCETTAZIONE:
 966   ls (hd (Ls@〈grid,false〉))* (tail (Ls@〈grid,false〉)) l1 (hd (Ls@〈comma,false〉))* (tail (Ls@〈comma,false〉)) l2
 967      ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
 968
 969   ls Ls 〈grid,false〉 l1 Ls 〈comma,true〉 l2
 970         ^^^^^^^^^^^^
 971
 972 RIFIUTO: c ≠ d
 973
 974   ls (hd (Ls@〈c,false〉))* (tail (Ls@〈c,false〉)) l1 (hd (Ls@〈d,false〉))* (tail (Ls@〈d,false〉)) l2
 975      ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
 976
 977
 978   ls Ls 〈c,true〉 l1 Ls 〈d,false〉 l2
 979                        ^^^^^^^^
 980
 981   ).
 982
 983   |bs| = |b0s| →
 984   (∃la,d.〈b,true〉::bs = la@[〈grid,d〉] ∧ ∀x.memb ? x la → is_bit (\fst x) = true) →
 985   (∃lb,d0.〈b0,true〉::b0s = lb@[〈comma,d0〉] ∧ ∀x.memb ? x lb → is_bit (\fst x) = true) →
 986   t1 = midtape ? l0 〈b,true〉 (bs@l1@〈b0,true〉::b0s@l2 →
 987
 988   mk_tape left (option current) right
 989
 990   (b = grid ∧ b0 = comma ∧ bs = [] ∧ b0s = [] ∧
 991    t2 = midtape ? l0 〈grid,false〉 (l1@〈comma,true〉::l2)) ∨
 992   (b = bit x ∧ b = c ∧ bs = b0s
 993   *)
 994 definition R_compare :=
 995   λt1,t2.
 996   ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
 997   (∀c'.bit_or_null c' = false → c = 〈c',true〉 → t2 = midtape ? ls 〈c',false〉 rs) ∧
 998   (∀c'. c = 〈c',false〉 → t2 = t1) ∧
 999   ∀b,b0,bs,b0s,l1,l2.
1000   |bs| = |b0s| →
1001   (∀c.memb (FinProd … FSUnialpha FinBool) c bs = true → bit_or_null (\fst c) = true) →
1002   (∀c.memb (FinProd … FSUnialpha FinBool) c b0s = true → bit_or_null (\fst c) = true) →
1003   (∀c.memb ? c bs = true → is_marked ? c = false) →
1004   (∀c.memb ? c b0s = true → is_marked ? c = false) →
1005   (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
1006   c = 〈b,true〉 → bit_or_null b = true →
1007   rs = bs@〈grid,false〉::l1@〈b0,true〉::b0s@〈comma,false〉::l2 →
1008   (〈b,true〉::bs = 〈b0,true〉::b0s ∧
1009    t2 = midtape ? (reverse ? bs@〈b,false〉::ls)
1010           〈grid,false〉 (l1@〈b0,false〉::b0s@〈comma,true〉::l2)) ∨
1011   (∃la,c',d',lb,lc.c' ≠ d' ∧
1012     〈b,false〉::bs = la@〈c',false〉::lb ∧
1013     〈b0,false〉::b0s = la@〈d',false〉::lc ∧
1014     t2 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) (reverse ? la@
1015                     reverse ? l1@
1016                     〈grid,false〉::
1017                     reverse ? lb@
1018                     〈c',true〉::
1019                     reverse ? la@ls)
1020                     〈d',false〉 (lc@〈comma,false〉::l2)).
1021
1022 lemma wsem_compare : WRealize ? compare R_compare.
1023 #t #i #outc #Hloop
1024 lapply (sem_while ?????? sem_comp_step t i outc Hloop) [%]
1025 -Hloop * #t1 * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
1026 [ #tapea whd in ⊢ (%→?); #Rfalse #ls #c #rs #Htapea %
1027   [ %
1028     [ #c' #Hc' #Hc lapply (Rfalse … Htapea) -Rfalse * >Hc
1029       whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
1030     | #c' #Hc lapply (Rfalse … Htapea) -Rfalse * #_
1031       #Htrue @Htrue ]
1032   | #b #b0 #bs #b0s #l1 #l2 #Hlen #Hbs1 #Hb0s1 #Hbs2 #Hb0s2 #Hl1 #Hc
1033     cases (Rfalse … Htapea) -Rfalse >Hc whd in ⊢ (??%?→?);#Hfalse destruct (Hfalse)
1034   ]
1035 | #tapea #tapeb #tapec #Hleft #Hright #IH #Htapec lapply (IH Htapec) -Htapec -IH #IH
1036   whd in Hleft; #ls #c #rs #Htapea cases (Hleft … Htapea) -Hleft
1037   #c' * #Hc >Hc cases (true_or_false (bit_or_null c')) #Hc'
1038   [2: *
1039     [ * >Hc' #H @False_ind destruct (H)
1040     | * #_ #Htapeb cases (IH … Htapeb) * #_ #H #_ %
1041       [%
1042         [#c1 #Hc1 #Heqc destruct (Heqc) <Htapeb @(H c1) %
1043         |#c1 #Hfalse destruct (Hfalse)
1044         ]
1045       |#b #b0 #bs #b0s #l1 #l2 #_ #_ #_ #_ #_ #_
1046        #Heq destruct (Heq) >Hc' #Hfalse @False_ind destruct (Hfalse)
1047       ]
1048     ]
1049  |#Hleft %
1050     [ %
1051       [ #c'' #Hc'' #Heq destruct (Heq) >Hc'' in Hc'; #H destruct (H)
1052       | #c0 #Hfalse destruct (Hfalse)
1053       ]
1054     |#b #b0 #bs #b0s #l1 #l2 #Hlen #Hbs1 #Hb0s1 #Hbs2 #Hb0s2 #Hl1
1055      #Heq destruct (Heq) #_ #Hrs cases Hleft -Hleft
1056       [2: * >Hc' #Hfalse @False_ind destruct ] * #_
1057        @(list_cases2 … Hlen)
1058        [ #Hbs #Hb0s generalize in match Hrs; >Hbs in ⊢ (%→?); >Hb0s in ⊢ (%→?);
1059        -Hrs #Hrs normalize in Hrs; #Hleft cases (Hleft ????? Hrs ?) -Hleft
1060          [ * #Heqb #Htapeb cases (IH … Htapeb) -IH * #IH #_ #_
1061           % %
1062             [ >Heqb >Hbs >Hb0s %
1063             | >Hbs >Hb0s @IH %
1064             ]
1065          |* #Hneqb #Htapeb %2
1066           @(ex_intro … [ ]) @(ex_intro … b)
1067           @(ex_intro … b0) @(ex_intro … [ ])
1068           @(ex_intro … [ ]) %
1069             [ % [ % [@sym_not_eq //| >Hbs %] | >Hb0s %]
1070             | cases (IH … Htapeb) -IH * #_ #IH #_ >(IH ? (refl ??))
1071               @Htapeb
1072             ]
1073          | @Hl1 ]
1074       | * #b' #bitb' * #b0' #bitb0' #bs' #b0s' #Hbs #Hb0s
1075         generalize in match Hrs; >Hbs in ⊢ (%→?); >Hb0s in ⊢ (%→?);
1076         cut (bit_or_null b' = true ∧ bit_or_null b0' = true ∧
1077              bitb' = false ∧ bitb0' = false)
1078         [ % [ % [ % [ >Hbs in Hbs1; #Hbs1 @(Hbs1 〈b',bitb'〉) @memb_hd
1079             | >Hb0s in Hb0s1; #Hb0s1 @(Hb0s1 〈b0',bitb0'〉) @memb_hd ]
1080             | >Hbs in Hbs2; #Hbs2 @(Hbs2 〈b',bitb'〉) @memb_hd ]
1081             | >Hb0s in Hb0s2; #Hb0s2 @(Hb0s2 〈b0',bitb0'〉) @memb_hd ]
1082         | * * * #Ha #Hb #Hc #Hd >Hc >Hd
1083           #Hrs #Hleft
1084           cases (Hleft b' (bs'@〈grid,false〉::l1) b0 b0'
1085                          (b0s'@〈comma,false〉::l2) ??) -Hleft
1086           [ 3: >Hrs normalize @eq_f >associative_append %
1087           | * #Hb0 #Htapeb cases (IH …Htapeb) -IH * #_ #_ #IH
1088             cases (IH b' b0' bs' b0s' (l1@[〈b0,false〉]) l2 ??????? Ha ?) -IH
1089             [ * #Heq #Houtc % %
1090               [ >Hb0 @eq_f >Hbs in Heq; >Hb0s in ⊢ (%→?); #Heq
1091                 destruct (Heq) >Hb0s >Hc >Hd %
1092               | >Houtc >Hbs >Hb0s >Hc >Hd >reverse_cons >associative_append
1093                 >associative_append %
1094               ]
1095             | * #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #H4 %2
1096               @(ex_intro … (〈b,false〉::la)) @(ex_intro … c') @(ex_intro … d')
1097               @(ex_intro … lb) @(ex_intro … lc)
1098               % [ % [ % // >Hbs >Hc >H2 % | >Hb0s >Hd >H3 >Hb0 % ]
1099                 | >H4 >Hbs >Hb0s >Hc >Hd >Hb0 >reverse_append
1100                   >reverse_cons >reverse_cons
1101                   >associative_append >associative_append
1102                   >associative_append >associative_append %
1103                 ]
1104             | generalize in match Hlen; >Hbs >Hb0s
1105               normalize #Hlen destruct (Hlen) @e0
1106             | #c0 #Hc0 @Hbs1 >Hbs @memb_cons //
1107             | #c0 #Hc0 @Hb0s1 >Hb0s @memb_cons //
1108             | #c0 #Hc0 @Hbs2 >Hbs @memb_cons //
1109             | #c0 #Hc0 @Hb0s2 >Hb0s @memb_cons //
1110             | #c0 #Hc0 cases (memb_append … Hc0)
1111               [ @Hl1 | #Hc0' >(memb_single … Hc0') % ]
1112             | %
1113             | >associative_append >associative_append % ]
1114          | * #Hneq #Htapeb %2
1115             @(ex_intro … []) @(ex_intro … b) @(ex_intro … b0)
1116             @(ex_intro … bs) @(ex_intro … b0s) %
1117            [ % // % // @sym_not_eq //
1118            | >Hbs >Hb0s >Hc >Hd >reverse_cons >associative_append
1119              >reverse_append in Htapeb; >reverse_cons
1120              >associative_append >associative_append
1121              #Htapeb <Htapeb
1122              cases (IH … Htapeb) -Htapeb -IH * #_ #IH #_ @(IH ? (refl ??))
1123            ]
1124          | #c1 #Hc1 cases (memb_append … Hc1) #Hyp
1125            [ @Hbs2 >Hbs @memb_cons @Hyp
1126            | cases (orb_true_l … Hyp)
1127              [ #Hyp2 >(\P Hyp2) %
1128              | @Hl1
1129              ]
1130            ]
1131          ]
1132 ]]]]]
1133 qed.
1134
1135 axiom sem_compare : Realize ? compare R_compare.